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1Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2014/15
Tema 2: Álgebra vectorial
FISICA I, 1º Grado en Ingeniería Civil
Escuela Técnica Superior de Ingeniería
Universidad de Sevilla
2Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2014/15
ÍndiceÍndice
Magnitudes escalares y vectoriales
Definición de vector
Vectores libresSuma y producto por un escalar
Bases vectoriales
Producto escalar, vectorial, mixto
Doble producto vectorial
Derivada de un vector
Vectores deslizantes y ligados
3Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2014/15
Magnitudes escalares y vectorialesMagnitudes escalares y vectoriales
Magnitud escalar : queda definida con un número y una unidadTemperatura, longitud, carga eléctrica, tiempo, etc
Magnitud vectorial: require magnitud, dirección y sentidoVelocidad, aceleración, fuerza, etc
Magnitud tensorial
4Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2014/15
ÍndiceÍndice
Magnitudes escalares y vectoriales
Definición de vector
Vectores libresSuma y producto por un escalar
Bases vectoriales
Producto escalar, vectorial, mixto
Doble producto vectorial
Derivada de un vector
Vectores deslizantes y ligados
5Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2014/15
Definición de vectorDefinición de vector
En Matemáticas es un elemento de un espacio vectorial
En Física es un segmento orientado: una flechaMódulo
Recta soporte
Dirección
Sentido
Punto de aplicación
Representación: a o
Recta soporte
(dirección)
módulo
Punto de aplicación
Sentido
6Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2014/15
Tipos de vectoresTipos de vectores
Libres: módulo, dirección y sentidoPueden moverse libremente en el espacio
Deslizantes: módulo, dirección, sentido y recta soportePueden desplazarse libremente sobre su recta soporte
Ligados: módulo, dirección, sentido y punto de aplicaciónNo pueden desplazarse en el espacio
7Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2014/15
ÍndiceÍndice
Magnitudes escalares y vectoriales
Definición de vector
Vectores libresSuma y producto por un escalar
Bases vectoriales
Producto escalar, vectorial, mixto
Doble producto vectorial
Derivada de un vector
Vectores deslizantes y ligados
8Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2014/15
Vectores libresVectores libres
Relación de equivalencia: a y b son vectores equivalentes si tienen el
mismo módulo, dirección y sentidoDos vectores libres equivalentes pueden hacerse coincidir si se desplazan
en el espacio
9Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2014/15
ÍndiceÍndice
Magnitudes escalares y vectoriales
Definición de vector
Vectores libresSuma y producto por un escalar
Bases vectoriales
Producto escalar, vectorial, mixto
Doble producto vectorial
Derivada de un vector
Vectores deslizantes y ligados
10Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2014/15
Vectores libresVectores libres
Suma de vectores libresDos vectores
Varios vectores
11Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2014/15
Vectores libres: sumaVectores libres: suma
Propiedades de la sumaConmutativa
Asociativa
Existencia de elemento neutro
Existencia de elemento opuesto
12Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2014/15
Vectores libres: producto por un escalarVectores libres: producto por un escalar
El producto por un escalar es otro vector
Propiedades Asociativa respecto al producto por un escalar
Distributiva respecto a la suma de vectores
Distributiva respecto a la suma de escalares
Existencia de escalar unidad
13Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2014/15
ÍndiceÍndice
Magnitudes escalares y vectoriales
Definición de vector
Vectores libresSuma y producto por un escalar
Bases vectoriales
Producto escalar, vectorial, mixto
Doble producto vectorial
Derivada de un vector
Vectores deslizantes y ligados
14Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2014/15
Bases vectorialesBases vectoriales
Una base en E3 es una terna de vectores, B = {v1, v2, v3} , tal que cualquier vector
a puede escribirse como combinación lineal de ellos
a1, a2, a3 son las componentes de a en la base B
Para que tres vectores formen una base no deben ser ni colineales ni coplanarios
(linealmente independientes)La dimensión del espacio vectorial es el número mínimo de vectores linealmente
independientes que pueden describir todos los vectores del espacio
15Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2014/15
Base cartesianaBase cartesiana
Triedro OX1X2X3 ≡ OXYZ
X1≡X
X2≡Y
X3≡Z
O
Base ortonormal
Álgebra vectorial
Componentes
16Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2014/15
ÍndiceÍndice
Magnitudes escalares y vectoriales
Definición de vector
Vectores libresSuma y producto por un escalar
Bases vectoriales
Producto escalar, vectorial, mixto
Doble producto vectorial
Derivada de un vector
Vectores deslizantes y ligados
17Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2014/15
Producto escalarProducto escalar
Definición
El resultado de la operación es un escalar
El punto es importante
Permite expresar de modo sencillo la condición de ortogonalidad, distancias y
ángulos
18Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2014/15
Producto escalar: aplicacionesProducto escalar: aplicaciones
Condición de ortogonalidad para dos vectores
Si uno de los vectores es unitario da la proyección ortogonal sobre él del otro
vector
Extrae la componente del vector paralela a la dirección del vector
Está relacionado con la proyección ortogonal de un vector sobre otro
Si ninguno de los vectores es unitario
19Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2014/15
Producto escalar: métrica del espacioProducto escalar: métrica del espacio
Distancia entre dos puntos
X1
X2
X3
P(p1,p2,p3)
O
Q(q1,q2,q3)
Ángulo entre dos vectores
Permite definir una métrica en el espacio
20Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2014/15
Producto escalar: propiedadesProducto escalar: propiedades
Propiedades
Asociativa resp. prod. por un escalar
Conmutativa
Distributiva resp. a suma
Cancelativa
21Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2014/15
Producto escalar: base ortonormalProducto escalar: base ortonormal
Los vectores de una base ortonormal son mutuamente perpendiculares y de
módulo unidad
Producto escalar de dos vectores expresados en una base ortonormal
22Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2014/15
Producto escalar: aplicacionesProducto escalar: aplicaciones
Construcción de un vector unitario paralelo a un vector a
Ángulo entre dos vectores
Distancia entre dos puntos
Módulo de un vector
23Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2014/15
Producto escalar: aplicacionesProducto escalar: aplicaciones
X1
X2
X3
O
Cosenos directores
Componentes cartesianas de un vector
24Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2014/15
Producto escalar: ecuación vectorial de un planoProducto escalar: ecuación vectorial de un plano
X Y
Z
P1
O
P
Punto por el que pasa el plano
Punto genérico del plano
Vector normal al plano
Condición para que el punto P esté en el plano
Ecuación general del plano
25Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2014/15
Producto vectorialProducto vectorial
Definición
El resultado de la operación es un vector
Escritura alternativa
Permite expresar de modo sencillo la condición de paralelismo
Permite construir rápidamente vectores perpendiculares
Extrae la componente perpendicular en una proyección ortogonal
26Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2014/15
Producto vectorialProducto vectorial
Condición de paralelismo
=0 =
Se relaciona con la componente perpendicular de la proyección ortogonal
Si uno de los vectores es unitario (u) da la componente perpendicular a u de la
proyección ortogonal sobre él del otro vector
La otra componente la da el producto escalar
27Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2014/15
Producto vectorialProducto vectorial
Si ninguno de los dos vectores es unitario, el módulo es la componente perpendicular
de la proyección ortogonal multiplicada por el otro vector
Área del paralelogramo que forman dos vectores
28Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2014/15
Producto vectorialProducto vectorial
PropiedadesNo es asociativo
Anticonmutativa
Asociativa resp. al prod. por un escalar
Distributiva respecto a la suma
Cancelativa
29Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2014/15
Producto vectorial: base cartesianaProducto vectorial: base cartesiana
Es una base ortonormal dextrógira
Expresión en una base ortonormal
30Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2014/15
Producto vectorial: ecuación vectorial de una rectaProducto vectorial: ecuación vectorial de una recta
Punto por el que pasa la recta
Punto genérico de la recta
Vector director de la recta
Condición para que el vector sea paralelo al vector director
Ecuaciones de la recta
X Y
Z
O
P
P1
r
Vectorial Paramétricas Continua
31Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2014/15
Producto mixtoProducto mixto
Definición: involucra tres vectoresEl resultado de la operación es un escalar
El valor absoluto es el volumen del paralelepípedo
h
Tres vectores forman una base si y solo si su producto mixto es no nulo
Condición de coplanariedad
32Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2014/15
Producto mixtoProducto mixto
Propiedades
Permutabilidad cíclica
Permutabilidad acíclica
Expresión en una base cartesiana
33Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2014/15
Producto mixto: ecuación de un plano que pasa por tres puntos no alineadosProducto mixto: ecuación de un plano que pasa por tres puntos no alineados
X Y
Z
P1
O
P3
P2
Puntos por los que pasa el plano
Condición de coplanariedad
Punto genérico del plano
Ecuación del plano
34Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2014/15
ÍndiceÍndice
Magnitudes escalares y vectoriales
Definición de vector
Vectores libresSuma y producto por un escalar
Bases vectoriales
Producto escalar, vectorial, mixto
Doble producto vectorial
Derivada de un vector
Vectores deslizantes y ligados
35Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2014/15
Doble producto vectorialDoble producto vectorial
Aplicación al desarrollo del producto escalar de dos productos vectoriales
El resultado de la operación es un vector
Resolución de un sistema de ecuaciones vectoriales
Definición: involucra tres vectores
36Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2014/15
ÍndiceÍndice
Magnitudes escalares y vectoriales
Definición de vector
Vectores libresSuma y producto por un escalar
Bases vectoriales
Producto escalar, vectorial, mixto
Doble producto vectorial
Derivada de un vector
Vectores deslizantes y ligados
37Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2014/15
Derivada de un vectorDerivada de un vector
Un vector puede ser función de una variable
Variación del módulo
Variación de la dirección
En general varían las dos cosas
38Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2014/15
Derivada de un vectorDerivada de un vector
Derivada de un vector expresado en una base cartesiana
Derivada del producto escalar y vectorial de dos vectores
Los vectores de la base cartesiana no dependen del tiempo
39Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2014/15
ÍndiceÍndice
Magnitudes escalares y vectoriales
Definición de vector
Vectores libresSuma y producto por un escalar
Bases vectoriales
Producto escalar, vectorial, mixto
Doble producto vectorial
Derivada de un vector
Vectores deslizantes y ligados
40Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2014/15
Vectores deslizantesVectores deslizantes
AG
B1
B2
La fuerza F equilibra la barra al ser aplicada en cualquier punto de la
recta Δ
AG
Vector deslizante
La misma fuerza aplicada en otra punto no equilibra la barra
Son vectores deslizantes distintos
En un vector deslizante hay que especificar la recta soporte
Producen efectos mecánicos diferentes
El vector a considerado como vector libre se llama cursor del vector deslizante
41Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2014/15
Vectores deslizantes: momento de un vector deslizanteVectores deslizantes: momento de un vector deslizante
La recta soporte puede especificarse usando el momento del vector
respecto a un punto
OP1
El momento es el mismo para todos los puntos P1 de la recta
Es perpendicular al plano que contiene a la recta y pasa por el punto O
OP1
P2
42Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2014/15
Sistema de vectores deslizantesSistema de vectores deslizantes
Es un conjunto de vectores deslizantes, finito o infinito, cada uno con su cursor y
su recta soporte
Resultante de un s.v.d.
Momento resultante de un s.v.d. en un punto O
Reducción de un s.v.d. en un punto O
43Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2014/15
Equivalencia de s.v.d.Equivalencia de s.v.d.
Dos s.v.d. son equivalentes si tienen la misma reducción en un punto cualquieraSi la reducción es la misma en un punto, lo es en todos los demás
OP
2P1
X
Y
O
P
La reducción es una ”suma” de un s.v.d.
Dos s.v.d. equivalentes tienen el mismo efecto mecánico
44Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2014/15
Aplicación de vectores deslizantesAplicación de vectores deslizantes
¿Por qué se aplica el peso de un cuerpo en su centro de masas?
CM
Fuerza de reacción sobre un bloque en reposo sobre un plano
¿Y si aplicamos una fuerza horizontal?
45Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2014/15
Vectores ligadosVectores ligados
El vector está ligado a un punto
Ejemplo: a cada punto del espacio se le asigna un vector de posición
X Y
Z
O
P
El resultado de realizar el desplazamiento indicado por el
vector depende del punto de partida
Ejemplo: momento de un vector deslizante respecto a un punto
Si cambia el punto, cambia la recta soporte del vector deslizante
46Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2014/15
ResumenResumen
Definición de vector
Vectores libresSuma y producto por un escalar
Bases vectorialesConjunto mínimo de vectores linealmente independientes que permiten expresar todos los vectores del
espacio
Base cartesiana: tres vectores unitarios y mutuamente perpendiculares constantes en todo el espacio
Producto escalarCondición de ortogonalidad
Permite calcular distancias y ángulos: define una métrica en el espacio
Extrae la componente paralela de la proyección ortogonal de un vector sobre una dirección (aplicación
al cálculo de componentes en bases cartesianas)
47Física I, GIC, Dpto. Física Aplicada III, ETSI, Universidad de Sevilla, 2014/15
ResumenResumen
Producto vectorialCondición de paralelismo
Extrae la componente perpendicular de la proyección ortogonal de un vector sobre una dirección
Área del paralelogramo
Producto mixtoCondición de coplanariedad
Volumen del paralelepípedo
Doble producto vectorial
Derivada de un vectorPuede cambiar el módulo y/o la dirección
Derivada de un producto escalar y vectorial
Vectores deslizantes y ligadosEl efecto de una fuerza sobre un sólido depende de donde se aplique: vector deslizante
Un conjunto de s.v.d. puede sustituirse por otro equivalente