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Resistencia de
Materiales______________________________________________________________________________Universidad
de los AndesFacultad de IngenieraEscuela de Ingeniera MecnicaTema 3
- Torsin en barrasTema 3Torsin en barras
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______________________________________________________________________________Universidad
de los AndesFacultad de IngenieraEscuela de Ingeniera Mecnicandice
de contenidoTema 3 - Torsin en barrasndice de contenidoSeccin 1 -
Deformaciones en un eje circular
Seccin 2 - Esfuerzos cortantes en barras circulares debido a
torsin
Seccin 3 - Ejes estticamente indeterminados
Seccin 4 Relacin entre torsor, potencia y velocidad angular
Seccin 5 - Ecuaciones empleadas en barras no circulares
Seccin 6 - Resmen de ecuaciones
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Deformaciones en un eje circularTema 3 - Torsin en barrasSeccin
1 - Deformaciones en un eje circularUn momento de torsin es aquel
que tiende a hacer girar un miembro respecto a su eje
longitudinal.
Su efecto es de inters primordial en el diseo de ejes de
transmisin, utilizados ampliamente en vehculos y
maquinaria.______________________________________________________________________________Universidad
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Se puede ilustrar qu ocurre fsicamente cuando un momento de
torsin se aplica a un eje circular hecho de un material muy
elstico, como el hule, por ejemplo.
Cuando se aplica el momento torsor, las secciones circulares se
mantienen como tales, experimentando una rotacin en el plano del
momento. Las lneas longitudinales se convierten en hlices que
intersectan siempre con el mismo ngulo a los crculos
transversales.______________________________________________________________________________Universidad
de los AndesFacultad de IngenieraEscuela de Ingeniera MecnicaTema 3
- Torsin en barrasSeccin 1 - Deformaciones en un eje circular
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Extraeremos a continuacin una porcin cilndrica y consideraremos
un pequeo elemento cuadrado que se encuentre en la superficie de
dicha porcin. Luego de aplicar el momento torsor, el elemento
diferencial considerado deja de ser cuadrado y se convierte en un
rombo, tal como se
muestra.______________________________________________________________________________Universidad
de los AndesFacultad de IngenieraEscuela de Ingeniera MecnicaTema 3
- Torsin en barrasSeccin 1 - Deformaciones en un eje circular
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Observemos la figura. Si el ngulo g es muy pequeo, se puede
establecer:
______________________________________________________________________________Universidad
de los AndesFacultad de IngenieraEscuela de Ingeniera MecnicaDonde
AA es el arco que recorre el punto A al deformarse la barra debido
a torsin, es el ngulo de giro (en radianes) entre dos secciones
transversales separadas una longitud L, es el radio de la porcin
cilndrica considerada y g es la deformacin cortante, en
radianes.Tema 3 - Torsin en barrasSeccin 1 - Deformaciones en un
eje circular
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Ley de Hooke para TorsinDe forma similar al caso de esfuerzos
normales, existe tambin una relacin proporcional entre las
deformaciones cortantes que ocurren en el rango elstico y los
esfuerzos cortantes relativos a dichas deformaciones.De forma
matemtica, podemos expresar dicha relacin como sigue:
Donde t es el esfuerzo cortante, g es la deformacin cortante y G
es el mdulo de rigidez, que se puede relacionar con el modulo de
elasticidad (E) de la siguiente forma:
Siendo n el mdulo de Poisson.
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de los AndesFacultad de IngenieraEscuela de Ingeniera MecnicaTema 3
- Torsin en barrasSeccin 1 - Deformaciones en un eje circular
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Tema 3 - Torsin en barrasSeccin 2 - Esfuerzos cortantes en
barras circulares debido a torsinPara realizar la deduccin de una
expresin que nos permita hallar la distribucin de esfuerzos
cortantes en una seccin transversal debido a un momento torsor
aplicado en ella, asumiremos lo siguiente:
- Las secciones circulares permanecen como tales.
- Las secciones transversales se mantienen planas, sin
alabearse.
- Las lneas radiales permanecen rectas an despus de la
deformacin.
- El eje est sometido a la accin de pares torsores.
- Las deformaciones producidas ocurren en el rango elstico del
material.
______________________________________________________________________________Universidad
de los AndesFacultad de IngenieraEscuela de Ingeniera
MecnicaEsfuerzos cortantes en barras circulares debido a torsin
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Si recordamos la relacin de deformacin establecida
anteriormente:
Notaremos que para una deformacin dada, los valores de q y L se
mantienen constates, de forma que g vara linealmente con r. Podemos
establecer entonces el valor mximo de la deformacin g :
Luego:
Y,
finalmente:______________________________________________________________________________Universidad
de los AndesFacultad de IngenieraEscuela de Ingeniera MecnicaTema 3
- Torsin en barrasSeccin 2 - Esfuerzos cortantes en barras
circulares debido a torsin
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Recordando que la deformacin se realiza en el rango elstico del
material, podemos aplicar la ley de Hooke sobre la expresin y nos
queda:
Aplicar la primera condicin de equilibrio nos aportar una
informacin que ya conocemos: la variacin del esfuerzo cortante es
lineal respecto al radio de la seccin. Estudiaremos entonces que
sucede con la segunda condicin de equilibrio:
Sacando de la integral los trminos constantes, nos queda:
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de los AndesFacultad de IngenieraEscuela de Ingeniera MecnicaTema 3
- Torsin en barrasSeccin 2 - Esfuerzos cortantes en barras
circulares debido a torsin
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Donde la integral resultante es una propiedad de rea conocida
como momento polar de inercia (J). Podemos rescribir entonces la
expresin de la forma:
Recordando que anteriormente se estableci que:
Sustituimos esto en la expresin anterior y nos
queda:______________________________________________________________________________Universidad
de los AndesFacultad de IngenieraEscuela de Ingeniera MecnicaTema 3
- Torsin en barrasSeccin 2 - Esfuerzos cortantes en barras
circulares debido a torsin
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Finalmente, obtenemos lo
siguiente:______________________________________________________________________________Universidad
de los AndesFacultad de IngenieraEscuela de Ingeniera MecnicaNtese
que, para barras de seccin circular, la variacin del esfuerzo
cortante es lineal respecto al radio de la seccin. Por otro lado,
como se estudi en el captulo anterior, el esfuerzo cortante debe
actuar tambin en otro plano perpendicular al de la seccin
transversal para conseguir el equilibrio del elemento
diferencial.Tema 3 - Torsin en barrasSeccin 2 - Esfuerzos cortantes
en barras circulares debido a torsin
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Tema 3 - Torsin en barrasSeccin 3 - Ejes estticamente
indeterminadosDe forma similar al caso de carga axial, podemos
utilizar expresiones referidas a estas deformaciones para resolver
casos estticamente indeterminados. Nos interesa entonces determinar
una expresin que relacione el par torsor T con el ngulo de giro
entre secciones transversales q.
______________________________________________________________________________Universidad
de los AndesFacultad de IngenieraEscuela de Ingeniera MecnicaEjes
estticamente indeterminadosComo observamos anteriormente, un par
torsor ejercido sobre una barra produce una rotacin relativa entre
secciones transversales que se encuentren separadas por una
longitud L.
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de los AndesFacultad de IngenieraEscuela de Ingeniera
MecnicaJuntemos entonces las expresiones que conocemos. En primer
lugar, encontramos que podemos relacionar el ngulo q con la
deformacin cortante g mediante la expresin:
En segundo lugar, tenemos la ley de Hooke:
Finalmente, la ecuacin que relaciona el par torsor con el
esfuerzo cortante, determinada recientemente:
Tema 3 - Torsin en barrasSeccin 3 - Ejes estticamente
indeterminados
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______________________________________________________________________________Universidad
de los AndesFacultad de IngenieraEscuela de Ingeniera MecnicaSi
sustituimos las expresiones resultantes del despeje de g y t en la
ley de Hooke, obtendremos:
Finalmente, para barras de seccin circular:
Esta ecuacin resulta de gran utilidad en casos donde las
condiciones de esttica resultan insuficientes para determinar las
cargas en distintos elementos de un sistema sometido a pares de
torsin.
Tema 3 - Torsin en barrasSeccin 3 - Ejes estticamente
indeterminados
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______________________________________________________________________________Universidad
de los AndesFacultad de IngenieraEscuela de Ingeniera
MecnicaObservemos el caso mostrado en la figura. En ella se
presentan dos barras solidarias, de seccin transversal circular,
empotradas en sus extremos y sometidas a un par torsor T en su
unin.
La condicin de equilibrio que puede establecerse es la
siguiente:
Notemos que tenemos una ecuacin y dos incgnitas (TA y TC). Un
segunda relacin se obtiene de las deformaciones debido a los pares
torsores. Para poder establecer esta relacin, es necesario primero
definir los pares torsores al que estn sometidos los segmentos AB y
BC.Tema 3 - Torsin en barrasSeccin 3 - Ejes estticamente
indeterminados
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______________________________________________________________________________Universidad
de los AndesFacultad de IngenieraEscuela de Ingeniera MecnicaEn
primer lugar, estudiemos el tramo AB. El torsor aplicado sobre este
segmento se define realizando un corte en la estructura justo antes
del punto donde se aplica el siguiente torsor. Queda
entonces:Luego, aplicamos un procedimiento similar para el
siguiente tramo. Al realizar un corte justo antes del punto de
aplicacin del siguiente torsor, obtenemos:Tema 3 - Torsin en
barrasSeccin 3 - Ejes estticamente indeterminados
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______________________________________________________________________________Universidad
de los AndesFacultad de IngenieraEscuela de Ingeniera MecnicaLa
condicin de deformacin que debe cumplirse es la siguiente:
Donde qB/A es el ngulo que gira la seccin B respecto a la A y
qB/C es el ngulo que gira la seccin B respecto a la C. Ntese que
deben ser iguales; entonces:
Sustituyendo TAB y TBC, obtenemos la segunda ecuacin que
necesitamos para resolver el sistema:Tema 3 - Torsin en
barrasSeccin 3 - Ejes estticamente indeterminados
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Tema 3 - Torsin en barrasSeccin 4 - Relacin entre torsor,
potencia y velocidad
angular______________________________________________________________________________Universidad
de los AndesFacultad de IngenieraEscuela de Ingeniera
MecnicaRelacin entre torsor, potencia y velocidad angularComo se
mencion al principio de este captulo, el inters principal de
estudiar el fenmeno de torsin sobre barras circulares reside en que
stas se usan ampliamente como ejes para comunicar potencia, bien
sea en conjunto con poleas y correas con engranajes.
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______________________________________________________________________________Universidad
de los AndesFacultad de IngenieraEscuela de Ingeniera MecnicaEn el
diseo de estos sistemas, emplearemos dos relaciones principalmente.
La primera, es la expresin matemtica que indica la potencia que
comunica un eje una polea:
Donde P es la potencia transmitida, w es la velocidad angular y
T el torsor al que est sometido el eje, la polea el engranaje.
Tambin se utilizar la relacin de transmisin (m), que se define
como la proporcin de velocidad torque que existe entre el sistema
conductor y el conducido:
La relacin de transmisin siempre debe ser mayor que la unidad.
Como la mayora de los sistemas de transmisin son reductores (es
decir, reducen la velocidad y aumentan el torque), se ha expresado
de la forma mostrada. En caso contrario, deben invertirse los
trminos.Tema 3 - Torsin en barrasSeccin 4 - Relacin entre torsor,
potencia y velocidad angular
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Tema 3 - Torsin en barrasSeccin 5 - Diseo de ejes de
transmisin______________________________________________________________________________Universidad
de los AndesFacultad de IngenieraEscuela de Ingeniera MecnicaDiseo
de ejes de transmisinEl diseo de ejes de transmisin consiste
bsicamente en determinar el dimetro y material ms apropiados para
el mismo, tomando en cuenta principalmente tres factores:
- Que las deformaciones ocasionadas por torsin sean aceptables
segn los requerimientos del diseo.
- Que los esfuerzos producidos en el eje no sobrepasen los
esfuerzos admitidos en el diseo, segn el factor de seguridad con el
que se est trabajando.
- Que dimetro del eje no exceda demasiado el tamao necesario,
pues esto influye en los costos de produccin, en la geometra del
diseo, en el peso muerto del sistema, etc.
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______________________________________________________________________________Universidad
de los AndesFacultad de IngenieraEscuela de Ingeniera MecnicaEn la
figura se muestra un sistema conducido, donde un conjunto
correa-polea transmiten potencia a una mquina a travs de un eje.La
correa, debido a la tensin a la que debe estar, ejerce una fuerza
vertical (Fv) sobre la polea y a su vez sobre el eje, adems de
ejercer el torque para producir movimiento en la mquina.En este
caso, como la polea se encuentra en voladizo, no es difcil
determinar que la seccin crtica es aquella adyacente al apoyo, en
B. Note que la fuerza vertical producir adicionalmente un momento
flector sobre esta seccin.Tema 3 - Torsin en barrasSeccin 5 - Diseo
de ejes de transmisin
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______________________________________________________________________________Universidad
de los AndesFacultad de IngenieraEscuela de Ingeniera MecnicaAl
trasladar las cargas a la seccin transversal crtica, observaremos
que sobre ella se encuentran aplicados una fuerza cortante Fv, un
momento torsor T, y un momento flector M.
Tenemos entonces tres posibles puntos crticos:
- El punto A, donde se generan s(+) debido al momento flector y
t debido al torsor;- El punto A, donde se generan s(-) debido al
momento flector y t debido al torsor;- el punto B, donde se
concentran los t debido al momento torsor y debido a la fuerza
cortante.Tema 3 - Torsin en barrasSeccin 5 - Diseo de ejes de
transmisin
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Tema 3 - Torsin en barras Seccin 5 - Ecuaciones empleadas en
barras no
circulares______________________________________________________________________________Universidad
de los AndesFacultad de IngenieraEscuela de Ingeniera
MecnicaEcuaciones empleadas en barras no circularesEn algunas
estructuras, podemos encontrarnos que existe un par torsor aplicado
sobre una viga de seccin transversal no circular.
La deduccin de las ecuaciones que describen la distribucin de
esfuerzos cortantes debido a torsin en estas barras no es sencilla.
Nuestro inters radica principalmente en conocer expresiones que
permitan relacionar las caractersticas geomtricas de la barra y el
torque ejercido sobre ella, con el esfuerzo cortante mximo que se
produce y su respectiva deformacin.
Estas expresiones podemos hallarlas tabuladas; presentamos a a
continuacin algunos ejemplos.
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de los AndesFacultad de IngenieraEscuela de Ingeniera MecnicaSeccin
elpticaTema 3 - Torsin en barras Seccin 5 - Ecuaciones empleadas en
barras no circulares
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de los AndesFacultad de IngenieraEscuela de Ingeniera MecnicaSeccin
triangular equilteraTema 3 - Torsin en barras Seccin 5 - Ecuaciones
empleadas en barras no circulares
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de los AndesFacultad de IngenieraEscuela de Ingeniera MecnicaSeccin
cuadradaTema 3 - Torsin en barras Seccin 5 - Ecuaciones empleadas
en barras no circulares
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Resumen de
ecuaciones______________________________________________________________________________Universidad
de los AndesFacultad de IngenieraEscuela de Ingeniera MecnicaTema 3
Torsin en barrasSeccin 6 - Resumen de ecuacionesLey de Hooke para
torsin:
t: Esfuerzo cortanteG: Mdulo de Rigidezg: Deformacin angular
unitariaE: Mdulo de elasticidad del materialn: Relacin de Poisson
del material
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de los AndesFacultad de IngenieraEscuela de Ingeniera MecnicaTema 3
Torsin en barrasSeccin 6 - Resumen de ecuacionesEsfuerzo cortante
en barras de seccin circular debido a momento torsor
t: Esfuerzo cortante en el punto de inters de la seccin
transversalr: distancia medida desde el centro hasta el punto de
intersJ: Momento polar de inercia de la seccin transversal
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de los AndesFacultad de IngenieraEscuela de Ingeniera MecnicaTema 3
Torsin en barrasSeccin 6 - Resumen de ecuacionesngulo de giro en
barras circulares sometidas amomento torsor
q: ngulo de giro de una seccin B respecto a una seccin AT: Par
torsor al que est sometido la barra circularJ: Momento polar de
inercia de la seccin transversalG: Mdulo de rigidez del
materialLAB: Longitud de la barra entre las secciones A y B
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de los AndesFacultad de IngenieraEscuela de Ingeniera MecnicaTema 3
Torsin en barrasSeccin 6 - Resumen de ecuacionesRelaciones entre
torsor, potencia y velocidad angular
w: velocidad angular (radianes por unidad de tiempo)T: Par
torsor al que est sometido la barra circularP: Potenciam: relacin
de transmisin
