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TEMA 1: INTERACCIÓN GRAVITATORIA PARTE 1
• Generalización del concepto de trabajo a una fuerza variable. • Teorema del trabajo y la energía cinética. • Fuerzas conservativas. • Energía potencial asociada a una fuerza conservativa. Trabajo y diferencia de
energía potencial. Relación entre fuerza conservativa y variación de energía potencial. Energía potencial en un punto
• Conservación de la energía. Conservación de la energía mecánica PARTE 2
• Descripción de una interacción: Acción a distancia y concepto de campo. • Líneas de fuerza. • Ley de gravitación universal. Análisis de las características de la interacción
gravitatoria entre dos masas. • Interacción de un conjunto de masas: Principio de superposición. • Noción de campo gravitatorio: Intensidad del campo gravitatorio de una masa
puntual. • Campo gravitatorio terrestre. Variación de "g" con la altura • Campo gravitatorio de un conjunto de masas. • Energía potencial gravitatoria de una masa puntual en presencia de otra. • Noción de potencial gravitatorio. • Superficie equipotencial. • Relación entre campo y potencial gravitatorio.
PARTE 3
• Leyes de Kepler • Movimiento de masas puntuales en las proximidades de la superficie terrestre • Satélites. Velocidad orbital y velocidad de escape.
AMPLIACIÓN
• Circulación de un vector a lo largo de un camino c • Flujo a través de una superficie • Flujo de la intensidad de campo a través de una superficie cerrada. Teorema de
Gauss
GENERALIZACIÓN DEL CONCEPTO DE TRABAJO A UNA FUERZA VARIABLE Supongamos que queremos llevar un cuerpo desde un punto A hasta otro B a lo largo de un determinado camino:
(recuerda que el móvil no tiene porqué moverse según la resultante de la fuerza que actúa sobre él porque puede tener algún tipo de restricción)
Por definición, el trabajo realizado por la fuerza Fr
para desplazarlo una longitud infinitesimal es el producto escalar de la fuerza por el vector desplazamiento:
rdFdWrr
•= dW = trabajo elemental Fr
= vector fuerza
rdr
= vector desplazamiento = jdyidxrr
+ El trabajo total para llevar al cuerpo desde el punto A al B por el camino c lo obtenemos mediante la integral definida entre esos puntos:
∫ •=→
B
c,Ac,BA rdFWrr
En general, el trabajo realizado por una fuerza para llevar un cuerpo desde un punto A hasta otro punto B depende del camino que se siga. (Más adelante trataremos las fuerzas conservativas, que son aquellas que realizan el mismo trabajo para llevar un cuerpo desde un punto hasta otro sin importar el camino seguido.)
Lo expresamos como:
2c,BA1c,BA WW →→ ≠
∫∫ •≠•B
2c,A
B
1c,ArdFrdFrrrr
Caso particular: Cuando la fuerza es constante en módulo y dirección. Si observas las figuras siguientes verás que para desplazamientos grandes el módulo del vector desplazamiento no coincide con el espacio recorrido sobre la trayectoria, pero para un desplazamiento infinitesimal sí que son iguales:
sr ∆≠∆
r pero dsrd =
r
Así que podemos poner α⋅⋅=α⋅⋅=•= cosdsFcosdrFrdFdWrr
si F y α son constantes podemos sacarlas de la integral:
[ ] α⋅⋅=−⋅α⋅=⋅α⋅=α⋅=⋅α⋅= ∫∫→ cossF)ss(cosFscosFds cosFdscosFW ABss
s
s
B
Atetancons. FBA
B
A
B
A
α⋅⋅=→ cossFWtetancons. F
BA
Ejemplo: Un niño tira de un camión de juguete aplicando una fuerza de 20N mediante una cuerda que forma un ángulo de 60º con la horizontal. Calcular el trabajo que realiza cuando lo arrastra 10m.
Aplicando la definición general de trabajo y teniendo en cuenta que jFsenicosFF
rrr⋅α+⋅α=
y que en este caso como únicamente se desplaza a lo largo del eje X ( no varía de coordenada
Y con lo que siempre dy=0) y el vector desplazamiento nos quedaría idxjdyidxrdrrrr =+=
∫∫=
=→ ⋅•⋅α+⋅α=•=10x
0x
B
c,Ac,BA idx)jFsenicosF(rdFWrrrrr
recordando que 1ii =•rr
y que 0ji =•rr
Como integramos respecto a x, los límites de integración son desde xA=0 hasta xB=10
[ ] Julios100)010(60cos20xcosFdxcosFW 10x0x
10x
0xc,BA =−⋅⋅=⋅α=⋅α= ==
=
=→ ∫
Como en este caso la fuerza es constante también podríamos haber aplicado la definición particular de trabajo: J 10060cos1020cossFW BA =⋅⋅=α⋅⋅=→
Observa que únicamente realiza trabajo la componente de la fuerza que lleva la dirección del desplazamiento (F.cosα)
Ejemplo: Calcular el trabajo que hacemos para levantar verticalmente, con velocidad constante, un cuerpo de 2 Kg hasta una altura de 3 metros. Calcular el trabajo realizado por el peso y el trabajo realizado por la fuerza resultante.
Fíjate bien que cuando en el enunciado dice “levantar con velocidad constante” eso es un dato muy importante, porque, de acuerdo con las leyes de Newton, quiere decir que la suma de las fuerzas sobre el cuerpo es nula. Por tanto, si el cuerpo está sometido a la fuerza peso=mg, la fuerza que deberemos hacer para subirlo con velocidad constante debe tener el mismo módulo F=mg, la misma dirección y sentido contrario. Aplicando la definición general de trabajo: Tendremos en cuenta que el movimiento es sobre el eje Y y que por tanto no varía la
coordenada X (dx=0). El vector desplazamiento nos quedaría j dyjdyidxrdrrrr =+=
[ ]∫ ∫∫=
=
==
=
=→ =−===•=•=3y
0y
3y0y
3y
0y
B
c,A FuerzaFFuerzaF
BA Julios60)03(20y mgdy mgj dyj mgrdFWrrrr
Observa que como ahora hemos integrado respecto a dy, los límites de integración han sido desde y=0 hasta y=3. El trabajo que hace la fuerza peso, siguiendo el mismo procedimiento sería:
[ ]∫ ∫∫=
=
==
=
=→ −=−−=−=−=•−=•=3y
0y
3y0y
3y
0y
B
c,A PesoPeso
BA Julios60)03(20y mgdy mgj dy)j (mgrdFWrrrr
El signo menos del trabajo se interpreta como que la fuerza pero realmente no hará nunca ese trabajo sino que haría el contrario. Como sabemos por experiencia, el peso no sube de forma espontánea a los cuerpos sino todo lo contrario. El trabajo total puede obtenerse de dos formas:
• Como suma de todos los trabajos realizados por cada una de las fuerzas.
∑ =−+==→ 0)60(60WWTOTAL
BA
• Como el trabajo que hace la fuerza resultante. Como 0F tetansulRe =r
0rdFWB
c,A tetansulReTOTAL
BA =•= ∫→rr
Aplicando la definición particular de trabajo: En este caso podemos resolver el ejercicio aplicando la definición particular de trabajo para fuerzas constantes, ya que (para puntos próximos a la superficie terrestre) podemos considerar que el peso no varía y tampoco la fuerza que hemos de hacer para subirlo con velocidad contante, ya que es igual al peso y de sentido opuesto)
α⋅⋅=→ cossFW BA
Para aplicar esa expresión a la fuerza F tendremos en cuenta que: el módulo de la fuerza es igual al peso, es decir, FFuerzaF=mg, que el espacio que recorre es s=3m y que el ángulo que forma la fuerza que hacemos y el desplazamiento es de 0º
J 600cos320cossmgcossFW FuerzaFFuerzaF
BA =⋅⋅=α⋅⋅=α⋅⋅=→
Para aplicar la expresión a la fuerza peso tendremos en cuenta que, al igual que antes, el módulo del peso es FPeso=mg, el espacio recorrido es s=3m, pero ahora (puesto que se mueve hacia arriba) el ángulo que forma el desplazamiento y la fuerza peso es de 180º
J 60180cos320cossmgcossFW PesoPeso
BA −=⋅⋅=α⋅⋅=α⋅⋅=→
Observaciones: Muchos alumnos confunden los vectores con su módulo. Especialmente cuando se trata de movimientos en una dimensión y se suprimen los vectores unitarios de los ejes “sustituyéndolos” solamente por su signo. Es decir que (como ocurre en este caso donde el movimiento es solo en el eje Y) podremos escribir los vectores como:
j mgFFuerzaF
rr= o simplemente +mg (con el + indicamos que lleva dirección y sentido de j
r)
j mgFPeso
rr−= o simplemente –mg (con el – indicamos que lleva dirección y sentido de j
r− )
Los módulos de los vectores “nunca tienen signo” ya que el módulo solamente indica el valor. Entiende de una vez que el signo hace referencia al sentido del vector y no del módulo. Ahora bién, las magnitudes escalares sí que pueden tener signo como le ocurre al trabajo.
De acuerdo a lo anterior, sería un disparate escribir
180cos320cossmgWPeso
BA ⋅⋅−=α⋅⋅−=→
porque al poner –mg estaríamos sustituyendo el módulo de la fuerza por su expresión
vectorial (aunque no le pongamos la j r
). Por otro lado, el signo menos ya nos aparecerá como consecuencia de que cos180=–1, pero si lo hiciéramos mal tendríamos dos signos menos y el trabajo final sería positivo, que sería como decir que la fuerza peso es capaz de hacer un trabajo y de subir un cuerpo hasta una altura mayor.
Ejemplo: Un cuerpo de 20 Kg se encuentra en la base de un plano inclinado 30º sobre la horizontal, sin rozamiento. Un hombre tira de él y lo sube hasta una altura de 1,5 m. a) con qué fuerza debe tirar el hombre para subirlo con velocidad constante b) que trabajo realiza c) si otro hombre lo sube verticalmente hasta la misma altura con la ayuda de una polea d) ¿qué fuerza y que trabajo realizaría en este otro caso? a) Si el hombre sube el cuerpo con velocidad constante quiere decir, de acuerdo con la 2º ley de Newton, que la suma de las fuerzas es cero, por tanto:
de la figura se deduce que para que la suma de las fuerzas sea cero, el hombre debe ejercer una fuerza igual a la componente del peso que tiene la dirección del plano:
New10030sen1020senmgF =⋅⋅=α⋅= b) El espacio recorrido sobre el plano para que ascienda 1,5m se calcula como:
s
5,130sen = ⇒ s = 3 metros
El trabajo, aplicando la expresión particular porque la fuerza es constante: (Mucho cuidado de no confundirte con el ángulo. Aquí α es el ángulo que forma la fuerza F con el desplazamiento, que es 0º):
Julios3000cos3100cossFW =⋅⋅=α⋅⋅= c) El hombre que sube el cuerpo con velocidad constante con la ayuda de una polea:
Aplicando la segunda ley a todo el sistema
mamgF =− como v=cte → a=0
New2001020mgF =⋅== Como vemos, al tratarse de una polea es ideal y que la fuerza que aplicamos no tiene masa, entonces se transmite íntegramente: F=mg
d) Como F es una fuerza constante, aplicando la expresión particular del trabajo que realiza el hombre para subir la masa 1,5 m tendremos:
Julios3000cos5,1200cossFW =⋅⋅=α⋅⋅=
Observa que el trabajo que realiza el hombre para subir el cuerpo con velocidad constante por el plano y por la vertical es exactamente el mismo, y eso es así porque no hay rozamiento, sin embargo la fuerza que debe ejercer si lo sube por el plano es más pequeña. En el caso de que hubiese rozamiento el trabajo realizado por el plano sería mayor que por la vertical, pero aún así la fuerza que debe ejercer sigue siendo menor, de ahí la utilidad de los planos. Ejemplo: Un niño tiene una pistola de juguete que funciona con un resorte, como la que se indica en la figura. La constante de recuperación del muelle es de 500 N/m ¿Qué trabajo realiza el niño cada vez que comprime el resorte 20 cm para cargarla? La fuerza que debe hacer el niño para comprimir el muelle, con velocidad constante, es exactamente igual a la fuerza recuperadora del muelle pero en sentido contrario:
xkF)Muelle(
cuperadoraRe ⋅−= o bien i xkF)Muelle(
cuperadoraRe
rr⋅−=
xkF)Niño(
aDeformador ⋅= o bien i xkF)Niño(
aDeformador
rr⋅=
El signo menos de la fuerza recuperadora se interpreta como que esa fuerza se opone a la deformación. (Si, como en la figura, deformamos el resorte hacia la parte positiva la fuerza recuperadora apunta hacia la parte negativa y viceversa.)
En este caso la fuerza que hace el niño no es constante puesto que depende de x, por tanto tendremos que utilizar obligatoriamente la definición general de trabajo. La fuerza
que hace el niño en forma de vector es i kxFNiño
rr= y el vector desplazamiento, como
solo se desplaza a lo largo del eje X, nos quedaría idxjdyidxrdrrrr =+=
∫ ∫∫=
=
=
=→ =−==⋅=•=•=2,0x
0x
222,00
22,0x
0x
B
A NiñoNiño,NA
B
A
B
A
Julios10)02,0(5002
1kx
2
1dxkxidxikxrdFW
rrrr
Este trabajo que ha realizado el niño al cargar la pistola: 2
21 kxW = queda almacenado en
el resorte (En forma de energía potencial como veremos más adelante). Al apretar el gatillo
y dejar libre el muelle actúa la fuerza recuperadora i xkF)Muelle(
cuperadoraRe
rr⋅−= y de esta forma se
nos devuelve el trabajo que realizamos al cargarla. Comprueba que el trabajo hecho por la fuerza recuperadora para llevar el muelle desde B hasta A es también 10Julios.
POTENCIA Dos máquinas pueden realizar el mismo trabajo, una en poco tiempo y la otra tardando más. Para identificar a la mejor se define la potencia como el trabajo realizado en la unidad de tiempo, así:
dt
dWP =
teniendo en cuenta la definición de trabajo podemos encontrar otra expresión análoga:
vFdt
rdF
dt
dWP
rrrr
•=•==
Ejemplo Un motor eléctrico se utiliza para elevar un peso de 250Kg desde el suelo hasta una altura de 25m. Se emplea en la operación un tiempo de 5 minutos. Si el motor consume 500 watios ¿Cuánto vale la energía perdida?.
El trabajo que realmente hace el motor es:
Julios150000)605(500tPWmotor =⋅⋅=⋅=
El trabajo útil es el que realmente hace falta para subir los 250Kg a la altura de 25m:
Julios625002510250smgsFWutil =⋅⋅=⋅=⋅=
El trabajo perdido, que se transformará en calor es:
Julios87500WWW utilmotorperdido =−=
El rendimiento del motor sería:
%7,41100150000
62500100
W
WientodimnRe
motor
util ===
TEOREMA DEL TRABAJO Y LA ENERCIA CINÉTICA Si tenemos en cuenta la definición de trabajo, la segunda ley de Newton y que
dtrdvrr = , podemos poner que:
dtvdt
vdmrd
dt
vdmrdFdW ⋅•=•=•= r
rr
rrr
teniendo en cuenta que vd
r y v
r son vectores en la misma dirección y sentido y que por
tanto el coseno del ángulo que forman es 1:
dvvmvvdmdW ⋅⋅=•⋅= rr
2A
2B
B
A
B
A
2fuerzas las Todas,BA mv
2
1mv
2
1mv
2
1dvmvW −=
=⋅= ∫→
EcEcEcW ABfuerzas las Todas,BA ∆=−=→
Lo que nos dice que “el trabajo realizado por la fuerza F (resultante de “todas las fuerzas”, incluida la de rozamiento si existe) para llevar el cuerpo desde un punto A hasta otro B es igual a la variación de energía cinética entre esos puntos”. Se conoce como teorema de las fuerzas vivas. Ejemplo: Si dejamos caer un cuerpo de 2Kg desde una altura de 5m ¿Qué energía cinética tendrá al llegar al suelo? Posiblemente la reacción de algún alumno sea calcular el valor de la velocidad al llegar al suelo y luego aplicar la fórmula de la energía cinética. Eso estaría bien, pero vamos a resolverlo aplicando el teorema de las fuerzas vivas. Como el peso puede considerarse constante podemos aplicar la definición particular de trabajo. El trabajo realizado, en este caso, por la fuerza peso que tiene la misma dirección y sentido del desplazamiento, es:
julios10015200cossmgcossFW =⋅⋅=⋅⋅=α⋅⋅= Aplicando el teorema del trabajo y la energía cinética y teniendo en cuenta que la energía cinética en el punto A (arriba) es nula porque parte del reposo, sería:
ABfuerzas las Todas,BA EcEcW −=→ ⇒ julios100EcB =
Ejemplo: Un ciclista va a 5 m/s por una calle horizontal. Cuando se le cruza una suegra frena para no pillarla y se detiene en 5m. ¿Cuánto vale el coeficiente de rozamiento?
Si el ciclista se termina parando, quiere decir que toda su energía cinética inicial se disipará en rozamiento. De acuerdo con el teorema del trabajo y la energía cinética:
EcW fuerzas las Todas,BA ∆=→
Sobre el ciclista hay tres fuerzas: peso, normal y FRoz. Como el peso y la reacción del plano se anulan, finalmente nos queda que la fuerza resultante es igual a la fuerza de rozamiento µ=µ= mgNFRoz . Como la FRoz es una fuerza constante podemos aplicar la
definición particular de trabajo: 2i
2fRoz mv
2
1mv
2
1180cossF −=⋅⋅
2imv
2
1)1(s mg −=−⋅⋅µ ⇒ 25,0
5102
5
gs2
v 22i =
⋅⋅==µ
Ejemplo: Un proyectil de 15gr se mueve con una velocidad de 1500m/s cuando choca con un saco de arena y se para después de recorrer 10cm ¿Qué trabajo ha realizado la arena sobre el proyectil?. Suponiendo constante la fuerza que realiza este trabajo, ¿cuánto vale? El ejercicio es exacto al anterior. Aplicando el teorema del trabajo y la energía cinética concluiremos que el trabajo realizado por la fuerza que hace la arena (fuerza de rozamiento de la bala con la arena) debe ser igual a la energía cinética que tenía la bala:
EcW fuerzas las Todas,BA ∆=→ ⇒
Julios168751500015,02
1mv
2
1mv
2
1W 22
i2farena. F −=⋅−=−=
La fuerza (de rozamiento) que disipa este trabajo es:
180cossFW arenaarena. F ⋅⋅= ⇒ New168750)1(10,0
16875Farena =
−⋅−=
FUERZAS CONSERVATIVAS En los ejemplos anteriores hemos visto como un cuerpo que tiene energía cinética es capaz de realizar un trabajo. Supongamos ahora que lanzamos una piedra hacia arriba con una determinada velocidad inicial. Ya sabemos que, si despreciamos el rozamiento, la piedra al volver a la posición inicial tendrá la misma velocidad (aunque de sentido opuesto). Quiere decir que tiene la misma energía cinética inicial y final, y que por tanto el cuerpo “conserva su capacidad de hacer trabajo”. Las fuerzas gravitatorias, por tanto, son conservativas. Siguiendo con el mismo ejemplo, si ahora consideramos que hay rozamiento, la velocidad de la piedra al llegar será menor que la inicial, lo que quiere decir que su energía cinética es menor y por tanto que el rozamiento es una fuerza disipativa o no conservativa. En general el trabajo realizado por una fuerza F al llevar un cuerpo del punto A al B depende del camino seguido. “Decimos que una fuerza es conservativa cuando el trabajo que realiza para llevar un cuerpo desde un punto A hasta otro B es independiente del camino seguido y solamente depende de la posición de los puntos inicial y final”. Por tanto si el trabajo lo hace una fuerza conservativa podemos poner que:
2c,BA1c,BA WW →→ =
como al cambiar los límites de integración la integral cambia de signo, podemos escribir:
0WW 2c,AB1c,BA =+ →→ o bien, como el camino no importa 0WW ABBA =+ →→
también se escribe:
∫ =• 0rdFrr
Quiere decir que “el trabajo realizado por una fuerza conservativa a lo largo de una trayectoria cerrada es nulo”. Fíjate como en la segunda expresión no hemos indicado el camino seguido, puesto que al tratarse de una fuerza conservativa el trabajo es independiente de la trayectoria seguida. Resumiendo, podemos definir a las fuerzas conservativas diciendo:
• Aquellas que al llevar un cuerpo de un punto A hasta otro B, realizan un trabajo que no depende el camino seguido: 2c,BA1c,BA WW →→ = , sino que solamente de la
posición de los puntos inicial y final. • Aquellas que al recorrer una trayectoria cerrada hacen un trabajo nulo:
∫ =• 0rdFrr
(Quiere decir que el trabajo es nulo cuando parten de un punto y,
siguiendo una trayectoria cualquiera, vuelven al mismo punto.) Son fuerzas conservativas, obviamente las que cumplen con esas definiciones, pero a título indicativo diremos que son fuerzas conservativas todas aquellas que no dependen del tiempo o de la velocidad, es decir, son conservativas las fuerzas que sean constantes (a excepción de la de rozamiento) y también aquellas que dependen de una coordenada y actúan a lo largo de ella, como por ejemplo la fuerza elástica de un resorte.
Un tipo de fuerzas conservativas muy importantes son las fuerzas centrales, como es el caso de las gravitatorias y eléctricas. (Fuerzas centrales son aquellas cuya dirección pasa por un punto llamado centro de fuerzas y su módulo depende de la distancia al centro de fuerzas) Ejemplo: Calcular el trabajo que la fuerza peso realiza para llevar un cuerpo de 2Kg desde el punto A hasta el B siguiendo los dos caminos de la figura
Lo primero de todo será dibujar la fuerza peso, que “siempre” vayamos por donde vayamos es la misma: tiene un módulo de P=mg=20New y la dirección vertical hacia
abajo (en forma vectorial sería j20Prr
−= ). El trabajo por cada camino (teniendo en cuenta que la fuerza peso puede considerarse constante y podremos aplicar la definición particular de trabajo) es: WA→B por el camino 1 será igual al WA→P + WP→B
• WA→P = F.s.cosα = 20.4.cos90 =0 • WP→B = F.s.cosα = 20.3.cos180 = –60 J • WA→B = WA→P + WP→B = 0 +(– 60) = –60 J
Observa que en el tramo de A→P el trabajo es nulo porque la fuerza peso es perpendicular al desplazamiento, mientras que en el tramo P→B el trabajo resulta negativo porque la fuerza y el desplazamiento forman 180º. (El signo menos indica que la fuerza Peso nunca realizará ese trabajo, sino el contrario)
WA→B por el camino 2
• WA→P = F.s.cosα = 87,126cos520 ⋅⋅ = – 60J Donde hemos tenido en cuenta que el espacio, de acuerdo
con el teorema de Pitágoras, es 534s 22 =+= El ángulo que forma la fuerza y el desplazamiento es 126,87º. Es igual a β+90, donde º87,36 4/3arctg ==β
A la misma conclusión llegaríamos si la trayectoria fuese cualquier otra, porque siempre podríamos descomponerla en un trozo infinitesimal
horizontal (a través del cual el trabajo sería nulo porque rdPrr
⊥ ) y otro vertical (donde el
trabajo elemental sería j dyPrr
• ).
ENERGÍA POTENCIAL Imaginemos una maceta en lo alto de un balcón. Como consecuencia de su posición “en un campo de fuerzas conservativo como el gravitatorio”, tiene una cierta energía acumulada que puede convertir en trabajo en cualquier momento. Lo mismo podríamos decir para el caso de un resorte que se encuentra desplazado respecto de su posición de equilibrio, dado que las fuerzas elásticas también son conservativas. Puesto que el trabajo realizado por una fuerza conservativa para llevar un cuerpo desde un punto A hasta otro B es independiente del camino seguido y solamente depende de la posición de los puntos, a esos puntos podemos asignarle una energía llamada potencial que es función de la posición. Por definición, “el trabajo que hace una fuerza conservativa para llevar un cuerpo desde un punto A hasta otro B es igual a menos la variación de energía potencial entre esos puntos”:
BAvaConservati.F,BA EpEpEpW −=∆−=→
El signo menos indica que la fuerza conservativa del campo hace trabajo espontáneo o real (trabajo positivo) cuando desplaza el cuerpo desde los puntos de mayor energía potencial a los puntos con menor energía potencial. Dicho de otra forma, cualquier cuerpo sometido a la acción de una fuerza conservativa se mueve espontáneamente desde los puntos de mayor energía potencial a los puntos con menor energía potencial. (Observa que +=→ Campo.Conserv.F,BAW cuando EpA > EpB)
Propiedades de la energía potencial: 1. Es una energía que posee un cuerpo debida a la posición que ocupa en un campo de fuerzas conservativas, o dicho de otra forma, es una energía que depende de la separación entre las partículas que interaccionan. 2. De lo anterior se deduce que la Ep es una magnitud asociada a la interacción entre dos cuerpos. Quiere decir que una masa no tiene Ep a menos que esté cerca de otra masa como la tierra, es decir, que un cuerpo, por el simple hecho de moverse tiene asociada una energía cinética, pero no tiene porqué tener energía potencial 3. La expresión de la energía potencial depende del tipo de fuerza conservativa. Como demostraremos más adelante:
BABA
Tierra la a próximos puntosioGravitator Campo
vaConservati.F,BA h mgh mgEpEpW −=−=→
BABA
cualquiera puntos dos entreioGravitator Campo
vaConservati.F,BA r
mMG
r
mMGEpEpW
⋅−−⋅−=−=→
BABA
Eléctrico CampovaConservati.F,BA r
qqK
r
qqKEpEpW
⋅−⋅=−=→
2B
2ABA
resorte elástica FuerzavaConservati.F,BA Kx
2
1Kx
2
1EpEpW −=−=→
4. No tiene ningún sentido hablar de energía potencial en un punto o energía potencial absoluta. De acuerdo con su definición como “el trabajo realizado por la fuerza conservativa para llevar un cuerpo de un punto A hasta otro B …” vemos claramente que solamente puede hablarse de variación de energía potencial entre dos puntos. 5. No obstante, puede definirse energía potencial absoluta asignando valor cero a la energía potencial de un punto cualquiera. La elección del punto cuya Ep=0 es absolutamente arbitraria. Normalmente en el campo gravitatorio y el eléctrico se suele asignar valor cero a la Ep en el infinito (por la razón que ya veremos). En el caso de un resorte se le asigna Ep=0 a la energía que tiene en la posición de equilibrio.
∫ •=−=∆−=→
B
A Conserv.FBAvaConservati.F,BA rdFEpEpEpWrr
Si hacemos 0EpB = Si a la energía potencial del cuerpo en el punto B (o el A) le asignamos, por acuerdo, el valor cero, entonces podríamos hablar de energía potencial absoluta en el punto A (o el B) aunque en realidad sigue siendo una diferencia de energía potencial entre el punto y el otro al que hemos asignado cero. En los problemas de mecánica es corriente asignarle cero a la energía potencial en la superficie de la tierra (aunque sea más riguroso asignar 0Ep =∞ ). Así, la energía potencial de un gato en lo alto de un balcón sería: Ep = mgh como demostraremos más adelante. 6. En un campo de fuerzas conservativas el trabajo que hacemos nosotros para llevar, contra las fuerzas del campo y sin aceleración, un cuerpo desde un punto A hasta otro B no se pierde, sino que queda acumulado en forma de energía potencial. Así podemos decir que “el trabajo que hacemos nosotros para llevar un cuerpo desde un punto A hasta otro B, contra las fuerzas del campo y sin aceleración, es igual a la variación de energía potencial entre esos puntos”
Campo.Conserv.F,BAABnosotros,BA WEpEpEpW →→ −=∆=−=
Es lógico que el trabajo que hacemos (en contra de la fuerza conservativa para llevar el cuerpo sin aceleración desde un punto a otro) sea igual al que hace la fuerza conservativa, pero con distinto signo, ya que para que el cuerpo se mueva sin aceleración la fuerza que debemos hacer debe ser exactamente igual a la conservativa pero en sentido contrario. Así pues, el trabajo realizado por nosotros para deformar el muelle una distancia x queda almacenado en forma de energía potencial elástica. Si soltamos el muelle él volverá a la posición de equilibrio y realizará el mismo trabajo que hicimos para deformarlo. En otras palabras nos devuelve el trabajo que hicimos nosotros para deformarlo. (exactamente igual podríamos decir de la maceta en el balcón.)
Hay que recalcar que los trabajos, aunque sean iguales en valor, son realizados por fuerzas distintas, así como que la fuerza que hacemos nosotros no es conservativa:
• para subir, sin aceleración, la maceta al balcón o comprimir el resorte, nosotros hemos de realizar una fuerza contraria al peso, o contraria a la fuerza recuperadora en el caso del muelle.
• cuando soltamos la maceta, el trabajo lo realiza ahora la fuerza conservativa: la fuerza gravitatoria (el peso), o la fuerza recuperadora en el caso del muelle. Quiere decir que ahora el trabajo que hicimos y estaba acumulado en Ep nos lo devuelve el sistema.
Imagina que para llevar un cuerpo desde un punto A hasta otro B nosotros hacemos un trabajo de 10 Julios (por ejemplo para subir un cuerpo hasta una determinada altura), entonces, si en el punto A tenía una energía potencial x, en el punto B tendrá una energía potencia x+10 :
Recuerda que aunque la fuerza que hacemos nosotros para llevar el cuerpo “sin aceleración” sea igual en módulo a la fuerza conservativa peso, no por eso la fuerza que hacemos es conservativa. (Un Seat Panda puede ir por una carretera a la misma velocidad que un Mercedes y no por eso el Panda es un Mercedes.)
Ejemplo: Demuestra que el trabajo realizado por nosotros, contra las fuerzas del campo y sin aceleración, queda almacenado en forma de energía potencial y es igual al trabajo que nos devuelve la fuerza conservativa. a) Para las fuerzas elásticas de un resorte b) Para el peso en las inmediaciones de la superficie terrestre. Ya hemos dicho que el trabajo para llevar un cuerpo de un punto A hasta otro punto B que hace la fuerza conservativa y el que hacemos nosotros (para llevarlo sin aceleración) son iguales aunque de signo contrario. Eso es evidente ya que la fuerza que debemos hacer nosotros es exactamente igual a la conservativa pero en sentido contrario. Por otro lado, el trabajo que hace cualquier fuerza (sea la que sea) para llevar un cuerpo de un punto A hasta otro B es igual y de signo contrario al que hace para regresarlo desde B hasta A por el mismo camino (o por cualquier otro camino si la fuerza es conservativa). (Es una propiedad de las integrales definidas: si cambiamos los límites de integración el resultado es el mismo cambiado de signo.) De acuerdo con esto y con lo anterior tendremos que Campo.Conserv.F,ABnosotros,BA WW →→ =
a) Caso del resorte: Supongamos un resorte como el de la figura, que sigue la ley de Hooke. Para deformarlo hemos de aplicar una fuerza exactamente igual a la fuerza recuperadora del muelle y de
sentido contrario, es decir que ikxFnosotros
rr⋅= mientras que al soltarlo quien trabaja es la
fuerza recuperadora elástica que vale ikxFresorte
rr⋅−= . Por otro lado como el
desplazamiento es según el eje X, el vector desplazamiento será: idxrdrr
⋅=
( )2A
2B
BA
2B
A
B
A
B
A
nosnos,BA xxk2
1kx
2
1dxkxidxikxrdFW −==⋅=⋅•⋅=•= ∫∫∫→
rrrr
( )2A
2B
AB
2A
B
A
B
A
B
resortresort,AB xxk2
1kx
2
1dxkxidxikxrdFW −=−=⋅−=⋅•⋅−=•= ∫∫∫→
rrrr
Como vemos el trabajo realizado por el niño para cargar la pistola queda guardado en forma de EP y es igual al trabajo que la fuerza elástica del resorte hace para llevarlo de nuevo del punto B al A.
Podría preguntarse ¿porqué si hemos recorrido un ciclo completo el trabajo en el ciclo no es nulo? La respuesta es muy simple, porque los trabajos no están hechos por la misma fuerza, ya que en el primer caso la hacemos nosotros y en el segundo el resorte. b) Caso del campo gravitatorio, en puntos próximos a la superficie terrestre: Por ahora nos limitaremos a demostrar para puntos próximos a la superficie terrestre (donde el valor de g podemos considerarlo constante) el trabajo realizado por nosotros para llevar una masa de un punto A hasta otro B queda acumulado en forma de Ep y es igual al trabajo que el campo gravitatorio hace para llevarlo de nuevo del punto B al A.
Para subir, sin aceleración, el cuerpo desde al punto A al B tenemos que hacer una
fuerza exactamente igual al peso y de sentido contrario, es decir que jmgFnos
rr⋅= ,
mientras que para ir desde el punto B al A es la fuerza del campo gravitatorio (el peso)
la que lo lleva y por tato la que realiza el trabajo jmgFcampo
rr⋅−= . Por otro lado, en este
caso como nos movemos sobre el eje Y, el vector desplazamiento es: jdyrdrr ⋅=
mghmghmghmgydymgjdyjmgrdFW ABBA
B
A
B
A
B
A
nosnos,BA =−==⋅=⋅•⋅=•= ∫∫∫→
rrrr
mghmghmghmgydymgjdyjmgrdFW ABAB
A
B
A
B
A
B
campocampo,AB =−=−=⋅−=⋅•⋅−=•= ∫∫∫→
rrrr
Fíjate que en este ejemplo hemos llevado el cuerpo desde el punto A hasta el B siguiendo la vertical, pero sería igual si hubiésemos seguido otro camino cualquiera:
En efecto, el resultado sería exactamente el mismo. En este caso al movernos en dos
dimensiones el vector desplazamiento sería jdyidxrdrrr ⋅+⋅= . Al realizar el producto
escalar de la fuerza, tanto de la que hacemos nosotros que tiene dirección jr
como de la
que hace el campo, que tiene dirección jr
− por el vector desplazamiento nos quedaría
lo mismo, ya que como sabemos 0=• jirr
porque son vectores perpendiculares y el coseno de 90º es nulo. Ejemplo: Un cuerpo de 20 Kg se encuentra en la base de un plano inclinado 30º sobre la horizontal, sin rozamiento. Un hombre tira de él y lo sube hasta una altura de 1,5 m. a) con qué fuerza debe tirar el hombre para subirlo con velocidad constante b) que trabajo realiza
Ya resolvimos este mismo ejemplo mas arriba por métodos dinámicos, ahora lo resolveremos teniendo en cuenta que el trabajo que hace el hombre para llevar el cuerpo desde el punto A hasta el B es igual a la diferencia de energía potencial. Además si consideramos el nivel cero de energía potencial en el punto mas bajo, el A, entonces:
Julios3005,11020mghEpEpEpW BABnosotros,BA =⋅⋅==−=∆=→
Ejemplo: Calcular la variación de energía potencial que experimenta un cuerpo de 70Kg, cuando lo trasladamos desde el punto A(1,2) hasta otro B(5,10).
J5600)210(1070ymg)jdyidx(jmgrdFWEpB
A
10y2y
B
A
nosotrosnosotros,BA =−⋅⋅=⋅=+•⋅=•==∆ ∫∫==→
rrrrr
Evidentemente, podríamos haber resuelto como AB mghmghEp −=∆
Si tomamos nivel cero de Ep en y=0 tendremos J56002mg10mgmghmghEp AB =−=−=∆
Si tomamos nivel cero de Ep en y=2 (que es el punto más bajo) J56008mgmghmghEp AB ==−=∆ Como puedes ver el resultado es independiente del nivel cero de Ep porque la energía potencial es un escalar y se trata de restar la Ep que hay en dos puntos.
FORMA GENERAL DEL PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DE LA E NERGIA De acuerdo con el teorema del trabajo y la energía cinética, el trabajo realizado por la fuerza resultante de todas las fuerzas (sean conservativas o no) para llevar el cuerpo desde un punto A hasta otro B es igual a la variación de energía cinética entre esos puntos: EcW fuerzas las Todas,BA ∆=→ o bien podríamos escribirlo como:
EcWW
tNoConserva.FBA
vasConservati.Fcampo,BA ∆=+ →→
Por otro lado, como por definición, “el trabajo que hacen las fuerzas conservativas para llevar un cuerpo desde un punto A hasta otro B es igual a menos la variación de energía potencial entre esos puntos”, podemos poner que
EpWvasConservati.F
campo,BA ∆−=→
Así que restando nos queda que
tNoConserva.FBAWEpEc →=∆+∆
o bien que:
BBtNoConserva.F
BAAA EpEcWEpEc +=++ →
Eso quiere decir que la energía mecánica al final puede ser mayor o menor que la inicial. Todo depende del signo del trabajo de las fuerzas no conservativas, es decir del sentido de las fuerzas no conservativas:
• En el caso más frecuente de que se trate de las fuerzas de rozamiento la energía al final siempre será menor que la inicial, puesto que la fuerza de rozamiento tiene sentido contrario al desplazamiento y en consecuencia el trabajo que realiza siempre es negativo (al llevar sentido contrario al desplazamiento el
producto escalar rdFRoz
rr• resulta negativo 1ii −=•−
rr).
BBRozAA EpEcWEpEc +=++
• En el caso de que sobre el cuerpo actúe una fuerza no conservativa en la
dirección del desplazamiento la energía mecánica al final es mayor que la inicial. Es el caso de cuando un coche sube acelerando por una cuesta. El trabajo realizado por el motor del coche es responsable que el arriba tenga más energía que al principio.
BBMotorAA EpEcWEpEc +=++
Si observas bien la expresión
tNoConserva.FBAWEpEc →=∆+∆ verás que arriba de la
cuesta el coche tiene mayor energía tanto si sube con velocidad constante como si aumenta de velocidad mientras sube. Lógico, ya que en ambos casos el motor debe realizar trabajo. Si sube, con velocidad constante, (para que ΣF=0 el motor debe ejercer la fuerza necesaria para compensar a la componente del peso en
dirección de la cuesta) tendremos que el trabajo del motor se invirtió en aumentar la energía potencial del coche
tNoConserva.FBAWEp →=∆ . Si sube,
aumentando de velocidad, tendremos que el trabajo del motor se invirtió en aumentar la energía potencial del coche y en aumentar su energía cinética:
tNoConserva.FBAWEpEc →=∆+∆
Principio de conservación de la energía mecánica Es una particularización del principio general de conservación de la energía, que dice, que si sobre un cuerpo “solamente actúan fuerzas conservativas” entonces se conserva la energía mecánica. Resulta evidente, ya que si todas las fuerzas son conservativas
0WtNoConserva.F
BA =→
0EpEc =∆+∆ o lo que es igual:
constEEpEcEpEc BBAA ==+=+ Nos dice que “Si todas las fuerzas que actúan sobre la partícula son conservativas, la suma de la energía cinética y potencial es igual para cualquier punto”. A la suma de Ec y Ep se le llama energía mecánica. Este teorema que viene a decir que la Ec y Ep pueden variar de unos puntos a otros, pero que su suma (la energía mecánica) permanece constante, dicho de otra forma, como
0EpEc =∆+∆ si aumenta la energía cinética (∆Ec↑) eso implica que disminuya la potencial (∆Ep↓), como ocurre cuando un cuerpo cae en caída libre o desliza por un plano inclinado “sin rozamiento”. Ejemplo: Una niña se tira por un tobogán desde una altura de 2 metros. a) ¿Con qué velocidad llegaría abajo si despreciamos el rozamiento? b) ¿Con qué velocidad llegaría abajo suponiendo que el coeficiente de rozamiento es 0,5.?
a) Teniendo en cuenta que no hay rozamiento y el resto de las fuerzas son conservativas, podemos aplicar el teorema de conservación de la energía mecánica. La energía potencial que la niña tiene arriba se transformará en cinética cuando llegue abajo. Es decir, de acuerdo con la conservación de la energía mecánica 0EpEc =∆+∆ la disminución de energía potencial (∆Ep↓) debe ser exactamente igual al aumento de su energía cinética (∆Ec↑)
BBAA EpEcEpEc +=+ ⇒ 2BB
2AA mv
2
1mghmv
2
1mgh +=+
s/m47,42102h g 2v AA =⋅⋅==
Como vemos, al no haber rozamientos el resultado es el mismo que si la niña cayera en caída libre desde esa altura. Lógico porque al tratarse de fuerzas conservativas el trabajo que realizan al llevar el cuerpo de un punto a otro es independiente del camino seguido. b) Cuando hay rozamiento (que una fuerza no conservativa) ya no se conserva la energía mecánica, pero sí que se conserva la energía total. Como la fuerza de rozamiento es constante, su trabajo podemos obtenerlo como con la expresión particular:
180coss)30cosmg(cossFW Roz
Rozamiento.FtNoConserva.F
BA ⋅⋅µ⋅=α⋅⋅=→
BBtNoConserva.F
BAAA EpEcWEpEc +=++ →
2BA mv
2
1180coss)30cosmg(mgh =⋅⋅µ⋅+
s/m31,2vB =
Como vemos, de acuerdo con la conservación de la energía total
tNoConserva.FBAWEpEc →=∆+∆
la disminución de energía potencial (∆Ep↓) se emplea en parte en aumentar la energía cinética (∆Ec↑) y otra parte se pierde en rozamiento transformándose en calor.
Ejemplo: ¿Con qué velocidad hemos de lanzar una piedra para que llegue hasta una altura h? Vamos a resolver este sencillo ejercicio, con todo cuidado, para reparar en la forma de aplicar el principio de conservación de la energía. Presta atención porque es bastante sutil. 1º Lo habitual es suponer “que ya le hemos comunicado a la piedra la velocidad necesaria, vo” . En este caso la piedra tendría una Ec y comenzaría a subir: El aumento de energía potencial (∆Ep↑) se consigue a costa de disminuir energía cinética (∆Ec↓) Si despreciamos el rozamiento contra el aire se conservaría la energía mecánica porque la única fuerza sobre la piedra es el peso, que es conservativa:
0EpEc =∆+∆ → hhSueloSuelo EpEcEpEc +=+
h g mv m2
1 2o =
de donde h g 2vo =
2. Supongamos ahora que estamos en el instante inmediatamente anterior: “Cuando la piedra aun estaba parada sobre el suelo”. Si no hacemos nada por ella, parada seguiría. Para que la piedra comience a subir debemos comunicarle una energía mediante una fuerza que hacemos nosotros y que NO es conservativa. Por tanto, entre el momento en que la piedra está parada y el que está a una altura h, no se conserva la energía mecánica, aunque sí se conserva la energía total:
tNoConserva.FBAWEpEc →=∆+∆ → hh
tNoConserva.FBASueloSuelo EpEcWEpEc +=++ →
Si el trabajo realizado por la fuerza no conservativa
tNoConserva.FBAW → se lo comunicamos en forma de
energía cinética, tendremos que:
h2
FNCons lapropina le que Epv m
2
1 =
de donde h g 2vFNCons la
propina le que =
Ejemplo: Cuando sobre un muelle helicoidal, situado verticalmente sobre una mesa, colocamos una masa de 1Kg, éste se comprime 2cm. Calcular la deformación que experimentaría el muelle si le dejamos caer la misma masa desde una altura de 1m. Con el primer dato y aplicando la ley de Hooke calcularemos la constante de recuperación del muelle. (teniendo en cuenta que le fuerza que deforma al muelle es el peso de la masa):
kxF = ⇒ m/N50002,0
101
x
mgk =⋅==
Balance de energías: Punto A: toda la energía es potencial gravitatoria (Ec=0 porque está parado y la Epelástica=0 porque el muelle está relajado). Tramo AB: a medida que desciende ∆Epgravitat↓, ∆Ec↑ y ∆Epelástica=0 porque el muelle sigue igual. Punto B: casi toda la energía inicial se ha transformado en Ec pero aun le queda un poco de Epgravitat (mghA = EcB+mghy). Tramo BC: al chocar con el muelle comienza a comprimirlo acumulándose toda la energía que tiene en potencial elástica: ∆Epgravitat↓, ∆Ec↓ y ∆Epelástica↑. Punto C: toda su energía es potencial elástica (Ec=0 porque está parado y la Epgravitat=0 porque ha llegado al nivel cero de Ep gravitatoria.)
Aplicaremos el principio de conservación entre el punto A y C, porque de esta forma toda la energía potencial gravitatoria se transforma en energía potencial elástica: ∆Ec + ∆Epgravitat + ∆Epelástica =0
C,elastC,gravitCA,elastA,gravitA EpEpEcEpEpEc ++=++
2
A ky2
1mgh =
2ky2
1)y1(mg =+ ⇒ m2,0y =
Ejemplo: Un bloque de 3Kg, que parte del reposo, desliza 7,6m hacia abajo por un plano inclinado 20º sobre la horizontal y continua recorriendo 2,75m por un plano horizontal, hasta que choca con un resorte y finalmente se detiene después de comprimirlo 15cm, como se muestra en la figura. Calcular la constante elástica del muelle sabiendo que el coeficiente de rozamiento es 0,2. Si tenemos en cuenta que la energía potencial que el bloque tiene arriba, punto (A), menos la que pierde en rozamientos debe ser igual a la energía potencial elástica del resorte al final (D)
Aplicando la conservación de la energía entre la posición inicial y final tenemos que:
D,elastD,gravitDtNoConserva.F
BAA,elastA,gravitA EpEpEcWEpEpEc ++=+++ →
2A Kx
2
1)180coss mg 180coss 20cosmg (mgh =⋅⋅µ+⋅⋅µ+
[ ] 215,0K2
1)15,075,2(2,01036,72,020cos1036,2103 ⋅=+⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅
m/N 1576K = E2B.S2011 a) Energía potencial asociada a una fuerza conservativa. b) Una partícula se desplaza bajo la acción de una fuerza conservativa. ¿Aumenta o disminuye su energía potencial? ¿Y su energía cinética? Razone las respuestas. a) Teoría b) Cualquier partícula bajo la acción de una fuerza conservativa se mueve espontáneamente hacia donde la energía potencial es menor, ya que por definición
BAvaConservati.F,BA EpEpEpW −=∆−=→ . (Eso precisamente es lo que indica el signo menos)
De acuerdo con el principio de conservación de la energía mecánica, 0EpEc =∆+∆ , la disminución de energía potencial exige que aumente la energía cinética. Es lo que ocurre cuando cae una piedra: La piedra se mueve bajo la acción de la fuerza conservativa peso hacia donde disminuya su energía potencial (EpB<EpA) y al hacerlo aumenta su energía cinética (EcB>EcA) E6B.S2011 a) Conservación de la energía mecánica. b) Se lanza hacia arriba por un plano inclinado un bloque con una velocidad v0. Razone cómo varían su energía cinética, su energía potencial y su energía mecánica cuando el cuerpo sube y, después, baja hasta la posición de partida. Considere los casos: i) que no haya rozamiento; ii) que lo haya. a) Teoría b) Si no hay rozamiento se conservará la energía mecánica, 0EpEc =∆+∆ . Si el bloque sube por el plano aumentará su energía potencial gravitatoria y la conservación de la energía mecánica exige que disminuya en la misma cantidad la energía cinética.
(Ello explica que a medida que asciende el bloque vaya disminuyendo de velocidad hasta pararse, en cuyo momento toda la energía cinética inicial se habrá transformado en potencial) Cuando hay rozamiento ya no se conserva la energía mecánica, aunque sí la energía total,
tNoConserva.FBAWEpEc →=∆+∆ . Ahora la disminución de Ec se invierte en parte en
trabajo contra la fuerza de rozamiento (WF.No.Conserv es negativo) y el resto en aumentar la energía potencial. Naturalmente, como ahora solamente una parte de la energía cinética se emplea en aumentar la energía potencial el bloque subiría hasta una altura menor que cuando no había rozamiento y la totalidad de la Ec se convertía en Ep. E5B.S2011 Un bloque de 200 kg asciende con velocidad constante por un plano inclinado 30º respecto a la horizontal bajo la acción de una fuerza paralela a dicho plano. El coeficiente de rozamiento entre el bloque y el plano es 0,1. a) Dibuje en un esquema las fuerzas que actúan sobre el bloque y explique las transformaciones energéticas que tienen lugar durante su deslizamiento. b) Calcule el valor de la fuerza que produce el desplazamiento del bloque y el aumento de su energía potencial en un desplazamiento de 20 m. g = 10 m s−2 a) Si el bloque asciende con velocidad constante quiere decir, de acuerdo con la 1ª ley de Newton, que la fuerza resultante sobre el bloque es nula. Sobre el bloque hay 4 fuerzas: el peso, la reacción del plano, la fuerza de rozamiento y la fuerza F paralela al plano (que es la que debe compensar a la fuerza de rozamiento y a la componente del peso en dirección del plano para que el bloque se mueva con velocidad constante).
Respecto de un SR con el eje X paralelo al plano, las fuerzas en forma de vector serían:
j1732i1000j30 cosmgi30sem mgPrrrrr
−−=−−=
=Nr
=j30 cosmgr
j1732r
+
i 30 cosmgFRoz
rrµ⋅−= = i2,173
r−
FFrr
= = Fr
––––––––––––––––––––––––––––––––––––––––
i2,1173FFrrr
−=Σ
Como vr
=constante → i2,1173FFrrr
−=Σ = 0 → i2,1173Frr
=
Transformaciones energéticas: Puesto que hay rozamiento no se conserva la energía mecánica, aunque sí la energía total,
tNoConserva.FBAWEpEc →=∆+∆ . Como la velocidad es
constante ∆Ec=0, el aumento de energía potencial se debe íntegramente al trabajo realizado por la fuerzas no conservativas, es decir al trabajo realizado por la fuerza F y al la FRoz. Puesto que el trabajo que hace la FRoz es negativo, la fuerza F debe realizar el trabajo necesario para aumentar la Ep y para compensar el que se pierde en rozamiento.
b) La fuerza F paralela al plano, para que suba con velocidad constante, es i2,1173Frr
= El aumento de energía potencial para un desplazamiento de 20m, o lo que es igual para un ascenso de h=20.sem30=10 m, podemos calcularlo de tres formas: * Aplicando directamente la ecuación de la energía potencial gravitatoria. Tomando nivel cero de energía potencial en el punto más bajo del plano:
J200001010200mghmghEpEpEp ABAB =⋅⋅=−=−=∆ * Aplicando la conservación de la energía:
tNoConserva.FBAWEpEc →=∆+∆ En este caso las
fuerzas no conservativas son la fuerza de rozamiento y la que hacemos paralela al plano: F,BARozamiento.F,BA WWEpEc →→ +=∆+∆
0cossF180cossFEpEc Roz ⋅⋅+⋅⋅=∆+∆
1201732)1(202,173EpEc ⋅⋅+−⋅⋅=∆+∆ = 20000 J
Observa, una vez más, que al utilizar la expresión particular del trabajo para fuerzas constantes, al sustituir el valor de las fuerzas escribimos su módulo, por eso al sustituir la fuerza de rozamiento no se puso el signo menos que tiene en su forma vectorial. * Aplicando la definición de energía potencial: “el trabajo que una fuerza conservativa para llevar un cuerpo desde un punto A hasta otro B es igual a menos la variación de energía potencial entre esos puntos”: EpW vaConservati.F,BA ∆−=→
Teniendo en cuenta que en este caso la fuerza conservativa es el peso: j1732i1000Prrr
−−= y que solamente la componente Px realiza trabajo (porque la componente Py es perpendicular al desplazamiento), tenemos que:
EpW vaConservati.F,BA ∆−=→
Ep180cossPx ∆−=⋅⋅ (La componente x del peso forma 180º con el desplazam.) Ep)1(201000 ∆−=−⋅⋅ → Ep∆ = 20000 J
Por supuesto, también podríamos utilizar para el peso su módulo total, es decir, P=mg, pero en tal caso tendríamos que tener en cuenta que el ángulo que forma el peso con el desplazamiento es de 240º (observa la figura).
Ep240cossP ∆−=⋅⋅ (El peso forma 240º con el desplazamiento) Ep)5,0(202000 ∆−=−⋅⋅ → Ep∆ = 20000 J
Al mismo resultado llegaríamos si calculamos el trabajo que hace el peso aplicando la definición general de trabajo:
EpW vaConservati.F,BA ∆−=→
Ep20000 dx 1000 i dx)j1732i1000(W20x
0x
B
APeso,BA ∆−=−=−=•−−= ∫∫=
=→
rrr
E4A.S2011 Un bloque de 2 kg se encuentra situado en la parte superior de un plano inclinado rugoso de 5 m de altura. Al liberar el bloque, se desliza por el plano inclinado llegando al suelo con una velocidad de 6 m s−1. a) Analice las transformaciones energéticas que tienen lugar durante el deslizamiento y represente gráficamente las fuerzas que actúan sobre el bloque. b) Determine los trabajos realizados por la fuerza gravitatoria y por la fuerza de rozamiento. g = 10 m s−2 a) Transformaciones energéticas: Puesto que hay rozamiento no se conserva la energía mecánica, aunque sí la energía total,
tNoConserva.FBAWEpEc →=∆+∆ . Al descender disminuye la
energía potencial gravitatoria y esa disminución se emplea en aumentar su energía cinética y en trabajo en rozamiento (ten en cuenta que siempre el trabajo que hace la fuerza de rozamiento es
negativo y por tanto en la expresión anterior sería como 0WEpEc Roz.F,BA =+↓∆+↑∆ → )
b) Teniendo en cuenta que
tNoConserva.FBAWEpEc →=∆+∆ y si tomamos nivel cero de energía
potencial en el punto B, por ser el más bajo, podemos poner que:
BBtNoConserva.F
BAAA EpEcWEpEc +=++ →
2B
tNoConserva.FBAA mv
2
1Wmgh =+ → → 2
tNoConserva.FBA 62
2
1W5102 ⋅=+⋅⋅ →
64W
tNoConserva.FBA −=→ J, lógico ya que en este caso la fuerza no conservativa es la de rozamiento y
su trabajo siempre es negativo porque dicha fuerza siempre tiene sentido contrario al desplazamiento, y en consecuencia forman ángulo de 180º.
Seguramente ahora verás con mayor claridad las transformaciones energéticas que tienen lugar, ya que de la ecuación se deduce claramente que la energía inicial (100 J, toda potencial) se ha transformado en cinética (36 J) y en trabajo en rozamiento (−64 J) El trabajo realizado por la fuerza peso es de +100 Julios, ya que la fuerza peso es la única fuerza conservativa y por definición de variación de energía potencial tenemos que
J 100)100(EpWW Peso.F,BAvaConservati.F,BA +=−−=∆−== →→
(ten en cuenta que ∆Ep =EpB – EpA = 0 – 100 = − 100 J) También podríamos calcular el trabajo realizado por la fuerza peso aplicando la definición de trabajo particularizada para fuerzas constantes, y teniendo en cuenta que solamente realiza trabajo la componente del peso que tiene la dirección del desplazamiento, es decir la componente Px = mgsenα.
J 1000cossen
5sen mg0cossPW xPeso,BA +=⋅
α⋅α=⋅⋅=→
Sin embargo calcular el trabajo perdido en rozamiento utilizando la definición de trabajo 180cossFW RozRoz.F,BA ⋅⋅=→ es bastante más laborioso que como lo hemos
resuelto aplicando la conservación de la energía, porque nos obliga a calcular el valor de la FRoz utilizando métodos dinámicos. La fuerza de rozamiento tendríamos que obtenerla aplicando la segunda ley de Newton y las ecuaciones del movimiento rectilíneo y uniforme: a mFsen mg Roz =−α t av =
2t a2
1s = α= sen 8,12FRoz
α
=sen
5s
Ahora ya podemos sustituir y tendremos:
J 64180cossen
5sen 8,12180cossFW RozRoz.F,BA −=⋅
α⋅α=⋅⋅=→
