Curso  de  Relatividad  para  2º  de  Bachillerato  Tema  4.  La  dilatación  del  tiempo  y  la  contracción  de  la  longitud.  

 

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TEMA  4.  LA  DILATACIÓN  DEL  TIEMPO  Y  LA  CONTRACCIÓN  DE  LA  LONGITUD.    

4.1.  La  dilatación  del  tiempo  

Como   hemos   visto,   en   la   física   clásica,   la   medición   del   tiempo   es   independiente   de   la   velocidad   del  

observador.  Es  decir,  un  reloj  en  un  coche  en  movimiento  mediría  el  tiempo  de  forma  sincronizada  con  un  

reloj  que  estuviese  en  reposo  respecto  de  un  SR  dado.  Este  es  un  resultado  sobre  el  que  intuitivamente  no  

tenemos  ninguna  duda.  Sin  embargo,   la  Teoría  de   la  Relatividad  Especial  convierte  este   tiempo  absoluto,  

idéntico  para  todos  los  observadores,  en  una  magnitud  relativa,  de  tal  forma  que  el  tiempo  pasa  de  manera  

diferente  en  cada  sistema  de  referencia.  Si  construimos  dos  relojes  idénticos  y  subimos  uno  de  ellos  a  una  

nave   espacial   que   viaja   a   cierta   velocidad   respecto   a   la   posición   del   otro   reloj,   los   tiempos  medidos   por  

ambos  son  distintos.  Vamos  a  deducir  ahora  de  una  forma  muy  sencilla  la  relación  matemática  entre  ambos  

tiempos.    

Einstein   utilizó   un   experimento  mental   para   demostrar   que   el   tiempo   que   dura   un   determinado   suceso  

visto   desde   dos   sistemas   de   referencia   diferentes   puede   ser   diferente.   Supongamos   un   viajero   que   se  

desplaza  en  una  nave  espacial  con  una  velocidad  uniforme  v.  Su  movimiento  es  seguido  por  un  observador  

en   la  Tierra  que  consideramos  en  reposo.  En   la  base  de   la  nave  un   foco   lanza  un  destello  vertical  que  se  

refleja  en  un  espejo  que  hay  en  el  techo.  Ambos  observadores  ven  el  mismo  inicio  y  final  en  el  suceso,  pero  

cada  uno  observa  un  recorrido  distinto  del  haz  de  luz,  tal  y  como  se  indica  en  la  siguiente  figura.  

 

 

 

 

 

 

Evento  observado  desde  el  interior  de  la  nave  (SR-­‐O’)  

 

 

 

 

 

 

 

 

Evento  observado  desde  el  exterior  de  la  nave  (SR-­‐O)  

 

h  

v·∙Δt

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Supongamos  que,  para  el  observador  que  va  en   la  nave   (SR-­‐O’),   la   luz   tarda  un   tiempo  Δt  en   recorrer   la  

distancia  2h.  Utilizando  la  definición  de  velocidad,  estas  dos  magnitudes  se  relacionan  sencillamente  de  la  

siguiente  forma:  

 

𝑐 =!"

∆!!⇒  ∆𝑡

!=

!"

!                          [1]  

 

Para  el  observador  que  está  en  reposo  fuera  de  la  nave,  la  luz  tarda  un  tiempo  Δt  en  recorrer  el  camino  que  

se  señala  en  la  figura.  Mientras  esto  sucede,  la  nave  se  desplaza  con  una  velocidad  v  recorriendo  un  espacio  

idéntico,  por  tanto,  a:  vΔt.  Aplicando  el  teorema  de  Pitágoras  podemos  escribir  la  siguiente  ecuación:  

 

!·!!

!

!

=  !·!!

!

!

+ ℎ!⇒ 𝑐

!· Δ𝑡

!= 𝑣

!· Δ𝑡

!+ 2

!ℎ!                  [2]  

 

Si  ahora  combinamos   las  ecuaciones  [1]  y  [2],  podemos  encontrar   la  relación  entre   los  tiempos  que  mide  

cada  observador:  

 

∆𝑡!=2ℎ

𝑐⇒ 2ℎ = 𝑐 · ∆𝑡

!

𝑐!· Δ𝑡

!= 𝑣

!· Δ𝑡

!+ (2ℎ)!

⇒ 𝑐!· Δ𝑡

!= 𝑣

!· Δ𝑡

!+ 𝑐

!· (∆𝑡!)! ⇒ 𝑐

!· Δ𝑡

!− 𝑣

!· Δ𝑡

!= 𝑐

!· (∆𝑡!)! ⇒  

 

⇒ 𝑐!· Δ𝑡

!− 𝑣

!· Δ𝑡

!= 𝑐

!· ∆𝑡

! !⇒ Δ𝑡

!   𝑐

!− 𝑣

!= 𝑐

!· ∆𝑡

! !⇒ Δ𝑡

!=

𝑐!

𝑐! − 𝑣!∆𝑡

! !⇒  

 

⇒ Δ𝑡!=

𝑐!

𝑐! − 𝑣!∆𝑡

! !⇒ Δ𝑡

!=

𝑐!

𝑐!

𝑐!

𝑐!−𝑣!

𝑐!

∆𝑡! !

⇒ Δ𝑡!=

1

1 −𝑣!

𝑐!

∆𝑡! !

⇒  

 

⇒ Δ𝑡!=

1

1 −𝑣!

𝑐!

∆𝑡! !

⇒ 𝚫𝒕 =𝟏

𝟏 −𝒗𝟐

𝒄𝟐

𝚫𝒕′  

 

Como  se  puede  apreciar  en  la  expresión  final,  el  tiempo  que  mide  el  observador  que  está  en  reposo  fuera  

de   la  nave   (Δt)  mide  un   tiempo  mayor  que  el  observador  que  está   fuera  de   la  nave   (Δt’)  para  el  mismo  

evento,  ya  que  el  denominador  de  la  expresión  final  siempre  será  menor  que  1  y,  por  tanto:  Δt  >  Δt’.    

 

En  este  punto  es  interesante  plantearse  el  caso  límite,  al  que  estamos  acostumbrados,  que  se  da  en  el  caso  

de  que  la  velocidad  del  móvil  está  muy  alejada  del  valor  de   la  velocidad  de   la   luz,  es  decir,  cuando:  v<<c.  

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Aplicado  la  ecuación  que  acabamos  de  deducir,  llegamos  fácilmente  a  la  conclusión  de  que  en  este  caso  los  

tiempos  medidos  por  ambos  observadores  coinciden  (Δt  =  Δt’),  que  es  lo  que  nos  dice  nuestra  intuición.  

 

4.2.  La  contracción  de  la  longitud  

Un   efecto   relativista   similar   al   de   la   dilatación   del   tiempo,   es   el   de   la   contracción   espacial,   por   el   cual  

observamos  que  las  longitudes  se  contraen  en  la  dirección  del  movimiento.  La  relatividad  del  tiempo,  unida  

al  hecho  de  la  constancia  en  la  velocidad  de  la  luz  implica  necesariamente  una  contracción  de  la  longitud.  

Es   decir,   una   misma   distancia   medida   por   dos   observadores   que   se   encuentran   en   dos   sistema   de  

referencia  diferentes,  es  distinta.   Imaginemos  que  construimos  una  nave  espacial  que  mide  exactamente  

10m  de  longitud  en  la  Tierra  y  se  lanza  al  espacio  hasta  que  alcanza  una  velocidad  uniforme  del  85%  de  la  

velocidad  de  la  luz.  Si  en  ese  momento  pasa  cerca  de  un  observador  en  reposo,  éste  vería  que  la  nave  tiene  

únicamente  una  longitud  de  5m.  

Igual  que  hicimos  en  el  apartado  anterior  se  puede  deducir  una  fórmula  que  relacione  la  longitud  de  la  nave  

para  un  observador  en  reposo  (ΔL)  y  para  el  que  va  en  la  nave  (ΔL’),  obteniendo:  

 

𝚫𝑳 =𝟏

𝟏 −𝒗𝟐

𝒄𝟐

𝚫𝑳′  

 

4.3.  La  paradoja  de  los  gemelos  

La  paradoja  de   los   gemelos   constituye  una  de   las   consecuencias  más  extraordinarias  de   la   dilatación  del  

tiempo  relativista.  Supongamos  que  un  astronauta  de  25  años  emprende  un  viaje  espacial  moviéndose  al  

80%   de   la   velocidad   de   la   luz,  mientras   que   su   hermano   gemelo   permanece   en   la   Tierra   controlando   la  

misión.  Si  pudiese  ver  el  reloj  de  la  nave,  el  controlador  vería  que  por  cada  hora  que  transcurre  en  el  Tierra  

el  reloj  de  la  nave  sólo  avanza  30  minutos.  A  su  regreso  el  astronauta  no  ha  notado  nada  raro  en  el  paso  del  

tiempo  y  para  él,  según  los  relojes  de  su  nave  han  trascurrido  30  años.  Tiene  por  tanto  55  años  (25+30).  Sin  

embargo,  en  la  Tierra  han  pasado  50  años  y  su  hermano  gemelo  acaba  de  cumplir  75  años  (25+50)  y  hace  

mucho   tiempo   que   ha   dejado   de   controlar   la   misión,   pues   se   ha   jubilado.   Es   más,   si   a   su   partida   el  

astronauta   hubiese   dejado   un   bebé   recién   nacido,   a   su   vuelta   se   encontraría   con   que   ahora   su   hijo   es  

mayor  que  él.  Por  tanto,  para  el  astronauta  ha  supuesto  un  viaje  al  futuro.  

Podemos,   de   una  manera   sencilla   de  mostrar   este   razonamiento   sin  más   que   emplear   la   fórmula   de   la  

dilatación  del  tiempo:  

Imaginemos  que  el  gemelo  astronauta  viaja  a  una  distancia  de  20  años  luz  de  la  Tierra.  Para  su  hermano  el  

controlador  desde  la  Tierra,  tarda  en  realizar  el  viaje:  

 

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Desde  el  punto  de  vista  del  controlador,  el  tiempo  que  transcurre  será:  

 

𝑣 =2 · 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎

Δ𝑡!"#$

⇒ Δ𝑡!"#$ =2 · 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎

𝑣=2 · 20  𝑎ñ𝑜𝑠 · 𝑐

0,8𝑐= 𝟓𝟎  𝒂ñ𝒐𝒔  

 

Para  el  astronauta,   el   tiempo   trascurrido  estará   relacionado  con  el  que  mide   su  hermano,  a   través  de   la  

fórmula:  

Δ𝑡!"#$ =1

1 −𝑣!

𝑐!

Δ𝑡!"#$%&!'#! ⇒ Δ𝑡!"#$%&!'#! = Δ𝑡!"#$ · 1 −𝑣!

𝑐!=  

 

= 50  𝑎ñ𝑜𝑠 · 1 −(0,8𝑐)!

𝑐!= 𝟑𝟎  𝒂ñ𝒐𝒔  

 

Por  tanto,  el  controlador  tendrá  75  años  y,  su  hermano  gemelo,  el  astronauta  55  años.  

 

4.4.  ¿Qué  pasa  con  la  masa  de  los  objetos?  

Nuestra  experiencia  de  la  masa  se  basa  fundamentalmente  en  el  peso  de  los  objetos.  Mientras  que  la  masa  

es   una   propiedad   característica   de   los   cuerpos,   su   peso   depende   de   la   fuerza   gravitatoria   que  

experimentan.,  de  tal  forma  que  cualquier  objeto  –  por  ejemplo  un  lingote  de  oro-­‐  pesa  menos  en  la  luna  

que  en  la  Tierra.  Pero  además,  la  masa  se  manifiesta  a  través  de  la  inercia,  es  decir,  de  la  resistencia  de  los  

objetos  a  ponerse  en  movimiento  o  a   frenarse  cuando  se  están  moviendo,  aún  en  ausencia  de  cualquier    

tipo   de   rozamiento.   La   Teoría   de   la   Relatividad   Especial   no   nos   dice   qué   pasa   en   presencia   de   campos  

gravitatorios,   pero   sí   lo   que   ocurre   cuando   existen  movimientos   uniformes   y   rectilíneos   y,   como   era   de  

esperar,  la  masa  también  es  relativa:  si  medimos  la  masa  de  un  cuerpo  en  reposo  (m)  y  posteriormente  lo  

aceleramos  hasta  que  alcance  una  velocidad  uniforme  respecto  a  nosotros,  encontraremos  que  su  masa  en  

movimiento  (m’)  se  transforma  según  la  expresión:  

 

𝐦′ =𝟏

𝟏 −𝒗𝟐

𝒄𝟐

𝒎