4.- Campo Gravitatorio

CAMPO GRAVITATORIO

ndice de contenidos:

Introduccin 1 Momento angular 2 Leyes de Kepler 3 Ley de gravitacin Universal 4 Concepto de campo 6

Lneas de Fuerza 6 Campo gravitatorio 7 Campo conservativo 8 Energa potencial gravitatoria 9 Flujo de un campo gravitatorio. Teorema de Gauss 11 Aplicaciones del Teorema de Gauss. 11 Velocidad de escape. 13 Satlites 14

Campo gravitatorio _ 1 de 16

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INTRODUCCIN

La observacin y posteriormente el estudio de los cuerpos celestes atrajo al hombre desde la antigedad. Primero es una necesidad (control de los tiempos para la siembra o la recogida) y luego, controlado esto, se satisface la necesidad de un conocimiento mayor.

De esta forma surgen desde tiempo remotos, teoras que intentan explicar el movimiento de estos cuerpos. As por ejemplo Ptolomeo de Alejandra establece un sistema en el que la Tierra ocupara el centro del Universo y en torno a ella se moveran los dems cuerpos celestes describiendo rbitas cuya forma sera una epicicloide (el planeta describira con movimiento uniforme un crculo, epiciclo, cuyo centro se desplazaba a lo largo de otro crculo de mayor radio que est ocupado en su centro por la Tierra, este ltimo crculo recibe el nombre de deferente.

Estas y otras explicaciones similares fueron aceptadas como vlidas hasta el siglo XVI en que Coprnico (1473 - 1543) consider que todos los planetas, incluida la Tierra, giraban en torno al Sol que estara en el centro de sus rbitas. Las ideas principales de su teora son:

Los movimientos celestes son uniformes, eternos, y circulares o compuestos de diversos ciclos (epiciclos).

El centro del universo se encuentra cerca del Sol. Orbitando el Sol, en orden, se encuentran Mercurio, Venus, la Tierra y la Luna, Marte,

Jpiter, Saturno. Las estrellas son objetos distantes que permanecen fijos y por lo tanto no orbitan

alrededor del Sol. La Tierra tiene tres movimientos: la rotacin diaria, la revolucin anual, y la inclinacin

anual de su eje. El movimiento retrgrado, se refiere a la observacin de

que los otros planetas del Sistema Solar parecen ir hacia atrs en ciertos momentos de su movimiento (esto era lo que solucionaba Ptolomeo introduciendo los epiciclos), de los planetas es explicado por el movimiento de la Tierra.

La distancia de la Tierra al Sol es pequea comparada con la distancia a las estrellas.

Sus propuestas agradaron en principio al papa Clemente VII quin le invit a participar en la reforma del calendario. No obstante chocaron con la

Sistema solar de Coprnico. De revolutionibus orbium coelestium (1566)



incomprensin de muchos contemporneos que se oponan a ellas e incluso las condenaban como herticas. De hecho uno de sus primeros detractores fue Lutero aunque luego tambin la Iglesia Catlica decide incluir su libro en el ndice de obras prohibidas (Acta del Santo Oficio 16 de Febrero de 1616). Tambin algunos cientficos negaban la validez de las teoras copernicanas.

Uno de los astrnomos ms importantes en esa poca, Tycho Brahe (1546 - 1601), se opone firmemente al modelo de Copernico y elabora, usando todas sus propias observaciones, que son las mejores en aquel momento, un modelo

alternativo al de Copernico que sigue respetando la situacin de la Tierra en el centro del Universo.

Galileo (1564 1642), padre del mtodo experimental y uno de los que ms influye en el cambio de mentalidad en la Ciencia, basndose en sus propias observaciones y en las leyes elaboradas por Kepler (que veremos ms adelante) de las que tena noticia porque mantena con l una relacin espistolar, tambin abraza la teora copernicana lo cual le traera serios problemas con la Inquisicin.

Repaso conceptos previos

MOMENTO ANGULAR Se define el momento angular con respecto a O de una partcula de masa m que se mueve a una velocidad como el momento respecto a O del vector momento lineal de esa partcula:

vmrL rrr

=

El momento angular ser un vector perpendicular al plano determinado por el punto O y el vector momento lineal. En general esta magnitud cambiar de direccin mdulo y sentido segn sea el movimiento de la partcula. Sin embargo, si la trayectoria est en un plano la direccin del momento angular permanece constante. En el caso de un movimiento circular el mdulo de L

ser m r v (pues r y v son en este caso perpendiculares) o lo que es lo mismo L = m r

2.

Para estudiar la variacin del momento angular estudiaremos su derivada respecto al tiempo.

dtpd

r + p dtrd

=

dt)p r(d

=

dtLd rrrrrrr

Pero el primer producto ser cero puesto que se multiplican dos vectores que tienen la misma

vmr

rr

Lr



direccin (velocidad y momento lineal). Por otro lado el segundo sumando es el valor del momento de la fuerza que acta sobre la partcula respecto del punto O.

LEYES DE KEPLER

La propuesta de Coprnico cautiva a Kepler ya que explica de una forma mucho ms sencilla que hasta el momento el funcionamiento del Universo. En ella se basa para enunciar las leyes del movimiento planetario.

Usando las observaciones y medidas realizadas por T. Brahe y por l mismo, stas mucho menos importantes ya que su fuerte era el clculo, pues a causa de una enfermedad en la infancia haba perdido mucha vista, Kepler publica sus resultados en 1609, se pueden resumir en tres leyes:

1 Los planetas en su movimiento alrededor del Sol describen rbitas planas, cerradas de forma elptica en uno de cuyos focos est el Sol.

2 El segmento que une el sol y un planeta barre superficies iguales en tiempos iguales (ley de las areas). Definiendo la velocidad areolar como el area barrida por el vector de posicin de un planeta tomando como origen el Sol, esta ley se puede enunciar: "La velocidad areolar de un planeta es constante a lo largo de toda su trayectoria."

3 El cociente entre el cuadrado del periodo de un planeta cualquiera y el cubo del semieje mayor de la elipse descrita por el planeta tiene el mismo valor para todos ellos.

1 ley de Kepler: Los planetas giran en rbitas planas cerradas que recorren siempre en el mismo sentido. La derivada del momento angular del planeta respecto de la posicin del Sol ser:

dtvmrd

dtLd )( rrr

=

recordemos que la derivada de un producto es derivada del primer factor por el segundo sin derivar ms el primero por la derivada del segundo.

Framrvmvdt

vmdrvm

dtrd

dtLd rrrrrrrrrrr

=+=+=)(

Pero como podemos observar el primer producto vectorial es cero puesto que los dos vectores tienen la misma direccin y el mismo sentido (sen 0 = 0) y en el segundo los dos vectores tienen sentidos opuestos (sen 180 = 0). Esto significa que el momento angular es constante. Lo es su mdulo, su direccin y su sentido.

Al ser constante la direccin se deduce que vmr

y la posicin del Sol estarn siempre en el mismo

vmr

rr

Fr

F

Lr

F



plano y que el sentido de giro del planeta ser siempre el mismo (en caso contrario se dara un cambio en el sentido de la direccin del momento angular.

2 ley de Kepler (ley de las reas) El vector de posicin del planeta, tomando como origen la estrella, barre reas iguales en tiempos iguales Tambin aqu el valor constante del momento angular del planeta respecto de la posicin de la estrella puede explicarla. Ahora es el valor constante de su mdulo el que nos lo va a explicar:

dtdA

mdtdl

mrL 2 ==

Como el momento angular y la masa son constantes la velocidad areolar tambin lo ser.

3 ley de Kepler si dos planetas/satlites giran en torno a una estrella/planeta lo hacen de forma que la relacin entre el cuadrado del periodo de cada uno de ellos y el cubo del radio es constante. Se demostrar a partir de la Ley de Gravitacin Universal de Newton.

32

22

31

21

RT

RT

=

LEY DE GRAVITACION UNIVERSAL

Basndose en las leyes de la Dinmica y en las leyes de Kepler planteadas anteriormente, Newton deduce (a consecuencia de una apuesta) la ley de gravitacin universal. Para simplificar el clculo, suponemos que el planeta gira en una rbita circular de radio R. El

planeta estar sometido a una aceleracin:

RT

4 = R =

Rv

= a 2

22

2

n

pi

Segn lo expuesto anteriormente en la 2 Ley de Kepler (velocidad areolar constante) su velocidad lineal (v) ser constante y tambin su velocidad angular ().

Aplicando la 2 ley de Newton la fuerza a que estar sometido el planeta ser:

RT

4m = am = F 2

2

n

pi

dl

r

dA

12Fr

21Fr



Multipliacando y dividiendo por R2: 32

RRT

4m = F 2

2pi

Teniendo en cuenta la tercera ley de Kepler: (T2 / R3) constante:

1KR4

m = F 22pi

Segn el principio de accin y reaccin el planeta ejercer sobre el Sol una fuerza de igual mdulo, direccin y sentido contrario:

KR

4 M= F 22

2pi

Como ambas fuerzas son iguales: MK2 = mK1 es decir: K2/m = K1/M = K. Sustituyendo en la ecuacin de la fuerza:

R

mMMK4

= F 2

2

1pi

Los primeros factores de la frmula de la fuerza son constantes con lo que se puede poner:

RMmG = F 2

Siendo G la Constante de Gravitacin Universal cuyo valor es 6,6710-11 N m2 s-2.

"La fuerza de atraccin entre dos cuerpos materiales, con masas M y m, es directamente proporcional al cuadrado de la distancia entre sus centros".

El valor de G fue determinado experimentalmente por H. Cavendish utilizando la balanza de torsin. Permite calcular la fuerza gravitatoria entre las bolas

pequeas y las grandes de la figura a partir del ngulo medido de torsin del hilo metlico del que cuelgan.

El ngulo de torsin se mide utilizando un espejo que refleja un rayo luminoso que llega a l. Midiendo el ngulo que forman el rayo incidente y el reflejado se calcula el ngulo de torsin.

Tambin se conoce la constante de torsin (k) del hilo as como el valor de las masas que interaccionan y la distancia entre sus centros (r). El momento del par que se genera (fuerzas de atraccin gravitatoria por la longitud de la barra (de masa despreciable) que une las esferas pequeas es igual al producto de la constante de torsin por el ngulo. Conocidos todos los valores menos G, se puede calcular ste.



G ser numricamente igual a la fuerza con que se atraen dos masas de 1 kg separadas una distancia de 1 metro. Las unidades son Nm2kg-2

Una vez calculado el valor de G y conociendo el peso de un cuerpo cualquiera se puede determinar el valor de la masa de la Tierra.

Tambin se puede determinar la masa del Sol o de cualquier planeta.

CONCEPTO DE CAMPO. LINEAS DE FUERZA. onc

Si en todos los puntos de una regin del espacio, una magnitud fsica, escalar o vectorial, toma valores que dependen de las coordenadas y del tiempo, se dice que esa regin del espacio es un campo.

Si la magnitud fsica es un escalar se llama campo escalar y si la magnitud fsica es un vector se trata de un campo vectorial.

Para representar un campo escalar se usan lneas que unen todos los puntos en los que la magnitud escalar toma un valor constante (lneas o superficies isoescalares o equiescalares).

Las lineas isoescalares no se cortarn nunca pues en cada punto del campo el escalar solamente toma un valor.

Otro ejemplo de lineas isoescalares seran las isbaras de un mapa meteorolgico (estas lneas unen puntos de igual presin).

Cuando se trata de representar un campo vectorial, siendo Fr

la magnitud vectorial definida en el campo se dibujan las lneas de campo. Se definen stas como aquellas lneas que en cada

punto del campo son tangentes al vector Fr

en ese punto. El mdulo de Fr

viene dado por el nmero de lneas de campo que en cada lugar atraviesa la unidad de superficie. As en A el

mdulo de Fr

es 4 mientras que en B es solamente 3. Las superficies en A y B son superficies unitarias.

Tampoco las lneas de campo se cortan pues en cada punto la direccin de Fr

es nica.

Cuando la magnitud Fr

es una fuerza se dice que el campo vectorial es un campo de fuerzas y las lneas de campo se llaman lneas de fuerza.

T1 T2

T3

Fr

A B



Si de un punto de un campo salen ms lneas de campo que las que entran en l se dice que ese punto es un manantial de lneas de campo (I), en caso contrario se habla de un sumidero de lneas de campo (II).

CAMPOS DE FUERZAS. Son lugares del espacio donde al colocar un punto material, que posee una magnitud fsica determinada (masa, carga,...) aparece una fuerza sobre l. Esta fuerza depende de las coordenadas de cada punto y de la magnitud activa (puede ser la masa en un campo gravitatorio, la carga en un campo elctrico) La partcula que crea el campo posee tambin esa magnitud activa.

La fuerza que en un punto determinado acta sobre un punto material de magnitud activa (a) viene dada por: EaF =

E es el vector intensidad de campo. Se define como la fuerza que actua en un punto del campo sobre la partcula de magnitud activa (a=1) unidad cuando se situa en ese punto del campo.

En estos campos las lneas de campo son lneas de fuerza tangentes en cada punto al vector E .

CAMPO GRAVITATORIO.

Para describir la interaccin a distancia entre dos cuerpos recurriremos al concepto anterior de campo de fuerzas. Ahora la magnitud activa que crea el campo es la masa.

Sea una masa m la que crea el campo de fuerzas. Hemos visto antes (Ley de Gravitacin Universal) que toda masa m' situada en el campo experimenta una fuerza de atraccin hacia m:

u dmmG = f r2 r

r

Donde rur

es un vector unitario cuya direccin es la lnea que une los centros de masas de

m y m' y sentido de m a m'. Si en un punto del espacio existe una masa m crea un campo gravitatorio y en cada uno

de sus puntos se define el vector intensidad de campo de direccin la recta que une el punto con m, sentido hacia m y mdulo el de la fuerza que se ejercera en ese punto sobre una masa m' unidad:

fr rur

m m



u dmG =

m

f = g r2

r

rr

Esto significa que una masa m' colocada en un punto del campo experimenta una fuerza

sobre ella: gmf rr = La trayectoria que seguira cualquier masa m' situada en el campo converge en la masa m

por lo que esta masa sera un sumidero de lneas de fuerza. La direccin del vector

intensidad de campo ( gr ) ser tangente en todos los puntos de las lneas de fuerza.

Principio de superposicin: Cuando dos o mas masas crean un campo, la intensidad del campo en cualquier punto es la intensidad de campo gravitatorio en un punto es la suma vectorial de cada una de las intensidades de campo debidas a la presencia de las cargas respectivas.

CAMPOS CONSERVATIVOS.

Se pueden definir como tales aquellos campos vectoriales en los que el trabajo realizado por las fuerzas del campo para llevar una partcula de un punto a otro solamente depende de la posicin inicial y final de la partcula y no del camino recorrido. Este trabajo realizado por las fuerzas del campo coincide con la disminucin de la energa potencial y tambin con el aumento de la energa

cintica.

Sea un campo de fuerzas conservativo. El trabajo realizado para llevar una partcula desde el origen hasta un punto

(x,y,z) se puede definir como: rd F = WB

ABA

rr

El trabajo realizado por las fuerzas del campo para llevar a la partcula desde O hasta P ser igual a la disminucin de la energa potencial de la misma.

E E = rd F = W ppB

ABA BA

rr

Pero la disminucin de la energa potencial implica un incremento de la energa cintica, es decir, el trabajo realizado por las fuerzas del campo tambin se puede considerar igual a la diferencia entre la energa cintica final menos la energa cintica inicial.

E E = rd F = W CCB

ABA AB

rr

Como el trabajo realizado es el mismo se deduce que la suma de energa cintica y potencial, la energa mecnica del sistema permanece constante en un campo conservativo. Son campos conservativos todos los campos de fuerzas centrales, es decir todos aquellos en los que las direcciones de las fuerzas del campo pasan por el mismo punto. Ejemplo: Las fuerzas que

1gr

2gr

3gr

gr

m2

m1

m3

A B

I

II



provocan el MAS, los campos gravitatorios, los campos electrostticos

ENERGIA POTENCIAL GRAVITATORIA.

Supongamos una masa m' que se mueve en el seno de un campo gravitatorio creado por una masa m. La trayectoria que sigue m' es la lnea entre 1 y 2. La nica fuerza que actua sobre m' est dirigida siempre hacia el mismo punto (es una fuerza central) por tanto la trayectoria que siga m' estar en un plano (por ejemplo el del papel). Para llevar m' de 1 a 2 acta la fuerza ejercida por el campo f. La circulacin entre 1 y 2 ser:

E - E =x

mmG x

mmG = dx x

mmG = rd f = W pp12

2

2

1

2

121 21

rr

De donde se deduce que la energa potencial gravitatoria de una masa m' en un punto que dista x de la masa que crea el campo ser:

x

mmG = E p

Se sabe que el trabajo realizado sobre m' es tambin igual al incremento de energa cintica:

x

mmG x

mmG = 2vm

2vm

= W12

21

22

21

Por tanto la suma de energa cintica y potencial correspondiente a cada posicin ser:

x

mm G

2vm

=

x

mmG 2vm

1

21

2

22

Esto significa que, siempre que no acten fuerzas externas, la energa mecnica del sistema permanece constante. (Teorema de conservacin de la energa).

ENERGA POTENCIAL EN LAS CERCANAS DE LA SUPERFICIE TERRESTRE En el caso particular de que un cuerpo de masa m se encuentre en el campo gravitatorio creado por la Tierra podemos poner que la energa potencial de dicho cuerpo que se encuentra a una determinada altura (h) sobre la superficie terrestre ser:

hRMmG

r

MmGEp +==

Supongamos que esa partcula se mueve (por la accin del peso) desde una altura h (a una distancia R del centro de la Tierra) hasta su superficie. El trabajo realizado por esta fuerza supone una variacin en la energa potencial del sistema:

+=

+==

hRRGmM

RGmM

hRGmMEEE phpp

11)0()(

Operando se llega a que:

o

o

1

2 m

m

Fr

X Y



mgh

Rh

hm

RGMEp =

+=

12

Puesto que h



FLUJO DE UN VECTOR A TRAVES DE UNA SUPERFICIE

En primer lugar se debe recordar que una superficie se puede representar por un vector de direccin perpendicular a ella y cuyo sentido depende del sentido de recorrido que se asigne al permetro de la misma.

Supongamos ahora la superficie de la figura situada en el interior de un campo, se define como flujo del campo a travs de la superficie:

SdF = Srr

pero cos dSFSd F =rr

y dado que dScos sera el mdulo de la

superficie elemental perpendicular al vector a (dS') resulta: 'cos dS F = dS F = Sd F = SSS

rr

Si la superficie fuese cerrada: Sd F = Srr

Se considera como positivo el flujo cuando las lneas de campo salen hacia afuera de la superficie (recurdese el signo del producto escalar).

FLUJO DE UN CAMPO GRAVITATORIO. TEOREMA DE GAUSS.

Primer caso: masa m puntual y superficie esfrica centrada en ella

Calcularemos el flujo a travs de dicha superficie: Sd g = Srr

El vector gr en cualquier punto de la superficie ser perpendicular a

ella (igual direccin que Sdr

) y su sentido de fuera hacia la masa m que crea el campo (contrario a Sd

r). El mdulo de gr ser igual en

todos los puntos de la superficie pues todos distan r de m. Por todo ello:

mG 4 = r 4 r

mG =

r 4 g = dS g = dS g =

22

2SS

pipi

pi

Segundo caso: una masa puntual m encerrada en una superficie cualquiera S. Dado que el flujo es igual al nmero de lneas de fuerza que atraviesan dicha superficie, este nmero ser el mismo que el de las lneas de fuerza que atraviesan la superficie esfrica S'

centrada en m. Por esta razn tambin aqu: = - 4Gm

Fr

Fr

Sdr

'Sdr

gr

gr

Sdr

Sdr



Tercer caso: en el interior de una superficie estn las masas m1 y m2. Segn el principio de superposicin, en un punto de la

superficie: 21 gggrrr

+=

Por lo que el flujo a travs de un elemento de superficie ds ser: 2121 +=+ ddSdgSdg

rrrr

El flujo total a travs de toda la superficie: mG 4 - = ) mG 4 - ( + mG 4 - = + = interior2121 pipipi

Que es la expresin matemtica del teorema de Gauss para un campo gravitatorio (minterior - masa total en el interior de la superficie).

Cuarto caso: Supongamos una superficie que no contiene ninguna masa en su interior. Todas las lneas de campo que entran en S salen de ella. Teniendo en cuenta que el flujo entrante es negativo y el saliente positivo: 0 = + saleentra

Tambin aqu se cumple el teorema de Gauss pues mint = 0.

APLICACIONES DEL TEOREMA DE GAUSS.

1. Clculo de un campo creado por una esfera homognea de radio R y masa M. a) En el exterior de la esfera, a una distancia r de su

centro.

Tomemos la superficie esfrica S, centrada en el mismo centro de la masa M y con radio r. Calculamos el flujo del campo a travs de S. Segn la definicin de flujo:

r 4 g = dS g = dS g = dS g = 2SSS pir

Y segn el teorema de Gauss: mG 4 = interiorpi Como el flujo es el mismo:

r

MG = g M 4G = r 4 g 22 pipi

La intensidad de campo en cualquier punto exterior a la masa es la misma que la que correspondera a la creada por una masa puntual en el centro de la esfera.

r R

grS



b) En el interior de la esfera.

Al igual que antes:

r

mG = g m 4G =

r 4 g = dS g = dS g = dS g =

2interior

interior

2SSS

:pi

pi

r

Pero si la esfera es homogenea y su densidad es :

Rr MG = g

RR

r

r 34

G = g

r 34

= m

33

3

2

3

3interior

pi

pi

Esto puede aplicarse al clculo de la intensidad del campo gravitatorio terrestre si se considerarse a la Tierra una esfera homognea.

VELOCIDAD DE ESCAPE

Es la mnima velocidad que debe tener un cuerpo para salir de un campo gravitatorio.

Para el caso del campo gravitatorio terrestre, la energa potencial fuera del campo es cero, en la superficie terrestre tiene el siguiente valor:

Tp R

GMmE =

Para que el cuerpo escape del campo gravitatorio debe tener una cierta velocidad y su energa cintica:

2

2mvEc =

Si simplemente se busca que el cuerpo pueda abandonar el campo gravitatorio, fuera de l puede permanecer en reposo y su energa total ser 0 porque fuera del campo tambin la energa potencial vale cero.

grSdr

R

r

gr

r RT

9,8



02

2

=+ mv

RGMm

T

Simplificando y despejando v (velocidad de escape):

TRGM

v2

=

Teniendo en cuenta los valores de G, M y RT, la velocidad de escape es 11,2 km/s.

SATLITES

Un satlite, artificial o no, est girando en torno al planeta con una velocidad suficiente para no caer y adems tiene una cierta energa potencial por encontrarse a una distancia del planeta que crea el campo gravitatorio.

En primer lugar su energa potencial ser: r

MmGEP = y su energa cintica: 2

2mvEC = .

Adems no debe caerse con lo que la fuerza de atraccin gravitatoria 2r

MmGF = que es la nica

que acta sobre l ser la fuerza centrpeta que lo hace girar r

mvamF c

2

== como se trata del

mismo valor se deduce que r

v

r

MG2

= y la energa cintica puede ponerse como:

r

MmGEc 21

= y la energa mecnica del sistema ser la suma de energa potencial y cintica

con lo que se deduce que su valor ser:

r

MmGEEE cpm 21

=+=

Deducimos que si el satlite permanece en rbita, como su energa total es negativa permanece ligado al campo gravitatorio.

Si lo que se pretende es poner el satlite en rbita desde la superficie del planeta tendremos en cuenta que ah tiene energa potencial al encontrarse a una distancia del centro del mismo RT. Adems tendr que ser lanzado a una cierta velocidad desde la superficie. Esto implica que, al ser el campo gravitatorio un campo conservativo se conserva la energa mecnica y se cumple:

r

MmGR

MmGmvEEET

pcm 21

2

20

00 ==+=

Despejando podemos deducir la velocidad con que sale de la Tierra para ponerse en una rbita determinada de radio r (a una altura h = r RT):



=

=

T

T

T RrRrGM

rRGMv

212

Si la velocidad de lanzamiento fuese inferior el satlite volvera al suelo tras describir una parbola, si es igual permanece en rbita, como se ha calculado, si es mayor la rbita sera una parbola (Em = 0) o una hiprbola (Em > 0), en ambos casos se va del campo gravitatorio. (Recordar que si no se fuera, su energa total sera negativa).

La sonda espacial Voyager (derecha) ha abandonado el campo gravitatorio terrestre mientras que el Telescopio Hubble (izquierda) orbita la Tierra a una distancia de su superficie de 593 km y un periodo de algo ms de 96 minutos

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