Téma 11, plošné konstrukce, desky

1

Katedra stavební mechanikyFakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava

Statika stavebních konstrukcí II., 3.ročník bakalářského studia

Téma 11, plošné konstrukce, desky

• Plošné konstrukce, desky• Rozdělení desek• Předpoklady a řešení tenkých desek• Metody řešení tenkých desek• Skořepiny

2

DeskyIdealizují se jako rovinný obrazec (nejčastěji ve vodorovné rovině), může mít otvoryZatížení působí pouze kolmo ke střednicové rovině a může být vyvoláno idealizovanými bodovými silami (momenty) idealizovanými liniovými silami (momenty) idealizovanými plošnými silami vlastní tíhou změnou teploty

Vazby působí kolmo ke střednicové rovině a mohou být bodové (proti posunům) liniové (proti posunům a pootočením) plošné

3

Desky, příklady

4

Desky, příklady podpor desek

5

Desky, příklady

6

Pravoúhlé desky, volba souřadného systému

7

Desky, rozděleníDesky lze rozdělit dle rozměrů : membrány h/l < 1/80, velmi tenké desky h/l = 1/50 až 1/80, tenké desky h/l = 1/10 až 1/50, hrubé desky h/l = 1/5 až 1/10, prostorová tělesa h/l > 1/5.Dle deformace: s malými deformacemi |wmax| <1/300 a současně |wmax|

<h/4 a |max| < /60 se středními, případně velkými deformacemi |wmax| >

1/300, řešení patří k nelineárním úlohám pružnosti

8

Desky, tenké desky s malými deformacemi, předpoklady řešení

Autorství lineární teorie desek se přisuzuje Kirchhoffovi.Je založeno na těchto předpokladech:1. Deformace střednicové plochy jsou malé.2. Normálová napětí z jsou v porovnání s napětím x a y malá a

zanedbávají se.3. Body ležící před deformaci na normále ke střednici leží na ní i

po deformaci (tzv. špendlíková hypotéza). Nemění se také jejich vzdálenost z.=0. Důsledkem je, že

přetvoří lze vyjádřit jako funkci ohybové plochy w(x,y), xz=yz=0. 4. Body na střednicové ploše desky mají nulové normálové napětí

a přemísťují se pouze ve směru osy z (podmínkou je symetrie tvaru a materiálu desky.

9

Desky, příklady reálného průběhu napětí z

Schéma rozložení napětí při plošném zatížení a),

reálný průběh napětí z na obr. b).

10

Tenké desky, předpoklady o deformaci

Střednice desky se pohybuje pouze ve směru osy z.

Normála ke střednici n před zatížením zůstává normálou i po zatížení n´.

Posunutí bodu K v rovině xy ležícího mimo střednici do bodu K´ lze vyjádřit jako funkci u=f1(w), obdobně v=f2(w).

11

Tenké desky, řešení

0

0

0

: vztahyéGeometrick

2

2

zy

wz

y

w

y

wz

zy

w

z

v

zx

wz

x

w

x

wz

zx

w

z

u

z

w

y

wzzv

x

wzzu

yz

xz

x zy

. funkcí průhybovou vyjádřenoje deformacesložek Šest

2 2

2

2

2

2

w(x,y)

yxw

zxv

yu

yw

zyv

xw

zxu

xyx y

12

Tenké desky, řešení, pokračování

yx

wEzE

x

w

y

wEzE

y

w

x

wEzE

GEE

xyxy

xyy

xx

xyxyxyyyxx

y

2

2

2

2

2

22

2

2

2

2

22

1)1(2

,11

,11

,1

,1

: vztahyFyzikální

Z těchto rovnic a z geometrických vztahů lze odvodit:

13


GGG

E

yx

wEzE

x

w

y

wEzE

y

w

x

wEzE

xzyz

xzyzyxz

xyxy

xyy

xx

xyx

xzyz

y

y

pro 0 ,0 rovnováhy.podmínky li-platí

,0 ,0 dále a 01

takéje

,1)1(2

,11

,11

0 ,0 ,0 liJe

2

2

2

2

2

22

2

2

2

2

22

Je zde určitý nesoulad s Kirchhofovou teorií

14


)(412

platí obdobně )(412

)(212

))1()1(1

)1( ,

1 Protože

0 rovnováhy rovnice Z

22

22

2

2

2/2

2

2/

2

3

2

3

2

3

3

3

2

2

33

3

3

2

2/

2

wy

zhE

wx

zhE

wx

zEdz

yx

w

yx

w

yx

w

x

wEz

yx

wEz

yxy

w

x

wEz

x

σ

dzyxyxz

zyx

zyzx

h

z

h

zzx

yxx

h

z

yxxzx

yxxzx

zxyxx

15

Desky, průběh složek napětí a složek měrných vnitřních sil

Kladný smysl vnitřních sil je zřejmý z obr. Na tzv. kladných ploškách jsou orientovány ve směru kladných os x,y (ohybové momenty vyvolávají tah ve spodních vláknech a kladné kroutící momenty mají směr kladných tečných napětí). Na záporně orientovaných ploškách je to opačně.

16

Desky, odvození složek měrných vnitřních sil

Měrné vnitřní síly mají význam intenzity vnitřních sil, jsou vztaženy k jednotkové délce příslušného řezu. Označují se malými písmeny.

tuhostdesková )1(12

)1(

, ),(

2

3222/

2/

2/

2/

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

22/

2/

3

22

2

2

22/

2/

2

2

2/

2/

3

3

1

311

EhD

yx

wD

yx

wm

x

w

y

wDm

y

w

x

wDm

dzzm

h

h

h

hxy

yx

h

h

h

h

h

hxx

zEzdz

y

w

x

wzE

y

w

x

wEzdz

xy

17

Desky, odvození složek měrných (posouvajících) vnitřních sil

tuhostdesková )1(12

412

412

2

3

332/

2/

2/

2/

2

3

3

32/

2/

2/

2/

23

22

2

22

2

EhD

yx

w

y

wDdzw

yz

hEdzq

yx

w

x

wDdzw

xz

hEdzq

h

h

h

hyzy

h

h

h

hxzx

18

Desky, transformace složek měrných vnitřních sil, hlavní momenty

sincos

)sin(coscossin)(

cossin2sincos22

22

yxn

xyxn

xyyxn

qqq

mmmm

mmmm

yt

19

Desky, podmínky rovnováhy

dxdyy

qqQdxqQ

dydxx

qqQdyqQ

dxdyy

mmKdxmK

dydxx

mmKdymK

dxdyy

mmMdxmM

dydxx

mmMdymM

yy

xxx

xyyxy

xyxyxy

yyy

xxx

y

x

4

21

3

21

33

1

,

,

,

,

,

,

3

4

2

pdxdyF

20

Desky, podmínky rovnováhy, pokračování

0

022

022

421

432143

214321

3

FQQQQ

dyQ

dyQKKMM

dxQ

dxQKKMM

21

Desky, podmínky rovnováhy, pokračování, desková rovnice

Dyxp

yxwDp

yw

yxw

xw

py

m

yx

m

xm

py

q

xq

x

m

y

m

y

m

xm

FQQQQ

dyQ

dyQKKMM

dxQ

dxQKKMM

yxyx

yxxyyxyx

),(),( respektive ,

2

obdržíme úpravě po a 2

:dostaneme třetído rovnicdvou prvních Dosazením

0 ,q ,q

:je 0

022

022

rovnic úpravě Po

4

4

22

4

4

4

2

22

2

2

421

432143

214321

yx

3

22

Desky, desková rovnice pro pravoúhlé desky

je ),(

),( respektive ,

24

4

22

4

4

4

Dyxp

yxwDp

yw

yxw

xw

Desková rovnice

• parciální diferenciální rovnice 4. řádu,

• lineární

• nehomogenní (má pravou stranu)

• eliptického typu

Pro p=0 jde o biharmonickou rovnici. Každá biharmonická funkce odpovídá průhybové ploše desky zatížené jen na okrajích.

23

Okrajové podmínky deskyŘešení rovnice desky musí odpovídat daným okrajovým podmínkám (vždy dvě na okraji).Okraj vetknutý: na okraji nulový průhyb i pootočení

xyx

xy

i

i

mx

wDm

x

wDm

m

yx

w

y

w

y

w

y

w

x

ww

2

2

2

2

2

2

2

x

nulový jemoment kroutící

0 a 0...

platí také,0 ,0

24

Okrajové podmínky desky,okraj prostě podepřený

Na okraji nulový průhyb a nulový moment mx.

0. ,0

0 proto a 0,

0...

platí také,0 ,0

2

2

2

2

2

2

2

2

x

x

ww

x

w

x

wDm

y

w

y

w

y

w

mw

x

i

i

Deformační vyjádření OP:

25

Okrajové podmínky desky,okraj prostě podepřený, pokračování

Desková rovnice umožňuje plnit na okraji pouze dvě podmínky. Mělo by zde být ještě třetí podmínka mxy=0.Řeší se tzv. doplněnou posouvající silou.

y

m

y

yxmyyxmqqym xyxyxy

yxxxy

),(),(0 lim

0

2

3

3

2

)2(

:je síla Tato

yx

w

x

wDq

y

mqq

x

xyxx

26

Okrajové podmínky desky, okraj volný

Na nezatíženém okraji by měly být splněny tři podmínky, a to:

0 ,0 ,0 xyxx mqm

Předepisujeme však jen dvě podmínky:

0 ,0 xx qm

27

Desky, metody řešeníPřímé řešení deskové rovnice v uzavřeném tvaru neexistuje. Aplikují se přibližné metody, ke kterým např. patří: Navierovo řešení, založené na rozvoji funkce zatížení a průhybu do Fourierových řad Metoda sítí Metoda konečných prvků

28

Desky, příklad řešení metodou sítí

29

Desky, příklad řešení metodou sítí

30

Deskový pásJe nejjednodušší případ deskové konstrukce

31

Desky, příklady

32

Desky kruhové

33

Tlusté desky, Mindlinova teorie

Body normály ke střednicové rovině zůstávají po deformaci na přímce. Ta již obecně není normálou ke střednicové rovině.

),(),(

),(),(

yxy

wyx

yxx

wyx

yy

xx

Vedle neznáme w, jsou zde ještě neznámé x a y, respektive ., yx

34

Skořepinové konstrukce

Plošné konstrukce se zakřivenou střednicovou plochou

35

Skořepinové konstrukce, příklady

36

Příklad válcové skořepiny

Documents

Téma 11, plošné konstrukce, desky