1

Katedra stavební mechanikyFakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava

Statika stavebních konstrukcí II., 3.ročník bakalářského studia

Plošné konstrukce, nosné stěny

• Plošné konstrukce, základní znaky• Plošné konstrukce rovinné• Základní rovnice matematické teorie pružnosti• Nosné stěny• Metody řešení nosných stěn

2

Plošné konstrukce, základní charakteristika

Prut je trojrozměrné těleso, jehož jeden rozměr (délka) je podstatně větší než zbývající dva rozměry.Plošný konstrukční prvek je trojrozměrné těleso, jehož dva rozměry jsou podstatně větší než zbývající jeden rozměr (tloušťka).Množinou bodů dělících tloušťku plošného prvku na dvě stejné části je střednicová plocha.

3

Plošné konstrukce, základní charakteristika

Rovinnou střednicovou plochu mají nosné stěny deskyZakřivenou střednicovou plochu mají skořepiny membrány

4

Nosné stěnyIdealizují se jako rovinný obrazec (nejčastěji ve svislé rovině), může mít otvoryZatížení působí pouze ve střednicové rovině a může být vyvoláno idealizovanými bodovými silami idealizovanými liniovými silami vlastní tíhou změnou teplotyVazby mohou být liniové bodové

5

Nosné stěny, příklady

6

Nosné stěny, příklady

7

Nízký a vysoký stěnový nosník

8

Základní rovnice matematické teorie pružnosti v prostoru - 1. rovnice rovnováhy

0

0

0

Zzyx

Yzyx

Xzyx

zyzxz

zyyxy

zxyxx

9

Základní rovnice matematické teorie pružnosti v prostoru - 2. geometrické rovnice

x

v

y

u

y

v

x

u

xyyx , ,

x

w

y

u

z

w

z

v

y

w

y

v

y

u

x

v

x

u

z

y

x

zx

yz

xy

10

Základní rovnice matematické teorie pružnosti v prostoru - 2. geometrické rovnice, rovnice kompatibility (slučitelnosti)

yxx

v

y

u

yxxy

v

yx

u

xy

x

v

y

u

y

v

x

u

xy22

2

3

2

3

2

y2

2x

2

xyyx

)(

, ,

Obdobně lze odvodit další podmínky kompatibility

V prostoru je celkem 6 rovnic kompatibility

Nejsou-li tyto rovnice splněny, není deformované těleso bez mezer nebo vzájemných průniků

11

Základní rovnice matematické teorie pružnosti v prostoru – 3. Hookův zákon

materiálu ipoddajnost matice

)1(200000

0)1(20000

00)1(2000

0001

0001

0001

1

,,,,, )1(2

)(1

,,,,, )1(2

)(1

)1(2

)(1

11

zy z

zyyzxy zyxyzy

xyx 1

DE

D

EE

EE

EE

T

yxyzxyzyxyxyxz

T

yzzxy

xyzyx D

12

Základní rovnice matematické teorie pružnosti v prostoru - 3. Hookův zákon, pokračování

materiálu tuhostimatice je

2

2100000

02

210000

002

21000

0001

0001

0001

)21)(1(

,,,,, ,,,,,

D

ED

T

yxyzxyzyx

T

yxyzxyzyx

D

13

Předpoklady řešení nosných stěnPředpoklady řešení: Fyzikální linearita Geometrická linearita Konstrukční linearita, všechna vnitřní a vnější vazby zůstávají zachovány při všech zatíženích působících na konstrukci

Pak lze využít - princip superpozice Princip Saint-Venantův: V bodech tuhého tělesa, dostatečně vzdálených od působišť vnějších sil, napětí velmi málo závisí na detailním způsobu realizace těchto zatížení

14

Metody řešení nosných stěn, základní rovnice matematické teorie pružnosti v rovině

Klasická úloha pro rovinný případ napjatosti. Pro střednicí v rovině xy je:

materiálu tuhostimatice je

materiálu ipoddajnost matice je

)1(21

00

01

01

1

)1(200

01

011

)1(2 ),(

1 ),(

1zákon Hookův

0 0 ,0 ,0 ,0

1

2

11

xyyx

xzxzzxyyx

D

D

EDD

EDD

EEE xyxyyx

yzxz

15

Řešení nosných stěn, pokračování

kde

,podmínka) Lévyho (tzv. 0)( a

0))(( respektive ,0

)1()1()1(2

)1(2)()(

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2xy

2

xy2

2

xy2

2

yx2

yx

yxyxyx

yExEyxE

yxExEyE

yx

yxyyxx

yx

Po dosazení Hookova zákona do rovnice kompatibility je:

Laplaceův operátor 2. řádu

Po úpravě:

Při konstantních objemových silách:

16

Řešení nosných stěn, pokračování

0),(02

,,,

),(

0)(

0

0

4

4

22

4

4

4

2

2

2

2

2

yxyyxx

yxxy

yxF

Y

X

xyyx

yx

operátoru Laplaceova pomocí nebo

:)( tvaru zapsat ve úpravě po lze rovnici třetí

:platíkterou pro funkce), (Airyho

funkce vyhovujerovnováhy rovnicímsíly objemové nulové Pro

yx

yx

rovnic řísoustavu t vytvářejípodmínkou toutosrovnováhy Rovnice

napětích. vrovině ity vkompatibil rovnice m vyjádřeníje podmínka Lévyho

yxy

xyx

rovnice stěnová

17

Řešení nosných stěn, stěnová rovnice

1862).(Airy spojitosti arovnováhy podmínkám odpovídá která

stěny, napětí stavodvodit lze funkcikou biharmonickaždou Pro

stranu)pravou (nemá homogenní je 3)

lineární je 2)

řádu 4. rovnice lnídiferenciá parciální 1)

:je ká)biharmonic též(nazývaná 0 y)ΔΔΦ(x, respektive

,02

4

4

22

4

4

4

yyxx rovnice Stěnová

18

Nosné stěny, okrajové podmínky

Okrajové podmínky: Statické (tzv. 1. problém pružnosti)Výslednice napětí na okraji (hranici) řešené oblasti (stěny, desky)musí být rovna výslednici povrchových sil Deformační (tzv. 2. problém pružnosti)Přetvoření na okraji (hranici) řešené oblasti (stěny, desky)musí odpovídat vnějším vazbám (předepsaným hodnotám) Smíšené (tzv. 3. problém pružnosti)V rovinných úlohách musí být v každém bodě okraje splněny vždy dvě okrajové podmínky. Jedna z nich může být statická, druhá deformační.

19

Nosné stěny, příklad řešení

0

,02

, : tvaru vefunkci Airyho Zvolme

4

4

22

4

4

4

4

4

22

4

4

4

33

zzxx

zzxx

cxzbzaxz

a, b, c určíme z okrajových podmínek vyhovuje stěnové rovnici, neboť:

20

Nosné stěny, příklad řešení

232

xz

2

2

z

2

2

x

3)(

0

66

czaczazzzx

z

cxzbzz

h

Fa

h

Flb

h

FcFdzcz(-a-dz

cha

x

h/

-h/

h/

-h/xz

xz

2

3 dále a 0 je

2

l xpro )3

2)3 je

2

l xpro )2

4

30 je

2

hz pro 1)

3

3

2

2

22

2

2

Okrajové podmínky:

Složky napětí:

21

Nosné stěny, příklad řešení, pokračování

0 2

z pro 2

3 0z pro ),

41(

2

3

0

)(

12/

)2/()

2(

12

)2

2

3(

xzxz2

22

xz

2

2

z

332

2

x

3

3

3

333

h

hF

h

zF

hzx

z

zJ

xMz

h

xlFx

lz

h

F

z

h

xz

h

lzxz

hFcxzbzaxz

Tyto vztahy jsme odvozovali v PP, viz Grashofův vzorec,

pro obdélníkový průřez a pro jednotkovou šířku konzoly

složky napětí:

Po dosazení do Airyho funkce je:

22

Nosné stěny,některé metody řešení

Metody využívající stěnovou rovnici: Inverzní metoda (viz předchozí příklad) Metoda sítí Fourierova metodaPřibližné metody: Energetické metody (např. Ritzova

metoda) Metoda konečných prvků

23

Základní tvary konečných prvků používaných pro řešení nosných stěn

24

MKP, příklady diskretizace stěnového obrazce

25

MKP, příklady modelování zakřiveného okraje

26

Základní kroky v MKP při řešení stěn

Analýza stěnového prvku – vede k sestavení matice tuhosti prvku a zatěžovacího vektoru prvku

Analýza stěnového obrazce vede k sestavení matice tuhosti konstrukce a zatěžovacího vektoru při respektování okrajových podmínek:

Vyřešení soustavy lineárních rovnic Závěrečný výpočet stěnového obrazce

vektordeformační je

vektorzatěžovací je

konstrukce tuhostimatice je kde

,

r

F

K

FrK

27

Příklad řešení nosné stěny MKP

28

Příklad řešení nosné stěny MKP, výpočtový model stěnového obrazce

29

Příklad řešení nosné stěny MKP, průběh vnitřních sil na levém (vetknutém) okraji

30

Příklad řešení nosné stěny MKP, průběh vnitřních sil na ose symetrie

31

Rovinný případ deformace, základní rovnice matematické teorie pružnosti v rovině

Pro střednici v rovině xy je:

materiálu tuhostimatice je

materiálu ipoddajnost matice je

)1(21

00

01

01

)21)(1(

12

00

011

01

1

1

)1(2 ),

1(

1 ),

1(

1zákon Hookův

0 ,0 ,0 ,0

0 ,0 ,0 ,0 ,0

1

211

xy

2

y

2

x

yzxzxyyx

xyzyx

D

D

EDD

EDD

EEE xyxyyx

z

yzxz

32

Rovinný případ deformace, základní rovnice matematické teorie pružnosti v rovině

napětí. případ rovinný pro

jako vztahy stejnépoužít formálně

deformace případ rovinný pro lze

1 a

1

se liOznačí

112

EE

33

Příklady rovinného stavu deformace

34

Příklady rovinného stavu deformace

Katedra stavební mechanikyFakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava

Statika stavebních konstrukcí II., 3.ročník bakalářského studia

Plošné konstrukce, desky

• Plošné konstrukce, desky• Rozdělení desek• Předpoklady a řešení tenkých desek• Metody řešení tenkých desek• Skořepiny

36

DeskyIdealizují se jako rovinný obrazec (nejčastěji ve vodorovné rovině), může mít otvoryZatížení působí pouze kolmo ke střednicové rovině a může být vyvoláno idealizovanými bodovými silami (momenty) idealizovanými liniovými silami (momenty) idealizovanými plošnými silami vlastní tíhou změnou teploty

Vazby působí kolmo ke střednicové rovině a mohou být bodové (proti posunům) liniové (proti posunům a pootočením) plošné

37

Desky, příklady

38

Desky, příklady podpor desek

39

Desky, příklady

40

Pravoúhlé desky, volba souřadného systému

41

Desky, rozděleníDesky lze rozdělit dle rozměrů : membrány h/l < 1/80, velmi tenké desky h/l = 1/50 až 1/80, tenké desky h/l = 1/10 až 1/50, hrubé desky h/l = 1/5 až 1/10, prostorová tělesa h/l > 1/5.Dle deformace: s malými deformacemi |wmax| <1/300 a současně |wmax|

<h/4 a |max| < /60 se středními, případně velkými deformacemi |wmax| >

1/300, řešení patří k nelineárním úlohám pružnosti

42

Desky, tenké desky s malými deformacemi, předpoklady řešení

Autorství lineární teorie desek se přisuzuje Kirchhoffovi.Je založeno na těchto předpokladech:1. Deformace střednicové plochy jsou malé.2. Normálová napětí z jsou v porovnání s napětím x, a y malá

a zanedbávají se.3. Body ležící před deformaci na normále ke střednici leží na ní i

po deformaci (tzv. špendlíková hypotéza). Nemění se také jejich vzdálenost z.=0. Důsledkem je, že

přetvoření lze vyjádřit jako funkci ohybové plochy w(x,y), xz=yz=0. 4. Body na střednicové ploše desky mají nulové normálové

napětí a přemísťují se pouze ve směru osy z (podmínkou je symetrie tvaru a materiálu desky.

43

Desky, příklady reálného průběhu napětí z

Schéma rozložení napětí při plošném zatížení a),

reálný průběh napětí z na obr. b).

44

Tenké desky, předpoklady o deformaci

Střednice desky se pohybuje pouze ve směru osy z.

Normála ke střednici n před zatížením zůstává normálou i po zatížení n´.

Posunutí bodu K v rovině xy ležícího mimo střednici do bodu K´ lze vyjádřit jako funkci u=f1(w), obdobně v=f2(w).

45

Tenké desky, řešení

0,0,0

0 ,0

: vztahyéGeometrick

yw

zzvxw

zzu

yw

zv

xw

zu

zw

yx

xzxzz

yzxzy

. funkcí průhybovou vyjádřenoje deformacesložek Šest

2 2

2

2

2

2

w(x,y)

yxw

zxv

yu

yw

zyv

xw

zxu

xyx y

46

Tenké desky, řešení, pokračování

Gxz

xzGyz

yzyxEz

yx

wEzxy

Exy

x

w

y

wEzxy

Ey

y

w

x

wEzx

Ex

Gxy

xyxyEyyxEx

y

dále a

:odvodit ých vztahůgeometrick využtípři lze rovnic těchtoZ

: vztahyFyzikální

,),(1

,2

1)21(2

),2

2

2

2(

21)(

21

),2

2

2

2(

21)(

21

),(1

),(1

47

Tenké desky, řešení, pokračování

)()4

(1

platí obdobně )()4

(1

)(21

))1((1

)1( ),(

1 Protože

)(

0 rovnováhy rovnice Z

22

2

22

2

2/2

2

2/

2

3

2

3

3

3

2

2

33

3

3

2

2/

2

wy

zhE

wx

zhE

wx

zEdz

yxw

yxw

xwEz

yxwEz

yxyw

xwEz

xσ

dzyxyxz

zyx

zyzx

h

z

h

zzx

yxx

h

z

yxxzx

yxxzx

zxyxx

48

Desky, průběh složek napětí a složek měrných vnitřních sil

Kladný smysl vnitřních sil je zřejmý z obr. Na tzv. kladných ploškách jsou orientovány ve směru kladných os x,y (ohybové momenty vyvolávají tah ve spodních vláknech a kladné kroutící momenty mají směr kladných tečných napětí). Na záporně orientovaných ploškách je to opačně.

49

Desky, odvození složek měrných vnitřních sil

Měrné vnitřní síly mají význam intenzity vnitřních sil, jsou vztaženy k jednotkové délce příslušného řezu. Označují se malými písmeny.

tuhostdesková )1(12

)1( ),( ),(

)(31

)(1

2

3

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

22/

2/

3

22

2

2

22/

2/

2

2

2/

2/

EhD

yxw

Dmxw

yw

Dmyw

xw

Dm

yw

xwzE

dzyw

xw

zE

zdzm

yyx

h

h

h

h

h

hxx

x

50

Desky, odvození složek měrných (posouvajících) vnitřních sil

tuhostdesková )1(12

)(

),(

2

3

2

3

3

32/

2/

2

3

3

32/

2/

EhD

yxw

yw

Ddzq

yxw

xw

Ddzq

h

hyzy

h

hxzx

51

Desky, transformace složek měrných vnitřních sil, hlavní momenty

sincos

)sin(coscossin)(

cossin2sincos22

22

yxn

xyxn

xyyxn

qqq

mmmm

mmmm

yt

52

Desky, podmínky rovnováhy

dxdyy

qqQdxqQ

dydxx

qqQdyqQ

dxdyy

mmKdxmK

dydxx

mmKdymK

dxdyy

mmMdxmM

dydxx

mmMdymM

y

y

xxx

xy

yxy

xy

xyxy

y

yy

xxx

y

x

)( ,

)( ,

)( ,

)( ,

)( ,

)( ,

4

21

3

21

33

1

3

4

2

pdxdyF

53

Desky, podmínky rovnováhy, pokračování

0

022

022

421

432143

214321

3

FQQQQ

dyQ

dyQKKMM

dxQ

dxQKKMM

54

Desky, podmínky rovnováhy, pokračování, desková rovnice

Dyxp

yxwDp

yw

yxw

xw

py

m

yx

m

xm

py

q

xq

x

m

y

m

y

m

xm

FQQQQ

dyQ

dyQKKMM

dxQ

dxQKKMM

yxyx

yxxyyxyx

),(),( respektive ,

2

obdržíme úpravě po a 2

:dostaneme třetído rovnicdvou prvních Dosazením

0 ,q ,q

:je 0

022

022

rovnic úpravě Po

4

4

22

4

4

4

2

22

2

2

421

432143

214321

yx

3

55

Desky, desková rovnice pro pravoúhlé desky

je ),(

),( respektive ,

24

4

22

4

4

4

Dyxp

yxwDp

yw

yxw

xw

Desková rovnice

• parciální diferenciální rovnice 4. řádu,

• lineární

• nehomogenní (má pravou stranu)

• eliptického typu

Pro p=0 jde o biharmonickou rovnici. Každá biharmonická funkce odpovídá průhybové ploše desky zatížené jen na okrajích.

56

Okrajové podmínky deskyŘešení rovnice desky musí odpovídat daným okrajovým podmínkám (vždy dvě na okraji).Okraj vetknutý: na okraji nulový průhyb i pootočení

xyx

xy

i

i

mx

wDm

x

wDm

m

yx

w

y

w

y

w

y

w

x

ww

2

2

2

2

2

2

2

x

nulový jemoment kroutící

0 a 0...

platí také,0 ,0

57

Okrajové podmínky desky,okraj prostě podepřený

Na okraji nulový průhyb a nulový moment mx.

0. ,0

0 proto a 0,

0...

platí také,0 ,0

2

2

2

2

2

2

2

2

x

x

ww

x

w

x

wDm

y

w

y

w

y

w

mw

x

i

i

Deformační vyjádření OP:

58

Okrajové podmínky desky,okraj prostě podepřený, pokračování

Desková rovnice umožňuje plnit na okraji pouze dvě podmínky. Mělo by zde být ještě třetí podmínka mxy=0.Řeší se tzv. doplněnou posouvající silou.

y

m

y

yxmyyxmqqym xyxyxy

yxxxy

),(),(0 lim

0

2

3

3

2

)2(

:je síla Tato

yx

w

x

wDq

y

mqq

x

xyxx

59

Okrajové podmínky desky, okraj volný

Na nezatíženém okraji by měly být splněny tři podmínky, a to:

0 ,0 ,0 xyxx mqm

Předepisujeme však jen dvě podmínky:

0 ,0 xx qm

60

Desky, metody řešeníPřímé řešení deskové rovnice v uzavřeném tvaru neexistuje. Aplikují se přibližné metody, ke kterým např. patří: Navierovo řešení, založené na rozvoji funkce zatížení a průhybu do Fourierových řad Metoda sítí Metoda konečných prvků

61

Desky, příklad řešení metodou sítí

62

Desky, příklad řešení metodou sítí

63

Deskový pásJe nejjednodušší případ deskové konstrukce

64

Desky, příklady

65

Desky kruhové

66

Tlusté desky, Mindlinova teorie

Body normály ke střednicové rovině zůstávají po deformaci na přímce. Ta již obecně není normálou ke střednicové rovině.

),(),(

),(),(

yxy

wyx

yxx

wyx

yy

xx

Vedle neznámé w, jsou zde ještě neznámé x a y, respektive ., yx

67

Skořepinové konstrukce

Plošné konstrukce se zakřivenou střednicovou plochou

68

Skořepinové konstrukce, příklady

69

Příklad válcové skořepiny