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TEMA 5. MODELOS APT
Dr. Borja Amor Tapia
Área de Economía Financiera
GESTIÓN DE CARTERAS Y PATRIMONIOS
1
1. LOS MODELOS FACTORIALES
Mediante un modelo factorial se introduce un proceso de generación de rendimientos, entendiendo por tal un modelo estadístico que describe cómo se produce el rendimiento de un valor
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1.1. Análisis de los Activos
1 1 2 2
1
...it i i t i t ik kt it
k
it i ih ht ith
r a F F F u
r a F u
3
Se aceptan las siguientes hipótesis: • El error aleatorio tiene media cero y está incorrelacionado con cualquier factor
• Los errores aleatorios de dos títulos cualesquiera no están correlacionados
• Los rendimientos de dos activos financieros cualesquiera sólo están correlacionados a través de las respuestas comunes a los factores
Bajo estas condiciones, la variable aleatoria rentabilidad del activo i tiene la siguiente expresión:
1 1 2 2
1
...i i i i ik k i
k
i ih h ih
r a F F F u
a F u
4 Dr. Borja Amor Tapia [email protected]
1
k
i i ih Fhh
E a E
Nótese que el modelo de mercado es un caso particular con un único factor
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Es posible utilizar diversos métodos para estimar modelos factoriales. En resumen: • a) métodos de series temporales
• b) métodos de corte transversal
• c) métodos de factor analítico
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Para n activos, la matriz de sensibilidades o de las betas de tales activos es:
11 12 1
21 22 2
31 32 3
1 2
... ...
... ...
... ...
... ... ... ... ...
... ...
k
k
k
n n nk
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Para n activos, la matriz de varianzas-covarianzas entre los factores es:
21 1 2 1 3 1
22 1 2 2 3 2
23 1 3 2 3 3
21 2 3
...
...
...
... ... ... ... ...
...
F F F F F F Fk
F F F F F F Fk
F F F F F F F Fk
FkF FkF FkF Fk
S
8 Dr. Borja Amor Tapia [email protected]
En la hipótesis de que los factores estén incorrelacionados entre sí, por lo que sus covarianzas son nulas, el riesgo verifica:
2 2 2 2
1
k
i ih Fh uih
2 2 2
1
k
ih Fh sih
indica la parte del riesgo total (varianza) del título i que depende de los k factores. Se le denomina riesgo atribuible a factores o riesgo sistemático.
indica el riesgo del activo no atribuible a los factores, riesgo específico, riesgo propio o único del título i.
2ui
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En el caso general de k factores correlacionados, el riesgo total de un activo verifica:
2 21 1 2 2
2 2 2
1
2 2
( ... )
2
i i i i ik k i
k
ih Fh ih im FhFm uih h m
si ui
a F F F u
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El riesgo sistemático verifica:
2 21 1 2 2
2 2
1
( ... )
2
si i i i ik k i
k
ih Fh ih im FhFmh h m
a F F F u
2si iF F iFb S b
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1.2. Análisis de las Carteras
1 1 2 21 1
1 1 2 21 1 1 1 1
...
...
n n
p i i i i i i ik k ii i
n n n n n
i i i i i i i ik k i ii i i i i
r x r x a F F F u
x a x F x F x F x u
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Si denominamos:
1
n
p i ii
a x a
1 11
2 21
1
...
n
p i ii
n
p i ii
n
pk i iki
x
x
x
1
n
p i ii
u x u
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1
2
3
...
h
h
Fh h
nh
1
2
3
...
n
x
x
X x
x
1 2 3' , , ,..., nX x x x x
1
1,2,....,k
n
ph i ih Fhh
x X
h
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A) Carteras Réplica
En general, supongamos que existe una cartera p de la que se sabe que su proceso generador de rendimientos está vinculado a un cierto número k de factores conocidos, verificándose:
1 1 2 2 ...p p p p pk k pr a F F F u
• Si existen n activos o carteras cuyos rendimientos también estén vinculados a los mismos k factores anteriores, es posible formar una cartera q que tenga el mismo riesgo sistemático que la cartera p, constituyendo dicha cartera q una cartera réplica de la cartera p.
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Para que las carteras p y q tengan el mismo riesgo sistemático , como ambas están influenciadas por los mismos factores, la cartera réplica q debe tener un vector de proporciones X tal que las betas de la misma coincidan con las betas de la cartera p:
1,2,....,qh Fh phX h k
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• Para determinar los valores del vector X se forma el sistema de ecuaciones:
1 1 1
2 2 2
3 3 3
1
...
1
q F p
q F p
q F p
qk Fk pk
n
ii
X
X
X
X
x
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B) Carteras Básicas
Se define una cartera básica asociada a un determinado factor de riesgo sistemático, o cartera factorial o cartera réplica de un determinado factor, como aquella cartera cuya beta con respecto a dicho factor es la unidad, y cero con respecto a los demás factores.
En consecuencia, la rentabilidad esperada de una cartera básica únicamente es sensible a las variaciones del factor al que va asociada
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2. EL MODELO APT
El Modelo de Valoración por Arbitraje, o APT (Arbitrage Pricing Theory), fue formulado por Stephen A. Ross (1976).
Es un modelo factorial en el que los diversos factores del mismo están incorrelacionados y no son especificados a priori. Además, se acepta la hipótesis de que existe un gran número de activos individuales, de forma que la diversificación permite eliminar el riesgo no atribuible a los factores, por lo que el riesgo específico es nulo.
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1 1 2 2
1
...it i i t i t ik kt it
k
it i ih ht ith
r a F F F u
r a F u
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El modelo APT se basa en la hipótesis de ausencia de arbitraje.
1 2 31
... 0n
n ii
w w w w w
1 1 2 2 3 31
... 0n
qh h h h n nh i ihi
w w w w w
1,2,3,...,kh
1 1 2 2 3 31
... 0n
q n n i ii
E w E w E w E w E w E
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Si consideramos el vector W de pesos, el vector U de unos, los de sensibilidades de los activos con respecto a cada uno de los k factores y el de rendimientos esperados E de los activos, tenemos:
1
2
3
...
n
w
w
W w
w
1
2
3
...
h
h
Fh h
nh
1
1
1
...
1
U
1
2
3
...
n
E
E
E E
E
1,2,3,...,kh
0
0
0Fh
W U
W
W E
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Por tanto, las ecuaciones del modelo son :
1 2 3 ... 0nw w w w
1 1 11 2 21 3 31 1... 0q n nw w w w
1 1 2 2 3 3 ... 0q n nE w E w E w E w E
1 1 2 2 3 3 ... 0qh h h h n nhw w w w
2 1 12 2 22 3 32 2... 0q n nw w w w
. . .
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O bien, expresado en forma matricial:
1
2
0
0
0
...
0
0
F
F
Fh
W U
W
W
W
W E
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1 11 12 1
2 21 22 2
3 0 1 31 2 32 3
1 2
1
1
1 ...
... ... ... ... ...
1
k
k
K k
n n n nk
E
E
E
E
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En consecuencia, para cualquier activo i la ecuación general del modelo APT es:
0 1 1 2 2 3 3
01
...i i i i ik k
k
ih hh
E
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1 1 2 2 3 3
1
...i f i F f i F f i F f ik Fk f
k
f ih Fh fh
E r E r E r E r E r
r E r
• Si existiese únicamente un factor de riesgo k, la ecuación anterior quedaría:
i f ik Fk fE r E r
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Si ese único factor es la cartera de mercado, la ecuación anterior es la correspondiente a la SML.
Por tanto, el CAPM es un caso particular del APT en el que sólo existe un factor de riesgo.
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