Licenciatura en Economía

Licenciatura en Administración y Dirección de Empresas

Universitat de València

MATEMÁTICA ECONÓMICO-EMPRESARIAL

COLECCIÓN DE PROBLEMAS

CURSO 06-07

TEMA 1 - NOCIONES BÁSICAS DEL ÁLGEBRA LINEAL

1.1.- Calcula:

(a)

2 −1 0 74 3 2 51 2 1 −3

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟

+1 1 0 −3

−6 5 3 40 −1 2 9

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ (b)5.⎟

1 7−2 40 5

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟

− 30 14 −12 3

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟

(c)3 −1 02 4 5

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ − 4.

1 2 40 −3 2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ (d) 2.

3 2 −11 −1 1

−1 0 2

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟

+1 −1 32 −1 4

−1 −1 5

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟

1.2.- Calcula:

(a)

1 −12 43 0

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟ .

3 −1 01 5 2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ (b) ⎟

2 0−3 2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ .

4 −11 1

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟

(c) 4 −11 1

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ .

2 0−3 2

⎛

⎝ ⎜

⎞

⎠ ⎟ (d)

1 12 −45 2

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟ .

2−14

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟

(e)

1 −2 03 1 −1

−1 4 1

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟ .

5 2 2−2 1 113 −2 7

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟

(f)

5 2 2−2 1 113 −2 7

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟ .

1 −2 03 1 −1

−1 4 1

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟

1.3.- Calcula:

(a)

1 2 05 1 11 3 0

(b)

1 1 1−1 0 11 2 0

(c) 1 62 7

(d)

1 1 0 12 −1 2 01 −2 0 11 1 3 0

(e)

−2 0 0 0 00 1 0 0 00 0 −3 0 00 0 0 2 00 0 0 0 1

1.4.- Calcula el rango de las siguientes matrices:

(a)

2 −1 1 01 0 3 53 1 4 −1

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟ (b)

2 3 44 6 86 9 128 12 16

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟

(c)

1 −1 03 2 15 0 5

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ (d) ⎟

1 1 1 0 02 1 0 1 31 0 −1 1 30 0 1 2 4

⎛

⎝

⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜

⎞

⎠

⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟

1.5.- Hallar la inversa de las siguientes matrices:

(a) (b) (c) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−1121

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

232321011

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−122110342

1.6.- Resuelve:

(a)

6x − 2y −2z = 82x + 2y + z = 3x + 2y + 2z = −1

⎫ ⎬ ⎪

⎭ ⎪

(b)

2x + y − z =1x + y + z = 2x + 2y + 4z = 3

⎫ ⎬ ⎪

⎭ ⎪

(c) 2x + y − z =1x + y + z = 2

⎫ ⎬ ⎭

(d)

2x + y = 4x −2y = 03x + y = 5

⎫ ⎬ ⎪

⎭ ⎪

(e)

x − y + z =12x + y − z = 2x − 2y = −1

4x + y + 3z = 8

⎫

⎬ ⎪ ⎪

⎭ ⎪ ⎪

(f)

x + y + 2z = 22x + y − z =1

−x + 2y + z = −5

⎫ ⎬ ⎪

⎭ ⎪

1.7.- Las funciones de oferta y demanda de un modelo de mercado con dos mercancías son las

siguientes:

PQPQ

12S

11S24

3+−=

+−=

PPQPPQ

212d

211d212

28−+=

+−=

Se pide calcular los precios de equilibrio y las cantidades de equilibrio . P~P~ 21, Q~Q~ 21,

1.8.- Las funciones de oferta y demanda de un modelo de mercado con tres mercancías son las

siguientes:

PPQPPQ

PPQ

313S

322S

311S

2425

24

+−=

−+−=

+−=

PPPQP2PQ

PPQ

3213d

312d

211d

32422

38

+++−=

−+=

+−=

Se pide calcular los precios de equilibrio y las cantidades de equilibrio . P~P~P~ 321 ,, Q~Q~Q~ 321 ,,

TEMA 2 - LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES

2.1.- Pon un ejemplo de una función de cada uno de los tipos siguientes:

(a) Función real de variable real

(b) Función real de 4 variables reales

(c) Función vectorial f: D⊆R3→ R2

(d) Función real de 4 variables reales y con tres dominios de definición

(e) Función real de 3 variables reales que sea lineal

(f) Función real de 3 variables reales que sea un polinomio no lineal

(g) Función real de 3 variables reales que no sea un polinomio

2.2.- Di cuáles de estas funciones son lineales, polinomios no lineales o ninguna de las dos cosas:

(a) f(x,y) = 3 (b) f(x,y) = x y1/2 (c) f(u,v,w) = u + v – w5 (d) p(x,y) = 4xy

(e) f(t) = t4 (f) f(t) = 1/t (g) f(p,q,r) = 122 ++

+rqqp

(h) s(u,v,w) = v

(i) T(u,v) = (u2, 2uv) (j) C(C0,i,t) = C0eit (k) f(x,y) = y 2x

2.3.- Calcula el dominio de las funciones siguientes y represéntalos gráficamente cuando sea

posible:

(a) F(x) = )3)(2(

1+−

+xx

x (b) F(x) = x

x+

+−2

1 (c) F(x,y) = yx

x−2

(d) F(x,y) = 22 2 yxyx ++ (e) F(x,y) = 43 2 2 yxyx −−+

(f) F(x,y,z) = (xy+z , ln(x+y+z)) (g) F(x,y) = ⎪⎩

⎪⎨

⎧

=

≠+

)0,0(),(0

)0,0(),(22

2

yx

yxyx

yx

(h) F(x,y) =⎪⎩

⎪⎨⎧

<≥+

yxxyyxyx 32 3 (i) F(x,y) = )),1ln(,( yexyx −+

2.4.- Calcula, si existen, los siguientes límites

(a) (b) yxyx

elim +−

→

2)2(3)0,2(),(4 ),,( 32

)0,2(),(xyxxy

xylim

yx++

→

2.5.- Dada la función:

f(x,y) = ⎪⎩

⎪⎨⎧

<≥

2

2

1 0

yxsiyxsi

Calcula, si existen, los siguientes límites:

(a) (b) (c) ),()0,0(),(

yxflimyx →

),()2,1(),(

yxflimyx →

),()1,2(),(

yxflimyx →

2.6.- Dada la función:

f(x,y) = ⎪⎩

⎪⎨⎧

≥

<+

++

0 4

0 2

4

xsi

xsix

yx

Calcula, si existen, los siguientes límites:

(a) (b) (c) ),()0,0(),(

yxflimyx →

),()4,0(),(

yxflimyx →

),()1,5.0(),(

yxflimyx −→

2.7.- Dada la función:

f(x,y) = ⎪⎩

⎪⎨⎧

=

≠++

+

(0,0)y)x,(

(0,0)y)x,( 2

122

sip

siyx

y

Estudia, en función de los valores de p∈R, si existen los siguientes límites:

(a) (b) ),()0,0(),(

yxflimyx →

),()2,1(),(

yxflimyx →

2.8.- Dada la función:

f(x,y) =

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

<π=>π

2

2

2

x y)cos(x yx y)sen(

siyxsipsixy

Estudia, en función de los valores de p∈R, si existen los siguientes límites:

(a) (b) ),()0,0(),(

yxflimyx →

),()1,1(),(

yxflimyx →

2.9.- Dadas las funciones:

f(x.y)= g(x,y) = 23 32 ++ yx⎩⎨⎧

≠+=−

yxsiyxyxsiyx

Calcula, si existen, los siguientes límites:

(a) (b) (c) ),)(()0,0(),(

yxgflimyx

+→

),)(()0,0(),(

yxfglimyx →

),)(3()0,0(),(

yxflimyx →

(d) ),)(()0,1(),(

yxgflim

yx → (e) ),)((

)1,1(),(yxgflim

yx+

→

2.10.- Dada la función:

f(x,y) = ⎪⎩

⎪⎨⎧

≥

<+

++

0 4

0 2

4

xsi

xsix

yx

Estudia si es continua en los puntos (0,0), (0,4) y (-0.5,1).

2.11.- Estudia la continuidad de las siguientes funciones:

(a) f(x,y) = 22

3

yx

xy

+ (b) f(x,y) = yx

xy

e − (c) f(x,y) = )ln()*sen( 22 yxyxxy +++

(d) f(x,y) = (e) f(x,y) = ⎪⎩

⎪⎨⎧

=+≠+

1 21

2

22

xsixyxsiyx

⎪⎩

⎪⎨⎧

<−≥

y 12 2

xsixyxsiy

(f) f(x,y) = (g) f(x,y) = ⎩⎨⎧

=≠

0 00 1

xysixysi

⎩⎨⎧

=≠

0 00

xysixysixy

(h) f(x,y) =

⎪⎪⎩

⎪⎪

⎨

⎧

≤>+≤≤>≤>>+

0,0 10,0 0,0 30,0 3 22

yxsiyyxsixyyxsiyxsiyx

2.12.- Dada la función f:D⊆R2→R tal que =4 ¿Se puede afirmar que f(x,y) es

continua en (1,2)?

),()2,1(),(

yxflimyx →

2.13.- Dada la función f:D⊆R2→R tal que ),(),()1,1(),()1,1(),(

yxflimyxflimyxyx

yxyx

<→

>→

= =f(1,1)=4 ¿Se puede

afirmar que f(x,y) es continua en (1,1)?

2.14.- Supongamos que f:D⊆R2→R2, donde { }3/),( 2 >ℜ∈= xyxD . Explica por qué las

afirmaciones siguientes son imposibles:

a) f(4,3) = 2 b) f(3,4) = (1,4) c) 4),(lim)5,3(),(

=→

yxfyx

d) )1,1(),(lim)0,0(),(

=→

yxfyx

TEMA 3 - DERIVABILIDAD DE FUNCIONES

3.1.- Calcula las derivadas parciales de primer orden de las funciones siguientes:

(h) f(x,y,z) = x3y + 2xz2 – 3xyz

(i) f(x,y,z) =sen(xy2z)

(j) f(x,y) =ycosx

(k) f(x,y) = 2

3

yx4xy2x

+

−

(l) f(x,y) =ex+1-e2-y

(m) f(x,y,z) = )1zln(

)2xcos(ey

−+

(n) f(x,y) = sen8(x2+y3)

(o) f(x,y) = sen(x+2y2)8

(p) f(x,y) = ln3(x/y)

3.2.- Calcula el vector gradiente de las funciones siguientes:

(a) f(x,y) = sen(3x2-y).

(b) f(x,y,z) = 32

21

)yz(x − , en el punto (9,4,2).

(c) f(x,y,z)= 3

32

xzy3x2 − , en el punto (2,0,1).

3.3.- Dada la función:

f (x,y) =xy

x2 + y2 si (x,y) ≠ (0,0)

0 si (x,y) = (0,0)

⎧ ⎨ ⎪

⎩ ⎪

(a) Calcula las derivadas parciales de f(x,y) en cualquier punto distinto del (0,0)

(b) Calcula las derivadas parciales de f(x,y) en (1,1)

3.4.- Dada la función:

⎪⎩

⎪⎨⎧

≤>+=

3 xsix3x siyx)y,x(f 2

2

(a) Estudia la continuidad en (3,1)

(b) Halla las derivadas parciales de primer orden en (2,0)

(c) Halla las derivadas parciales de primer orden en (4,3)

3.5.- Calcula la matriz jacobiana de las funciones siguientes:

(a) f(x,y) = (x-y)3.

(b) f(x,y) = ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + x

yey,x 2 en el punto (2,0).

(c) f(x) = ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ x

xx cos,1,2

5

(d) f(x,y)= ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ x

xx cos,1,2

5

3.6.- Calcula la matriz hessiana de las funciones:

(a) (x,y) = sen(3x2-y)

(b) f(x,y,z) = 32

21

)yz(x − , en el punto (9,4,2)

(c) f(x,y,z)= 3

32

xzy3x2 − , en el punto (2,0,1)

3.7.- Sabiendo que el vector gradiente de una función real de dos variables reales, f(x, y), es

( )52223 y6yx15x3 , xy10xy6)y,x(f −++=∇ , calcula la matriz hessiana de f(x,y).

3.8.- ¿Existe una función f tal que ( )xy6yx4 , 2x3xy3)y,x(f 243 −−+=∇ ?

3.9.- Dada la función de producción del tipo Cobb-Douglas Y=F(K,L)=AKαL1-α, A>0, 0<α<1 donde Y

es la producción, L es el input trabajo y K es el input capital, calcula la productividad marginal del

trabajo y del capital. Determina su signo e interprétela económicamente sabiendo que K>0, L>0.

3.10.- La función de beneficios de una empresa depende del precio de venta de su producto (p0) y

de los precios a los que adquiere sus dos inputs (p1 y p2): 2

21

0210 64),,(

ppp

pppB =4

. Calcula el

signo de las tres derivadas parciales e interprétalas económicamente.

3.11.- La función de demanda de un bien relaciona la cantidad demandada de ese bien (x) en

unidades físicas, la renta per cápita del país (Y) en €, el precio de ese bien (p0) en €, y el precio del

resto de bienes (p) en €: 20

0 3),,(

ppYppYx =

2

. Calcular el signo de las derivadas parciales, sus

unidades de medida e interprétalas económicamente.

3.12.- Indica el signo y las unidades de medida que tendrán en condiciones normales las derivadas

siguientes:

(a) El salario de un trabajador respecto del tiempo

(b) La demanda de un artículo respecto de su precio

(c) El volumen de ventas de una empresa respecto de su inversión en publicidad

(d) El ahorro medio de los habitantes de un país respecto del índice de precios

(e) El precio del petróleo respecto de la cantidad ofertada de petróleo

3.13.- Sea U(x) la función de utilidad de un consumidor, donde x es la cantidad consumida de un

bien.

(a) Explica la diferencia de interpretación entre 10dx

dU y

1000dxdU

(b) ¿Cuál es el signo que cabría esperar en estas dos derivadas?

(c) ¿Cuál de las dos es de esperar que sea mayor?

(d) ¿Cuál es el signo que cabría esperar para 10

2

2

dxUd

?

(e) Si U(10)=3’65 y 10dx

dU= 0’22, calcula aproximadamente U(10’5).

3.14.- Escribe la definición de derivada parcial para una función de n variables (x1, …, xn) respecto

de xi. Escribe la definición de derivada parcial de una función de 3 variables (x,y,z) respecto de z.

Escribe la definición de derivada parcial de una función de 3 variables (x,y,z) respecto de z en el

punto (a,b,c).

3.15.- Sea una función derivable en un punto (a,b). Escribe la expresión de la

matriz Jacobiana Jf(a,b) y la de la matriz hessiana Hf

42: ℜ→ℜf

1(a,b) (asegúrate de que el punto (a,b) aparece

donde corresponda en la expresión).

TEMA 4 - DIFERENCIABILIDAD DE FUNCIONES

4.1.- Estudia la diferenciabilidad de las funciones siguientes y calcula su diferencial:

(a) f(x,y,z) = x3y + 2xz2 – 3xyz

(b) f(x,y,z) =sen(xy2z)

(c) f(x,y) =ycosx

(d) f(x,y) = 2

3

yx4xy2x

+

−

4.2.- Estudia la diferenciabilidad en el punto (4,1) de la función siguiente y calcula su diferencial:

⎪⎩

⎪⎨⎧

≤>+=

3 xsix3x siyx)y,x(f 2

2

4.3.- Estudia la continuidad y diferenciabilidad en el punto (1,1) de la función:

⎪⎩

⎪⎨

⎧

<−

−

≥+=

y xsi1y

xyx siyx

)y,x(f 2

22

4.4.- Estudia la diferenciabilidad y calcula la diferencial en el punto (0,1) de la función:

⎪⎩

⎪⎨⎧

<−−≥+=

y xsiyxyx siyx)y,x(f 2

22

4.5- Halla las diferenciales totales de las funciones siguientes:

(a) f(x,y) = 2x2+lny.

(b) f(x,y) = sen (x+y).

(c) f(x,y,z)=x2-3y2+xz3.

4.6- Calcula la derivada direccional de la función 42x

xyyx3)y,x(f 2 −+

+= en el punto (1,1) en la

dirección del vector (0,-3).

4.7- Calcula la derivada direccional de la función f(x,y)= 3yxy + en el punto (3,3) en la dirección

del vector (1,2).

4.8- Dada la función f(x,y) = xy4x2 + , averiguar en qué dirección la derivada direccional de f en el

punto (1,-1) es nula.

4.9- Calcula el polinomio de Taylor de grado 1 de la función yxy2x)y,x(f 2

3

+

+= en el punto (1,0).

Adapta esa expresión para obtener la ecuación del plano tangente a la gráfica de dicha función en

ese punto.

4.10- Calcula el polinomio de Taylor de grado 1 y de grado 2 de las funciones siguientes en los

puntos dados:

(a) F(x,y,z) = cos(x-y) en el punto (π, 0)

(b) F(x,y) = xy3-3xy2+x en el punto (2, -1)

(c) F(x,y,z) = xey en el punto (1, 0)

4.11- Calcula las direcciones de máximo crecimiento, máximo decrecimiento y crecimiento nulo de

las funciones siguientes:

(a) f(x,y) = xyx3

e)yx(+

− , en el punto (1,0).

(b) f(x,y,z) = sen(xyz)+ln(x-z2), en el punto (1,1,0).

4.12.- Dada la siguiente función de producción Cobb-Douglas Y=F(K,L)=10K0’5L0’5, obtenga la

dirección de máximo crecimiento desde la situación K=100, L=36 e interprétela económicamente.

4.13.- El pago anual (P) que efectúa una persona por un préstamo depende del tipo de interés (i),

del capital prestado (V) y del plazo (n) y es la siguiente función: n)i1(1

)n,i,V(P−+−

=iV . Para un

préstamo con V=1000, i=0’04 y n=10, se pide:

(a) Calcular aproximadamente el efecto sobre el pago anual de un aumento en el tipo de

interés hasta i=0,0425.

(b) Calcular aproximadamente el efecto sobre el pago anual si simultáneamente se produce

una disminución del capital prestado de 100 euros y una disminución del plazo de un año.

4.14.- Los beneficios (B) de la industria del automóvil en Europa en millones de € evolucionan en

función del precio del petróleo (p) en $ por barril, del crecimiento económico (g) y de los salarios (w)

en €. No se conoce la forma exacta que relaciona estas variables pero se estiman los efectos de

cambios en cada variable por separado en la situación actual. Con el barril a 60$, un crecimiento

económico del 2% y unos salarios medios de 2000 € al mes, los beneficios han sido de 500 millones

de € y los efectos estimados son:

,€/€ mill. 5,0 ,porcentual €/punto mill. 50,€/$ mill.15 =∂∂

=∂∂

−=∂∂

wB

gB

pB

Se pide:

(a) Obtenga los beneficios aproximados que se obtendrán el próximo año si el petróleo se

estabiliza a 55$ por barril, la economía crece un 1,5% y los salarios suben un 2%.

(b) ¿Qué hipótesis matemática es necesaria para contestar al apartado anterior?

(c) Calcular una función de beneficios lineal y aproximada para situaciones económicas

parecidas a la actual.

4.15.- La renta per cápita (Y) de un país depende de la inversión bruta (I), medida en porcentaje del

PIB, y del gasto en educación (E), medido en porcentaje del PIB:

Y = 25000 - e0,5 I + 1,8 E – 0,1 I * E

Determine el efecto que tendría sobre la renta un cambio simultáneo igual pero de distinto signo en la

inversión bruta y en el gasto en educación en un país como España (I=21’6, E=4’9) y en otro como

Gran Bretaña (I=16’5, E=5’3).

4.16.- Sea f(x,y) una función diferenciable, de modo que dyyfdx

xfdf

∂∂

+∂∂

= . Escribe las

expresiones correspondientes para df(1,2) y para df(1,2)(3,5).

4.17.- Sea una función diferenciable. Di que clase de objeto (un número, un vector,

una matriz o una función) son:

ℜ→ℜ2:f

(a) (b) (c) ),)(2,1( dydxdf )1,3)(2,1(df )1,3)(,( yxdf

(d) yf

∂∂

(e) y

f∂

∂ )2,1( (f) )3,2(f∇

(g) (h) La DMC de f en el punto (0,2) )3,2(Hf

(i) La derivada direccional de f en (2,1) en la dirección del vector (1,-1)

(j) El polinomio de grado 1 de Taylor de f en el punto (-2,3)

4.18.- Escribe en forma desarrollada (en términos de x1, …, xn) las expresiones:

(a) x (b) (c) )(xf∇ )(xf∇

TEMA 5 – FUNCIÓN COMPUESTA Y HOMOGÉNEA

5.1.- Calcula (si existen) las funciones compuestas g○f y f○g siendo:

(a) )t2(2t,g(t) ,

yxy)f(x, ==

(b) t)cos (sen t,g(t) ,yxy)f(x, 22 =+=

(c) ln t),t1 ,(tg(t) ,yxy)f(x, 222 =−=

5.2.- Calcula la función compuesta definida por las siguientes funciones y sus derivadas parciales

de primer orden. Comprueba que estas derivadas parciales coinciden con las obtenidas usando la

regla de la cadena.

(a) tz ,ey ln t, x, zsen yez)y,f(x, 3tx ===++=

(b) 222 ty 3t, x, yxz −==+=

(c) tcosy sen t, x, xz y ===

(d) v33 eu 1,uvu v)f(u, =++=

(e) yx v,eu , v)(uln z 2yx2 22

+==+= +

(f) xzx

ey ,z

yln e z)y,f(x, ==

5.3.- Calcula el vector gradiente de las siguientes funciones en los puntos indicados usando la regla

de la cadena:

(a) 0 tpunto elen 3t y ,t x,y sen ey)f(x, 2x ====

(b) π tpunto elen t cosy ,t3 x, ez 22y3x ==== +

(c) (0,1)z)(x, punto elen ey ,z

yln e z)y,f(x, xzx

===

(d) π,0)(2,z)y,(x, punto elen xz vz),(xysen u ,eu t 2v =+=+=+=

5.4.- Dadas las funciones ( ) s-rz ,sry s,r x, zyxz)y,f(x, 3222 ==+=++=

(a) Calcula y , la segunda aplicando la regla de la cadena. z)y,df(x, s)df(r,

(b) Calcula la función compuesta y calcula directamente su diferencial. Observa que

se obtiene el mismo resultado.

s)f(r,

5.5.- Calcula la diferencial de las siguientes funciones compuestas usando la regla de la cadena:

(a) 1e v,yxu 1,uvuz y-x2233 −=+=++=

(b) 1e v1,uvu v)f(u, u33 −=++=

(c) x2yx sen v,3u ,vuln z === +

(d) y)(xvsen u ,e vv)f(u, u +=+=

5.6.- Sean las funciones y definidas por: 22 RR :f → RR :g 2 →

usen vv)g(u, y), x,(ey)f(x, xy =+=

Se pide:

(a) Razona, aplicando el teorema de la función compuesta, que g○f es diferenciable en el

punto (0,1)

(b) Calcula, usando la regla de la cadena, d(g○f)(0,1)(1,1)

5.7.- Sean las funciones y definidas por: 23 RR :f → 22 RR :g →

)e v,e(uv)g(u, ),xz z),(xy(sen z)y,f(x, uv2 ++=++=

Se pide:

(a) Razona, aplicando el teorema de la función compuesta, que g○f es diferenciable en el

punto (1,-1,1).

(b) Calcula D(g○f) (1,-1,1).

5.8.- La función de beneficios de una empresa que fabrica un único producto es

100P3x8DP)D,B(x, −−−=

donde x es la cantidad de producto que fabrica, D es la demanda de dicho producto y P son los

costes destinados a publicidad.

Se pide:

(a) Calcula las derivadas parciales de B e interprétalas.

(b) Supongamos que la empresa para no incurrir en costes de almacenamiento ajusta su

producción a su demanda, es decir considera que x=D. Calcula la función compuesta

B(D,P) así como sus derivadas. Explica las diferencias de interpretación entre estas

derivadas y las obtenidas en el apartado anterior.

(c) El signo de PB

∂∂

es negativo, ¿cómo se interpreta esto?, ¿es razonable?

(d) La demanda de la empresa depende de su inversión en publicidad, es decir, la demanda

es una función D(P). La empresa no conoce esta función, pero estima que, para la

inversión actual en publicidad P0, se cumple 52

dPdD

0P

= ¿Es esto razonable?

0P

(e) No podemos calcular la función compuesta B(P), pero sí que podemos calcular dPdB

.

Calcula esta derivada e interprétala. ¿Le convi presa aumentar su invene a la em ersión en

publicidad?

5.9.- recio

sectoriales

El índice de precios al consumo de una economía depende de los índices de p s

(I1: agricultura, I2: industria, I3: servicios) según la función:

321321 I0.35I0.35I0.2)I,I,I(I ⋅+⋅+⋅=

Por otra parte, estos índices de precios son a su vez función del nivel de salarios (s) y del tipo de

interés (r) según las funciones:

3rsr(s,I ,2rsr)(s,I r,5ln 2sr)(s,I 2+=+= ) 2321 +=

Se pide:

irectamente cada función las derivadas

(a) Calcula la función I(s, r).

(b) Calcula derivando d

)r,(s)r,(s 0000 s ,

s

∂∂

)I,I,(I3)I,I,(I2)I,I,(I1 03

02

01

03

02

01

03

02

01

II

II ,

II ,

II

∂∂

∂∂

∂∂

∂∂

donde I10=I1(s0,r0), I20=I2(s0,r0), I30=I3(s0,r0) y s0, r0 son los niveles actuales de salario y tipo

respectivamente. Interpreta estas derivadas.

(c) Calcula las dos últimas derivadas del apartado anterior mediante la regla de la cadena.

Observa que se obtiene el mismo resultado.

5.10.-la cantid

actual para recios p = 30 u.m. y p' = 32 u.m. se estima

Sea B(x,p,p') la función de beneficios de una empresa que fabrica un único bien, donde x es

ad fabricada del bien, p es su precio y p' es el precio medio de la competencia. En el instante

el nivel de fabricación x=100 unidades y los p

que: ,3p'px )32,30,100()32,30,100()32,30,100( ∂∂∂

Supongamos que la competencia ajusta sus precios según los de la empresa, de modo que p'=p+2.

B ,2B ,4B=

∂−=

∂=

∂

(a) Calcula )30,100()30,100( p

BB ∂∂ y x ∂∂

y explica la diferencia entre estas derivadas y las dos

primeras del enunciado, desde un punto de vista matemático y en cuanto a su

s un aumento del precio p de 1

eneficios de la empre

exigir sobre B(x,p) para realizar esta aproximación?

interpretación económica. ¿Cuál de ellas nos indica el efecto que tendría sobre los

beneficio u.m.?

(b) Estima los b sa si se produce simultáneamente un aumento del nivel

de producción de 1 unidad y un aumento del precio de 1 u.m. ¿Qué hipótesis necesito

5.11.- La

donde x e y

actual t=0 la

(a) Calcula las derivadas parciales de C en el punto (x0,y0,t)=(50,30,0) e interprétalas.

terior) cabría

esperar el próximo año (t=1) si simultáneamente aumentará la producción del artículo x

en 1 unidad y disminuyera la producción del artículo y en 2 unidades? ¿Qué hipótesis

x=x(t),

función de costes de una empresa en un instante t (expresado en años) es:

0.01t10y)e(20x100t)y,C(x, ++=

son las cantidades producidas de cada uno de los dos artículos que fabrica. En el año

producción ha sido (x0,y0)=(50,30).

(b) ¿Qué coste aproximado (usa las parciales obtenidas en el apartado an

debe cumplir la función C(x,y,t) para realizar esta aproximación? ¿Se cumple para esta

función de costes?

(c) Por otra parte, las cantidades producidas de estos artículos varía con el tiempo

y=y(t), y la empresa estima que:

0.5dtdy 1,

dtdx

00

−==

Calcula e interpreta 0dt

dC. ¿Qué diferencia de interpretación existe entre esta derivada y

la parcial )0,30,50(t

C∂∂

?

(d) ¿Qué coste aproximado (usa las parciales obtenidas en el apartado anterior) cabría

esperar el próximo año (t=1)? ¿Qué hipótesis debe cumplir la función C(t) para realizar

esta ap

5.12.- Estudia la homogeneidad de las siguientes funciones. En caso afirmativo, halla su grado y

comprueba que se verifica el teorema de Euler:

(a)

(b)

c)

roximación? ¿Se cumple para esta función de costes?

22 yxy)f(x, +=

z2y3xyzxz)y,f(x, 232 +++=

α1αyAxy)f(x, −= (

(d) yxsen y)f(x, =

yx

ey)f(x, = (e)

y2xyx y)f(x, 2

22 += (f)

zyx z)y,f(x,

22 += (g)

y)(xsen y)f(x, += (h)

5.13.- da la función = eyx sen

yx

calcula el valor de las siguientes expresiones: Da )f(x,y

yfy

xfxA

∂∂

+∂∂

= (a)

)0,1(xfB

∂∂

= (b)

yxfy

xfxC

2

+∂

=(c) 2

2 ∂∂∂

∂

5.14.- Repite el ejercicio 5.13 para las funciones:

22

2

yx

yx y)f(x,+

= (a)

5

2

2yxxy y)f(x, +

= (b)

(c) xyln y xy)f(x, 2=

5.15.- Demuestra aplicando el teorema de Euler que la función

22 yx

1 y)f(x,+

=

es homogénea y calcula su grado de homogeneidad.

5.16.- Dadas las funciones de producción siguientes:

ales y A, α, β>0.

(b)

(a) βαLAKK)Q(L, = , donde A, α y β son parámetros re

α

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+=

LKβAK)Q(L, , donde A, α y β son pará s reales y A, α, β>0.

(c)

metro

[ ]α1

αα β)L(1βKAK)Q(L, −+= , donde A, α y β son parámetros reales, A, α, β>0 y

Estudia n homogéneas o n o indica el tipo de

rendimientos a escala (crecientes, constantes o decrecientes) que presenta una empresa con dicha

función de producción y comprueba

5.17.- unción de producción de una em

(K) viene da α-1α , donde A y α son parámetros reales y A>0, 0≤α≤1.

Se pide:

0≤β≤1.

si so o en función de sus parámetros. Y en caso afirmativ

el teorema de Euler.

La f presa en función de los factores de trabajo (L) y capital

da por LAKK)Q(L, =

(a) Estudia si la función de producción es homogénea y en caso afirmativo indica el tipo de

rendimientos a escala de la empresa.

(b) Supongamos que los dos factores dependen de la variable tiempo (t) según las funciones:

ucto respecto al tiempo

teL(t) t,γβK(t) ⋅=⋅+= δ

donde β,γ,δ son parámetros reales estrictamente positivos. Calcula la tasa de cambio del

tddQ

prod y a partir de ella razona si Q(t) es o no una función

5.18.-R = i·G. Sin embargo, ambas variables no son independientes y que un aumento en el tipo

impositi

homogénea.

La recaudación por IVA (R) es el producto del tipo impositivo (i) por el gasto en consumo (G),

a

vo se estima que tendría una influencia negativa en el consumo, 1500)16'0(−=

dG. Si el

s de 100 (millones de €) con tipo impositivo de 0’16, obtenga el efecto global sobre la

ción de un au

diGasto e un

recauda mento marginal en el tipo impositivo.

país Y, según las relaciones: x=M-Y, y=-M+2Y. Si M=16 y Y=10, Calcular como afecta a su utilidad

siguientes funciones de producción:

5.19.- La utilidad de un consumidor es logarítmica y depende del consumo de dos bienes:

U(x, y)=ln(x)+1’5ln(y). A su vez, estos consumos dependen de su renta M y de la renta media de su

las variaciones marginales en su renta y en la renta media de su país.

5.20.- Estudia la homogeneidad y, en su caso, el tipo de rendimiento a escala que presentan las

(a) Cobb-Douglas: βα LAKLKY =),(

(b) AK: LKALKY =),(

(c) Jones-Manuelli: αα −+= 1),( LBKAKLKY

(d) CESS: [ ] ααα /1))1)((1()(),( LbabKaALKY −−+=

5.21.- z=z(x,y) e y=y(x). Contesta:

(a) ¿Cuál es la función compuesta?

función es la que parece en cada una de las derivadas siguientes?

Considera las funciones

(b) ¿Qué a

dxdz

y xz

∂∂

TEMA 6 – CONVEXIDAD

6.1.- Obtener la expresión matricial de las siguientes formas cuadráticas y clasificarlas según su

signo:

(a) q1(x1,x2)=x12+x2

2+4x1x2

(b) q2(x,y)=-x2-2y2+2xy

(c) q3(x1,x2,x3)=x12+x2

2+x1x2+4x32-2x1x3

(d) q4(x,y)=y2

(e) q5(x,y,z)=5x2+4z2

(f) q6(x,y,z)=-x2-2y2-3z2+2xy

(g) q7(x,y,z,t)=2x2+4xy+6y2+4z2+8t2-2zt

(h) q8(x1,x2)=-x12-3x2

2+6x1x2

(i) q9(x1,x2,x3)=x12+x2

2+x32+2x1x2+2x1x3+2x2x3

(j) q10(x1,x2,x3)=-x12-4x2

2+4x1x2

6.2.- Estudiar gráficamente la convexidad de los siguientes conjuntos:

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

(g)

(h)

6.3.- Representar gráficamente el menor conjunto convexo que contenga a los puntos P1=(0,1),

P2=(-1,-1) y P3=(1,-1) y expresar el punto (0,0) como combinación lineal convexa de P1, P2 y P3.

6.4.- Si los puntos (-1,2,0) y (2,0,1) pertenecen a un conjunto S que es convexo, deducir si el punto

(0,-1/2,1/2) pertenece también a S. ¿Y el punto (0,0,0)?.

6.5.- Utilizar las propiedades de los conjuntos convexos para estudiar la convexidad de los

siguientes conjuntos:

(a)

(b) =

]1,1[}11/{ −=≤≤−∈= xRxA

B x y R x y= ∈ + ={( , ) / }2 4

C x y R x y= ∈ + ≤{( , ) / }2 2

D x y R y x= ∈ ={( , ) / }2 2

}0 ,0 ,4/),{( 2 ≥≥≤+∈= yxyxRyxE

}1 ,1/),{( 222 −−=+=∈= xyxyRyxF

}/),{( 22 xyRyxG ≤∈=

}/),{( 22 xyRyxH ≥∈=

A x y R x y x y12 4 2 8= ∈ + = + ≥{( , ) / , }

A x y z R x y z x y z23 6 2 3 8= ∈ + + = − +{( , , ) / , }

6.6.- Utilizar la caracterización pa 2 studiar la concavidad y/o

convexidad, en su caso estricta, dominio:

(a) ( , ) = +

(b)

( )+

2 3−

6.7.- M funciones cóncavas y convexas, razonar la concavidad y/o

convexidad de las funciones:

(d)

siendo 5 las funciones del ejercicio anterior.

6.8.- Estudiar la convexidad y/o concavidad, en su caso estricta, de las siguientes funciones en el

conjunto de puntos interiores del primer uadrante; x>0, y>0:

(b)

ra funciones de clase C para e

de las siguientes funciones en todo su

f x y ex y1

f x y e ex y2 ( , ) = − −

(c) f x y x y3( , ) ln( )= +

(d) f x y x y2( , ) = + 4

2(e) f x y5( , ) = x y

(f) f x y x623 2( , ) = + y x

(g) f x y z x y z3 2( , , ) = + + 7

(h) f x y x xy y82 22( , ) = + −

ediante las propiedades de las

zyxzyxf 53),,( −+= (a)

f f1 4+ (b)

f f1 52+ (c)

− +f f1 3

f f f f1 3 4, , y

c

g x y x y13 3( , ) = + (a)

g x yxy2

(c) g x y x y3( , ) ln( )= +

1( , ) =

(a)

≤−≤+−+∈= yxyxRyxC

6.9.- Utilizando las propiedades de las funciones cóncavas y convexas, estudiar la convexidad de

los siguientes conjuntos:

C x y R x y12 2 4= ∈ + ≤{( , ) / }

(b) 2222 }02y- x,224/),{(

C x y R x y32 2= ∈ + ≥{( , ) / ln( ) } (c)

}4/),{( 2224 ≤−∈= xyRyxC (d)

6.10.- Demostrar la concavidad de la función de producción Cobb-Douglas con rendimientos

constantes a escala 0,),( 1 >== − ALAKLKFY αα ; en el primer cuadrante K>0, L>0. ¿Es

estricta e cónc

6.11.- Un consumidor con una renta presupuestaria de M>0 unidades monetarias puede acceder a

cualquier elemento del siguiente conjunto de consumos de n bienes:

,{( 1111 >>≤++∈= nnnn

n xxMxpxpRxC

Demostrar que el conjunto de co sumos es convexo.

6.12.- Una empresa con tecnología Cobb-Douglas de rendimientos constantes a escala (función

cóncava según el ejercicio 6.10) tiene un conjunto de producción formado por cualquier combinación

de facto capital (K) y trabajo (L) qu btener una producción mínima P>0 de su output: −αα

ducción es convexo.

6.13.- udiar la concavidad de la función de utilidad

ment ava?

,...x }0,...,0,.../)

n

res e le permitan o

}0,0,/),{(= LKPLAKRLKD

Demostrar que el conjunto de pro

12 >>≥∈

αβ

α

αα 11),( 21

21−

+−

=cc

ccU Est , para los

valores de α y β, siendo c1>0 y c2>0 los consumos de dos bienes.

6.14.- uáles de las características siguientes corresponden a una forma cuadrática, un conjunto

nción:

(a) Ser semidefinido/a positivo/a

(d) Ser un hiperplano

6.15.- pleta con las palabras conjunto, función, forma cuadrática, cóncavo/a o convexo/a el

siguiente razonamiento para estudiar la convexidad de 222 :

“El ___ __________ C es un ________________ de nivel superior de la _____________

yx −−=

er si la ______________ f es _______________, estudiamos la

______ ________ asociada a la matriz h a de f, que es . Como es

una ma iagonal y los coeficientes de la diagonal son negativos la ________________________

asociada a H es definida negativa, luego es una _____________

______ y C es un ______________ _____________ .”

Di c

o una fu

(b) Ser convexo/a

(c) Ser cóncavo/a

Com

}842/),{( −>−−∈= yxRyxC

___22 42),( yxf , luego el _____________ C será convexo si la ______________ f es

__________. Para sab

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

−=

8004

),( yxHf____ essinan

triz d , 22 42),( yxyxf −−=

____

TEMA 7 - INTEGRAL DE RIEMANN E IMPROPIA

7.1.- Calcula las siguientes integrales:

(a) ∫π

02cos dxx (b) ∫ +

2

0 2x1 dxx

(c) ∫ −5

212 dxx

(d) (e) ∫1

0

2 3

dxex x ∫ +2 6x21

3 dx

+π

0)2sen (x dxx

2 cosenπ

dxxxs

(f) ∫

(g) ∫0 (h)

2/

∫ +

1 dxex

0 21 ex (i) ∫

2

1 x

23ln e

dxx

(a) (c

(d) 1

3 dxx (e) 0

dxxe (f)

7.3.- Calcula 0

dxf(x) para las siguientes funciones:

<=

3)(

2 xxxf (b) ⎨

⎧ <=

10)(

xxf

(c (xf (d)

7.2.- Calcula las siguientes integrales:

) ∫4

2ln dxxx ∫

π

0cos dxxx (b) ∫

π

0

2 dxsenxx

2 2 x 2 x∫ ∫π

0 dxsenxe x ∫

5

∫

(a) ⎩ ≥ 39 x ⎩ ≥ 1ln xxx

⎨⎧

⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥

<+=

ex

exxxf

51

12

)( ) ⎩ ≥− 4122 xx⎨⎧ <

=4

)2/1 xx

7.4.- Resuelve las siguientes integrales:

(a) ∫∞+

40 xdx

(b) ∫∞+

x

dx

0 (c) ∫

∞+

0 4/1xdx

e

(d) ∫ ∞−

1 2 dxe x (e) ∫ ∞−− 2

−1

xdx

7.5.-

(f) ∫ −

0

2

dxxe x

Resuelve las siguientes integrales:

(a)

+∞

∫ −1 2 13

xxdx

(b) ∫1

0 4xdx

(c) ∫1

0 4/1xdx

(d) dxx∫−

−−6

2

3/5)2( (e) dxxx

∫ −

3

0 2 1 (f) ∫ −

1

0 1 xdx

7.6.- Calcula el área e 2 2

.7.- Halla el área limitada por la curva y = x2 y la recta y = x.

7.8.- Los beneficios de una empresa se comportan de forma continua en el tiempo según la función:

t2 sent +10. S

(a) Determinar el beneficio acumulado durante el período [0,2π].

(b) De i obten e od .

.- Se conoce el cost que upone c e altur

y viene dado por la siguiente función expresada en miles de euros por metro:

e d edificio y C a de constr r todo el edificio. Se

pide:

(a) El c t ir e me

(b) El coste de construir entre el metro 40 y 50.

oste de co os.

(d) El coste medio por metro de construir todo el edificio de 50 metros.

El mercado de ordena ente curva de oferta y demanda:

Qd = 48 – 3 p2 (demanda)

Qs = 5 p2 –20 (oferta)

donde p es el precio de los ordenadores.

siguiente figura apare ercado de ordenadores con el precio, pe, y la

cantidad de equilibrio, qe (demanda = oferta; Qd = Qs).

ncerrada por las curvas y = 4x; x = 4y.

7

B(t)= e pide:

terminar el beneficio med o ido en ese mismo p rí o

7.9 e adicional s onstruir el último metro d a de un edificio, C(x),

dond altura en metros el T es el coste tot l uix indica la

oste de cons ru l tro 50 del edificio.

(c) El c nstruir todo el edificio de 50 metr

7.10.- dores personales tiene la sigui

En la ce representado el m

Determinar el excedente del consumid (área sombreada). or

22,010)( ttdCTxC ++==dx

7.11.- La función que indica el salario adicional que percibe un individuo representativo al cumplir

un año más de edad es xxw 2,06)( +−= , donde w es el salario adicional en euros y x la edad en

Calcular la función de salario total en función de la edad W(x) si cuando el individuo tiene 30

total que percibirá el individuo a lo largo de su vida laboral (entre 25 y 65

(c)

función de coste total

C(q).

n de la renta, Y:

S’(Y) =

años. Se pide:

(a)

años, el salario anual es de 1.710 euros.

(b) Calcular el salario

años).

Calcular el salario medio anual entre los 25 y 65 años.

7.12.- La función de costes de una empresa es tal que el coste fijo es CF = 80 y el coste marginal C’

viene dado por la siguiente función del producto C’(q) = 2e0.2q. Determinar la

7.13.- La propensión marginal al ahorro en una determinada economía viene dada por la siguiente

funció

0.28 – 0.15 Y1 .

Si el ah de ahorro S(Y).

7.14.- Se conoce que una población de tamaño H cambia a lo largo del tiempo según la tasa,

orro es nulo cuando la renta Y es de 90, halla la función

21−

= tdHdt

. Sabiendo que la población inicial es H(0)=44’2 millones, se pide:

e población total a lo largo del tiempo, H(t).

e la población alcanzará un tamaño de 50 millones.

7.15.- La tasa de formación del stock de capital de una Economía en un instante t, K(t), viene dada

por la inversión neta en t, I(t). Si dicha función es:

es K(0)=65 miles de millones de euros, obtenga la trayectoria temporal del

stock d a inversión neta realizada en el intervalo [1,3], es decir, durante el segundo

y tercer año.

(a) Calcular la función d

(b) Obtener el momento t’ en el qu

(c) ¿Cuánto tiempo será necesario para que la población aumente en 3 millones de

personas?

21

3)( tdtdKtI ==

y el stock de capital inicial

e capital. Calcular l

7.16.- El valor actual, VA, de un flujo continuo de capitales por unidad de tiempo, C(t), descontado a

un tipo de interés i du o de tiempo [0,b] es la siguiente integral Riemann,

−=b

itetCVA )(

rante un period

. Se pide:

continuo de 100€ al mes (capital constante) durante

cular el valor actual si el capital es 100e0,001t € al mes (capital creciente).

e 100€ al mes durante toda la vida

(perpetuo), es decir, el periodo es [0,+∞[.

s i durante un periodo de tiempo [0,b] es la siguiente integral Riemann:

a ara un ahorrador de una aportación continua de 1000€ al año durante diez

i=0,025.

c) Calcular el valor final adicional que se acumula en el décimo año (en el intervalo [9,10]) si el flujo

7.18.- En

7.19.-

7.20.- En er teorema del valor medio.

bit

∫0

(a) Calcular el valor actual de un capital

dt

dos años, periodo [0,24], con i=0,003.

(b) Cal

(c) Calcular el valor actual si el flujo de capital es d

7.17.- El valor futuro, VF, de una inversión continua de capitales por unidad de tiempo, C(t),

capitalizada a un tipo d

∫= dtetCVF0

)(

e interé

a) Calcular el valor fin l p

años, periodo [0,10], con

b) Calcular el valor final si el capital es 1000e0,01t € al año (capital creciente).

de capital es el del apartado a).

unciar dos condiciones suficientes de integrabilidad Riemann.

Enunciar la propiedad de partición del intervalo de integrabilidad.

unciar el prim

TEMA 8 - INTRODUCCI

r que las fun

ÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES

8.1.- Comproba ciones dadas son soluciones de las ecuaciones diferenciales dadas: -2x -2x

(b)

(a) y’ + 2y = 0, y(x) = e , y(x) = 5e .

y’ + xy = 0, y(x) = 2x2

e−

.

(c) y’+y=senx, y(x) = senx21xcos

21e x +−−

8.2.- Comp

Encontrar la única solución que cumple en cada caso la condición que se indica.

robar que las funciones dadas son soluciones de las ecuaciones diferenciales dadas.

(a) y’+2y=0, y(x) = Ae-2x, y(0)=2.

(b) y’+y = senx, y(x) = senx21xcos

21Ae x +−− , y(0) = -1.

(c) y’+2y = x2, y(x) = x22 Aex21x

21

41 −++− , y(0) = 1.

8.3.- Resuelve:

(a) y2dxdy

=

(b) yx

dxdy

−=

(c) ( ) xx edxdyy e1 =+ , y(0) = 1.

( )(d) 0dy xydx y1 =++ . 2

(e) xcosysenxdxdy

= .

0dyy1ydxx1x 22 =−+−(f) , y(0)=1.

(g) , y(1)=1.

.4.- Resuelve:

(a)

0dy xdxlny y =+

8

2xxe2xy2

dxdy −=+ .

xey2dxdy −=+ . (b)

(c) x2xy2dxdy

=+ , y(0) = -1.

(d) 3xxydx

=+ . dy

(e) 1e1edx xx ++

xyedy x=+ , y(0) = 1.

(f) x

xcosydy=+

π=⎟

⎠

⎞⎜⎛ π 4⎝ 2

y . xdx

,

θ+=θ 2ed t2(g)

dt.

8.5.- La población de cierto país aumenta proporcionalmente al número de habitantes. Si después

8.6.- Sean las siguientes funciones de demanda y de oferta de un bien:

tQtptQ

s

d

=−=

Mientras que el ajuste que se produce en el precio del bien en caso de desequilibrio en el mercado

siguiente ecuación diferencial:

de dos años la población se ha duplicado y después de tres años es de 20.000 habitantes, calcula la

población inicial.

)(532 tp+−

)()(360)(

)(3,0 sd QQdtdp

−=viene dado por la .

Obteng rayecto a temporal del precio de mercado de este bien si inicialmente su precio es

p(0)=6€. Comente si hay una convergencia hacia el precio de equilibrio o una divergencia a medida

que pasa el tiempo.

8.7.- población de tamaño H lo largo del tiempo en función de una tasa de

reproducción n y de la entrad neta de inmigrantes I, según la siguiente ecuación diferencial:

a la t ri

Una cambia a

a

InHdt

+=

Sabiendo qu

dH

e la población inicial es H(0)=44’2 millones, n=0,005 e I=0,15, se pide:

Calcular la función de pobla H(t).

Obtenga el momento t’ en el que la población alcanzará un tamaño de 50 millones.

(c) ¿Cuánto tiempo será necesario para que la población aumente en 3 millones de

as?

(a) ción total a lo largo del tiempo,

(b)

person

8.8.- El ca tal pi acumulado en un plan de pensiones, C, evoluciona anualmente según la siguiente

ecuación diferencial, ))(( ACgidt

+−=

comisión de gestión y A

dC, donde i es la rentabilidad financiera anual del plan de

pensiones, g es la son las aportaciones continuas y constantes anuales que

al ns ide:

(a) Obtenga la expresión para la trayectoria temporal del capital acumulado en el plan de

pensiones si el capital de partida es C(0)=0.

(b) Si i=0,04, g=0,02 y A=1000 €, Calcular el capital que acumulará una persona a la que le

faltan 25 años para la jubilación.

ar el capital que se pide en el apartado b) pero con aportaciones crecientes si

q=0,01.

8.9.- Para devolver un préstamo de cuantía P(0) se paga una cantidad continua C constante

mensualmente. La evolución de la cantidad del capital prestado que queda por amortizar en un

se realizan plan de pe iones. Se p

(c) Obtenga la expresión que se pide en el apartado a) si las aportaciones son crecientes

anualmente, A(t)=1000eqt.

(d) Calcul

instante t, P(t), es: CiPdP−= , donde i es el tipo de interés mensual del préstamo. Se pide:

(a) Calcular la trayectoria temporal del ca

dtpital pendiente de amortizar.

t=240 meses. Nota: Devolver un préstamo significa que el capital pendiente de

amortizar al final del plazo es cero.

(b) Calcular la cantidad mensual constante que hay que pagar de forma continua para

devolver un préstamo de cuantía P(0)=100000 €, con un tipo de interés i=0,003 y durante

20 años,