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Tema 10:
DINÁMICA
Javier F. Urchueguía SchölzelCurso 2010 – 2011
GRUPO D - Física I - Grado de Ingeniero en Tecnologías Industriales
Índice general
10.Dinámica 3
10.1.Las leyes de la dinámica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
10.2.Dinámica del punto y de los sistemas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
10.2.1.Cantidad de movimiento – Teorema del CDM . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
10.2.2.Momento cinético y teorema del momento cinético . . . . . . . . . . . . . . 11
10.2.3.Trabajo mecánico en traslación y rotación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
10.2.4.La potencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
10.2.5.Energía cinética . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
10.2.6.Trabajo de las fuerzas interiores y teorema de conservación de la energía . . 23
10.3.Dinámica de los sólidos rígidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
10.3.1.Movimiento baricéntrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
10.3.2.Movimiento no–baricéntrico en torno a un punto fijoO . . . . . . . . . . . . 28
10.3.3.Energía cinética de un SR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
10.4.Dinámica percusiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
10.4.1.Choques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
10.4.2.Percusiones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2
CAPÍTULO 10
Dinámica
10.1. Las leyes de la dinámica
En dinámicaestudiamos la interrelación entre fuerzas y movimiento. Las leyes que la go-biernan deben ser estudiadas en principio sobre el punto material para poder generalizarse en unsegundo paso a otros sistemas como los sólidos rígidos u otros sistemas continuos (como fluidoso gases). A lo largo de los temas precedentes se habló de la noción de equilibrio, muy ligado a laidea de fuerza en su acepción estática, pero, ¿qué ocurre cuando no existe equilibrio?
Supongamos que – en el sistema S – el puntoP se hallase sometido a una serie de fuerzas,que pueden ser: (1) fuerzas exteriores (EFi ) debidas a campos gravitacionales (pesos), electromag-néticos, etc …o bien, (2) fuerzas de contacto, reacción o apoyo (ERi ) que impiden el movimientosegún alguno de los tres grados de libertad del punto. En Estática estudiamos que si la resultantegeneral de todas las fuerzas que actúan simultáneamente sobreP es nula:
ER =∑
i
EFi + ERi = E0,
se dice entonces queP se encuentra “en equilibrio”. Esta observación se recoge en el llamadoprincipio de inercia llamado también,“primera ley de Newton”:
Ley 10.1Todo punto sobre el que no exista acción mecánica permanece en reposo o enmovimiento rectilíneo uniforme
Desde el punto de vista de la mecánica es completamente indiferente siP se halla en reposo
3
respecto de un sistema S u otro en movimiento uniforme relativo respecto de este, pero es necesarioinsistir en que la ley anterior no es válida en cualquier sistema de referencia. Aquellos en quese cumple reciben el nombre de “sistemas inerciales”, en contraposición están los sistemas “noinerciales”, aquellos en que la ley de inercia no se cumple. La observación que acabamos dehacer sobre la equivalencia de sistemas en traslación uniforme relativa implica por tanto que:
Ley 10.2Si un sistema es inercial, cualquier otro en relación de traslación uniformerelativo lo será también.
¿Qué ocurre cuando se altera la condición de equilibrio, por ejemplo, eliminando los elementosque realizan la condición de enlace? El puntoP queda entonces en libertad de moverse bajola acción de las fuerzasEFi quedando bajo la influencia de la “segunda ley de Newton” tambiéndenominada “ecuación fundamental de la mecánica” :
Ley 10.3Bajo la acción de una fuerzaEFi la partícula tomará una aceleración cuyadirección coincide con la de ésta y cuya magnitud o módulo es el de éstadividido por la masa inertem del punto. En notación vectorial ello se resumeen:
Ea =
∑i
EFi
m
Una fuerza es pues todo aquello capaz de producir deformaciones, pero también movimiento.Observamos en particular que, si en un sistema (inercial)
∑i
EFi = E0 entoncesEa = E0 y el puntoseguirá en movimiento uniforme caracterizado porEv = cst. tal como establece el principio deinercia.
Supongamos que en un instante dado y desde el referencial S un punto está sometido a lafuerza resultanteEF y su aceleración viene dada por la relación (1.3). Podemos comprobar entoncesque para cualquier otro referencial S′ en traslación uniforme relativa también es cierta la relación(1.3)1. La razón es simplemente que la aceleración vista desde uno u otro referencial es la misma,tal como discutimos al abordar la ley de Coriolis en el caso particular de la transformación deGalileo. En otras palabras: “en todos los sistemas inerciales se cumple igualmente la segunda leyde Newton”, afirmación que suele resumirse también como “postulado de la relatividad” :
1Ello presupone que las fuerzasEFi no sufren cambio según se expresen en uno u otro referencial, es decir, que per-manecen invariantes. Ello es cierto cuando trabajamos en el ámbito de la mecánica clásica, no así cuando consideramoscorrecciones relativistas.
Ley 10.4Postulado de la relatividad (galileana)Las leyes de la mecánica permanecen insensibles a un cambio de observadorentre sistemas inerciales.
La ley fundamental de la mecánica se expresa, desde el punto de vista matemático, en forma desistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias de segundo grado, donde la solución al “problemade la dinámica” consiste en obtener la trayectoriaEr (t) de P a partir de la expresión matemáticadel campo vectorial que describe la fuerza,EF(x, y, z) y su posición y velocidad inicial. En estesentido, la teoría de ecuaciones diferenciales garantiza que, en condiciones adecuadas, la solucióna dicho problema es única.
Así, siendo,Er (t) = x(t)x + y(t)y + z(t)z la trayectoria deP y EF(x, y, z) = Fx(x, y, z)x +Fy(x, y, z)y + Fz(x, y, z)z la fuerza expresada según un sistema de ejes cartesianos, las ecua-ciones de la dinámica se definirían como:
md2xdt2
= Fx(x, y, z)
md2ydt2
= Fy(x, y, z)
md2zdt2
= Fz(x, y, z)
(10.1)
cuyas soluciones se obtienen en la forma de un sistema de funciones (llamadas “trayectorias”)dadas por:
x(t, c1, c2, c3, c4, c5, c6), y(t, c1, c2, c3, c4, c5, c6), z(t, c1, c2, c3, c4, c5, c6),
siendoci las constantes que expresan las condiciones iniciales del problema, y que puedenrepresentar, por ejemplo, la posición y velocidad inicial deP.
Ejemplo 10.1 Movimiento unidimensional bajo la acción de un resorte.
SeaP un punto de masam unido a un resorte de constante elásticaK y situado de la manera quemuestra la figura. El movimiento deP se orienta según el ejeX y la ecuación que lo describe sereduce a:
d2x
dt2= −K x,
(parax = 0 el resorte se hallaría en su longitud natural).
Para la solución de la ecuación anterior, consideramos en primer lugar que, teniendo en cuenta quev = dx/dt y por la regla de la cadena:
d2x
dt2= v
dv
dx
con lo que:
mvdv
dx= −K x,
permite una integración directa por el método de la separación de variables, dando lugar a:
∫ v
v0
v dv = −K
m
∫ x
0x dx,
y donde al fijar los límites de integración estaríamos indicando que en la posición inicialx = 0 lavelocidad del puntoP estaría dada porv0, mientras que en la posición finalx0 la velocidad seríav .
La solución a la “primera integral” es por tanto:
(v20 − v2) =
K
mx2 ≡ ω2 x2,
conω =√
K/m. Obtenemos, despejando parav e integrando de nuevo:
v =dx
dt= ±
√v2
0 − ω2 x2
con lo que, separando variables e integrando:
∫ t
t0dt = ±
∫ x
0
dx√
v20 − ω2x2
,
queda finalmente:
t − t0 = ±1
ωarc sen(
ω x
v0),
La relación inversa nos permite obtener la dinámica que buscamos:
x(t, v0) = ±v0
ωsenω(t − t0),
expresión que constituye un caso de lo que conoce como “movimiento armónico simple” (M.A.S.)y que representa la base del estudio de la dinámica de resortes (o de muchos sistemas alrededor desus posiciones de equilibrio).
En apartados posteriores estudiaremos más de cerca las propiedades de los M.A.S.; en este casose ha pretendido únicamente ilustrar con un ejemplo la mecánica de la obtención de la dinámicaa partir de las ecuaciones de movimiento. La solución particular obtenida es válida cuando en laposición que corresponde al resorte no – extendido (x = 0 ) la velocidad del punto valev0.
Masa inerte y gravitatoria En la ecuación general de la dinámica aparece la masainerte, m,de una partícula como relación entre la fuerza aplicada y la aceleración que ésta experimenta.Por otro lado, al hablar del peso de una partícula sometida a la gravedadEg, este viene dado por:
EF = m′ Eg,
siendom′ la llamada,masa gravitatoria.
La evidencia experimental, al mostrar por ejemplo que cuerpos con diferentes masas sufrenla misma aceleración en caída libre, señala que – aunque conceptualmente diferentes – masainerte y gravitatoria poseen el mismo valor, es decir:
m = m′.
No es hasta el establecimiento de la Teoría General de la Relatividad de Albert Einstein, enque la identidad de ambas se postula como principio, que se dispone de un marco más generalen que situar esta llamativa coincidencia. En efecto, el hecho de que todos los cuerpos, conindependencia de su masa, poseen localmente la misma aceleración en un campo de gravedad,permite reinterpretar la gravedad como una alteración de la geometría del espacio–tiempo.
10.2. Dinámica del punto y de los sistemas
En el contexto de este tema unsistemase entiende como un conjunto de puntos–masa opartículas. Como se vió en el capítulo de Estática, las fuerzas con las que interactúan entre si,reciben el nombre deinternas, mientras que las fuerzasexternastendrían su origen fuera delsistema.
Para resolver de modo completo la dinámica de un sistema deN partículas, dando las coor-denadas en función del tiempo de cada una de ellas, haría falta resolver sistemas de ecuacionesdiferenciales de 3N ecuaciones además de especificar 6N grados de libertad o condiciones inicia-les independientes (en sistemas continuos o en sólidos serían estrictamente infinitas ecuaciones).
Amén de la dificultad que ello supone en general, normalmente no estamos interesados entratar problemas a tanto nivel de detalle. Así, si por ejemplo estudiamos termodinámica, a pesar deque en principio cada molécula constituye un punto individual, nos contentamos con operar conmagnitudes que reflejan el comportamiento promedio del conjunto (como presión y temperatura),para cuyo estudio derivamos leyes propias (a partir de la estadística).
Otros problemas de gran interés en Ingeniería son los que se refieren al movimiento de lossólidos rígidos, en que, a pesar de ser cuerpos continuos en realidad el movimiento posee comomucho 6 grados de libertad, reduciéndose en proporción el número de ecuaciones diferencialesque rigen la dinámica.
Las próximas secciones tratan el problema general de la dinámica de sistemas y de cómodescribir la evolución de magnitudes que reflejan el movimiento del conjunto, tales como lacantidad de movimiento y el momento cinético, a partir de las fuerzas operantes. Estas cantidadesson útiles para establecer el estudio simplificado de la dinámica. En la sección siguiente, seaplicarán estas igualdades al caso específico de los cuerpos rígidos, para hallar las denominadas“ecuaciones de Euler’, fundamentales en el estudio de la dinámica de los sistemas indeformables.
10.2.1. Cantidad de movimiento – Teorema del CDM
Definición
Definimos el impulso o cantidad de movimiento de un punto referido a unsistema de referencia S para el cuál su velocidad está dada porEv , como:
Ep = mEv
En el Sistema Internacional la cantidad de movimiento posee dimensiones de[M ] [ L] [T ]−1 cuya unidad derivada es el kg∙ m ∙ s−1.
Es importante notar que ley general de la dinámica puede reformularse en función de la cantidadde movimiento, ya que si la masa del punto o partícula no depende del tiempo:
d Ep
dt=
d(mEv)
dt= m
dEv
dt= mEa = EF,
es decir:
Ley 10.6(Segunda ley de la dinámica)La variación de la cantidad de movimiento de una partícula es igual a lafuerza resultante que se le aplica:
Ep = EF
Como caso particular, de nuevo, tenemos que siEF = E0, entoncesEp = const.y obtenemos así, como caso particular, laley de conservación de la cantidadde movimiento:“Una partícula sometida a un campo de fuerzas nulo, conserva su cantidad demovimiento”.
Por otro lado, de la integración de la ley de la dinámica obtenemos que:
∫ 2
1d Ep = Ep2 − Ep1 =
∫ t2
t1
EF dt,
donde la cantidad a la derecha de la igualdad recibe el nombre de “impulso mecánico” (recibidopor la partícula entre los instantest1 y t2). Es decir,
Ley 10.7La diferencia entre la cantidad de movimiento de una partícula entre dospuntos de su trayectoria es igual al impulso mecánico que ésta recibe.
Cantidad de movimiento de un sistema
Definición
Se define la cantidad de movimiento (o impulso) de un sistema, como:
EP =N∑
i =1
mi Epi ,
siendomi la masa yEpi la cantidad de movimiento de cada partícula o parteperteneciente al sistema.
Si sobre la i–ava partícula operan las fuerzas exterioresEFexti e interioresEFint
i , en virtud de la leygeneral de la dinámica:
Epi = EFexti + EFint
i ,
por lo que, para la variación de la cantidad de movimiento (o impulso) del sistema se calcularíacomo:
d EP
dt=
N∑
i =1
Epi =N∑
i =1
E(Fexti + EFint
i ) =N∑
i =1
EFexti = ERext,
en resumen, la variación en el tiempo de la cantidad de movimiento del sistemasólo depende dela resultante de las fuerzas exterioresque aplican al mismo. La razón de ello es que las fuerzasinteriores se anulan por pares al sumarse sobre todas las partes del sistema.
Como corolario, en un sistema sobre el que no actúan fuerzas exteriores netas no se modificala cantidad de movimiento, por otro lado,para el impulso o variación de la cantidad demovimiento del sistema entre dos instantes tendríamos:
EP1 − EP0 =∫ 1
0
ERext.
Propiedades dinámicas del CDM
Recordando la definición del Centro de Masas de un sistema de partículas,
ErG =
∑Ni =1 mi Eri
M,
siendoM =∑
mi la masa total del mismo, podemos comprobar que:
EP =∑
i
mi Evi = M EvG,
dondeEvG es la velocidad del Centro de Masas del sistema. Ello nos lleva directamente alteoremadel Centro de Masas
Ley 10.9(Teorema del CDM)En un sistema de material, de partículas o puntos–masa:
d EP
dt= M EaG = ERext,
dondeM es la masa total del sistema yEaG la aceleración del Centro de Masas.Observamos que, por analogía a la dinámica de un punto,el CDM tiene lamisma trayectoria que un punto con la masa total del sistema sometidoa la resultante de todas las fuerzas que actúan sobre el conjunto.
10.2.2. Momento cinético y teorema del momento cinético
Definición
Sea, en general una partícula o punto–masa situada en la posición P conrespecto a un cierto sistema de ejes S, con respecto del cuál la partícula poseevelocidad dada porEv . Su momento cinético con respecto al centroA sedefine como:
EL A = EAP × Ep
magnitud cuyas dimensiones son de[M ] [ L]2 [T ]−1 (y cuya unidad en el SIcorresponde a kg∙ m2 ∙ s−1).
Momento cinético absoluto y relativoCuando estudiamos el movimiento relativo, hemos de especificar no sólo lael centro respecto al cuál se define el momento cinético, sino también a quésistema de ejes (fijos o móviles) se refiere la velocidad, así con:
EL A = EAP × mEv,
se denotaría el “momento cinético absolutorespecto al centro O de la par-tícula o punto–masa situada en la posición A” cuando la velocidadEv es lavelocidad (absoluta) de la partícula medidadesde el sistema de ejes fijosS; {O1, X1, Y1, Z1}.Por otro lado:
EL ′A = EAP × mEv ′,
se refiere al “momento cinético relativo respecto al centro O de la partí-cula o punto–masa situada en la posición A” cuando la velocidadEv ′ es lavelocidad (relativa) de la partícula medidadesde el sistema de ejes móviles,S′; {O, X, Y, Z}.
Momento cinético respecto a ejes fijos y teorema de König2
El momento cinético de un sistema material viene dado, sencillamente, por la suma de losmomentos cinéticos de cada una de sus partes; con arreglo a ello, tenemos, para un sistemacompuesto porN puntos, la definición siguiente:
2Samuel König: matemático alemán del S.XVIII que estudió, entre otras cuestiones, las leyes de la mecánica.
Definición
Respecto alsistema de ejes fijoS;{O1, x1, y1, z1
}, el momento cinético ab-
soluto de un sistema deN puntos–masa respecto al centro de momentosAviene determinado por:
EL A =N∑
i =1
EAPi × Epi , (10.2)
siendo Epi = mi Evi la cantidad de movimiento yEAPi el vector posición a laposición que ocupa cada punto–masa respecto al centro de momentosA.De manera correspondiente:
EL A =N∑
i =1
EAPi × Ep′i , (10.3)
siendo ahoraEp′i = mi Ev ′
i y Ev ′i la velocidad relativa a S′ de cada una de las partí-
culas es elmomento cinético relativodel sistema material, medido respectoa los ejes móviles S′;
{O, x, y, z
}.
Teorema de König Para un sistema, el momento cinético depende del punto respecto al cuál seexpresa. Si en particular comparamos el momento cinético respecto a un centro arbitrarioA conel momento cinético respecto al Centro De Masas (CDM), obtenemos que:
EL A =N∑
i =1
EAPi × Epi =N∑
i =1
( EAG + EG Pi ) × Epi = EAG ×N∑
i =1
Epi
︸ ︷︷ ︸EP
+N∑
i =1
EG Pi × Epi
︸ ︷︷ ︸ELG
, (10.4)
Obtenemos así el denominado Teorema de König:
Ley 10.12Teorema de König
EL A = EAG × M EvG + ELG (10.5)
El momento cinético de un sistema alrededor de un centroA es la sumadel momento alrededor de su CDM, más el momento alrededor deA que elsistema tendría si toda su masa estuviese concentrada en su CDM.El movimiento (y el consiguiente momento cinético) alrededor del CDMrecibe el nombre demovimiento (o momento) baricéntrico del sistema
Relación entre los momentos relativo y absolutoResulta importante, en el análisis de muchosproblemas de dinámica, poder descomponer los momentos cinéticos – a partir de consideracionesde movimiento relativo – diferenciando la contribución del movimiento relativo al momentocinético total o absoluto. Observamos en primer lugar – a partir de las consideraciones del temade Cinemática – que el movimiento absoluto del punto–masa se descompone en la forma :
Evi = Ev0 + Eω × EO Pi + Ev ′i , (10.6)
siendoEω y Ev0, respectivamente, la rotación y velocidad del origen móvil (es decir, el torsor enel origen móvil) del movimiento del sistema móvil con respecto al fijo. Incluyendo la igualdadanterior en la expresión para el momento cinético absoluto y operando, obtenemos varios términosque pueden discutirse por separado:
1.N∑
i =1
EAPi × Ev0 = (
N∑
i =1
mi EAPi ) × Ev0 = M( EAG × Ev0), (10.7)
siendoG el CDM del sistema.
2.N∑
i =1
EAPi × mi ( Eω × EO Pi ) = M( Eω × ( EO A× EOG)) + [Y]0 ∙ Eω, (10.8)
y donde[Y]0 representa el tensor de inercia del sistema de puntos materiales con respectoa O.
En conjunto, obtenemos finalmente la relación:
Ley 10.13La relación entre el momento cinéticoEL A (o absoluto) de un sistema respectoal centro 0 y referido al referencial S y el momento cinético,EL ′
A (o relativo)con respecto a otro referencial cuyo torsor cinemático enO valiese{ω, Ev0}es:
EL A = M( EAG × Ev0) + M( Eω × ( EO A× EOG)) + [Y]0 ∙ Eω + EL ′A, (10.9)
donde[Y]0 es el tensor de inercia respecto al centro 0.
Casos particulares:
1. Sy S′ no tienen movimiento relativo. Es decir,Eω = E0 y Ev0 = E0. Entonces, momentocinético absoluto y relativo son iguales,
EL A = EL ′A, (10.10)
2. Instantáneamente S y S′ se mueven entraslación relativa, es decir,Eω = 0, entoncesEv0 esla velocidad de traslación del sistema móvil con respecto a los ejes fijos y:
EL A = M E(AG × Ev0) + EL ′A, (10.11)
3. Si la velocidad relativa de los todos los puntos fuese nula(Ev ′i = E0), es decir, éstos no
tuviesen movimiento relativo al sistema móvil, entoncesse anula el momento cinéticorelativo y tenemos:
EL A = M( EOG × Ev0) + M( Eω × ( EO A× EOG)) + [Y]0 ∙ Eω, (10.12)
este caso incluye a los sólidos rígidoscuandosetomaS′ comoel sistemadeejessolidariosal mismo.
En este caso, si además el sistemaO es un punto fijo (Ev0 = E0) tenemos simplemente que:
EL0 = [Y]0 ∙ Eω, (10.13)
expresión que puede aplicarse al sólido rígido en rotación con eje fijo, si situamos el origendel sistema móvil en dicho eje.
En la sección que sigue aplicaremos los principios obtenidos a la dinámica de los sólidosrígidos para obtener las ecuaciones que rigen su movimiento.
El teorema del momento cinético
Para el momento cinético de un punto masa, observamos que si la partícula está sometida a lafuerza EF y en virtud de la ley general de la Dinámica,
d EL A
dt=
d (Er × Ep)
dt= Er × EF
resultado que se conoce como “teorema del momento cinético”.
Ley 10.14La variación en el tiempo del momento cinético de una partícula es igual almomento respecto al origen (o principal) de las fuerzas que aplican sobre ésta.
EL A = EMA
Como caso particular, en el caso de fuerzas centrales (EF ‖ Er ; ∀t), tenemos queEL0 = 0 por loque el momento cinético permanece constante. Observamos de hecho que el momento cinéticoes, salvo directamente proporcional a la velocidad aerolar (E�), que se introdujo en el capítulo deCinemática, siendo:
EL A = m E�
Habiendo obtenido una expresión para el momento cinético de un sistema de puntos–masa oun cuerpo sólido, podemos ahora enunciar la ley que rige la variación en el tiempo de éste, pormedio de la derivada, así:
d EL A
dt=
d
dt
N∑
i =1
EAPi × Epi =N∑
i =1
d
dtEAPi × Epi +
N∑
i =1
EAPi ×d
dtEpi ,
donde rápidamente identificamos:
Epi = EFexti + EFint
i ,
y:EAPi = Evi − EvA,
de modo que obtenemos:
Para el primer término de la suma:
N∑
i =1
d
dtEAPi × Epi =
N∑
i =1
(Evi − EvA) × Epi = −N∑
i =1
EvA × Epi = (
N∑
i =1
Epi ) × EvA = M(EvG × Ev0)
Mientras que el segundo término de la suma vale:
N∑
i =1
EAPi ×d
dtEpi =
N∑
i =1
EAPi × ( EFexti + EFint
i ),
aquí es importante entender que sólo contribuyen al sumatorio anterior las fuerzas externas,ya que las internas no ejercen momento sobre el sistema. La razón de ello es que las fuerzasinternas forman un sistema nulo puesto que se sitúan sobre la misma linea de acción. Así:
N∑
i =1
EAPi ×d
dtEpi =
N∑
i =1
EAPi × ( EFexti ) = EMext
A ,
es el momento o par ejercido por el sistema de fuerzas externas sobre nuestro sistema departíoulas o puntos–masa.
Obtenemos en resumen el llamado teorema del momento cinético que establece:
Ley 10.15Teorema del momento cinéticoLa variación del momento cinético absoluto de un sistema viene dada por laacción de los pares o momentos de las fuerzas externas, siendo válido que:
d EL A
dt= M(EvG × EvA) + EMext
A ,
Ejemplo 10.2 En este caso vamos a analizar el momento cinético de una rueda que gira en círculoalrededor de un eje …
10.2.3. Trabajo mecánico en traslación y rotación
En estática definíamos el “trabajo virtual”,δW, asociado a un desplazamiento virtualδEr ,comoδW = EF ∙ δEr . En dinámica, el desplazamiento virtual pasa a ser un desplazamiento real–compatible también con las ligaduras del sistema– y por consiguiente el trabajo virtual pasaa ser trabajo real de las fuerzas que actúan sobre la partícula o punto–masa en un momentodeterminado.
Definición
El trabajo mecánico diferencial de las fuerzas aplicadas a una partícula opunto–masa a lo largo de un desplazamiento diferencialdEr a lo largo de unatrayectoria viene dado por:
dW = EF ∙ dEr
en particular, dicho trabajo es nulo cuando, o bien las fuerzas son nulas, nohay desplazamiento o bienEF ⊥ dEr .Las unidades del trabajo mecánico son[M ] [ L]2 [T ]−2, cuya unidad en elSistema Internacional recibe el nombre deJulio (J).
1J = 1 kg m2 s−2
El trabajo realizado por las fuerzas que actúan a lo largo de una trayectoria determinada entrelos puntosA y B del espacio viene dado por la integral de linea:
W =∫ B
A
EF ∙ dEr .
En este caso consideramos que la partícula se mueve en el seno de un campo de fuerzasEF(x, . . .)
que puede tener diferentes propiedades.
1. En el caso más general, las fuerzas podrían depender de factores como: la posición dela partícula, su velocidad (en el caso de las fuerzas de rozamiento) y el tiempo (fuerzasvariables o no–estacionarias). En esta situación existen pocas reglas generales aplicablesal cálculo del trabajo mecánico que en general dependerá de:
El punto inicial y final de la trayectoria
La trayectoria entreA y B
La velocidad con que se recorre
El momento en que se recorre, etc …
2. Los campos estacionarios y no–disipativos (ausencia de rozamiento) son aquellos en queEF = EF(x, y, z) sin que aparezcan otras dependencias explícitas en la función que describeel campo de fuerzas.
En este caso, el trabajo dependerá únicamente del punto inicial y final y puede variar segúnla trayectoria o camino recorrido entre ambos.
3. Si el campo de fuerzas es conservativo en el sentido de la definición siguiente:
Definición
Un campo conservativo es aquel para el que existe un funciónescalarV(x, y, z) de la cual dicho campo “deriva” a partir de la relación:
EF = −gradV = −∇V = −(
∂V
∂x,∂V
∂y,∂V
∂z
),
entonces el trabajo mecánico de las fuerzas viene dado sencillamente por ladiferencia de la función escalar entre el punto inicial y final de la trayectoria:
W = V(A) − V(B).
La funciónV que cumple la propiedad requerida recibe el nombre de “funciónpotencial” deEF o, sencillamente,potencial.
Para demostrar esta igualdad, observamos que, por la teoría de derivación de funciones demúltiples variables, el diferencial de la función:
dV =3∑
i =1
∂V
∂xidxi =
∂V
∂xdx +
∂V
∂ydy +
∂V
∂zdz = ∇V ∙ dEr ,
y por consiguiente:
W =∫ B
A
EF ∙ dEr = −∫ B
AdV = V(A) − V(B)
es decir:
Ley 10.18Cuando las fuerzas son conservativas, el trabajo que realizan a lo largo deuna trayectoria entre dos puntos, depende únicamente de éstos y no de latrayectoria seguida en sí.
En particular, el trabajo a lo largo de una trayectoria cerrada es siem-pre nulo:
W =∮
EF ∙ dEr = 0
Dado un determinado campo de fuerzas,EF(x, y, z), es posible saber si éste es o no con-servativo a partir del criterio de integrabilidad siguiente:
Ley 10.19Un campo de fuerzas es conservativo si (y sólo si) se cumple el criterio si-guiente:
∂Fx
∂y=
∂Fy
∂x∂Fy
∂z=
∂Fz
∂y∂Fz
∂x=
∂Fx
∂z
La condición anterior equivale a exigir que el campo vectorial denominado “rotacional”(de EF) sea nulo, siendo:
Definición
El “rotacional” de un campo vectorialEF = (Fx, Fy, Fz) viene dado por laexpresión:
rot EF =(
∂Fz
∂y−
∂Fy
∂z,∂Fx
∂z−
∂Fz
∂x,∂Fy
∂x−
∂Fx
∂y
)
Nótese que ésta expresión se obtiene por aplicación del operador∇ aplicadocomo producto vectorial al campoEF , es decir:
rot EF = ∇ × EF =
∣∣∣∣∣∣∣
x y z∂∙∂x
∂∙∂y
∂∙∂z
Fx Fy Fz
∣∣∣∣∣∣∣.
En definitiva, es válida la siguiente ley:
Ley 10.21Las siguientes propiedades asociadas a un campoEF son equivalentes desdeel punto de vista matemático:
a) El campo es conservativoExiste una función escalarV de la cual es posible derivarEF mediantela operación:
EF = −gradV
b) El trabajo en una trayectoria depende únicamente de sus extremos; eltrabajo a lo largo de cualquier trayectoria cerrada es nulo
c) El rotacional deEF es nulo (EF es irrotacional)
Ejemplo 10.3 ¿Es conservativo el campo de fuerzas de un resorte? Si es así, ¿cuál sería la funciónpotencial elástica?
Para empezar escribiremos la fuerza de un resorte (ver ejemplo anterior) en función de suscomponentes en un sistema de ejes en que la dirección de elongación del resorte se sitúesegún el ejeX, con el centro de oscilación del mismo situado sobre el origen de coordenadas.
Tenemos entonces:Fx = −K x; Fy = 0; Fz = 0
Aplicando el rotacional obtenemos de manera inmediata que:
rot EF = E0
(la única componente no nula del campo de fuerzas no depende dey ni de z de modo que∂yFx = 0 = ∂zFx).
Obtenemos que la fuerza de un resorte es conservativa. Para hallar la función potencialasociada, podemos realizar la siguiente integración:
V(0) − V(x) =∫ x
0−K xdx = −
1
2K x2.
Ahora es importante notar que la función potencial asociada a cualquier campo de fuerzasno está definida de manera única, sino que siempre podemos añadir un valor constante alpotencial en todos los puntos del campo sin que se altere el campo de fuerzas. Ello equivalea decir, que podemos fijar arbitrariamente el valor del potencial en un punto escogido.
En este caso fijamosV(0) = 0 y obtenemos:
V(x) =1
2K x2,
donde comprobamos que:
−gradV = −(∂xV, ∂yV, ∂z
)= (−K x, 0, 0)
como era de esperar.
Trabajo en un movimiento de rotación a eje fijo
Si consideramos un punto–masa o partícula moviéndose en trayectoria circular alrededorde un eje fijo, con velocidad angular dada porω, obtenemos para el trabajo diferencial, envirtud de la relaciónEv = dEr
dt = Eω × Er :
dW = EF ∙ dEr = EF ∙ ( Eω × Er ) dt
y teniendo en cuenta que:Eω dt = dEθ , se deduce que:
dW = EF ∙ (dEθ × Er )
y, finalmente, por las propiedades cíclicas del producto mixto:
dW = dEθ ∙ ( EF × Er ) = EM0 ∙ Edθ,
siendo EM0 el momento de la fuerzaEF con centro en 0.
10.2.4. La potencia
Definición
La potencia liberada por las fuerzas aplicadas a un punto–masa en movimientoviene dada por:
P =dW
dt,
siendoW el trabajo que realizan las mismas en un determinado instante.
Las dimensiones deP son[M ] [ L]2 [T ]−3 (cuya unidad en el SI recibe el nombre de Vatio(W); 1W = 1 kgm2s−3. Existen, por otra parte, unidades muy empleadas en Ingeniería yrelacionadas con la unidad Vatio y cuyas equivalencias son las siguientes:
1J = 1 Vatio ∙ s
1 kWh = 3,6 ∙ 106 J
10.2.5. Energía cinética
Definición
Un punto–masa o partícula de masa m y cuya velocidad respecto a un de-terminado sistema de referencia S seaEv posee una energía cinética definidapor:
T =1
2mv2
El duplo de la energía cinética – 2T– recibe el nombre de “fuerza viva”.
Como en los casos anteriores, la energía cinética de un sistema se definesencillamente como la suma de las energías cinéticas de sus diferentespartes. Ésta se puede descomponer en la energía cinética del movimientorelativo y la energía cinética asociada al movimiento del sistema como un todo:
T =1
2
N∑
i =1
mi Ev2i ,
siendomi y Evi la masa y velocidad (absoluta o respecto al sistema referencialfijo) de cada partícula.
Siguiendo el esquema de apartados anteriores, podemos asociar también una energía ciné-tica (relativa) a un referencial, S′, en movimiento con respecto del primero y para el cuállas partículas poseen velocidadEv ′
i . Tenemos, como siempre que:
Evi = Ev0 + Eω × EO Ai + Ev ′i ,
y vamos a considerar dos casos particulares:
S′ se mueve en traslación (continua) con respecto al sistema de ejes fijos, con lo queEω = 0. Se obtiene entonces:
Ev2i = Ev2
0 + 2 Ev0 ∙ Ev ′i + Ev ′
i
2
al sustituir en la expresión para la energía cinética:
T =1
2(
N∑
i =1
mi ) Ev20 + Ev0 ∙ (
N∑
i
mi Ev′i ) +
1
2
N∑
i
miEv ′i
2
ahora,si el centro O del sistema en traslación coincide siempre con el CDM delsistema material tendríamos que en todo instanteEv0 = EvG hemos visto ya conanterioridad que la cantidad de movimiento alrededor de dicho punto se anula, esdecir:
N∑
i
mi Ev′i = E0,
emergiendo la siguiente ley:
Ley 10.24(Teorema de König de la Energía Cinética)En el caso en que S′ se encuentre en traslación permanente respecto al sistemafijo con la velocidad del CDM, la energía cinética del sistema se descomponeen la forma:
T =1
2M Ev2
G +1
2
N∑
i
miEv ′i
2,
donde el segundo término refleja la energía cinética del movimiento alrededordel CDM (energía cinética relativa).
Un segundo caso de interés es elsólido rígido tomando como ejes en movimientorelativo los ejes solidarios (de modo queEv ′
i = E0 y Ev0 = EvG). Se obtiene, tras algo decálculo y considerando que entonces:
Ev2i = Ev2
G + 2 EvG ∙ ( Eω × EO Ai )
la siguiente:
Ley 10.25Para la energía cinética de un sólido rígido cuyo CDM se desplaza con velo-cidadEvG y cuya velocidad de rotación esEω se obtiene que:
T =1
2M Ev2
G +1
2EωT ∙ [Y]G ∙ Eω (10.14)
10.2.6. Trabajo de las fuerzas interiores y teorema de conservación de laenergía
Para la energía cinética en el caso de un único punto–masa,se observa de manera sencillaque la variación de la energía cinética a lo largo de un trayectoria es igual a la variacióndel trabajo:
dT
dt= mEv ∙
dEv
dt= mEv ∙ Ea = Ev ∙ EF = dW
La variación de energía cinética que experimenta un punto es su trayectoria es igual a lacantidad de trabajo que realizan la suma de fuerzas aplicadas. En el caso de sistemas, sinembargo, hemos de considerar el trabajo que realizarían las fuerzas interiores, que vienedado por:
dT
dt=∑
i
mi Evi ∙dEvi
dt=∑
i
mi Evi ∙ Eai =∑
i
Evi ∙ ( EFexti + EFint
i ),
y si bien la suma de las fuerzas interiores es nula, como ya se indicó, ello no es necesaria-mente cierto para la expresión conocida comotrabajo de las fuerzas interiores:
Wint =∑
i
Evi ∙ EFinti ,
ya que depende también de la trayectoria que en cada momento sigue cada partícula delsistema.
Podemos profundizar un poco más en esta cuestión si aislamos por pares el trabajo interiorde las partículas que ejercen acción mutua. Así, sobre la partículai podrían ejercer accióntodas excepto ella misma:
EFinti =
∑
j ; j 6=i
Efi j
con:
Efi j = − Ef j i ,
por el principio de acción–reacción. En definitiva, si las partículasi y j ejercen acciónmutua, su contribución al trabajo de las fuerzas interiores será:
Winti j = Efi j ∙ (Evi − Ev j ),
siendo el término entre paréntesis interpretable como la velocidad relativa entre ambas.Puede así verse que en el caso de que no existan velocidades relativas (sistemas indefor-mables) o bien si siempre(Evi − Ev j ) ⊥ Efi j , las fuerzas interiores no ejercen trabajo.
Tenemos en definitiva que:
dT
dt=∑
i
Evi ∙ ( EFexti + EFint
i ) = Wext + Wint .
El concepto de energía mecánicaEn el supuesto, especialmente representativo, en queuna parte de las fuerzas que actúan sobre el sistemafuesen de carácter conservativo, y,por consiguiente, éstas derivasen de una función potencial, y por tanto:
EFci = −gradVi ,
vimos en el anterior epígrafe que el trabajo que éstas aportan puede escribirse como lavariación en el tiempo del valor del potencial del sistema, entendido en este caso comosuma del potencial de todas las partes que forman parte del mismo:
V =N∑
i =1
Vi ,
y obtenemos entonces:
dT
dt= Wc + Wnc = −
dV
dt+ Wnc,
dondeWnc es el trabajo que realizan las fuerzas no–conservativas – que por lo común sondisipativasy realizan un trabajo negativo– y con arreglo a la observación anterior, quedaentonces claro que:
d(T + V)
dt= Wnc
siendo la cantidad resultante de la suma de energía cinética y potencial la llamadaenergíamecánica total, E = T + V . El teorema resultante establece que:
Ley 10.26En un sistema mecánico, la variación de energía mecánica que experimenta elsistema entre dos estados o instantes es igual al trabajo que entre éstos realizanlas fuerzas no-conservativasWnc
12, es decir :
E2 − E1 = Wnc12 .
En sistemas mecánicos conservativos o no–disipativos, el término de la iz-quierda es nulo y consiguientemente es válido elteorema de conservaciónde la energía mecánicaque establece que:
E = const.
10.3. Dinámica de los sólidos rígidos
En la presente sección aplicaremos los conocimientos y principios adquiridos en aparta-dos anteriores al caso específico de los sólidos rígidos o sistemas indeformables, tantotri–dimensionales como planos, para obtener expresiones matemáticas que rigen su mo-vimiento. Estas ecuaciones, conocidas como ecuaciones de Euler, describen en general elmovimiento de piezas, mecanismos o cualquier estructura en movimiento debido a las fuer-zas o momentos a ellas aplicadas y forman la base de disciplinas tales como laDinámicay Cinemática de Máquinas, una de las ramas importantes de la Ingeniería Mecánica.
La particularización de los teoremas del CDM y del momento cinético al caso de sistemasindeformables, nos lleva a dos casos que centraran el desarrollo del apartado:
a) Describimos el movimiento baricéntrico del sistema, desde su CDM o G
b) El movimiento se realiza alrededor de algún punto fijo que no es el CDM del sistema
10.3.1. Movimiento baricéntrico
En este caso, como ya vimos, la dinámica viene regida por el sistema de ecuacionessiguiente:
M EaG = ERext (10.15)
d ELG
dt= EMext
G (10.16)
donde el momento cinético absoluto – en este caso igual al relativo – vale :
ELG = [Y]G ∙ Eω (10.17)
obteniéndose por contracción del tensor de inercia en el CDM con el vector velocidad derotación del SR.
Si, tal como establecimos al hallar las expresiones para el momento cinético, queremosreferir el momento cinético a un sistema de ejes solidario obtenemos la ventaja de que eltensor de inercia no depende del tiempo, sin embargo debemos tener cuidado, ya que alobtener la derivada en el tiempo, ésta se refiere a la variación en el tiempo de la cantidadmomento cinético respecto al sistema de ejes fijos. La diferencia entre la variación de unamagnitud vectorial medida en ejes fijos respecto a su variación medida desde ejes móvilesviene determinada por la relación, ya discutida a lo largo del desarrollo de la cinemática:
d∙
dt
∣∣O1X1Y1Z1 =
d∙
dt|G XY Z + ( Eω × ∙)
relación que ahora podemos aplicar al momento cinético con lo que se obtiene:
d ELG
dt
∣∣O1X1Y1Z1 = [Y]G
d Eω
dt+ ( Eω × ELG)
Aún podemos simplificar algo las expresiones si, haciendo uso de la libertad de orientarlos ejes móviles, utilizamos como sistema móvil baricéntrico aquelsolidario y orientadosegún los ejes principales de inercia del sólido. La expresión del momento cinético conrespecto a dichos ejes móviles principales centrados
{GXYZ
}es:
[Y]G ∙ Eω =
JGx 0 00 JGy 00 0 JGz
◦
ωx
ωy
ωz
=
JGx ωx
JGy ωy
JGz ωz
(y notamos que el momento cinético no tiene por qué tener la misma dirección que lavelocidad angular en general, salvo en el caso del movimiento plano, en que sólo existeuna componente no–nula de la velocidad angular).
Por otro lado, tras un cálculo sencillo:
Eω × ELG =
−ωy ωz (JGy − JGz)
−ωx ωz (JGz − JGx)
−ωx ωy (JGx − JGy)
.
Combinando todos los resultadas anteriores resultan las conocidas como “Ecuaciones deEuler” resumidas a continuación.
Ley 10.27
Ecuaciones de Euler del movimiento general de un SR en torno asu CDMEl movimiento baricéntrico de un sólido rígido de masa M y matriz ppal. deinercial [Y]G viene determinado, con respecto a las direcciones principalesdel sólido, por el siguiente sistema de 6 ecuaciones:
MaGx = Rx MaGy = Ry MaGz = Rz (10.18)
JGx ωx − ωy ωz (JGy − JGz) = MGx (10.19)
JGyωy − ωx ωz (JGz − JGx) = MGy (10.20)
JGzωz − ωx ωy (JGx − JGy) = MGz (10.21)
donde ER y EMG se refieren a la resultante y momento resultante de las fuerzasexteriores aplicadas al sólido.
Movimiento plano del SR En el caso del movimiento plano de un sólido rígido, dondeexiste únicamente una dirección para el momento cinético y la velocidad angular, dichosistema de ecuaciones – de notable dificultad en el caso más general –se reduce a tres,ya que, tomando ejes principales de tal modo que el movimiento queda confinado a lascomponentes en el planoOXY – y por consiguienteωx = ωy = 0 – se obtiene:
Ley 10.28
Ecuaciones de Euler del movimiento plano de un SR en torno a suCDMEl movimiento baricéntrico de un sólido rígido de masa M y matriz ppal. deinercial [Y]G viene determinado, con respecto a las direcciones principalesdel sólido, por el siguiente sistema de 3 ecuaciones:
MaGx = Rx MaGy = Ry (10.22)
JGzωz = MGz (10.23)
donde ER y EMG se refieren a la resultante y momento resultante de las fuerzasexteriores aplicadas al sólido plano.
10.3.2. Movimiento no–baricéntrico en torno a un punto fijoO
Cuando un SR gira de manera que al menos uno de sus puntos – no necesariamente G –permanecen fijos (su velocidad respecto al sistema de ejes fijos permanece nula), resultade interés re-escribir las ecuaciones anteriores con respecto a dicho punto, ya que de estamanera en los momentos o pares de las fuerzas externas que aparecen a la derecha enecuación del momento cinético no contribuyen las reacciones de enlace en el punto fijo,reacciones éstas que por lo general no se conocen a priori.
En este caso la dinámica vendrá regida por el sistema de ecuaciones siguiente:
M EaG = ERext (10.24)
d EL O
dt= EMext
O (10.25)
siendo el momento cinético absoluto:
EL O = [Y]O ∙ Eω (10.26)
También en este caso nos conviene referir el momento cinético a un sistema de ejes solidario,centrados enO y dirigidos según las direcciones principales del tensor de inercia enO,aunque deberemos hacer las mismas consideraciones respecto a la variación en el tiempodel momento cinético que se comentaron en el epígrafe anterior, por lo que
d EL O
dt
∣∣O1X1Y1Z1 = [Y]O
d Eω
dt+ ( Eω × EL O)
Siendo con respecto a los ejessolidarios y orientado según los ejes principales de inerciadel sólido enO,
{OXYZ
}, la expresión del momento cinético:
[Y]O ∙ Eω =
JOx 0 00 JOy 00 0 JOz
◦
ωx
ωy
ωz
=
JOx ωx
JOy ωy
JOz ωz
Tras un cálculo sencillo, nuevamente:
Eω × EL O =
−ωy ωz (JOy − JOz)
−ωx ωz (JOz − JOx)
−ωx ωy (JOx − JOy)
.
y por combinación de todos los resultadas anteriores resultan finalmente las “Ecuacionespara la rotación en torno a un centro fijo”.
Ley 10.29
Ecuaciones del movimiento de un SR en torno a un punto fijoEl movimiento de un sólido rígido de masa M y matriz principal de inercial[Y]O viene determinado, con respecto a las direcciones principales del sólido,por el siguiente sistema de 6 ecuaciones:
MaGx = Rx MaGy = Ry MaGz = Rz (10.27)
JOx ωx − ωy ωz (JOy − JOz) = MOx (10.28)
JOyωy − ωx ωz (JOz − JOx) = MOy (10.29)
JOzωz − ωx ωy (JOx − JOy) = MOz (10.30)
donde ER y EMO son la resultante y momento de las fuerzas exteriores respectoa O que se aplican al sólido.
Para el movimiento plano y siguiendo el mismo convenio del epígrafe anteriorlas tres ecuaciones del movimiento serían:
MaGx = Rx MaGy = Ry (10.31)
JOzωz = MOz (10.32)
Rotación con eje fijo Un importante caso particular de estas expresiones se obtiene en elcaso de que el eje de rotación (y no sólo un punto) resultase ser fijo.
En esta situación sigue siendo conveniente tomar como centro de momentos algún puntopor el que pase el eje,O, ya que no veremos aparecer las reacciones de apoyo en la ecuacióndel momento cinético. Sin embargo, la dirección del eje fijo no tiene por qué coincidir engeneral con algún eje principal de inercia y en esta situación, la matriz de inercia no puedesuponerse necesariamente diagonal.
Siendo así, podemos tomar – sin renuncia a la generalidad – como sistema de ejes enmovimiento relativo aquellos que pasan por un punto fijo perteneciente al eje de rotacióndel SR, de tal manera que uno de ellos (tomaremos el ejez en nuestro caso) coincida entodo momento con el eje de rotación. En estas condicionesEω = (0, 0, ωz) y la ecuacióndel momento cinético se expresaría como:
d EL O
dt
∣∣O1X1Y1Z1 = [Y]O
d Eω
dt+ ( Eω × EL O)
Siendo:
[Y]Od Eω
dt=
JOx −POxy −POxz
−POxy JOy −POyz
−POxz −POyz JOz
◦
00ωz
=
−POxz ωz
−POyz ωz
JOz ωz
y con:
Eω × EL O =
+ω2z POyz
−ω2z POyz
0
obtenemos finalmente,
Ley 10.30
Leyes de la Dinámica del SR con rotación a eje fijo
MaGx = Rx MaGy = Ry MaGz = Rz (10.33)
JOx ωz + ω2z POyz = MOx (10.34)
JOx ωz − ω2z POxz = MOy (10.35)
JOzωz = MOz (10.36)
donde ER y EMO son la resultante y momento de las fuerzas exteriores respectoa O que se aplican al sólido y donde las direcciones se toman de manera queel eje z coincida en todo momento con el eje de rotación del SR.
?
10.3.3. Energía cinética de un SR
En el caso general de un sólido rígido en rotación las expresiones que obtuvimos para laenergía cinética de los sistemas se reducen a las expresiones reflejadas en la siguiente ley:
Ley 10.31Energía cinética del SR
En el caso general (Tma. de König): T = 12 M Ev2
G + 12 EωT [Y]G Eω,
donde, en el caso de expresar la matriz de inercia en ejes principalestenemos que:
1
2EωT [Y]G Eω =
1
2(JGxω
2x + JGyω
2y + JGzω
2z)
En la rotación baricéntrica: T = 12 EωT [Y]G Eω
En la rotación con punto fijoO: T = 12 EωT [Y]0 Eω
donde, en el caso de expresar la matriz de inercia en ejes principalescentrados en O tenemos que:
1
2EωT [Y]O Eω =
1
2(JOxω
2x + JOyω
2y + JOzω
2z)
En la rotación con eje fijo (OZ): T = 12 Jzω
2z
10.4. Dinámica percusiva
La dinámica percusiva estudia procesos, denominadospercusiones, choques o colisiones,en los que existen cambios apreciables en los parámetros cinemáticos de un sistema de-terminado en instantes de tiempo muy breves. Durante el choque, diferentes partes delsistema intercambian cantidad de movimiento, momento cinético o energía cinética entresi o por interacción con factores externos de manera que podemos identificar con claridaduna situación anterior a la colisión y posterior a la colisión. Generalmente, los detalles delo que sucede exactamentedurantela percusión resultan difíciles de analizar en detalle yno aparecen en el análisis más que a través de parámetros de la percusión de carácter máso menos empírico o fenomenológico (por ejemplo, el coeficiente de restitución).
Tomemos un cuerpo cuya cantidad de movimiento antes del choque esEp1. Suponemos quedurante un intervalo de tiempo apreciable, dicha cantidad de movimiento se conserva y quedurantela percusión – que dura un intervalo de tiempo corto1t – el cuerpo está sometidoa fuerzas apreciablesEF(t) que provienen de alguna causa externa. Según lo estudiado enlos apartados que anteceden, la cantidad de movimiento del cuerpo al final del proceso (en
que suponemos de nuevo que el momento se seguirá conservando) vale:
Epdesp− Epant =∫
1t
EF(t) ∙ dt ≡ EP (10.37)
donde EP recibe también el nombre depercusión.
La diferencia entre un choque y una colisión estriba en que en los choques consideramosque actúan únicamente fuerzas internas (con lo que la percusión es nula), mientras que enlas colisiones consideramos las acciones como externas al sistema.
10.4.1. Choques
Un ejemplo paradigmático para un choque se da cuando dos cuerpos realizan un brevecontacto entre si, cambiando abruptamente su estado de movimiento (p.e. en el choqueentre dos bolas de billar). Si la percusión es nula, la cantidad de movimiento total delsistema antes y después se conserva, por lo que rige:
Epant = m1Ev1 + m2Ev2 = m1Ev′1 + m2Ev ′
2 = Epdesp,
y donde hemos considerado que las masas de los cuerpos no se alteran durante el choque.
Evidentemente, las tres ecuaciones que determina la conservación de la cantidad de mo-vimiento no son suficientes para determinar por completa el estado de movimiento de loscuerpos después del choque(Ev ′
1, Ev ′2) por lo que será necesario aportar más información de
lo que sucede en el proceso.
Una manera de aportar la necesaria información adicional es a través de la energía cinéticaque el sistema pierde durante el proceso y está relacionada con el llamado coeficiente derestitución:
Definición
El coeficiente de restituciónε en un choque entre dos cuerpos es un númeroadimensional entre cero y la unidad que se define como:
ε = −v ′
2 − v ′1
v2 − v1
siendovi y v ′i los módulos de las velocidades de los cuerpos antes y después
del choque.Un choque cuyo coeficiente de restitución es la unidad (ε = 1) recibe elnombre detotalmente elástico, mientras que un choque cuyo coeficiente derestitución es cero (ε = 0) seríacompletamente inelásticoo tambiénplásti-co. En el caso intermedio (|ε| < 1), el choque es, sencillamente, inelástico.
Choques centrales Un caso abordable en general de choques entre dos cuerpos es elchoque central en que todas las líneas de acción de todos los momentos antes y despuésde este coinciden, de manera que podemos tomar las velocidades según un único eje.Las ecuaciones de conservación de la cantidad de movimiento y para el coeficiente derestitución pueden resumirse en una ecuación matricial que relaciona las velocidades antesy después del choque en la forma:
[v ′
1
v ′2
]
=1
m1 + m2
[m1 − εm2 (1 + ε)m2
(1 + ε)m1 m2 − εm1
][v1
v2
]
(10.38)
expresión que permite el cálculo de las velocidades finales a partir de las iniciales y delcoeficiente de restitución.
Es también fácil de comprobar que lapercusión mutuaen el choque central, es decir, elcambio en la cantidad de movimiento del cuerpo 1 (igual – con signo negativo – al cambioen la cantidad de movimiento que experimenta el cuerpo 2) vale:
Ep12 = (1 + ε)m1m2
m1 + m2(v1 − v2)
En términos de energía, el proceso de choque viene caracterizado también por una pérdidade energía mecánica o disipación que convierte parte de la energía contenida en el mo-vimiento de los cuerpos endeformaciones plásticas o calor. El poder destructor vienedefinido sencillamente como la diferencia de energía cinética antes y después de la colisióny vale, tras un cálculo sencillo y teniendo en cuenta la matriz de colisiones:
D = 1Ec =(1 − ε2)m1m2
2(m1 + m2)(v1 − v2)
2 (10.39)
También puede definirse uncoeficiente de restitución de energía, η, como la razón entrela energía cinética posterior y anterior al choque:
η =E′
c
Ec=
Ec − D
Ec(10.40)
Es fácil de comprobar que siε = 0, entoncesη = 1, en el caso de los choques completa-mente elásticos. En choques completamente plásticos obtendríamos que:
D = 1Ec =m1m2
2(m1 + m2)(v1 − v2)
2 (10.41)
por serε = 0 y puede verse que en esta situación esmáximo el poder destructor que sedesencadena durante el choque.
Ejemplo 10.4 Tres cuerpos de masam están alineados según una dirección y situados inicialmente a unacierta distancia. Inicialmente el primer cuerpo lleva velocidadv1 = 4 m/s dirigida hacia el segundo.Los restantes se hallan en reposo. El coeficiente de restitución es igual aε = 0,5. En el proceso nointervienen fuerzas externas. Analiza los posibles choques. ¿Cuál es la velocidad de tercer cuerpotras el proceso de colisiones?. Calcula el poder destructor del proceso y el coeficiente de restituciónde energía.
Solución: Por la configuración del proceso observamos que existirán al menos dos procesos dechoque consecutivos. Un choque entre los cuerpos 1 y 2 y un segundo choque entre los cuerpos 2 y3.
Para el primero de ellos, obtenemos el siguiente sistema:
[v ′
1v ′
2
]=
1
2m
[m − mε (1 + ε)m(1 + ε)m m− mε
] [40
]=
1
2
[1/2 3/23/2 1/2
] [40
]=[13
]
Para el segundo choque, entre los cuerpos 2 y 3, observamos que la matriz de colisiones tieneexactamente la misma expresión, ya que no depende más que de las masas y del coeficiente derestitución, por lo que tendremos:
[v ′′
2v ′′
3
]=
1
2
[1/2 3/23/2 1/2
] [30
]=[3/49/4
]
Con
lo que la velocidad de salida del tecer cuerpo tras el choque es de+2,25m/s. Sin embargo, dadoque la velocidad de salida del segundo cuerpo tras la segunda colisión es menor que la del primercuerpo tras la primera colisión, este acabará alcanzándolo y se producirá un tercer choque entre elprimer y segundo cuerpo con los siguientes parámetros:
[v ′′′
1v ′′′
2
]=
1
2
[1/2 3/23/2 1/2
] [1
3/4
]=[
0,8120, 9375
]
Ahora sí podríamos afirmar que no se producirán más choques, dado que los cuerpos no se alcanzaránentre si.
El cambio de energía mecánica del sistema opoder destructor en el proceso de las diferentescolisiones viene dado por:
D = 1Ec = 1/2 m v21 − (1/2 m v ′′′
12 +1/2 m v ′′′
22 +1/2 m v ′′′
32) ≈ 4,7m (en unidades de energía)
y respecto a la energía cinética inicial (Eci = 1/2mv21 = 8m) obtenemos el coeficiente de restitución
de energía del proceso como:
η =Ecd
Eci=
Eci − 1Ec
Eci≈
8 − 4,7
8= 0,4125
Existen, en el análisis de los choques centrales, diversos casos particulares que pueden serinteresantes, como el límite en quem2 >> m1 o el caso delobstáculo en reposo(v2 = 0) que seproduce cuando un cuerpo “rebota” con el suelo.
El choque general En el caso del choque general, la conservación de la cantidad de movimientoy el coeficiente de restitución no fijan por completo los parámetros cinemáticos del choque. Yaque, en general obtenemos 3 ecuaciones para la cantidad de movimiento y 1 adicional a partir dela energía del movimiento. En total, por tanto, habrán de especificarse (o medirse) dos parámetrosadicionales, como las direcciones o ángulos con que se mueven los cuerpos tras el choque.
10.4.2. Percusiones
En una percusión, un cuerpo que consideramos externo al sistemagolpeael cuerpo objeto deinterés de manera que actúa sobre este modificando de manera súbita sus parámetros cinemáticosy dinámicos.
En la percusión central, la percusiónEP es un vector que pasa por el CDM del sistema,lo que implica que únicamente se ejercen fuerzas y no momentos exteriores sobre este. Conarreglo al teorema del CDM y del momento cinético (baricéntrico) ello implica sencillamenteque únicamente se modifica la velocidad del CDM del sistema con arreglo a la ley:
1EvG =EP
M, (10.42)
mientras que el momento cinético del mismo no se vería afectado.
En unapercusión no–central, la percusión no pasaría por el CDM, lo que en general implicacambios tanto en la velocidad del CDM como en la velocidad de rotación del cuerpo sobre el quese ejerce.
Una buena ilustración de este proceso lo encontramos en el billar. Si el taco golpea unabola inicialmente en reposo sobre una línea que pasara por el centro de la misma, estaríamosen una percusión central. Observando atentamente, veríamos que la bola inicialmente sale de lapercusión resbalando sobre el tapete, sin rotación. El giro que ésta adquiere posteriormente sedebe al rozamiento del tapete con la bola. Sin embargo, si golpeamos la bola sobre una lineadesplazada en vertical respecto al CDM conseguiremos un efecto de giro, adquiriendo la bolauna cierta rotación desde el principio.
