Upload
others
View
1
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Tema 1Medida de Lebesgue en Rn
Miguel Lacruz Martı[email protected]
Departamento de Analisis MatematicoFacultad de Matematicas
Universidad de Sevilla
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Vamos a recordar brevemente algunos conceptos sobre espaciosmedibles y medidas positivas:
DefinicionSea X un conjunto. M⊂ P(X ) se denomina σ-algebra si verifica:
1. ∅ ∈ M.
2. A ∈M⇒ Ac ∈M.
3. An ∈M,∀n ∈ N⇒⋃
n∈N An.
El {X ,M} se denomina espacio medible y los elementos de M sedenominan conjuntos medibles.
Ejemplo
M = {∅,X}, M = P(X ).
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Vamos a recordar brevemente algunos conceptos sobre espaciosmedibles y medidas positivas:
DefinicionSea X un conjunto. M⊂ P(X ) se denomina σ-algebra si verifica:
1. ∅ ∈ M.
2. A ∈M⇒ Ac ∈M.
3. An ∈M,∀n ∈ N⇒⋃
n∈N An.
El {X ,M} se denomina espacio medible y los elementos de M sedenominan conjuntos medibles.
Ejemplo
M = {∅,X}, M = P(X ).
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Vamos a recordar brevemente algunos conceptos sobre espaciosmedibles y medidas positivas:
DefinicionSea X un conjunto. M⊂ P(X ) se denomina σ-algebra si verifica:
1. ∅ ∈ M.
2. A ∈M⇒ Ac ∈M.
3. An ∈M,∀n ∈ N⇒⋃
n∈N An.
El {X ,M} se denomina espacio medible y los elementos de M sedenominan conjuntos medibles.
Ejemplo
M = {∅,X}, M = P(X ).
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Vamos a recordar brevemente algunos conceptos sobre espaciosmedibles y medidas positivas:
DefinicionSea X un conjunto. M⊂ P(X ) se denomina σ-algebra si verifica:
1. ∅ ∈ M.
2. A ∈M⇒ Ac ∈M.
3. An ∈M,∀n ∈ N⇒⋃
n∈N An.
El {X ,M} se denomina espacio medible y los elementos de M sedenominan conjuntos medibles.
Ejemplo
M = {∅,X}, M = P(X ).
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Vamos a recordar brevemente algunos conceptos sobre espaciosmedibles y medidas positivas:
DefinicionSea X un conjunto. M⊂ P(X ) se denomina σ-algebra si verifica:
1. ∅ ∈ M.
2. A ∈M⇒ Ac ∈M.
3. An ∈M,∀n ∈ N⇒⋃
n∈N An.
El {X ,M} se denomina espacio medible y los elementos de M sedenominan conjuntos medibles.
Ejemplo
M = {∅,X}, M = P(X ).
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Vamos a recordar brevemente algunos conceptos sobre espaciosmedibles y medidas positivas:
DefinicionSea X un conjunto. M⊂ P(X ) se denomina σ-algebra si verifica:
1. ∅ ∈ M.
2. A ∈M⇒ Ac ∈M.
3. An ∈M,∀n ∈ N⇒⋃
n∈N An.
El {X ,M} se denomina espacio medible y los elementos de M sedenominan conjuntos medibles.
Ejemplo
M = {∅,X}, M = P(X ).
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Proposicion
Si {X ,M} es un espacio medible, se verifica:
1. A1,A2, · · · ,Ap ∈M⇒⋃p
k=1 Ak ∈M.2. An ∈M,∀n ∈ N⇒
⋂n∈N An.
3. A1,A2, . . . ,Ap ∈M⇒⋂p
k=1 Ak ∈M.4. A,B ∈M⇒ A\B ∈M.
LemaSean Mi , i ∈ I , σ-algebras en X . Entonces,
⋂i∈IMi es una
σ-algebra en X .
DefinicionSea S ⊂ P(X ). La σ-algebra interseccion de todas las σ-algebrasque contienen a S se denomina σ-algebra generada por S y sedenota MS . MS es la menor σ-algebra que contiene a S.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Proposicion
Si {X ,M} es un espacio medible, se verifica:
1. A1,A2, · · · ,Ap ∈M⇒⋃p
k=1 Ak ∈M.
2. An ∈M,∀n ∈ N⇒⋂
n∈N An.3. A1,A2, . . . ,Ap ∈M⇒
⋂pk=1 Ak ∈M.
4. A,B ∈M⇒ A\B ∈M.
LemaSean Mi , i ∈ I , σ-algebras en X . Entonces,
⋂i∈IMi es una
σ-algebra en X .
DefinicionSea S ⊂ P(X ). La σ-algebra interseccion de todas las σ-algebrasque contienen a S se denomina σ-algebra generada por S y sedenota MS . MS es la menor σ-algebra que contiene a S.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Proposicion
Si {X ,M} es un espacio medible, se verifica:
1. A1,A2, · · · ,Ap ∈M⇒⋃p
k=1 Ak ∈M.2. An ∈M,∀n ∈ N⇒
⋂n∈N An.
3. A1,A2, . . . ,Ap ∈M⇒⋂p
k=1 Ak ∈M.4. A,B ∈M⇒ A\B ∈M.
LemaSean Mi , i ∈ I , σ-algebras en X . Entonces,
⋂i∈IMi es una
σ-algebra en X .
DefinicionSea S ⊂ P(X ). La σ-algebra interseccion de todas las σ-algebrasque contienen a S se denomina σ-algebra generada por S y sedenota MS . MS es la menor σ-algebra que contiene a S.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Proposicion
Si {X ,M} es un espacio medible, se verifica:
1. A1,A2, · · · ,Ap ∈M⇒⋃p
k=1 Ak ∈M.2. An ∈M,∀n ∈ N⇒
⋂n∈N An.
3. A1,A2, . . . ,Ap ∈M⇒⋂p
k=1 Ak ∈M.
4. A,B ∈M⇒ A\B ∈M.
LemaSean Mi , i ∈ I , σ-algebras en X . Entonces,
⋂i∈IMi es una
σ-algebra en X .
DefinicionSea S ⊂ P(X ). La σ-algebra interseccion de todas las σ-algebrasque contienen a S se denomina σ-algebra generada por S y sedenota MS . MS es la menor σ-algebra que contiene a S.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Proposicion
Si {X ,M} es un espacio medible, se verifica:
1. A1,A2, · · · ,Ap ∈M⇒⋃p
k=1 Ak ∈M.2. An ∈M,∀n ∈ N⇒
⋂n∈N An.
3. A1,A2, . . . ,Ap ∈M⇒⋂p
k=1 Ak ∈M.4. A,B ∈M⇒ A\B ∈M.
LemaSean Mi , i ∈ I , σ-algebras en X . Entonces,
⋂i∈IMi es una
σ-algebra en X .
DefinicionSea S ⊂ P(X ). La σ-algebra interseccion de todas las σ-algebrasque contienen a S se denomina σ-algebra generada por S y sedenota MS . MS es la menor σ-algebra que contiene a S.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Proposicion
Si {X ,M} es un espacio medible, se verifica:
1. A1,A2, · · · ,Ap ∈M⇒⋃p
k=1 Ak ∈M.2. An ∈M,∀n ∈ N⇒
⋂n∈N An.
3. A1,A2, . . . ,Ap ∈M⇒⋂p
k=1 Ak ∈M.4. A,B ∈M⇒ A\B ∈M.
LemaSean Mi , i ∈ I , σ-algebras en X . Entonces,
⋂i∈IMi es una
σ-algebra en X .
DefinicionSea S ⊂ P(X ). La σ-algebra interseccion de todas las σ-algebrasque contienen a S se denomina σ-algebra generada por S y sedenota MS . MS es la menor σ-algebra que contiene a S.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Proposicion
Si {X ,M} es un espacio medible, se verifica:
1. A1,A2, · · · ,Ap ∈M⇒⋃p
k=1 Ak ∈M.2. An ∈M,∀n ∈ N⇒
⋂n∈N An.
3. A1,A2, . . . ,Ap ∈M⇒⋂p
k=1 Ak ∈M.4. A,B ∈M⇒ A\B ∈M.
LemaSean Mi , i ∈ I , σ-algebras en X . Entonces,
⋂i∈IMi es una
σ-algebra en X .
DefinicionSea S ⊂ P(X ). La σ-algebra interseccion de todas las σ-algebrasque contienen a S se denomina σ-algebra generada por S y sedenota MS .
MS es la menor σ-algebra que contiene a S.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Proposicion
Si {X ,M} es un espacio medible, se verifica:
1. A1,A2, · · · ,Ap ∈M⇒⋃p
k=1 Ak ∈M.2. An ∈M,∀n ∈ N⇒
⋂n∈N An.
3. A1,A2, . . . ,Ap ∈M⇒⋂p
k=1 Ak ∈M.4. A,B ∈M⇒ A\B ∈M.
LemaSean Mi , i ∈ I , σ-algebras en X . Entonces,
⋂i∈IMi es una
σ-algebra en X .
DefinicionSea S ⊂ P(X ). La σ-algebra interseccion de todas las σ-algebrasque contienen a S se denomina σ-algebra generada por S y sedenota MS . MS es la menor σ-algebra que contiene a S.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
DefinicionSi {X , τ} es un espacio topologico (τ la familia de los abiertos), laσ-algebra generada por τ se denomina σ-algebra de Borel y a suselementos se les denominan borelianos.
I Los conjuntos abiertos, los conjuntos cerrados,I los Gδ (interseccion numerable de abiertos) y los Fσ (union
numerable de cerrados)
son borelianos.
DefinicionSea {X ,M} un espacio medible, y sea A ∈M. La σ-algebra{A ∩ B : B ∈M} se denomina σ-algebra inducida en A y se denota MA.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
DefinicionSi {X , τ} es un espacio topologico (τ la familia de los abiertos), laσ-algebra generada por τ se denomina
σ-algebra de Borel y a suselementos se les denominan borelianos.
I Los conjuntos abiertos, los conjuntos cerrados,I los Gδ (interseccion numerable de abiertos) y los Fσ (union
numerable de cerrados)
son borelianos.
DefinicionSea {X ,M} un espacio medible, y sea A ∈M. La σ-algebra{A ∩ B : B ∈M} se denomina σ-algebra inducida en A y se denota MA.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
DefinicionSi {X , τ} es un espacio topologico (τ la familia de los abiertos), laσ-algebra generada por τ se denomina σ-algebra de Borel y a suselementos se les denominan borelianos.
I Los conjuntos abiertos, los conjuntos cerrados,I los Gδ (interseccion numerable de abiertos) y los Fσ (union
numerable de cerrados)
son borelianos.
DefinicionSea {X ,M} un espacio medible, y sea A ∈M. La σ-algebra{A ∩ B : B ∈M} se denomina σ-algebra inducida en A y se denota MA.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
DefinicionSi {X , τ} es un espacio topologico (τ la familia de los abiertos), laσ-algebra generada por τ se denomina σ-algebra de Borel y a suselementos se les denominan borelianos.
I Los conjuntos abiertos,
los conjuntos cerrados,I los Gδ (interseccion numerable de abiertos) y los Fσ (union
numerable de cerrados)
son borelianos.
DefinicionSea {X ,M} un espacio medible, y sea A ∈M. La σ-algebra{A ∩ B : B ∈M} se denomina σ-algebra inducida en A y se denota MA.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
DefinicionSi {X , τ} es un espacio topologico (τ la familia de los abiertos), laσ-algebra generada por τ se denomina σ-algebra de Borel y a suselementos se les denominan borelianos.
I Los conjuntos abiertos, los conjuntos cerrados,
I los Gδ (interseccion numerable de abiertos) y los Fσ (unionnumerable de cerrados)
son borelianos.
DefinicionSea {X ,M} un espacio medible, y sea A ∈M. La σ-algebra{A ∩ B : B ∈M} se denomina σ-algebra inducida en A y se denota MA.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
DefinicionSi {X , τ} es un espacio topologico (τ la familia de los abiertos), laσ-algebra generada por τ se denomina σ-algebra de Borel y a suselementos se les denominan borelianos.
I Los conjuntos abiertos, los conjuntos cerrados,I los Gδ
(interseccion numerable de abiertos) y los Fσ (unionnumerable de cerrados)
son borelianos.
DefinicionSea {X ,M} un espacio medible, y sea A ∈M. La σ-algebra{A ∩ B : B ∈M} se denomina σ-algebra inducida en A y se denota MA.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
DefinicionSi {X , τ} es un espacio topologico (τ la familia de los abiertos), laσ-algebra generada por τ se denomina σ-algebra de Borel y a suselementos se les denominan borelianos.
I Los conjuntos abiertos, los conjuntos cerrados,I los Gδ (interseccion numerable de abiertos) y los Fσ
(unionnumerable de cerrados)
son borelianos.
DefinicionSea {X ,M} un espacio medible, y sea A ∈M. La σ-algebra{A ∩ B : B ∈M} se denomina σ-algebra inducida en A y se denota MA.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
DefinicionSi {X , τ} es un espacio topologico (τ la familia de los abiertos), laσ-algebra generada por τ se denomina σ-algebra de Borel y a suselementos se les denominan borelianos.
I Los conjuntos abiertos, los conjuntos cerrados,I los Gδ (interseccion numerable de abiertos) y los Fσ (union
numerable de cerrados)
son borelianos.
DefinicionSea {X ,M} un espacio medible, y sea A ∈M. La σ-algebra{A ∩ B : B ∈M} se denomina σ-algebra inducida en A y se denota MA.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
DefinicionSi {X , τ} es un espacio topologico (τ la familia de los abiertos), laσ-algebra generada por τ se denomina σ-algebra de Borel y a suselementos se les denominan borelianos.
I Los conjuntos abiertos, los conjuntos cerrados,I los Gδ (interseccion numerable de abiertos) y los Fσ (union
numerable de cerrados)
son borelianos.
DefinicionSea {X ,M} un espacio medible, y sea A ∈M. La σ-algebra{A ∩ B : B ∈M} se denomina σ-algebra inducida en A y se denota MA.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
DefinicionSi {X , τ} es un espacio topologico (τ la familia de los abiertos), laσ-algebra generada por τ se denomina σ-algebra de Borel y a suselementos se les denominan borelianos.
I Los conjuntos abiertos, los conjuntos cerrados,I los Gδ (interseccion numerable de abiertos) y los Fσ (union
numerable de cerrados)
son borelianos.
DefinicionSea {X ,M} un espacio medible, y sea A ∈M. La σ-algebra{A ∩ B : B ∈M} se denomina σ-algebra inducida en A y se denota MA.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
DefinicionSi {X , τ} es un espacio topologico (τ la familia de los abiertos), laσ-algebra generada por τ se denomina σ-algebra de Borel y a suselementos se les denominan borelianos.
I Los conjuntos abiertos, los conjuntos cerrados,I los Gδ (interseccion numerable de abiertos) y los Fσ (union
numerable de cerrados)
son borelianos.
DefinicionSea {X ,M} un espacio medible, y sea A ∈M. La σ-algebra{A ∩ B : B ∈M} se denomina σ-algebra inducida en A y se denota MA.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
DefinicionSi {X , τ} es un espacio topologico (τ la familia de los abiertos), laσ-algebra generada por τ se denomina σ-algebra de Borel y a suselementos se les denominan borelianos.
I Los conjuntos abiertos, los conjuntos cerrados,I los Gδ (interseccion numerable de abiertos) y los Fσ (union
numerable de cerrados)
son borelianos.
DefinicionSea {X ,M} un espacio medible, y sea A ∈M. La σ-algebra{A ∩ B : B ∈M} se denomina σ-algebra inducida en A y se denota MA.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
DefinicionSea {X ,M} un espacio medible, una medida positiva es unaaplicacion µ :M→ [0,+∞] que verifica:
1. µ(∅) = 0.2. Si An ∈M, ∀n ∈ N y Ai ∩ Aj = ∅, i 6= j , entoncesµ(⋃
n∈N An
)=∑
n∈N µ(An).
{X ,M, µ} se denomina espacio de medida
Sea {X ,M, µ} un espacio de medida.
1. Si µ(X ) < +∞ la medida se dice finita.
2. Si X =⋃
n∈N An y µ(An) < +∞, la medida se dice σ-finita.
3. Si cada A ∈M con µ(A) = 0, verifica que si B ⊂ A entoncesB ∈M, la medida se dice completa.
4. Si MA es una σ-algebra inducida, la medidaµ/MA
:MA → [0,+∞] se denomina medida inducida.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
DefinicionSea {X ,M} un espacio medible, una medida positiva es unaaplicacion µ :M→ [0,+∞] que verifica:
1. µ(∅) = 0.
2. Si An ∈M, ∀n ∈ N y Ai ∩ Aj = ∅, i 6= j , entoncesµ(⋃
n∈N An
)=∑
n∈N µ(An).
{X ,M, µ} se denomina espacio de medida
Sea {X ,M, µ} un espacio de medida.
1. Si µ(X ) < +∞ la medida se dice finita.
2. Si X =⋃
n∈N An y µ(An) < +∞, la medida se dice σ-finita.
3. Si cada A ∈M con µ(A) = 0, verifica que si B ⊂ A entoncesB ∈M, la medida se dice completa.
4. Si MA es una σ-algebra inducida, la medidaµ/MA
:MA → [0,+∞] se denomina medida inducida.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
DefinicionSea {X ,M} un espacio medible, una medida positiva es unaaplicacion µ :M→ [0,+∞] que verifica:
1. µ(∅) = 0.2. Si An ∈M, ∀n ∈ N y Ai ∩ Aj = ∅, i 6= j , entoncesµ(⋃
n∈N An
)=∑
n∈N µ(An).
{X ,M, µ} se denomina espacio de medida
Sea {X ,M, µ} un espacio de medida.
1. Si µ(X ) < +∞ la medida se dice finita.
2. Si X =⋃
n∈N An y µ(An) < +∞, la medida se dice σ-finita.
3. Si cada A ∈M con µ(A) = 0, verifica que si B ⊂ A entoncesB ∈M, la medida se dice completa.
4. Si MA es una σ-algebra inducida, la medidaµ/MA
:MA → [0,+∞] se denomina medida inducida.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
DefinicionSea {X ,M} un espacio medible, una medida positiva es unaaplicacion µ :M→ [0,+∞] que verifica:
1. µ(∅) = 0.2. Si An ∈M, ∀n ∈ N y Ai ∩ Aj = ∅, i 6= j , entoncesµ(⋃
n∈N An
)=∑
n∈N µ(An).
{X ,M, µ} se denomina espacio de medida
Sea {X ,M, µ} un espacio de medida.
1. Si µ(X ) < +∞ la medida se dice finita.
2. Si X =⋃
n∈N An y µ(An) < +∞, la medida se dice σ-finita.
3. Si cada A ∈M con µ(A) = 0, verifica que si B ⊂ A entoncesB ∈M, la medida se dice completa.
4. Si MA es una σ-algebra inducida, la medidaµ/MA
:MA → [0,+∞] se denomina medida inducida.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
DefinicionSea {X ,M} un espacio medible, una medida positiva es unaaplicacion µ :M→ [0,+∞] que verifica:
1. µ(∅) = 0.2. Si An ∈M, ∀n ∈ N y Ai ∩ Aj = ∅, i 6= j , entoncesµ(⋃
n∈N An
)=∑
n∈N µ(An).
{X ,M, µ} se denomina espacio de medida
Sea {X ,M, µ} un espacio de medida.
1. Si µ(X ) < +∞ la medida se dice finita.
2. Si X =⋃
n∈N An y µ(An) < +∞, la medida se dice σ-finita.
3. Si cada A ∈M con µ(A) = 0, verifica que si B ⊂ A entoncesB ∈M, la medida se dice completa.
4. Si MA es una σ-algebra inducida, la medidaµ/MA
:MA → [0,+∞] se denomina medida inducida.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
DefinicionSea {X ,M} un espacio medible, una medida positiva es unaaplicacion µ :M→ [0,+∞] que verifica:
1. µ(∅) = 0.2. Si An ∈M, ∀n ∈ N y Ai ∩ Aj = ∅, i 6= j , entoncesµ(⋃
n∈N An
)=∑
n∈N µ(An).
{X ,M, µ} se denomina espacio de medida
Sea {X ,M, µ} un espacio de medida.
1. Si µ(X ) < +∞ la medida se dice
finita.
2. Si X =⋃
n∈N An y µ(An) < +∞, la medida se dice σ-finita.
3. Si cada A ∈M con µ(A) = 0, verifica que si B ⊂ A entoncesB ∈M, la medida se dice completa.
4. Si MA es una σ-algebra inducida, la medidaµ/MA
:MA → [0,+∞] se denomina medida inducida.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
DefinicionSea {X ,M} un espacio medible, una medida positiva es unaaplicacion µ :M→ [0,+∞] que verifica:
1. µ(∅) = 0.2. Si An ∈M, ∀n ∈ N y Ai ∩ Aj = ∅, i 6= j , entoncesµ(⋃
n∈N An
)=∑
n∈N µ(An).
{X ,M, µ} se denomina espacio de medida
Sea {X ,M, µ} un espacio de medida.
1. Si µ(X ) < +∞ la medida se dice finita.
2. Si X =⋃
n∈N An y µ(An) < +∞, la medida se dice σ-finita.
3. Si cada A ∈M con µ(A) = 0, verifica que si B ⊂ A entoncesB ∈M, la medida se dice completa.
4. Si MA es una σ-algebra inducida, la medidaµ/MA
:MA → [0,+∞] se denomina medida inducida.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
DefinicionSea {X ,M} un espacio medible, una medida positiva es unaaplicacion µ :M→ [0,+∞] que verifica:
1. µ(∅) = 0.2. Si An ∈M, ∀n ∈ N y Ai ∩ Aj = ∅, i 6= j , entoncesµ(⋃
n∈N An
)=∑
n∈N µ(An).
{X ,M, µ} se denomina espacio de medida
Sea {X ,M, µ} un espacio de medida.
1. Si µ(X ) < +∞ la medida se dice finita.
2. Si X =⋃
n∈N An y µ(An) < +∞, la medida se dice
σ-finita.
3. Si cada A ∈M con µ(A) = 0, verifica que si B ⊂ A entoncesB ∈M, la medida se dice completa.
4. Si MA es una σ-algebra inducida, la medidaµ/MA
:MA → [0,+∞] se denomina medida inducida.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
DefinicionSea {X ,M} un espacio medible, una medida positiva es unaaplicacion µ :M→ [0,+∞] que verifica:
1. µ(∅) = 0.2. Si An ∈M, ∀n ∈ N y Ai ∩ Aj = ∅, i 6= j , entoncesµ(⋃
n∈N An
)=∑
n∈N µ(An).
{X ,M, µ} se denomina espacio de medida
Sea {X ,M, µ} un espacio de medida.
1. Si µ(X ) < +∞ la medida se dice finita.
2. Si X =⋃
n∈N An y µ(An) < +∞, la medida se dice σ-finita.
3. Si cada A ∈M con µ(A) = 0, verifica que si B ⊂ A entoncesB ∈M, la medida se dice completa.
4. Si MA es una σ-algebra inducida, la medidaµ/MA
:MA → [0,+∞] se denomina medida inducida.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
DefinicionSea {X ,M} un espacio medible, una medida positiva es unaaplicacion µ :M→ [0,+∞] que verifica:
1. µ(∅) = 0.2. Si An ∈M, ∀n ∈ N y Ai ∩ Aj = ∅, i 6= j , entoncesµ(⋃
n∈N An
)=∑
n∈N µ(An).
{X ,M, µ} se denomina espacio de medida
Sea {X ,M, µ} un espacio de medida.
1. Si µ(X ) < +∞ la medida se dice finita.
2. Si X =⋃
n∈N An y µ(An) < +∞, la medida se dice σ-finita.
3. Si cada A ∈M con µ(A) = 0, verifica que si B ⊂ A entoncesB ∈M, la medida se dice
completa.
4. Si MA es una σ-algebra inducida, la medidaµ/MA
:MA → [0,+∞] se denomina medida inducida.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
DefinicionSea {X ,M} un espacio medible, una medida positiva es unaaplicacion µ :M→ [0,+∞] que verifica:
1. µ(∅) = 0.2. Si An ∈M, ∀n ∈ N y Ai ∩ Aj = ∅, i 6= j , entoncesµ(⋃
n∈N An
)=∑
n∈N µ(An).
{X ,M, µ} se denomina espacio de medida
Sea {X ,M, µ} un espacio de medida.
1. Si µ(X ) < +∞ la medida se dice finita.
2. Si X =⋃
n∈N An y µ(An) < +∞, la medida se dice σ-finita.
3. Si cada A ∈M con µ(A) = 0, verifica que si B ⊂ A entoncesB ∈M, la medida se dice completa.
4. Si MA es una σ-algebra inducida, la medidaµ/MA
:MA → [0,+∞] se denomina medida inducida.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
DefinicionSea {X ,M} un espacio medible, una medida positiva es unaaplicacion µ :M→ [0,+∞] que verifica:
1. µ(∅) = 0.2. Si An ∈M, ∀n ∈ N y Ai ∩ Aj = ∅, i 6= j , entoncesµ(⋃
n∈N An
)=∑
n∈N µ(An).
{X ,M, µ} se denomina espacio de medida
Sea {X ,M, µ} un espacio de medida.
1. Si µ(X ) < +∞ la medida se dice finita.
2. Si X =⋃
n∈N An y µ(An) < +∞, la medida se dice σ-finita.
3. Si cada A ∈M con µ(A) = 0, verifica que si B ⊂ A entoncesB ∈M, la medida se dice completa.
4. Si MA es una σ-algebra inducida, la medidaµ/MA
:MA → [0,+∞] se denomina
medida inducida.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
DefinicionSea {X ,M} un espacio medible, una medida positiva es unaaplicacion µ :M→ [0,+∞] que verifica:
1. µ(∅) = 0.2. Si An ∈M, ∀n ∈ N y Ai ∩ Aj = ∅, i 6= j , entoncesµ(⋃
n∈N An
)=∑
n∈N µ(An).
{X ,M, µ} se denomina espacio de medida
Sea {X ,M, µ} un espacio de medida.
1. Si µ(X ) < +∞ la medida se dice finita.
2. Si X =⋃
n∈N An y µ(An) < +∞, la medida se dice σ-finita.
3. Si cada A ∈M con µ(A) = 0, verifica que si B ⊂ A entoncesB ∈M, la medida se dice completa.
4. Si MA es una σ-algebra inducida, la medidaµ/MA
:MA → [0,+∞] se denomina medida inducida.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Ejemplo
En el espacio medible {N,P(N)}, la aplicacionµ : P(N)→ [0,+∞] definida por µ(A) = card(A) es una medida,que se denomina
medida cardinal.
Sea {X ,M, µ} un espacio de medida.
1. Si A1, · · · ,Ap ∈M, y Ai ∩ Aj = ∅ si i 6= j , entoncesµ(⋃p
k=1 Ak
)=∑p
k=1 µ(Ak).
2. Si A,B ∈M y A ⊂ B, entonces µ(A) ≤ µ(B).Si ademas, µ(A) < +∞, entonces µ(B\A) = µ(B)− µ(A).
3. Si An ∈M, ∀n ∈ N, entonces µ(⋃
n∈N An
)≤∑
n∈N µ(An).
4. Si An ∈M, ∀n ∈ N y An ⊂ An+1, entonceslımn→+∞µ(An) = µ(
⋃n∈N An).
5. Si An ∈M, ∀n ∈ N, An+1 ⊂ An y µ(A1) < +∞, entonceslımn→+∞ µ(An) = µ
(⋂n∈N An
).
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Ejemplo
En el espacio medible {N,P(N)}, la aplicacionµ : P(N)→ [0,+∞] definida por µ(A) = card(A) es una medida,que se denomina medida cardinal.
Sea {X ,M, µ} un espacio de medida.
1. Si A1, · · · ,Ap ∈M, y Ai ∩ Aj = ∅ si i 6= j , entoncesµ(⋃p
k=1 Ak
)=∑p
k=1 µ(Ak).
2. Si A,B ∈M y A ⊂ B, entonces µ(A) ≤ µ(B).Si ademas, µ(A) < +∞, entonces µ(B\A) = µ(B)− µ(A).
3. Si An ∈M, ∀n ∈ N, entonces µ(⋃
n∈N An
)≤∑
n∈N µ(An).
4. Si An ∈M, ∀n ∈ N y An ⊂ An+1, entonceslımn→+∞µ(An) = µ(
⋃n∈N An).
5. Si An ∈M, ∀n ∈ N, An+1 ⊂ An y µ(A1) < +∞, entonceslımn→+∞ µ(An) = µ
(⋂n∈N An
).
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Ejemplo
En el espacio medible {N,P(N)}, la aplicacionµ : P(N)→ [0,+∞] definida por µ(A) = card(A) es una medida,que se denomina medida cardinal.
Sea {X ,M, µ} un espacio de medida.
1. Si A1, · · · ,Ap ∈M, y Ai ∩ Aj = ∅ si i 6= j , entoncesµ(⋃p
k=1 Ak
)=∑p
k=1 µ(Ak).
2. Si A,B ∈M y A ⊂ B, entonces µ(A) ≤ µ(B).Si ademas, µ(A) < +∞, entonces µ(B\A) = µ(B)− µ(A).
3. Si An ∈M, ∀n ∈ N, entonces µ(⋃
n∈N An
)≤∑
n∈N µ(An).
4. Si An ∈M, ∀n ∈ N y An ⊂ An+1, entonceslımn→+∞µ(An) = µ(
⋃n∈N An).
5. Si An ∈M, ∀n ∈ N, An+1 ⊂ An y µ(A1) < +∞, entonceslımn→+∞ µ(An) = µ
(⋂n∈N An
).
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Ejemplo
En el espacio medible {N,P(N)}, la aplicacionµ : P(N)→ [0,+∞] definida por µ(A) = card(A) es una medida,que se denomina medida cardinal.
Sea {X ,M, µ} un espacio de medida.
1. Si A1, · · · ,Ap ∈M, y Ai ∩ Aj = ∅ si i 6= j , entoncesµ(⋃p
k=1 Ak
)=∑p
k=1 µ(Ak).
2. Si A,B ∈M y A ⊂ B, entonces µ(A) ≤ µ(B).Si ademas, µ(A) < +∞, entonces µ(B\A) = µ(B)− µ(A).
3. Si An ∈M, ∀n ∈ N, entonces µ(⋃
n∈N An
)≤∑
n∈N µ(An).
4. Si An ∈M, ∀n ∈ N y An ⊂ An+1, entonceslımn→+∞µ(An) = µ(
⋃n∈N An).
5. Si An ∈M, ∀n ∈ N, An+1 ⊂ An y µ(A1) < +∞, entonceslımn→+∞ µ(An) = µ
(⋂n∈N An
).
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Ejemplo
En el espacio medible {N,P(N)}, la aplicacionµ : P(N)→ [0,+∞] definida por µ(A) = card(A) es una medida,que se denomina medida cardinal.
Sea {X ,M, µ} un espacio de medida.
1. Si A1, · · · ,Ap ∈M, y Ai ∩ Aj = ∅ si i 6= j , entoncesµ(⋃p
k=1 Ak
)=∑p
k=1 µ(Ak).
2. Si A,B ∈M y A ⊂ B, entonces µ(A) ≤ µ(B).
Si ademas, µ(A) < +∞, entonces µ(B\A) = µ(B)− µ(A).
3. Si An ∈M, ∀n ∈ N, entonces µ(⋃
n∈N An
)≤∑
n∈N µ(An).
4. Si An ∈M, ∀n ∈ N y An ⊂ An+1, entonceslımn→+∞µ(An) = µ(
⋃n∈N An).
5. Si An ∈M, ∀n ∈ N, An+1 ⊂ An y µ(A1) < +∞, entonceslımn→+∞ µ(An) = µ
(⋂n∈N An
).
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Ejemplo
En el espacio medible {N,P(N)}, la aplicacionµ : P(N)→ [0,+∞] definida por µ(A) = card(A) es una medida,que se denomina medida cardinal.
Sea {X ,M, µ} un espacio de medida.
1. Si A1, · · · ,Ap ∈M, y Ai ∩ Aj = ∅ si i 6= j , entoncesµ(⋃p
k=1 Ak
)=∑p
k=1 µ(Ak).
2. Si A,B ∈M y A ⊂ B, entonces µ(A) ≤ µ(B).Si ademas, µ(A) < +∞, entonces µ(B\A) = µ(B)− µ(A).
3. Si An ∈M, ∀n ∈ N, entonces µ(⋃
n∈N An
)≤∑
n∈N µ(An).
4. Si An ∈M, ∀n ∈ N y An ⊂ An+1, entonceslımn→+∞µ(An) = µ(
⋃n∈N An).
5. Si An ∈M, ∀n ∈ N, An+1 ⊂ An y µ(A1) < +∞, entonceslımn→+∞ µ(An) = µ
(⋂n∈N An
).
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Ejemplo
En el espacio medible {N,P(N)}, la aplicacionµ : P(N)→ [0,+∞] definida por µ(A) = card(A) es una medida,que se denomina medida cardinal.
Sea {X ,M, µ} un espacio de medida.
1. Si A1, · · · ,Ap ∈M, y Ai ∩ Aj = ∅ si i 6= j , entoncesµ(⋃p
k=1 Ak
)=∑p
k=1 µ(Ak).
2. Si A,B ∈M y A ⊂ B, entonces µ(A) ≤ µ(B).Si ademas, µ(A) < +∞, entonces µ(B\A) = µ(B)− µ(A).
3. Si An ∈M, ∀n ∈ N, entonces µ(⋃
n∈N An
)≤∑
n∈N µ(An).
4. Si An ∈M, ∀n ∈ N y An ⊂ An+1, entonceslımn→+∞µ(An) = µ(
⋃n∈N An).
5. Si An ∈M, ∀n ∈ N, An+1 ⊂ An y µ(A1) < +∞, entonceslımn→+∞ µ(An) = µ
(⋂n∈N An
).
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Ejemplo
En el espacio medible {N,P(N)}, la aplicacionµ : P(N)→ [0,+∞] definida por µ(A) = card(A) es una medida,que se denomina medida cardinal.
Sea {X ,M, µ} un espacio de medida.
1. Si A1, · · · ,Ap ∈M, y Ai ∩ Aj = ∅ si i 6= j , entoncesµ(⋃p
k=1 Ak
)=∑p
k=1 µ(Ak).
2. Si A,B ∈M y A ⊂ B, entonces µ(A) ≤ µ(B).Si ademas, µ(A) < +∞, entonces µ(B\A) = µ(B)− µ(A).
3. Si An ∈M, ∀n ∈ N, entonces µ(⋃
n∈N An
)≤∑
n∈N µ(An).
4. Si An ∈M, ∀n ∈ N y An ⊂ An+1, entonceslımn→+∞µ(An) = µ(
⋃n∈N An).
5. Si An ∈M, ∀n ∈ N, An+1 ⊂ An y µ(A1) < +∞, entonceslımn→+∞ µ(An) = µ
(⋂n∈N An
).
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Ejemplo
En el espacio medible {N,P(N)}, la aplicacionµ : P(N)→ [0,+∞] definida por µ(A) = card(A) es una medida,que se denomina medida cardinal.
Sea {X ,M, µ} un espacio de medida.
1. Si A1, · · · ,Ap ∈M, y Ai ∩ Aj = ∅ si i 6= j , entoncesµ(⋃p
k=1 Ak
)=∑p
k=1 µ(Ak).
2. Si A,B ∈M y A ⊂ B, entonces µ(A) ≤ µ(B).Si ademas, µ(A) < +∞, entonces µ(B\A) = µ(B)− µ(A).
3. Si An ∈M, ∀n ∈ N, entonces µ(⋃
n∈N An
)≤∑
n∈N µ(An).
4. Si An ∈M, ∀n ∈ N y An ⊂ An+1, entonceslımn→+∞µ(An) = µ(
⋃n∈N An).
5. Si An ∈M, ∀n ∈ N, An+1 ⊂ An y µ(A1) < +∞, entonceslımn→+∞ µ(An) = µ
(⋂n∈N An
).
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
DefinicionSea X un conjunto. Una aplicacion µ∗ : P(X )→ [0,+∞] sedenomina medida exterior en X si verifica:
1. µ(∅) = 0.
2. A ⊂ B ⊂ X ⇒ µ∗(A) ≤ µ∗(B).
3. Si An ⊂ X , ∀n ∈ N, entonces
µ∗
(⋃n∈N
An
)≤∑n∈N
µ∗(An)
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
DefinicionSea X un conjunto. Una aplicacion µ∗ : P(X )→ [0,+∞] sedenomina medida exterior en X si verifica:
1. µ(∅) = 0.
2. A ⊂ B ⊂ X ⇒ µ∗(A) ≤ µ∗(B).
3. Si An ⊂ X , ∀n ∈ N, entonces
µ∗
(⋃n∈N
An
)≤∑n∈N
µ∗(An)
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
DefinicionSea X un conjunto. Una aplicacion µ∗ : P(X )→ [0,+∞] sedenomina medida exterior en X si verifica:
1. µ(∅) = 0.
2. A ⊂ B ⊂ X ⇒ µ∗(A) ≤ µ∗(B).
3. Si An ⊂ X , ∀n ∈ N, entonces
µ∗
(⋃n∈N
An
)≤∑n∈N
µ∗(An)
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
DefinicionSea X un conjunto. Una aplicacion µ∗ : P(X )→ [0,+∞] sedenomina medida exterior en X si verifica:
1. µ(∅) = 0.
2. A ⊂ B ⊂ X ⇒ µ∗(A) ≤ µ∗(B).
3. Si An ⊂ X , ∀n ∈ N, entonces
µ∗
(⋃n∈N
An
)≤∑n∈N
µ∗(An)
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
DefinicionSea X un conjunto. Una aplicacion µ∗ : P(X )→ [0,+∞] sedenomina medida exterior en X si verifica:
1. µ(∅) = 0.
2. A ⊂ B ⊂ X ⇒ µ∗(A) ≤ µ∗(B).
3. Si An ⊂ X , ∀n ∈ N, entonces
µ∗
(⋃n∈N
An
)≤∑n∈N
µ∗(An)
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Definimos la recta real extendida,
R = R ∪ {−∞,+∞} = [−∞,+∞]. Los sımbolos +∞ y −∞representan, respectivamente, los puntos infinito positivo e infinitonegativo. Definimos las operaciones
1. (+∞) + (+∞) = +∞; (−∞) + (−∞) = −∞.2. c + (+∞) = (+∞) + c = +∞.3. c + (−∞) = (−∞) + c = −∞.
para todo numero real c. El producto con elementos no nulos de Rse define como
1. c × (+∞) = (+∞)× c = +∞, cuando c > 0.2. c × (−∞) = (−∞)× c = −∞, cuando c > 0.3. c × (+∞) = (+∞)× c = −∞, cuando c < 0.4. c × (−∞) = (−∞)× c = +∞, cuando c < 0.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Definimos la recta real extendida,R = R ∪ {−∞,+∞} = [−∞,+∞].
Los sımbolos +∞ y −∞representan, respectivamente, los puntos infinito positivo e infinitonegativo. Definimos las operaciones
1. (+∞) + (+∞) = +∞; (−∞) + (−∞) = −∞.2. c + (+∞) = (+∞) + c = +∞.3. c + (−∞) = (−∞) + c = −∞.
para todo numero real c. El producto con elementos no nulos de Rse define como
1. c × (+∞) = (+∞)× c = +∞, cuando c > 0.2. c × (−∞) = (−∞)× c = −∞, cuando c > 0.3. c × (+∞) = (+∞)× c = −∞, cuando c < 0.4. c × (−∞) = (−∞)× c = +∞, cuando c < 0.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Definimos la recta real extendida,R = R ∪ {−∞,+∞} = [−∞,+∞]. Los sımbolos +∞ y −∞representan, respectivamente, los puntos infinito positivo e infinitonegativo. Definimos las operaciones
1. (+∞) + (+∞) = +∞; (−∞) + (−∞) = −∞.2. c + (+∞) = (+∞) + c = +∞.3. c + (−∞) = (−∞) + c = −∞.
para todo numero real c. El producto con elementos no nulos de Rse define como
1. c × (+∞) = (+∞)× c = +∞, cuando c > 0.2. c × (−∞) = (−∞)× c = −∞, cuando c > 0.3. c × (+∞) = (+∞)× c = −∞, cuando c < 0.4. c × (−∞) = (−∞)× c = +∞, cuando c < 0.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Definimos la recta real extendida,R = R ∪ {−∞,+∞} = [−∞,+∞]. Los sımbolos +∞ y −∞representan, respectivamente, los puntos infinito positivo e infinitonegativo. Definimos las operaciones
1. (+∞) + (+∞) = +∞; (−∞) + (−∞) = −∞.
2. c + (+∞) = (+∞) + c = +∞.3. c + (−∞) = (−∞) + c = −∞.
para todo numero real c. El producto con elementos no nulos de Rse define como
1. c × (+∞) = (+∞)× c = +∞, cuando c > 0.2. c × (−∞) = (−∞)× c = −∞, cuando c > 0.3. c × (+∞) = (+∞)× c = −∞, cuando c < 0.4. c × (−∞) = (−∞)× c = +∞, cuando c < 0.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Definimos la recta real extendida,R = R ∪ {−∞,+∞} = [−∞,+∞]. Los sımbolos +∞ y −∞representan, respectivamente, los puntos infinito positivo e infinitonegativo. Definimos las operaciones
1. (+∞) + (+∞) = +∞; (−∞) + (−∞) = −∞.2. c + (+∞) = (+∞) + c =
+∞.3. c + (−∞) = (−∞) + c = −∞.
para todo numero real c. El producto con elementos no nulos de Rse define como
1. c × (+∞) = (+∞)× c = +∞, cuando c > 0.2. c × (−∞) = (−∞)× c = −∞, cuando c > 0.3. c × (+∞) = (+∞)× c = −∞, cuando c < 0.4. c × (−∞) = (−∞)× c = +∞, cuando c < 0.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Definimos la recta real extendida,R = R ∪ {−∞,+∞} = [−∞,+∞]. Los sımbolos +∞ y −∞representan, respectivamente, los puntos infinito positivo e infinitonegativo. Definimos las operaciones
1. (+∞) + (+∞) = +∞; (−∞) + (−∞) = −∞.2. c + (+∞) = (+∞) + c = +∞.
3. c + (−∞) = (−∞) + c = −∞.
para todo numero real c. El producto con elementos no nulos de Rse define como
1. c × (+∞) = (+∞)× c = +∞, cuando c > 0.2. c × (−∞) = (−∞)× c = −∞, cuando c > 0.3. c × (+∞) = (+∞)× c = −∞, cuando c < 0.4. c × (−∞) = (−∞)× c = +∞, cuando c < 0.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Definimos la recta real extendida,R = R ∪ {−∞,+∞} = [−∞,+∞]. Los sımbolos +∞ y −∞representan, respectivamente, los puntos infinito positivo e infinitonegativo. Definimos las operaciones
1. (+∞) + (+∞) = +∞; (−∞) + (−∞) = −∞.2. c + (+∞) = (+∞) + c = +∞.3. c + (−∞) = (−∞) + c =
−∞.
para todo numero real c. El producto con elementos no nulos de Rse define como
1. c × (+∞) = (+∞)× c = +∞, cuando c > 0.2. c × (−∞) = (−∞)× c = −∞, cuando c > 0.3. c × (+∞) = (+∞)× c = −∞, cuando c < 0.4. c × (−∞) = (−∞)× c = +∞, cuando c < 0.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Definimos la recta real extendida,R = R ∪ {−∞,+∞} = [−∞,+∞]. Los sımbolos +∞ y −∞representan, respectivamente, los puntos infinito positivo e infinitonegativo. Definimos las operaciones
1. (+∞) + (+∞) = +∞; (−∞) + (−∞) = −∞.2. c + (+∞) = (+∞) + c = +∞.3. c + (−∞) = (−∞) + c = −∞.
para todo numero real c. El producto con elementos no nulos de Rse define como
1. c × (+∞) = (+∞)× c = +∞, cuando c > 0.2. c × (−∞) = (−∞)× c = −∞, cuando c > 0.3. c × (+∞) = (+∞)× c = −∞, cuando c < 0.4. c × (−∞) = (−∞)× c = +∞, cuando c < 0.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Definimos la recta real extendida,R = R ∪ {−∞,+∞} = [−∞,+∞]. Los sımbolos +∞ y −∞representan, respectivamente, los puntos infinito positivo e infinitonegativo. Definimos las operaciones
1. (+∞) + (+∞) = +∞; (−∞) + (−∞) = −∞.2. c + (+∞) = (+∞) + c = +∞.3. c + (−∞) = (−∞) + c = −∞.
para todo numero real c.
El producto con elementos no nulos de Rse define como
1. c × (+∞) = (+∞)× c = +∞, cuando c > 0.2. c × (−∞) = (−∞)× c = −∞, cuando c > 0.3. c × (+∞) = (+∞)× c = −∞, cuando c < 0.4. c × (−∞) = (−∞)× c = +∞, cuando c < 0.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Definimos la recta real extendida,R = R ∪ {−∞,+∞} = [−∞,+∞]. Los sımbolos +∞ y −∞representan, respectivamente, los puntos infinito positivo e infinitonegativo. Definimos las operaciones
1. (+∞) + (+∞) = +∞; (−∞) + (−∞) = −∞.2. c + (+∞) = (+∞) + c = +∞.3. c + (−∞) = (−∞) + c = −∞.
para todo numero real c. El producto con elementos no nulos de Rse define como
1. c × (+∞) = (+∞)× c = +∞, cuando c > 0.2. c × (−∞) = (−∞)× c = −∞, cuando c > 0.3. c × (+∞) = (+∞)× c = −∞, cuando c < 0.4. c × (−∞) = (−∞)× c = +∞, cuando c < 0.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Definimos la recta real extendida,R = R ∪ {−∞,+∞} = [−∞,+∞]. Los sımbolos +∞ y −∞representan, respectivamente, los puntos infinito positivo e infinitonegativo. Definimos las operaciones
1. (+∞) + (+∞) = +∞; (−∞) + (−∞) = −∞.2. c + (+∞) = (+∞) + c = +∞.3. c + (−∞) = (−∞) + c = −∞.
para todo numero real c. El producto con elementos no nulos de Rse define como
1. c × (+∞) = (+∞)× c =
+∞, cuando c > 0.2. c × (−∞) = (−∞)× c = −∞, cuando c > 0.3. c × (+∞) = (+∞)× c = −∞, cuando c < 0.4. c × (−∞) = (−∞)× c = +∞, cuando c < 0.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Definimos la recta real extendida,R = R ∪ {−∞,+∞} = [−∞,+∞]. Los sımbolos +∞ y −∞representan, respectivamente, los puntos infinito positivo e infinitonegativo. Definimos las operaciones
1. (+∞) + (+∞) = +∞; (−∞) + (−∞) = −∞.2. c + (+∞) = (+∞) + c = +∞.3. c + (−∞) = (−∞) + c = −∞.
para todo numero real c. El producto con elementos no nulos de Rse define como
1. c × (+∞) = (+∞)× c = +∞, cuando c > 0.
2. c × (−∞) = (−∞)× c = −∞, cuando c > 0.3. c × (+∞) = (+∞)× c = −∞, cuando c < 0.4. c × (−∞) = (−∞)× c = +∞, cuando c < 0.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Definimos la recta real extendida,R = R ∪ {−∞,+∞} = [−∞,+∞]. Los sımbolos +∞ y −∞representan, respectivamente, los puntos infinito positivo e infinitonegativo. Definimos las operaciones
1. (+∞) + (+∞) = +∞; (−∞) + (−∞) = −∞.2. c + (+∞) = (+∞) + c = +∞.3. c + (−∞) = (−∞) + c = −∞.
para todo numero real c. El producto con elementos no nulos de Rse define como
1. c × (+∞) = (+∞)× c = +∞, cuando c > 0.2. c × (−∞) = (−∞)× c =
−∞, cuando c > 0.3. c × (+∞) = (+∞)× c = −∞, cuando c < 0.4. c × (−∞) = (−∞)× c = +∞, cuando c < 0.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Definimos la recta real extendida,R = R ∪ {−∞,+∞} = [−∞,+∞]. Los sımbolos +∞ y −∞representan, respectivamente, los puntos infinito positivo e infinitonegativo. Definimos las operaciones
1. (+∞) + (+∞) = +∞; (−∞) + (−∞) = −∞.2. c + (+∞) = (+∞) + c = +∞.3. c + (−∞) = (−∞) + c = −∞.
para todo numero real c. El producto con elementos no nulos de Rse define como
1. c × (+∞) = (+∞)× c = +∞, cuando c > 0.2. c × (−∞) = (−∞)× c = −∞, cuando c > 0.
3. c × (+∞) = (+∞)× c = −∞, cuando c < 0.4. c × (−∞) = (−∞)× c = +∞, cuando c < 0.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Definimos la recta real extendida,R = R ∪ {−∞,+∞} = [−∞,+∞]. Los sımbolos +∞ y −∞representan, respectivamente, los puntos infinito positivo e infinitonegativo. Definimos las operaciones
1. (+∞) + (+∞) = +∞; (−∞) + (−∞) = −∞.2. c + (+∞) = (+∞) + c = +∞.3. c + (−∞) = (−∞) + c = −∞.
para todo numero real c. El producto con elementos no nulos de Rse define como
1. c × (+∞) = (+∞)× c = +∞, cuando c > 0.2. c × (−∞) = (−∞)× c = −∞, cuando c > 0.3. c × (+∞) = (+∞)× c =
−∞, cuando c < 0.4. c × (−∞) = (−∞)× c = +∞, cuando c < 0.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Definimos la recta real extendida,R = R ∪ {−∞,+∞} = [−∞,+∞]. Los sımbolos +∞ y −∞representan, respectivamente, los puntos infinito positivo e infinitonegativo. Definimos las operaciones
1. (+∞) + (+∞) = +∞; (−∞) + (−∞) = −∞.2. c + (+∞) = (+∞) + c = +∞.3. c + (−∞) = (−∞) + c = −∞.
para todo numero real c. El producto con elementos no nulos de Rse define como
1. c × (+∞) = (+∞)× c = +∞, cuando c > 0.2. c × (−∞) = (−∞)× c = −∞, cuando c > 0.3. c × (+∞) = (+∞)× c = −∞, cuando c < 0.
4. c × (−∞) = (−∞)× c = +∞, cuando c < 0.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Definimos la recta real extendida,R = R ∪ {−∞,+∞} = [−∞,+∞]. Los sımbolos +∞ y −∞representan, respectivamente, los puntos infinito positivo e infinitonegativo. Definimos las operaciones
1. (+∞) + (+∞) = +∞; (−∞) + (−∞) = −∞.2. c + (+∞) = (+∞) + c = +∞.3. c + (−∞) = (−∞) + c = −∞.
para todo numero real c. El producto con elementos no nulos de Rse define como
1. c × (+∞) = (+∞)× c = +∞, cuando c > 0.2. c × (−∞) = (−∞)× c = −∞, cuando c > 0.3. c × (+∞) = (+∞)× c = −∞, cuando c < 0.4. c × (−∞) = (−∞)× c =
+∞, cuando c < 0.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Definimos la recta real extendida,R = R ∪ {−∞,+∞} = [−∞,+∞]. Los sımbolos +∞ y −∞representan, respectivamente, los puntos infinito positivo e infinitonegativo. Definimos las operaciones
1. (+∞) + (+∞) = +∞; (−∞) + (−∞) = −∞.2. c + (+∞) = (+∞) + c = +∞.3. c + (−∞) = (−∞) + c = −∞.
para todo numero real c. El producto con elementos no nulos de Rse define como
1. c × (+∞) = (+∞)× c = +∞, cuando c > 0.2. c × (−∞) = (−∞)× c = −∞, cuando c > 0.3. c × (+∞) = (+∞)× c = −∞, cuando c < 0.4. c × (−∞) = (−∞)× c = +∞, cuando c < 0.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Definimos la recta real extendida,R = R ∪ {−∞,+∞} = [−∞,+∞]. Los sımbolos +∞ y −∞representan, respectivamente, los puntos infinito positivo e infinitonegativo. Definimos las operaciones
1. (+∞) + (+∞) = +∞; (−∞) + (−∞) = −∞.2. c + (+∞) = (+∞) + c = +∞.3. c + (−∞) = (−∞) + c = −∞.
para todo numero real c. El producto con elementos no nulos de Rse define como
1. c × (+∞) = (+∞)× c = +∞, cuando c > 0.2. c × (−∞) = (−∞)× c = −∞, cuando c > 0.3. c × (+∞) = (+∞)× c = −∞, cuando c < 0.4. c × (−∞) = (−∞)× c = +∞, cuando c < 0.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Tambien definimos
1. 0× (+∞) = (+∞)× 0 = 0× (−∞) = (−∞)× 0 =
0.2. (+∞)× (+∞) = (−∞)× (−∞) = +∞.3. (+∞)× (−∞) = (−∞)× (+∞) = −∞.
I La suma (+∞) + (−∞) no esta definida.I Es −(+∞) = −∞ y −(−∞) = +∞.I La diferencia p − q de dos numeros reales extendidos se define
como p + (−q), a menos que p = q = +∞ o p = q = −∞,en cuyos casos esta diferencia no esta definida.
I Cualquiera que sea c ∈ R es −∞ < c < +∞.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Tambien definimos
1. 0× (+∞) = (+∞)× 0 = 0× (−∞) = (−∞)× 0 = 0.
2. (+∞)× (+∞) = (−∞)× (−∞) = +∞.3. (+∞)× (−∞) = (−∞)× (+∞) = −∞.
I La suma (+∞) + (−∞) no esta definida.I Es −(+∞) = −∞ y −(−∞) = +∞.I La diferencia p − q de dos numeros reales extendidos se define
como p + (−q), a menos que p = q = +∞ o p = q = −∞,en cuyos casos esta diferencia no esta definida.
I Cualquiera que sea c ∈ R es −∞ < c < +∞.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Tambien definimos
1. 0× (+∞) = (+∞)× 0 = 0× (−∞) = (−∞)× 0 = 0.2. (+∞)× (+∞) = (−∞)× (−∞) =
+∞.3. (+∞)× (−∞) = (−∞)× (+∞) = −∞.
I La suma (+∞) + (−∞) no esta definida.I Es −(+∞) = −∞ y −(−∞) = +∞.I La diferencia p − q de dos numeros reales extendidos se define
como p + (−q), a menos que p = q = +∞ o p = q = −∞,en cuyos casos esta diferencia no esta definida.
I Cualquiera que sea c ∈ R es −∞ < c < +∞.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Tambien definimos
1. 0× (+∞) = (+∞)× 0 = 0× (−∞) = (−∞)× 0 = 0.2. (+∞)× (+∞) = (−∞)× (−∞) = +∞.3. (+∞)× (−∞) = (−∞)× (+∞) =
−∞.
I La suma (+∞) + (−∞) no esta definida.I Es −(+∞) = −∞ y −(−∞) = +∞.I La diferencia p − q de dos numeros reales extendidos se define
como p + (−q), a menos que p = q = +∞ o p = q = −∞,en cuyos casos esta diferencia no esta definida.
I Cualquiera que sea c ∈ R es −∞ < c < +∞.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Tambien definimos
1. 0× (+∞) = (+∞)× 0 = 0× (−∞) = (−∞)× 0 = 0.2. (+∞)× (+∞) = (−∞)× (−∞) = +∞.3. (+∞)× (−∞) = (−∞)× (+∞) = −∞.
I La suma (+∞) + (−∞) no esta definida.I Es −(+∞) = −∞ y −(−∞) = +∞.I La diferencia p − q de dos numeros reales extendidos se define
como p + (−q), a menos que p = q = +∞ o p = q = −∞,en cuyos casos esta diferencia no esta definida.
I Cualquiera que sea c ∈ R es −∞ < c < +∞.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Tambien definimos
1. 0× (+∞) = (+∞)× 0 = 0× (−∞) = (−∞)× 0 = 0.2. (+∞)× (+∞) = (−∞)× (−∞) = +∞.3. (+∞)× (−∞) = (−∞)× (+∞) = −∞.
I La suma (+∞) + (−∞)
no esta definida.I Es −(+∞) = −∞ y −(−∞) = +∞.I La diferencia p − q de dos numeros reales extendidos se define
como p + (−q), a menos que p = q = +∞ o p = q = −∞,en cuyos casos esta diferencia no esta definida.
I Cualquiera que sea c ∈ R es −∞ < c < +∞.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Tambien definimos
1. 0× (+∞) = (+∞)× 0 = 0× (−∞) = (−∞)× 0 = 0.2. (+∞)× (+∞) = (−∞)× (−∞) = +∞.3. (+∞)× (−∞) = (−∞)× (+∞) = −∞.
I La suma (+∞) + (−∞) no esta definida.I Es −(+∞) =
−∞ y −(−∞) = +∞.I La diferencia p − q de dos numeros reales extendidos se define
como p + (−q), a menos que p = q = +∞ o p = q = −∞,en cuyos casos esta diferencia no esta definida.
I Cualquiera que sea c ∈ R es −∞ < c < +∞.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Tambien definimos
1. 0× (+∞) = (+∞)× 0 = 0× (−∞) = (−∞)× 0 = 0.2. (+∞)× (+∞) = (−∞)× (−∞) = +∞.3. (+∞)× (−∞) = (−∞)× (+∞) = −∞.
I La suma (+∞) + (−∞) no esta definida.I Es −(+∞) = −∞ y −(−∞) =
+∞.I La diferencia p − q de dos numeros reales extendidos se define
como p + (−q), a menos que p = q = +∞ o p = q = −∞,en cuyos casos esta diferencia no esta definida.
I Cualquiera que sea c ∈ R es −∞ < c < +∞.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Tambien definimos
1. 0× (+∞) = (+∞)× 0 = 0× (−∞) = (−∞)× 0 = 0.2. (+∞)× (+∞) = (−∞)× (−∞) = +∞.3. (+∞)× (−∞) = (−∞)× (+∞) = −∞.
I La suma (+∞) + (−∞) no esta definida.I Es −(+∞) = −∞ y −(−∞) = +∞.I La diferencia p − q de dos numeros reales extendidos se define
como
p + (−q), a menos que p = q = +∞ o p = q = −∞,en cuyos casos esta diferencia no esta definida.
I Cualquiera que sea c ∈ R es −∞ < c < +∞.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Tambien definimos
1. 0× (+∞) = (+∞)× 0 = 0× (−∞) = (−∞)× 0 = 0.2. (+∞)× (+∞) = (−∞)× (−∞) = +∞.3. (+∞)× (−∞) = (−∞)× (+∞) = −∞.
I La suma (+∞) + (−∞) no esta definida.I Es −(+∞) = −∞ y −(−∞) = +∞.I La diferencia p − q de dos numeros reales extendidos se define
como p + (−q), a menos que p = q = +∞ o p = q = −∞,en cuyos casos esta diferencia no esta definida.
I Cualquiera que sea c ∈ R es
−∞ < c < +∞.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Tambien definimos
1. 0× (+∞) = (+∞)× 0 = 0× (−∞) = (−∞)× 0 = 0.2. (+∞)× (+∞) = (−∞)× (−∞) = +∞.3. (+∞)× (−∞) = (−∞)× (+∞) = −∞.
I La suma (+∞) + (−∞) no esta definida.I Es −(+∞) = −∞ y −(−∞) = +∞.I La diferencia p − q de dos numeros reales extendidos se define
como p + (−q), a menos que p = q = +∞ o p = q = −∞,en cuyos casos esta diferencia no esta definida.
I Cualquiera que sea c ∈ R es −∞ < c < +∞.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
El siguiente resultado se conoce como lema de disjuntizacion.
LemaSean Ai ⊂ Rn, ∀i ∈ N. Definimos B1 = A1, Bk = Ak\
⋃k−1j=1 Aj si
k > 1. Entonces:
1. Bk ⊂ Ak , ∀k ∈ N.
2. Bi ∩ Bj = ∅ si i 6= j .
3.n⋃
k=1
Ak =n⋃
k=1
Bk , ∀n ∈ N.
4.+∞⋃k=1
Ak =+∞⋃k=1
Bk .
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
El siguiente resultado se conoce como lema de disjuntizacion.
LemaSean Ai ⊂ Rn, ∀i ∈ N. Definimos B1 = A1, Bk = Ak\
⋃k−1j=1 Aj si
k > 1.
Entonces:
1. Bk ⊂ Ak , ∀k ∈ N.
2. Bi ∩ Bj = ∅ si i 6= j .
3.n⋃
k=1
Ak =n⋃
k=1
Bk , ∀n ∈ N.
4.+∞⋃k=1
Ak =+∞⋃k=1
Bk .
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
El siguiente resultado se conoce como lema de disjuntizacion.
LemaSean Ai ⊂ Rn, ∀i ∈ N. Definimos B1 = A1, Bk = Ak\
⋃k−1j=1 Aj si
k > 1. Entonces:
1. Bk ⊂ Ak , ∀k ∈ N.
2. Bi ∩ Bj = ∅ si i 6= j .
3.n⋃
k=1
Ak =n⋃
k=1
Bk , ∀n ∈ N.
4.+∞⋃k=1
Ak =+∞⋃k=1
Bk .
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
El siguiente resultado se conoce como lema de disjuntizacion.
LemaSean Ai ⊂ Rn, ∀i ∈ N. Definimos B1 = A1, Bk = Ak\
⋃k−1j=1 Aj si
k > 1. Entonces:
1. Bk ⊂ Ak , ∀k ∈ N.
2. Bi ∩ Bj = ∅ si i 6= j .
3.n⋃
k=1
Ak =n⋃
k=1
Bk , ∀n ∈ N.
4.+∞⋃k=1
Ak =+∞⋃k=1
Bk .
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
El siguiente resultado se conoce como lema de disjuntizacion.
LemaSean Ai ⊂ Rn, ∀i ∈ N. Definimos B1 = A1, Bk = Ak\
⋃k−1j=1 Aj si
k > 1. Entonces:
1. Bk ⊂ Ak , ∀k ∈ N.
2. Bi ∩ Bj = ∅ si i 6= j .
3.n⋃
k=1
Ak =n⋃
k=1
Bk , ∀n ∈ N.
4.+∞⋃k=1
Ak =+∞⋃k=1
Bk .
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
El siguiente resultado se conoce como lema de disjuntizacion.
LemaSean Ai ⊂ Rn, ∀i ∈ N. Definimos B1 = A1, Bk = Ak\
⋃k−1j=1 Aj si
k > 1. Entonces:
1. Bk ⊂ Ak , ∀k ∈ N.
2. Bi ∩ Bj = ∅ si i 6= j .
3.n⋃
k=1
Ak =n⋃
k=1
Bk , ∀n ∈ N.
4.+∞⋃k=1
Ak =+∞⋃k=1
Bk .
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
El siguiente resultado se conoce como lema de disjuntizacion.
LemaSean Ai ⊂ Rn, ∀i ∈ N. Definimos B1 = A1, Bk = Ak\
⋃k−1j=1 Aj si
k > 1. Entonces:
1. Bk ⊂ Ak , ∀k ∈ N.
2. Bi ∩ Bj = ∅ si i 6= j .
3.n⋃
k=1
Ak =n⋃
k=1
Bk , ∀n ∈ N.
4.+∞⋃k=1
Ak =+∞⋃k=1
Bk .
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
El siguiente resultado se conoce como lema de disjuntizacion.
LemaSean Ai ⊂ Rn, ∀i ∈ N. Definimos B1 = A1, Bk = Ak\
⋃k−1j=1 Aj si
k > 1. Entonces:
1. Bk ⊂ Ak , ∀k ∈ N.
2. Bi ∩ Bj = ∅ si i 6= j .
3.n⋃
k=1
Ak =n⋃
k=1
Bk , ∀n ∈ N.
4.+∞⋃k=1
Ak =+∞⋃k=1
Bk .
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
DefinicionSean a,b ∈ Rn con ak ≤ bk .
El conjunto{x ∈ Rn : ak ≤ xk ≤ bk , k = 1, . . . , n} = [a1, b1]× · · · × [an, bn]
se denomina intervalo cerrado de extremos a y b. Si todas lasdesigualdades son estrictas, se denomina intervalo abierto deextremos a y b, (puede ser el conjunto vacıo). En general si secombinan desigualdades estrictas y no estrictas se denominaintervalo de extremos a y b. (Son conjuntos Fσ y Gδ). Si ai = bi
para algun i , 1 ≤ i ≤ n, el intervalo se dice degenerado. Sibi − ai = b1 − a1 para todo i , 1 ≤ i ≤ n, el intervalo se denominacubo.
DefinicionSi I es un intervalo en Rn de extremos a y b, definimos el volumende I como: vol(I ) = (b1 − a1) · · · (bn − an)
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
DefinicionSean a,b ∈ Rn con ak ≤ bk . El conjunto{x ∈ Rn : ak ≤ xk ≤ bk , k = 1, . . . , n} = [a1, b1]× · · · × [an, bn]
se denomina intervalo cerrado de extremos a y b. Si todas lasdesigualdades son estrictas, se denomina intervalo abierto deextremos a y b, (puede ser el conjunto vacıo). En general si secombinan desigualdades estrictas y no estrictas se denominaintervalo de extremos a y b. (Son conjuntos Fσ y Gδ). Si ai = bi
para algun i , 1 ≤ i ≤ n, el intervalo se dice degenerado. Sibi − ai = b1 − a1 para todo i , 1 ≤ i ≤ n, el intervalo se denominacubo.
DefinicionSi I es un intervalo en Rn de extremos a y b, definimos el volumende I como: vol(I ) = (b1 − a1) · · · (bn − an)
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
DefinicionSean a,b ∈ Rn con ak ≤ bk . El conjunto{x ∈ Rn : ak ≤ xk ≤ bk , k = 1, . . . , n} = [a1, b1]× · · · × [an, bn]
se denomina intervalo cerrado de extremos a y b.
Si todas lasdesigualdades son estrictas, se denomina intervalo abierto deextremos a y b, (puede ser el conjunto vacıo). En general si secombinan desigualdades estrictas y no estrictas se denominaintervalo de extremos a y b. (Son conjuntos Fσ y Gδ). Si ai = bi
para algun i , 1 ≤ i ≤ n, el intervalo se dice degenerado. Sibi − ai = b1 − a1 para todo i , 1 ≤ i ≤ n, el intervalo se denominacubo.
DefinicionSi I es un intervalo en Rn de extremos a y b, definimos el volumende I como: vol(I ) = (b1 − a1) · · · (bn − an)
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
DefinicionSean a,b ∈ Rn con ak ≤ bk . El conjunto{x ∈ Rn : ak ≤ xk ≤ bk , k = 1, . . . , n} = [a1, b1]× · · · × [an, bn]
se denomina intervalo cerrado de extremos a y b. Si todas lasdesigualdades son estrictas, se denomina intervalo abierto deextremos a y b, (puede ser el conjunto vacıo).
En general si secombinan desigualdades estrictas y no estrictas se denominaintervalo de extremos a y b. (Son conjuntos Fσ y Gδ). Si ai = bi
para algun i , 1 ≤ i ≤ n, el intervalo se dice degenerado. Sibi − ai = b1 − a1 para todo i , 1 ≤ i ≤ n, el intervalo se denominacubo.
DefinicionSi I es un intervalo en Rn de extremos a y b, definimos el volumende I como: vol(I ) = (b1 − a1) · · · (bn − an)
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
DefinicionSean a,b ∈ Rn con ak ≤ bk . El conjunto{x ∈ Rn : ak ≤ xk ≤ bk , k = 1, . . . , n} = [a1, b1]× · · · × [an, bn]
se denomina intervalo cerrado de extremos a y b. Si todas lasdesigualdades son estrictas, se denomina intervalo abierto deextremos a y b, (puede ser el conjunto vacıo). En general si secombinan desigualdades estrictas y no estrictas se denominaintervalo de extremos a y b.
(Son conjuntos Fσ y Gδ). Si ai = bi
para algun i , 1 ≤ i ≤ n, el intervalo se dice degenerado. Sibi − ai = b1 − a1 para todo i , 1 ≤ i ≤ n, el intervalo se denominacubo.
DefinicionSi I es un intervalo en Rn de extremos a y b, definimos el volumende I como: vol(I ) = (b1 − a1) · · · (bn − an)
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
DefinicionSean a,b ∈ Rn con ak ≤ bk . El conjunto{x ∈ Rn : ak ≤ xk ≤ bk , k = 1, . . . , n} = [a1, b1]× · · · × [an, bn]
se denomina intervalo cerrado de extremos a y b. Si todas lasdesigualdades son estrictas, se denomina intervalo abierto deextremos a y b, (puede ser el conjunto vacıo). En general si secombinan desigualdades estrictas y no estrictas se denominaintervalo de extremos a y b. (Son conjuntos Fσ y Gδ).
Si ai = bi
para algun i , 1 ≤ i ≤ n, el intervalo se dice degenerado. Sibi − ai = b1 − a1 para todo i , 1 ≤ i ≤ n, el intervalo se denominacubo.
DefinicionSi I es un intervalo en Rn de extremos a y b, definimos el volumende I como: vol(I ) = (b1 − a1) · · · (bn − an)
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
DefinicionSean a,b ∈ Rn con ak ≤ bk . El conjunto{x ∈ Rn : ak ≤ xk ≤ bk , k = 1, . . . , n} = [a1, b1]× · · · × [an, bn]
se denomina intervalo cerrado de extremos a y b. Si todas lasdesigualdades son estrictas, se denomina intervalo abierto deextremos a y b, (puede ser el conjunto vacıo). En general si secombinan desigualdades estrictas y no estrictas se denominaintervalo de extremos a y b. (Son conjuntos Fσ y Gδ). Si ai = bi
para algun i , 1 ≤ i ≤ n, el intervalo se dice degenerado.
Sibi − ai = b1 − a1 para todo i , 1 ≤ i ≤ n, el intervalo se denominacubo.
DefinicionSi I es un intervalo en Rn de extremos a y b, definimos el volumende I como: vol(I ) = (b1 − a1) · · · (bn − an)
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
DefinicionSean a,b ∈ Rn con ak ≤ bk . El conjunto{x ∈ Rn : ak ≤ xk ≤ bk , k = 1, . . . , n} = [a1, b1]× · · · × [an, bn]
se denomina intervalo cerrado de extremos a y b. Si todas lasdesigualdades son estrictas, se denomina intervalo abierto deextremos a y b, (puede ser el conjunto vacıo). En general si secombinan desigualdades estrictas y no estrictas se denominaintervalo de extremos a y b. (Son conjuntos Fσ y Gδ). Si ai = bi
para algun i , 1 ≤ i ≤ n, el intervalo se dice degenerado. Sibi − ai = b1 − a1 para todo i , 1 ≤ i ≤ n, el intervalo se denominacubo.
DefinicionSi I es un intervalo en Rn de extremos a y b, definimos el volumende I como: vol(I ) = (b1 − a1) · · · (bn − an)
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
DefinicionSean a,b ∈ Rn con ak ≤ bk . El conjunto{x ∈ Rn : ak ≤ xk ≤ bk , k = 1, . . . , n} = [a1, b1]× · · · × [an, bn]
se denomina intervalo cerrado de extremos a y b. Si todas lasdesigualdades son estrictas, se denomina intervalo abierto deextremos a y b, (puede ser el conjunto vacıo). En general si secombinan desigualdades estrictas y no estrictas se denominaintervalo de extremos a y b. (Son conjuntos Fσ y Gδ). Si ai = bi
para algun i , 1 ≤ i ≤ n, el intervalo se dice degenerado. Sibi − ai = b1 − a1 para todo i , 1 ≤ i ≤ n, el intervalo se denominacubo.
DefinicionSi I es un intervalo en Rn de extremos a y b, definimos el volumende I como:
vol(I ) = (b1 − a1) · · · (bn − an)
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
DefinicionSean a,b ∈ Rn con ak ≤ bk . El conjunto{x ∈ Rn : ak ≤ xk ≤ bk , k = 1, . . . , n} = [a1, b1]× · · · × [an, bn]
se denomina intervalo cerrado de extremos a y b. Si todas lasdesigualdades son estrictas, se denomina intervalo abierto deextremos a y b, (puede ser el conjunto vacıo). En general si secombinan desigualdades estrictas y no estrictas se denominaintervalo de extremos a y b. (Son conjuntos Fσ y Gδ). Si ai = bi
para algun i , 1 ≤ i ≤ n, el intervalo se dice degenerado. Sibi − ai = b1 − a1 para todo i , 1 ≤ i ≤ n, el intervalo se denominacubo.
DefinicionSi I es un intervalo en Rn de extremos a y b, definimos el volumende I como: vol(I ) = (b1 − a1) · · · (bn − an)
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
1. vol(I ) = 0 si y solo si I es degenerado.
2. Si I es un intervalo en Rn de extremos a, b, y z ∈ Rn,entonces z + I es un intervalo y vol(z + I ) = vol(I ).Si λ ∈ R, λ > 0, entonces λI es un intervalo yvol(λI ) = λnvol(I ).
DefinicionLos numeros diadicos son los numeros reales que se pueden
expresar en la formam
2pcon m, p ∈ Z, p ≥ 0.
1. La expresion de un numero diadico no es unica. Ademascuando tenemos un numero finitos de ellos, se pueden suponertodas sus expresiones con igual denominador.
2. Los numeros diadicos son un conjunto denso en R.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
1. vol(I ) = 0 si y solo si I es degenerado.2. Si I es un intervalo en Rn de extremos a, b, y z ∈ Rn,
entonces z + I es un intervalo y
vol(z + I ) = vol(I ).Si λ ∈ R, λ > 0, entonces λI es un intervalo yvol(λI ) = λnvol(I ).
DefinicionLos numeros diadicos son los numeros reales que se pueden
expresar en la formam
2pcon m, p ∈ Z, p ≥ 0.
1. La expresion de un numero diadico no es unica. Ademascuando tenemos un numero finitos de ellos, se pueden suponertodas sus expresiones con igual denominador.
2. Los numeros diadicos son un conjunto denso en R.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
1. vol(I ) = 0 si y solo si I es degenerado.2. Si I es un intervalo en Rn de extremos a, b, y z ∈ Rn,
entonces z + I es un intervalo y vol(z + I ) =
vol(I ).Si λ ∈ R, λ > 0, entonces λI es un intervalo yvol(λI ) = λnvol(I ).
DefinicionLos numeros diadicos son los numeros reales que se pueden
expresar en la formam
2pcon m, p ∈ Z, p ≥ 0.
1. La expresion de un numero diadico no es unica. Ademascuando tenemos un numero finitos de ellos, se pueden suponertodas sus expresiones con igual denominador.
2. Los numeros diadicos son un conjunto denso en R.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
1. vol(I ) = 0 si y solo si I es degenerado.2. Si I es un intervalo en Rn de extremos a, b, y z ∈ Rn,
entonces z + I es un intervalo y vol(z + I ) = vol(I ).
Si λ ∈ R, λ > 0, entonces λI es un intervalo yvol(λI ) = λnvol(I ).
DefinicionLos numeros diadicos son los numeros reales que se pueden
expresar en la formam
2pcon m, p ∈ Z, p ≥ 0.
1. La expresion de un numero diadico no es unica. Ademascuando tenemos un numero finitos de ellos, se pueden suponertodas sus expresiones con igual denominador.
2. Los numeros diadicos son un conjunto denso en R.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
1. vol(I ) = 0 si y solo si I es degenerado.2. Si I es un intervalo en Rn de extremos a, b, y z ∈ Rn,
entonces z + I es un intervalo y vol(z + I ) = vol(I ).Si λ ∈ R, λ > 0, entonces λI es un intervalo y
vol(λI ) = λnvol(I ).
DefinicionLos numeros diadicos son los numeros reales que se pueden
expresar en la formam
2pcon m, p ∈ Z, p ≥ 0.
1. La expresion de un numero diadico no es unica. Ademascuando tenemos un numero finitos de ellos, se pueden suponertodas sus expresiones con igual denominador.
2. Los numeros diadicos son un conjunto denso en R.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
1. vol(I ) = 0 si y solo si I es degenerado.2. Si I es un intervalo en Rn de extremos a, b, y z ∈ Rn,
entonces z + I es un intervalo y vol(z + I ) = vol(I ).Si λ ∈ R, λ > 0, entonces λI es un intervalo yvol(λI ) =
λnvol(I ).
DefinicionLos numeros diadicos son los numeros reales que se pueden
expresar en la formam
2pcon m, p ∈ Z, p ≥ 0.
1. La expresion de un numero diadico no es unica. Ademascuando tenemos un numero finitos de ellos, se pueden suponertodas sus expresiones con igual denominador.
2. Los numeros diadicos son un conjunto denso en R.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
1. vol(I ) = 0 si y solo si I es degenerado.2. Si I es un intervalo en Rn de extremos a, b, y z ∈ Rn,
entonces z + I es un intervalo y vol(z + I ) = vol(I ).Si λ ∈ R, λ > 0, entonces λI es un intervalo yvol(λI ) = λnvol(I ).
DefinicionLos numeros diadicos son los numeros reales que se pueden
expresar en la formam
2pcon m, p ∈ Z, p ≥ 0.
1. La expresion de un numero diadico no es unica. Ademascuando tenemos un numero finitos de ellos, se pueden suponertodas sus expresiones con igual denominador.
2. Los numeros diadicos son un conjunto denso en R.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
1. vol(I ) = 0 si y solo si I es degenerado.2. Si I es un intervalo en Rn de extremos a, b, y z ∈ Rn,
entonces z + I es un intervalo y vol(z + I ) = vol(I ).Si λ ∈ R, λ > 0, entonces λI es un intervalo yvol(λI ) = λnvol(I ).
DefinicionLos numeros diadicos son los numeros reales que se pueden
expresar en la formam
2pcon m, p ∈ Z, p ≥ 0.
1. La expresion de un numero diadico no es unica. Ademascuando tenemos un numero finitos de ellos, se pueden suponertodas sus expresiones con igual denominador.
2. Los numeros diadicos son un conjunto denso en R.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
1. vol(I ) = 0 si y solo si I es degenerado.2. Si I es un intervalo en Rn de extremos a, b, y z ∈ Rn,
entonces z + I es un intervalo y vol(z + I ) = vol(I ).Si λ ∈ R, λ > 0, entonces λI es un intervalo yvol(λI ) = λnvol(I ).
DefinicionLos numeros diadicos son los numeros reales que se pueden
expresar en la formam
2pcon m, p ∈ Z, p ≥ 0.
1. La expresion de un numero diadico no es unica. Ademascuando tenemos un numero finitos de ellos, se pueden suponertodas sus expresiones con igual denominador.
2. Los numeros diadicos son un conjunto denso en R.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
1. vol(I ) = 0 si y solo si I es degenerado.2. Si I es un intervalo en Rn de extremos a, b, y z ∈ Rn,
entonces z + I es un intervalo y vol(z + I ) = vol(I ).Si λ ∈ R, λ > 0, entonces λI es un intervalo yvol(λI ) = λnvol(I ).
DefinicionLos numeros diadicos son los numeros reales que se pueden
expresar en la formam
2pcon m, p ∈ Z, p ≥ 0.
1. La expresion de un numero diadico no es unica. Ademascuando tenemos un numero finitos de ellos, se pueden suponertodas sus expresiones con igual denominador.
2. Los numeros diadicos son un conjunto denso en R.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
1. vol(I ) = 0 si y solo si I es degenerado.2. Si I es un intervalo en Rn de extremos a, b, y z ∈ Rn,
entonces z + I es un intervalo y vol(z + I ) = vol(I ).Si λ ∈ R, λ > 0, entonces λI es un intervalo yvol(λI ) = λnvol(I ).
DefinicionLos numeros diadicos son los numeros reales que se pueden
expresar en la formam
2pcon m, p ∈ Z, p ≥ 0.
1. La expresion de un numero diadico no es unica. Ademascuando tenemos un numero finitos de ellos, se pueden suponertodas sus expresiones con igual denominador.
2. Los numeros diadicos son un conjunto denso en R.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
1. vol(I ) = 0 si y solo si I es degenerado.2. Si I es un intervalo en Rn de extremos a, b, y z ∈ Rn,
entonces z + I es un intervalo y vol(z + I ) = vol(I ).Si λ ∈ R, λ > 0, entonces λI es un intervalo yvol(λI ) = λnvol(I ).
DefinicionLos numeros diadicos son los numeros reales que se pueden
expresar en la formam
2pcon m, p ∈ Z, p ≥ 0.
1. La expresion de un numero diadico no es unica. Ademascuando tenemos un numero finitos de ellos, se pueden suponertodas sus expresiones con igual denominador.
2. Los numeros diadicos son un conjunto denso en R.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
DefinicionLos intervalos
[α1, β1)× · · · × [αn, βn)
con αi < βi , 1 ≤ i ≤ n numeros diadicos, de denominan intervalosdiadicos.Supondremos siempre los αi y βi expresados con el mismodenominador.
Observemos que el volumen de un intervalo diadico I en el que losextremos son numeros enteros se obtiene contando el numero depuntos con coordenadas enteras que hay en I , es decir,
LemaSi I es un intervalo diadico de extremos a,b ∈ Zn, entonces
vol(I ) = card(I ∩ Zn)
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
DefinicionLos intervalos
[α1, β1)× · · · × [αn, βn)
con αi < βi , 1 ≤ i ≤ n numeros diadicos, de denominan intervalosdiadicos.Supondremos siempre los αi y βi expresados con el mismodenominador.
Observemos que el volumen de un intervalo diadico I en el que losextremos son numeros enteros se obtiene contando el numero depuntos con coordenadas enteras que hay en I , es decir,
LemaSi I es un intervalo diadico de extremos a,b ∈ Zn, entonces
vol(I ) = card(I ∩ Zn)
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
DefinicionLos intervalos
[α1, β1)× · · · × [αn, βn)
con αi < βi , 1 ≤ i ≤ n numeros diadicos, de denominan intervalosdiadicos.Supondremos siempre los αi y βi expresados con el mismodenominador.
Observemos que el volumen de un intervalo diadico I
en el que losextremos son numeros enteros se obtiene contando el numero depuntos con coordenadas enteras que hay en I , es decir,
LemaSi I es un intervalo diadico de extremos a,b ∈ Zn, entonces
vol(I ) = card(I ∩ Zn)
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
DefinicionLos intervalos
[α1, β1)× · · · × [αn, βn)
con αi < βi , 1 ≤ i ≤ n numeros diadicos, de denominan intervalosdiadicos.Supondremos siempre los αi y βi expresados con el mismodenominador.
Observemos que el volumen de un intervalo diadico I en el que losextremos son numeros enteros se obtiene contando
el numero depuntos con coordenadas enteras que hay en I , es decir,
LemaSi I es un intervalo diadico de extremos a,b ∈ Zn, entonces
vol(I ) = card(I ∩ Zn)
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
DefinicionLos intervalos
[α1, β1)× · · · × [αn, βn)
con αi < βi , 1 ≤ i ≤ n numeros diadicos, de denominan intervalosdiadicos.Supondremos siempre los αi y βi expresados con el mismodenominador.
Observemos que el volumen de un intervalo diadico I en el que losextremos son numeros enteros se obtiene contando el numero depuntos con coordenadas enteras que hay en I , es decir,
LemaSi I es un intervalo diadico de extremos a,b ∈ Zn, entonces
vol(I ) = card(I ∩ Zn)
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
DefinicionLos intervalos
[α1, β1)× · · · × [αn, βn)
con αi < βi , 1 ≤ i ≤ n numeros diadicos, de denominan intervalosdiadicos.Supondremos siempre los αi y βi expresados con el mismodenominador.
Observemos que el volumen de un intervalo diadico I en el que losextremos son numeros enteros se obtiene contando el numero depuntos con coordenadas enteras que hay en I , es decir,
LemaSi I es un intervalo diadico de extremos a,b ∈ Zn, entonces
vol(I ) =
card(I ∩ Zn)
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
DefinicionLos intervalos
[α1, β1)× · · · × [αn, βn)
con αi < βi , 1 ≤ i ≤ n numeros diadicos, de denominan intervalosdiadicos.Supondremos siempre los αi y βi expresados con el mismodenominador.
Observemos que el volumen de un intervalo diadico I en el que losextremos son numeros enteros se obtiene contando el numero depuntos con coordenadas enteras que hay en I , es decir,
LemaSi I es un intervalo diadico de extremos a,b ∈ Zn, entonces
vol(I ) = card(I ∩ Zn)
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
DefinicionLos intervalos
[α1, β1)× · · · × [αn, βn)
con αi < βi , 1 ≤ i ≤ n numeros diadicos, de denominan intervalosdiadicos.Supondremos siempre los αi y βi expresados con el mismodenominador.
Observemos que el volumen de un intervalo diadico I en el que losextremos son numeros enteros se obtiene contando el numero depuntos con coordenadas enteras que hay en I , es decir,
LemaSi I es un intervalo diadico de extremos a,b ∈ Zn, entonces
vol(I ) = card(I ∩ Zn)
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
1 2 3 4
1
2
3
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
TeoremaSi I es un intervalo diadico [α1, β1)× · · · × [αn, βn) (todos losnumeros diadicos αi y βi expresados con el mismo denominador2p), entonces
vol(I ) =
(1
2p
)n
card(2pI ∩ Zn)
En efecto, si expresamos
I =[ s1
2p,
t1
2p
)× · · ·×,
[ sn2p,
tn2p
)entonces su volumen es
vol(I ) =1
2npvol(2pI ) =
1
2npcard(2pI ∩ Zn)
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
TeoremaSi I es un intervalo diadico [α1, β1)× · · · × [αn, βn) (todos losnumeros diadicos αi y βi expresados con el mismo denominador2p), entonces
vol(I ) =
(1
2p
)n
card(2pI ∩ Zn)
En efecto, si expresamos
I =[ s1
2p,
t1
2p
)× · · ·×,
[ sn2p,
tn2p
)entonces su volumen es
vol(I ) =1
2npvol(2pI ) =
1
2npcard(2pI ∩ Zn)
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
TeoremaSi I es un intervalo diadico [α1, β1)× · · · × [αn, βn) (todos losnumeros diadicos αi y βi expresados con el mismo denominador2p), entonces
vol(I ) =
(1
2p
)n
card(2pI ∩ Zn)
En efecto, si expresamos
I =[ s1
2p,
t1
2p
)× · · ·×,
[ sn2p,
tn2p
)entonces su volumen es
vol(I ) =1
2npvol(2pI ) =
1
2npcard(2pI ∩ Zn)
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
TeoremaSi I es un intervalo diadico [α1, β1)× · · · × [αn, βn) (todos losnumeros diadicos αi y βi expresados con el mismo denominador2p), entonces
vol(I ) =
(1
2p
)n
card(2pI ∩ Zn)
En efecto, si expresamos
I =[ s1
2p,
t1
2p
)× · · ·×,
[ sn2p,
tn2p
)entonces su volumen es
vol(I ) =1
2npvol(2pI ) =
1
2npcard(2pI ∩ Zn)
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
TeoremaSi I es un intervalo diadico [α1, β1)× · · · × [αn, βn) (todos losnumeros diadicos αi y βi expresados con el mismo denominador2p), entonces
vol(I ) =
(1
2p
)n
card(2pI ∩ Zn)
En efecto, si expresamos
I =[ s1
2p,
t1
2p
)× · · ·×,
[ sn2p,
tn2p
)entonces su volumen es
vol(I ) =1
2npvol(2pI ) =
1
2npcard(2pI ∩ Zn)
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
TeoremaSi I es un intervalo diadico [α1, β1)× · · · × [αn, βn) (todos losnumeros diadicos αi y βi expresados con el mismo denominador2p), entonces
vol(I ) =
(1
2p
)n
card(2pI ∩ Zn)
En efecto, si expresamos
I =[ s1
2p,
t1
2p
)× · · ·×,
[ sn2p,
tn2p
)entonces su volumen es
vol(I ) =
1
2npvol(2pI ) =
1
2npcard(2pI ∩ Zn)
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
TeoremaSi I es un intervalo diadico [α1, β1)× · · · × [αn, βn) (todos losnumeros diadicos αi y βi expresados con el mismo denominador2p), entonces
vol(I ) =
(1
2p
)n
card(2pI ∩ Zn)
En efecto, si expresamos
I =[ s1
2p,
t1
2p
)× · · ·×,
[ sn2p,
tn2p
)entonces su volumen es
vol(I ) =1
2npvol(2pI ) =
1
2npcard(2pI ∩ Zn)
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
TeoremaSi I es un intervalo diadico [α1, β1)× · · · × [αn, βn) (todos losnumeros diadicos αi y βi expresados con el mismo denominador2p), entonces
vol(I ) =
(1
2p
)n
card(2pI ∩ Zn)
En efecto, si expresamos
I =[ s1
2p,
t1
2p
)× · · ·×,
[ sn2p,
tn2p
)entonces su volumen es
vol(I ) =1
2npvol(2pI ) =
1
2npcard(2pI ∩ Zn)
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Lema (Aproximacion por intervalos)
1. Sea I ⊂ Rn un intervalo no degenerado, entonces para cadaε > 0 existe un intervalo diadico J tal que J ⊂ I yvol(I )− vol(J) < ε.
2. Sea I ⊂ Rn un intervalo, entonces para cada ε > 0 existe unintervalo diadico H tal que I ⊂ int(H) y vol(H)− vol(I ) < ε.
Demostracion. 1o. Sea I ⊆ Rn un intervalo no degenerado y seana,b ∈ Rn sus extremos. Sea 0 < δ < mın{(bi − ai ) : 1 ≤ i ≤ n}.Consideremos el intervalo Lδ =
∏ni=1(ai + δ, bi − δ). Esta claro que
Lδ ⊆ I y que vol(Lδ) =∏n
i=1(bi − ai − 2δ) es una funcion continuade δ que coincide con vol(I ) cuando δ = 0. Ası, dado ε > 0, existeun δ > 0 tal que vol(I )− vol(Lδ) < ε. A continuacion escogemosnumeros diadicos xi ∈ (ai , ai + δ) e yi ∈ (bi − δ, bi ).
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Lema (Aproximacion por intervalos)
1. Sea I ⊂ Rn un intervalo no degenerado, entonces para cadaε > 0 existe un intervalo diadico J tal que J ⊂ I yvol(I )− vol(J) < ε.
2. Sea I ⊂ Rn un intervalo, entonces para cada ε > 0 existe unintervalo diadico H tal que I ⊂ int(H) y vol(H)− vol(I ) < ε.
Demostracion. 1o. Sea I ⊆ Rn un intervalo no degenerado y seana,b ∈ Rn sus extremos. Sea 0 < δ < mın{(bi − ai ) : 1 ≤ i ≤ n}.Consideremos el intervalo Lδ =
∏ni=1(ai + δ, bi − δ). Esta claro que
Lδ ⊆ I y que vol(Lδ) =∏n
i=1(bi − ai − 2δ) es una funcion continuade δ que coincide con vol(I ) cuando δ = 0. Ası, dado ε > 0, existeun δ > 0 tal que vol(I )− vol(Lδ) < ε. A continuacion escogemosnumeros diadicos xi ∈ (ai , ai + δ) e yi ∈ (bi − δ, bi ).
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Lema (Aproximacion por intervalos)
1. Sea I ⊂ Rn un intervalo no degenerado, entonces para cadaε > 0 existe un intervalo diadico J tal que J ⊂ I yvol(I )− vol(J) < ε.
2. Sea I ⊂ Rn un intervalo, entonces para cada ε > 0 existe unintervalo diadico H tal que I ⊂ int(H) y vol(H)− vol(I ) < ε.
Demostracion. 1o. Sea I ⊆ Rn un intervalo no degenerado y seana,b ∈ Rn sus extremos. Sea 0 < δ < mın{(bi − ai ) : 1 ≤ i ≤ n}.Consideremos el intervalo Lδ =
∏ni=1(ai + δ, bi − δ). Esta claro que
Lδ ⊆ I y que vol(Lδ) =∏n
i=1(bi − ai − 2δ) es una funcion continuade δ que coincide con vol(I ) cuando δ = 0. Ası, dado ε > 0, existeun δ > 0 tal que vol(I )− vol(Lδ) < ε. A continuacion escogemosnumeros diadicos xi ∈ (ai , ai + δ) e yi ∈ (bi − δ, bi ).
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Lema (Aproximacion por intervalos)
1. Sea I ⊂ Rn un intervalo no degenerado, entonces para cadaε > 0 existe un intervalo diadico J tal que J ⊂ I yvol(I )− vol(J) < ε.
2. Sea I ⊂ Rn un intervalo, entonces para cada ε > 0 existe unintervalo diadico H tal que I ⊂ int(H) y vol(H)− vol(I ) < ε.
Demostracion. 1o. Sea I ⊆ Rn un intervalo no degenerado y seana,b ∈ Rn sus extremos. Sea 0 < δ < mın{(bi − ai ) : 1 ≤ i ≤ n}.Consideremos el intervalo Lδ =
∏ni=1(ai + δ, bi − δ). Esta claro que
Lδ ⊆ I y que vol(Lδ) =∏n
i=1(bi − ai − 2δ) es una funcion continuade δ que coincide con vol(I ) cuando δ = 0. Ası, dado ε > 0, existeun δ > 0 tal que vol(I )− vol(Lδ) < ε. A continuacion escogemosnumeros diadicos xi ∈ (ai , ai + δ) e yi ∈ (bi − δ, bi ).
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Consideramos el intervalo diadico J =∏n
i=1[xi , yi ). Es obvio queJ ⊆ I y ademas vol(I )− vol(J) ≤ vol(I )− vol(Lδ) < ε.
2o. Sea I ⊆ Rn un intervalo y sean a,b ∈ Rn sus extremos. Seaδ > 0 y consideremos el intervalo Lδ =
∏ni=1(ai − δ, bi + δ).
Esta claro que I ⊆ Lδ y que vol(Lδ) =∏n
i=1(bi − ai + 2δ) es unafuncion continua de δ que coincide con vol(I ) cuando δ = 0. Ası,dado ε > 0, existe un δ > 0 tal que vol(Lδ)− vol(I ) < ε. Ahoraescogemos numeros diadicos xi ∈ (ai − δ, ai ) e yi ∈ (bi , bi + δ).Consideramos el intervalo diadico H =
∏ni=1[xi , yi ). Es obvio que
I ⊆ int(H) y ademas vol(H)− vol(I ) ≤ vol(Lδ)− vol(I ) < ε.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Consideramos el intervalo diadico J =∏n
i=1[xi , yi ). Es obvio queJ ⊆ I y ademas vol(I )− vol(J) ≤ vol(I )− vol(Lδ) < ε.
2o. Sea I ⊆ Rn un intervalo y sean a,b ∈ Rn sus extremos. Seaδ > 0 y consideremos el intervalo Lδ =
∏ni=1(ai − δ, bi + δ).
Esta claro que I ⊆ Lδ y que vol(Lδ) =∏n
i=1(bi − ai + 2δ) es unafuncion continua de δ que coincide con vol(I ) cuando δ = 0. Ası,dado ε > 0, existe un δ > 0 tal que vol(Lδ)− vol(I ) < ε. Ahoraescogemos numeros diadicos xi ∈ (ai − δ, ai ) e yi ∈ (bi , bi + δ).Consideramos el intervalo diadico H =
∏ni=1[xi , yi ). Es obvio que
I ⊆ int(H) y ademas vol(H)− vol(I ) ≤ vol(Lδ)− vol(I ) < ε.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Lema (Recubrimientos)
1. (Finito). Sean I1, . . . , Ip intervalos en Rn, tales queIk ∩ Ih = ∅ si k 6= h, y sean J1, . . . , Jq intervalos en Rn, talesque
⋃pj=1 Ij ⊂
⋃qk=1 Jk , entonces∑p
j=1 vol(Ij) ≤∑q
k=1 vol(Jk).2. (Numerable). Sean Ik , ∀k ∈ N intervalos en Rn, tales que
Ik ∩ Ih = ∅ si k 6= h, y sean Jk ,∀k ∈ N intervalos en Rn, talesque
⋃k∈N Ik ⊂
⋃k∈N Jk , entonces∑+∞
k=1 vol(Ik) ≤∑+∞
k=1 vol(Jk).
Demostracion. Podemos quitar de la familia {I1, . . . , Ip} aquellosintervalos que sean degenerados, pues su volumen es cero. Dadoε > 0, segun el lema anterior existen intervalos diadicos I ′j ⊆ Ij yJ ′k ⊇ Jk tales que vol(Ij)− vol(I ′j ) <
εp , vol(J ′k)− vol(Jk) < ε
q .
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Lema (Recubrimientos)
1. (Finito). Sean I1, . . . , Ip intervalos en Rn, tales queIk ∩ Ih = ∅ si k 6= h, y sean J1, . . . , Jq intervalos en Rn, talesque
⋃pj=1 Ij ⊂
⋃qk=1 Jk , entonces∑p
j=1 vol(Ij) ≤∑q
k=1 vol(Jk).
2. (Numerable). Sean Ik , ∀k ∈ N intervalos en Rn, tales queIk ∩ Ih = ∅ si k 6= h, y sean Jk ,∀k ∈ N intervalos en Rn, talesque
⋃k∈N Ik ⊂
⋃k∈N Jk , entonces∑+∞
k=1 vol(Ik) ≤∑+∞
k=1 vol(Jk).
Demostracion. Podemos quitar de la familia {I1, . . . , Ip} aquellosintervalos que sean degenerados, pues su volumen es cero. Dadoε > 0, segun el lema anterior existen intervalos diadicos I ′j ⊆ Ij yJ ′k ⊇ Jk tales que vol(Ij)− vol(I ′j ) <
εp , vol(J ′k)− vol(Jk) < ε
q .
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Lema (Recubrimientos)
1. (Finito). Sean I1, . . . , Ip intervalos en Rn, tales queIk ∩ Ih = ∅ si k 6= h, y sean J1, . . . , Jq intervalos en Rn, talesque
⋃pj=1 Ij ⊂
⋃qk=1 Jk , entonces∑p
j=1 vol(Ij) ≤∑q
k=1 vol(Jk).2. (Numerable). Sean Ik , ∀k ∈ N intervalos en Rn, tales que
Ik ∩ Ih = ∅ si k 6= h, y sean Jk ,∀k ∈ N intervalos en Rn, talesque
⋃k∈N Ik ⊂
⋃k∈N Jk , entonces∑+∞
k=1 vol(Ik) ≤∑+∞
k=1 vol(Jk).
Demostracion. Podemos quitar de la familia {I1, . . . , Ip} aquellosintervalos que sean degenerados, pues su volumen es cero. Dadoε > 0, segun el lema anterior existen intervalos diadicos I ′j ⊆ Ij yJ ′k ⊇ Jk tales que vol(Ij)− vol(I ′j ) <
εp , vol(J ′k)− vol(Jk) < ε
q .
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Lema (Recubrimientos)
1. (Finito). Sean I1, . . . , Ip intervalos en Rn, tales queIk ∩ Ih = ∅ si k 6= h, y sean J1, . . . , Jq intervalos en Rn, talesque
⋃pj=1 Ij ⊂
⋃qk=1 Jk , entonces∑p
j=1 vol(Ij) ≤∑q
k=1 vol(Jk).2. (Numerable). Sean Ik , ∀k ∈ N intervalos en Rn, tales que
Ik ∩ Ih = ∅ si k 6= h, y sean Jk ,∀k ∈ N intervalos en Rn, talesque
⋃k∈N Ik ⊂
⋃k∈N Jk , entonces∑+∞
k=1 vol(Ik) ≤∑+∞
k=1 vol(Jk).
Demostracion. Podemos quitar de la familia {I1, . . . , Ip} aquellosintervalos que sean degenerados, pues su volumen es cero. Dadoε > 0, segun el lema anterior existen intervalos diadicos I ′j ⊆ Ij yJ ′k ⊇ Jk tales que vol(Ij)− vol(I ′j ) <
εp , vol(J ′k)− vol(Jk) < ε
q .
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Sea ` ∈ N tal que los denominadores de los numeros diadicos quedefinen estos intervalos son iguales a 1/2`. Segun el teoremaanterior tenemos
p∑j=1
vol(I ′j ) =
p∑j=1
1
2`ncard(2`I ′j ∩ Zn) =
1
2`ncard
2`
p⋃j=1
I ′j
∩ Zn
≤ 1
2`ncard
(2`
(q⋃
k=1
J ′k
)∩ Zn
)≤
q∑k=1
1
2`ncard(2`J ′k ∩ Zn)
=
q∑k=1
vol(Jk).
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Teniendo en cuenta la eleccion de estos intervalos diadicos, sesigue que
p∑j=1
(vol(Ij)−
ε
p
)≤
q∑k=1
(vol(Jq) +
ε
q
),
es decir,p∑
j=1
vol(Ij) ≤q∑
k=1
vol(Jk) + ε,
y tomando lımites cuando ε→ 0 se deduce el resultado.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Teniendo en cuenta la eleccion de estos intervalos diadicos, sesigue que
p∑j=1
(vol(Ij)−
ε
p
)≤
q∑k=1
(vol(Jq) +
ε
q
),
es decir,
p∑j=1
vol(Ij) ≤q∑
k=1
vol(Jk) + ε,
y tomando lımites cuando ε→ 0 se deduce el resultado.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Teniendo en cuenta la eleccion de estos intervalos diadicos, sesigue que
p∑j=1
(vol(Ij)−
ε
p
)≤
q∑k=1
(vol(Jq) +
ε
q
),
es decir,p∑
j=1
vol(Ij) ≤q∑
k=1
vol(Jk) + ε,
y tomando lımites cuando ε→ 0 se deduce el resultado.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
2o. Dado ε > 0, por el lema anterior, para cada j ∈ N existe unintervalo cerrado I ′j ⊆ Ij de tal modo que vol(Ij)− vol(I ′j ) < ε/2j .Analogamente, para cada k ∈ N existe un intervalo abierto J ′k ⊇ Jkde modo que vol(J ′k)− vol(Jk) < ε/2k .
Fijado p ≥ 1, como ∪pj=1I ′jes compacto y como ∪pj=1I ′j ⊆ ∪∞k=1J ′k , se sigue que existe q ∈ Ntal que ∪pj=1I ′j ⊆ ∪
qk=1J ′k . Ahora se tiene por el apartado anterior
que∑p
j=1 vol(I ′j ) ≤∑q
k=1 vol(J ′q), luego
p∑j=1
vol(Ij) ≤p∑
j=1
(vol(I ′j ) +
ε
2j
)≤
p∑j=1
vol(I ′j ) + ε ≤q∑
k=1
vol(J ′k) + ε
≤p∑
k=1
(vol(Jk) +
ε
2j
)+ ε ≤
∞∑k=1
vol(J ′k) + 2ε,
y haciendo ε→ 0 y p →∞ se deduce el resultado.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
2o. Dado ε > 0, por el lema anterior, para cada j ∈ N existe unintervalo cerrado I ′j ⊆ Ij de tal modo que vol(Ij)− vol(I ′j ) < ε/2j .Analogamente, para cada k ∈ N existe un intervalo abierto J ′k ⊇ Jkde modo que vol(J ′k)− vol(Jk) < ε/2k . Fijado p ≥ 1, como ∪pj=1I ′jes compacto y como ∪pj=1I ′j ⊆ ∪∞k=1J ′k , se sigue que existe q ∈ Ntal que ∪pj=1I ′j ⊆ ∪
qk=1J ′k . Ahora se tiene por el apartado anterior
que∑p
j=1 vol(I ′j ) ≤∑q
k=1 vol(J ′q), luego
p∑j=1
vol(Ij) ≤p∑
j=1
(vol(I ′j ) +
ε
2j
)≤
p∑j=1
vol(I ′j ) + ε ≤q∑
k=1
vol(J ′k) + ε
≤p∑
k=1
(vol(Jk) +
ε
2j
)+ ε ≤
∞∑k=1
vol(J ′k) + 2ε,
y haciendo ε→ 0 y p →∞ se deduce el resultado.Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Teorema (Estructura de abiertos)
Todo subconjunto abierto no vacıo de Rn es la union numerable decubos diadicos disjuntos dos a dos y cuyos cierres estan contenidosen el abierto.
1 -1 2 3 -2 -3
-1
-2
-3
3
2
1
-7/2
-7/2
7/2
7/2
-5/2
-5/2
5/2
5/2
3/2
1/2
3/2
-3/2
1/2 -1/2 -1/2 -3/2
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Teorema (Estructura de abiertos)
Todo subconjunto abierto no vacıo de Rn es la union numerable decubos diadicos disjuntos dos a dos y cuyos cierres estan contenidosen el abierto.
1 -1 2 3 -2 -3
-1
-2
-3
3
2
1
-7/2
-7/2
7/2
7/2
-5/2
-5/2
5/2
5/2
3/2
1/2
3/2
-3/2
1/2 -1/2 -1/2 -3/2
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Demostracion. Sea G ⊆ Rn un abierto no vacıo. Sea a ∈ Zn, seak ≥ 0 y consideremos el intervalo diadico I ka definido por
I ka =n∏
i=1
[ai2k,
ai + 1
2k).
Es facil comprobar que si a 6= b entonces I ka ∩ I kb = ∅ y por tantola familia {I ka : a ∈ Zn} es una particion numerable de Rn. Ademas,si j < k y si I ka ∩ I jb 6= ∅ entonces I ka ⊆ I jb. En efecto, para cada i ,
[ai2k,
ai + 1
2k) ∩ [
bi
2j,
bi + 1
2j) 6= ∅.
Tenemos por una parte
ai2k
<bi + 1
2j
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Demostracion. Sea G ⊆ Rn un abierto no vacıo. Sea a ∈ Zn, seak ≥ 0 y consideremos el intervalo diadico I ka definido por
I ka =n∏
i=1
[ai2k,
ai + 1
2k).
Es facil comprobar que si a 6= b entonces I ka ∩ I kb = ∅ y por tantola familia {I ka : a ∈ Zn} es una particion numerable de Rn. Ademas,si j < k y si I ka ∩ I jb 6= ∅ entonces I ka ⊆ I jb. En efecto, para cada i ,
[ai2k,
ai + 1
2k) ∩ [
bi
2j,
bi + 1
2j) 6= ∅.
Tenemos por una parte
ai2k
<bi + 1
2j
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Demostracion. Sea G ⊆ Rn un abierto no vacıo. Sea a ∈ Zn, seak ≥ 0 y consideremos el intervalo diadico I ka definido por
I ka =n∏
i=1
[ai2k,
ai + 1
2k).
Es facil comprobar que si a 6= b entonces I ka ∩ I kb = ∅ y por tantola familia {I ka : a ∈ Zn} es una particion numerable de Rn.
Ademas,si j < k y si I ka ∩ I jb 6= ∅ entonces I ka ⊆ I jb. En efecto, para cada i ,
[ai2k,
ai + 1
2k) ∩ [
bi
2j,
bi + 1
2j) 6= ∅.
Tenemos por una parte
ai2k
<bi + 1
2j
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Demostracion. Sea G ⊆ Rn un abierto no vacıo. Sea a ∈ Zn, seak ≥ 0 y consideremos el intervalo diadico I ka definido por
I ka =n∏
i=1
[ai2k,
ai + 1
2k).
Es facil comprobar que si a 6= b entonces I ka ∩ I kb = ∅ y por tantola familia {I ka : a ∈ Zn} es una particion numerable de Rn. Ademas,si j < k y si I ka ∩ I jb 6= ∅ entonces I ka ⊆ I jb.
En efecto, para cada i ,
[ai2k,
ai + 1
2k) ∩ [
bi
2j,
bi + 1
2j) 6= ∅.
Tenemos por una parte
ai2k
<bi + 1
2j
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Demostracion. Sea G ⊆ Rn un abierto no vacıo. Sea a ∈ Zn, seak ≥ 0 y consideremos el intervalo diadico I ka definido por
I ka =n∏
i=1
[ai2k,
ai + 1
2k).
Es facil comprobar que si a 6= b entonces I ka ∩ I kb = ∅ y por tantola familia {I ka : a ∈ Zn} es una particion numerable de Rn. Ademas,si j < k y si I ka ∩ I jb 6= ∅ entonces I ka ⊆ I jb. En efecto, para cada i ,
[ai2k,
ai + 1
2k) ∩ [
bi
2j,
bi + 1
2j) 6= ∅.
Tenemos por una parte
ai2k
<bi + 1
2j
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Demostracion. Sea G ⊆ Rn un abierto no vacıo. Sea a ∈ Zn, seak ≥ 0 y consideremos el intervalo diadico I ka definido por
I ka =n∏
i=1
[ai2k,
ai + 1
2k).
Es facil comprobar que si a 6= b entonces I ka ∩ I kb = ∅ y por tantola familia {I ka : a ∈ Zn} es una particion numerable de Rn. Ademas,si j < k y si I ka ∩ I jb 6= ∅ entonces I ka ⊆ I jb. En efecto, para cada i ,
[ai2k,
ai + 1
2k) ∩ [
bi
2j,
bi + 1
2j) 6= ∅.
Tenemos por una parte
ai2k
<bi + 1
2j
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
y por lo tanto
ai <bi + 1
2j2k .
Al tratarse de numeros enteros, se sigue que
ai + 1 ≤ bi + 1
2j2k ,
de donde se obtiene que
ai + 1
2k≤ bi + 1
2j.
Por otra parte, tenemos
bi
2j<
ai + 1
2k,
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
y por lo tanto
ai <bi + 1
2j2k .
Al tratarse de numeros enteros, se sigue que
ai + 1 ≤ bi + 1
2j2k ,
de donde se obtiene que
ai + 1
2k≤ bi + 1
2j.
Por otra parte, tenemos
bi
2j<
ai + 1
2k,
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
y por lo tanto
ai <bi + 1
2j2k .
Al tratarse de numeros enteros, se sigue que
ai + 1 ≤ bi + 1
2j2k ,
de donde se obtiene que
ai + 1
2k≤ bi + 1
2j.
Por otra parte, tenemos
bi
2j<
ai + 1
2k,
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
y por lo tanto
ai <bi + 1
2j2k .
Al tratarse de numeros enteros, se sigue que
ai + 1 ≤ bi + 1
2j2k ,
de donde se obtiene que
ai + 1
2k≤ bi + 1
2j.
Por otra parte, tenemos
bi
2j<
ai + 1
2k,
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
y por lo tantobi
2j2k < ai + 1
Al tratarse de numeros enteros, se sigue que
bi
2j2k ≤ ai
de donde se obtiene que
bi
2j≤ ai
2k.
Resumiendo, hemos probado que
bi
2j≤ ai
2k≤ ai + 1
2k≤ bi + 1
2j,
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
y por lo tantobi
2j2k < ai + 1
Al tratarse de numeros enteros, se sigue que
bi
2j2k ≤ ai
de donde se obtiene que
bi
2j≤ ai
2k.
Resumiendo, hemos probado que
bi
2j≤ ai
2k≤ ai + 1
2k≤ bi + 1
2j,
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
y por lo tantobi
2j2k < ai + 1
Al tratarse de numeros enteros, se sigue que
bi
2j2k ≤ ai
de donde se obtiene que
bi
2j≤ ai
2k.
Resumiendo, hemos probado que
bi
2j≤ ai
2k≤ ai + 1
2k≤ bi + 1
2j,
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
y por lo tantobi
2j2k < ai + 1
Al tratarse de numeros enteros, se sigue que
bi
2j2k ≤ ai
de donde se obtiene que
bi
2j≤ ai
2k.
Resumiendo, hemos probado que
bi
2j≤ ai
2k≤ ai + 1
2k≤ bi + 1
2j,
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
es decir, que para cada 1 ≤ i ≤ n tenemos
[ai2k,
ai + 1
2k) ⊆ [
bi
2j,
bi + 1
2j),
y por lo tanto I ka ⊆ I jb.
A continuacion consideramos los conjuntos
D0 = {a ∈ Zn : I 0a ⊆ G},
D1 = {a ∈ Zn : I 1a ⊆ G , I 0
b ∩ I 1a = ∅ ∀b ∈ D0},
y en general
Dk = {a ∈ Zn : I ka ⊆ G I jb ∩ I ka = ∅ ∀b ∈ Dj ∀j < k}.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
es decir, que para cada 1 ≤ i ≤ n tenemos
[ai2k,
ai + 1
2k) ⊆ [
bi
2j,
bi + 1
2j),
y por lo tanto I ka ⊆ I jb.
A continuacion consideramos los conjuntos
D0 = {a ∈ Zn : I 0a ⊆ G},
D1 = {a ∈ Zn : I 1a ⊆ G , I 0
b ∩ I 1a = ∅ ∀b ∈ D0},
y en general
Dk = {a ∈ Zn : I ka ⊆ G I jb ∩ I ka = ∅ ∀b ∈ Dj ∀j < k}.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
es decir, que para cada 1 ≤ i ≤ n tenemos
[ai2k,
ai + 1
2k) ⊆ [
bi
2j,
bi + 1
2j),
y por lo tanto I ka ⊆ I jb.
A continuacion consideramos los conjuntos
D0 = {a ∈ Zn : I 0a ⊆ G},
D1 = {a ∈ Zn : I 1a ⊆ G , I 0
b ∩ I 1a = ∅ ∀b ∈ D0},
y en general
Dk = {a ∈ Zn : I ka ⊆ G I jb ∩ I ka = ∅ ∀b ∈ Dj ∀j < k}.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
es decir, que para cada 1 ≤ i ≤ n tenemos
[ai2k,
ai + 1
2k) ⊆ [
bi
2j,
bi + 1
2j),
y por lo tanto I ka ⊆ I jb.
A continuacion consideramos los conjuntos
D0 = {a ∈ Zn : I 0a ⊆ G},
D1 = {a ∈ Zn : I 1a ⊆ G , I 0
b ∩ I 1a = ∅ ∀b ∈ D0},
y en general
Dk = {a ∈ Zn : I ka ⊆ G I jb ∩ I ka = ∅ ∀b ∈ Dj ∀j < k}.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Afirmamos que entonces
G =∞⋃k=0
⋃a∈Dk
I ka .
En efecto, dado x ∈ G , tomamos k ≥ 0 tal que
diam(I ka ) < dist(x,G c).
A continuacion, existe a ∈ Zn tal que x ∈ I ka , luego I ka ⊆ G . Ahoratenemos que, o bien a ∈ Dk y hemos concluido, o bien a /∈ Dk , encuyo caso existe j < k y existe b ∈ Dj tales que I jb ∩ I ka 6= ∅, luego
I ka ⊆ I jb, y por lo tanto x ∈ I jb y tambien hemos concluido.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Afirmamos que entonces
G =∞⋃k=0
⋃a∈Dk
I ka .
En efecto, dado x ∈ G , tomamos k ≥ 0 tal que
diam(I ka ) < dist(x,G c).
A continuacion, existe a ∈ Zn tal que x ∈ I ka , luego I ka ⊆ G . Ahoratenemos que, o bien a ∈ Dk y hemos concluido, o bien a /∈ Dk , encuyo caso existe j < k y existe b ∈ Dj tales que I jb ∩ I ka 6= ∅, luego
I ka ⊆ I jb, y por lo tanto x ∈ I jb y tambien hemos concluido.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Afirmamos que entonces
G =∞⋃k=0
⋃a∈Dk
I ka .
En efecto, dado x ∈ G , tomamos k ≥ 0 tal que
diam(I ka ) < dist(x,G c).
A continuacion, existe a ∈ Zn tal que x ∈ I ka , luego I ka ⊆ G . Ahoratenemos que, o bien a ∈ Dk y hemos concluido, o bien a /∈ Dk , encuyo caso existe j < k y existe b ∈ Dj tales que I jb ∩ I ka 6= ∅, luego
I ka ⊆ I jb, y por lo tanto x ∈ I jb y tambien hemos concluido.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Afirmamos que entonces
G =∞⋃k=0
⋃a∈Dk
I ka .
En efecto, dado x ∈ G , tomamos k ≥ 0 tal que
diam(I ka ) < dist(x,G c).
A continuacion, existe a ∈ Zn tal que x ∈ I ka , luego I ka ⊆ G . Ahoratenemos que, o bien a ∈ Dk y hemos concluido, o bien a /∈ Dk , encuyo caso existe j < k y existe b ∈ Dj tales que I jb ∩ I ka 6= ∅, luego
I ka ⊆ I jb, y por lo tanto x ∈ I jb y tambien hemos concluido.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Afirmamos que entonces
G =∞⋃k=0
⋃a∈Dk
I ka .
En efecto, dado x ∈ G , tomamos k ≥ 0 tal que
diam(I ka ) < dist(x,G c).
A continuacion, existe a ∈ Zn tal que x ∈ I ka , luego I ka ⊆ G .
Ahoratenemos que, o bien a ∈ Dk y hemos concluido, o bien a /∈ Dk , encuyo caso existe j < k y existe b ∈ Dj tales que I jb ∩ I ka 6= ∅, luego
I ka ⊆ I jb, y por lo tanto x ∈ I jb y tambien hemos concluido.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Afirmamos que entonces
G =∞⋃k=0
⋃a∈Dk
I ka .
En efecto, dado x ∈ G , tomamos k ≥ 0 tal que
diam(I ka ) < dist(x,G c).
A continuacion, existe a ∈ Zn tal que x ∈ I ka , luego I ka ⊆ G . Ahoratenemos que, o bien a ∈ Dk y hemos concluido,
o bien a /∈ Dk , encuyo caso existe j < k y existe b ∈ Dj tales que I jb ∩ I ka 6= ∅, luego
I ka ⊆ I jb, y por lo tanto x ∈ I jb y tambien hemos concluido.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Afirmamos que entonces
G =∞⋃k=0
⋃a∈Dk
I ka .
En efecto, dado x ∈ G , tomamos k ≥ 0 tal que
diam(I ka ) < dist(x,G c).
A continuacion, existe a ∈ Zn tal que x ∈ I ka , luego I ka ⊆ G . Ahoratenemos que, o bien a ∈ Dk y hemos concluido, o bien a /∈ Dk , encuyo caso existe j < k y existe b ∈ Dj tales que I jb ∩ I ka 6= ∅, luego
I ka ⊆ I jb, y por lo tanto x ∈ I jb y tambien hemos concluido.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
CorolarioLa σ-algebra de Borel en Rn esta generada por los intervalos.
CorolarioTodo conjunto abierto no vacıo de Rn es union numerable de unasucesion creciente de conjuntos compactos.
Definicion (Medida de abiertos)
Sea G ⊆ Rn abierto. Si G = ∅ entonces se define m(G ) = 0, y siG 6= ∅ entonces se toma una familia (Ik) de intervalos disjuntos talque G = ∪∞k=1Ik y se define m(G ) =
∑∞k=1 vol(Ik).
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
CorolarioLa σ-algebra de Borel en Rn esta generada por los intervalos.
CorolarioTodo conjunto abierto no vacıo de Rn es union numerable de unasucesion creciente de conjuntos compactos.
Definicion (Medida de abiertos)
Sea G ⊆ Rn abierto. Si G = ∅ entonces se define m(G ) = 0, y siG 6= ∅ entonces se toma una familia (Ik) de intervalos disjuntos talque G = ∪∞k=1Ik y se define m(G ) =
∑∞k=1 vol(Ik).
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
CorolarioLa σ-algebra de Borel en Rn esta generada por los intervalos.
CorolarioTodo conjunto abierto no vacıo de Rn es union numerable de unasucesion creciente de conjuntos compactos.
Definicion (Medida de abiertos)
Sea G ⊆ Rn abierto. Si G = ∅ entonces se define m(G ) = 0, y siG 6= ∅ entonces se toma una familia (Ik) de intervalos disjuntos talque G = ∪∞k=1Ik y se define m(G ) =
∑∞k=1 vol(Ik).
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
1. La expresion de los abiertos no vacıos como union numerablede intervalos disjuntos esta garantizada por el teorema deestructura de abiertos.
2. La definicion de m(G ) no depende de la expresion de G comounion numerable de intervalos disjuntos, por la proposicion derecubrimientos numerables de intervalos.
Se verifican las siguientes propiedades:
1. Si G y H son abiertos y G ⊂ H, entonces m(G ) ≤ m(H).2. Si (Gk) es una familia numerable de conjuntos abiertos en Rn,
entonces m(⋃
k∈N Gk) ≤∑
k∈Nm(Gk).3. Si (Gk) es una familia numerable de abiertos disjuntos en Rn,
entonces m(⋃∞
k=1 Gk) =∑∞
k=1 m(Gk).4. Si G es un intervalo abierto de Rn, entonces vol(G ) = m(G ).5. Si G es un abierto acotado en Rn, entonces m(G ) < +∞.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
1. La expresion de los abiertos no vacıos como union numerablede intervalos disjuntos esta garantizada por el teorema deestructura de abiertos.
2. La definicion de m(G ) no depende de la expresion de G comounion numerable de intervalos disjuntos, por la proposicion derecubrimientos numerables de intervalos.
Se verifican las siguientes propiedades:
1. Si G y H son abiertos y G ⊂ H, entonces m(G ) ≤ m(H).2. Si (Gk) es una familia numerable de conjuntos abiertos en Rn,
entonces m(⋃
k∈N Gk) ≤∑
k∈Nm(Gk).3. Si (Gk) es una familia numerable de abiertos disjuntos en Rn,
entonces m(⋃∞
k=1 Gk) =∑∞
k=1 m(Gk).4. Si G es un intervalo abierto de Rn, entonces vol(G ) = m(G ).5. Si G es un abierto acotado en Rn, entonces m(G ) < +∞.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
1. La expresion de los abiertos no vacıos como union numerablede intervalos disjuntos esta garantizada por el teorema deestructura de abiertos.
2. La definicion de m(G ) no depende de la expresion de G comounion numerable de intervalos disjuntos, por la proposicion derecubrimientos numerables de intervalos.
Se verifican las siguientes propiedades:
1. Si G y H son abiertos y G ⊂ H, entonces m(G ) ≤ m(H).2. Si (Gk) es una familia numerable de conjuntos abiertos en Rn,
entonces m(⋃
k∈N Gk) ≤∑
k∈Nm(Gk).3. Si (Gk) es una familia numerable de abiertos disjuntos en Rn,
entonces m(⋃∞
k=1 Gk) =∑∞
k=1 m(Gk).4. Si G es un intervalo abierto de Rn, entonces vol(G ) = m(G ).5. Si G es un abierto acotado en Rn, entonces m(G ) < +∞.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
1. La expresion de los abiertos no vacıos como union numerablede intervalos disjuntos esta garantizada por el teorema deestructura de abiertos.
2. La definicion de m(G ) no depende de la expresion de G comounion numerable de intervalos disjuntos, por la proposicion derecubrimientos numerables de intervalos.
Se verifican las siguientes propiedades:
1. Si G y H son abiertos y G ⊂ H, entonces m(G ) ≤ m(H).2. Si (Gk) es una familia numerable de conjuntos abiertos en Rn,
entonces m(⋃
k∈N Gk) ≤∑
k∈Nm(Gk).3. Si (Gk) es una familia numerable de abiertos disjuntos en Rn,
entonces m(⋃∞
k=1 Gk) =∑∞
k=1 m(Gk).4. Si G es un intervalo abierto de Rn, entonces vol(G ) = m(G ).5. Si G es un abierto acotado en Rn, entonces m(G ) < +∞.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
1. La expresion de los abiertos no vacıos como union numerablede intervalos disjuntos esta garantizada por el teorema deestructura de abiertos.
2. La definicion de m(G ) no depende de la expresion de G comounion numerable de intervalos disjuntos, por la proposicion derecubrimientos numerables de intervalos.
Se verifican las siguientes propiedades:
1. Si G y H son abiertos y G ⊂ H, entonces m(G ) ≤ m(H).
2. Si (Gk) es una familia numerable de conjuntos abiertos en Rn,entonces m(
⋃k∈N Gk) ≤
∑k∈Nm(Gk).
3. Si (Gk) es una familia numerable de abiertos disjuntos en Rn,entonces m(
⋃∞k=1 Gk) =
∑∞k=1 m(Gk).
4. Si G es un intervalo abierto de Rn, entonces vol(G ) = m(G ).5. Si G es un abierto acotado en Rn, entonces m(G ) < +∞.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
1. La expresion de los abiertos no vacıos como union numerablede intervalos disjuntos esta garantizada por el teorema deestructura de abiertos.
2. La definicion de m(G ) no depende de la expresion de G comounion numerable de intervalos disjuntos, por la proposicion derecubrimientos numerables de intervalos.
Se verifican las siguientes propiedades:
1. Si G y H son abiertos y G ⊂ H, entonces m(G ) ≤ m(H).2. Si (Gk) es una familia numerable de conjuntos abiertos en Rn,
entonces m(⋃
k∈N Gk) ≤∑
k∈Nm(Gk).
3. Si (Gk) es una familia numerable de abiertos disjuntos en Rn,entonces m(
⋃∞k=1 Gk) =
∑∞k=1 m(Gk).
4. Si G es un intervalo abierto de Rn, entonces vol(G ) = m(G ).5. Si G es un abierto acotado en Rn, entonces m(G ) < +∞.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
1. La expresion de los abiertos no vacıos como union numerablede intervalos disjuntos esta garantizada por el teorema deestructura de abiertos.
2. La definicion de m(G ) no depende de la expresion de G comounion numerable de intervalos disjuntos, por la proposicion derecubrimientos numerables de intervalos.
Se verifican las siguientes propiedades:
1. Si G y H son abiertos y G ⊂ H, entonces m(G ) ≤ m(H).2. Si (Gk) es una familia numerable de conjuntos abiertos en Rn,
entonces m(⋃
k∈N Gk) ≤∑
k∈Nm(Gk).3. Si (Gk) es una familia numerable de abiertos disjuntos en Rn,
entonces m(⋃∞
k=1 Gk) =∑∞
k=1 m(Gk).
4. Si G es un intervalo abierto de Rn, entonces vol(G ) = m(G ).5. Si G es un abierto acotado en Rn, entonces m(G ) < +∞.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
1. La expresion de los abiertos no vacıos como union numerablede intervalos disjuntos esta garantizada por el teorema deestructura de abiertos.
2. La definicion de m(G ) no depende de la expresion de G comounion numerable de intervalos disjuntos, por la proposicion derecubrimientos numerables de intervalos.
Se verifican las siguientes propiedades:
1. Si G y H son abiertos y G ⊂ H, entonces m(G ) ≤ m(H).2. Si (Gk) es una familia numerable de conjuntos abiertos en Rn,
entonces m(⋃
k∈N Gk) ≤∑
k∈Nm(Gk).3. Si (Gk) es una familia numerable de abiertos disjuntos en Rn,
entonces m(⋃∞
k=1 Gk) =∑∞
k=1 m(Gk).4. Si G es un intervalo abierto de Rn, entonces vol(G ) = m(G ).
5. Si G es un abierto acotado en Rn, entonces m(G ) < +∞.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
1. La expresion de los abiertos no vacıos como union numerablede intervalos disjuntos esta garantizada por el teorema deestructura de abiertos.
2. La definicion de m(G ) no depende de la expresion de G comounion numerable de intervalos disjuntos, por la proposicion derecubrimientos numerables de intervalos.
Se verifican las siguientes propiedades:
1. Si G y H son abiertos y G ⊂ H, entonces m(G ) ≤ m(H).2. Si (Gk) es una familia numerable de conjuntos abiertos en Rn,
entonces m(⋃
k∈N Gk) ≤∑
k∈Nm(Gk).3. Si (Gk) es una familia numerable de abiertos disjuntos en Rn,
entonces m(⋃∞
k=1 Gk) =∑∞
k=1 m(Gk).4. Si G es un intervalo abierto de Rn, entonces vol(G ) = m(G ).5. Si G es un abierto acotado en Rn, entonces m(G ) < +∞.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Demostracion.1o. Sean (Ik), (Jk) dos familias de intervalos disjuntos tales queG = ∪∞k=1Ik , H = ∪∞k=1Jk . Aplicando el lema de los recubrimientos
m(G ) =∞∑k=1
vol(Ik) ≤∞∑k=1
vol(Jk) = m(H),
2o. Sea ∪∞k=1Gk = ∪∞j=1Ij union numerable de intervalos disjuntosy sea Gk = ∪∞j=1Jj ,k union numerable de intervalos disjuntos.Tenemos
⋃∞j=1 Ij = G =
⋃∞k=1 Gk =
⋃∞k=1
⋃∞j=1 Jj ,k , y se sigue del
lema de los recubrimientos que
m(G ) =∞∑j=1
vol(Ij) ≤∞∑k=1
∞∑j=1
vol(Jj ,k) =∞∑k=1
m(Gk).
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
3o. Sea Gk =⋃∞
j=1 Ij ,k union numerable de intervalos disjuntos yobservemos que
⋃∞k=1 Gk =
⋃∞k=1
⋃∞j=1 Ij ,k Como los abiertos Gk
son disjuntos se sigue que Ij ,k ∩ Il ,m = ∅ si (j , k) 6= (l ,m), luego
m(∞⋃k=1
Gk) =∞∑k=1
∞∑j=1
vol(Ij ,k) =∞∑k=1
m(Gk).
4o. Se sigue de la propia definicion de la medida de un abierto.5o. Si G es un abierto acotado entonces existe un intervalo abiertoy acotado I tal que G ⊆ I , luego
m(G ) ≤ m(I ) <∞.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
DefinicionSea A ⊂ Rn. Definimos m∗(A) = ınf{m(G ) : A ⊂ G , G abierto}.
Proposicion
La aplicacion m∗ : P(Rn)→ [0,+∞] es una medida exterior enRn. (Se denomina medida exterior de Lebesgue)
Demostracion. Dado que m(∅) = 0, se sigue que m∗(∅) = 0.La monotonıa es inmediata por la definicion. Sea por ultimoA =
⋃∞k=1 Ak . Veamos que m∗(A) ≤
∑∞k=1 m
∗(Ak). Si para algunk es m∗(Ak) =∞ el resultado es trivial. En otro caso, para todoε > 0 y para cada k ∈ N, existe un abierto Gk ⊇ Ak tal quem(Gk) ≤ m∗(Ak) ≥ +ε/2k . Como A ⊆
⋃∞k=1 Gk se sigue que
m∗(A) ≤ m(∞⋃k=1
Gk) ≤∞∑k=1
m(Gk) ≤∞∑k=1
(m∗(Ak)+ε
2k) =
∞∑k=1
m∗(Ak)+ε.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
DefinicionSea A ⊂ Rn. Definimos m∗(A) = ınf{m(G ) : A ⊂ G , G abierto}.
Proposicion
La aplicacion m∗ : P(Rn)→ [0,+∞] es una medida exterior enRn. (Se denomina medida exterior de Lebesgue)
Demostracion. Dado que m(∅) = 0, se sigue que m∗(∅) = 0.La monotonıa es inmediata por la definicion. Sea por ultimoA =
⋃∞k=1 Ak . Veamos que m∗(A) ≤
∑∞k=1 m
∗(Ak). Si para algunk es m∗(Ak) =∞ el resultado es trivial. En otro caso, para todoε > 0 y para cada k ∈ N, existe un abierto Gk ⊇ Ak tal quem(Gk) ≤ m∗(Ak) ≥ +ε/2k . Como A ⊆
⋃∞k=1 Gk se sigue que
m∗(A) ≤ m(∞⋃k=1
Gk) ≤∞∑k=1
m(Gk) ≤∞∑k=1
(m∗(Ak)+ε
2k) =
∞∑k=1
m∗(Ak)+ε.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
DefinicionSea A ⊂ Rn. Definimos m∗(A) = ınf{m(G ) : A ⊂ G , G abierto}.
Proposicion
La aplicacion m∗ : P(Rn)→ [0,+∞] es una medida exterior enRn. (Se denomina medida exterior de Lebesgue)
Demostracion.
Dado que m(∅) = 0, se sigue que m∗(∅) = 0.La monotonıa es inmediata por la definicion. Sea por ultimoA =
⋃∞k=1 Ak . Veamos que m∗(A) ≤
∑∞k=1 m
∗(Ak). Si para algunk es m∗(Ak) =∞ el resultado es trivial. En otro caso, para todoε > 0 y para cada k ∈ N, existe un abierto Gk ⊇ Ak tal quem(Gk) ≤ m∗(Ak) ≥ +ε/2k . Como A ⊆
⋃∞k=1 Gk se sigue que
m∗(A) ≤ m(∞⋃k=1
Gk) ≤∞∑k=1
m(Gk) ≤∞∑k=1
(m∗(Ak)+ε
2k) =
∞∑k=1
m∗(Ak)+ε.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
DefinicionSea A ⊂ Rn. Definimos m∗(A) = ınf{m(G ) : A ⊂ G , G abierto}.
Proposicion
La aplicacion m∗ : P(Rn)→ [0,+∞] es una medida exterior enRn. (Se denomina medida exterior de Lebesgue)
Demostracion. Dado que m(∅) = 0,
se sigue que m∗(∅) = 0.La monotonıa es inmediata por la definicion. Sea por ultimoA =
⋃∞k=1 Ak . Veamos que m∗(A) ≤
∑∞k=1 m
∗(Ak). Si para algunk es m∗(Ak) =∞ el resultado es trivial. En otro caso, para todoε > 0 y para cada k ∈ N, existe un abierto Gk ⊇ Ak tal quem(Gk) ≤ m∗(Ak) ≥ +ε/2k . Como A ⊆
⋃∞k=1 Gk se sigue que
m∗(A) ≤ m(∞⋃k=1
Gk) ≤∞∑k=1
m(Gk) ≤∞∑k=1
(m∗(Ak)+ε
2k) =
∞∑k=1
m∗(Ak)+ε.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
DefinicionSea A ⊂ Rn. Definimos m∗(A) = ınf{m(G ) : A ⊂ G , G abierto}.
Proposicion
La aplicacion m∗ : P(Rn)→ [0,+∞] es una medida exterior enRn. (Se denomina medida exterior de Lebesgue)
Demostracion. Dado que m(∅) = 0, se sigue que m∗(∅) = 0.
La monotonıa es inmediata por la definicion. Sea por ultimoA =
⋃∞k=1 Ak . Veamos que m∗(A) ≤
∑∞k=1 m
∗(Ak). Si para algunk es m∗(Ak) =∞ el resultado es trivial. En otro caso, para todoε > 0 y para cada k ∈ N, existe un abierto Gk ⊇ Ak tal quem(Gk) ≤ m∗(Ak) ≥ +ε/2k . Como A ⊆
⋃∞k=1 Gk se sigue que
m∗(A) ≤ m(∞⋃k=1
Gk) ≤∞∑k=1
m(Gk) ≤∞∑k=1
(m∗(Ak)+ε
2k) =
∞∑k=1
m∗(Ak)+ε.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
DefinicionSea A ⊂ Rn. Definimos m∗(A) = ınf{m(G ) : A ⊂ G , G abierto}.
Proposicion
La aplicacion m∗ : P(Rn)→ [0,+∞] es una medida exterior enRn. (Se denomina medida exterior de Lebesgue)
Demostracion. Dado que m(∅) = 0, se sigue que m∗(∅) = 0.La monotonıa es inmediata por la definicion.
Sea por ultimoA =
⋃∞k=1 Ak . Veamos que m∗(A) ≤
∑∞k=1 m
∗(Ak). Si para algunk es m∗(Ak) =∞ el resultado es trivial. En otro caso, para todoε > 0 y para cada k ∈ N, existe un abierto Gk ⊇ Ak tal quem(Gk) ≤ m∗(Ak) ≥ +ε/2k . Como A ⊆
⋃∞k=1 Gk se sigue que
m∗(A) ≤ m(∞⋃k=1
Gk) ≤∞∑k=1
m(Gk) ≤∞∑k=1
(m∗(Ak)+ε
2k) =
∞∑k=1
m∗(Ak)+ε.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
DefinicionSea A ⊂ Rn. Definimos m∗(A) = ınf{m(G ) : A ⊂ G , G abierto}.
Proposicion
La aplicacion m∗ : P(Rn)→ [0,+∞] es una medida exterior enRn. (Se denomina medida exterior de Lebesgue)
Demostracion. Dado que m(∅) = 0, se sigue que m∗(∅) = 0.La monotonıa es inmediata por la definicion. Sea por ultimoA =
⋃∞k=1 Ak .
Veamos que m∗(A) ≤∑∞
k=1 m∗(Ak). Si para algun
k es m∗(Ak) =∞ el resultado es trivial. En otro caso, para todoε > 0 y para cada k ∈ N, existe un abierto Gk ⊇ Ak tal quem(Gk) ≤ m∗(Ak) ≥ +ε/2k . Como A ⊆
⋃∞k=1 Gk se sigue que
m∗(A) ≤ m(∞⋃k=1
Gk) ≤∞∑k=1
m(Gk) ≤∞∑k=1
(m∗(Ak)+ε
2k) =
∞∑k=1
m∗(Ak)+ε.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
DefinicionSea A ⊂ Rn. Definimos m∗(A) = ınf{m(G ) : A ⊂ G , G abierto}.
Proposicion
La aplicacion m∗ : P(Rn)→ [0,+∞] es una medida exterior enRn. (Se denomina medida exterior de Lebesgue)
Demostracion. Dado que m(∅) = 0, se sigue que m∗(∅) = 0.La monotonıa es inmediata por la definicion. Sea por ultimoA =
⋃∞k=1 Ak . Veamos que m∗(A) ≤
∑∞k=1 m
∗(Ak).
Si para algunk es m∗(Ak) =∞ el resultado es trivial. En otro caso, para todoε > 0 y para cada k ∈ N, existe un abierto Gk ⊇ Ak tal quem(Gk) ≤ m∗(Ak) ≥ +ε/2k . Como A ⊆
⋃∞k=1 Gk se sigue que
m∗(A) ≤ m(∞⋃k=1
Gk) ≤∞∑k=1
m(Gk) ≤∞∑k=1
(m∗(Ak)+ε
2k) =
∞∑k=1
m∗(Ak)+ε.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
DefinicionSea A ⊂ Rn. Definimos m∗(A) = ınf{m(G ) : A ⊂ G , G abierto}.
Proposicion
La aplicacion m∗ : P(Rn)→ [0,+∞] es una medida exterior enRn. (Se denomina medida exterior de Lebesgue)
Demostracion. Dado que m(∅) = 0, se sigue que m∗(∅) = 0.La monotonıa es inmediata por la definicion. Sea por ultimoA =
⋃∞k=1 Ak . Veamos que m∗(A) ≤
∑∞k=1 m
∗(Ak). Si para algunk es m∗(Ak) =∞ el resultado es trivial.
En otro caso, para todoε > 0 y para cada k ∈ N, existe un abierto Gk ⊇ Ak tal quem(Gk) ≤ m∗(Ak) ≥ +ε/2k . Como A ⊆
⋃∞k=1 Gk se sigue que
m∗(A) ≤ m(∞⋃k=1
Gk) ≤∞∑k=1
m(Gk) ≤∞∑k=1
(m∗(Ak)+ε
2k) =
∞∑k=1
m∗(Ak)+ε.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
DefinicionSea A ⊂ Rn. Definimos m∗(A) = ınf{m(G ) : A ⊂ G , G abierto}.
Proposicion
La aplicacion m∗ : P(Rn)→ [0,+∞] es una medida exterior enRn. (Se denomina medida exterior de Lebesgue)
Demostracion. Dado que m(∅) = 0, se sigue que m∗(∅) = 0.La monotonıa es inmediata por la definicion. Sea por ultimoA =
⋃∞k=1 Ak . Veamos que m∗(A) ≤
∑∞k=1 m
∗(Ak). Si para algunk es m∗(Ak) =∞ el resultado es trivial. En otro caso, para todoε > 0 y para cada k ∈ N, existe un abierto Gk ⊇ Ak tal quem(Gk) ≤ m∗(Ak) ≥ +ε/2k . Como A ⊆
⋃∞k=1 Gk se sigue que
m∗(A) ≤ m(∞⋃k=1
Gk) ≤∞∑k=1
m(Gk) ≤∞∑k=1
(m∗(Ak)+ε
2k) =
∞∑k=1
m∗(Ak)+ε.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
DefinicionSea A ⊂ Rn. Definimos m∗(A) = ınf{m(G ) : A ⊂ G , G abierto}.
Proposicion
La aplicacion m∗ : P(Rn)→ [0,+∞] es una medida exterior enRn. (Se denomina medida exterior de Lebesgue)
Demostracion. Dado que m(∅) = 0, se sigue que m∗(∅) = 0.La monotonıa es inmediata por la definicion. Sea por ultimoA =
⋃∞k=1 Ak . Veamos que m∗(A) ≤
∑∞k=1 m
∗(Ak). Si para algunk es m∗(Ak) =∞ el resultado es trivial. En otro caso, para todoε > 0 y para cada k ∈ N, existe un abierto Gk ⊇ Ak tal quem(Gk) ≤ m∗(Ak) ≥ +ε/2k . Como A ⊆
⋃∞k=1 Gk se sigue que
m∗(A) ≤ m(∞⋃k=1
Gk) ≤∞∑k=1
m(Gk) ≤∞∑k=1
(m∗(Ak)+ε
2k) =
∞∑k=1
m∗(Ak)+ε.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Proposicion
La medida exterior de Lebesgue coincide en los abiertos con lamedida de los abiertos y en los intervalos con el volumen.
Demostracion. Sea G ⊆ Rn abierto. Como G ⊆ G , se tienem∗(G ) ≤ m(G ). Recıprocamente, si H ⊆ Rn es un abierto conH ⊇ G entonces m(G ) ≤ m(H) y por lo tanto m(G ) ≤ m∗(G ).Sea ahora I ⊆ Rn un intervalo y tomemos una sucesion (Ik) deintervalos abiertos tales que I ⊆ Ik y vol(Ik)→ vol(I ). Como Ik esabierto, se tiene m(Ik) = vol(Ik), luego m∗(I ) ≤ vol(I ). La otradesigualdad se obtiene observando que
vol(I ) = vol(int(I )) = m(int(I )) = m∗(int(I )) ≤ m∗(I ).
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Proposicion
La medida exterior de Lebesgue coincide en los abiertos con lamedida de los abiertos y en los intervalos con el volumen.
Demostracion. Sea G ⊆ Rn abierto. Como G ⊆ G , se tienem∗(G ) ≤ m(G ). Recıprocamente, si H ⊆ Rn es un abierto conH ⊇ G entonces m(G ) ≤ m(H) y por lo tanto m(G ) ≤ m∗(G ).
Sea ahora I ⊆ Rn un intervalo y tomemos una sucesion (Ik) deintervalos abiertos tales que I ⊆ Ik y vol(Ik)→ vol(I ). Como Ik esabierto, se tiene m(Ik) = vol(Ik), luego m∗(I ) ≤ vol(I ). La otradesigualdad se obtiene observando que
vol(I ) = vol(int(I )) = m(int(I )) = m∗(int(I )) ≤ m∗(I ).
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Proposicion
La medida exterior de Lebesgue coincide en los abiertos con lamedida de los abiertos y en los intervalos con el volumen.
Demostracion. Sea G ⊆ Rn abierto. Como G ⊆ G , se tienem∗(G ) ≤ m(G ). Recıprocamente, si H ⊆ Rn es un abierto conH ⊇ G entonces m(G ) ≤ m(H) y por lo tanto m(G ) ≤ m∗(G ).Sea ahora I ⊆ Rn un intervalo y tomemos una sucesion (Ik) deintervalos abiertos tales que I ⊆ Ik y vol(Ik)→ vol(I ).
Como Ik esabierto, se tiene m(Ik) = vol(Ik), luego m∗(I ) ≤ vol(I ). La otradesigualdad se obtiene observando que
vol(I ) = vol(int(I )) = m(int(I )) = m∗(int(I )) ≤ m∗(I ).
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Proposicion
La medida exterior de Lebesgue coincide en los abiertos con lamedida de los abiertos y en los intervalos con el volumen.
Demostracion. Sea G ⊆ Rn abierto. Como G ⊆ G , se tienem∗(G ) ≤ m(G ). Recıprocamente, si H ⊆ Rn es un abierto conH ⊇ G entonces m(G ) ≤ m(H) y por lo tanto m(G ) ≤ m∗(G ).Sea ahora I ⊆ Rn un intervalo y tomemos una sucesion (Ik) deintervalos abiertos tales que I ⊆ Ik y vol(Ik)→ vol(I ). Como Ik esabierto, se tiene m(Ik) = vol(Ik), luego m∗(I ) ≤ vol(I ).
La otradesigualdad se obtiene observando que
vol(I ) = vol(int(I )) = m(int(I )) = m∗(int(I )) ≤ m∗(I ).
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Proposicion
La medida exterior de Lebesgue coincide en los abiertos con lamedida de los abiertos y en los intervalos con el volumen.
Demostracion. Sea G ⊆ Rn abierto. Como G ⊆ G , se tienem∗(G ) ≤ m(G ). Recıprocamente, si H ⊆ Rn es un abierto conH ⊇ G entonces m(G ) ≤ m(H) y por lo tanto m(G ) ≤ m∗(G ).Sea ahora I ⊆ Rn un intervalo y tomemos una sucesion (Ik) deintervalos abiertos tales que I ⊆ Ik y vol(Ik)→ vol(I ). Como Ik esabierto, se tiene m(Ik) = vol(Ik), luego m∗(I ) ≤ vol(I ). La otradesigualdad se obtiene observando que
vol(I ) = vol(int(I )) = m(int(I )) = m∗(int(I )) ≤ m∗(I ).
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
LemaSi F1, . . . ,Fp son conjuntos cerrados disjuntos en Rn entonces
m∗
(p⋃
i=1
Fi
)=
p∑i=1
m∗(Fi )
Demostracion. Dados los cerrados disjuntos F1, . . . ,Fp, existenabiertos disjuntos G1, . . . ,Gp tales que Fk ⊆ Gk para cada1 ≤ k ≤ p. En efecto, si consideramos los abiertos
Gk = {x ∈ Rn : d(x,Fk) < d(x,⋃j 6=k
Fj)},
entonces esta claro que Fk ⊆ Gk , pues si x ∈ Fk entoncesd(x,Fk) = 0 < d(x,
⋃j 6=k Fj)}. Ademas, los abiertos Gk son
disjuntos porque si k 6= ` y x ∈ Gk entonces
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
LemaSi F1, . . . ,Fp son conjuntos cerrados disjuntos en Rn entonces
m∗
(p⋃
i=1
Fi
)=
p∑i=1
m∗(Fi )
Demostracion. Dados los cerrados disjuntos F1, . . . ,Fp, existenabiertos disjuntos G1, . . . ,Gp tales que Fk ⊆ Gk para cada1 ≤ k ≤ p. En efecto, si consideramos los abiertos
Gk = {x ∈ Rn : d(x,Fk) < d(x,⋃j 6=k
Fj)},
entonces esta claro que Fk ⊆ Gk , pues si x ∈ Fk entoncesd(x,Fk) = 0 < d(x,
⋃j 6=k Fj)}. Ademas, los abiertos Gk son
disjuntos porque si k 6= ` y x ∈ Gk entonces
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
LemaSi F1, . . . ,Fp son conjuntos cerrados disjuntos en Rn entonces
m∗
(p⋃
i=1
Fi
)=
p∑i=1
m∗(Fi )
Demostracion. Dados los cerrados disjuntos F1, . . . ,Fp, existenabiertos disjuntos G1, . . . ,Gp tales que Fk ⊆ Gk para cada1 ≤ k ≤ p. En efecto, si consideramos los abiertos
Gk = {x ∈ Rn : d(x,Fk) < d(x,⋃j 6=k
Fj)},
entonces esta claro que Fk ⊆ Gk , pues si x ∈ Fk entoncesd(x,Fk) = 0 < d(x,
⋃j 6=k Fj)}.
Ademas, los abiertos Gk sondisjuntos porque si k 6= ` y x ∈ Gk entonces
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
LemaSi F1, . . . ,Fp son conjuntos cerrados disjuntos en Rn entonces
m∗
(p⋃
i=1
Fi
)=
p∑i=1
m∗(Fi )
Demostracion. Dados los cerrados disjuntos F1, . . . ,Fp, existenabiertos disjuntos G1, . . . ,Gp tales que Fk ⊆ Gk para cada1 ≤ k ≤ p. En efecto, si consideramos los abiertos
Gk = {x ∈ Rn : d(x,Fk) < d(x,⋃j 6=k
Fj)},
entonces esta claro que Fk ⊆ Gk , pues si x ∈ Fk entoncesd(x,Fk) = 0 < d(x,
⋃j 6=k Fj)}. Ademas, los abiertos Gk son
disjuntos porque si k 6= ` y x ∈ Gk entoncesTema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
d(x,Fk) < d(x,⋃
j 6=k Fj) ≤ d(x,F`), y si ademas x ∈ G` entoncesd(x,F`) < d(x,Fk), lo cual es una contradiccion.
Como m∗ es subaditiva, basta probar que
m∗(
p⋃k=1
Fk) ≥p∑
k=1
m∗(Fk).
Sea entonces G ⊆ Rn tal que⋃p
k=1 Fk ⊆ G . Tenemos
p∑k=1
m∗(Fk) ≤p∑
k=1
m(Gk ∩ G ) = m(
p⋃k=1
Gk ∩ G ) ≤ m(G ),
y tomando el ınfimo sobre tales abiertos G se deduce el resultado.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
d(x,Fk) < d(x,⋃
j 6=k Fj) ≤ d(x,F`), y si ademas x ∈ G` entoncesd(x,F`) < d(x,Fk), lo cual es una contradiccion.Como m∗ es subaditiva, basta probar que
m∗(
p⋃k=1
Fk) ≥p∑
k=1
m∗(Fk).
Sea entonces G ⊆ Rn tal que⋃p
k=1 Fk ⊆ G . Tenemos
p∑k=1
m∗(Fk) ≤p∑
k=1
m(Gk ∩ G ) = m(
p⋃k=1
Gk ∩ G ) ≤ m(G ),
y tomando el ınfimo sobre tales abiertos G se deduce el resultado.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
d(x,Fk) < d(x,⋃
j 6=k Fj) ≤ d(x,F`), y si ademas x ∈ G` entoncesd(x,F`) < d(x,Fk), lo cual es una contradiccion.Como m∗ es subaditiva, basta probar que
m∗(
p⋃k=1
Fk) ≥p∑
k=1
m∗(Fk).
Sea entonces G ⊆ Rn tal que⋃p
k=1 Fk ⊆ G . Tenemos
p∑k=1
m∗(Fk) ≤p∑
k=1
m(Gk ∩ G ) = m(
p⋃k=1
Gk ∩ G ) ≤ m(G ),
y tomando el ınfimo sobre tales abiertos G se deduce el resultado.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
d(x,Fk) < d(x,⋃
j 6=k Fj) ≤ d(x,F`), y si ademas x ∈ G` entoncesd(x,F`) < d(x,Fk), lo cual es una contradiccion.Como m∗ es subaditiva, basta probar que
m∗(
p⋃k=1
Fk) ≥p∑
k=1
m∗(Fk).
Sea entonces G ⊆ Rn tal que⋃p
k=1 Fk ⊆ G . Tenemos
p∑k=1
m∗(Fk) ≤p∑
k=1
m(Gk ∩ G ) = m(
p⋃k=1
Gk ∩ G ) ≤ m(G ),
y tomando el ınfimo sobre tales abiertos G se deduce el resultado.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
d(x,Fk) < d(x,⋃
j 6=k Fj) ≤ d(x,F`), y si ademas x ∈ G` entoncesd(x,F`) < d(x,Fk), lo cual es una contradiccion.Como m∗ es subaditiva, basta probar que
m∗(
p⋃k=1
Fk) ≥p∑
k=1
m∗(Fk).
Sea entonces G ⊆ Rn tal que⋃p
k=1 Fk ⊆ G . Tenemos
p∑k=1
m∗(Fk) ≤p∑
k=1
m(Gk ∩ G ) = m(
p⋃k=1
Gk ∩ G ) ≤ m(G ),
y tomando el ınfimo sobre tales abiertos G se deduce el resultado.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
d(x,Fk) < d(x,⋃
j 6=k Fj) ≤ d(x,F`), y si ademas x ∈ G` entoncesd(x,F`) < d(x,Fk), lo cual es una contradiccion.Como m∗ es subaditiva, basta probar que
m∗(
p⋃k=1
Fk) ≥p∑
k=1
m∗(Fk).
Sea entonces G ⊆ Rn tal que⋃p
k=1 Fk ⊆ G . Tenemos
p∑k=1
m∗(Fk) ≤p∑
k=1
m(Gk ∩ G ) = m(
p⋃k=1
Gk ∩ G ) ≤ m(G ),
y tomando el ınfimo sobre tales abiertos G se deduce el resultado.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
DefinicionA ⊂ Rn se dice que es un conjunto medible Lebesgue si verificaque
para cada ε > 0 existen F ,G ⊂ Rn, F cerrado, G abierto,F ⊂ A ⊂ G y m(G\F ) < ε. La familia de los conjuntos mediblesLebesgue en Rn la denotamos por Mn.
Proposicion
1. Si A ⊂ Rn y m∗(A) = 0, entonces A es medible-Lebesgue.2. Los intervalos de Rn son conjuntos medibles-Lebesgue.
Demostracion. 1o. Si m∗(A) = 0 entonces, dado ε > 0, existe unabierto G ⊆ Rn tal que A ⊆ G y m(G ) < ε, luego tomando comocerrado F = ∅ se deduce que A es medible Lebesgue.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
DefinicionA ⊂ Rn se dice que es un conjunto medible Lebesgue si verificaque para cada ε > 0 existen F ,G ⊂ Rn, F cerrado, G abierto,F ⊂ A ⊂ G y m(G\F ) < ε.
La familia de los conjuntos mediblesLebesgue en Rn la denotamos por Mn.
Proposicion
1. Si A ⊂ Rn y m∗(A) = 0, entonces A es medible-Lebesgue.2. Los intervalos de Rn son conjuntos medibles-Lebesgue.
Demostracion. 1o. Si m∗(A) = 0 entonces, dado ε > 0, existe unabierto G ⊆ Rn tal que A ⊆ G y m(G ) < ε, luego tomando comocerrado F = ∅ se deduce que A es medible Lebesgue.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
DefinicionA ⊂ Rn se dice que es un conjunto medible Lebesgue si verificaque para cada ε > 0 existen F ,G ⊂ Rn, F cerrado, G abierto,F ⊂ A ⊂ G y m(G\F ) < ε. La familia de los conjuntos mediblesLebesgue en Rn la denotamos por Mn.
Proposicion
1. Si A ⊂ Rn y m∗(A) = 0, entonces A es medible-Lebesgue.2. Los intervalos de Rn son conjuntos medibles-Lebesgue.
Demostracion. 1o. Si m∗(A) = 0 entonces, dado ε > 0, existe unabierto G ⊆ Rn tal que A ⊆ G y m(G ) < ε, luego tomando comocerrado F = ∅ se deduce que A es medible Lebesgue.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
DefinicionA ⊂ Rn se dice que es un conjunto medible Lebesgue si verificaque para cada ε > 0 existen F ,G ⊂ Rn, F cerrado, G abierto,F ⊂ A ⊂ G y m(G\F ) < ε. La familia de los conjuntos mediblesLebesgue en Rn la denotamos por Mn.
Proposicion
1. Si A ⊂ Rn y m∗(A) = 0, entonces A es medible-Lebesgue.
2. Los intervalos de Rn son conjuntos medibles-Lebesgue.
Demostracion. 1o. Si m∗(A) = 0 entonces, dado ε > 0, existe unabierto G ⊆ Rn tal que A ⊆ G y m(G ) < ε, luego tomando comocerrado F = ∅ se deduce que A es medible Lebesgue.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
DefinicionA ⊂ Rn se dice que es un conjunto medible Lebesgue si verificaque para cada ε > 0 existen F ,G ⊂ Rn, F cerrado, G abierto,F ⊂ A ⊂ G y m(G\F ) < ε. La familia de los conjuntos mediblesLebesgue en Rn la denotamos por Mn.
Proposicion
1. Si A ⊂ Rn y m∗(A) = 0, entonces A es medible-Lebesgue.2. Los intervalos de Rn son conjuntos medibles-Lebesgue.
Demostracion. 1o. Si m∗(A) = 0 entonces, dado ε > 0, existe unabierto G ⊆ Rn tal que A ⊆ G y m(G ) < ε, luego tomando comocerrado F = ∅ se deduce que A es medible Lebesgue.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
DefinicionA ⊂ Rn se dice que es un conjunto medible Lebesgue si verificaque para cada ε > 0 existen F ,G ⊂ Rn, F cerrado, G abierto,F ⊂ A ⊂ G y m(G\F ) < ε. La familia de los conjuntos mediblesLebesgue en Rn la denotamos por Mn.
Proposicion
1. Si A ⊂ Rn y m∗(A) = 0, entonces A es medible-Lebesgue.2. Los intervalos de Rn son conjuntos medibles-Lebesgue.
Demostracion. 1o. Si m∗(A) = 0 entonces, dado ε > 0, existe unabierto G ⊆ Rn tal que A ⊆ G y m(G ) < ε, luego tomando comocerrado F = ∅ se deduce que A es medible Lebesgue.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
DefinicionA ⊂ Rn se dice que es un conjunto medible Lebesgue si verificaque para cada ε > 0 existen F ,G ⊂ Rn, F cerrado, G abierto,F ⊂ A ⊂ G y m(G\F ) < ε. La familia de los conjuntos mediblesLebesgue en Rn la denotamos por Mn.
Proposicion
1. Si A ⊂ Rn y m∗(A) = 0, entonces A es medible-Lebesgue.2. Los intervalos de Rn son conjuntos medibles-Lebesgue.
Demostracion. 1o. Si m∗(A) = 0 entonces, dado ε > 0, existe unabierto G ⊆ Rn tal que A ⊆ G y m(G ) < ε, luego tomando comocerrado F = ∅ se deduce que A es medible Lebesgue.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
DefinicionA ⊂ Rn se dice que es un conjunto medible Lebesgue si verificaque para cada ε > 0 existen F ,G ⊂ Rn, F cerrado, G abierto,F ⊂ A ⊂ G y m(G\F ) < ε. La familia de los conjuntos mediblesLebesgue en Rn la denotamos por Mn.
Proposicion
1. Si A ⊂ Rn y m∗(A) = 0, entonces A es medible-Lebesgue.2. Los intervalos de Rn son conjuntos medibles-Lebesgue.
Demostracion. 1o. Si m∗(A) = 0 entonces, dado ε > 0, existe unabierto G ⊆ Rn tal que A ⊆ G y m(G ) < ε, luego tomando comocerrado F = ∅ se deduce que A es medible Lebesgue.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
2o. Dado un intervalo I ⊆ Rn, si I es degenerado entoncesm∗(I ) = vol(I ) = 0 luego I es medible.
Si I es no degenerado ytiene por extremos a,b ∈ Rn entonces para δ > 0 suficientementepequeno consideramos los intervalos
F =n∏
i=1
[ai + δ, bi − δ],
G =n∏
i=1
(ai − δ, bi + δ),
de modo que F ⊆ I ⊆ G . Dado que
(ai − δ, bi + δ)\[ai + δ, bi − δ] ⊆ (ai − δ, ai + δ) ∪ (bi − δ, bi + δ)
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
2o. Dado un intervalo I ⊆ Rn, si I es degenerado entoncesm∗(I ) = vol(I ) = 0 luego I es medible. Si I es no degenerado ytiene por extremos a,b ∈ Rn entonces para δ > 0 suficientementepequeno consideramos los intervalos
F =n∏
i=1
[ai + δ, bi − δ],
G =n∏
i=1
(ai − δ, bi + δ),
de modo que F ⊆ I ⊆ G . Dado que
(ai − δ, bi + δ)\[ai + δ, bi − δ] ⊆ (ai − δ, ai + δ) ∪ (bi − δ, bi + δ)
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
2o. Dado un intervalo I ⊆ Rn, si I es degenerado entoncesm∗(I ) = vol(I ) = 0 luego I es medible. Si I es no degenerado ytiene por extremos a,b ∈ Rn entonces para δ > 0 suficientementepequeno consideramos los intervalos
F =n∏
i=1
[ai + δ, bi − δ],
G =n∏
i=1
(ai − δ, bi + δ),
de modo que F ⊆ I ⊆ G . Dado que
(ai − δ, bi + δ)\[ai + δ, bi − δ] ⊆ (ai − δ, ai + δ) ∪ (bi − δ, bi + δ)
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
2o. Dado un intervalo I ⊆ Rn, si I es degenerado entoncesm∗(I ) = vol(I ) = 0 luego I es medible. Si I es no degenerado ytiene por extremos a,b ∈ Rn entonces para δ > 0 suficientementepequeno consideramos los intervalos
F =n∏
i=1
[ai + δ, bi − δ],
G =n∏
i=1
(ai − δ, bi + δ),
de modo que F ⊆ I ⊆ G .
Dado que
(ai − δ, bi + δ)\[ai + δ, bi − δ] ⊆ (ai − δ, ai + δ) ∪ (bi − δ, bi + δ)
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
2o. Dado un intervalo I ⊆ Rn, si I es degenerado entoncesm∗(I ) = vol(I ) = 0 luego I es medible. Si I es no degenerado ytiene por extremos a,b ∈ Rn entonces para δ > 0 suficientementepequeno consideramos los intervalos
F =n∏
i=1
[ai + δ, bi − δ],
G =n∏
i=1
(ai − δ, bi + δ),
de modo que F ⊆ I ⊆ G . Dado que
(ai − δ, bi + δ)\[ai + δ, bi − δ] ⊆ (ai − δ, ai + δ) ∪ (bi − δ, bi + δ)
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
tenemos
G\F ⊆ (a1 − δ, a1 + δ)× (a2 − δ, b2 + δ)× · · · × (an − δ, bn + δ)
∪ (b1 − δ, b1 + δ)× (a2 − δ, b2 + δ)× · · · × (an − δ, bn + δ)
. . . . . . . . .
∪ (a1 − δ, b1 + δ)× (a2 − δ, b2 + δ)× · · · × (an − δ, an + δ)
∪ (a1 − δ, b1 + δ)× (a2 − δ, b2 + δ)× · · · × (bn − δ, bn + δ).
Como la medida de Lebesgue es aditiva sobre los abiertos resulta
m(G\F ) ≤2n∑k=1
2δ(M + 2δ)n−1 = 4nδ(M + 2δ)n−1,
donde M = max{bi − ai : 1 ≤ i ≤ n}. Haciendo δ → 0 resultam(G\F )→ 0 y por lo tanto I es medible.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
tenemos
G\F ⊆ (a1 − δ, a1 + δ)× (a2 − δ, b2 + δ)× · · · × (an − δ, bn + δ)
∪ (b1 − δ, b1 + δ)× (a2 − δ, b2 + δ)× · · · × (an − δ, bn + δ)
. . . . . . . . .
∪ (a1 − δ, b1 + δ)× (a2 − δ, b2 + δ)× · · · × (an − δ, an + δ)
∪ (a1 − δ, b1 + δ)× (a2 − δ, b2 + δ)× · · · × (bn − δ, bn + δ).
Como la medida de Lebesgue es aditiva sobre los abiertos resulta
m(G\F ) ≤2n∑k=1
2δ(M + 2δ)n−1 = 4nδ(M + 2δ)n−1,
donde M = max{bi − ai : 1 ≤ i ≤ n}. Haciendo δ → 0 resultam(G\F )→ 0 y por lo tanto I es medible.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
tenemos
G\F ⊆ (a1 − δ, a1 + δ)× (a2 − δ, b2 + δ)× · · · × (an − δ, bn + δ)
∪ (b1 − δ, b1 + δ)× (a2 − δ, b2 + δ)× · · · × (an − δ, bn + δ)
. . . . . . . . .
∪ (a1 − δ, b1 + δ)× (a2 − δ, b2 + δ)× · · · × (an − δ, an + δ)
∪ (a1 − δ, b1 + δ)× (a2 − δ, b2 + δ)× · · · × (bn − δ, bn + δ).
Como la medida de Lebesgue es aditiva sobre los abiertos resulta
m(G\F ) ≤2n∑k=1
2δ(M + 2δ)n−1 = 4nδ(M + 2δ)n−1,
donde M = max{bi − ai : 1 ≤ i ≤ n}. Haciendo δ → 0 resultam(G\F )→ 0 y por lo tanto I es medible.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
tenemos
G\F ⊆ (a1 − δ, a1 + δ)× (a2 − δ, b2 + δ)× · · · × (an − δ, bn + δ)
∪ (b1 − δ, b1 + δ)× (a2 − δ, b2 + δ)× · · · × (an − δ, bn + δ)
. . . . . . . . .
∪ (a1 − δ, b1 + δ)× (a2 − δ, b2 + δ)× · · · × (an − δ, an + δ)
∪ (a1 − δ, b1 + δ)× (a2 − δ, b2 + δ)× · · · × (bn − δ, bn + δ).
Como la medida de Lebesgue es aditiva sobre los abiertos resulta
m(G\F ) ≤2n∑k=1
2δ(M + 2δ)n−1 = 4nδ(M + 2δ)n−1,
donde M = max{bi − ai : 1 ≤ i ≤ n}. Haciendo δ → 0 resultam(G\F )→ 0 y por lo tanto I es medible.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
TeoremaMn es una σ-algebra en Rn. (La denominaremos σ-algebra deLebesgue en Rn)
Demostracion. 1o. Dado ε > 0 tomamos F = Rn = G de modoque m(G\F ) < ε, luego Rn es medible.2o. Si A ⊆ Rn es medible entonces para cada ε > 0 existen F ⊆ Rn
cerrado y G ⊆ Rn abierto tales que F ⊆ A ⊆ G y m(G\F ) < ε.Ası G c ⊆ Ac ⊆ F c, donde G c es cerrado, F c es abierto, y ademasm(F c\G c) = m(G\F ) < ε, luego Ac es medible.3o. Ahora probaremos que la union numerable de elementos deMn es un elemento de Mn. Usaremos el lema de disjuntizacion.Primero lo probaremos para uniones finitas. Sean A1,A2 ∈Mn ysea ε > 0. Sean F1,F2 ⊆ Rn cerrados y G1,G2 ⊆ Rn abiertos talesque Fi ⊆ Ai ⊆ Gi y tales que m(Gi\Fi ) < ε/2 para i = 1, 2
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
TeoremaMn es una σ-algebra en Rn. (La denominaremos σ-algebra deLebesgue en Rn)
Demostracion. 1o. Dado ε > 0 tomamos F = Rn = G de modoque m(G\F ) < ε, luego Rn es medible.
2o. Si A ⊆ Rn es medible entonces para cada ε > 0 existen F ⊆ Rn
cerrado y G ⊆ Rn abierto tales que F ⊆ A ⊆ G y m(G\F ) < ε.Ası G c ⊆ Ac ⊆ F c, donde G c es cerrado, F c es abierto, y ademasm(F c\G c) = m(G\F ) < ε, luego Ac es medible.3o. Ahora probaremos que la union numerable de elementos deMn es un elemento de Mn. Usaremos el lema de disjuntizacion.Primero lo probaremos para uniones finitas. Sean A1,A2 ∈Mn ysea ε > 0. Sean F1,F2 ⊆ Rn cerrados y G1,G2 ⊆ Rn abiertos talesque Fi ⊆ Ai ⊆ Gi y tales que m(Gi\Fi ) < ε/2 para i = 1, 2
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
TeoremaMn es una σ-algebra en Rn. (La denominaremos σ-algebra deLebesgue en Rn)
Demostracion. 1o. Dado ε > 0 tomamos F = Rn = G de modoque m(G\F ) < ε, luego Rn es medible.2o. Si A ⊆ Rn es medible entonces para cada ε > 0 existen F ⊆ Rn
cerrado y G ⊆ Rn abierto tales que F ⊆ A ⊆ G y m(G\F ) < ε.
Ası G c ⊆ Ac ⊆ F c, donde G c es cerrado, F c es abierto, y ademasm(F c\G c) = m(G\F ) < ε, luego Ac es medible.3o. Ahora probaremos que la union numerable de elementos deMn es un elemento de Mn. Usaremos el lema de disjuntizacion.Primero lo probaremos para uniones finitas. Sean A1,A2 ∈Mn ysea ε > 0. Sean F1,F2 ⊆ Rn cerrados y G1,G2 ⊆ Rn abiertos talesque Fi ⊆ Ai ⊆ Gi y tales que m(Gi\Fi ) < ε/2 para i = 1, 2
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
TeoremaMn es una σ-algebra en Rn. (La denominaremos σ-algebra deLebesgue en Rn)
Demostracion. 1o. Dado ε > 0 tomamos F = Rn = G de modoque m(G\F ) < ε, luego Rn es medible.2o. Si A ⊆ Rn es medible entonces para cada ε > 0 existen F ⊆ Rn
cerrado y G ⊆ Rn abierto tales que F ⊆ A ⊆ G y m(G\F ) < ε.Ası G c ⊆ Ac ⊆ F c, donde G c es cerrado, F c es abierto, y ademasm(F c\G c) = m(G\F ) < ε, luego Ac es medible.
3o. Ahora probaremos que la union numerable de elementos deMn es un elemento de Mn. Usaremos el lema de disjuntizacion.Primero lo probaremos para uniones finitas. Sean A1,A2 ∈Mn ysea ε > 0. Sean F1,F2 ⊆ Rn cerrados y G1,G2 ⊆ Rn abiertos talesque Fi ⊆ Ai ⊆ Gi y tales que m(Gi\Fi ) < ε/2 para i = 1, 2
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
TeoremaMn es una σ-algebra en Rn. (La denominaremos σ-algebra deLebesgue en Rn)
Demostracion. 1o. Dado ε > 0 tomamos F = Rn = G de modoque m(G\F ) < ε, luego Rn es medible.2o. Si A ⊆ Rn es medible entonces para cada ε > 0 existen F ⊆ Rn
cerrado y G ⊆ Rn abierto tales que F ⊆ A ⊆ G y m(G\F ) < ε.Ası G c ⊆ Ac ⊆ F c, donde G c es cerrado, F c es abierto, y ademasm(F c\G c) = m(G\F ) < ε, luego Ac es medible.3o. Ahora probaremos que la union numerable de elementos deMn es un elemento de Mn.
Usaremos el lema de disjuntizacion.Primero lo probaremos para uniones finitas. Sean A1,A2 ∈Mn ysea ε > 0. Sean F1,F2 ⊆ Rn cerrados y G1,G2 ⊆ Rn abiertos talesque Fi ⊆ Ai ⊆ Gi y tales que m(Gi\Fi ) < ε/2 para i = 1, 2
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
TeoremaMn es una σ-algebra en Rn. (La denominaremos σ-algebra deLebesgue en Rn)
Demostracion. 1o. Dado ε > 0 tomamos F = Rn = G de modoque m(G\F ) < ε, luego Rn es medible.2o. Si A ⊆ Rn es medible entonces para cada ε > 0 existen F ⊆ Rn
cerrado y G ⊆ Rn abierto tales que F ⊆ A ⊆ G y m(G\F ) < ε.Ası G c ⊆ Ac ⊆ F c, donde G c es cerrado, F c es abierto, y ademasm(F c\G c) = m(G\F ) < ε, luego Ac es medible.3o. Ahora probaremos que la union numerable de elementos deMn es un elemento de Mn. Usaremos el lema de disjuntizacion.Primero lo probaremos para uniones finitas.
Sean A1,A2 ∈Mn ysea ε > 0. Sean F1,F2 ⊆ Rn cerrados y G1,G2 ⊆ Rn abiertos talesque Fi ⊆ Ai ⊆ Gi y tales que m(Gi\Fi ) < ε/2 para i = 1, 2
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
TeoremaMn es una σ-algebra en Rn. (La denominaremos σ-algebra deLebesgue en Rn)
Demostracion. 1o. Dado ε > 0 tomamos F = Rn = G de modoque m(G\F ) < ε, luego Rn es medible.2o. Si A ⊆ Rn es medible entonces para cada ε > 0 existen F ⊆ Rn
cerrado y G ⊆ Rn abierto tales que F ⊆ A ⊆ G y m(G\F ) < ε.Ası G c ⊆ Ac ⊆ F c, donde G c es cerrado, F c es abierto, y ademasm(F c\G c) = m(G\F ) < ε, luego Ac es medible.3o. Ahora probaremos que la union numerable de elementos deMn es un elemento de Mn. Usaremos el lema de disjuntizacion.Primero lo probaremos para uniones finitas. Sean A1,A2 ∈Mn ysea ε > 0.
Sean F1,F2 ⊆ Rn cerrados y G1,G2 ⊆ Rn abiertos talesque Fi ⊆ Ai ⊆ Gi y tales que m(Gi\Fi ) < ε/2 para i = 1, 2
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
TeoremaMn es una σ-algebra en Rn. (La denominaremos σ-algebra deLebesgue en Rn)
Demostracion. 1o. Dado ε > 0 tomamos F = Rn = G de modoque m(G\F ) < ε, luego Rn es medible.2o. Si A ⊆ Rn es medible entonces para cada ε > 0 existen F ⊆ Rn
cerrado y G ⊆ Rn abierto tales que F ⊆ A ⊆ G y m(G\F ) < ε.Ası G c ⊆ Ac ⊆ F c, donde G c es cerrado, F c es abierto, y ademasm(F c\G c) = m(G\F ) < ε, luego Ac es medible.3o. Ahora probaremos que la union numerable de elementos deMn es un elemento de Mn. Usaremos el lema de disjuntizacion.Primero lo probaremos para uniones finitas. Sean A1,A2 ∈Mn ysea ε > 0. Sean F1,F2 ⊆ Rn cerrados y G1,G2 ⊆ Rn abiertos talesque Fi ⊆ Ai ⊆ Gi y tales que m(Gi\Fi ) < ε/2 para i = 1, 2
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Ahora tenemos el cerrado F = F1 ∪ F2 y el abierto G = G1 ∪ G2,
de modo que F ⊆ A1 ∪ A2 ⊆ G . Ademas, tenemos
G\F ⊆ (G1\F1) ∪ (G2\F2),
y como la medida de Lebesgue es subaditiva sobre los abiertos,resulta m(G\F ) ≤ m(G1\F1) + m(G2\F2) < ε, de donde se deduceque A1 ∪ A2 es medible.Sea ahora (Ak) una sucesion infinita en Mn. Sea A =
⋃∞k=1 Ak y
probemos que A ∈Mn. Supongamos primero que A es acotado.Sea H ⊆ Rn un abierto acotado tal que A ⊆ H. Consideremos lasucesion (Bk) definida como el el lema de disjuntizacion, es decir,
B1 = A1, Bk = Ak ∩ (A1 ∪ · · · ∪ Ak−1)c,
de modo que Bk ∈Mn, estos son disjuntos y⋃∞
k=1 Ak =⋃∞
k=1 Bk .
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Ahora tenemos el cerrado F = F1 ∪ F2 y el abierto G = G1 ∪ G2,de modo que F ⊆ A1 ∪ A2 ⊆ G .
Ademas, tenemos
G\F ⊆ (G1\F1) ∪ (G2\F2),
y como la medida de Lebesgue es subaditiva sobre los abiertos,resulta m(G\F ) ≤ m(G1\F1) + m(G2\F2) < ε, de donde se deduceque A1 ∪ A2 es medible.Sea ahora (Ak) una sucesion infinita en Mn. Sea A =
⋃∞k=1 Ak y
probemos que A ∈Mn. Supongamos primero que A es acotado.Sea H ⊆ Rn un abierto acotado tal que A ⊆ H. Consideremos lasucesion (Bk) definida como el el lema de disjuntizacion, es decir,
B1 = A1, Bk = Ak ∩ (A1 ∪ · · · ∪ Ak−1)c,
de modo que Bk ∈Mn, estos son disjuntos y⋃∞
k=1 Ak =⋃∞
k=1 Bk .
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Ahora tenemos el cerrado F = F1 ∪ F2 y el abierto G = G1 ∪ G2,de modo que F ⊆ A1 ∪ A2 ⊆ G . Ademas, tenemos
G\F ⊆ (G1\F1) ∪ (G2\F2),
y como la medida de Lebesgue es subaditiva sobre los abiertos,resulta m(G\F ) ≤ m(G1\F1) + m(G2\F2) < ε, de donde se deduceque A1 ∪ A2 es medible.Sea ahora (Ak) una sucesion infinita en Mn. Sea A =
⋃∞k=1 Ak y
probemos que A ∈Mn. Supongamos primero que A es acotado.Sea H ⊆ Rn un abierto acotado tal que A ⊆ H. Consideremos lasucesion (Bk) definida como el el lema de disjuntizacion, es decir,
B1 = A1, Bk = Ak ∩ (A1 ∪ · · · ∪ Ak−1)c,
de modo que Bk ∈Mn, estos son disjuntos y⋃∞
k=1 Ak =⋃∞
k=1 Bk .
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Ahora tenemos el cerrado F = F1 ∪ F2 y el abierto G = G1 ∪ G2,de modo que F ⊆ A1 ∪ A2 ⊆ G . Ademas, tenemos
G\F ⊆ (G1\F1) ∪ (G2\F2),
y como la medida de Lebesgue es subaditiva sobre los abiertos,
resulta m(G\F ) ≤ m(G1\F1) + m(G2\F2) < ε, de donde se deduceque A1 ∪ A2 es medible.Sea ahora (Ak) una sucesion infinita en Mn. Sea A =
⋃∞k=1 Ak y
probemos que A ∈Mn. Supongamos primero que A es acotado.Sea H ⊆ Rn un abierto acotado tal que A ⊆ H. Consideremos lasucesion (Bk) definida como el el lema de disjuntizacion, es decir,
B1 = A1, Bk = Ak ∩ (A1 ∪ · · · ∪ Ak−1)c,
de modo que Bk ∈Mn, estos son disjuntos y⋃∞
k=1 Ak =⋃∞
k=1 Bk .
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Ahora tenemos el cerrado F = F1 ∪ F2 y el abierto G = G1 ∪ G2,de modo que F ⊆ A1 ∪ A2 ⊆ G . Ademas, tenemos
G\F ⊆ (G1\F1) ∪ (G2\F2),
y como la medida de Lebesgue es subaditiva sobre los abiertos,resulta m(G\F ) ≤ m(G1\F1) + m(G2\F2) < ε,
de donde se deduceque A1 ∪ A2 es medible.Sea ahora (Ak) una sucesion infinita en Mn. Sea A =
⋃∞k=1 Ak y
probemos que A ∈Mn. Supongamos primero que A es acotado.Sea H ⊆ Rn un abierto acotado tal que A ⊆ H. Consideremos lasucesion (Bk) definida como el el lema de disjuntizacion, es decir,
B1 = A1, Bk = Ak ∩ (A1 ∪ · · · ∪ Ak−1)c,
de modo que Bk ∈Mn, estos son disjuntos y⋃∞
k=1 Ak =⋃∞
k=1 Bk .
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Ahora tenemos el cerrado F = F1 ∪ F2 y el abierto G = G1 ∪ G2,de modo que F ⊆ A1 ∪ A2 ⊆ G . Ademas, tenemos
G\F ⊆ (G1\F1) ∪ (G2\F2),
y como la medida de Lebesgue es subaditiva sobre los abiertos,resulta m(G\F ) ≤ m(G1\F1) + m(G2\F2) < ε, de donde se deduceque A1 ∪ A2 es medible.
Sea ahora (Ak) una sucesion infinita en Mn. Sea A =⋃∞
k=1 Ak yprobemos que A ∈Mn. Supongamos primero que A es acotado.Sea H ⊆ Rn un abierto acotado tal que A ⊆ H. Consideremos lasucesion (Bk) definida como el el lema de disjuntizacion, es decir,
B1 = A1, Bk = Ak ∩ (A1 ∪ · · · ∪ Ak−1)c,
de modo que Bk ∈Mn, estos son disjuntos y⋃∞
k=1 Ak =⋃∞
k=1 Bk .
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Ahora tenemos el cerrado F = F1 ∪ F2 y el abierto G = G1 ∪ G2,de modo que F ⊆ A1 ∪ A2 ⊆ G . Ademas, tenemos
G\F ⊆ (G1\F1) ∪ (G2\F2),
y como la medida de Lebesgue es subaditiva sobre los abiertos,resulta m(G\F ) ≤ m(G1\F1) + m(G2\F2) < ε, de donde se deduceque A1 ∪ A2 es medible.Sea ahora (Ak) una sucesion infinita en Mn.
Sea A =⋃∞
k=1 Ak yprobemos que A ∈Mn. Supongamos primero que A es acotado.Sea H ⊆ Rn un abierto acotado tal que A ⊆ H. Consideremos lasucesion (Bk) definida como el el lema de disjuntizacion, es decir,
B1 = A1, Bk = Ak ∩ (A1 ∪ · · · ∪ Ak−1)c,
de modo que Bk ∈Mn, estos son disjuntos y⋃∞
k=1 Ak =⋃∞
k=1 Bk .
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Ahora tenemos el cerrado F = F1 ∪ F2 y el abierto G = G1 ∪ G2,de modo que F ⊆ A1 ∪ A2 ⊆ G . Ademas, tenemos
G\F ⊆ (G1\F1) ∪ (G2\F2),
y como la medida de Lebesgue es subaditiva sobre los abiertos,resulta m(G\F ) ≤ m(G1\F1) + m(G2\F2) < ε, de donde se deduceque A1 ∪ A2 es medible.Sea ahora (Ak) una sucesion infinita en Mn. Sea A =
⋃∞k=1 Ak y
probemos que A ∈Mn.
Supongamos primero que A es acotado.Sea H ⊆ Rn un abierto acotado tal que A ⊆ H. Consideremos lasucesion (Bk) definida como el el lema de disjuntizacion, es decir,
B1 = A1, Bk = Ak ∩ (A1 ∪ · · · ∪ Ak−1)c,
de modo que Bk ∈Mn, estos son disjuntos y⋃∞
k=1 Ak =⋃∞
k=1 Bk .
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Ahora tenemos el cerrado F = F1 ∪ F2 y el abierto G = G1 ∪ G2,de modo que F ⊆ A1 ∪ A2 ⊆ G . Ademas, tenemos
G\F ⊆ (G1\F1) ∪ (G2\F2),
y como la medida de Lebesgue es subaditiva sobre los abiertos,resulta m(G\F ) ≤ m(G1\F1) + m(G2\F2) < ε, de donde se deduceque A1 ∪ A2 es medible.Sea ahora (Ak) una sucesion infinita en Mn. Sea A =
⋃∞k=1 Ak y
probemos que A ∈Mn. Supongamos primero que A es acotado.
Sea H ⊆ Rn un abierto acotado tal que A ⊆ H. Consideremos lasucesion (Bk) definida como el el lema de disjuntizacion, es decir,
B1 = A1, Bk = Ak ∩ (A1 ∪ · · · ∪ Ak−1)c,
de modo que Bk ∈Mn, estos son disjuntos y⋃∞
k=1 Ak =⋃∞
k=1 Bk .
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Ahora tenemos el cerrado F = F1 ∪ F2 y el abierto G = G1 ∪ G2,de modo que F ⊆ A1 ∪ A2 ⊆ G . Ademas, tenemos
G\F ⊆ (G1\F1) ∪ (G2\F2),
y como la medida de Lebesgue es subaditiva sobre los abiertos,resulta m(G\F ) ≤ m(G1\F1) + m(G2\F2) < ε, de donde se deduceque A1 ∪ A2 es medible.Sea ahora (Ak) una sucesion infinita en Mn. Sea A =
⋃∞k=1 Ak y
probemos que A ∈Mn. Supongamos primero que A es acotado.Sea H ⊆ Rn un abierto acotado tal que A ⊆ H.
Consideremos lasucesion (Bk) definida como el el lema de disjuntizacion, es decir,
B1 = A1, Bk = Ak ∩ (A1 ∪ · · · ∪ Ak−1)c,
de modo que Bk ∈Mn, estos son disjuntos y⋃∞
k=1 Ak =⋃∞
k=1 Bk .
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Ahora tenemos el cerrado F = F1 ∪ F2 y el abierto G = G1 ∪ G2,de modo que F ⊆ A1 ∪ A2 ⊆ G . Ademas, tenemos
G\F ⊆ (G1\F1) ∪ (G2\F2),
y como la medida de Lebesgue es subaditiva sobre los abiertos,resulta m(G\F ) ≤ m(G1\F1) + m(G2\F2) < ε, de donde se deduceque A1 ∪ A2 es medible.Sea ahora (Ak) una sucesion infinita en Mn. Sea A =
⋃∞k=1 Ak y
probemos que A ∈Mn. Supongamos primero que A es acotado.Sea H ⊆ Rn un abierto acotado tal que A ⊆ H. Consideremos lasucesion (Bk) definida como el el lema de disjuntizacion, es decir,
B1 = A1, Bk = Ak ∩ (A1 ∪ · · · ∪ Ak−1)c,
de modo que Bk ∈Mn, estos son disjuntos y⋃∞
k=1 Ak =⋃∞
k=1 Bk .
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Ahora tenemos el cerrado F = F1 ∪ F2 y el abierto G = G1 ∪ G2,de modo que F ⊆ A1 ∪ A2 ⊆ G . Ademas, tenemos
G\F ⊆ (G1\F1) ∪ (G2\F2),
y como la medida de Lebesgue es subaditiva sobre los abiertos,resulta m(G\F ) ≤ m(G1\F1) + m(G2\F2) < ε, de donde se deduceque A1 ∪ A2 es medible.Sea ahora (Ak) una sucesion infinita en Mn. Sea A =
⋃∞k=1 Ak y
probemos que A ∈Mn. Supongamos primero que A es acotado.Sea H ⊆ Rn un abierto acotado tal que A ⊆ H. Consideremos lasucesion (Bk) definida como el el lema de disjuntizacion, es decir,
B1 = A1, Bk = Ak ∩ (A1 ∪ · · · ∪ Ak−1)c,
de modo que Bk ∈Mn, estos son disjuntos y⋃∞
k=1 Ak =⋃∞
k=1 Bk .
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Ahora tenemos el cerrado F = F1 ∪ F2 y el abierto G = G1 ∪ G2,de modo que F ⊆ A1 ∪ A2 ⊆ G . Ademas, tenemos
G\F ⊆ (G1\F1) ∪ (G2\F2),
y como la medida de Lebesgue es subaditiva sobre los abiertos,resulta m(G\F ) ≤ m(G1\F1) + m(G2\F2) < ε, de donde se deduceque A1 ∪ A2 es medible.Sea ahora (Ak) una sucesion infinita en Mn. Sea A =
⋃∞k=1 Ak y
probemos que A ∈Mn. Supongamos primero que A es acotado.Sea H ⊆ Rn un abierto acotado tal que A ⊆ H. Consideremos lasucesion (Bk) definida como el el lema de disjuntizacion, es decir,
B1 = A1, Bk = Ak ∩ (A1 ∪ · · · ∪ Ak−1)c,
de modo que Bk ∈Mn, estos son disjuntos y⋃∞
k=1 Ak =⋃∞
k=1 Bk .
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Sea ε > 0 y sean Fk ⊆ Ak ⊆ Gk ⊆ H con Fk cerrado, Gk abierto ytales que m(Gk\Fk) < ε/2k .
Como la medida exterior es aditivasobre cerrados disjuntos, tenemos
p∑k=1
m∗(Fk) = m∗
(p⋃
k=1
Fk
)≤ m(H),
luego
∞∑k=1
m(Gk) ≤∞∑k=1
(m∗(Fk) +ε
2k) ≤ m(H) + ε < +∞,
ya que
m(Gk) = m∗(Gk) ≤ m∗(Fk) + m∗(Gk\Fk) ≤ m∗(Fk) +ε
2k.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Sea ε > 0 y sean Fk ⊆ Ak ⊆ Gk ⊆ H con Fk cerrado, Gk abierto ytales que m(Gk\Fk) < ε/2k . Como la medida exterior es aditivasobre cerrados disjuntos, tenemos
p∑k=1
m∗(Fk) = m∗
(p⋃
k=1
Fk
)≤ m(H),
luego
∞∑k=1
m(Gk) ≤∞∑k=1
(m∗(Fk) +ε
2k) ≤ m(H) + ε < +∞,
ya que
m(Gk) = m∗(Gk) ≤ m∗(Fk) + m∗(Gk\Fk) ≤ m∗(Fk) +ε
2k.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Sea ε > 0 y sean Fk ⊆ Ak ⊆ Gk ⊆ H con Fk cerrado, Gk abierto ytales que m(Gk\Fk) < ε/2k . Como la medida exterior es aditivasobre cerrados disjuntos, tenemos
p∑k=1
m∗(Fk) = m∗
(p⋃
k=1
Fk
)≤ m(H),
luego
∞∑k=1
m(Gk) ≤∞∑k=1
(m∗(Fk) +ε
2k) ≤ m(H) + ε < +∞,
ya que
m(Gk) = m∗(Gk) ≤ m∗(Fk) + m∗(Gk\Fk) ≤ m∗(Fk) +ε
2k.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Sea ε > 0 y sean Fk ⊆ Ak ⊆ Gk ⊆ H con Fk cerrado, Gk abierto ytales que m(Gk\Fk) < ε/2k . Como la medida exterior es aditivasobre cerrados disjuntos, tenemos
p∑k=1
m∗(Fk) = m∗
(p⋃
k=1
Fk
)≤ m(H),
luego
∞∑k=1
m(Gk) ≤∞∑k=1
(m∗(Fk) +ε
2k) ≤ m(H) + ε < +∞,
ya que
m(Gk) = m∗(Gk) ≤ m∗(Fk) + m∗(Gk\Fk) ≤ m∗(Fk) +ε
2k.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Sea ε > 0 y sean Fk ⊆ Ak ⊆ Gk ⊆ H con Fk cerrado, Gk abierto ytales que m(Gk\Fk) < ε/2k . Como la medida exterior es aditivasobre cerrados disjuntos, tenemos
p∑k=1
m∗(Fk) = m∗
(p⋃
k=1
Fk
)≤ m(H),
luego
∞∑k=1
m(Gk) ≤∞∑k=1
(m∗(Fk) +ε
2k) ≤ m(H) + ε < +∞,
ya que
m(Gk) = m∗(Gk) ≤ m∗(Fk) + m∗(Gk\Fk) ≤ m∗(Fk) +ε
2k.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Sea ε > 0 y sean Fk ⊆ Ak ⊆ Gk ⊆ H con Fk cerrado, Gk abierto ytales que m(Gk\Fk) < ε/2k . Como la medida exterior es aditivasobre cerrados disjuntos, tenemos
p∑k=1
m∗(Fk) = m∗
(p⋃
k=1
Fk
)≤ m(H),
luego
∞∑k=1
m(Gk) ≤∞∑k=1
(m∗(Fk) +ε
2k) ≤ m(H) + ε < +∞,
ya que
m(Gk) = m∗(Gk) ≤ m∗(Fk) + m∗(Gk\Fk) ≤ m∗(Fk) +ε
2k.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Sea ε > 0 y sean Fk ⊆ Ak ⊆ Gk ⊆ H con Fk cerrado, Gk abierto ytales que m(Gk\Fk) < ε/2k . Como la medida exterior es aditivasobre cerrados disjuntos, tenemos
p∑k=1
m∗(Fk) = m∗
(p⋃
k=1
Fk
)≤ m(H),
luego
∞∑k=1
m(Gk) ≤∞∑k=1
(m∗(Fk) +ε
2k) ≤ m(H) + ε < +∞,
ya que
m(Gk) = m∗(Gk) ≤ m∗(Fk) + m∗(Gk\Fk) ≤ m∗(Fk) +ε
2k.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Como la serie∑∞
k=1 m(Gk) es convergente,
existe N ∈ N tal que∑∞k=N+1 m(Gk) < ε. Tenemos el conjunto cerrado F =
⋃Nk=1 Fk ,
que esta contenido en A, y el conjunto abierto G =⋃∞
k=1 Gk , quecontiene a A. Ahora
m(G\F ) ≤ m
(N⋃
k=1
(Gk\Fk) ∪∞⋃
k=N+1
Gk
)
≤N∑
k=1
m(Gk\Fk) +∞∑
k=N+1
m(Gk) < 2ε,
y por lo tanto A es medible. Si A no es acotado, consideramos paracada p ∈ N el cubo Ip =
∏ni=1(−p, p), de modo que la interseccion
Cp = A ∩ Ip =⋃∞
k=1(Ak ∩ Ip) es medible por lo ya probado.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Como la serie∑∞
k=1 m(Gk) es convergente, existe N ∈ N tal que∑∞k=N+1 m(Gk) < ε.
Tenemos el conjunto cerrado F =⋃N
k=1 Fk ,que esta contenido en A, y el conjunto abierto G =
⋃∞k=1 Gk , que
contiene a A. Ahora
m(G\F ) ≤ m
(N⋃
k=1
(Gk\Fk) ∪∞⋃
k=N+1
Gk
)
≤N∑
k=1
m(Gk\Fk) +∞∑
k=N+1
m(Gk) < 2ε,
y por lo tanto A es medible. Si A no es acotado, consideramos paracada p ∈ N el cubo Ip =
∏ni=1(−p, p), de modo que la interseccion
Cp = A ∩ Ip =⋃∞
k=1(Ak ∩ Ip) es medible por lo ya probado.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Como la serie∑∞
k=1 m(Gk) es convergente, existe N ∈ N tal que∑∞k=N+1 m(Gk) < ε. Tenemos el conjunto cerrado F =
⋃Nk=1 Fk ,
que esta contenido en A,
y el conjunto abierto G =⋃∞
k=1 Gk , quecontiene a A. Ahora
m(G\F ) ≤ m
(N⋃
k=1
(Gk\Fk) ∪∞⋃
k=N+1
Gk
)
≤N∑
k=1
m(Gk\Fk) +∞∑
k=N+1
m(Gk) < 2ε,
y por lo tanto A es medible. Si A no es acotado, consideramos paracada p ∈ N el cubo Ip =
∏ni=1(−p, p), de modo que la interseccion
Cp = A ∩ Ip =⋃∞
k=1(Ak ∩ Ip) es medible por lo ya probado.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Como la serie∑∞
k=1 m(Gk) es convergente, existe N ∈ N tal que∑∞k=N+1 m(Gk) < ε. Tenemos el conjunto cerrado F =
⋃Nk=1 Fk ,
que esta contenido en A, y el conjunto abierto G =⋃∞
k=1 Gk , quecontiene a A.
Ahora
m(G\F ) ≤ m
(N⋃
k=1
(Gk\Fk) ∪∞⋃
k=N+1
Gk
)
≤N∑
k=1
m(Gk\Fk) +∞∑
k=N+1
m(Gk) < 2ε,
y por lo tanto A es medible. Si A no es acotado, consideramos paracada p ∈ N el cubo Ip =
∏ni=1(−p, p), de modo que la interseccion
Cp = A ∩ Ip =⋃∞
k=1(Ak ∩ Ip) es medible por lo ya probado.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Como la serie∑∞
k=1 m(Gk) es convergente, existe N ∈ N tal que∑∞k=N+1 m(Gk) < ε. Tenemos el conjunto cerrado F =
⋃Nk=1 Fk ,
que esta contenido en A, y el conjunto abierto G =⋃∞
k=1 Gk , quecontiene a A. Ahora
m(G\F ) ≤ m
(N⋃
k=1
(Gk\Fk) ∪∞⋃
k=N+1
Gk
)
≤N∑
k=1
m(Gk\Fk) +∞∑
k=N+1
m(Gk) < 2ε,
y por lo tanto A es medible. Si A no es acotado, consideramos paracada p ∈ N el cubo Ip =
∏ni=1(−p, p), de modo que la interseccion
Cp = A ∩ Ip =⋃∞
k=1(Ak ∩ Ip) es medible por lo ya probado.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Como la serie∑∞
k=1 m(Gk) es convergente, existe N ∈ N tal que∑∞k=N+1 m(Gk) < ε. Tenemos el conjunto cerrado F =
⋃Nk=1 Fk ,
que esta contenido en A, y el conjunto abierto G =⋃∞
k=1 Gk , quecontiene a A. Ahora
m(G\F ) ≤ m
(N⋃
k=1
(Gk\Fk) ∪∞⋃
k=N+1
Gk
)
≤N∑
k=1
m(Gk\Fk) +∞∑
k=N+1
m(Gk) < 2ε,
y por lo tanto A es medible.
Si A no es acotado, consideramos paracada p ∈ N el cubo Ip =
∏ni=1(−p, p), de modo que la interseccion
Cp = A ∩ Ip =⋃∞
k=1(Ak ∩ Ip) es medible por lo ya probado.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Como la serie∑∞
k=1 m(Gk) es convergente, existe N ∈ N tal que∑∞k=N+1 m(Gk) < ε. Tenemos el conjunto cerrado F =
⋃Nk=1 Fk ,
que esta contenido en A, y el conjunto abierto G =⋃∞
k=1 Gk , quecontiene a A. Ahora
m(G\F ) ≤ m
(N⋃
k=1
(Gk\Fk) ∪∞⋃
k=N+1
Gk
)
≤N∑
k=1
m(Gk\Fk) +∞∑
k=N+1
m(Gk) < 2ε,
y por lo tanto A es medible. Si A no es acotado, consideramos paracada p ∈ N el cubo Ip =
∏ni=1(−p, p),
de modo que la interseccionCp = A ∩ Ip =
⋃∞k=1(Ak ∩ Ip) es medible por lo ya probado.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Como la serie∑∞
k=1 m(Gk) es convergente, existe N ∈ N tal que∑∞k=N+1 m(Gk) < ε. Tenemos el conjunto cerrado F =
⋃Nk=1 Fk ,
que esta contenido en A, y el conjunto abierto G =⋃∞
k=1 Gk , quecontiene a A. Ahora
m(G\F ) ≤ m
(N⋃
k=1
(Gk\Fk) ∪∞⋃
k=N+1
Gk
)
≤N∑
k=1
m(Gk\Fk) +∞∑
k=N+1
m(Gk) < 2ε,
y por lo tanto A es medible. Si A no es acotado, consideramos paracada p ∈ N el cubo Ip =
∏ni=1(−p, p), de modo que la interseccion
Cp = A ∩ Ip =⋃∞
k=1(Ak ∩ Ip) es medible por lo ya probado.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Dado ε > 0, existe un cerrado Fp ⊆ Rn y un abierto Gp ⊆ Rn talesque Fp ⊆ Cp ⊆ Gp y tales que m(Gp\Fp) < ε/2p.
Afirmamos queel conjunto F =
⋃∞p=1 Fp es cerrado. En efecto, cualquier sucesion
convergente en F esta acotada y por lo tanto esta contenida enuna cantidad finita de los Fp, luego su lımite esta en F . Ahoraconsideramos el conjunto abierto G =
⋃∞p=1 Gp, de modo que
tenemos F ⊆ A ⊆ G y ademas
m(G\F ) ≤ m
∞⋃p=1
Gp\Fp
≤ ∞∑p=1
m(Gp\Fp) < ε.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Dado ε > 0, existe un cerrado Fp ⊆ Rn y un abierto Gp ⊆ Rn talesque Fp ⊆ Cp ⊆ Gp y tales que m(Gp\Fp) < ε/2p. Afirmamos queel conjunto F =
⋃∞p=1 Fp es cerrado.
En efecto, cualquier sucesionconvergente en F esta acotada y por lo tanto esta contenida enuna cantidad finita de los Fp, luego su lımite esta en F . Ahoraconsideramos el conjunto abierto G =
⋃∞p=1 Gp, de modo que
tenemos F ⊆ A ⊆ G y ademas
m(G\F ) ≤ m
∞⋃p=1
Gp\Fp
≤ ∞∑p=1
m(Gp\Fp) < ε.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Dado ε > 0, existe un cerrado Fp ⊆ Rn y un abierto Gp ⊆ Rn talesque Fp ⊆ Cp ⊆ Gp y tales que m(Gp\Fp) < ε/2p. Afirmamos queel conjunto F =
⋃∞p=1 Fp es cerrado. En efecto, cualquier sucesion
convergente en F esta acotada y por lo tanto esta contenida enuna cantidad finita de los Fp, luego su lımite esta en F .
Ahoraconsideramos el conjunto abierto G =
⋃∞p=1 Gp, de modo que
tenemos F ⊆ A ⊆ G y ademas
m(G\F ) ≤ m
∞⋃p=1
Gp\Fp
≤ ∞∑p=1
m(Gp\Fp) < ε.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Dado ε > 0, existe un cerrado Fp ⊆ Rn y un abierto Gp ⊆ Rn talesque Fp ⊆ Cp ⊆ Gp y tales que m(Gp\Fp) < ε/2p. Afirmamos queel conjunto F =
⋃∞p=1 Fp es cerrado. En efecto, cualquier sucesion
convergente en F esta acotada y por lo tanto esta contenida enuna cantidad finita de los Fp, luego su lımite esta en F . Ahoraconsideramos el conjunto abierto G =
⋃∞p=1 Gp,
de modo quetenemos F ⊆ A ⊆ G y ademas
m(G\F ) ≤ m
∞⋃p=1
Gp\Fp
≤ ∞∑p=1
m(Gp\Fp) < ε.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Dado ε > 0, existe un cerrado Fp ⊆ Rn y un abierto Gp ⊆ Rn talesque Fp ⊆ Cp ⊆ Gp y tales que m(Gp\Fp) < ε/2p. Afirmamos queel conjunto F =
⋃∞p=1 Fp es cerrado. En efecto, cualquier sucesion
convergente en F esta acotada y por lo tanto esta contenida enuna cantidad finita de los Fp, luego su lımite esta en F . Ahoraconsideramos el conjunto abierto G =
⋃∞p=1 Gp, de modo que
tenemos F ⊆ A ⊆ G y ademas
m(G\F ) ≤ m
∞⋃p=1
Gp\Fp
≤ ∞∑p=1
m(Gp\Fp) < ε.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Dado ε > 0, existe un cerrado Fp ⊆ Rn y un abierto Gp ⊆ Rn talesque Fp ⊆ Cp ⊆ Gp y tales que m(Gp\Fp) < ε/2p. Afirmamos queel conjunto F =
⋃∞p=1 Fp es cerrado. En efecto, cualquier sucesion
convergente en F esta acotada y por lo tanto esta contenida enuna cantidad finita de los Fp, luego su lımite esta en F . Ahoraconsideramos el conjunto abierto G =
⋃∞p=1 Gp, de modo que
tenemos F ⊆ A ⊆ G y ademas
m(G\F ) ≤ m
∞⋃p=1
Gp\Fp
≤ ∞∑p=1
m(Gp\Fp) < ε.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
CorolarioLa σ-algebra de Lebesgue en Rn contiene a la σ-algebra de Borelen Rn
Demostracion. Hemos probado que la σ-algebra de Borelesta generada por los intervalos. Tambien hemos probado que losintervalos son medibles Lebesgue, y por lo tanto la σ-algebra deLebesgue contiene a la σ-algebra de Borel.
TeoremaLa restriccion de la medida exterior de Lebesgue a la σ-algebra deLebesgue en Rn es una medida positiva, que denominamos medidade Lebesgue en Rn. (Denotaremos m := m∗|Mn
.)
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
CorolarioLa σ-algebra de Lebesgue en Rn contiene a la σ-algebra de Borelen Rn
Demostracion. Hemos probado que la σ-algebra de Borelesta generada por los intervalos.
Tambien hemos probado que losintervalos son medibles Lebesgue, y por lo tanto la σ-algebra deLebesgue contiene a la σ-algebra de Borel.
TeoremaLa restriccion de la medida exterior de Lebesgue a la σ-algebra deLebesgue en Rn es una medida positiva, que denominamos medidade Lebesgue en Rn. (Denotaremos m := m∗|Mn
.)
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
CorolarioLa σ-algebra de Lebesgue en Rn contiene a la σ-algebra de Borelen Rn
Demostracion. Hemos probado que la σ-algebra de Borelesta generada por los intervalos. Tambien hemos probado que losintervalos son medibles Lebesgue,
y por lo tanto la σ-algebra deLebesgue contiene a la σ-algebra de Borel.
TeoremaLa restriccion de la medida exterior de Lebesgue a la σ-algebra deLebesgue en Rn es una medida positiva, que denominamos medidade Lebesgue en Rn. (Denotaremos m := m∗|Mn
.)
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
CorolarioLa σ-algebra de Lebesgue en Rn contiene a la σ-algebra de Borelen Rn
Demostracion. Hemos probado que la σ-algebra de Borelesta generada por los intervalos. Tambien hemos probado que losintervalos son medibles Lebesgue, y por lo tanto la σ-algebra deLebesgue contiene a la σ-algebra de Borel.
TeoremaLa restriccion de la medida exterior de Lebesgue a la σ-algebra deLebesgue en Rn es una medida positiva, que denominamos medidade Lebesgue en Rn. (Denotaremos m := m∗|Mn
.)
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
CorolarioLa σ-algebra de Lebesgue en Rn contiene a la σ-algebra de Borelen Rn
Demostracion. Hemos probado que la σ-algebra de Borelesta generada por los intervalos. Tambien hemos probado que losintervalos son medibles Lebesgue, y por lo tanto la σ-algebra deLebesgue contiene a la σ-algebra de Borel.
TeoremaLa restriccion de la medida exterior de Lebesgue a la σ-algebra deLebesgue en Rn es una medida positiva, que denominamos medidade Lebesgue en Rn. (Denotaremos m := m∗|Mn
.)
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Demostracion.Tenemos por una parte m(∅) = m∗(∅) = 0.
Sea ahora (Ak) unasucesion de medibles disjuntos y sea A =
⋃∞k=1 Ak . Como m∗ es
numerablemente subaditiva, tenemos m(A) ≤∑∞
k=1 m(Ak). Bastaentonces comprobar la desigualdad opuesta. Sea ε > 0, y seanFk ⊆ Rn cerrado y Gk ⊆ Rn abierto tales que Fk ⊆ Ak ⊆ Gk ytales que m(Gk\Ak) < ε/2k . Entonces
p∑k=1
m(Ak) ≤p∑
k=1
(m(Fk) + m(Gk\Fk) ≤p∑
k=1
(m(Fk) +ε
2k)
≤p∑
k=1
m(Fk) + ε = m
(p⋃
k=1
Fk
)+ ε ≤ m(A) + ε.
Haciendo ε→ 0 y p →∞ se deduce el resultado.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Demostracion.Tenemos por una parte m(∅) = m∗(∅) = 0. Sea ahora (Ak) unasucesion de medibles disjuntos y sea A =
⋃∞k=1 Ak .
Como m∗ esnumerablemente subaditiva, tenemos m(A) ≤
∑∞k=1 m(Ak). Basta
entonces comprobar la desigualdad opuesta. Sea ε > 0, y seanFk ⊆ Rn cerrado y Gk ⊆ Rn abierto tales que Fk ⊆ Ak ⊆ Gk ytales que m(Gk\Ak) < ε/2k . Entonces
p∑k=1
m(Ak) ≤p∑
k=1
(m(Fk) + m(Gk\Fk) ≤p∑
k=1
(m(Fk) +ε
2k)
≤p∑
k=1
m(Fk) + ε = m
(p⋃
k=1
Fk
)+ ε ≤ m(A) + ε.
Haciendo ε→ 0 y p →∞ se deduce el resultado.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Demostracion.Tenemos por una parte m(∅) = m∗(∅) = 0. Sea ahora (Ak) unasucesion de medibles disjuntos y sea A =
⋃∞k=1 Ak . Como m∗ es
numerablemente subaditiva,
tenemos m(A) ≤∑∞
k=1 m(Ak). Bastaentonces comprobar la desigualdad opuesta. Sea ε > 0, y seanFk ⊆ Rn cerrado y Gk ⊆ Rn abierto tales que Fk ⊆ Ak ⊆ Gk ytales que m(Gk\Ak) < ε/2k . Entonces
p∑k=1
m(Ak) ≤p∑
k=1
(m(Fk) + m(Gk\Fk) ≤p∑
k=1
(m(Fk) +ε
2k)
≤p∑
k=1
m(Fk) + ε = m
(p⋃
k=1
Fk
)+ ε ≤ m(A) + ε.
Haciendo ε→ 0 y p →∞ se deduce el resultado.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Demostracion.Tenemos por una parte m(∅) = m∗(∅) = 0. Sea ahora (Ak) unasucesion de medibles disjuntos y sea A =
⋃∞k=1 Ak . Como m∗ es
numerablemente subaditiva, tenemos m(A) ≤∑∞
k=1 m(Ak).
Bastaentonces comprobar la desigualdad opuesta. Sea ε > 0, y seanFk ⊆ Rn cerrado y Gk ⊆ Rn abierto tales que Fk ⊆ Ak ⊆ Gk ytales que m(Gk\Ak) < ε/2k . Entonces
p∑k=1
m(Ak) ≤p∑
k=1
(m(Fk) + m(Gk\Fk) ≤p∑
k=1
(m(Fk) +ε
2k)
≤p∑
k=1
m(Fk) + ε = m
(p⋃
k=1
Fk
)+ ε ≤ m(A) + ε.
Haciendo ε→ 0 y p →∞ se deduce el resultado.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Demostracion.Tenemos por una parte m(∅) = m∗(∅) = 0. Sea ahora (Ak) unasucesion de medibles disjuntos y sea A =
⋃∞k=1 Ak . Como m∗ es
numerablemente subaditiva, tenemos m(A) ≤∑∞
k=1 m(Ak). Bastaentonces comprobar la desigualdad opuesta.
Sea ε > 0, y seanFk ⊆ Rn cerrado y Gk ⊆ Rn abierto tales que Fk ⊆ Ak ⊆ Gk ytales que m(Gk\Ak) < ε/2k . Entonces
p∑k=1
m(Ak) ≤p∑
k=1
(m(Fk) + m(Gk\Fk) ≤p∑
k=1
(m(Fk) +ε
2k)
≤p∑
k=1
m(Fk) + ε = m
(p⋃
k=1
Fk
)+ ε ≤ m(A) + ε.
Haciendo ε→ 0 y p →∞ se deduce el resultado.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Demostracion.Tenemos por una parte m(∅) = m∗(∅) = 0. Sea ahora (Ak) unasucesion de medibles disjuntos y sea A =
⋃∞k=1 Ak . Como m∗ es
numerablemente subaditiva, tenemos m(A) ≤∑∞
k=1 m(Ak). Bastaentonces comprobar la desigualdad opuesta. Sea ε > 0, y seanFk ⊆ Rn cerrado y Gk ⊆ Rn abierto tales que Fk ⊆ Ak ⊆ Gk ytales que m(Gk\Ak) < ε/2k .
Entonces
p∑k=1
m(Ak) ≤p∑
k=1
(m(Fk) + m(Gk\Fk) ≤p∑
k=1
(m(Fk) +ε
2k)
≤p∑
k=1
m(Fk) + ε = m
(p⋃
k=1
Fk
)+ ε ≤ m(A) + ε.
Haciendo ε→ 0 y p →∞ se deduce el resultado.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Demostracion.Tenemos por una parte m(∅) = m∗(∅) = 0. Sea ahora (Ak) unasucesion de medibles disjuntos y sea A =
⋃∞k=1 Ak . Como m∗ es
numerablemente subaditiva, tenemos m(A) ≤∑∞
k=1 m(Ak). Bastaentonces comprobar la desigualdad opuesta. Sea ε > 0, y seanFk ⊆ Rn cerrado y Gk ⊆ Rn abierto tales que Fk ⊆ Ak ⊆ Gk ytales que m(Gk\Ak) < ε/2k . Entonces
p∑k=1
m(Ak) ≤p∑
k=1
(m(Fk) + m(Gk\Fk) ≤p∑
k=1
(m(Fk) +ε
2k)
≤p∑
k=1
m(Fk) + ε = m
(p⋃
k=1
Fk
)+ ε ≤ m(A) + ε.
Haciendo ε→ 0 y p →∞ se deduce el resultado.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Demostracion.Tenemos por una parte m(∅) = m∗(∅) = 0. Sea ahora (Ak) unasucesion de medibles disjuntos y sea A =
⋃∞k=1 Ak . Como m∗ es
numerablemente subaditiva, tenemos m(A) ≤∑∞
k=1 m(Ak). Bastaentonces comprobar la desigualdad opuesta. Sea ε > 0, y seanFk ⊆ Rn cerrado y Gk ⊆ Rn abierto tales que Fk ⊆ Ak ⊆ Gk ytales que m(Gk\Ak) < ε/2k . Entonces
p∑k=1
m(Ak) ≤p∑
k=1
(m(Fk) + m(Gk\Fk) ≤p∑
k=1
(m(Fk) +ε
2k)
≤p∑
k=1
m(Fk) + ε = m
(p⋃
k=1
Fk
)+ ε ≤ m(A) + ε.
Haciendo ε→ 0 y p →∞ se deduce el resultado.Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Corolario
1. La medida de Lebesgue es completa.
2. La medida de Lebesgue σ-finita.
Teorema (de estructura)
Si A ⊂ Rn, son equivalentes:
1. A es medible Lebesgue.2. A = B\Z , siendo B un Gδ y m(Z ) = 0.3. A = C ∪ N, siendo C un Fσ y m(N) = 0.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Corolario
1. La medida de Lebesgue es completa.2. La medida de Lebesgue σ-finita.
Teorema (de estructura)
Si A ⊂ Rn, son equivalentes:
1. A es medible Lebesgue.2. A = B\Z , siendo B un Gδ y m(Z ) = 0.3. A = C ∪ N, siendo C un Fσ y m(N) = 0.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Corolario
1. La medida de Lebesgue es completa.2. La medida de Lebesgue σ-finita.
Teorema (de estructura)
Si A ⊂ Rn, son equivalentes:
1. A es medible Lebesgue.2. A = B\Z , siendo B un Gδ y m(Z ) = 0.3. A = C ∪ N, siendo C un Fσ y m(N) = 0.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Corolario
1. La medida de Lebesgue es completa.2. La medida de Lebesgue σ-finita.
Teorema (de estructura)
Si A ⊂ Rn, son equivalentes:
1. A es medible Lebesgue.2. A = B\Z , siendo B un Gδ y m(Z ) = 0.3. A = C ∪ N, siendo C un Fσ y m(N) = 0.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Corolario
1. La medida de Lebesgue es completa.2. La medida de Lebesgue σ-finita.
Teorema (de estructura)
Si A ⊂ Rn, son equivalentes:
1. A es medible Lebesgue.2. A = B\Z , siendo B un Gδ y m(Z ) = 0.3. A = C ∪ N, siendo C un Fσ y m(N) = 0.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Corolario
1. La medida de Lebesgue es completa.2. La medida de Lebesgue σ-finita.
Teorema (de estructura)
Si A ⊂ Rn, son equivalentes:
1. A es medible Lebesgue.
2. A = B\Z , siendo B un Gδ y m(Z ) = 0.3. A = C ∪ N, siendo C un Fσ y m(N) = 0.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Corolario
1. La medida de Lebesgue es completa.2. La medida de Lebesgue σ-finita.
Teorema (de estructura)
Si A ⊂ Rn, son equivalentes:
1. A es medible Lebesgue.2. A = B\Z , siendo B un Gδ y m(Z ) = 0.
3. A = C ∪ N, siendo C un Fσ y m(N) = 0.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Corolario
1. La medida de Lebesgue es completa.2. La medida de Lebesgue σ-finita.
Teorema (de estructura)
Si A ⊂ Rn, son equivalentes:
1. A es medible Lebesgue.2. A = B\Z , siendo B un Gδ y m(Z ) = 0.3. A = C ∪ N, siendo C un Fσ y m(N) = 0.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Demostracion. Supongamos que el conjunto A es medibleLebesgue.
Para cada k ∈ N sean, de acuerdo con la definicion, Fk
un conjunto cerrado y Gk un conjunto abierto, tales que
Fk ⊂ A ⊂ Gk , m(Gk \ Fk) < 1/k
Elegimos
B =∞⋂k=1
Gk , C =∞⋃k=1
Fk , Z = B \ A, N = A \ C
Como Z ∪ N ⊂ Gk \ Fk , m(Z ∪ N) < 1/k cualquiera que seak ∈ N, tanto Z como N tienen medida cero y se concluye que 2 y3 siguen de 1.Recıprocamente, la condicion 1 sigue de 2 o de 3 teniendo encuenta que tanto los borelianos como los conjuntos de medida nulason conjuntos medibles Lebesgue.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Demostracion. Supongamos que el conjunto A es medibleLebesgue. Para cada k ∈ N sean, de acuerdo con la definicion, Fk
un conjunto cerrado y Gk un conjunto abierto, tales que
Fk ⊂ A ⊂ Gk , m(Gk \ Fk) < 1/k
Elegimos
B =∞⋂k=1
Gk , C =∞⋃k=1
Fk , Z = B \ A, N = A \ C
Como Z ∪ N ⊂ Gk \ Fk , m(Z ∪ N) < 1/k cualquiera que seak ∈ N, tanto Z como N tienen medida cero y se concluye que 2 y3 siguen de 1.Recıprocamente, la condicion 1 sigue de 2 o de 3 teniendo encuenta que tanto los borelianos como los conjuntos de medida nulason conjuntos medibles Lebesgue.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Demostracion. Supongamos que el conjunto A es medibleLebesgue. Para cada k ∈ N sean, de acuerdo con la definicion, Fk
un conjunto cerrado y Gk un conjunto abierto, tales que
Fk ⊂ A ⊂ Gk , m(Gk \ Fk) < 1/k
Elegimos
B =∞⋂k=1
Gk , C =∞⋃k=1
Fk , Z = B \ A, N = A \ C
Como Z ∪ N ⊂ Gk \ Fk , m(Z ∪ N) < 1/k cualquiera que seak ∈ N, tanto Z como N tienen medida cero y se concluye que 2 y3 siguen de 1.Recıprocamente, la condicion 1 sigue de 2 o de 3 teniendo encuenta que tanto los borelianos como los conjuntos de medida nulason conjuntos medibles Lebesgue.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Demostracion. Supongamos que el conjunto A es medibleLebesgue. Para cada k ∈ N sean, de acuerdo con la definicion, Fk
un conjunto cerrado y Gk un conjunto abierto, tales que
Fk ⊂ A ⊂ Gk , m(Gk \ Fk) < 1/k
Elegimos
B =∞⋂k=1
Gk , C =∞⋃k=1
Fk , Z = B \ A, N = A \ C
Como Z ∪ N ⊂ Gk \ Fk , m(Z ∪ N) < 1/k cualquiera que seak ∈ N, tanto Z como N tienen medida cero y se concluye que 2 y3 siguen de 1.Recıprocamente, la condicion 1 sigue de 2 o de 3 teniendo encuenta que tanto los borelianos como los conjuntos de medida nulason conjuntos medibles Lebesgue.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Demostracion. Supongamos que el conjunto A es medibleLebesgue. Para cada k ∈ N sean, de acuerdo con la definicion, Fk
un conjunto cerrado y Gk un conjunto abierto, tales que
Fk ⊂ A ⊂ Gk , m(Gk \ Fk) < 1/k
Elegimos
B =∞⋂k=1
Gk ,
C =∞⋃k=1
Fk , Z = B \ A, N = A \ C
Como Z ∪ N ⊂ Gk \ Fk , m(Z ∪ N) < 1/k cualquiera que seak ∈ N, tanto Z como N tienen medida cero y se concluye que 2 y3 siguen de 1.Recıprocamente, la condicion 1 sigue de 2 o de 3 teniendo encuenta que tanto los borelianos como los conjuntos de medida nulason conjuntos medibles Lebesgue.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Demostracion. Supongamos que el conjunto A es medibleLebesgue. Para cada k ∈ N sean, de acuerdo con la definicion, Fk
un conjunto cerrado y Gk un conjunto abierto, tales que
Fk ⊂ A ⊂ Gk , m(Gk \ Fk) < 1/k
Elegimos
B =∞⋂k=1
Gk , C =∞⋃k=1
Fk ,
Z = B \ A, N = A \ C
Como Z ∪ N ⊂ Gk \ Fk , m(Z ∪ N) < 1/k cualquiera que seak ∈ N, tanto Z como N tienen medida cero y se concluye que 2 y3 siguen de 1.Recıprocamente, la condicion 1 sigue de 2 o de 3 teniendo encuenta que tanto los borelianos como los conjuntos de medida nulason conjuntos medibles Lebesgue.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Demostracion. Supongamos que el conjunto A es medibleLebesgue. Para cada k ∈ N sean, de acuerdo con la definicion, Fk
un conjunto cerrado y Gk un conjunto abierto, tales que
Fk ⊂ A ⊂ Gk , m(Gk \ Fk) < 1/k
Elegimos
B =∞⋂k=1
Gk , C =∞⋃k=1
Fk , Z = B \ A,
N = A \ C
Como Z ∪ N ⊂ Gk \ Fk , m(Z ∪ N) < 1/k cualquiera que seak ∈ N, tanto Z como N tienen medida cero y se concluye que 2 y3 siguen de 1.Recıprocamente, la condicion 1 sigue de 2 o de 3 teniendo encuenta que tanto los borelianos como los conjuntos de medida nulason conjuntos medibles Lebesgue.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Demostracion. Supongamos que el conjunto A es medibleLebesgue. Para cada k ∈ N sean, de acuerdo con la definicion, Fk
un conjunto cerrado y Gk un conjunto abierto, tales que
Fk ⊂ A ⊂ Gk , m(Gk \ Fk) < 1/k
Elegimos
B =∞⋂k=1
Gk , C =∞⋃k=1
Fk , Z = B \ A, N = A \ C
Como Z ∪ N ⊂ Gk \ Fk , m(Z ∪ N) < 1/k cualquiera que seak ∈ N, tanto Z como N tienen medida cero y se concluye que 2 y3 siguen de 1.Recıprocamente, la condicion 1 sigue de 2 o de 3 teniendo encuenta que tanto los borelianos como los conjuntos de medida nulason conjuntos medibles Lebesgue.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Demostracion. Supongamos que el conjunto A es medibleLebesgue. Para cada k ∈ N sean, de acuerdo con la definicion, Fk
un conjunto cerrado y Gk un conjunto abierto, tales que
Fk ⊂ A ⊂ Gk , m(Gk \ Fk) < 1/k
Elegimos
B =∞⋂k=1
Gk , C =∞⋃k=1
Fk , Z = B \ A, N = A \ C
Como Z ∪ N ⊂ Gk \ Fk , m(Z ∪ N) < 1/k cualquiera que seak ∈ N, tanto Z como N tienen medida cero y se concluye que 2 y3 siguen de 1.
Recıprocamente, la condicion 1 sigue de 2 o de 3 teniendo encuenta que tanto los borelianos como los conjuntos de medida nulason conjuntos medibles Lebesgue.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Demostracion. Supongamos que el conjunto A es medibleLebesgue. Para cada k ∈ N sean, de acuerdo con la definicion, Fk
un conjunto cerrado y Gk un conjunto abierto, tales que
Fk ⊂ A ⊂ Gk , m(Gk \ Fk) < 1/k
Elegimos
B =∞⋂k=1
Gk , C =∞⋃k=1
Fk , Z = B \ A, N = A \ C
Como Z ∪ N ⊂ Gk \ Fk , m(Z ∪ N) < 1/k cualquiera que seak ∈ N, tanto Z como N tienen medida cero y se concluye que 2 y3 siguen de 1.Recıprocamente, la condicion 1 sigue de 2 o de 3 teniendo encuenta que tanto los borelianos como los conjuntos de medida nulason conjuntos medibles Lebesgue.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Proposicion (Regularidad de la medida de Lebesgue)
Si A ∈Mn, entonces
m(A) = sup{m(K ) : K ⊂ A, K compacto}
Demostracion. Sea ε > 0 y sea F ⊆ A un conjunto cerrado talque m(A\F ) < ε. Como A = F ∪ (A\F ) tenemos
m(A) = m(F ) + m(A\F ) ≤ m(F ) + ε.
Sea, Fk = F ∩ [−k , k]n la interseccion del cerrado con el cubo.Cada Fk es un compacto contenido en A. Como F es la unioncreciente de los Fk tenemos m(Fk)→ m(F ). Si m(A) = +∞entonces m(F ) = +∞, luego m(Fk)→ m(A).
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Proposicion (Regularidad de la medida de Lebesgue)
Si A ∈Mn, entonces
m(A) = sup{m(K ) : K ⊂ A, K compacto}
Demostracion. Sea ε > 0 y sea F ⊆ A un conjunto cerrado talque m(A\F ) < ε. Como A = F ∪ (A\F ) tenemos
m(A) = m(F ) + m(A\F ) ≤ m(F ) + ε.
Sea, Fk = F ∩ [−k , k]n la interseccion del cerrado con el cubo.Cada Fk es un compacto contenido en A. Como F es la unioncreciente de los Fk tenemos m(Fk)→ m(F ). Si m(A) = +∞entonces m(F ) = +∞, luego m(Fk)→ m(A).
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Proposicion (Regularidad de la medida de Lebesgue)
Si A ∈Mn, entonces
m(A) = sup{m(K ) : K ⊂ A, K compacto}
Demostracion. Sea ε > 0 y sea F ⊆ A un conjunto cerrado talque m(A\F ) < ε.
Como A = F ∪ (A\F ) tenemos
m(A) = m(F ) + m(A\F ) ≤ m(F ) + ε.
Sea, Fk = F ∩ [−k , k]n la interseccion del cerrado con el cubo.Cada Fk es un compacto contenido en A. Como F es la unioncreciente de los Fk tenemos m(Fk)→ m(F ). Si m(A) = +∞entonces m(F ) = +∞, luego m(Fk)→ m(A).
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Proposicion (Regularidad de la medida de Lebesgue)
Si A ∈Mn, entonces
m(A) = sup{m(K ) : K ⊂ A, K compacto}
Demostracion. Sea ε > 0 y sea F ⊆ A un conjunto cerrado talque m(A\F ) < ε. Como A = F ∪ (A\F ) tenemos
m(A) = m(F ) + m(A\F ) ≤ m(F ) + ε.
Sea, Fk = F ∩ [−k , k]n la interseccion del cerrado con el cubo.Cada Fk es un compacto contenido en A. Como F es la unioncreciente de los Fk tenemos m(Fk)→ m(F ). Si m(A) = +∞entonces m(F ) = +∞, luego m(Fk)→ m(A).
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Proposicion (Regularidad de la medida de Lebesgue)
Si A ∈Mn, entonces
m(A) = sup{m(K ) : K ⊂ A, K compacto}
Demostracion. Sea ε > 0 y sea F ⊆ A un conjunto cerrado talque m(A\F ) < ε. Como A = F ∪ (A\F ) tenemos
m(A) = m(F ) + m(A\F ) ≤ m(F ) + ε.
Sea, Fk = F ∩ [−k , k]n la interseccion del cerrado con el cubo.Cada Fk es un compacto contenido en A. Como F es la unioncreciente de los Fk tenemos m(Fk)→ m(F ). Si m(A) = +∞entonces m(F ) = +∞, luego m(Fk)→ m(A).
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Proposicion (Regularidad de la medida de Lebesgue)
Si A ∈Mn, entonces
m(A) = sup{m(K ) : K ⊂ A, K compacto}
Demostracion. Sea ε > 0 y sea F ⊆ A un conjunto cerrado talque m(A\F ) < ε. Como A = F ∪ (A\F ) tenemos
m(A) = m(F ) + m(A\F ) ≤ m(F ) + ε.
Sea, Fk = F ∩ [−k , k]n la interseccion del cerrado con el cubo.
Cada Fk es un compacto contenido en A. Como F es la unioncreciente de los Fk tenemos m(Fk)→ m(F ). Si m(A) = +∞entonces m(F ) = +∞, luego m(Fk)→ m(A).
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Proposicion (Regularidad de la medida de Lebesgue)
Si A ∈Mn, entonces
m(A) = sup{m(K ) : K ⊂ A, K compacto}
Demostracion. Sea ε > 0 y sea F ⊆ A un conjunto cerrado talque m(A\F ) < ε. Como A = F ∪ (A\F ) tenemos
m(A) = m(F ) + m(A\F ) ≤ m(F ) + ε.
Sea, Fk = F ∩ [−k , k]n la interseccion del cerrado con el cubo.Cada Fk es un compacto contenido en A.
Como F es la unioncreciente de los Fk tenemos m(Fk)→ m(F ). Si m(A) = +∞entonces m(F ) = +∞, luego m(Fk)→ m(A).
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Proposicion (Regularidad de la medida de Lebesgue)
Si A ∈Mn, entonces
m(A) = sup{m(K ) : K ⊂ A, K compacto}
Demostracion. Sea ε > 0 y sea F ⊆ A un conjunto cerrado talque m(A\F ) < ε. Como A = F ∪ (A\F ) tenemos
m(A) = m(F ) + m(A\F ) ≤ m(F ) + ε.
Sea, Fk = F ∩ [−k , k]n la interseccion del cerrado con el cubo.Cada Fk es un compacto contenido en A. Como F es la unioncreciente de los Fk tenemos m(Fk)→ m(F ).
Si m(A) = +∞entonces m(F ) = +∞, luego m(Fk)→ m(A).
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Proposicion (Regularidad de la medida de Lebesgue)
Si A ∈Mn, entonces
m(A) = sup{m(K ) : K ⊂ A, K compacto}
Demostracion. Sea ε > 0 y sea F ⊆ A un conjunto cerrado talque m(A\F ) < ε. Como A = F ∪ (A\F ) tenemos
m(A) = m(F ) + m(A\F ) ≤ m(F ) + ε.
Sea, Fk = F ∩ [−k , k]n la interseccion del cerrado con el cubo.Cada Fk es un compacto contenido en A. Como F es la unioncreciente de los Fk tenemos m(Fk)→ m(F ). Si m(A) = +∞entonces m(F ) = +∞, luego m(Fk)→ m(A).
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Si, por el contrario, m(A) < +∞, entonces basta tomar k ≥ 1 talque m(F ) ≤ m(Fk) + ε, de modo que m(A) ≤ m(Fk) + 2ε.
NotaLos conjuntos numerables tienen medida de Lebesgue cero.
Proposicion
Existen conjuntos no numerables y con medida de Lebesgue cero:El conjunto ternario de Cantor.
Vemos la construccion a continuacion:
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Si, por el contrario, m(A) < +∞, entonces basta tomar k ≥ 1 talque m(F ) ≤ m(Fk) + ε, de modo que m(A) ≤ m(Fk) + 2ε.
NotaLos conjuntos numerables tienen medida de Lebesgue cero.
Proposicion
Existen conjuntos no numerables y con medida de Lebesgue cero:El conjunto ternario de Cantor.
Vemos la construccion a continuacion:
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Si, por el contrario, m(A) < +∞, entonces basta tomar k ≥ 1 talque m(F ) ≤ m(Fk) + ε, de modo que m(A) ≤ m(Fk) + 2ε.
NotaLos conjuntos numerables tienen medida de Lebesgue cero.
Proposicion
Existen conjuntos no numerables y con medida de Lebesgue cero:El conjunto ternario de Cantor.
Vemos la construccion a continuacion:
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Consideremos el intervalo unidad C0 = [0, 1], lo dividimos en trespartes iguales y quitamos el interior de la parte central, o sea, elintervalo abierto (1/3, 2/3).Sea C1 = [0, 1/3] ∪ [2/3, 1]. C1 es la union de 21 = 2 intervaloscerrados disjuntos de longitud 1/3 cada uno de ellos.A continuacion dividimos en tres partes iguales cada uno de losintervalos que componen C1 y eliminamos de nuevo los intervalosabiertos centrales.Llamemos C2 al conjunto que queda de C1 una vez eliminados esosintervalos abiertos. Ası que
C2 = [0, 1/9] ∪ [2/9, 1/3] ∪ [2/3, 7/9] ∪ [8/9, 1]
es la union de 22 = 4 intervalos cerrados disjuntos dos a dos, cadauno de longitud 1/32.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Consideremos el intervalo unidad C0 = [0, 1], lo dividimos en trespartes iguales y quitamos el interior de la parte central, o sea, elintervalo abierto (1/3, 2/3).
Sea C1 = [0, 1/3] ∪ [2/3, 1]. C1 es la union de 21 = 2 intervaloscerrados disjuntos de longitud 1/3 cada uno de ellos.A continuacion dividimos en tres partes iguales cada uno de losintervalos que componen C1 y eliminamos de nuevo los intervalosabiertos centrales.Llamemos C2 al conjunto que queda de C1 una vez eliminados esosintervalos abiertos. Ası que
C2 = [0, 1/9] ∪ [2/9, 1/3] ∪ [2/3, 7/9] ∪ [8/9, 1]
es la union de 22 = 4 intervalos cerrados disjuntos dos a dos, cadauno de longitud 1/32.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Consideremos el intervalo unidad C0 = [0, 1], lo dividimos en trespartes iguales y quitamos el interior de la parte central, o sea, elintervalo abierto (1/3, 2/3).Sea C1 = [0, 1/3] ∪ [2/3, 1].
C1 es la union de 21 = 2 intervaloscerrados disjuntos de longitud 1/3 cada uno de ellos.A continuacion dividimos en tres partes iguales cada uno de losintervalos que componen C1 y eliminamos de nuevo los intervalosabiertos centrales.Llamemos C2 al conjunto que queda de C1 una vez eliminados esosintervalos abiertos. Ası que
C2 = [0, 1/9] ∪ [2/9, 1/3] ∪ [2/3, 7/9] ∪ [8/9, 1]
es la union de 22 = 4 intervalos cerrados disjuntos dos a dos, cadauno de longitud 1/32.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Consideremos el intervalo unidad C0 = [0, 1], lo dividimos en trespartes iguales y quitamos el interior de la parte central, o sea, elintervalo abierto (1/3, 2/3).Sea C1 = [0, 1/3] ∪ [2/3, 1]. C1 es la union de
21 = 2 intervaloscerrados disjuntos de longitud 1/3 cada uno de ellos.A continuacion dividimos en tres partes iguales cada uno de losintervalos que componen C1 y eliminamos de nuevo los intervalosabiertos centrales.Llamemos C2 al conjunto que queda de C1 una vez eliminados esosintervalos abiertos. Ası que
C2 = [0, 1/9] ∪ [2/9, 1/3] ∪ [2/3, 7/9] ∪ [8/9, 1]
es la union de 22 = 4 intervalos cerrados disjuntos dos a dos, cadauno de longitud 1/32.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Consideremos el intervalo unidad C0 = [0, 1], lo dividimos en trespartes iguales y quitamos el interior de la parte central, o sea, elintervalo abierto (1/3, 2/3).Sea C1 = [0, 1/3] ∪ [2/3, 1]. C1 es la union de 21 = 2 intervaloscerrados disjuntos de longitud
1/3 cada uno de ellos.A continuacion dividimos en tres partes iguales cada uno de losintervalos que componen C1 y eliminamos de nuevo los intervalosabiertos centrales.Llamemos C2 al conjunto que queda de C1 una vez eliminados esosintervalos abiertos. Ası que
C2 = [0, 1/9] ∪ [2/9, 1/3] ∪ [2/3, 7/9] ∪ [8/9, 1]
es la union de 22 = 4 intervalos cerrados disjuntos dos a dos, cadauno de longitud 1/32.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Consideremos el intervalo unidad C0 = [0, 1], lo dividimos en trespartes iguales y quitamos el interior de la parte central, o sea, elintervalo abierto (1/3, 2/3).Sea C1 = [0, 1/3] ∪ [2/3, 1]. C1 es la union de 21 = 2 intervaloscerrados disjuntos de longitud 1/3 cada uno de ellos.
A continuacion dividimos en tres partes iguales cada uno de losintervalos que componen C1 y eliminamos de nuevo los intervalosabiertos centrales.Llamemos C2 al conjunto que queda de C1 una vez eliminados esosintervalos abiertos. Ası que
C2 = [0, 1/9] ∪ [2/9, 1/3] ∪ [2/3, 7/9] ∪ [8/9, 1]
es la union de 22 = 4 intervalos cerrados disjuntos dos a dos, cadauno de longitud 1/32.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Consideremos el intervalo unidad C0 = [0, 1], lo dividimos en trespartes iguales y quitamos el interior de la parte central, o sea, elintervalo abierto (1/3, 2/3).Sea C1 = [0, 1/3] ∪ [2/3, 1]. C1 es la union de 21 = 2 intervaloscerrados disjuntos de longitud 1/3 cada uno de ellos.A continuacion dividimos en tres partes iguales cada uno de losintervalos que componen C1 y eliminamos de nuevo los intervalosabiertos centrales.
Llamemos C2 al conjunto que queda de C1 una vez eliminados esosintervalos abiertos. Ası que
C2 = [0, 1/9] ∪ [2/9, 1/3] ∪ [2/3, 7/9] ∪ [8/9, 1]
es la union de 22 = 4 intervalos cerrados disjuntos dos a dos, cadauno de longitud 1/32.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Consideremos el intervalo unidad C0 = [0, 1], lo dividimos en trespartes iguales y quitamos el interior de la parte central, o sea, elintervalo abierto (1/3, 2/3).Sea C1 = [0, 1/3] ∪ [2/3, 1]. C1 es la union de 21 = 2 intervaloscerrados disjuntos de longitud 1/3 cada uno de ellos.A continuacion dividimos en tres partes iguales cada uno de losintervalos que componen C1 y eliminamos de nuevo los intervalosabiertos centrales.Llamemos C2 al conjunto que queda de C1 una vez eliminados esosintervalos abiertos.
Ası que
C2 = [0, 1/9] ∪ [2/9, 1/3] ∪ [2/3, 7/9] ∪ [8/9, 1]
es la union de 22 = 4 intervalos cerrados disjuntos dos a dos, cadauno de longitud 1/32.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Consideremos el intervalo unidad C0 = [0, 1], lo dividimos en trespartes iguales y quitamos el interior de la parte central, o sea, elintervalo abierto (1/3, 2/3).Sea C1 = [0, 1/3] ∪ [2/3, 1]. C1 es la union de 21 = 2 intervaloscerrados disjuntos de longitud 1/3 cada uno de ellos.A continuacion dividimos en tres partes iguales cada uno de losintervalos que componen C1 y eliminamos de nuevo los intervalosabiertos centrales.Llamemos C2 al conjunto que queda de C1 una vez eliminados esosintervalos abiertos. Ası que
C2 = [0, 1/9] ∪ [2/9, 1/3] ∪ [2/3, 7/9] ∪ [8/9, 1]
es la union de 22 = 4 intervalos cerrados disjuntos dos a dos, cadauno de longitud 1/32.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Consideremos el intervalo unidad C0 = [0, 1], lo dividimos en trespartes iguales y quitamos el interior de la parte central, o sea, elintervalo abierto (1/3, 2/3).Sea C1 = [0, 1/3] ∪ [2/3, 1]. C1 es la union de 21 = 2 intervaloscerrados disjuntos de longitud 1/3 cada uno de ellos.A continuacion dividimos en tres partes iguales cada uno de losintervalos que componen C1 y eliminamos de nuevo los intervalosabiertos centrales.Llamemos C2 al conjunto que queda de C1 una vez eliminados esosintervalos abiertos. Ası que
C2 = [0, 1/9] ∪ [2/9, 1/3] ∪ [2/3, 7/9] ∪ [8/9, 1]
es la union de
22 = 4 intervalos cerrados disjuntos dos a dos, cadauno de longitud 1/32.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Consideremos el intervalo unidad C0 = [0, 1], lo dividimos en trespartes iguales y quitamos el interior de la parte central, o sea, elintervalo abierto (1/3, 2/3).Sea C1 = [0, 1/3] ∪ [2/3, 1]. C1 es la union de 21 = 2 intervaloscerrados disjuntos de longitud 1/3 cada uno de ellos.A continuacion dividimos en tres partes iguales cada uno de losintervalos que componen C1 y eliminamos de nuevo los intervalosabiertos centrales.Llamemos C2 al conjunto que queda de C1 una vez eliminados esosintervalos abiertos. Ası que
C2 = [0, 1/9] ∪ [2/9, 1/3] ∪ [2/3, 7/9] ∪ [8/9, 1]
es la union de 22 = 4 intervalos cerrados disjuntos dos a dos, cadauno de longitud
1/32.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Consideremos el intervalo unidad C0 = [0, 1], lo dividimos en trespartes iguales y quitamos el interior de la parte central, o sea, elintervalo abierto (1/3, 2/3).Sea C1 = [0, 1/3] ∪ [2/3, 1]. C1 es la union de 21 = 2 intervaloscerrados disjuntos de longitud 1/3 cada uno de ellos.A continuacion dividimos en tres partes iguales cada uno de losintervalos que componen C1 y eliminamos de nuevo los intervalosabiertos centrales.Llamemos C2 al conjunto que queda de C1 una vez eliminados esosintervalos abiertos. Ası que
C2 = [0, 1/9] ∪ [2/9, 1/3] ∪ [2/3, 7/9] ∪ [8/9, 1]
es la union de 22 = 4 intervalos cerrados disjuntos dos a dos, cadauno de longitud 1/32.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Por induccion, se construye la sucesion de conjuntos cerrados Ck ,
cada uno de los cuales es union de 2k intervalos cerrados dos a dosdisjuntos de longitud cada uno de ellos 1/3k , de modo queCk+1 ⊂ Ck . Definimos el conjunto de Cantor como C =
⋂∞k=1 Ck .
El conjunto C tiene medida nula, pues cualquiera que sea k ∈ N,es m(C) ≤ m(Ck) = 2k/3k , que tiende a 0 si k →∞.Por ultimo, veamos que C es no numerable.Sea (xk) una sucesion cualquiera de puntos de [0, 1]. Veremos quehay un elemento de C que no es ninguno de los xk .Al ser disjuntos los dos intervalos que componen C1, al menos unode ellos no contiene a x1. Llamemosle I1.Dos de los intervalos que componen C2 estan contenidos en I1. Alser disjuntos, uno de ellos no contiene a x2. Sea este I2.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Por induccion, se construye la sucesion de conjuntos cerrados Ck ,cada uno de los cuales es union de
2k intervalos cerrados dos a dosdisjuntos de longitud cada uno de ellos 1/3k , de modo queCk+1 ⊂ Ck . Definimos el conjunto de Cantor como C =
⋂∞k=1 Ck .
El conjunto C tiene medida nula, pues cualquiera que sea k ∈ N,es m(C) ≤ m(Ck) = 2k/3k , que tiende a 0 si k →∞.Por ultimo, veamos que C es no numerable.Sea (xk) una sucesion cualquiera de puntos de [0, 1]. Veremos quehay un elemento de C que no es ninguno de los xk .Al ser disjuntos los dos intervalos que componen C1, al menos unode ellos no contiene a x1. Llamemosle I1.Dos de los intervalos que componen C2 estan contenidos en I1. Alser disjuntos, uno de ellos no contiene a x2. Sea este I2.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Por induccion, se construye la sucesion de conjuntos cerrados Ck ,cada uno de los cuales es union de 2k intervalos cerrados dos a dosdisjuntos de longitud cada uno de ellos
1/3k , de modo queCk+1 ⊂ Ck . Definimos el conjunto de Cantor como C =
⋂∞k=1 Ck .
El conjunto C tiene medida nula, pues cualquiera que sea k ∈ N,es m(C) ≤ m(Ck) = 2k/3k , que tiende a 0 si k →∞.Por ultimo, veamos que C es no numerable.Sea (xk) una sucesion cualquiera de puntos de [0, 1]. Veremos quehay un elemento de C que no es ninguno de los xk .Al ser disjuntos los dos intervalos que componen C1, al menos unode ellos no contiene a x1. Llamemosle I1.Dos de los intervalos que componen C2 estan contenidos en I1. Alser disjuntos, uno de ellos no contiene a x2. Sea este I2.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Por induccion, se construye la sucesion de conjuntos cerrados Ck ,cada uno de los cuales es union de 2k intervalos cerrados dos a dosdisjuntos de longitud cada uno de ellos 1/3k , de modo queCk+1 ⊂ Ck .
Definimos el conjunto de Cantor como C =⋂∞
k=1 Ck .El conjunto C tiene medida nula, pues cualquiera que sea k ∈ N,es m(C) ≤ m(Ck) = 2k/3k , que tiende a 0 si k →∞.Por ultimo, veamos que C es no numerable.Sea (xk) una sucesion cualquiera de puntos de [0, 1]. Veremos quehay un elemento de C que no es ninguno de los xk .Al ser disjuntos los dos intervalos que componen C1, al menos unode ellos no contiene a x1. Llamemosle I1.Dos de los intervalos que componen C2 estan contenidos en I1. Alser disjuntos, uno de ellos no contiene a x2. Sea este I2.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Por induccion, se construye la sucesion de conjuntos cerrados Ck ,cada uno de los cuales es union de 2k intervalos cerrados dos a dosdisjuntos de longitud cada uno de ellos 1/3k , de modo queCk+1 ⊂ Ck . Definimos el conjunto de Cantor como C =
⋂∞k=1 Ck .
El conjunto C tiene medida nula, pues cualquiera que sea k ∈ N,es m(C) ≤ m(Ck) = 2k/3k , que tiende a 0 si k →∞.Por ultimo, veamos que C es no numerable.Sea (xk) una sucesion cualquiera de puntos de [0, 1]. Veremos quehay un elemento de C que no es ninguno de los xk .Al ser disjuntos los dos intervalos que componen C1, al menos unode ellos no contiene a x1. Llamemosle I1.Dos de los intervalos que componen C2 estan contenidos en I1. Alser disjuntos, uno de ellos no contiene a x2. Sea este I2.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Por induccion, se construye la sucesion de conjuntos cerrados Ck ,cada uno de los cuales es union de 2k intervalos cerrados dos a dosdisjuntos de longitud cada uno de ellos 1/3k , de modo queCk+1 ⊂ Ck . Definimos el conjunto de Cantor como C =
⋂∞k=1 Ck .
El conjunto C tiene medida nula,
pues cualquiera que sea k ∈ N,es m(C) ≤ m(Ck) = 2k/3k , que tiende a 0 si k →∞.Por ultimo, veamos que C es no numerable.Sea (xk) una sucesion cualquiera de puntos de [0, 1]. Veremos quehay un elemento de C que no es ninguno de los xk .Al ser disjuntos los dos intervalos que componen C1, al menos unode ellos no contiene a x1. Llamemosle I1.Dos de los intervalos que componen C2 estan contenidos en I1. Alser disjuntos, uno de ellos no contiene a x2. Sea este I2.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Por induccion, se construye la sucesion de conjuntos cerrados Ck ,cada uno de los cuales es union de 2k intervalos cerrados dos a dosdisjuntos de longitud cada uno de ellos 1/3k , de modo queCk+1 ⊂ Ck . Definimos el conjunto de Cantor como C =
⋂∞k=1 Ck .
El conjunto C tiene medida nula, pues cualquiera que sea k ∈ N,es m(C) ≤ m(Ck) = 2k/3k ,
que tiende a 0 si k →∞.Por ultimo, veamos que C es no numerable.Sea (xk) una sucesion cualquiera de puntos de [0, 1]. Veremos quehay un elemento de C que no es ninguno de los xk .Al ser disjuntos los dos intervalos que componen C1, al menos unode ellos no contiene a x1. Llamemosle I1.Dos de los intervalos que componen C2 estan contenidos en I1. Alser disjuntos, uno de ellos no contiene a x2. Sea este I2.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Por induccion, se construye la sucesion de conjuntos cerrados Ck ,cada uno de los cuales es union de 2k intervalos cerrados dos a dosdisjuntos de longitud cada uno de ellos 1/3k , de modo queCk+1 ⊂ Ck . Definimos el conjunto de Cantor como C =
⋂∞k=1 Ck .
El conjunto C tiene medida nula, pues cualquiera que sea k ∈ N,es m(C) ≤ m(Ck) = 2k/3k , que tiende a 0 si k →∞.
Por ultimo, veamos que C es no numerable.Sea (xk) una sucesion cualquiera de puntos de [0, 1]. Veremos quehay un elemento de C que no es ninguno de los xk .Al ser disjuntos los dos intervalos que componen C1, al menos unode ellos no contiene a x1. Llamemosle I1.Dos de los intervalos que componen C2 estan contenidos en I1. Alser disjuntos, uno de ellos no contiene a x2. Sea este I2.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Por induccion, se construye la sucesion de conjuntos cerrados Ck ,cada uno de los cuales es union de 2k intervalos cerrados dos a dosdisjuntos de longitud cada uno de ellos 1/3k , de modo queCk+1 ⊂ Ck . Definimos el conjunto de Cantor como C =
⋂∞k=1 Ck .
El conjunto C tiene medida nula, pues cualquiera que sea k ∈ N,es m(C) ≤ m(Ck) = 2k/3k , que tiende a 0 si k →∞.Por ultimo, veamos que C es no numerable.
Sea (xk) una sucesion cualquiera de puntos de [0, 1]. Veremos quehay un elemento de C que no es ninguno de los xk .Al ser disjuntos los dos intervalos que componen C1, al menos unode ellos no contiene a x1. Llamemosle I1.Dos de los intervalos que componen C2 estan contenidos en I1. Alser disjuntos, uno de ellos no contiene a x2. Sea este I2.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Por induccion, se construye la sucesion de conjuntos cerrados Ck ,cada uno de los cuales es union de 2k intervalos cerrados dos a dosdisjuntos de longitud cada uno de ellos 1/3k , de modo queCk+1 ⊂ Ck . Definimos el conjunto de Cantor como C =
⋂∞k=1 Ck .
El conjunto C tiene medida nula, pues cualquiera que sea k ∈ N,es m(C) ≤ m(Ck) = 2k/3k , que tiende a 0 si k →∞.Por ultimo, veamos que C es no numerable.Sea (xk) una sucesion cualquiera de puntos de [0, 1].
Veremos quehay un elemento de C que no es ninguno de los xk .Al ser disjuntos los dos intervalos que componen C1, al menos unode ellos no contiene a x1. Llamemosle I1.Dos de los intervalos que componen C2 estan contenidos en I1. Alser disjuntos, uno de ellos no contiene a x2. Sea este I2.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Por induccion, se construye la sucesion de conjuntos cerrados Ck ,cada uno de los cuales es union de 2k intervalos cerrados dos a dosdisjuntos de longitud cada uno de ellos 1/3k , de modo queCk+1 ⊂ Ck . Definimos el conjunto de Cantor como C =
⋂∞k=1 Ck .
El conjunto C tiene medida nula, pues cualquiera que sea k ∈ N,es m(C) ≤ m(Ck) = 2k/3k , que tiende a 0 si k →∞.Por ultimo, veamos que C es no numerable.Sea (xk) una sucesion cualquiera de puntos de [0, 1]. Veremos quehay un elemento de C que no es ninguno de los xk .
Al ser disjuntos los dos intervalos que componen C1, al menos unode ellos no contiene a x1. Llamemosle I1.Dos de los intervalos que componen C2 estan contenidos en I1. Alser disjuntos, uno de ellos no contiene a x2. Sea este I2.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Por induccion, se construye la sucesion de conjuntos cerrados Ck ,cada uno de los cuales es union de 2k intervalos cerrados dos a dosdisjuntos de longitud cada uno de ellos 1/3k , de modo queCk+1 ⊂ Ck . Definimos el conjunto de Cantor como C =
⋂∞k=1 Ck .
El conjunto C tiene medida nula, pues cualquiera que sea k ∈ N,es m(C) ≤ m(Ck) = 2k/3k , que tiende a 0 si k →∞.Por ultimo, veamos que C es no numerable.Sea (xk) una sucesion cualquiera de puntos de [0, 1]. Veremos quehay un elemento de C que no es ninguno de los xk .Al ser disjuntos los dos intervalos que componen C1, al menos unode ellos no contiene a x1. Llamemosle I1.
Dos de los intervalos que componen C2 estan contenidos en I1. Alser disjuntos, uno de ellos no contiene a x2. Sea este I2.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Por induccion, se construye la sucesion de conjuntos cerrados Ck ,cada uno de los cuales es union de 2k intervalos cerrados dos a dosdisjuntos de longitud cada uno de ellos 1/3k , de modo queCk+1 ⊂ Ck . Definimos el conjunto de Cantor como C =
⋂∞k=1 Ck .
El conjunto C tiene medida nula, pues cualquiera que sea k ∈ N,es m(C) ≤ m(Ck) = 2k/3k , que tiende a 0 si k →∞.Por ultimo, veamos que C es no numerable.Sea (xk) una sucesion cualquiera de puntos de [0, 1]. Veremos quehay un elemento de C que no es ninguno de los xk .Al ser disjuntos los dos intervalos que componen C1, al menos unode ellos no contiene a x1. Llamemosle I1.Dos de los intervalos que componen C2 estan contenidos en I1.
Alser disjuntos, uno de ellos no contiene a x2. Sea este I2.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Por induccion, se construye la sucesion de conjuntos cerrados Ck ,cada uno de los cuales es union de 2k intervalos cerrados dos a dosdisjuntos de longitud cada uno de ellos 1/3k , de modo queCk+1 ⊂ Ck . Definimos el conjunto de Cantor como C =
⋂∞k=1 Ck .
El conjunto C tiene medida nula, pues cualquiera que sea k ∈ N,es m(C) ≤ m(Ck) = 2k/3k , que tiende a 0 si k →∞.Por ultimo, veamos que C es no numerable.Sea (xk) una sucesion cualquiera de puntos de [0, 1]. Veremos quehay un elemento de C que no es ninguno de los xk .Al ser disjuntos los dos intervalos que componen C1, al menos unode ellos no contiene a x1. Llamemosle I1.Dos de los intervalos que componen C2 estan contenidos en I1. Alser disjuntos, uno de ellos no contiene a x2.
Sea este I2.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Por induccion, se construye la sucesion de conjuntos cerrados Ck ,cada uno de los cuales es union de 2k intervalos cerrados dos a dosdisjuntos de longitud cada uno de ellos 1/3k , de modo queCk+1 ⊂ Ck . Definimos el conjunto de Cantor como C =
⋂∞k=1 Ck .
El conjunto C tiene medida nula, pues cualquiera que sea k ∈ N,es m(C) ≤ m(Ck) = 2k/3k , que tiende a 0 si k →∞.Por ultimo, veamos que C es no numerable.Sea (xk) una sucesion cualquiera de puntos de [0, 1]. Veremos quehay un elemento de C que no es ninguno de los xk .Al ser disjuntos los dos intervalos que componen C1, al menos unode ellos no contiene a x1. Llamemosle I1.Dos de los intervalos que componen C2 estan contenidos en I1. Alser disjuntos, uno de ellos no contiene a x2. Sea este I2.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Por induccion, se construye la sucesion de conjuntos cerrados Ck ,cada uno de los cuales es union de 2k intervalos cerrados dos a dosdisjuntos de longitud cada uno de ellos 1/3k , de modo queCk+1 ⊂ Ck . Definimos el conjunto de Cantor como C =
⋂∞k=1 Ck .
El conjunto C tiene medida nula, pues cualquiera que sea k ∈ N,es m(C) ≤ m(Ck) = 2k/3k , que tiende a 0 si k →∞.Por ultimo, veamos que C es no numerable.Sea (xk) una sucesion cualquiera de puntos de [0, 1]. Veremos quehay un elemento de C que no es ninguno de los xk .Al ser disjuntos los dos intervalos que componen C1, al menos unode ellos no contiene a x1. Llamemosle I1.Dos de los intervalos que componen C2 estan contenidos en I1. Alser disjuntos, uno de ellos no contiene a x2. Sea este I2.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Continuando ası construimos una sucesion
I1 ⊃ I2 ⊃ . . .
de intervalos cerrados y encajados, que debe tener interseccion novacıa.
Dado que Ik ⊂ Ck , si y ∈⋂∞
k=1 Ik , y ∈ C.Como y ∈ Ik y xk /∈ Ik se concluye que y 6= xk , cualquiera que seak ∈ N.De hecho, puede probarse que C tiene el cardinal del continuo, esdecir, existe una biyeccion con la recta real.C es el conjunto de los numeros de [0, 1] cuyo desarrollo en basetres no contiene al dıgito 1.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Continuando ası construimos una sucesion
I1 ⊃ I2 ⊃ . . .
de intervalos cerrados y encajados, que debe tener interseccion novacıa.Dado que Ik ⊂ Ck , si y ∈
⋂∞k=1 Ik , y ∈ C.
Como y ∈ Ik y xk /∈ Ik se concluye que y 6= xk , cualquiera que seak ∈ N.De hecho, puede probarse que C tiene el cardinal del continuo, esdecir, existe una biyeccion con la recta real.C es el conjunto de los numeros de [0, 1] cuyo desarrollo en basetres no contiene al dıgito 1.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Continuando ası construimos una sucesion
I1 ⊃ I2 ⊃ . . .
de intervalos cerrados y encajados, que debe tener interseccion novacıa.Dado que Ik ⊂ Ck , si y ∈
⋂∞k=1 Ik , y ∈ C.
Como y ∈ Ik y xk /∈ Ik se concluye que y 6= xk , cualquiera que seak ∈ N.
De hecho, puede probarse que C tiene el cardinal del continuo, esdecir, existe una biyeccion con la recta real.C es el conjunto de los numeros de [0, 1] cuyo desarrollo en basetres no contiene al dıgito 1.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Continuando ası construimos una sucesion
I1 ⊃ I2 ⊃ . . .
de intervalos cerrados y encajados, que debe tener interseccion novacıa.Dado que Ik ⊂ Ck , si y ∈
⋂∞k=1 Ik , y ∈ C.
Como y ∈ Ik y xk /∈ Ik se concluye que y 6= xk , cualquiera que seak ∈ N.De hecho, puede probarse que C tiene el cardinal del continuo, esdecir, existe una biyeccion con la recta real.
C es el conjunto de los numeros de [0, 1] cuyo desarrollo en basetres no contiene al dıgito 1.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Continuando ası construimos una sucesion
I1 ⊃ I2 ⊃ . . .
de intervalos cerrados y encajados, que debe tener interseccion novacıa.Dado que Ik ⊂ Ck , si y ∈
⋂∞k=1 Ik , y ∈ C.
Como y ∈ Ik y xk /∈ Ik se concluye que y 6= xk , cualquiera que seak ∈ N.De hecho, puede probarse que C tiene el cardinal del continuo, esdecir, existe una biyeccion con la recta real.C es el conjunto de los numeros de [0, 1] cuyo desarrollo en basetres no contiene al dıgito 1.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Resumen de la construccion de la medida de Lebesgue:
Paso 1. Volumen de intervalos. El volumen es el producto delas longitudes de los lados. Propiedades.
Paso 2. Medida de abiertos. Es la suma de los volumenes deintervalos disjuntos dos a dos en que se puededescomponer un abierto. Propiedades.
Paso 3. Medida exterior de Lebesgue. Es el ınfimo de lasmedidas de los abiertos que contiene al conjunto.
Paso 4. Medibles Lebesgue. A es medible Lebesgue si para cadaε > 0 existen F(cerrado) ⊂ A ⊂ G(abierto) de modo quem(G \ F ) < ε.
Los conjuntos medibles Lebesgue forman una σ-algebra enRn y la medida exterior de Lebesgue restringida a estaσ-algebra es una medida positiva.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Resumen de la construccion de la medida de Lebesgue:
Paso 1. Volumen de intervalos. El volumen es el producto delas longitudes de los lados. Propiedades.
Paso 2. Medida de abiertos. Es la suma de los volumenes deintervalos disjuntos dos a dos en que se puededescomponer un abierto. Propiedades.
Paso 3. Medida exterior de Lebesgue. Es el ınfimo de lasmedidas de los abiertos que contiene al conjunto.
Paso 4. Medibles Lebesgue. A es medible Lebesgue si para cadaε > 0 existen F(cerrado) ⊂ A ⊂ G(abierto) de modo quem(G \ F ) < ε.
Los conjuntos medibles Lebesgue forman una σ-algebra enRn y la medida exterior de Lebesgue restringida a estaσ-algebra es una medida positiva.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Resumen de la construccion de la medida de Lebesgue:
Paso 1. Volumen de intervalos. El volumen es el producto delas longitudes de los lados. Propiedades.
Paso 2. Medida de abiertos. Es la suma de los volumenes deintervalos disjuntos dos a dos en que se puededescomponer un abierto. Propiedades.
Paso 3. Medida exterior de Lebesgue. Es el ınfimo de lasmedidas de los abiertos que contiene al conjunto.
Paso 4. Medibles Lebesgue. A es medible Lebesgue si para cadaε > 0 existen F(cerrado) ⊂ A ⊂ G(abierto) de modo quem(G \ F ) < ε.
Los conjuntos medibles Lebesgue forman una σ-algebra enRn y la medida exterior de Lebesgue restringida a estaσ-algebra es una medida positiva.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Resumen de la construccion de la medida de Lebesgue:
Paso 1. Volumen de intervalos. El volumen es el producto delas longitudes de los lados. Propiedades.
Paso 2. Medida de abiertos. Es la suma de los volumenes deintervalos disjuntos dos a dos en que se puededescomponer un abierto. Propiedades.
Paso 3. Medida exterior de Lebesgue. Es el ınfimo de lasmedidas de los abiertos que contiene al conjunto.
Paso 4. Medibles Lebesgue. A es medible Lebesgue si para cadaε > 0 existen F(cerrado) ⊂ A ⊂ G(abierto) de modo quem(G \ F ) < ε.
Los conjuntos medibles Lebesgue forman una σ-algebra enRn y la medida exterior de Lebesgue restringida a estaσ-algebra es una medida positiva.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Resumen de la construccion de la medida de Lebesgue:
Paso 1. Volumen de intervalos. El volumen es el producto delas longitudes de los lados. Propiedades.
Paso 2. Medida de abiertos. Es la suma de los volumenes deintervalos disjuntos dos a dos en que se puededescomponer un abierto. Propiedades.
Paso 3. Medida exterior de Lebesgue. Es el ınfimo de lasmedidas de los abiertos que contiene al conjunto.
Paso 4. Medibles Lebesgue. A es medible Lebesgue si para cadaε > 0 existen F(cerrado) ⊂ A ⊂ G(abierto) de modo quem(G \ F ) < ε.
Los conjuntos medibles Lebesgue forman una σ-algebra enRn y la medida exterior de Lebesgue restringida a estaσ-algebra es una medida positiva.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Resumen de la construccion de la medida de Lebesgue:
Paso 1. Volumen de intervalos. El volumen es el producto delas longitudes de los lados. Propiedades.
Paso 2. Medida de abiertos. Es la suma de los volumenes deintervalos disjuntos dos a dos en que se puededescomponer un abierto. Propiedades.
Paso 3. Medida exterior de Lebesgue. Es el ınfimo de lasmedidas de los abiertos que contiene al conjunto.
Paso 4. Medibles Lebesgue. A es medible Lebesgue si para cadaε > 0 existen F(cerrado) ⊂ A ⊂ G(abierto) de modo quem(G \ F ) < ε.
Los conjuntos medibles Lebesgue forman una σ-algebra enRn y la medida exterior de Lebesgue restringida a estaσ-algebra es una medida positiva.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Resumen de la construccion de la medida de Lebesgue:
Paso 1. Volumen de intervalos. El volumen es el producto delas longitudes de los lados. Propiedades.
Paso 2. Medida de abiertos. Es la suma de los volumenes deintervalos disjuntos dos a dos en que se puededescomponer un abierto. Propiedades.
Paso 3. Medida exterior de Lebesgue. Es el ınfimo de lasmedidas de los abiertos que contiene al conjunto.
Paso 4. Medibles Lebesgue. A es medible Lebesgue si para cadaε > 0 existen F(cerrado) ⊂ A ⊂ G(abierto) de modo quem(G \ F ) < ε.
Los conjuntos medibles Lebesgue forman una σ-algebra enRn y la medida exterior de Lebesgue restringida a estaσ-algebra es una medida positiva.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Resumen de la construccion de la medida de Lebesgue:
Paso 1. Volumen de intervalos. El volumen es el producto delas longitudes de los lados. Propiedades.
Paso 2. Medida de abiertos. Es la suma de los volumenes deintervalos disjuntos dos a dos en que se puededescomponer un abierto. Propiedades.
Paso 3. Medida exterior de Lebesgue. Es el ınfimo de lasmedidas de los abiertos que contiene al conjunto.
Paso 4. Medibles Lebesgue. A es medible Lebesgue si para cadaε > 0 existen F(cerrado) ⊂ A ⊂ G(abierto) de modo quem(G \ F ) < ε.
Los conjuntos medibles Lebesgue forman una σ-algebra enRn y la medida exterior de Lebesgue restringida a estaσ-algebra es una medida positiva.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Resumen de la construccion de la medida de Lebesgue:
Paso 1. Volumen de intervalos. El volumen es el producto delas longitudes de los lados. Propiedades.
Paso 2. Medida de abiertos. Es la suma de los volumenes deintervalos disjuntos dos a dos en que se puededescomponer un abierto. Propiedades.
Paso 3. Medida exterior de Lebesgue. Es el ınfimo de lasmedidas de los abiertos que contiene al conjunto.
Paso 4. Medibles Lebesgue. A es medible Lebesgue si para cadaε > 0 existen F(cerrado) ⊂ A ⊂ G(abierto) de modo quem(G \ F ) < ε.
Los conjuntos medibles Lebesgue forman una σ-algebra enRn y la medida exterior de Lebesgue restringida a estaσ-algebra es una medida positiva.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Proposicion
Sea A ∈Mn. Si z ∈ Rn y λ ∈ R, λ > 0, entonces z + A ∈Mn yλA ∈Mn. Ademas m(z + A) = m(A) y m(λA) = λnm(A).
Observacion: Si ϕ : Rn → Rn es un isomorfismo, A ⊂ Rn es unboreliano si y solo si ϕ(A) es un boreliano.
TeoremaSea ϕ : Rn → Rn un isomorfismo, y sea c = m(ϕ([0, 1)n)).Entonces, para cada A ∈Mn se verifica que ϕ(A) ∈Mn ym(ϕ(A)) = c m(A).
Proposicion
Si ψ : Rn → Rn es un movimiento rıgido (ψ(x) = x0 + φ(x), φortogonal) entonces ψ(A) ∈Mn y m(ψ(A)) = m(A), para cadaA ∈Mn.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Proposicion
Sea A ∈Mn. Si z ∈ Rn y λ ∈ R, λ > 0, entonces z + A ∈Mn yλA ∈Mn. Ademas m(z + A) = m(A) y m(λA) = λnm(A).
Observacion: Si ϕ : Rn → Rn es un isomorfismo, A ⊂ Rn es unboreliano si y solo si ϕ(A) es un boreliano.
TeoremaSea ϕ : Rn → Rn un isomorfismo, y sea c = m(ϕ([0, 1)n)).Entonces, para cada A ∈Mn se verifica que ϕ(A) ∈Mn ym(ϕ(A)) = c m(A).
Proposicion
Si ψ : Rn → Rn es un movimiento rıgido (ψ(x) = x0 + φ(x), φortogonal) entonces ψ(A) ∈Mn y m(ψ(A)) = m(A), para cadaA ∈Mn.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Proposicion
Sea A ∈Mn. Si z ∈ Rn y λ ∈ R, λ > 0, entonces z + A ∈Mn yλA ∈Mn. Ademas m(z + A) = m(A) y m(λA) = λnm(A).
Observacion: Si ϕ : Rn → Rn es un isomorfismo, A ⊂ Rn es unboreliano si y solo si ϕ(A) es un boreliano.
TeoremaSea ϕ : Rn → Rn un isomorfismo, y sea c = m(ϕ([0, 1)n)).Entonces, para cada A ∈Mn se verifica que ϕ(A) ∈Mn ym(ϕ(A)) = c m(A).
Proposicion
Si ψ : Rn → Rn es un movimiento rıgido (ψ(x) = x0 + φ(x), φortogonal) entonces ψ(A) ∈Mn y m(ψ(A)) = m(A), para cadaA ∈Mn.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Proposicion
Sea A ∈Mn. Si z ∈ Rn y λ ∈ R, λ > 0, entonces z + A ∈Mn yλA ∈Mn. Ademas m(z + A) = m(A) y m(λA) = λnm(A).
Observacion: Si ϕ : Rn → Rn es un isomorfismo, A ⊂ Rn es unboreliano si y solo si ϕ(A) es un boreliano.
TeoremaSea ϕ : Rn → Rn un isomorfismo, y sea c = m(ϕ([0, 1)n)).Entonces, para cada A ∈Mn se verifica que ϕ(A) ∈Mn ym(ϕ(A)) = c m(A).
Proposicion
Si ψ : Rn → Rn es un movimiento rıgido (ψ(x) = x0 + φ(x), φortogonal) entonces ψ(A) ∈Mn y m(ψ(A)) = m(A), para cadaA ∈Mn.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
TeoremaExisten conjuntos no medibles Lebesgue: El conjunto de Vitali.
Construccion:Si x e y son numeros reales, diremos que estan relacionados si
x − y ∈ Q
Es una relacion de equivalencia. Gracias al axioma de eleccion,podemos construir un conjunto E formado escogiendo uno y soloun elemento de cada clase de equivalencia en el intervalo [0, 1].Pues bien, E no es medible Lebesgue.En efecto, sea (rk) una enumeracion de los racionales del intervalo[−1, 1], es decir,
Q ∩ [−1, 1] = {rk : k ∈ N}, rk 6= rj , si k 6= j
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
TeoremaExisten conjuntos no medibles Lebesgue: El conjunto de Vitali.
Construccion:Si x e y son numeros reales, diremos que estan relacionados si
x − y ∈ Q
Es una relacion de equivalencia. Gracias al axioma de eleccion,podemos construir un conjunto E formado escogiendo uno y soloun elemento de cada clase de equivalencia en el intervalo [0, 1].Pues bien, E no es medible Lebesgue.En efecto, sea (rk) una enumeracion de los racionales del intervalo[−1, 1], es decir,
Q ∩ [−1, 1] = {rk : k ∈ N}, rk 6= rj , si k 6= j
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
TeoremaExisten conjuntos no medibles Lebesgue: El conjunto de Vitali.
Construccion:
Si x e y son numeros reales, diremos que estan relacionados si
x − y ∈ Q
Es una relacion de equivalencia. Gracias al axioma de eleccion,podemos construir un conjunto E formado escogiendo uno y soloun elemento de cada clase de equivalencia en el intervalo [0, 1].Pues bien, E no es medible Lebesgue.En efecto, sea (rk) una enumeracion de los racionales del intervalo[−1, 1], es decir,
Q ∩ [−1, 1] = {rk : k ∈ N}, rk 6= rj , si k 6= j
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
TeoremaExisten conjuntos no medibles Lebesgue: El conjunto de Vitali.
Construccion:Si x e y son numeros reales, diremos que estan relacionados si
x − y ∈ Q
Es una relacion de equivalencia. Gracias al axioma de eleccion,podemos construir un conjunto E formado escogiendo uno y soloun elemento de cada clase de equivalencia en el intervalo [0, 1].Pues bien, E no es medible Lebesgue.En efecto, sea (rk) una enumeracion de los racionales del intervalo[−1, 1], es decir,
Q ∩ [−1, 1] = {rk : k ∈ N}, rk 6= rj , si k 6= j
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
TeoremaExisten conjuntos no medibles Lebesgue: El conjunto de Vitali.
Construccion:Si x e y son numeros reales, diremos que estan relacionados si
x − y ∈ Q
Es una relacion de equivalencia.
Gracias al axioma de eleccion,podemos construir un conjunto E formado escogiendo uno y soloun elemento de cada clase de equivalencia en el intervalo [0, 1].Pues bien, E no es medible Lebesgue.En efecto, sea (rk) una enumeracion de los racionales del intervalo[−1, 1], es decir,
Q ∩ [−1, 1] = {rk : k ∈ N}, rk 6= rj , si k 6= j
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
TeoremaExisten conjuntos no medibles Lebesgue: El conjunto de Vitali.
Construccion:Si x e y son numeros reales, diremos que estan relacionados si
x − y ∈ Q
Es una relacion de equivalencia. Gracias al axioma de eleccion,podemos construir un conjunto E formado escogiendo uno y soloun elemento de cada clase de equivalencia en el intervalo [0, 1].
Pues bien, E no es medible Lebesgue.En efecto, sea (rk) una enumeracion de los racionales del intervalo[−1, 1], es decir,
Q ∩ [−1, 1] = {rk : k ∈ N}, rk 6= rj , si k 6= j
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
TeoremaExisten conjuntos no medibles Lebesgue: El conjunto de Vitali.
Construccion:Si x e y son numeros reales, diremos que estan relacionados si
x − y ∈ Q
Es una relacion de equivalencia. Gracias al axioma de eleccion,podemos construir un conjunto E formado escogiendo uno y soloun elemento de cada clase de equivalencia en el intervalo [0, 1].Pues bien, E no es medible Lebesgue.
En efecto, sea (rk) una enumeracion de los racionales del intervalo[−1, 1], es decir,
Q ∩ [−1, 1] = {rk : k ∈ N}, rk 6= rj , si k 6= j
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
TeoremaExisten conjuntos no medibles Lebesgue: El conjunto de Vitali.
Construccion:Si x e y son numeros reales, diremos que estan relacionados si
x − y ∈ Q
Es una relacion de equivalencia. Gracias al axioma de eleccion,podemos construir un conjunto E formado escogiendo uno y soloun elemento de cada clase de equivalencia en el intervalo [0, 1].Pues bien, E no es medible Lebesgue.En efecto, sea (rk) una enumeracion de los racionales del intervalo[−1, 1], es decir,
Q ∩ [−1, 1] = {rk : k ∈ N}, rk 6= rj , si k 6= j
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
TeoremaExisten conjuntos no medibles Lebesgue: El conjunto de Vitali.
Construccion:Si x e y son numeros reales, diremos que estan relacionados si
x − y ∈ Q
Es una relacion de equivalencia. Gracias al axioma de eleccion,podemos construir un conjunto E formado escogiendo uno y soloun elemento de cada clase de equivalencia en el intervalo [0, 1].Pues bien, E no es medible Lebesgue.En efecto, sea (rk) una enumeracion de los racionales del intervalo[−1, 1], es decir,
Q ∩ [−1, 1] = {rk : k ∈ N}, rk 6= rj , si k 6= j
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Consideremos, para cada k ∈ N, Ek = rk + E .
Estos conjuntos son disjuntos dos a dos, pues si Ek ∩ Ej 6= ∅,existirıan x ∈ E e y ∈ E de modo que x + rk = y + rj de dondex − y = rj − rk serıa racional y por tanto x e y estarıan en lamisma clase de equivalencia, luego serıan iguales.Luego rk = rj y Ek = Ej . Por ultimo,
[0, 1] ⊂∞⋃k=1
Ek ⊂ [−1, 2],
pues si x ∈ [0, 1] e y ∈ E es el representante elegido de su clase,x − y = rk para un racional de [−1, 1] y por tanto x ∈ Ek .La otra inclusion es trivial, Ek = rk + E ⊂ [−1, 2] para todo k .
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Consideremos, para cada k ∈ N, Ek = rk + E .Estos conjuntos son disjuntos dos a dos,
pues si Ek ∩ Ej 6= ∅,existirıan x ∈ E e y ∈ E de modo que x + rk = y + rj de dondex − y = rj − rk serıa racional y por tanto x e y estarıan en lamisma clase de equivalencia, luego serıan iguales.Luego rk = rj y Ek = Ej . Por ultimo,
[0, 1] ⊂∞⋃k=1
Ek ⊂ [−1, 2],
pues si x ∈ [0, 1] e y ∈ E es el representante elegido de su clase,x − y = rk para un racional de [−1, 1] y por tanto x ∈ Ek .La otra inclusion es trivial, Ek = rk + E ⊂ [−1, 2] para todo k .
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Consideremos, para cada k ∈ N, Ek = rk + E .Estos conjuntos son disjuntos dos a dos, pues si Ek ∩ Ej 6= ∅,existirıan x ∈ E e y ∈ E de modo que x + rk = y + rj
de dondex − y = rj − rk serıa racional y por tanto x e y estarıan en lamisma clase de equivalencia, luego serıan iguales.Luego rk = rj y Ek = Ej . Por ultimo,
[0, 1] ⊂∞⋃k=1
Ek ⊂ [−1, 2],
pues si x ∈ [0, 1] e y ∈ E es el representante elegido de su clase,x − y = rk para un racional de [−1, 1] y por tanto x ∈ Ek .La otra inclusion es trivial, Ek = rk + E ⊂ [−1, 2] para todo k .
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Consideremos, para cada k ∈ N, Ek = rk + E .Estos conjuntos son disjuntos dos a dos, pues si Ek ∩ Ej 6= ∅,existirıan x ∈ E e y ∈ E de modo que x + rk = y + rj de dondex − y = rj − rk serıa racional y por tanto x e y estarıan en lamisma clase de equivalencia,
luego serıan iguales.Luego rk = rj y Ek = Ej . Por ultimo,
[0, 1] ⊂∞⋃k=1
Ek ⊂ [−1, 2],
pues si x ∈ [0, 1] e y ∈ E es el representante elegido de su clase,x − y = rk para un racional de [−1, 1] y por tanto x ∈ Ek .La otra inclusion es trivial, Ek = rk + E ⊂ [−1, 2] para todo k .
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Consideremos, para cada k ∈ N, Ek = rk + E .Estos conjuntos son disjuntos dos a dos, pues si Ek ∩ Ej 6= ∅,existirıan x ∈ E e y ∈ E de modo que x + rk = y + rj de dondex − y = rj − rk serıa racional y por tanto x e y estarıan en lamisma clase de equivalencia, luego serıan iguales.
Luego rk = rj y Ek = Ej . Por ultimo,
[0, 1] ⊂∞⋃k=1
Ek ⊂ [−1, 2],
pues si x ∈ [0, 1] e y ∈ E es el representante elegido de su clase,x − y = rk para un racional de [−1, 1] y por tanto x ∈ Ek .La otra inclusion es trivial, Ek = rk + E ⊂ [−1, 2] para todo k .
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Consideremos, para cada k ∈ N, Ek = rk + E .Estos conjuntos son disjuntos dos a dos, pues si Ek ∩ Ej 6= ∅,existirıan x ∈ E e y ∈ E de modo que x + rk = y + rj de dondex − y = rj − rk serıa racional y por tanto x e y estarıan en lamisma clase de equivalencia, luego serıan iguales.Luego rk = rj y Ek = Ej .
Por ultimo,
[0, 1] ⊂∞⋃k=1
Ek ⊂ [−1, 2],
pues si x ∈ [0, 1] e y ∈ E es el representante elegido de su clase,x − y = rk para un racional de [−1, 1] y por tanto x ∈ Ek .La otra inclusion es trivial, Ek = rk + E ⊂ [−1, 2] para todo k .
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Consideremos, para cada k ∈ N, Ek = rk + E .Estos conjuntos son disjuntos dos a dos, pues si Ek ∩ Ej 6= ∅,existirıan x ∈ E e y ∈ E de modo que x + rk = y + rj de dondex − y = rj − rk serıa racional y por tanto x e y estarıan en lamisma clase de equivalencia, luego serıan iguales.Luego rk = rj y Ek = Ej . Por ultimo,
[0, 1] ⊂∞⋃k=1
Ek ⊂ [−1, 2],
pues si x ∈ [0, 1] e y ∈ E es el representante elegido de su clase,x − y = rk para un racional de [−1, 1] y por tanto x ∈ Ek .La otra inclusion es trivial, Ek = rk + E ⊂ [−1, 2] para todo k .
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Consideremos, para cada k ∈ N, Ek = rk + E .Estos conjuntos son disjuntos dos a dos, pues si Ek ∩ Ej 6= ∅,existirıan x ∈ E e y ∈ E de modo que x + rk = y + rj de dondex − y = rj − rk serıa racional y por tanto x e y estarıan en lamisma clase de equivalencia, luego serıan iguales.Luego rk = rj y Ek = Ej . Por ultimo,
[0, 1] ⊂∞⋃k=1
Ek ⊂ [−1, 2],
pues si x ∈ [0, 1] e y ∈ E es el representante elegido de su clase,
x − y = rk para un racional de [−1, 1] y por tanto x ∈ Ek .La otra inclusion es trivial, Ek = rk + E ⊂ [−1, 2] para todo k .
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Consideremos, para cada k ∈ N, Ek = rk + E .Estos conjuntos son disjuntos dos a dos, pues si Ek ∩ Ej 6= ∅,existirıan x ∈ E e y ∈ E de modo que x + rk = y + rj de dondex − y = rj − rk serıa racional y por tanto x e y estarıan en lamisma clase de equivalencia, luego serıan iguales.Luego rk = rj y Ek = Ej . Por ultimo,
[0, 1] ⊂∞⋃k=1
Ek ⊂ [−1, 2],
pues si x ∈ [0, 1] e y ∈ E es el representante elegido de su clase,x − y = rk para un racional de [−1, 1] y por tanto x ∈ Ek .
La otra inclusion es trivial, Ek = rk + E ⊂ [−1, 2] para todo k .
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Consideremos, para cada k ∈ N, Ek = rk + E .Estos conjuntos son disjuntos dos a dos, pues si Ek ∩ Ej 6= ∅,existirıan x ∈ E e y ∈ E de modo que x + rk = y + rj de dondex − y = rj − rk serıa racional y por tanto x e y estarıan en lamisma clase de equivalencia, luego serıan iguales.Luego rk = rj y Ek = Ej . Por ultimo,
[0, 1] ⊂∞⋃k=1
Ek ⊂ [−1, 2],
pues si x ∈ [0, 1] e y ∈ E es el representante elegido de su clase,x − y = rk para un racional de [−1, 1] y por tanto x ∈ Ek .La otra inclusion es trivial, Ek = rk + E ⊂ [−1, 2] para todo k .
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Si B ⊂ E es un conjunto medible, entonces m(B) = 0, pues
∞⋃k=1
(rk + B) ⊂∞⋃k=1
Ek ⊂ [−1, 2],
y al ser los conjuntos rk + B medibles y disjuntos dos a dos, sededuce que
∞∑k=1
m(B) ≤ 3
Como [0, 1] ⊂⋃∞
k=1 Ek , se deduce que 1 ≤∑∞
k=1 m∗(E ), luego
m∗(E ) > 0. Por tanto, E no es medible Lebesgue pues si lo fuera,su medida, de acuerdo con lo anterior, serıa nula.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Si B ⊂ E es un conjunto medible, entonces m(B) = 0, pues
∞⋃k=1
(rk + B) ⊂∞⋃k=1
Ek ⊂ [−1, 2],
y al ser los conjuntos rk + B medibles y disjuntos dos a dos, sededuce que
∞∑k=1
m(B) ≤ 3
Como [0, 1] ⊂⋃∞
k=1 Ek , se deduce que 1 ≤∑∞
k=1 m∗(E ), luego
m∗(E ) > 0. Por tanto, E no es medible Lebesgue pues si lo fuera,su medida, de acuerdo con lo anterior, serıa nula.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Si B ⊂ E es un conjunto medible, entonces m(B) = 0, pues
∞⋃k=1
(rk + B) ⊂∞⋃k=1
Ek ⊂ [−1, 2],
y al ser los conjuntos rk + B medibles y disjuntos dos a dos, sededuce que
∞∑k=1
m(B) ≤ 3
Como [0, 1] ⊂⋃∞
k=1 Ek , se deduce que 1 ≤∑∞
k=1 m∗(E ), luego
m∗(E ) > 0. Por tanto, E no es medible Lebesgue pues si lo fuera,su medida, de acuerdo con lo anterior, serıa nula.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Si B ⊂ E es un conjunto medible, entonces m(B) = 0, pues
∞⋃k=1
(rk + B) ⊂∞⋃k=1
Ek ⊂ [−1, 2],
y al ser los conjuntos rk + B medibles y disjuntos dos a dos, sededuce que
∞∑k=1
m(B) ≤ 3
Como [0, 1] ⊂⋃∞
k=1 Ek , se deduce que 1 ≤∑∞
k=1 m∗(E ), luego
m∗(E ) > 0. Por tanto, E no es medible Lebesgue pues si lo fuera,su medida, de acuerdo con lo anterior, serıa nula.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Si B ⊂ E es un conjunto medible, entonces m(B) = 0, pues
∞⋃k=1
(rk + B) ⊂∞⋃k=1
Ek ⊂ [−1, 2],
y al ser los conjuntos rk + B medibles y disjuntos dos a dos, sededuce que
∞∑k=1
m(B) ≤ 3
Como [0, 1] ⊂⋃∞
k=1 Ek , se deduce que 1 ≤∑∞
k=1 m∗(E ), luego
m∗(E ) > 0. Por tanto, E no es medible Lebesgue
pues si lo fuera,su medida, de acuerdo con lo anterior, serıa nula.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Si B ⊂ E es un conjunto medible, entonces m(B) = 0, pues
∞⋃k=1
(rk + B) ⊂∞⋃k=1
Ek ⊂ [−1, 2],
y al ser los conjuntos rk + B medibles y disjuntos dos a dos, sededuce que
∞∑k=1
m(B) ≤ 3
Como [0, 1] ⊂⋃∞
k=1 Ek , se deduce que 1 ≤∑∞
k=1 m∗(E ), luego
m∗(E ) > 0. Por tanto, E no es medible Lebesgue pues si lo fuera,su medida, de acuerdo con lo anterior, serıa nula.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
CorolarioSea E el conjunto de Vitali. Entonces,
1. m∗(E ) > 0.
2. Si B ⊂ E y B ∈M1, entonces m(B) = 0.
3. m∗ no es aditiva.
Demostracion:Las dos primeras afirmaciones se han probado en la construcciondel conjunto de Vitali.Veamos la ultima, que nos dice que la medida exterior de Lebesgueno es finitamente aditiva en P(R).
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
CorolarioSea E el conjunto de Vitali. Entonces,
1. m∗(E ) > 0.
2. Si B ⊂ E y B ∈M1, entonces m(B) = 0.
3. m∗ no es aditiva.
Demostracion:Las dos primeras afirmaciones se han probado en la construcciondel conjunto de Vitali.Veamos la ultima, que nos dice que la medida exterior de Lebesgueno es finitamente aditiva en P(R).
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
CorolarioSea E el conjunto de Vitali. Entonces,
1. m∗(E ) > 0.
2. Si B ⊂ E y B ∈M1, entonces m(B) = 0.
3. m∗ no es aditiva.
Demostracion:Las dos primeras afirmaciones se han probado en la construcciondel conjunto de Vitali.Veamos la ultima, que nos dice que la medida exterior de Lebesgueno es finitamente aditiva en P(R).
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
CorolarioSea E el conjunto de Vitali. Entonces,
1. m∗(E ) > 0.
2. Si B ⊂ E y B ∈M1, entonces m(B) = 0.
3. m∗ no es aditiva.
Demostracion:
Las dos primeras afirmaciones se han probado en la construcciondel conjunto de Vitali.Veamos la ultima, que nos dice que la medida exterior de Lebesgueno es finitamente aditiva en P(R).
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
CorolarioSea E el conjunto de Vitali. Entonces,
1. m∗(E ) > 0.
2. Si B ⊂ E y B ∈M1, entonces m(B) = 0.
3. m∗ no es aditiva.
Demostracion:Las dos primeras afirmaciones se han probado en la construcciondel conjunto de Vitali.
Veamos la ultima, que nos dice que la medida exterior de Lebesgueno es finitamente aditiva en P(R).
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
CorolarioSea E el conjunto de Vitali. Entonces,
1. m∗(E ) > 0.
2. Si B ⊂ E y B ∈M1, entonces m(B) = 0.
3. m∗ no es aditiva.
Demostracion:Las dos primeras afirmaciones se han probado en la construcciondel conjunto de Vitali.Veamos la ultima, que nos dice que la medida exterior de Lebesgueno es finitamente aditiva en P(R).
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
CorolarioSea E el conjunto de Vitali. Entonces,
1. m∗(E ) > 0.
2. Si B ⊂ E y B ∈M1, entonces m(B) = 0.
3. m∗ no es aditiva.
Demostracion:Las dos primeras afirmaciones se han probado en la construcciondel conjunto de Vitali.Veamos la ultima, que nos dice que la medida exterior de Lebesgueno es finitamente aditiva en P(R).
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Observemos que si G es un conjunto abierto tal que
[0, 1] \ E ⊂ G
entonces [0, 1] \ G ⊂ E , luego m([0, 1] \ G ) = 0. Como
[0, 1] = ([0, 1] \ G ) ∪ ([0, 1] ∩ G )
se sigue que
1 = m([0, 1] \ G ) + m([0, 1] ∩ G ) = m([0, 1] ∩ G )
y, por tanto, m(G ) ≥ 1, de donde m∗([0, 1] \ E ) = 1.Por tanto,
m∗(E ) + m∗([0, 1] \ E ) = m∗(E ) + 1 > 1 = m∗([0, 1]).
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Observemos que si G es un conjunto abierto tal que
[0, 1] \ E ⊂ G
entonces [0, 1] \ G ⊂ E , luego m([0, 1] \ G ) = 0. Como
[0, 1] = ([0, 1] \ G ) ∪ ([0, 1] ∩ G )
se sigue que
1 = m([0, 1] \ G ) + m([0, 1] ∩ G ) = m([0, 1] ∩ G )
y, por tanto, m(G ) ≥ 1, de donde m∗([0, 1] \ E ) = 1.Por tanto,
m∗(E ) + m∗([0, 1] \ E ) = m∗(E ) + 1 > 1 = m∗([0, 1]).
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Observemos que si G es un conjunto abierto tal que
[0, 1] \ E ⊂ G
entonces
[0, 1] \ G ⊂ E , luego m([0, 1] \ G ) = 0. Como
[0, 1] = ([0, 1] \ G ) ∪ ([0, 1] ∩ G )
se sigue que
1 = m([0, 1] \ G ) + m([0, 1] ∩ G ) = m([0, 1] ∩ G )
y, por tanto, m(G ) ≥ 1, de donde m∗([0, 1] \ E ) = 1.Por tanto,
m∗(E ) + m∗([0, 1] \ E ) = m∗(E ) + 1 > 1 = m∗([0, 1]).
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Observemos que si G es un conjunto abierto tal que
[0, 1] \ E ⊂ G
entonces [0, 1] \ G ⊂ E ,
luego m([0, 1] \ G ) = 0. Como
[0, 1] = ([0, 1] \ G ) ∪ ([0, 1] ∩ G )
se sigue que
1 = m([0, 1] \ G ) + m([0, 1] ∩ G ) = m([0, 1] ∩ G )
y, por tanto, m(G ) ≥ 1, de donde m∗([0, 1] \ E ) = 1.Por tanto,
m∗(E ) + m∗([0, 1] \ E ) = m∗(E ) + 1 > 1 = m∗([0, 1]).
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Observemos que si G es un conjunto abierto tal que
[0, 1] \ E ⊂ G
entonces [0, 1] \ G ⊂ E , luego
m([0, 1] \ G ) = 0. Como
[0, 1] = ([0, 1] \ G ) ∪ ([0, 1] ∩ G )
se sigue que
1 = m([0, 1] \ G ) + m([0, 1] ∩ G ) = m([0, 1] ∩ G )
y, por tanto, m(G ) ≥ 1, de donde m∗([0, 1] \ E ) = 1.Por tanto,
m∗(E ) + m∗([0, 1] \ E ) = m∗(E ) + 1 > 1 = m∗([0, 1]).
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Observemos que si G es un conjunto abierto tal que
[0, 1] \ E ⊂ G
entonces [0, 1] \ G ⊂ E , luego m([0, 1] \ G ) = 0.
Como
[0, 1] = ([0, 1] \ G ) ∪ ([0, 1] ∩ G )
se sigue que
1 = m([0, 1] \ G ) + m([0, 1] ∩ G ) = m([0, 1] ∩ G )
y, por tanto, m(G ) ≥ 1, de donde m∗([0, 1] \ E ) = 1.Por tanto,
m∗(E ) + m∗([0, 1] \ E ) = m∗(E ) + 1 > 1 = m∗([0, 1]).
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Observemos que si G es un conjunto abierto tal que
[0, 1] \ E ⊂ G
entonces [0, 1] \ G ⊂ E , luego m([0, 1] \ G ) = 0. Como
[0, 1] = ([0, 1] \ G ) ∪ ([0, 1] ∩ G )
se sigue que
1 = m([0, 1] \ G ) + m([0, 1] ∩ G ) = m([0, 1] ∩ G )
y, por tanto, m(G ) ≥ 1, de donde m∗([0, 1] \ E ) = 1.Por tanto,
m∗(E ) + m∗([0, 1] \ E ) = m∗(E ) + 1 > 1 = m∗([0, 1]).
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Observemos que si G es un conjunto abierto tal que
[0, 1] \ E ⊂ G
entonces [0, 1] \ G ⊂ E , luego m([0, 1] \ G ) = 0. Como
[0, 1] = ([0, 1] \ G ) ∪ ([0, 1] ∩ G )
se sigue que
1 = m([0, 1] \ G ) + m([0, 1] ∩ G ) = m([0, 1] ∩ G )
y, por tanto, m(G ) ≥ 1, de donde m∗([0, 1] \ E ) = 1.Por tanto,
m∗(E ) + m∗([0, 1] \ E ) = m∗(E ) + 1 > 1 = m∗([0, 1]).
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Observemos que si G es un conjunto abierto tal que
[0, 1] \ E ⊂ G
entonces [0, 1] \ G ⊂ E , luego m([0, 1] \ G ) = 0. Como
[0, 1] = ([0, 1] \ G ) ∪ ([0, 1] ∩ G )
se sigue que
1 = m([0, 1] \ G ) + m([0, 1] ∩ G ) = m([0, 1] ∩ G )
y, por tanto, m(G ) ≥ 1, de donde m∗([0, 1] \ E ) = 1.Por tanto,
m∗(E ) + m∗([0, 1] \ E ) = m∗(E ) + 1 > 1 = m∗([0, 1]).
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Observemos que si G es un conjunto abierto tal que
[0, 1] \ E ⊂ G
entonces [0, 1] \ G ⊂ E , luego m([0, 1] \ G ) = 0. Como
[0, 1] = ([0, 1] \ G ) ∪ ([0, 1] ∩ G )
se sigue que
1 = m([0, 1] \ G ) + m([0, 1] ∩ G ) = m([0, 1] ∩ G )
y, por tanto, m(G ) ≥ 1, de donde m∗([0, 1] \ E ) = 1.Por tanto,
m∗(E ) + m∗([0, 1] \ E ) = m∗(E ) + 1 > 1 = m∗([0, 1]).
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Observemos que si G es un conjunto abierto tal que
[0, 1] \ E ⊂ G
entonces [0, 1] \ G ⊂ E , luego m([0, 1] \ G ) = 0. Como
[0, 1] = ([0, 1] \ G ) ∪ ([0, 1] ∩ G )
se sigue que
1 = m([0, 1] \ G ) + m([0, 1] ∩ G ) = m([0, 1] ∩ G )
y, por tanto, m(G ) ≥ 1, de donde m∗([0, 1] \ E ) = 1.
Por tanto,
m∗(E ) + m∗([0, 1] \ E ) = m∗(E ) + 1 > 1 = m∗([0, 1]).
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Observemos que si G es un conjunto abierto tal que
[0, 1] \ E ⊂ G
entonces [0, 1] \ G ⊂ E , luego m([0, 1] \ G ) = 0. Como
[0, 1] = ([0, 1] \ G ) ∪ ([0, 1] ∩ G )
se sigue que
1 = m([0, 1] \ G ) + m([0, 1] ∩ G ) = m([0, 1] ∩ G )
y, por tanto, m(G ) ≥ 1, de donde m∗([0, 1] \ E ) = 1.Por tanto,
m∗(E ) + m∗([0, 1] \ E ) = m∗(E ) + 1 > 1 = m∗([0, 1]).
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
Observemos que si G es un conjunto abierto tal que
[0, 1] \ E ⊂ G
entonces [0, 1] \ G ⊂ E , luego m([0, 1] \ G ) = 0. Como
[0, 1] = ([0, 1] \ G ) ∪ ([0, 1] ∩ G )
se sigue que
1 = m([0, 1] \ G ) + m([0, 1] ∩ G ) = m([0, 1] ∩ G )
y, por tanto, m(G ) ≥ 1, de donde m∗([0, 1] \ E ) = 1.Por tanto,
m∗(E ) + m∗([0, 1] \ E ) = m∗(E ) + 1 > 1 = m∗([0, 1]).
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
I El ejemplo de Vitali prueba que es imposible construir unamedida σ-aditiva para todos los subconjuntos de R, que seaademas invariante por traslaciones y asigne a cada intervalosu longitud.
I Se han obtenido extensiones a familias de conjuntosestrictamente mas grandes que la σ-algebra de mediblesLebesgue.
I La existencia de conjuntos no medibles es consecuencia delaxioma de eleccion.
I Esto no quiere decir que sin tal axioma se pueda demostrarque todo conjunto es medible. Si se sustituye el axioma deeleccion por la hipotesis del continuo, se pueden construirconjuntos no medibles.
I Solovay ha probado que es concebible un modelo matematicocon la axiomatica Zermelo-Fraenkel en el que todos losconjuntos son medibles Lebesgue. En concreto, la proposiciontodo conjunto es medible Lebesgue es consistente con laaxiomatica ZF.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
I El ejemplo de Vitali prueba que es imposible construir unamedida σ-aditiva para todos los subconjuntos de R, que seaademas invariante por traslaciones y asigne a cada intervalosu longitud.
I Se han obtenido extensiones a familias de conjuntosestrictamente mas grandes que la σ-algebra de mediblesLebesgue.
I La existencia de conjuntos no medibles es consecuencia delaxioma de eleccion.
I Esto no quiere decir que sin tal axioma se pueda demostrarque todo conjunto es medible. Si se sustituye el axioma deeleccion por la hipotesis del continuo, se pueden construirconjuntos no medibles.
I Solovay ha probado que es concebible un modelo matematicocon la axiomatica Zermelo-Fraenkel en el que todos losconjuntos son medibles Lebesgue. En concreto, la proposiciontodo conjunto es medible Lebesgue es consistente con laaxiomatica ZF.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
I El ejemplo de Vitali prueba que es imposible construir unamedida σ-aditiva para todos los subconjuntos de R, que seaademas invariante por traslaciones y asigne a cada intervalosu longitud.
I Se han obtenido extensiones a familias de conjuntosestrictamente mas grandes que la σ-algebra de mediblesLebesgue.
I La existencia de conjuntos no medibles es consecuencia delaxioma de eleccion.
I Esto no quiere decir que sin tal axioma se pueda demostrarque todo conjunto es medible. Si se sustituye el axioma deeleccion por la hipotesis del continuo, se pueden construirconjuntos no medibles.
I Solovay ha probado que es concebible un modelo matematicocon la axiomatica Zermelo-Fraenkel en el que todos losconjuntos son medibles Lebesgue. En concreto, la proposiciontodo conjunto es medible Lebesgue es consistente con laaxiomatica ZF.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
I El ejemplo de Vitali prueba que es imposible construir unamedida σ-aditiva para todos los subconjuntos de R, que seaademas invariante por traslaciones y asigne a cada intervalosu longitud.
I Se han obtenido extensiones a familias de conjuntosestrictamente mas grandes que la σ-algebra de mediblesLebesgue.
I La existencia de conjuntos no medibles es consecuencia delaxioma de eleccion.
I Esto no quiere decir que sin tal axioma se pueda demostrarque todo conjunto es medible. Si se sustituye el axioma deeleccion por la hipotesis del continuo, se pueden construirconjuntos no medibles.
I Solovay ha probado que es concebible un modelo matematicocon la axiomatica Zermelo-Fraenkel en el que todos losconjuntos son medibles Lebesgue. En concreto, la proposiciontodo conjunto es medible Lebesgue es consistente con laaxiomatica ZF.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn
Repaso de espacios medibles y medidas positivasIntervalos en Rn . Volumen de un intervalo
Medida de abiertosMedida exterior de Lebesgue
Medida de Lebesgue en Rn
Invariancia de la medida de LebesgueExistencia de conjuntos no medibles Lebesgue
I El ejemplo de Vitali prueba que es imposible construir unamedida σ-aditiva para todos los subconjuntos de R, que seaademas invariante por traslaciones y asigne a cada intervalosu longitud.
I Se han obtenido extensiones a familias de conjuntosestrictamente mas grandes que la σ-algebra de mediblesLebesgue.
I La existencia de conjuntos no medibles es consecuencia delaxioma de eleccion.
I Esto no quiere decir que sin tal axioma se pueda demostrarque todo conjunto es medible. Si se sustituye el axioma deeleccion por la hipotesis del continuo, se pueden construirconjuntos no medibles.
I Solovay ha probado que es concebible un modelo matematicocon la axiomatica Zermelo-Fraenkel en el que todos losconjuntos son medibles Lebesgue. En concreto, la proposiciontodo conjunto es medible Lebesgue es consistente con laaxiomatica ZF.
Tema 1. Medida de Lebesgue en Rn