Tema 11 Integrales impropias.personal.us.es/jmiguel/MATECO/Web-Matheco-IV-11.pdf · La integral impropia de una función positiva aparece al calcular el área encerrada entre la curva

Tema 11

Integrales impropias.

En la integrable definida o integral de Riemann la función tenía que estar acotada y el intervalo era

cerrado y acotado. El propósito que nos planteamos ahora es extender el concepto de función integrable a

funciones que pueden no estar acotadas definidas tanto en intervalos abiertos como en intervalos no aco-

tados. Estas integrales generalizadas se conocen con el nombre de integrales impropias. Para extender el

concepto de integrabilidad a todo tipo de intervalos en primer lugar vamos a considerar funciones local-

mente integrables sobre el intervalo de integración.

Definición 11.1 Sea f : I ⊆ R→ R donde I es un intervalo

Una función es localmente integrable en I si es integrable en cualquier intervalo cerrado y acotado

contenido en I.

Nota Una función f es localmente integrable en [a,+∞) si y sólo si f es integrable en cualquier intervalo

cerrado [a, b] con b ≥ a. Análogamente, es localmente integrable en [a, b) si y sólo si f integrable en

cualquier intervalo de la forma [a, t] con t ∈ [a, b).

La integral impropia de una función positiva aparece al calcular el

área encerrada entre la curva y = f (x) y el eje OX cuando este área

tiene sentido. La función f (x) = 1/x es localmente integrable en el

intervalo (0,+∞) pero presenta dos tipos de problemas. El intervalo

no está acotado y la función a integrar no está acotada en el origen.

Estudiaremos ambos problemas de forma distinta. 1 2 3 4 5X

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0Y

f HxL=1�x

377

Bloque IV. CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL AMPLIADO

11.1. Integrales impropias de primera especie.

En primer lugar vamos a considerar un intervalo del tipo [a, +∞) y una función no negativa y acotada.

En este caso hablaremos de una integral impropia de primera especie. Cuando la función es no negativa,

este concepto de integral corresponde con el área encerrada por la función y el eje en todo el intervalo

(siempre y cuando este área sea finita).

Definición 11.2 Sea f : [a, +∞)→ R una función localmente integrable en [a, +∞)

La integral impropia de f [a, +∞) se representa por∫ +∞

af (x) dx y es, si existe, el límite

lı́mb→+∞

∫ b

af (x) dx

Si el límite es finito decimos que la integral es convergente y que f es integrable en [a, +∞) en sentido

impropio. Si el límite es infinito decimos que la integral es divergente y si el límite no existe que decimos

que la integral es oscilante, en ambos casos decimos que f no es integrable en [a, +∞) en sentido impropio.

Nota Análogamente se define∫ b

−∞

f (x) dx = lı́ma→−∞

∫ b

af (x) dx

Proposición 11.3 (Condición necesaria de integrabilidad) Sea f : [a, +∞)→ R localmente integrable en

[a, +∞) tal que existe lı́mx→+∞

f (x).

Si∫ +∞

af (x) dx es convergente entonces lı́m

x→+∞f (x) = 0. ♣

Nota Es necesario que exista lı́mx→+∞

f (x), finito o infinito, para poder aplicar la condición necesaria de

integrabilidad.

Proposición 11.4 Sean f , g, : [a, +∞)→ R localmente integrables en [a, +∞) y α, β ∈ R

(Linealidad) Si f y g son integrables en [a,+∞) entonces α f (x) + βg(x) también lo es, con

∫ +∞

a(α f (x) + βg(x)) dx = α

∫ +∞

af (x) dx + β

∫ +∞

ag(x) dx

(Monotonía) Si f (x) ≤ g(x); ∀x ∈ [a, +∞), entonces

∫ +∞

af (x) dx ≤

∫ +∞

ag(x) dx

PROYECTO MATECO 3.14 Página 378

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TEMA 11. INTEGRALES IMPROPIAS.

(Aditividad respecto al intervalo) Para cada b ∈ [a, +∞)

∫ +∞

af (x) dx =

∫ b

af (x) dx +

∫ +∞

bf (x) dx

(Regla de Barrow) Si F es una primitiva de f y existe lı́mb→+∞

F(b), entonces

∫ +∞

af (x) dx = F(x)

]+∞

a= lı́m

b→+∞(F(b) − F(a))

Ejemplo 11.5 Calcular las siguientes integrales utilizando la definición.

(a)∫ +∞

1cos x dx (b)

∫ +∞

1

dxx

(c)∫ −2

−∞

dxx2

Solución

(a) Una primitiva de la función a integrar es F(x) =

∫cos x dx = sen x, como no existe lı́m

b→+∞sen(b) la

integral buscada es oscilante.

(b) Una primitiva de la función a integrar es F(x) =

∫dxx

= ln |x|, como lı́mb→+∞

F(b) = +∞ la integral

buscada es divergente.

(c) Calculamos una primitiva de la función F(x) =

∫dxx2 =

−1x

, como existe lı́mb→+∞

F(b) la integral

buscada es lı́ma→−∞

(F(−2) − F(a)) = 1/2 − 0 = 1/2 ♣

Ejemplo 11.6 La siguiente integral recibe el nombre de p-integral

∫ +∞

a

1xp dx

Comprobar que es convergente si y sólo si p > 1

Solución Consideramos tres casos según sea el valor de p

Si p > 1 la integral es convergente:

∫ +∞

a

1xp dx = lı́m

b→+∞

[x−p+1

−p + 1

]b

a= lı́m

b→+∞

[b−p+1

−p + 1−

a−p+1

−p + 1

]= −

a−p+1

−p + 1

Si p < 1 la integral es divergente

∫ +∞

a

1xp dx = lı́m

b→+∞

[x−p+1

−p + 1

]b

a= lı́m

b→+∞

[b−p+1

−p + 1−

a−p+1

−p + 1

]= +∞

Página 379 PROYECTO MATECO 3.14



Si p = 1 la integral también es divergente

∫ +∞

a

1xp dx = lı́m

b→+∞[ln |x|]b

a = lı́mb→+∞

[ln |b| − ln |a|] = +∞

Ejemplo 11.7 La siguiente integral recibe el nombre de t-integral exponencial

∫ +∞

aetx dx

Comprobar que es convergente si y sólo si t < 0.

Solución Distinguiremos tres casos según sea el valor de t

Si t > 0, la integral es divergente:

∫ +∞

aetx dx = lı́m

b→+∞

[etx

t

]b

a= lı́m

b→+∞

[etb

t−

eta

t

]= +∞

Si t = 0 la integral es divergente:

∫ +∞

adx = lı́m

b→+∞[x]b

a = lı́mb→+∞

(b − a) = +∞

Si t < 0 la integral es convergente

∫ +∞

aetx dx = lı́m

b→+∞

[etx

t

]b

a= lı́m

b→+∞

[etb

t−

eta

t

]= −

eta

t

Definición 11.8 Sea f : R → R localmente integrable en R (integrable en cualquier intervalo cerrado y

acotado).

La integral impropia de f en el intervalo (−∞, +∞) representa por∫ +∞

−∞

f (x) dx y es converge cuando

existe un número real a para el cual convergen las integrales impropias∫ +∞

af (x) dx y

∫ a

−∞

f (x) dx. En este

caso ∫ +∞

−∞

f (x) dx =

∫ a

−∞

f (x) dx +

∫ +∞

af (x) dx

Definición 11.9 Sea f : R→ R localmente integrable en R

El valor de Cauchy para la integral impropia es lı́mb→+∞

∫ b

−bf (x) dx ♣




Nota El valor de Cauchy para la integral impropia es el valor de la integral siempre y cuando la integral

sea convergente

Ejercicio 11.10 Estudiar la convergencia de las siguientes integrales y calcular su valor

(1)∫ +∞

−∞

1x2 + 1

dx (2)∫ +∞

−∞

x3 dx

Solución

(a) Esta integral es ∫ +∞

−∞

1x2 + 1

dx =

∫ 0

−∞

1x2 + 1

dx +

∫ +∞

0

1x2 + 1

dx

Como ambas integrales son convergentes (ejercicio) la integral a estudiar es convergente. El valor de esta

integral, por tanto, coincide con su valor de Cauchy

∫ +∞

−∞

1x2 + 1

dx = lı́mb→+∞

∫ b

−b

1x2 + 1

dx = arc tg x]b−b = lı́m

b→+∞

[arc tg b − arctg(−b)

]=π

2− (−

π

2) = π

(b) Esta integral es ∫ +∞

−∞

x3 dx =

∫ 0

−∞

x3 dx +

∫ +∞

0x3 dx

Como ambas integrales son divergentes (ejercicio) la integral a estudiar es divergente (obsérvese que al

ser una función impar su valor de Cauchy es 0). ♣

Para estudiar la convergencia o divergencia de una integral impropia no es necesario calcular una primi-

tiva de la función f , ya que se puede estudiar su convergencia o divergencia comparándola con integrales

conocidas como la p-integral o la t-integral exponencial. Estos criterios son válidos para funciones positivas

y se basan en que las integrales sobre intervalos acotados están acotadas si y sólo si la función es integrable.

Proposición 11.11 (Condición necesaria y suficiente de integrabilidad) Sea f : [a, +∞) → R localmente

integrable en [a, +∞) y no negativa.∫ +∞

af (x) dx es convergente si y solo si existe M ∈ R tal que

∫ b

af (x) dx ≤ M, ∀b ≥ a. ♣

Proposición 11.12 (Criterio de la mayorante) Sean f , g : [a, +∞) → R localmente integrables y no

negativas en [a,+∞) tales que 0 ≤ f (x) ≤ g(x), para todo x ≥ a

Si∫ +∞

ag(x) dx es convergente entonces

∫ +∞

af (x) dx es convergente ♣

Proposición 11.13 (Criterio de la minorante) Sean f , g : [a, +∞)→ R localmente integrables y no nega-

tivas en [a,+∞) tales que 0 ≤ g(x) ≤ f (x)

Si∫ +∞

ag(x) dx es divergente entonces es divergente

∫ +∞

af (x) dx




Ejemplo 11.14 Estudiar la convergencia de

(a)∫ +∞

2

1x2 + 4

dx. (b)∫ +∞

2

ex + 1xex dx.

Solución

(a) Utilizamos el criterio de la mayorante comparándola con una p-integral

0 ≤∫ +∞

2

1x2 + 4

dx ≤∫ +∞

2

1x2 dx

Como la integral mayorante es convergente (p = 2) entonces es convergente∫ +∞

2

1x2 − 4

dx. ♣

(b) Utilizamos el criterio de la minorante comparando con la p-integral ya que ex + 1 ≥ ex

0 ≤∫ +∞

2

1x

dx ≤∫ +∞

2

ex + 1xex dx

Como la integral minorante es divergente (p = 1) entonces es divergente∫ +∞

2

ex + 1xex dx. ♣

Proposición 11.15 (Criterio de comparación por paso al límite) Sean f , g : [a, +∞) → R localmente

integrables y no negativas en [a,+∞) y tales que existe el límite, finito o no, lı́mx→∞

f (x)g(x)

= l

0 < l < +∞

∫ +∞

ag(x) dx tiene el mismo carácter que

∫ +∞

af (x) dx.

l = 0 Si∫ +∞

ag(x) dx es convergente entonces también es convergente

∫ +∞

af (x) dx

l = +∞ Si∫ +∞

ag(x) dx es divergente entonces también es divergente

∫ +∞

af (x) dx ♣

Ejemplo 11.16 Estudiar la convergencia de∫ +∞

1

x + 1x3 + 4

dx.

Solución

Estudiamos su convergencia comparándola con una p-integral y vemos que el límite sólo es finito cuan-

do p = 2.

lı́mx→∞

x + 1x3 + 4

1xp

= lı́mx→∞

xp(x + 1)x3 + 4

= 1 ( =⇒ p = 2)

Por tanto∫ +∞

1

x + 1x3 + 4

dx y∫ +∞

1

1x2 dx tienen el mismo carácter.

Como la segunda integral es una p-integral convergente (p = 2) entonces la integral dada es también

convergente. ♣




Los criterios de comparación se pueden ampliar a funciones no positivas. Así

Si la función f es negativa, entonces aplicamos los criterios a la función − f ya que

∫ +∞

af (x) dx = −

∫ +∞

a− f (x) dx

Si la función f cambia de signo un número finito de veces y llamamos c al mayor valor de x donde

la función cambia de signo, estudiamos el carácter de∫ +∞

cf (x) dx que coincidirá con el carácter de∫ +∞

af (x) dx

El problema del estudio de la convergencia según los criterios de comparación queda sin resolver cuando

tenemos una función que en el intervalo [a, +∞) cambia de signo infinitas veces. Para tratar este tipo de

funciones definimos el concepto de convergencia absoluta.

Definición 11.17 Sea f : [a, +∞)→ R localmente integrable en [a,+∞)

La integral∫ +∞

af (x) dx es absolutamente convergente si

∫ +∞

a| f (x)| dx es convergente. ♣

Proposición 11.18 Sea f : [a, +∞)→ R localmente integrable en [a,+∞)

Si∫ +∞

af (x) dx es absolutamente convergente entonces

∫ +∞

af (x) dx es convergente. ♣


π

cos(x)x2 dx.

Solución

Como cos(x) cambia de signo infinitas veces en el intervalo [π, +∞), utilizamos el concepto de conver-

gencia absoluta y estudiamos el carácter de la integral

∫ +∞

π

|cos(x)|x2 dx

Sabemos que |cos(x)| ≤ 1, por lo que tenemos

0 ≤∫ +∞

π

|cos(x)|x2 dx ≤

∫ +∞

1

1x2 dx

Esta última integral es convergente (p = 2 > 1) por lo que∫ +∞

1

|cos(x)|x2 dx también es convergente y

también será convergente la integral∫ +∞

π

|cos(x)|x2 dx. ♣




El recíproco no es cierto y una integral puede ser divergente en valor absoluto y sin embargo ser con-

vergente. Por ejemplo la siguiente integral no converge en valor absoluto y es convergente.

Ejemplo 11.20 Demostrar que∫ +∞

π

sen(x)x

dx es convergente

Solución Si aplicamos integración por partes∫ +∞

π

sen(x)x

dx =

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ u = 1

x du = −dxx2

dv = sen xdx v = − cos x

∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣∣ = lı́m

b→∞

cos(x)x

]b

π

− lı́mb→∞

∫ b

π

cos(x)x2

El primer límite es finito por una cuestión de cálculo y el segundo porque corresponde a una integral

impropia convergente (ver ejemplo 11.19). Por tanto, la integral es convergente. ♣

11.2. Integrales impropias de segunda especie

El segundo tipo de integrales que vamos a estudiar son las integrales de funciones no acotadas definidas

en intervalos acotados. El primer problema al que nos enfrentamos es aislar los puntos de discontinuidad

en los que la función no esté acotada. Cuando tenemos un número finito de puntos el problema se aborda

estudiando la convergencia del área a ambos lados de cada punto. Distinguimos dos casos, cuando nos

aproximamos por la derecha y cuando nos aproximamos por la izquierda.

Por ejemplo, para integrar la función f (x) =1

(x − 1)2 en

el intervalo [0, 2], como no está acotada en x = 1, estu-

diamos la función en los intervalo [0, 1), con problema de

acotación en el extremo superior al que nos acercaremos

por la izquierda y (1, 2], con problema de acotación en el

extremo inferior al que nos acercaremos por la derecha. 1 2 3 4

2

4

6

8

Definición 11.21

Sea f : (a, b]→ R localmente integrable en (a, b]

La integral impropia de f en [a, b],∫ b

a+

f (x) dx, es el límite lı́mt→a+

∫ b

tf (x) dx

Si dicho límite es finito decimos que la integral impropia es convergente y que f es integrable en [a, b]

en sentido impropio. En otro caso decimos que es divergente.

Sea f : [a, b)→ R localmente integrable en [a, b).

La integral impropia de f en [a, b],∫ b−

af (x) dx,es el límite lı́m

t→b−

∫ t

af (x) dx




Si dicho límite es finito decimos que la integral impropia es convergente y que f es integrable en [a, b]

en sentido impropio. En otro caso decimos que es divergente. ♣

Ejemplo 11.22 La siguiente integral recibe el nombre de r-integral para x = a por la derecha

∫ b

a+

1(x − a)r dx

Comprobar que es convergente si y sólo si r < 1

Solución

∫ b

a+

1(x − a)r dx = lı́m

t→a+

∫ b

t

1(x − a)r dx =

[lı́mt→a+

(x − a)−r+1

−r + 1

]b

tsi r , 1

[lı́mt→a+

ln |x − a|]b

tsi r = 1

Distinguiremos tres casos según sea el valor de r

Si r > 1, entonces

∫ b

a+


t→a+

[(x − a)−r+1

−r + 1

]b

t= lı́m

t→a+

[(b − a)−r+1

−r + 1−

(t − a)−r+1

−r + 1

]= +∞

Por lo tanto es divergente.

Si r < 1, entonces

∫ b

a+


t→a+

[(b − a)−r+1

−r + 1−

(t − a)−r+1

−r + 1

]=

(b − a)1−r

1 − r

Por lo tanto en este caso la integral es convergente.

Si r = 1, entonces

∫ b

a+

1x − a

dx = lı́mt→a+

[ln |x − a|]bt = lı́m

t→a+(ln |b − a| − ln |t − a|) = +∞

Por lo tanto en este caso la integral es divergente. ♣

Ejemplo 11.23 La siguiente integral recibe el nombre de r-integral para x = b por la izquierda

∫ b−

a

1(b − x)r dx




Comprobar que es convergente si y sólo si r < 1

Solución

∫ b−

a

1(b − x)r dx = lı́m

t→b−

∫ t

a

1(b − x)r dx =

[lı́mt→b−−

(b − x)−r+1

−r + 1

]t

asi r , 1

[lı́mt→b−− ln |b − x|

]t

asi r = 1

Distinguiremos tres casos según sea el valor de r

Si r > 1, entonces

∫ b−

a


t→b−

[−

(b − x)−r+1

−r + 1

]t

a= lı́m

t→b−

[(b − a)−r+1

−r + 1−

(b − t)−r+1

−r + 1

]= +∞

Por lo tanto es divergente.

Si r < 1, entonces

∫ b−

a


t→b−

[(b − a)−r+1

−r + 1−

(b − t)−r+1

−r + 1

]=

(b − a)1−r

1 − r

Por lo tanto en este caso la integral es convergente.

Si r = 1, entonces

∫ b−

a

1b − x

dx = lı́mt→b−

[− ln |b − x|]ta = lı́m

t→b−(ln |b − a| − ln |b − t|) = +∞

Por lo tanto en este caso la integral es divergente. ♣

La integral sobre un intervalo que tenga varios problemas de acotación se divide en integrales sobre inter-

valos con un único problema de acotación. Por ejemplo si una función f es localmente integrable en (a, b)

con problema de acotación en los extremos se divide en dos para cierto c ∈ (a, b) y la integral e convergente

si las integrales sobre [a, c] y [c, b] son convergentes. En este caso

∫ b−

a+

f (x) dx =

∫ c

a+

f (x) dx +

∫ b−

cf (x) dx

En el desarrollo posterior vamos a considerar una función localmente integrable en (a, b] con problemas

de acotación en el extremo inferior, pero el desarrollo es análogo para otro tipo de intervalos.




Proposición 11.24 Sean f , g : (a, b]→ R localmente integrables e integrables en sentido impropio.

(Linealidad) α f (x) + βg(x))dx es integrable en sentido impropio en [a, b] con

∫ b

a+

(α f (x) + βg(x)) dx = α

∫ b

a+

f (x) dx + β

∫ b

a+

g(x) dx

(Monotonía) Si f (x) ≤ g(x); ∀x ∈ (a, b], entonces

∫ b

a+

f (x) dx ≤∫ b

a+

g(x) dx

(Regla de Barrow) Si F es una primitiva de f , entonces

∫ b

a+

f (x) dx = lı́mt→a+

(F(b) − F(t))

Ejercicio 11.25 Obtener, si es posible, el valor de las siguientes integrales

(1)∫ e

0+

ln x√

xdx (2)

∫ 1

0+

x ln x dx (3)∫ 1

−1

dx5√

xSolución

(a) La función a integrar no es continua en x = 0, por lo que calculamos una primitiva (ejercicio)

F(x) =

∫ln x√

xdx = 2

√x(ln(x) − 2)

Por la regla de Barrow, la integral buscada es lı́mt→0+

(F(e) − F(t)) = −2√

e − 0

(b) La función a integrar no es continua en x = 0, por lo que calculamos una primitiva(ejercicio)

F(x) =

∫x ln x dx =

x2

4(2 ln(x) − 1)

Por la regla de Barrow, la integral buscada es lı́mt→0+

(F(1) − F(t)) = (−1/4) − 0 = −1/4

(c) La función a integrar no es continua en x = 0, por lo que dividimos la integral en dos

∫ 1

−1

dx5√

x=

∫ 0−

−1

dx5√

x+

∫ 1

0+

dx5√

x

Si estas dos integrales son convergentes, como la función es impar y tienen valores opuestos, la integral es

cero. Sólo queda por estudiar si son convergentes. Para ello, calculamos una primitiva (ejercicio) F(x) =∫dx5√

x=

5x4/5

4

Ambas integrales son convergentes , ya que, lı́mt→0+

F(t) = lı́mt→0+

5t4/5

4= 0 ♣




Al igual que sucede con las integrales impropias de primera especie, para estudiar la convergencia o

divergencia de una integral impropia de segunda especie no es necesario calcular una primitiva de la función

f , ya que se puede estudiar su convergencia o divergencia comparándola con integrales conocidas como las

r-integrales. Estos criterios son válidos para funciones positivas y se basan en que en una función integrable

las integrales sobre todos los subintervalos del intervalo de integración están acotadas por un mismo valor.

Proposición 11.26 (condición necesaria y suficiente de integrabilidad) Sea f : (a, b] → R localmente

integrable en (a, b] y no negativa.∫ b

a+

f (x) dx es convergente si y solo si existe M ∈ R tal que∫ b

tf (x) dx ≤ M ∀t ∈ (a, b] ♣

Proposición 11.27 (Criterio de la mayorante) Sean f , g : (a, b] → R localmente integrable en (a, b] con

0 ≤ f (x) ≤ g(x) para x ∈ (a, c]

Si∫ b

a+

g(x) dx es convergente entonces∫ b

a+

f (x) dx es convergente.

Proposición 11.28 (Criterio de la minorante) Sean f , g : (a, b] → R localmente integrable en (a, b] con

0 ≤ g(x) ≤ f (x) para x ∈ (a, c]

Si∫ b

a+

g(x) dx es divergente entonces∫ b

a+

f (x) dx es divergente.

Ejemplo 11.29 Estudiar la convergencia de∫ 2

1+

1√

x2 − 1dx

Solución

Vamos a aplicar el criterio de la mayorante ya que al ser x + 1 > 1 cuando x ∈ (1, 2] se tiene x2 − 1 =

(x − 1)(x + 1) ≥ x − 1 ⇒√

x2 − 1 ≥√

x − 1 Por tanto

0 ≤1

√x2 − 1

≤1

√x − 1

Como∫ 2

1+

1√

x − 1dx es una r-integral con r = 1

2 es convergente y, por tanto, también es convergente la

integral analizada. ♣

Proposición 11.30 (Criterio de comparación por paso al límite) Sean f , g : (a, b] → R localmente inte-

grable y no negativas en (a, b] tales que existe el límite, finito o no, lı́mx→a+

f (x)g(x)

= l

0 ≤ l ≤ +∞

∫ b

a+

g(x) dx y∫ b

a+

f (x) dx tiene el mismo carácter.




l = 0 Si∫ b

a+

g(x) dx es convergente también es convergente∫ b

a+

f (x) dx

l = +∞ Si∫ b

a+

g(x) dx es divergente también es divergente∫ b

a+

f (x) dx

Nota Al igual que para las integrales de primera especie si la función f es negativa aplicamos los criterios

a − f y si cambia de signo un número finito de veces elegimos c para que tenga signo constante en (a, c] y

estudiamos el carácter de∫ c

a+

f (x) dx que coincidirá con el carácter de∫ b

a+

f (x) dx ♣

Ejemplo 11.31 Estudiar la convergencia de las siguientes integrales impropias de segunda especie:

(1)∫ π

2

0+

sen xx4 dx (2)

∫ 2−

1

x(2 − x)2 dx (3)

∫ 1

0+

dx√

x2 + x(4)

∫ 1

0+

ln xx2 dx

Solución

(a) La función a integrar no es continua en x = 0 y es positiva en el intervalo de integración, por lo que

podemos utilizar el criterio de comparación por paso al límite

lı́mx→0+

sen xx4

1x3

= lı́mx→0+

sen xx

= 1

Como∫ π

2

0+

1x3 dx es divergente y tienen el mismo carácter, la integral a estudiar es divergente

(b) La función a integrar no es continua en x = 2 y, como es positiva en el intervalo de integración,


lı́mx→2−

x(2 − x)2

1(2 − x)2

= lı́mx→2−

x = 2

Como∫ 2−

1

1(2 − x)2 dx es divergente y tienen el mismo carácter, la integral a estudiar es divergente

(c) La función a integrar no es continua en x = 0 y es positiva en el intervalo de integración, por lo que


lı́mx→0+

1√

x2 + x1x

= lı́mx→0+

x√

x2 + x= 1




Como∫ 1

0+

dx√

xes divergente y tienen el mismo carácter, la integral a estudiar es divergente

(d) La función a integrar no es continua en x = 0 y, al ser negativa en el intervalo de integración,

analizamos su opuesta. Para ello, vamos a utilizar el criterio de comparación por paso al límite

lı́mx→0+

−ln xx2

1x2

= lı́mx→0+− ln x = +∞

Como∫ 1

0+

1x2 dx es divergente, la integral a estudiar es divergente. ♣

Cuando tenemos una función que en el intervalo (a, b] cambia de signo infinitas veces estudiamos

su convergencia absoluta teniendo en cuenta que si es absolutamente convergente será convergente (el

recíproco no es cierto).

Definición 11.32 Sea f : (a, b]→ R localmente integrable en (a, b]

La integral∫ b

a+

f (x) dx es absolutamente convergente si∫ b

a+

| f (x)| dx es convergente

Teorema 11.33 (Condición suficiente de convergencia) Sea f : (a, b]→ R localmente integrable en (a, b]

Si∫ b

a+

f (x) dx es absolutamente convergente entonces∫ b

a+

f (x) dx es convergente.

Ejemplo 11.34 Estudiar la convergencia de∫ kπ

0+

cos(

1x

)√

xdx para k = 1, 2, ....

Solución

Como la función cambia de signo infinitas veces cuando nos acercamos a cero estudiamos su conver-

gencia absoluta

0 ≤∫ kπ

0+

∣∣∣∣∣∣∣∣cos

(1x

)√

x

∣∣∣∣∣∣∣∣ dx ≤∫ kπ

0+

1√

xdx

Como esta integral es convergente (r = 12 < 1), entonces

∫ kπ

0+

cos(

1x

)√

xdx es absolutamente convergente

y por tanto convergente.

11.3. Integrales impropias de tercera especieSi el intervalo de integración no es acotado y existe en dicho intervalo un número real donde dicha

función no es acotada nos encontramos con una integral de tercera especie. El estudio de la convergencia




se realiza descomponiendo la integral en suma de integrales de primera y de segunda especie y será conver-

gente cuando todas y cada una de las integrales en que se descompone lo sean. La siguiente descomposición

es el caso básico ∫ +∞

af (x) dx =

∫ b

af (x) dx +

∫ +∞

bf (x) dx


0

1(x − 1)

dx

Solución

∫ +∞

0

1(x − 1)

dx =

∫ 1−

0

1(x − 1)

dx +

∫ 2

1+

1(x − 1)

dx +

∫ +∞

2

1(x − 1)

dx

La integral es divergente ya que en este caso las tres integrales son divergentes. Nótese que basta con que

una integral sea divergente para que la integral también lo sea.

Nota Cuando utilizamos criterios de comparación con p-integrales y r-integrales es necesario que estas

potencias tengan base positivas por tanto,

En el estudio de un punto

Si x > a, si x→ a+ y en (a, b] con b > a el factor (x − a) es positivo y se usan potencias

(x − a)pq =

q√(x − a)p

Si x < b, si x→ b− y en [a, b) con a < b el factor (b − x) = −(x − b) es positivo y se usan potencias

(b − x)pq =

q√(b − x)p

En el estudio del infinito

Si x→ +∞, x es positivo y se usan potencias

xpq =

q√xp

Si x→ −∞, −x es positivo y se usan potencias

(−x)pq =

q√(−x)p

Ejercicio 11.36 Determinar el dominio y el signo de f (x) =

3√8x4

√x2 − 3x + 2

.

A continuación, determinar el conjunto de intervalos donde es integrable

Solución Para estudiar el signo y dominio de la función la escribimos

f (x) =

3√8x4

√(x − 1)(x − 2)




Se observa que esta definida para x < 1 y x > 2 y que en ambos casos es positiva. Es localmente integrable

en (−∞, 1) y (2,+∞) y sólo nos queda estudiar su integrabilidad en sentido impropio.

En (−∞, 1) descomponemos la integral en

∫ 1−

−∞

3√8x4

√x2 − 3x + 2

dx =

∫ 0

−∞

3√8x4

√x2 − 3x + 2

dx +

∫ 1−

0

3√8x4

√x2 − 3x + 2

dx

La primera integral es positiva en todo el intervalo de integración y la vamos a comparar mediante

paso al límite con una p-integral.

En primer lugar determinamos p de forma que el cociente de ambas funciones tenga límite finito

3√8x4

√x2−3x+2

1xp

=

3√8x4 xp

√x2 − 3x + 2

Este límite es finito si 43 + p = 2

2 es decir para p = −13

A continuación utilizamos el criterio de comparación por paso al límite, comparándola con la p-integral

lı́mx→−∞

3√8x4

√x2−3x+2

1

x−13

= lı́mx→−∞

3√8x4

3√

x√

x2 − 3x + 2=

3√8

La p-integral y la integral a estudiar tiene el mismo carácter. Como p es negativo ambas son divergentes.

La segunda integral también es positiva en todo el intervalo de integración y la vamos a comparar

mediante paso al límite con una r-integral.

En primer lugar determinamos r de forma que el cociente de ambas funciones tenga límite finito.

3√8x4

√x2−3x+2

1(1−x)r

=

3√8x4 (1 − x)r

√(x − 1)(x − 2)

Este límite es finito si tomamos r = 12 , ya que en este caso se puede simplificar

lı́mx→1

3√8x4

√x2−3x+2

1

(1−x)12

= lı́mx→1

3√8x4 (1 − x)

12

√(x − 1)(x − 2)

= lı́mx→1

3√8x4

√2 − x

=3√8

La r-integral y la integral a estudiar tiene el mismo carácter. Como r está entre cero y uno ambas son

convergentes.




En el intervalo (2,+∞) descomponemos la integral en

∫ +∞

2

3√8x4

√x2 − 3x + 2

dx =

∫ 3

2

3√8x4

√x2 − 3x + 2

dx +

∫ +∞

3

3√8x4

√x2 − 3x + 2

dx

La primera integral es positiva en todo el intervalo de integración y la vamos a comparar mediante

paso al límite con una r-integral.

En primer lugar determinamos r de forma que el cociente de ambas funciones tenga límite finito.

3√8x4

√x2−3x+2

1(x−2)r

=

3√8x4 (x − 2)r

√(x − 1)(x − 2)

Este límite es finito si tomamos r = 12 , ya que en este caso se puede simplificar

lı́mx→2

3√8x4

√x2−3x+2

1

(x−2)12

= lı́mx→2

3√8x4 (x − 2)

12

√(x − 1)(x − 2)

= lı́mx→2

3√8x4

√x − 1

=3√128

La r-integral y la integral a estudiar tiene el mismo carácter. Como r está entre cero y uno ambas son

convergentes.

La segunda integral también es positiva en todo el intervalo de integración y la vamos a comparar

mediante paso al límite con una p-integral.

En primer lugar determinamos p de forma que el cociente de ambas funciones tenga límite finito

3√8x4

√x2−3x+2

1xp

=

3√8x4 xp

√x2 − 3x + 2

Este límite es finito si 43 + p = 2

2 es decir para p = −13

A continuación utilizamos el criterio de comparación por paso al límite, comparándola con la p-integral

lı́mx→+∞

3√8x4

√x2−3x+2

1

x−13

= lı́mx→+∞

3√8x4

3√

x√

x2 − 3x + 2=

3√8

La p-integral y la integral a estudiar tiene el mismo carácter. Como p es negativo ambas son divergentes.

Podemos concluir que es localmente integrable en (−∞, 0] pero no integrable en sentido impropio. En

[0, 1) es integrable en sentido impropio, al igual que en (2, 3] y de nuevo localmente integrable en [3,+∞)

pero no integrable en sentido impropio. ♣




Ejercicios del tema.

Ejercicio 11.37 Calcular las siguientes integrales utilizando la definición.

(a)∫ +∞

0e−x sen x dx (b)

∫ 1

−∞

x ex dx (c)∫ +∞

4

dxx2 − 4

Solución

(a) Calculamos una primitiva de la función (ejercicio)

F(x) =

∫e−x sen x dx = −

12

e−x(Cos[x] + Sen[x])

La integral buscada es lı́mb→+∞

(F(b) − F(0)) = 0 − (−1/2) = 1/2

(b) Calculamos una primitiva de la función (ejercicio)

F(x) =

∫x ex dx = ex(x − 1)

La integral buscada es lı́ma→−∞

(F(1) − F(a)) = 0 − 0 = 0

(c) Calculamos una primitiva de la función (ejercicio)

F(x) =

∫dx

x2 − 4= 1/2 ln

∣∣∣∣∣ x − 2x + 2

∣∣∣∣∣La integral buscada es lı́m

b→+∞(F(b) − F(4)) = 0 − 1/2 ln(1/2) = ln 2

2 ≈ 0.3466 ♣

Ejercicio 11.38 Estudiar la convergencia de∫ +∞

1

12ex + 1

dx.

Solución

Utilizamos el criterio de comparación con la integral exponencial ya que 2ex > ex y por tanto 2ex + 1 >

2ex > ex. Así

0 ≤∫ +∞

1

12ex + 1

dx ≤∫ +∞

1

1ex dx

Como la integral mayorante converge (t = −1 < 0) entonces es convergente∫ +∞

1

12ex + 1

dx.

También podíamos haber comparado ambas integrales por paso al límite (ejercicio) ♣

Ejercicio 11.39 Estudiar la convergencia de las siguientes integrales impropias de primera especie:

(1)∫ +∞

1

xx3 + 2

dx (2)∫ +∞

1

x3

e2x + 1dx (3)

∫ +∞

2

x√

x4 + 1dx (4)

∫ +∞

1

sen xx2 dx

Solución

(a) Utilizamos el criterio de comparación con la p-integral:




0 ≤∫ +∞

1

xx3 + 2

dx ≤∫ +∞

1

xx3 dx =

∫ +∞

1

1x2 dx

Como∫ +∞

1

1x2 dx es convergente (es la p-integral con p = 2 > 0) la integral a estudiar es convergente.

También podíamos haber utilizado el criterio de comparación por paso al límite ya que

lı́mx→∞

xx3 + 2

1x2

= lı́mx→∞

x3

x3 + 2= 1

Como∫ +∞

1

1x2 dx es convergente (es la p-integral con p = 2 > 0) la integral a estudiar tiene el mismo

carácter y también es convergente.

(b) Utilizamos el criterio de comparación por paso al límite, comparándola con la integral exponencial

para t = −1 < 0

lı́mx→∞

x3

e2x + 11ex

= lı́mx→∞

exx3

e2x + 1= 0

Como la integral exponencial para t = −1 < 0 es convergente la integral original también es conver-

gente.

(c) Utilizamos el criterio de comparación por paso al límite, comparándola con una p-integral

lı́mx→∞

x√

x4 + 11xp

= lı́mx→∞

xp+1

√x4 + 1

= 1 con p + 1 = 2 ( =⇒ p = 1)

Como∫ +∞

2

1xp dx es divergente para p = 1 la integral original tiene el mismo carácter y también es

divergente.

(d) Hasta ahora todas las funciones a integrar eran no negativas en el intervalo de integración y hemos

podido aplicar los criterios de comparación directamente. En este caso, la función a integrar oscila y cam-

bia de signo continuamente mientras tomamos límite. Necesitamos estudiamos su convergencia absoluta

∫ +∞

1

∣∣∣∣∣sen xx2

∣∣∣∣∣ dx =

∫ +∞

1

|sen x|x2 dx ≤

∫ +∞

1

1x2 dx




Como esta integral es convergente la integral a estudiar es absolutamente convergente y, por tanto,

convergente ♣

Ejercicio 11.40 Aplicar el criterio de comparación por paso al límite para estudiar la convergencia de la

siguiente integral y utilizar la definición para calcularla:

∫ +∞

0

dxx2 + 4

Solución

Para aplicar el criterio de comparación por paso al límite, consideramos la p-integral con p = 2

lı́mx→∞

1x2 + 1

1x2

= lı́mx→∞

x2

x2 + 1= 1

Como∫ +∞

2

1x2 dx es convergente y la integral a estudiar tiene el mismo carácter también es conver-

gente.

Para utilizar la definición, calculamos una primitiva de la función (ejercicio)

F(x) =

∫dx

x2 + 4= 1/2 arc tg(x/2)

La integral buscada es lı́mb→+∞

∫ b

0

dxx2 + 4

= lı́mb→+∞

(F(b) − F(0)) = (π/4) − 0 =π

4

Ejercicio 11.41 Estudiar la convergencia de las siguientes integrales impropias:

(1)∫ π

4

0+

sen(x)x2 dx (2)

∫ 1

0+

sen( 1x )

3√

xdx (3)

∫ 1

0+

sen(1x

)dx

Solución

(a) La función a integrar no es continua en x = 0 pero es no negativa y podemos aplicar el criterio de

comparación por paso al límite

lı́mx→0+

sen(x)x2

1x

= lı́mx→0+

sen(x)x

= 1

Como ambas integrales tienen el mismo carácter y∫ π

4

0+

1x

dx es divergente (r-integral con r = 1) también

es divergente∫ π

4

0+

sen(x)x2 dx ♣




(b) La función a integrar no es continua en x = 0 pero la integral es absolutamente convergente

0 ≤∫ 1

0+

∣∣∣∣∣∣sen( 1x )

3√

x

∣∣∣∣∣∣ dx ≤∫ 1

0+

13√

xdx convergente

(c) La función a integrar no es continua en x = 0 pero la integral es absolutamente convergente

0 ≤∫ 1

0+

∣∣∣∣∣∣sen(1x

)∣∣∣∣∣∣ dx ≤∫ 1

0+

dx convergente

Ejercicio 11.42 Demostrar que las siguientes integrales impropias son convergentes:

(1)∫ π

2

0+

sen x√

1 − cos xdx (2)

∫ 1

0+

dx√

x(x + 1)Solución

(a) Si hacemos el cambio de variable t = cos x tenemos una r-integral para x = 1 con r = 1/2, por tanto

es convergente:

∫ π2

0+

sen x√

1 − cos xdx =

t = cos x

dt = − sen xdx

x = 0↔ t = 1

x = π2 ↔ t = 0

= −

∫ 0

1−

1√

1 − tdt =

∫ 1−

0

1√

1 − tdt

(b) Es la integral de una función positiva que está acotada por la r-integral para x = 0 con r = 1/2 por

tanto es convergente

0 ≤∫ 1

0+

dx√

x(x + 1)≤

∫ 1

0+

dx√

x

Ejercicio 11.43 Estudiar la convergencia de las siguientes integrales impropias:

(1)∫ +∞

0+

e−x

√x

dx (2)∫ +∞

2+

√x − 2

x2 − 4dx (3)

∫ +∞

1+

1

x√

x2 − 1dx (4)

∫ +∞

0+

x + 1√

x5 + 16xdx

Solución

(a) Separamos la integral entre cero y +∞, por ejemplo en uno:

∫ +∞

0+

e−x

√x

dx =

∫ 1

0+

e−x

√x

dx +

∫ +∞

1

e−x

√x

dx

∫ 1

0+

e−x

√x

dx podemos utilizar el criterio de comparación por paso al límite

lı́mx→0+

e−x

√x

1√

x

= lı́mx→0+

e−x = 1




Como∫ 1

0+

1√

xdx es convergente y tienen el mismo carácter, la integral a estudiar es convergente

∫ +∞

1

e−x

√x

dx podemos utilizar el criterio de comparación por paso al límite

lı́mx→+∞

e−x

√x

e−x = lı́mx→+∞

1√

x= 0

Como∫ +∞

1e−x dx es convergente la integral a estudiar es convergente.

Como en ambos intervalos la integral es convergente, la integral dada es convergente.

(b) Separamos la integral entre x = 2 y +∞, por ejemplo en x = 3:

∫ +∞

2+

√x − 2

x2 − 4dx =

∫ 3

2+

√x − 2

x2 − 4dx +

∫ +∞

3

√x − 2

x2 − 4dx

∫ 3

2+

√x − 2

x2 − 4dx es convergente (ejercicio)

∫ +∞

3

√x − 2


Por tanto, la integral dada es convergente

(c) Separamos la integral entre x = 1 y +∞, por ejemplo en x = 2:

∫ +∞

1+

1

x√

x2 − 1dx =

∫ 2

1+

1

x√

x2 − 1dx +

∫ +∞

2

1

x√

x2 − 1dx

∫ 2

1+

1

x√


∫ +∞

2

1

x√


Por tanto, la integral a estudiar es convergente ♣

(d) Separamos la integral entre x = 0 y +∞, por ejemplo en x = 1:

∫ +∞

0+

x + 1√

x5 + 16xdx =

∫ 1

0+

x + 1√

x5 + 16xdx +

∫ +∞

1

x + 1√

x5 + 16xdx

∫ 1

0+

x + 1√

x5 + 16xdx es convergente (ejercicio)




∫ +∞

1

x + 1√

x5 + 16xdx es convergente (ejercicio)

Por tanto, la integral dada es convergente. ♣

Ejercicio 11.44 Descomponer las siguientes integrales en suma de una integral de primera especie y otra

de segunda especie, estudiar el carácter de ambas y deducir si la integral dada es convergente o no lo es:

(1)∫ +∞

2+

4√16x3√x − 2

dx (2)∫ +∞

2+

5x3√

x2 − 4dx (3)

∫ +∞

1+

7

x3 4√x2 − 1

dx (4)∫ +∞

1+

4x2

4√x2 − 1

dx

Solución

(a) La función a integrar no es continua en x = 2 por lo que separamos la integral entre x = 2 y +∞,

por ejemplo en x = 3:

∫ +∞

2+

4√16x3√x − 2

dx =

∫ 3

2+

4√16x3√x − 2

dx +

∫ +∞

3

4√16x3√x − 2

dx

∫ 3

2+

4√16x3√x − 2

dx es convergente (ejercicio)

∫ +∞

3

4√16x3√x − 2

dx es divergente (ejercicio)

Por tanto, la integral a estudiar es divergente

(b) La función a integrar no es continua en x = 2 por lo que separamos la integral entre x = 2 y +∞,


∫ +∞

2+

5x3√

x2 − 4dx =

∫ 3

2+

5x3√

x2 − 4dx +

∫ +∞

3

5x3√

x2 − 4dx

∫ 3

2+

5x3√


∫ +∞

3

5x3√

x2 − 4dx es divergente (ejercicio)

Por tanto, la integral a estudiar es divergente

(c) La función a integrar no es continua en x = 1 por lo que separamos la integral entre x = 1 y +∞,


∫ +∞

1+

7

x3 4√x2 − 1

dx =

∫ 3

1+

7

x3 4√x2 − 1

dx +

∫ +∞

3

7

x3 4√x2 − 1

dx




∫ 3

1+

7

x3 4√x2 − 1


∫ +∞

3

7

x3 4√x2 − 1


Por tanto, la integral a estudiar es convergente

(d) La función a integrar no es continua en x = 1 por lo que separamos la integral entre x = 1 y +∞,


∫ +∞

1+

4x2

4√x2 − 1

dx =

∫ 3

1+

4x2

4√x2 − 1

dx +

∫ +∞

3

4x2

4√x2 − 1

dx

∫ 3

1+

4x2

4√x2 − 1


∫ +∞

3

4x2

4√x2 − 1

dx es divergente (ejercicio)

Por tanto, la integral a estudiar es divergente ♣

Ejercicio 11.45 Descomponer la siguiente integral en suma de una integral de primera especie y otra de

segunda especie, estudiar el carácter de ambas y deducir si la integral es convergente o no lo es

∫ +∞

2

3√3x + 15√

x2 − 2xdx

Solución

� En primer lugar tenemos que ver si la función está definida y qué signo tiene:

En el numerador la raíz siempre tiene sentido y como el polinomio es positivo también es positiva. En

el denominador la raíz tiene sentido si es distinta de cero y como el polinomio se puede descomponer como

x(x − 2) sólo se anula dentro del dominio para x = 2 y, como el factor para x > 2 es positivo, la función es

positiva. Los puntos problemáticos son −∞ y x = 2. Esto nos lleva a descomponer la integral en un punto

intermedio ∫ +∞

3

3√3x + 15√

x2 − 2xdx

∫ 3

2

3√3x + 15√

x2 − 2xdx

Como la función es positiva en ambos casos podemos aplicar el correspondiente criterio de comparación

por paso al límite con la integral adecuada.




� Analizamos la integral de primera especie comparándola con una p-integral∫ +∞

3

dxxp

lı́mx→+∞

3√3x + 1xp

5√x2 − 2x

= lı́mx→+∞

3√3x1/3xp

x2/5 =√

3

siempre y cuando p+1/3 = 2/5 =⇒ p = 2/5−1/3 = 1/6. Como el límite es finito tienen el mismo carácter

y como p < 1 ambas son divergentes.

� Analizamos la integral de segunda especie comparándola con una r-integral∫ 3

2

dx(x − 2)r

lı́mx→2

(x − 2)r 3√3x + 15√x(x − 2)

= lı́mx→−1

3√7(x − 2)r

5√2(x − 2)1/5=

3√73√2

Esto se da para r = 1/5 Como el límite es finito tienen el mismo carácter y como p < 1 ambas son

convergentes.

� Como una es convergente y la otra divergente la integral dada es divergente.

Ejercicio 11.46 Estudiar la convergencia de la siguiente integral

∫ 0

−1

sen2(1/x)5√

x2dx

Solución Como la función cambia de signo infinitas veces cuando nos acercamos a cero estudiamos su

convergencia absoluta

0 ≤∫ 0

−1

sen2(1/x)5√

x2dx ≤

∫ 0

−1

15√

x2dx =

∫ 0

−1

1

(−x)25

dx

Como esta integral es convergente (r = 25 < 1), entonces la integral dada es absolutamente convergente

y por tanto convergente.

Ejercicio 11.47 Descomponer la siguiente integral en suma de una integral de primera especie y otra de

segunda especie, estudiar el carácter de ambas y deducir si la integral es convergente o no lo es

∫ −1

−∞

3√2x2 + 3x + 1√−x6 − x7

dx

Solución





En el numerador el polinomio 2x2 + 3x + 1 se puede descomponer como 2(x + 12 )(x + 1) que para x < −1

es positivo ya que ambos factores son negativos. Aunque en este caso la raíz siempre tiene sentido y es

positiva, para trabajar con factores positivos es mejor descomponer el polinomio como 2(−12 − x)(−1 − x)

En el denominador el polinomio −x6 − x7 se puede descomponer como x6(−1 − x) que para x < −1 es

positivo con lo que la raíz tiene sentido y es positiva.

� En segundo lugar tenemos que ver los puntos problemáticos. Éstos son −∞ y x = −1, ya que x = −1/2

está fuera del dominio de la integral. Esto nos lleva a descomponer la integral en un punto intermedio

∫ −2

−∞

3√2x2 + 3x + 1√−x6 − x7

dx∫ −1

−2

3√2x2 + 3x + 1√−x6 − x7

dx

En ambos casos podemos aplicar el correspondiente criterio de comparación por paso al límite con la

integral adecuada.

� Analizamos la integral de primera especie comparándola con una p-integral∫ −2

−∞

dx(−x)p

lı́mx→−∞

3√2x2+3x+1√−x6−x7

1(−x)p

= lı́mx→−∞

3√2(−x)2/3(−x)p

(−x)7/2 =3√2

Esto se da para p + 2/3 = 7/2 =⇒ p = 7/2 − 2/3 = 17/6. Como el límite es finito tienen el mismo carácter

y como p > 1 ambas son convergentes.

� Analizamos la integral de segunda especie comparándola con una r-integral∫ −1

−2

dx(−1 − x)r

lı́mx→−1

3√2x2+3x+1√−x6−x7

1(−1 − x)r

= lı́mx→−1

3√2(−1 − x)2/3(−12 − x)2/3(−1 − x)r

(−1 − x)1/2(x)6/2 =

3√2 3√

12

6√

(−1)2= 1

Esto se da para r + 2/3 = 1/2 =⇒ p = 1/2 − 2/3 = −1/6 Como el límite es finito tienen el mismo carácter

y como p < 1 ambas son convergentes.

� Como ambas son convergentes la integral dada es convergente

Ejercicio 11.48 Calcular la siguiente integral utilizando la definición

∫ +∞

−1

√x + 1

x2 + 3x + 2dx




Solución


En el numerador x + 1 es positivo para x < −1 y la raíz tiene sentido y es positiva. Los puntos proble-

máticos x = −1 y +∞ ya que x = −2 está fuera del dominio de la integral. Esto nos lleva a descomponer la

integral en un punto intermedio

∫ 0

−1

√x + 1

x2 + 3x + 2dx

∫ +∞

0

√x + 1

x2 + 3x + 2dx

� Calculamos una primitiva de la función∫ √x + 1

x2 + 3x + 2dx =

√x + 1 = t⇔ x = t2 − 1

dx = 2t dt=

∫t2t

t4 + t2 dt =

∫2

t2 + 1dt = 2 arc tg(t)

Desacemos el cambio y queda

F(x) =

∫ √x + 1

x2 + 3x + 2dx = 2 arc tg(

√x + 1)

� Calculamos cada integral por la regla de Barrow

La primera integral es lı́ma→−1

(F(0) − F(a)) = π2 .

La segunda integral es lı́mb→+∞

(F(b) − F(0)) = π − π2 = π

2 .

Por tanto, la integral es

∫ 0

−1

√x + 1

x2 + 3x + 2dx +

∫ +∞

0

√x + 1

x2 + 3x + 2dx =

π

2+π

2= π

Obsérvese que podemos calcular la integral como

lı́mb→+∞

F(b) − lı́ma→−1

F(a) = π − 0 = π

Ejercicio 11.49 Estudiar la convergencia de las siguientes integrales impropias según el valor del pará-

metro α:

(1)∫ +∞

0

xα

1 + xdx; con α > 0 (2)

∫ +∞

0αe−αx dx; con α > 0

(3)∫ +∞

1xαe−x dx; con α ∈ R




Solución

(a) Si al aplicar el criterio de comparación por paso al límite, consideramos la p-integral con p = 1−α

lı́mx→∞

xα

1 + x1

x1−α

= lı́mx→∞

xx + 1

= 1

Como p = 1 − α con α > 0 tenemos p < 1 y por tanto es divergente

(b) Es proporcional a una integral exponencial convergente (t = −α < 0), por tanto es convergente

(c) Se compara con la p-integral con p = 1/2

Ejercicio 11.50 Descomponer cada una de las siguientes integrales impropias en suma de una integral

de primera especie y otra de segunda, estudiar el carácter de éstas y deducir si cada integral dada es

convergente o no lo es.

(a)∫ +∞

2+

4√16x3√x − 2

dx (b)∫ +∞

2+

5x3√

x2 − 4dx (c)

∫ +∞

1+

4x2

4√x2 − 1

dx (d)∫ +∞

3+

2x + 13√

x2 − 9dx

Ejercicio 11.51 Estudiar la convergencia de la integral∫ +∞

2

1

x√

x2 − 1dx, y si es convergente calcular

su valor.

Ejercicio 11.52 Aplicar el criterio de comparación por paso al límite para integrales impropias de primera

especie para estudiar la convergencia de la siguiente integral y utilizar la definición para calcularla.

∫ +∞

0

dxx2 + 4

Ejercicio 11.53 Estudiar la convergencia de la siguiente integral analizando su convergencia absoluta y

calcula su valor utilizando la definición de la integral impropia de primera especie

∫ 0

−∞

e3x cos(x) dx

Ejercicio 11.54 Estudiar la convergencia de la integral y calcularla si es posible∫ +∞

3+

√x − 3

x2 − 9dx

Ejercicio 11.55 Dada la integral∫ 1

0+

1√

x(x + 1)dx estudiar su convergencia y si es posible calcular su

valor.



Matemáticas con CAS (Mathematica)

Práctica 12 Práctica con Mathematica sin comentar y/o desarrollar.

f [x_] = 1/xf [x_] = 1/xf [x_] = 1/x

1x

(* Eliminamos mensajes para edición *)(* Eliminamos mensajes para edición *)(* Eliminamos mensajes para edición *)

Off[Integrate::idiv]Off[Integrate::idiv]Off[Integrate::idiv]

a = 0.25; ejea = ParametricPlot[{a, x}, {x, 0, f [a]},PlotStyle→ {Thickness[0.015]}];a = 0.25; ejea = ParametricPlot[{a, x}, {x, 0, f [a]},PlotStyle→ {Thickness[0.015]}];a = 0.25; ejea = ParametricPlot[{a, x}, {x, 0, f [a]},PlotStyle→ {Thickness[0.015]}];

b = 1; ejeb = ParametricPlot[{b, y}, {y, 0, f [b]},PlotStyle→ {Thickness[0.015]}];b = 1; ejeb = ParametricPlot[{b, y}, {y, 0, f [b]},PlotStyle→ {Thickness[0.015]}];b = 1; ejeb = ParametricPlot[{b, y}, {y, 0, f [b]},PlotStyle→ {Thickness[0.015]}];

pp1 = Plot[ f [x], {x, 0, 5},AspectRatio→ Automatic,AxesLabel→ {X,Y},PlotRange→ {{0, 5}, {0, 3}}];pp1 = Plot[ f [x], {x, 0, 5},AspectRatio→ Automatic,AxesLabel→ {X,Y},PlotRange→ {{0, 5}, {0, 3}}];pp1 = Plot[ f [x], {x, 0, 5},AspectRatio→ Automatic,AxesLabel→ {X,Y},PlotRange→ {{0, 5}, {0, 3}}];

pp2 = Plot[ f [x], {x, a, b},PlotStyle→ {Thickness[0.015]},Filling→ Bottom,PlotRange→ {{0, 5}, {0, 3}}];pp2 = Plot[ f [x], {x, a, b},PlotStyle→ {Thickness[0.015]},Filling→ Bottom,PlotRange→ {{0, 5}, {0, 3}}];pp2 = Plot[ f [x], {x, a, b},PlotStyle→ {Thickness[0.015]},Filling→ Bottom,PlotRange→ {{0, 5}, {0, 3}}];

Show[pp1, ejea, ejeb, pp2,PlotLabel->StyleForm[“f(x)=1/x”,FontSize→ 14,Background→ GrayLevel[0.75]]]Show[pp1, ejea, ejeb, pp2,PlotLabel->StyleForm[“f(x)=1/x”,FontSize→ 14,Background→ GrayLevel[0.75]]]Show[pp1, ejea, ejeb, pp2,PlotLabel->StyleForm[“f(x)=1/x”,FontSize→ 14,Background→ GrayLevel[0.75]]]

0 1 2 3 4 5X0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0Y

f HxL=1�x

Integrate[ f [x], {x, 0, 1}]Integrate[ f [x], {x, 0, 1}]Integrate[ f [x], {x, 0, 1}]

Integrate[ f [t], {t, x, 1},Assumptions→ {0 < x < 1}]Integrate[ f [t], {t, x, 1},Assumptions→ {0 < x < 1}]Integrate[ f [t], {t, x, 1},Assumptions→ {0 < x < 1}]

Limit[ %, x→ 0]Limit[ %, x→ 0]Limit[ %, x→ 0]∫ 1

0

1x

dx

−Log[x]

∞

a = 1; ejea = ParametricPlot[{a, x}, {x, 0, f [a]},PlotStyle→ {Thickness[0.015]}];a = 1; ejea = ParametricPlot[{a, x}, {x, 0, f [a]},PlotStyle→ {Thickness[0.015]}];a = 1; ejea = ParametricPlot[{a, x}, {x, 0, f [a]},PlotStyle→ {Thickness[0.015]}];

b = 4; ejeb = ParametricPlot[{b, y}, {y, 0, f [b]},PlotStyle→ {Thickness[0.015]}];b = 4; ejeb = ParametricPlot[{b, y}, {y, 0, f [b]},PlotStyle→ {Thickness[0.015]}];b = 4; ejeb = ParametricPlot[{b, y}, {y, 0, f [b]},PlotStyle→ {Thickness[0.015]}];



Show[pp1, ejea, ejeb, pp2,PlotLabel->StyleForm[“f(x)=1/x”,FontSize→ 14,Background→ GrayLevel[0.75]]]Show[pp1, ejea, ejeb, pp2,PlotLabel->StyleForm[“f(x)=1/x”,FontSize→ 14,Background→ GrayLevel[0.75]]]Show[pp1, ejea, ejeb, pp2,PlotLabel->StyleForm[“f(x)=1/x”,FontSize→ 14,Background→ GrayLevel[0.75]]]


0 1 2 3 4 5X0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0Y

f HxL=1�x

Integrate[ f [x], {x, 1, Infinity}]Integrate[ f [x], {x, 1, Infinity}]Integrate[ f [x], {x, 1, Infinity}]

Integrate[ f [t], {t, 1, x},Assumptions→ {x > 1}]Integrate[ f [t], {t, 1, x},Assumptions→ {x > 1}]Integrate[ f [t], {t, 1, x},Assumptions→ {x > 1}]

Limit[ %, x→ Infinity]Limit[ %, x→ Infinity]Limit[ %, x→ Infinity]∫ ∞

1

1x

dx

Log[x]

∞

f [x_] = Exp[−x]Sin[x]f [x_] = Exp[−x]Sin[x]f [x_] = Exp[−x]Sin[x]

e−xSin[x]

a = 0; b = 4;a = 0; b = 4;a = 0; b = 4;



Show[pp1, pp2

]Show

[pp1, pp2

]Show

[pp1, pp2

]

0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0X0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0Y

f HxL=ã-x Sin@xD

Integrate[ f [x], {x, 0,∞}]Integrate[ f [x], {x, 0,∞}]Integrate[ f [x], {x, 0,∞}]

Integrate[ f [t], {t, 0, x}]Integrate[ f [t], {t, 0, x}]Integrate[ f [t], {t, 0, x}]

Limit[ %, x→ Infinity]Limit[ %, x→ Infinity]Limit[ %, x→ Infinity]

1212−

12

e−x(Cos[x] + Sin[x])

12



Documents

Tema 11 Integrales impropias.personal.us.es/jmiguel/MATECO/Web-Matheco-IV-11.pdf · La integral impropia de una función positiva aparece al calcular el área encerrada entre la curva