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Física y Mecánica de las ConstruccionesETSAM
TEMA 3.2Mecánica del medio continuo:
Análisis de deformaciones
Física y Mecánica de las ConstruccionesETSAM
3.2.1. Introducción
ESTUDIO DE LOS SÓLIDOS DEFORMABLES: efectos de las fuerzas aplicadas
1) las TENSIONES INTERIORES que se engendran en un punto
MÉTODO DE TRABAJO:
2) las DEFORMACIONES que se originan alrededor de un punto
ESTADO DE TENSIONES
SÓLIDO ELÁSTICO
ESTADO DE DEFORMACIONES
3.2.1. Introducción
Física y Mecánica de las ConstruccionesETSAM
MODELO DEL MEDIO CONTINUO:
- materia distribuida de forma continua- no existen huecos, ni distancias intersticiales
MECÁNICA DEL MEDIO CONTINUO:
- MECÁNICA DEL SÓLIDO
- MECÁNICA DE FLUIDOS
3.2.1. Introducción
Física y Mecánica de las ConstruccionesETSAM
VECTOR TENSIÓN:
AFt A ∆
∆= →∆
rr
0lim
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
=⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
γβα
στττστττσ
zyzzx
yzyxy
zxxyx
z
y
x
ttt
uTt rr⋅=
3.2.1. Introducción
Física y Mecánica de las ConstruccionesETSAM
CONCEPTO DE DEFORMACIÓN:
DEFORMACIÓN: cambio de posiciones relativas de los puntos del cuerpo
debido al conjunto de fuerzas que actúan
A, B A´, B´
Deformación del segmento A - B:
⇒∆∆
=−
ru
ABABBA ´´
drdu
ru
r =∆∆
= →∆ 0limε
Deformación del entorno de un punto A en una dirección (B) específica
3.2.1. Introducción
Física y Mecánica de las ConstruccionesETSAM
3.2.2. Deformaciones en el entorno de un punto
P y Q: puntos próximos de un sólido (pequeñas deformaciones)
⇒++== kdzjdyidxrdQPrrrrr
?´´´¿ rdQP rr=
)(´ PQrdrd δδrrrr
−+=
3.2.2. Deformaciones en el entorno de un punto
Física y Mecánica de las ConstruccionesETSAM
Corrimientos o desplazamientos de los puntos P y Q:
kwjviuPP P
rrrrr++== δ´
kwjviuQQ Q
rrrrr´´´´ ++== δ
Para pequeñas deformaciones:
dzzudy
yudx
xuuu
∂∂
+∂∂
+∂∂
+=´
dzzvdy
yvdx
xvvv
∂∂
+∂∂
+∂∂
+=´
dzzwdy
ywdx
xwww
∂∂
+∂∂
+∂∂
+=´
3.2.2. Deformaciones en el entorno de un punto
Física y Mecánica de las ConstruccionesETSAM
Escrito en forma matricial:
[ ] rdMdzdydx
zw
yw
xw
zv
yv
xv
zu
yu
xu
wvu
wvu
PQrrr
⋅+=⇒⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
+⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛δδ
´´´
[ ] ⇒
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=
zw
yw
xw
zv
yv
xv
zu
yu
xu
M [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]HDMMMMMTT
+=−
++
=22
[ ]H
[ ]D : MATRIZ SIMÉTRICA
: MATRIZ ANTISIMÉTRICA
3.2.2. Deformaciones en el entorno de un punto
Física y Mecánica de las ConstruccionesETSAM
Componente de las matrices y :[ ]H[ ]D
[ ]
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
=
zw
zv
yw
zu
xw
yw
zv
yv
yu
xv
xw
zu
xv
yu
xu
D
)(21)(
21
)(21)(
21
)(21)(
21
[ ]
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
∂∂
−∂∂
∂∂
−∂∂
∂∂
−∂∂
∂∂
−∂∂
∂∂
−∂∂
∂∂
−∂∂
=
0)(21)(
21
)(210)(
21
)(21)(
210
zv
yw
zu
xw
yw
zv
yu
xv
xw
zu
xv
yu
H
3.2.2. Deformaciones en el entorno de un punto
Física y Mecánica de las ConstruccionesETSAM
Por tanto:
[ ] [ ] [ ][ ] [ ] rdHrdD
rdHrdDrdM
PQ
PPQrrrr
rrrrrr
⋅+⋅=−⇒
⇒⋅+⋅+=⋅+=
δδ
δδδ
)(´ PQrdrd δδrrrr
−+=
⇒
[ ] [ ] rdHrdDrdrd rrrr⋅+⋅+=´
[ ]H : representa un giro infinitesimal
[ ]D : matriz de deformación, aplicada a produce un cambio de módulo y dirección
rdr
3.2.2. Deformaciones en el entorno de un punto
Física y Mecánica de las ConstruccionesETSAM
Matriz antisimétrica :[ ]H
[ ]⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
∂∂
−∂∂
∂∂
−∂∂
∂∂
−∂∂
∂∂
−∂∂
∂∂
−∂∂
∂∂
−∂∂
=⋅dzdydx
zv
yw
zu
xw
yw
zv
yu
xv
xw
zu
xv
yu
rdH
0)(21)(
21
)(210)(
21
)(21)(
210
r
⇓⇓
[ ] rdrot
dzdydxyu
xv
xw
zu
zv
yw
kji
rdH Prr
rrr
r×=
∂∂
−∂∂
∂∂
−∂∂
∂∂
−∂∂
=⋅ )(21
21 δ
3.2.2. Deformaciones en el entorno de un punto
Física y Mecánica de las ConstruccionesETSAM
Matriz antisimétrica :[ ]H
[ ] rdrotrdH Prrr
×=⋅ )(21 δ
wvuzyx
kji
rot P ∂∂
∂∂
∂∂
=
rrr
rδ
⇓ROTACIÓN DE UN SÓLIDO RÍGIDO:
rdvPrrr
×=ω
[ ] rdH r⋅ : giro del entorno del punto como un sólido rígido
3.2.2. Deformaciones en el entorno de un punto
Física y Mecánica de las ConstruccionesETSAM
[ ] [ ] rdHrdDrdrd rrrr⋅+⋅+=´
1. Traslación definida por :
2. Giro determinado por :
3. Deformación definida por :
Pδr
1´QPQPrr
⇒
[ ]H 21 ´´ QPQPrr
⇒
[ ]D ´´´ 2 QPQPrr
⇒
DEFORMACIÓN: tensor pequeñas deformaciones[ ]⇒D
3.2.2. Deformaciones en el entorno de un punto
Física y Mecánica de las ConstruccionesETSAM
3.2.3. Tensor de pequeñas deformaciones
Si hacemos:
xu
x ∂∂
=ε
yv
y ∂∂
=ε
zw
z ∂∂
=ε
xv
yu
xy ∂∂
+∂∂
=γ
xw
zu
xz ∂∂
+∂∂
=γ
yw
zv
yz ∂∂
+∂∂
=γ
[ ]
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
+∂∂
∂∂
=
zw
zv
yw
zu
xw
yw
zv
yv
yu
xv
xw
zu
xv
yu
xu
D
)(21)(
21
)(21)(
21
)(21)(
21
[ ]
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
zyzxz
yzyxy
xzxyx
D
εγγ
γεγ
γγε
21
21
21
21
21
21
Significado de las componentes...
3.2.3. Tensor de pequeñas deformaciones
Física y Mecánica de las ConstruccionesETSAM
Significado de las componentes de :[ ]D
- traslación de componentes u, v, w: P→P´- rotación alrededor de un eje que pasa por el punto P´- matriz de deformaciones
3.2.3. Tensor de pequeñas deformaciones
Física y Mecánica de las ConstruccionesETSAM
Significado de las componentes de :[ ]D
DEFORMACIONES LINEALES unitarias en dirección de ejes coordenados:
),´( vuP ´´A´dx
Según el eje X:
xu
dx
dxdxxudx
dxdxdx
PAPAAP
x ∂∂
=−
∂∂
+=
−=
−=
)(´´´)´(ε
),(´ vuP →
),(´´ vdxxuuA∂∂
+→
)0,(dxA→
3.2.3. Tensor de pequeñas deformaciones
Física y Mecánica de las ConstruccionesETSAM
xu
x ∂∂
=εAlargamiento unitario según el eje X:
yv
y ∂∂
=εAlargamiento unitario según el eje Y:
zw
z ∂∂
=εAlargamiento unitario según el eje Z:
Se consideran positivas si originan alargamientos de las aristas
3.2.3. Tensor de pequeñas deformaciones
Física y Mecánica de las ConstruccionesETSAM
?21
21¿ ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
=xv
yu
xyγ
Significado de las componentes de :[ ]D
[ ]
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
zyzxz
yzyxy
xzxyx
D
εγγ
γεγ
γγε
21
21
21
21
21
21
xv
dx
dxxv
tg∂∂
=∂∂
==αα
yv
dy
dyyu
tg∂∂
=∂∂
== ββ
βαγ +=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂
+∂∂
=⇒xv
yu
xy
3.2.3. Tensor de pequeñas deformaciones
Física y Mecánica de las ConstruccionesETSAM
[ ]
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
zyzxz
yzyxy
xzxyx
D
εγγ
γεγ
γγε
21
21
21
21
21
21
Significado de las componentes de :[ ]D
⇒xyγ Variación angular de ángulo recto de lados paralelos a X e Y
⇒xzγ Variación angular de ángulo recto de lados paralelos a X y Z
⇒yzγ Variación angular de ángulo recto de lados paralelos a Y y Z
- Si γ > 0: el ángulo inicialmente recto disminuye
- Si γ < 0: el ángulo inicialmente recto aumenta
3.2.3. Tensor de pequeñas deformaciones
Física y Mecánica de las ConstruccionesETSAM
3.2.4. Deformación unitaria en cualquier dirección
[ ] [ ] rdHrdDrdrd rrrr⋅+⋅+=´
DEFORMACIÓN UNITARIA:
[ ] [ ] uDrdrdD rr
rr
⋅=⋅=ε
ESTADO DE DEFORMACIÓN : conocido en todos sus puntos el tensor de deformación [ ]D
3.2.4. Deformación unitaria en cualquier dirección
Física y Mecánica de las ConstruccionesETSAM
COMPONENTES INTRÍNSECAS:
unrr
•= εε
2nγ
222 )2
( nn
γεε +=
Deformación longitudinal:
εr
Deformación transversal:
3.2.4. Deformación unitaria en cualquier dirección
Física y Mecánica de las ConstruccionesETSAM
3.2.5. Deformaciones y direcciones principales
[ ]D en cada punto O tensor simétrico:
- ejes principales: diagonal- deformaciones principales reales
a) AUTOVALORES: DEFORMACIONES PRINCIPALES
[ ]⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛⇒
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
3
2
1
000000
21
21
21
21
21
21
εε
ε
εγγ
γεγ
γγε
zyzxz
yzyxy
xzxyx
D
3.2.5. Deformaciones y direcciones principales
Física y Mecánica de las ConstruccionesETSAM
0
21
21
21
21
21
21
=
−
−
−
εεγγ
γεεγ
γγεε
zyzxz
yzyxy
xzxyx
0322
13 =+−+−⇒ III εεε
b) AUTOVECTORES: DIRECCIONES PRINCIPALES
0)( =⋅−⇒⋅=⋅ iiiii uIDuuD rrr εε 3,2,1=i
021
21)( =++− ixzixyix γγβγαεε
021)(
21
=+−+ iyziyixy γγβεεαγ
0)(21
21
=−++ iziyzixz γεεβγαγ
321 ,, uuu rrr
),,( iiiiu γβαr
3.2.5. Deformaciones y direcciones principales
Física y Mecánica de las ConstruccionesETSAM
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
γβα
εε
ε
3
2
1
000000
zyx
αε1=x
123
2
22
2
21
2
=++εεεzyx
1222 =++ γβαβε 2=y
γε3=z
⇒
ELIPSOIDE DE DEFORMACIONES: lugar geométrico de los extremos de los vectores deformación
3.2.5. Deformaciones y direcciones principales
Física y Mecánica de las ConstruccionesETSAM
INVARIANTES DE :
322
13)det( IIIID +−+−=− εεεε
[ ]D
a) INVARIANTE LINEAL O TRAZA:
3211 εεεεεε ++=+++= zyxI
Sistema de referencia: ejes principales
⇒= dxdydzdV ´´´´ dzdydxdV =
DILATACIÓN CÚBICA UNITARIA:
dxdydzdxdydzzydxdd
dVdVdVe −
=−
=´´´´
0
21
21
21
21
21
21
=
−
−
−
εεγγ
γεεγ
γγεε
zyzxz
yzyxy
xzxyx
3.2.5. Deformaciones y direcciones principales
Física y Mecánica de las ConstruccionesETSAM
dxdydzdxdydzzydxdd
dVdVdVe −
=−
=´´´´
dxxddx
dxxd )1(´´11 εε +=⇒
−=
dyyddy
dyyd )1(´´22 εε +=⇒
−=
dzzddz
dzzd )1(´´33 εε +=⇒
−=
⇒
( )( )( )[ ]dxdydz
dxdydzdxdydz
dxdydzzydxdde 1111´´´ 321 −+++=
−=
εεε
zyxe εεεεεε ++=++≈ 321
3.2.5. Deformaciones y direcciones principales
Física y Mecánica de las ConstruccionesETSAM
b) INVARIANTE CUADRÁTICO:
c) INVARIANTE CÚBICO:
211332222
2 41
41
41 εεεεεεγγγεεεεεε ++=−−−++= xyzxyzyxxzzyI
321
3
2
1
3
000000
22
22
22
εεεε
εε
εγγ
γε
γ
γγε
===
zyzzx
yzy
xy
zxxyx
I
3.2.5. Deformaciones y direcciones principales
Física y Mecánica de las ConstruccionesETSAM
APÉNDICE 1. Ley de dualidad entre los estados tensional y de deformación
ESTADO TENSIONAL ESTADO DE DEFORMACIÓN
- Matriz de tensiones:
[ ]T321 ,, σσσ
321 ,, uuu rrr
- Vector tensión: uTt rr⋅=
222 τσ +=t
- Matriz de deformaciones:
[ ]D 321 ,, εεε
321 ,, uuu rrr
- Vector deformación: uD rr⋅=ε
222 )2
( nn
γεε +=
Apéndice 1. Ley de dualidad entre los estados....
Física y Mecánica de las ConstruccionesETSAM
APÉNDICE 1. Ley de dualidad entre los estados tensional y de deformación
EQUIVALENCIA ENTRE AMBOS ESTADOS:
εrr
→t
[ ] [ ]DT →
321321 ,,,, εεεσσσ →
nεσ →
2nγτ →
Apéndice 1. Ley de dualidad entre los estados....