Licenciatura en Economía
Licenciatura en Administración y Dirección de Empresas
Universitat de València
MATEMÁTICA ECONÓMICO-EMPRESARIAL
COLECCIÓN DE PROBLEMAS
CURSO 06-07
TEMA 1 - NOCIONES BÁSICAS DEL ÁLGEBRA LINEAL
1.1.- Calcula:
(a)
2 −1 0 74 3 2 51 2 1 −3
⎛
⎝
⎜ ⎜ ⎜
⎞
⎠
⎟ ⎟ ⎟
+1 1 0 −3
−6 5 3 40 −1 2 9
⎛
⎝
⎜ ⎜ ⎜
⎞
⎠
⎟ ⎟ (b)5.⎟
1 7−2 40 5
⎛
⎝
⎜ ⎜ ⎜
⎞
⎠
⎟ ⎟ ⎟
− 30 14 −12 3
⎛
⎝
⎜ ⎜ ⎜
⎞
⎠
⎟ ⎟ ⎟
(c)3 −1 02 4 5
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ − 4.
1 2 40 −3 2
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ (d) 2.
3 2 −11 −1 1
−1 0 2
⎛
⎝
⎜ ⎜ ⎜
⎞
⎠
⎟ ⎟ ⎟
+1 −1 32 −1 4
−1 −1 5
⎛
⎝
⎜ ⎜ ⎜
⎞
⎠
⎟ ⎟ ⎟
1.2.- Calcula:
(a)
1 −12 43 0
⎛
⎝
⎜ ⎜ ⎜
⎞
⎠
⎟ ⎟ ⎟ .
3 −1 01 5 2
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ (b) ⎟
2 0−3 2
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ .
4 −11 1
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟
(c) 4 −11 1
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ .
2 0−3 2
⎛
⎝ ⎜
⎞
⎠ ⎟ (d)
1 12 −45 2
⎛
⎝
⎜ ⎜ ⎜
⎞
⎠
⎟ ⎟ ⎟ .
2−14
⎛
⎝
⎜ ⎜ ⎜
⎞
⎠
⎟ ⎟ ⎟
(e)
1 −2 03 1 −1
−1 4 1
⎛
⎝
⎜ ⎜ ⎜
⎞
⎠
⎟ ⎟ ⎟ .
5 2 2−2 1 113 −2 7
⎛
⎝
⎜ ⎜ ⎜
⎞
⎠
⎟ ⎟ ⎟
(f)
5 2 2−2 1 113 −2 7
⎛
⎝
⎜ ⎜ ⎜
⎞
⎠
⎟ ⎟ ⎟ .
1 −2 03 1 −1
−1 4 1
⎛
⎝
⎜ ⎜ ⎜
⎞
⎠
⎟ ⎟ ⎟
1.3.- Calcula:
(a)
1 2 05 1 11 3 0
(b)
1 1 1−1 0 11 2 0
(c) 1 62 7
(d)
1 1 0 12 −1 2 01 −2 0 11 1 3 0
(e)
−2 0 0 0 00 1 0 0 00 0 −3 0 00 0 0 2 00 0 0 0 1
1.4.- Calcula el rango de las siguientes matrices:
(a)
2 −1 1 01 0 3 53 1 4 −1
⎛
⎝
⎜ ⎜ ⎜
⎞
⎠
⎟ ⎟ ⎟ (b)
2 3 44 6 86 9 128 12 16
⎛
⎝
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜
⎞
⎠
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟
(c)
1 −1 03 2 15 0 5
⎛
⎝
⎜ ⎜ ⎜
⎞
⎠
⎟ ⎟ (d) ⎟
1 1 1 0 02 1 0 1 31 0 −1 1 30 0 1 2 4
⎛
⎝
⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜
⎞
⎠
⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟
1.5.- Hallar la inversa de las siguientes matrices:
(a) (b) (c) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−1121
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
232321011
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−122110342
1.6.- Resuelve:
(a)
6x − 2y −2z = 82x + 2y + z = 3x + 2y + 2z = −1
⎫ ⎬ ⎪
⎭ ⎪
(b)
2x + y − z =1x + y + z = 2x + 2y + 4z = 3
⎫ ⎬ ⎪
⎭ ⎪
(c) 2x + y − z =1x + y + z = 2
⎫ ⎬ ⎭
(d)
2x + y = 4x −2y = 03x + y = 5
⎫ ⎬ ⎪
⎭ ⎪
(e)
x − y + z =12x + y − z = 2x − 2y = −1
4x + y + 3z = 8
⎫
⎬ ⎪ ⎪
⎭ ⎪ ⎪
(f)
x + y + 2z = 22x + y − z =1
−x + 2y + z = −5
⎫ ⎬ ⎪
⎭ ⎪
1.7.- Las funciones de oferta y demanda de un modelo de mercado con dos mercancías son las
siguientes:
PQPQ
12S
11S24
3+−=
+−=
PPQPPQ
212d
211d212
28−+=
+−=
Se pide calcular los precios de equilibrio y las cantidades de equilibrio . P~P~ 21, Q~Q~ 21,
1.8.- Las funciones de oferta y demanda de un modelo de mercado con tres mercancías son las
siguientes:
PPQPPQ
PPQ
313S
322S
311S
2425
24
+−=
−+−=
+−=
PPPQP2PQ
PPQ
3213d
312d
211d
32422
38
+++−=
−+=
+−=
Se pide calcular los precios de equilibrio y las cantidades de equilibrio . P~P~P~ 321 ,, Q~Q~Q~ 321 ,,
TEMA 2 - LÍMITES Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES
2.1.- Pon un ejemplo de una función de cada uno de los tipos siguientes:
(a) Función real de variable real
(b) Función real de 4 variables reales
(c) Función vectorial f: D⊆R3→ R2
(d) Función real de 4 variables reales y con tres dominios de definición
(e) Función real de 3 variables reales que sea lineal
(f) Función real de 3 variables reales que sea un polinomio no lineal
(g) Función real de 3 variables reales que no sea un polinomio
2.2.- Di cuáles de estas funciones son lineales, polinomios no lineales o ninguna de las dos cosas:
(a) f(x,y) = 3 (b) f(x,y) = x y1/2 (c) f(u,v,w) = u + v – w5 (d) p(x,y) = 4xy
(e) f(t) = t4 (f) f(t) = 1/t (g) f(p,q,r) = 122 ++
+rqqp
(h) s(u,v,w) = v
(i) T(u,v) = (u2, 2uv) (j) C(C0,i,t) = C0eit (k) f(x,y) = y 2x
2.3.- Calcula el dominio de las funciones siguientes y represéntalos gráficamente cuando sea
posible:
(a) F(x) = )3)(2(
1+−
+xx
x (b) F(x) = x
x+
+−2
1 (c) F(x,y) = yx
x−2
(d) F(x,y) = 22 2 yxyx ++ (e) F(x,y) = 43 2 2 yxyx −−+
(f) F(x,y,z) = (xy+z , ln(x+y+z)) (g) F(x,y) = ⎪⎩
⎪⎨
⎧
=
≠+
)0,0(),(0
)0,0(),(22
2
yx
yxyx
yx
(h) F(x,y) =⎪⎩
⎪⎨⎧
<≥+
yxxyyxyx 32 3 (i) F(x,y) = )),1ln(,( yexyx −+
2.4.- Calcula, si existen, los siguientes límites
(a) (b) yxyx
elim +−
→
2)2(3)0,2(),(4 ),,( 32
)0,2(),(xyxxy
xylim
yx++
→
2.5.- Dada la función:
f(x,y) = ⎪⎩
⎪⎨⎧
<≥
2
2
1 0
yxsiyxsi
Calcula, si existen, los siguientes límites:
(a) (b) (c) ),()0,0(),(
yxflimyx →
),()2,1(),(
yxflimyx →
),()1,2(),(
yxflimyx →
2.6.- Dada la función:
f(x,y) = ⎪⎩
⎪⎨⎧
≥
<+
++
0 4
0 2
4
xsi
xsix
yx
Calcula, si existen, los siguientes límites:
(a) (b) (c) ),()0,0(),(
yxflimyx →
),()4,0(),(
yxflimyx →
),()1,5.0(),(
yxflimyx −→
2.7.- Dada la función:
f(x,y) = ⎪⎩
⎪⎨⎧
=
≠++
+
(0,0)y)x,(
(0,0)y)x,( 2
122
sip
siyx
y
Estudia, en función de los valores de p∈R, si existen los siguientes límites:
(a) (b) ),()0,0(),(
yxflimyx →
),()2,1(),(
yxflimyx →
2.8.- Dada la función:
f(x,y) =
⎪⎪⎩
⎪⎪⎨
⎧
<π=>π
2
2
2
x y)cos(x yx y)sen(
siyxsipsixy
Estudia, en función de los valores de p∈R, si existen los siguientes límites:
(a) (b) ),()0,0(),(
yxflimyx →
),()1,1(),(
yxflimyx →
2.9.- Dadas las funciones:
f(x.y)= g(x,y) = 23 32 ++ yx⎩⎨⎧
≠+=−
yxsiyxyxsiyx
Calcula, si existen, los siguientes límites:
(a) (b) (c) ),)(()0,0(),(
yxgflimyx
+→
),)(()0,0(),(
yxfglimyx →
),)(3()0,0(),(
yxflimyx →
(d) ),)(()0,1(),(
yxgflim
yx → (e) ),)((
)1,1(),(yxgflim
yx+
→
2.10.- Dada la función:
f(x,y) = ⎪⎩
⎪⎨⎧
≥
<+
++
0 4
0 2
4
xsi
xsix
yx
Estudia si es continua en los puntos (0,0), (0,4) y (-0.5,1).
2.11.- Estudia la continuidad de las siguientes funciones:
(a) f(x,y) = 22
3
yx
xy
+ (b) f(x,y) = yx
xy
e − (c) f(x,y) = )ln()*sen( 22 yxyxxy +++
(d) f(x,y) = (e) f(x,y) = ⎪⎩
⎪⎨⎧
=+≠+
1 21
2
22
xsixyxsiyx
⎪⎩
⎪⎨⎧
<−≥
y 12 2
xsixyxsiy
(f) f(x,y) = (g) f(x,y) = ⎩⎨⎧
=≠
0 00 1
xysixysi
⎩⎨⎧
=≠
0 00
xysixysixy
(h) f(x,y) =
⎪⎪⎩
⎪⎪
⎨
⎧
≤>+≤≤>≤>>+
0,0 10,0 0,0 30,0 3 22
yxsiyyxsixyyxsiyxsiyx
2.12.- Dada la función f:D⊆R2→R tal que =4 ¿Se puede afirmar que f(x,y) es
continua en (1,2)?
),()2,1(),(
yxflimyx →
2.13.- Dada la función f:D⊆R2→R tal que ),(),()1,1(),()1,1(),(
yxflimyxflimyxyx
yxyx
<→
>→
= =f(1,1)=4 ¿Se puede
afirmar que f(x,y) es continua en (1,1)?
2.14.- Supongamos que f:D⊆R2→R2, donde { }3/),( 2 >ℜ∈= xyxD . Explica por qué las
afirmaciones siguientes son imposibles:
a) f(4,3) = 2 b) f(3,4) = (1,4) c) 4),(lim)5,3(),(
=→
yxfyx
d) )1,1(),(lim)0,0(),(
=→
yxfyx
TEMA 3 - DERIVABILIDAD DE FUNCIONES
3.1.- Calcula las derivadas parciales de primer orden de las funciones siguientes:
(h) f(x,y,z) = x3y + 2xz2 – 3xyz
(i) f(x,y,z) =sen(xy2z)
(j) f(x,y) =ycosx
(k) f(x,y) = 2
3
yx4xy2x
+
−
(l) f(x,y) =ex+1-e2-y
(m) f(x,y,z) = )1zln(
)2xcos(ey
−+
(n) f(x,y) = sen8(x2+y3)
(o) f(x,y) = sen(x+2y2)8
(p) f(x,y) = ln3(x/y)
3.2.- Calcula el vector gradiente de las funciones siguientes:
(a) f(x,y) = sen(3x2-y).
(b) f(x,y,z) = 32
21
)yz(x − , en el punto (9,4,2).
(c) f(x,y,z)= 3
32
xzy3x2 − , en el punto (2,0,1).
3.3.- Dada la función:
f (x,y) =xy
x2 + y2 si (x,y) ≠ (0,0)
0 si (x,y) = (0,0)
⎧ ⎨ ⎪
⎩ ⎪
(a) Calcula las derivadas parciales de f(x,y) en cualquier punto distinto del (0,0)
(b) Calcula las derivadas parciales de f(x,y) en (1,1)
3.4.- Dada la función:
⎪⎩
⎪⎨⎧
≤>+=
3 xsix3x siyx)y,x(f 2
2
(a) Estudia la continuidad en (3,1)
(b) Halla las derivadas parciales de primer orden en (2,0)
(c) Halla las derivadas parciales de primer orden en (4,3)
3.5.- Calcula la matriz jacobiana de las funciones siguientes:
(a) f(x,y) = (x-y)3.
(b) f(x,y) = ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ + x
yey,x 2 en el punto (2,0).
(c) f(x) = ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ x
xx cos,1,2
5
(d) f(x,y)= ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ x
xx cos,1,2
5
3.6.- Calcula la matriz hessiana de las funciones:
(a) (x,y) = sen(3x2-y)
(b) f(x,y,z) = 32
21
)yz(x − , en el punto (9,4,2)
(c) f(x,y,z)= 3
32
xzy3x2 − , en el punto (2,0,1)
3.7.- Sabiendo que el vector gradiente de una función real de dos variables reales, f(x, y), es
( )52223 y6yx15x3 , xy10xy6)y,x(f −++=∇ , calcula la matriz hessiana de f(x,y).
3.8.- ¿Existe una función f tal que ( )xy6yx4 , 2x3xy3)y,x(f 243 −−+=∇ ?
3.9.- Dada la función de producción del tipo Cobb-Douglas Y=F(K,L)=AKαL1-α, A>0, 0<α<1 donde Y
es la producción, L es el input trabajo y K es el input capital, calcula la productividad marginal del
trabajo y del capital. Determina su signo e interprétela económicamente sabiendo que K>0, L>0.
3.10.- La función de beneficios de una empresa depende del precio de venta de su producto (p0) y
de los precios a los que adquiere sus dos inputs (p1 y p2): 2
21
0210 64),,(
ppp
pppB =4
. Calcula el
signo de las tres derivadas parciales e interprétalas económicamente.
3.11.- La función de demanda de un bien relaciona la cantidad demandada de ese bien (x) en
unidades físicas, la renta per cápita del país (Y) en €, el precio de ese bien (p0) en €, y el precio del
resto de bienes (p) en €: 20
0 3),,(
ppYppYx =
2
. Calcular el signo de las derivadas parciales, sus
unidades de medida e interprétalas económicamente.
3.12.- Indica el signo y las unidades de medida que tendrán en condiciones normales las derivadas
siguientes:
(a) El salario de un trabajador respecto del tiempo
(b) La demanda de un artículo respecto de su precio
(c) El volumen de ventas de una empresa respecto de su inversión en publicidad
(d) El ahorro medio de los habitantes de un país respecto del índice de precios
(e) El precio del petróleo respecto de la cantidad ofertada de petróleo
3.13.- Sea U(x) la función de utilidad de un consumidor, donde x es la cantidad consumida de un
bien.
(a) Explica la diferencia de interpretación entre 10dx
dU y
1000dxdU
(b) ¿Cuál es el signo que cabría esperar en estas dos derivadas?
(c) ¿Cuál de las dos es de esperar que sea mayor?
(d) ¿Cuál es el signo que cabría esperar para 10
2
2
dxUd
?
(e) Si U(10)=3’65 y 10dx
dU= 0’22, calcula aproximadamente U(10’5).
3.14.- Escribe la definición de derivada parcial para una función de n variables (x1, …, xn) respecto
de xi. Escribe la definición de derivada parcial de una función de 3 variables (x,y,z) respecto de z.
Escribe la definición de derivada parcial de una función de 3 variables (x,y,z) respecto de z en el
punto (a,b,c).
3.15.- Sea una función derivable en un punto (a,b). Escribe la expresión de la
matriz Jacobiana Jf(a,b) y la de la matriz hessiana Hf
42: ℜ→ℜf
1(a,b) (asegúrate de que el punto (a,b) aparece
donde corresponda en la expresión).
TEMA 4 - DIFERENCIABILIDAD DE FUNCIONES
4.1.- Estudia la diferenciabilidad de las funciones siguientes y calcula su diferencial:
(a) f(x,y,z) = x3y + 2xz2 – 3xyz
(b) f(x,y,z) =sen(xy2z)
(c) f(x,y) =ycosx
(d) f(x,y) = 2
3
yx4xy2x
+
−
4.2.- Estudia la diferenciabilidad en el punto (4,1) de la función siguiente y calcula su diferencial:
⎪⎩
⎪⎨⎧
≤>+=
3 xsix3x siyx)y,x(f 2
2
4.3.- Estudia la continuidad y diferenciabilidad en el punto (1,1) de la función:
⎪⎩
⎪⎨
⎧
<−
−
≥+=
y xsi1y
xyx siyx
)y,x(f 2
22
4.4.- Estudia la diferenciabilidad y calcula la diferencial en el punto (0,1) de la función:
⎪⎩
⎪⎨⎧
<−−≥+=
y xsiyxyx siyx)y,x(f 2
22
4.5- Halla las diferenciales totales de las funciones siguientes:
(a) f(x,y) = 2x2+lny.
(b) f(x,y) = sen (x+y).
(c) f(x,y,z)=x2-3y2+xz3.
4.6- Calcula la derivada direccional de la función 42x
xyyx3)y,x(f 2 −+
+= en el punto (1,1) en la
dirección del vector (0,-3).
4.7- Calcula la derivada direccional de la función f(x,y)= 3yxy + en el punto (3,3) en la dirección
del vector (1,2).
4.8- Dada la función f(x,y) = xy4x2 + , averiguar en qué dirección la derivada direccional de f en el
punto (1,-1) es nula.
4.9- Calcula el polinomio de Taylor de grado 1 de la función yxy2x)y,x(f 2
3
+
+= en el punto (1,0).
Adapta esa expresión para obtener la ecuación del plano tangente a la gráfica de dicha función en
ese punto.
4.10- Calcula el polinomio de Taylor de grado 1 y de grado 2 de las funciones siguientes en los
puntos dados:
(a) F(x,y,z) = cos(x-y) en el punto (π, 0)
(b) F(x,y) = xy3-3xy2+x en el punto (2, -1)
(c) F(x,y,z) = xey en el punto (1, 0)
4.11- Calcula las direcciones de máximo crecimiento, máximo decrecimiento y crecimiento nulo de
las funciones siguientes:
(a) f(x,y) = xyx3
e)yx(+
− , en el punto (1,0).
(b) f(x,y,z) = sen(xyz)+ln(x-z2), en el punto (1,1,0).
4.12.- Dada la siguiente función de producción Cobb-Douglas Y=F(K,L)=10K0’5L0’5, obtenga la
dirección de máximo crecimiento desde la situación K=100, L=36 e interprétela económicamente.
4.13.- El pago anual (P) que efectúa una persona por un préstamo depende del tipo de interés (i),
del capital prestado (V) y del plazo (n) y es la siguiente función: n)i1(1
)n,i,V(P−+−
=iV . Para un
préstamo con V=1000, i=0’04 y n=10, se pide:
(a) Calcular aproximadamente el efecto sobre el pago anual de un aumento en el tipo de
interés hasta i=0,0425.
(b) Calcular aproximadamente el efecto sobre el pago anual si simultáneamente se produce
una disminución del capital prestado de 100 euros y una disminución del plazo de un año.
4.14.- Los beneficios (B) de la industria del automóvil en Europa en millones de € evolucionan en
función del precio del petróleo (p) en $ por barril, del crecimiento económico (g) y de los salarios (w)
en €. No se conoce la forma exacta que relaciona estas variables pero se estiman los efectos de
cambios en cada variable por separado en la situación actual. Con el barril a 60$, un crecimiento
económico del 2% y unos salarios medios de 2000 € al mes, los beneficios han sido de 500 millones
de € y los efectos estimados son:
,€/€ mill. 5,0 ,porcentual €/punto mill. 50,€/$ mill.15 =∂∂
=∂∂
−=∂∂
wB
gB
pB
Se pide:
(a) Obtenga los beneficios aproximados que se obtendrán el próximo año si el petróleo se
estabiliza a 55$ por barril, la economía crece un 1,5% y los salarios suben un 2%.
(b) ¿Qué hipótesis matemática es necesaria para contestar al apartado anterior?
(c) Calcular una función de beneficios lineal y aproximada para situaciones económicas
parecidas a la actual.
4.15.- La renta per cápita (Y) de un país depende de la inversión bruta (I), medida en porcentaje del
PIB, y del gasto en educación (E), medido en porcentaje del PIB:
Y = 25000 - e0,5 I + 1,8 E – 0,1 I * E
Determine el efecto que tendría sobre la renta un cambio simultáneo igual pero de distinto signo en la
inversión bruta y en el gasto en educación en un país como España (I=21’6, E=4’9) y en otro como
Gran Bretaña (I=16’5, E=5’3).
4.16.- Sea f(x,y) una función diferenciable, de modo que dyyfdx
xfdf
∂∂
+∂∂
= . Escribe las
expresiones correspondientes para df(1,2) y para df(1,2)(3,5).
4.17.- Sea una función diferenciable. Di que clase de objeto (un número, un vector,
una matriz o una función) son:
ℜ→ℜ2:f
(a) (b) (c) ),)(2,1( dydxdf )1,3)(2,1(df )1,3)(,( yxdf
(d) yf
∂∂
(e) y
f∂
∂ )2,1( (f) )3,2(f∇
(g) (h) La DMC de f en el punto (0,2) )3,2(Hf
(i) La derivada direccional de f en (2,1) en la dirección del vector (1,-1)
(j) El polinomio de grado 1 de Taylor de f en el punto (-2,3)
4.18.- Escribe en forma desarrollada (en términos de x1, …, xn) las expresiones:
(a) x (b) (c) )(xf∇ )(xf∇
TEMA 5 – FUNCIÓN COMPUESTA Y HOMOGÉNEA
5.1.- Calcula (si existen) las funciones compuestas g○f y f○g siendo:
(a) )t2(2t,g(t) ,
yxy)f(x, ==
(b) t)cos (sen t,g(t) ,yxy)f(x, 22 =+=
(c) ln t),t1 ,(tg(t) ,yxy)f(x, 222 =−=
5.2.- Calcula la función compuesta definida por las siguientes funciones y sus derivadas parciales
de primer orden. Comprueba que estas derivadas parciales coinciden con las obtenidas usando la
regla de la cadena.
(a) tz ,ey ln t, x, zsen yez)y,f(x, 3tx ===++=
(b) 222 ty 3t, x, yxz −==+=
(c) tcosy sen t, x, xz y ===
(d) v33 eu 1,uvu v)f(u, =++=
(e) yx v,eu , v)(uln z 2yx2 22
+==+= +
(f) xzx
ey ,z
yln e z)y,f(x, ==
5.3.- Calcula el vector gradiente de las siguientes funciones en los puntos indicados usando la regla
de la cadena:
(a) 0 tpunto elen 3t y ,t x,y sen ey)f(x, 2x ====
(b) π tpunto elen t cosy ,t3 x, ez 22y3x ==== +
(c) (0,1)z)(x, punto elen ey ,z
yln e z)y,f(x, xzx
===
(d) π,0)(2,z)y,(x, punto elen xz vz),(xysen u ,eu t 2v =+=+=+=
5.4.- Dadas las funciones ( ) s-rz ,sry s,r x, zyxz)y,f(x, 3222 ==+=++=
(a) Calcula y , la segunda aplicando la regla de la cadena. z)y,df(x, s)df(r,
(b) Calcula la función compuesta y calcula directamente su diferencial. Observa que
se obtiene el mismo resultado.
s)f(r,
5.5.- Calcula la diferencial de las siguientes funciones compuestas usando la regla de la cadena:
(a) 1e v,yxu 1,uvuz y-x2233 −=+=++=
(b) 1e v1,uvu v)f(u, u33 −=++=
(c) x2yx sen v,3u ,vuln z === +
(d) y)(xvsen u ,e vv)f(u, u +=+=
5.6.- Sean las funciones y definidas por: 22 RR :f → RR :g 2 →
usen vv)g(u, y), x,(ey)f(x, xy =+=
Se pide:
(a) Razona, aplicando el teorema de la función compuesta, que g○f es diferenciable en el
punto (0,1)
(b) Calcula, usando la regla de la cadena, d(g○f)(0,1)(1,1)
5.7.- Sean las funciones y definidas por: 23 RR :f → 22 RR :g →
)e v,e(uv)g(u, ),xz z),(xy(sen z)y,f(x, uv2 ++=++=
Se pide:
(a) Razona, aplicando el teorema de la función compuesta, que g○f es diferenciable en el
punto (1,-1,1).
(b) Calcula D(g○f) (1,-1,1).
5.8.- La función de beneficios de una empresa que fabrica un único producto es
100P3x8DP)D,B(x, −−−=
donde x es la cantidad de producto que fabrica, D es la demanda de dicho producto y P son los
costes destinados a publicidad.
Se pide:
(a) Calcula las derivadas parciales de B e interprétalas.
(b) Supongamos que la empresa para no incurrir en costes de almacenamiento ajusta su
producción a su demanda, es decir considera que x=D. Calcula la función compuesta
B(D,P) así como sus derivadas. Explica las diferencias de interpretación entre estas
derivadas y las obtenidas en el apartado anterior.
(c) El signo de PB
∂∂
es negativo, ¿cómo se interpreta esto?, ¿es razonable?
(d) La demanda de la empresa depende de su inversión en publicidad, es decir, la demanda
es una función D(P). La empresa no conoce esta función, pero estima que, para la
inversión actual en publicidad P0, se cumple 52
dPdD
0P
= ¿Es esto razonable?
0P
(e) No podemos calcular la función compuesta B(P), pero sí que podemos calcular dPdB
.
Calcula esta derivada e interprétala. ¿Le convi presa aumentar su invene a la em ersión en
publicidad?
5.9.- recio
sectoriales
El índice de precios al consumo de una economía depende de los índices de p s
(I1: agricultura, I2: industria, I3: servicios) según la función:
321321 I0.35I0.35I0.2)I,I,I(I ⋅+⋅+⋅=
Por otra parte, estos índices de precios son a su vez función del nivel de salarios (s) y del tipo de
interés (r) según las funciones:
3rsr(s,I ,2rsr)(s,I r,5ln 2sr)(s,I 2+=+= ) 2321 +=
Se pide:
irectamente cada función las derivadas
(a) Calcula la función I(s, r).
(b) Calcula derivando d
)r,(s)r,(s 0000 s ,
s
∂∂
)I,I,(I3)I,I,(I2)I,I,(I1 03
02
01
03
02
01
03
02
01
II
II ,
II ,
II
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
donde I10=I1(s0,r0), I20=I2(s0,r0), I30=I3(s0,r0) y s0, r0 son los niveles actuales de salario y tipo
respectivamente. Interpreta estas derivadas.
(c) Calcula las dos últimas derivadas del apartado anterior mediante la regla de la cadena.
Observa que se obtiene el mismo resultado.
5.10.-la cantid
actual para recios p = 30 u.m. y p' = 32 u.m. se estima
Sea B(x,p,p') la función de beneficios de una empresa que fabrica un único bien, donde x es
ad fabricada del bien, p es su precio y p' es el precio medio de la competencia. En el instante
el nivel de fabricación x=100 unidades y los p
que: ,3p'px )32,30,100()32,30,100()32,30,100( ∂∂∂
Supongamos que la competencia ajusta sus precios según los de la empresa, de modo que p'=p+2.
B ,2B ,4B=
∂−=
∂=
∂
(a) Calcula )30,100()30,100( p
BB ∂∂ y x ∂∂
y explica la diferencia entre estas derivadas y las dos
primeras del enunciado, desde un punto de vista matemático y en cuanto a su
s un aumento del precio p de 1
eneficios de la empre
exigir sobre B(x,p) para realizar esta aproximación?
interpretación económica. ¿Cuál de ellas nos indica el efecto que tendría sobre los
beneficio u.m.?
(b) Estima los b sa si se produce simultáneamente un aumento del nivel
de producción de 1 unidad y un aumento del precio de 1 u.m. ¿Qué hipótesis necesito
5.11.- La
donde x e y
actual t=0 la
(a) Calcula las derivadas parciales de C en el punto (x0,y0,t)=(50,30,0) e interprétalas.
terior) cabría
esperar el próximo año (t=1) si simultáneamente aumentará la producción del artículo x
en 1 unidad y disminuyera la producción del artículo y en 2 unidades? ¿Qué hipótesis
x=x(t),
función de costes de una empresa en un instante t (expresado en años) es:
0.01t10y)e(20x100t)y,C(x, ++=
son las cantidades producidas de cada uno de los dos artículos que fabrica. En el año
producción ha sido (x0,y0)=(50,30).
(b) ¿Qué coste aproximado (usa las parciales obtenidas en el apartado an
debe cumplir la función C(x,y,t) para realizar esta aproximación? ¿Se cumple para esta
función de costes?
(c) Por otra parte, las cantidades producidas de estos artículos varía con el tiempo
y=y(t), y la empresa estima que:
0.5dtdy 1,
dtdx
00
−==
Calcula e interpreta 0dt
dC. ¿Qué diferencia de interpretación existe entre esta derivada y
la parcial )0,30,50(t
C∂∂
?
(d) ¿Qué coste aproximado (usa las parciales obtenidas en el apartado anterior) cabría
esperar el próximo año (t=1)? ¿Qué hipótesis debe cumplir la función C(t) para realizar
esta ap
5.12.- Estudia la homogeneidad de las siguientes funciones. En caso afirmativo, halla su grado y
comprueba que se verifica el teorema de Euler:
(a)
(b)
c)
roximación? ¿Se cumple para esta función de costes?
22 yxy)f(x, +=
z2y3xyzxz)y,f(x, 232 +++=
α1αyAxy)f(x, −= (
(d) yxsen y)f(x, =
yx
ey)f(x, = (e)
y2xyx y)f(x, 2
22 += (f)
zyx z)y,f(x,
22 += (g)
y)(xsen y)f(x, += (h)
5.13.- da la función = eyx sen
yx
calcula el valor de las siguientes expresiones: Da )f(x,y
yfy
xfxA
∂∂
+∂∂
= (a)
)0,1(xfB
∂∂
= (b)
yxfy
xfxC
2
+∂
=(c) 2
2 ∂∂∂
∂
5.14.- Repite el ejercicio 5.13 para las funciones:
22
2
yx
yx y)f(x,+
= (a)
5
2
2yxxy y)f(x, +
= (b)
(c) xyln y xy)f(x, 2=
5.15.- Demuestra aplicando el teorema de Euler que la función
22 yx
1 y)f(x,+
=
es homogénea y calcula su grado de homogeneidad.
5.16.- Dadas las funciones de producción siguientes:
ales y A, α, β>0.
(b)
(a) βαLAKK)Q(L, = , donde A, α y β son parámetros re
α
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+=
LKβAK)Q(L, , donde A, α y β son pará s reales y A, α, β>0.
(c)
metro
[ ]α1
αα β)L(1βKAK)Q(L, −+= , donde A, α y β son parámetros reales, A, α, β>0 y
Estudia n homogéneas o n o indica el tipo de
rendimientos a escala (crecientes, constantes o decrecientes) que presenta una empresa con dicha
función de producción y comprueba
5.17.- unción de producción de una em
(K) viene da α-1α , donde A y α son parámetros reales y A>0, 0≤α≤1.
Se pide:
0≤β≤1.
si so o en función de sus parámetros. Y en caso afirmativ
el teorema de Euler.
La f presa en función de los factores de trabajo (L) y capital
da por LAKK)Q(L, =
(a) Estudia si la función de producción es homogénea y en caso afirmativo indica el tipo de
rendimientos a escala de la empresa.
(b) Supongamos que los dos factores dependen de la variable tiempo (t) según las funciones:
ucto respecto al tiempo
teL(t) t,γβK(t) ⋅=⋅+= δ
donde β,γ,δ son parámetros reales estrictamente positivos. Calcula la tasa de cambio del
tddQ
prod y a partir de ella razona si Q(t) es o no una función
5.18.-R = i·G. Sin embargo, ambas variables no son independientes y que un aumento en el tipo
impositi
homogénea.
La recaudación por IVA (R) es el producto del tipo impositivo (i) por el gasto en consumo (G),
a
vo se estima que tendría una influencia negativa en el consumo, 1500)16'0(−=
dG. Si el
s de 100 (millones de €) con tipo impositivo de 0’16, obtenga el efecto global sobre la
ción de un au
diGasto e un
recauda mento marginal en el tipo impositivo.
país Y, según las relaciones: x=M-Y, y=-M+2Y. Si M=16 y Y=10, Calcular como afecta a su utilidad
siguientes funciones de producción:
5.19.- La utilidad de un consumidor es logarítmica y depende del consumo de dos bienes:
U(x, y)=ln(x)+1’5ln(y). A su vez, estos consumos dependen de su renta M y de la renta media de su
las variaciones marginales en su renta y en la renta media de su país.
5.20.- Estudia la homogeneidad y, en su caso, el tipo de rendimiento a escala que presentan las
(a) Cobb-Douglas: βα LAKLKY =),(
(b) AK: LKALKY =),(
(c) Jones-Manuelli: αα −+= 1),( LBKAKLKY
(d) CESS: [ ] ααα /1))1)((1()(),( LbabKaALKY −−+=
5.21.- z=z(x,y) e y=y(x). Contesta:
(a) ¿Cuál es la función compuesta?
función es la que parece en cada una de las derivadas siguientes?
Considera las funciones
(b) ¿Qué a
dxdz
y xz
∂∂
TEMA 6 – CONVEXIDAD
6.1.- Obtener la expresión matricial de las siguientes formas cuadráticas y clasificarlas según su
signo:
(a) q1(x1,x2)=x12+x2
2+4x1x2
(b) q2(x,y)=-x2-2y2+2xy
(c) q3(x1,x2,x3)=x12+x2
2+x1x2+4x32-2x1x3
(d) q4(x,y)=y2
(e) q5(x,y,z)=5x2+4z2
(f) q6(x,y,z)=-x2-2y2-3z2+2xy
(g) q7(x,y,z,t)=2x2+4xy+6y2+4z2+8t2-2zt
(h) q8(x1,x2)=-x12-3x2
2+6x1x2
(i) q9(x1,x2,x3)=x12+x2
2+x32+2x1x2+2x1x3+2x2x3
(j) q10(x1,x2,x3)=-x12-4x2
2+4x1x2
6.2.- Estudiar gráficamente la convexidad de los siguientes conjuntos:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
6.3.- Representar gráficamente el menor conjunto convexo que contenga a los puntos P1=(0,1),
P2=(-1,-1) y P3=(1,-1) y expresar el punto (0,0) como combinación lineal convexa de P1, P2 y P3.
6.4.- Si los puntos (-1,2,0) y (2,0,1) pertenecen a un conjunto S que es convexo, deducir si el punto
(0,-1/2,1/2) pertenece también a S. ¿Y el punto (0,0,0)?.
6.5.- Utilizar las propiedades de los conjuntos convexos para estudiar la convexidad de los
siguientes conjuntos:
(a)
(b) =
]1,1[}11/{ −=≤≤−∈= xRxA
B x y R x y= ∈ + ={( , ) / }2 4
C x y R x y= ∈ + ≤{( , ) / }2 2
D x y R y x= ∈ ={( , ) / }2 2
}0 ,0 ,4/),{( 2 ≥≥≤+∈= yxyxRyxE
}1 ,1/),{( 222 −−=+=∈= xyxyRyxF
}/),{( 22 xyRyxG ≤∈=
}/),{( 22 xyRyxH ≥∈=
A x y R x y x y12 4 2 8= ∈ + = + ≥{( , ) / , }
A x y z R x y z x y z23 6 2 3 8= ∈ + + = − +{( , , ) / , }
6.6.- Utilizar la caracterización pa 2 studiar la concavidad y/o
convexidad, en su caso estricta, dominio:
(a) ( , ) = +
(b)
( )+
2 3−
6.7.- M funciones cóncavas y convexas, razonar la concavidad y/o
convexidad de las funciones:
(d)
siendo 5 las funciones del ejercicio anterior.
6.8.- Estudiar la convexidad y/o concavidad, en su caso estricta, de las siguientes funciones en el
conjunto de puntos interiores del primer uadrante; x>0, y>0:
(b)
ra funciones de clase C para e
de las siguientes funciones en todo su
f x y ex y1
f x y e ex y2 ( , ) = − −
(c) f x y x y3( , ) ln( )= +
(d) f x y x y2( , ) = + 4
2(e) f x y5( , ) = x y
(f) f x y x623 2( , ) = + y x
(g) f x y z x y z3 2( , , ) = + + 7
(h) f x y x xy y82 22( , ) = + −
ediante las propiedades de las
zyxzyxf 53),,( −+= (a)
f f1 4+ (b)
f f1 52+ (c)
− +f f1 3
f f f f1 3 4, , y
c
g x y x y13 3( , ) = + (a)
g x yxy2
(c) g x y x y3( , ) ln( )= +
1( , ) =
(a)
≤−≤+−+∈= yxyxRyxC
6.9.- Utilizando las propiedades de las funciones cóncavas y convexas, estudiar la convexidad de
los siguientes conjuntos:
C x y R x y12 2 4= ∈ + ≤{( , ) / }
(b) 2222 }02y- x,224/),{(
C x y R x y32 2= ∈ + ≥{( , ) / ln( ) } (c)
}4/),{( 2224 ≤−∈= xyRyxC (d)
6.10.- Demostrar la concavidad de la función de producción Cobb-Douglas con rendimientos
constantes a escala 0,),( 1 >== − ALAKLKFY αα ; en el primer cuadrante K>0, L>0. ¿Es
estricta e cónc
6.11.- Un consumidor con una renta presupuestaria de M>0 unidades monetarias puede acceder a
cualquier elemento del siguiente conjunto de consumos de n bienes:
,{( 1111 >>≤++∈= nnnn
n xxMxpxpRxC
Demostrar que el conjunto de co sumos es convexo.
6.12.- Una empresa con tecnología Cobb-Douglas de rendimientos constantes a escala (función
cóncava según el ejercicio 6.10) tiene un conjunto de producción formado por cualquier combinación
de facto capital (K) y trabajo (L) qu btener una producción mínima P>0 de su output: −αα
ducción es convexo.
6.13.- udiar la concavidad de la función de utilidad
ment ava?
,...x }0,...,0,.../)
n
res e le permitan o
}0,0,/),{(= LKPLAKRLKD
Demostrar que el conjunto de pro
12 >>≥∈
αβ
α
αα 11),( 21
21−
+−
=cc
ccU Est , para los
valores de α y β, siendo c1>0 y c2>0 los consumos de dos bienes.
6.14.- uáles de las características siguientes corresponden a una forma cuadrática, un conjunto
nción:
(a) Ser semidefinido/a positivo/a
(d) Ser un hiperplano
6.15.- pleta con las palabras conjunto, función, forma cuadrática, cóncavo/a o convexo/a el
siguiente razonamiento para estudiar la convexidad de 222 :
“El ___ __________ C es un ________________ de nivel superior de la _____________
yx −−=
er si la ______________ f es _______________, estudiamos la
______ ________ asociada a la matriz h a de f, que es . Como es
una ma iagonal y los coeficientes de la diagonal son negativos la ________________________
asociada a H es definida negativa, luego es una _____________
______ y C es un ______________ _____________ .”
Di c
o una fu
(b) Ser convexo/a
(c) Ser cóncavo/a
Com
}842/),{( −>−−∈= yxRyxC
___22 42),( yxf , luego el _____________ C será convexo si la ______________ f es
__________. Para sab
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
−=
8004
),( yxHf____ essinan
triz d , 22 42),( yxyxf −−=
____
TEMA 7 - INTEGRAL DE RIEMANN E IMPROPIA
7.1.- Calcula las siguientes integrales:
(a) ∫π
02cos dxx (b) ∫ +
2
0 2x1 dxx
(c) ∫ −5
212 dxx
(d) (e) ∫1
0
2 3
dxex x ∫ +2 6x21
3 dx
+π
0)2sen (x dxx
2 cosenπ
dxxxs
(f) ∫
(g) ∫0 (h)
2/
∫ +
1 dxex
0 21 ex (i) ∫
2
1 x
23ln e
dxx
(a) (c
(d) 1
3 dxx (e) 0
dxxe (f)
7.3.- Calcula 0
dxf(x) para las siguientes funciones:
<=
3)(
2 xxxf (b) ⎨
⎧ <=
10)(
xxf
(c (xf (d)
7.2.- Calcula las siguientes integrales:
) ∫4
2ln dxxx ∫
π
0cos dxxx (b) ∫
π
0
2 dxsenxx
2 2 x 2 x∫ ∫π
0 dxsenxe x ∫
5
∫
(a) ⎩ ≥ 39 x ⎩ ≥ 1ln xxx
⎨⎧
⎪⎩
⎪⎨
⎧
≥
<+=
ex
exxxf
51
12
)( ) ⎩ ≥− 4122 xx⎨⎧ <
=4
)2/1 xx
7.4.- Resuelve las siguientes integrales:
(a) ∫∞+
40 xdx
(b) ∫∞+
x
dx
0 (c) ∫
∞+
0 4/1xdx
e
(d) ∫ ∞−
1 2 dxe x (e) ∫ ∞−− 2
−1
xdx
7.5.-
(f) ∫ −
0
2
dxxe x
Resuelve las siguientes integrales:
(a)
+∞
∫ −1 2 13
xxdx
(b) ∫1
0 4xdx
(c) ∫1
0 4/1xdx
(d) dxx∫−
−−6
2
3/5)2( (e) dxxx
∫ −
3
0 2 1 (f) ∫ −
1
0 1 xdx
7.6.- Calcula el área e 2 2
.7.- Halla el área limitada por la curva y = x2 y la recta y = x.
7.8.- Los beneficios de una empresa se comportan de forma continua en el tiempo según la función:
t2 sent +10. S
(a) Determinar el beneficio acumulado durante el período [0,2π].
(b) De i obten e od .
.- Se conoce el cost que upone c e altur
y viene dado por la siguiente función expresada en miles de euros por metro:
e d edificio y C a de constr r todo el edificio. Se
pide:
(a) El c t ir e me
(b) El coste de construir entre el metro 40 y 50.
oste de co os.
(d) El coste medio por metro de construir todo el edificio de 50 metros.
El mercado de ordena ente curva de oferta y demanda:
Qd = 48 – 3 p2 (demanda)
Qs = 5 p2 –20 (oferta)
donde p es el precio de los ordenadores.
siguiente figura apare ercado de ordenadores con el precio, pe, y la
cantidad de equilibrio, qe (demanda = oferta; Qd = Qs).
ncerrada por las curvas y = 4x; x = 4y.
7
B(t)= e pide:
terminar el beneficio med o ido en ese mismo p rí o
7.9 e adicional s onstruir el último metro d a de un edificio, C(x),
dond altura en metros el T es el coste tot l uix indica la
oste de cons ru l tro 50 del edificio.
(c) El c nstruir todo el edificio de 50 metr
7.10.- dores personales tiene la sigui
En la ce representado el m
Determinar el excedente del consumid (área sombreada). or
22,010)( ttdCTxC ++==dx
7.11.- La función que indica el salario adicional que percibe un individuo representativo al cumplir
un año más de edad es xxw 2,06)( +−= , donde w es el salario adicional en euros y x la edad en
Calcular la función de salario total en función de la edad W(x) si cuando el individuo tiene 30
total que percibirá el individuo a lo largo de su vida laboral (entre 25 y 65
(c)
función de coste total
C(q).
n de la renta, Y:
S’(Y) =
años. Se pide:
(a)
años, el salario anual es de 1.710 euros.
(b) Calcular el salario
años).
Calcular el salario medio anual entre los 25 y 65 años.
7.12.- La función de costes de una empresa es tal que el coste fijo es CF = 80 y el coste marginal C’
viene dado por la siguiente función del producto C’(q) = 2e0.2q. Determinar la
7.13.- La propensión marginal al ahorro en una determinada economía viene dada por la siguiente
funció
0.28 – 0.15 Y1 .
Si el ah de ahorro S(Y).
7.14.- Se conoce que una población de tamaño H cambia a lo largo del tiempo según la tasa,
orro es nulo cuando la renta Y es de 90, halla la función
21−
= tdHdt
. Sabiendo que la población inicial es H(0)=44’2 millones, se pide:
e población total a lo largo del tiempo, H(t).
e la población alcanzará un tamaño de 50 millones.
7.15.- La tasa de formación del stock de capital de una Economía en un instante t, K(t), viene dada
por la inversión neta en t, I(t). Si dicha función es:
es K(0)=65 miles de millones de euros, obtenga la trayectoria temporal del
stock d a inversión neta realizada en el intervalo [1,3], es decir, durante el segundo
y tercer año.
(a) Calcular la función d
(b) Obtener el momento t’ en el qu
(c) ¿Cuánto tiempo será necesario para que la población aumente en 3 millones de
personas?
21
3)( tdtdKtI ==
y el stock de capital inicial
e capital. Calcular l
7.16.- El valor actual, VA, de un flujo continuo de capitales por unidad de tiempo, C(t), descontado a
un tipo de interés i du o de tiempo [0,b] es la siguiente integral Riemann,
−=b
itetCVA )(
rante un period
. Se pide:
continuo de 100€ al mes (capital constante) durante
cular el valor actual si el capital es 100e0,001t € al mes (capital creciente).
e 100€ al mes durante toda la vida
(perpetuo), es decir, el periodo es [0,+∞[.
s i durante un periodo de tiempo [0,b] es la siguiente integral Riemann:
a ara un ahorrador de una aportación continua de 1000€ al año durante diez
i=0,025.
c) Calcular el valor final adicional que se acumula en el décimo año (en el intervalo [9,10]) si el flujo
7.18.- En
7.19.-
7.20.- En er teorema del valor medio.
bit
∫0
(a) Calcular el valor actual de un capital
dt
dos años, periodo [0,24], con i=0,003.
(b) Cal
(c) Calcular el valor actual si el flujo de capital es d
7.17.- El valor futuro, VF, de una inversión continua de capitales por unidad de tiempo, C(t),
capitalizada a un tipo d
∫= dtetCVF0
)(
e interé
a) Calcular el valor fin l p
años, periodo [0,10], con
b) Calcular el valor final si el capital es 1000e0,01t € al año (capital creciente).
de capital es el del apartado a).
unciar dos condiciones suficientes de integrabilidad Riemann.
Enunciar la propiedad de partición del intervalo de integrabilidad.
unciar el prim
TEMA 8 - INTRODUCCI
r que las fun
ÓN A LAS ECUACIONES DIFERENCIALES
8.1.- Comproba ciones dadas son soluciones de las ecuaciones diferenciales dadas: -2x -2x
(b)
(a) y’ + 2y = 0, y(x) = e , y(x) = 5e .
y’ + xy = 0, y(x) = 2x2
e−
.
(c) y’+y=senx, y(x) = senx21xcos
21e x +−−
8.2.- Comp
Encontrar la única solución que cumple en cada caso la condición que se indica.
robar que las funciones dadas son soluciones de las ecuaciones diferenciales dadas.
(a) y’+2y=0, y(x) = Ae-2x, y(0)=2.
(b) y’+y = senx, y(x) = senx21xcos
21Ae x +−− , y(0) = -1.
(c) y’+2y = x2, y(x) = x22 Aex21x
21
41 −++− , y(0) = 1.
8.3.- Resuelve:
(a) y2dxdy
=
(b) yx
dxdy
−=
(c) ( ) xx edxdyy e1 =+ , y(0) = 1.
( )(d) 0dy xydx y1 =++ . 2
(e) xcosysenxdxdy
= .
0dyy1ydxx1x 22 =−+−(f) , y(0)=1.
(g) , y(1)=1.
.4.- Resuelve:
(a)
0dy xdxlny y =+
8
2xxe2xy2
dxdy −=+ .
xey2dxdy −=+ . (b)
(c) x2xy2dxdy
=+ , y(0) = -1.
(d) 3xxydx
=+ . dy
(e) 1e1edx xx ++
xyedy x=+ , y(0) = 1.
(f) x
xcosydy=+
π=⎟
⎠
⎞⎜⎛ π 4⎝ 2
y . xdx
,
θ+=θ 2ed t2(g)
dt.
8.5.- La población de cierto país aumenta proporcionalmente al número de habitantes. Si después
8.6.- Sean las siguientes funciones de demanda y de oferta de un bien:
tQtptQ
s
d
=−=
Mientras que el ajuste que se produce en el precio del bien en caso de desequilibrio en el mercado
siguiente ecuación diferencial:
de dos años la población se ha duplicado y después de tres años es de 20.000 habitantes, calcula la
población inicial.
)(532 tp+−
)()(360)(
)(3,0 sd QQdtdp
−=viene dado por la .
Obteng rayecto a temporal del precio de mercado de este bien si inicialmente su precio es
p(0)=6€. Comente si hay una convergencia hacia el precio de equilibrio o una divergencia a medida
que pasa el tiempo.
8.7.- población de tamaño H lo largo del tiempo en función de una tasa de
reproducción n y de la entrad neta de inmigrantes I, según la siguiente ecuación diferencial:
a la t ri
Una cambia a
a
InHdt
+=
Sabiendo qu
dH
e la población inicial es H(0)=44’2 millones, n=0,005 e I=0,15, se pide:
Calcular la función de pobla H(t).
Obtenga el momento t’ en el que la población alcanzará un tamaño de 50 millones.
(c) ¿Cuánto tiempo será necesario para que la población aumente en 3 millones de
as?
(a) ción total a lo largo del tiempo,
(b)
person
8.8.- El ca tal pi acumulado en un plan de pensiones, C, evoluciona anualmente según la siguiente
ecuación diferencial, ))(( ACgidt
+−=
comisión de gestión y A
dC, donde i es la rentabilidad financiera anual del plan de
pensiones, g es la son las aportaciones continuas y constantes anuales que
al ns ide:
(a) Obtenga la expresión para la trayectoria temporal del capital acumulado en el plan de
pensiones si el capital de partida es C(0)=0.
(b) Si i=0,04, g=0,02 y A=1000 €, Calcular el capital que acumulará una persona a la que le
faltan 25 años para la jubilación.
ar el capital que se pide en el apartado b) pero con aportaciones crecientes si
q=0,01.
8.9.- Para devolver un préstamo de cuantía P(0) se paga una cantidad continua C constante
mensualmente. La evolución de la cantidad del capital prestado que queda por amortizar en un
se realizan plan de pe iones. Se p
(c) Obtenga la expresión que se pide en el apartado a) si las aportaciones son crecientes
anualmente, A(t)=1000eqt.
(d) Calcul
instante t, P(t), es: CiPdP−= , donde i es el tipo de interés mensual del préstamo. Se pide:
(a) Calcular la trayectoria temporal del ca
dtpital pendiente de amortizar.
t=240 meses. Nota: Devolver un préstamo significa que el capital pendiente de
amortizar al final del plazo es cero.
(b) Calcular la cantidad mensual constante que hay que pagar de forma continua para
devolver un préstamo de cuantía P(0)=100000 €, con un tipo de interés i=0,003 y durante
20 años,