Prácticas Dirigidas 1

1

1

Método Inductivo

Problema 1

Calcular la suma de las cifras de S

𝑆 = (555…555⏟ 𝑛 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠

)(999…99⏟ 𝑛 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠

)

Problema 2

Calcular la suma de cifras del resultado de “U”:

𝑈 =√111…111⏟ 2𝑛 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠

− 222…222⏟ 𝑛 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠

Problema 3

Calcular la suma de cifras del resultado de la siguiente

operación:

√999…999⏟ 2(𝑛−1) 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠

− 199…998⏟ 𝑛 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠

Problema 4

Calcule la suma de cifras del siguiente producto.

111…111⏟ 100 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠

𝑥 1000…001⏟ 101 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠

Problema 5

Calcule la suma de cifras de la siguiente expresión:

𝐴 = (333…333)⏟ 21 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠

2 + (999…999)⏟ 21 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠

2

Problema 6

Calcule la suma de cifras de la siguiente expresión:

𝐴 =√111…111⏟ 50 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠

+ 444…444⏟ 25 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠

+ 1

Problema 7

Calcule la suma de cifras de n:

𝑛2 = 111…111⏟ 100 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠

222…222⏟ 100 𝑐𝑖𝑓𝑟𝑎𝑠

25

Problema 8

Calcular la siguiente expresión:

𝑄 = [5 (14+24+34+⋯+204

12+22+32+⋯+202) + 1] ÷ 3

Problema 9

¿Cuántas bolitas se contarán en la figura 20?

Problema 10

¿De cuantas formas diferentes se puede leer la

palabra “TALENTOS” en el siguiente arreglo?

T A A L L L E E E E N N N N N T T T T T T O O O O O O O S S S S S S S S

Problema 11

Calcular la suma de cifras del resultado de la siguiente operación:

𝐴 = √997𝑥998𝑥999𝑥1000 + 1

Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3

Prácticas Dirigidas 2

2

Problema 12

Calcular la suma de todos los números del siguiente arreglo:

[ 2 4 64 6 86⋮1820

8⋮2022

10⋮2224

… 18 20… 20 22…⋱……

22 24⋮ ⋮

34 3636 38]

Problema 13

En el siguiente arreglo numérico, calcule la suma de todos los números si se cuentan 20 triángulos. Problema 14

Si se cumple que:

√𝑎5̅̅̅̅ 𝑥𝑎6̅̅̅̅ 𝑥𝑎7̅̅̅̅ 𝑥𝑎8̅̅̅̅ + 1 = 2161 Calcular: 𝐴 = 𝑎 + 𝑎𝑎̅̅̅̅ + 𝑎𝑎𝑎̅̅ ̅̅ ̅+. . .⏟

𝑎 𝑠𝑢𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜𝑠

Problema 15

¿Cuántos cuadriláteros cóncavos se contarán en la figura?

Problema 16

¿Cuántos triángulos se cuentan en la siguiente figura?

Problema 17

¿Cuántos puntos de corte hay en 𝐹20?

Problema 18

¿Cuántos cuadriláteros cóncavos se pueden contar en la siguiente figura? Problema 19

¿Cuántos hexágonos se pueden contar en la siguiente figura?

1 2 3 48 4

9

50

𝐹3 𝐹1 𝐹2

2 1 1

3 3

6

5 5

10

14

7 7

1 2 3 88 89 90

1 2 3 38 39 40

Prácticas Dirigidas 3

3

Problema 20

Calcule la suma de los números de la fila 20 en:

Problema 21

En la secuencia de figuras

El total de canicas que hay en las dos últimas figuras

es 1225; ¿Cuántas canicas habrá en la última figura?

Problema 22

Calcule el valor de R.

𝑅 =√𝑛 + 1𝑥3 + 3𝑥5 + 5𝑥7+. . .⏞

𝑛 𝑠𝑢𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜𝑠

12 + 22 + 32 +⋯+ 𝑛2

Problema 23

Calcule el número de palitos en el siguiente castillo:

Problema 24

¿Cuántos triángulos hay en total en la siguiente

figura?

Problema 24

¿Cuántos cuadraditos sombreados hay en total?

Problema 25

¿De cuantas maneras diferentes se puede leer la

palabra “EXPLOTACIÓN” usando letras vecinas?

N

O N

I O N

C I O N

A C I O N

T A C I O N

O T A C I O N

L O T A C I O N

P L O T A C I O N

X P L O T A C I O N

E X P L O T A C I O N

2

4 6

8 10 12

14 16 18 20

𝐹1

𝐹3

𝐹4

𝐹2

1 2 3 4 47 48 49 50

1 2 48 49 50

2 1 3 4 99

Fig. 1 Fig. 2 Fig. 3 Fig. 4

Prácticas Dirigidas 4

4

Problema 26

Halle el número total de palabras “CRÍTICA”.

A C I T I R C

C A C I T I R

I C A C I T I

T I C A C I T

I T I C A C I

R I T I C A C

C R I T I C A

Problema 27

¿De cuantas formas diferentes se puede leer GENIO, teniendo en cuenta igual distancia de una letra a otra? O O O O O I I I I O N N N O I E E I O N G N O I E E I O N N O I I O O Problema 28

¿De cuántas maneras diferentes se puede leer la

palabra “SALVAJE” usando letras vecinas?

S

S A S

S A L A S

S A L V L A S

S A L V A V L A S

S A L V A J A V L A S

S A L V A J E J A V L A S

S A L V A J E S E J A V L A S

Problema 29

Dado n un número entero, probar por inducción

matemática ∀ 𝑛 ≥ 1.

a) 1 + 4 + 7 +⋯+ (3𝑛 − 2) = 𝑛(3𝑛 − 1)/2

b) 1 + 7 + 13 +⋯+ (6𝑛 − 5) = 𝑛(3𝑛 − 2)

C) 12 + 32 + 52 +⋯+ (2𝑛 − 1)2 = [𝑛(𝑛+1)

2]2

Problema 30

Probar por inducción matemática que, para todo

entero 𝑛 ≥ 1, se cumple: 1

21+2

22+3

23+⋯+

𝑛

2𝑛= 2 − (

𝑛 + 2

2𝑛)

Problema 31

Dado el conjunto 𝐶 = {𝑥𝑛 > 0/𝑛 ∈ ℕ}, donde

𝑥1 = √2, 𝑥𝑛+1 = √2𝑥𝑛, 𝑛 ∈ ℕ, probar por inducción

matemática que una cota superior del conjunto C es el

número 2. Es decir, que 𝑥𝑛 ≤ 2, ∀ 𝑒𝑛𝑡𝑒𝑟𝑜 𝑛 ≥ 1.

Problema 32

Probar por inducción matemática que:

2𝑛 ≥ 8(𝑛 − 2), ∀ 𝑛 ≥ 3

Problema 33

Sea 𝑎 > 1 𝑦 𝑛 ≥ 2/𝑛 ∈ ℤ. Probar que:

𝑎𝑛 > 1 + 𝑛(𝑎 − 1), ∀𝑛 > 1

Problema 34

Probar que en cada caso que:

a) 4𝑛 + 5 𝑒𝑠 𝑚ú𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜 𝑑𝑒 3, ∀ 𝑛 ∈ ℕ

b) 3(4𝑛) + 15 𝑒𝑠 𝑚ú𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜 𝑑𝑒 9, ∀ 𝑛 ∈ ℕ

Problema 35

Probar que, para todo entero 𝑛 ≥ 1.

42𝑛+1 + 3𝑛+2 es múltiplo de 13

Problema 36

Demostrar por inducción matemática que un polígono

convexo de 𝑛 lados tiene [𝑛(𝑛−3)

2] diagonales, donde

𝑛 ≥ 3.