Tema Curs Zahiu Mariana Denisa

8/18/2019 Tema Curs Zahiu Mariana Denisa

1/30

Material didactic pentru lecţia:

“Binomul lui Newton”

Prof. Zahiu Mariana Denisa

Colegiul ehnic ”!heorghe "sachi”

Bucure#ti


2/30

$

cuprins

% &copul lecţiei ' (erificarea temei)*+

' (erificarea temei)$+

% ,ormula lui Newton ' Demonstrarea teoremei ' Despre formul- )*+

' Despre formul- )$+

% "plicaţie *

% -spuns *

% "plicaţie $

% -spuns $

% "plicaţie /

% -spuns /

% "plicaţie 0

% -spuns 0

% "plicaţie 1

% -spuns 1

% 2dentit-ţi% "plicaţie 3

% -spuns 3

% "plicaţie 4

% -spuns 4

% est

% em-


3/30

/

Binomul lui Newton

( )n

Scopul lecţiei:

Prezentarea formulei pentru a+b , a,b şi n . Găsirea proprietăţilor pentru coeficienţii termenilor

din dezvoltarea acestui binom.

Aplicaţii.

∗

• ∈ ∈•

•

£ ¥


4/30

0

(erificarea temei:

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

2

! "

2 2 2

2 2

2! 2 2 2

! 2 2 !

# Scrieţi formulele pentru: a+b , a+b , $ăsiţi

o modalitate de a calcula a+b şi calculaţi a+b .

%ăspuns :

a+b &a +2ab+b

a+b &a +a b+ab +b

a+b a+b a+b a+b a+b a+b

a +!a b+'a b +!ab +b

a+b

= = × = × = =

" " ! 2 2 ! "&a +"a b+#(a b +#(a b +"ab +b .


5/30

1

Ce puteţi spunedespre

coeficienţiiliterelor5

Ce puteţi spunedespre num-rulde termeni din

fiecarede67oltare5

Ce puteţi spunedespree8ponenţiiliterelor5

-spundeţi laurm-toarele 9ntre-ri:


6/30

3

-spunsuri:

)oeficienţii termenilor e*tremi şi ai celor e$al

depărtaţi de termenii e*tremi sunt e$ali.

*ponenţii puterilor lui a descresc de la cel mai mare la (. *ponenţii puterilor lui b cresc de la ( la

•

•• cel mai mare.

*ponentul cel mai mare pentru a şi pentru b este

e*ponentul la care se ridică binomul.

umărul de termeni din dezvoltare depăşeşte cu #

e*ponentul la care se ridică binomul.

•

•


7/30

4

(erificarea temei:

( )

- n

-

n

- n

2 )alculaţi numerele ) n situaţiile:

a/ n #0 b/ n 20 c/ n 0 d/ n !0 e/ n ".

%ăspuns:

n1

olosind formula combininărilor ) n -, n,- şi-1 n - 1

utiliz3nd formula combinărilor complementare )

= = = = =

= ≥ ∈× −

=

¥

n - n

( ## #

( # 22 2 2

( # 2

( # 2 !! ! ! ! !

# #

# 2 #

) obţinem:

) , )

) , ) , )

# ##

) , ) , ) , ) ) , ) ! ' ! #, ) , ) , )

−

= =

= = =

= = = == = = = =( # 2 ! "" " " " " " ) , ) , ) ,# " ) ,#( #( " #) , )= = = = = =


8/30

;

Legat de a doua problemă din temă observăm următoarele:

- n

)oeficienţii din dezvoltare sunt c4iar numerele

obţinute calcul3nd ) n situaţiile din temă:

a/ n #0 b/ n 20 c/ n 0 d/ n !0 e/ n ", anume:

a/ b/

# #

= = = = =

# 2 #

# #

# ! ' ! #

# " #( #( "

c/

d/

e/Astfel $r

#upate se observă o modalitate de calcul a acestor

numere din aproape n aproape 5 triun$4iul lui Pascal/.


9/30

<

,ormula lui Newton

( )

( )

n ( n # n # 2 n 2 2 - n - - n # n # n n

n n n n n na+b &) a +) a b+) a b +..... + ) a b +.....+) ab

Are loc următoarea:

6eoremă a binomului . ie a, b , n . Atunci :

cunoscută sub denumirea de formula lui e7ton.

8saac e7ton m t

+)

a

b

− − − − −

∗∈ ∈¡ ¥

( )

( )

ematician, astronom, fizician en$lez #'!9#2 .

;emonstraţie cu metoda inducţiei matematice:

tapa 8.


10/30

*=

Demonstrarea teoremei:

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

n ( n # n # 2 n 2 2 - n - - n nn n n n n

# ( ## #

n+# ( n+# # n - n+# - - n+# n+#n+# n+# n+# n+#

ie P n : a+b &) a +) a b+) a b +.....+ ) a b +.....+) b ,n .

8.


11/30

**

Preci6-ri pri7ind formula lui Newton:( # - nn n n n )oeficienţii ) , ) , ...) ,...,) se numesc

şi sunt n număr de n +#

A se face distincţie ntre coeficientul binomial al unui termen şi

coeficienţi binomiali

ai dezvoltării

coeficientul nu

1)

meri

.

( n # n # 2 n 2 2 n n# n 2 n n n+# n

( 2 !n n n

al acelui termen1

)ei n+# termeni sunt:

6 &) a , 6 &) a b, 6 &) a b ,...., ,....,6 &) b .

umerele naturale ) , ) , ) ... se numesc

coeficienţi binomiali de ran$ imp

− − k n-k k k+1 n

c

T =

2)

3)

a b

# "n n nar, iar numerele ) , ) , ) ....se numesc coeficienţi binomiali de ran$ par.

=n formula lui e7ton e*ponenţii puterilor lui a descresc

de la n la (, iar e*ponenţii puterilor lui b cresc de l

!)

a ( la n.


12/30

*$

Preci6-ri pri7ind formula )continuare+:

( n # n # 2 n 2 - n - n n n n n n n n

)oeficienţii binomiali ai termenilor e*tremi şi cei ai termenilor e$al depărtaţi

de termenii e*tremi sunt e$ali: ) &) , ) &) , ) &) , .... , ) &) .

;acă e*ponentul puterii e

− − −

")

#)

( # 2 - -+# nn n n n n n

ste par n&2- atunci dezvoltarea are 2-+# termeni,

iar termenul din mi>locare coeficientul binomial cel mai mare:

) ) ) .... ) ) .... )< < < > > >

(n

.

;acă e*ponentul puterii este impar n&2-+# atunci dezvoltarea are 2-+2

termeni şi e*istă doi termeni la mi>locul dezvoltării cu coeficienţii binomiali

e$ali şi de valoare cea mai mare: ) <

{ }

# 2 - -+# -+2 nn n n n n n) ) .... ) &) ) .... ) .

?n rol important n rezolvarea problemelor le$ate de binomul lui e7ton

l >oacă de ran$ -+#:

< < > >

$

termenul %eneral

)

k n-k k

k+1 nT =C a b , k∈ 0,1,2,....,n


13/30

*/

"plicaţie:

,ormula

( )'

!

# )alculaţi #+2* folosind formula lui e7ton.

;upă ce aţi dezvoltat binoamul cu a>utorul formulei completaţi:

a/ 6 &................ b/ coeficientul binomial al lui 6 este..........

c/ coefi "

"

@

cientul lui 6 este..............

d/ termenul liber al dezvoltării este..............

d/ termenul care conţine * este................

e/ termenul care conţine * este................


14/30

*0

-spuns:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

' 2 ! " '# 2 ! " '' ' ' ' ' '

! '

2 '

! !" '

# #+2* +) 2*+) 2* +) 2* +) 2* +) 2* +) 2*

Astfel:

a/ 6 &) 2* '(* b/ coeficientul binomial al termenului 6 este ) "

c/ coeficientul termenului 6 este ) 2 &2!(

d/ termenul liber est

×

×

( )

#

"" " "' '

@

e 6

e/ termenul care conţine * este 6 ) 2* #@2*

e/ nu e*istă termen care conţine *

= =

,ormula


15/30

*1

"plicaţie:

( )"

!

!

)alculaţi z& 9i folosind formula lui e7ton

şi răspundeţi la următoarele ntrebări:a/ 6 &..................

b/ coeficientul binomial al lui 6 este...........

c/ coeficientul lui 6 este.....

2

( )

( )

.....

d/ %e z &.......

e/ 8m z &............

,ormula


16/30

*3

-spuns:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( )

" 2 ! "" # ! 2 2 ! "" " " " "

" " # ! 2 2 ! "" " " " "

!! "

2 "

2 i & +) i +) i +) i +) i +) i

i & ) i ) +) i+) ) i

=n concluzie:a/ 6 &) i

b/ coeficientul binomial al termenului 6 este ) (

c/ coeficientul terme

− − − − − −

⇒ − − − −

( )

( )

! "

"

! 2

nului 6 este ) i(i

d/ %e z #( +"

e/ 8m z " +#( #= −= − −

,ormula


17/30

*4

"plicaţie:

B2

'

#

2 ie binomul * + . Să se determine:

*

a/ 6ermenul al treilea al dezvoltării.

b/ 6ermenul din mi>loc.

c/ %an$ul termenului ce conţine pe * .

d/ 6ermenului ce conţine pe * .

e/ 6ermenul liber din d

÷

3

( )

ezvoltare.

nu dezvoltaţi binomul1

ermen general


18/30

*;

-spuns:

( ) { }

( )

- B - - 2

-+# B

2B 22 2 '

2+# B

"

2 6emenul $eneral este: 6 &) * , - (,#,...,B

*2

a/ Cuăm -&2 şi obţinem 6 &6 &) * #2**

b/ )um n&B nseamnă că dezvoltarea are @ termeni şi

termenul din mi>loc este 6

−

−

× ∈ ÷

÷

( )

( ) ( )

!B !

! 2 !!+# B

'-+#

- B -

2 B - 2 ' - '

2&6 &) * #2(* .*

c/ Pentru a $ăsi termenul care conţine * folosim din formula lui 6

factorul * cu e*ponentul său:

#* &* * * &* #' "-&' -&2 6 .*

d/ %epetăm raţiona

−−

−− −

÷

× ⇒ × ⇒ − ⇒ ⇒ ÷ #' "- #

!

#' "- (

mentul şi $ăsim * &* -& 6 !!B*.

e/ Analo$ * &* #' "-&( - u e*istă termen liber.

−

−

⇒ ⇒ =

⇒ − ⇒ ∉ ⇒¥

ermen general


19/30

*<

"plicaţie:

( )

∈&

n

! 'ă (e determine n ) *tiind că al zecelea termen

al dezvoltării binomului 3 + n e(te cel mai mare

dintre termenii dezvoltării.

ermen general


20/30

$=

-spuns:

( )

#(

#( @ #( ##

B n B B @ n @ @n n

#( n #( #( @ n @ @

n n

! 6ermenul 6 este cel mai mare al dezvoltării dacă

6 6 şi 6 6 sau ec4ivalent cu sistemul

) n ) n , unde n #(,n

) n ) n n n ! + !,

n B @n

#( n @

− −

− −

≥ ≥

× ≤ × ≥ ∈

× ≤ × ∈ ∞ ∩≤ −⇔ ⇔ ≤

−

¥

{ }

@ 2(# @ + 2(#n ,

2 2

@ + 2(#n ! + !, ## n ##

2

⇔ −

∈ ∩ ÷ ÷

⇔ ∈ ∩ = ⇒ = ÷ ÷

¥

¥

¥

ermen general


21/30

$*

"plicaţie:

( )#((

ie binomul 2 + .

a/ ;eterminaţi numărul de termeni din dezvoltare. b/ Aflaţi c3ţi termeni raţionali are dezvoltarea.

c/ )3ţi termeni iraţionali are dezvoltareaD

"

ermen general


22/30

$$

-spuns:

( )

( ) ( ){ }

#((

#(( - - -

-+# #((

-+#

" a/ Einomul 2 + are n dezvoltare #(# termeni.

b/ ormula temenului $eneral este:

6 ) 2 , - (,#((.

2 #(( - 2 - 6 ' - - (, ',....,@'

- -

sau se mai scrie - (, ' # ,' 2 , ' ,...

−= =

− ∈ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ∈

∈ × × ×

¤

{ }., ' #'

e*istă # termeni raţionali.

c/ =n concluzie sunt #(# # B! termeni iraţionali.

× ⇒

⇒− =

ermen general


23/30

$/

2dentit-ţi 9n calculul cu comin-ri

( )

( )

n

n ( n # n # 2 n 2 2 - n - - n # n # n nn n n n n n

?tiliz3nd formula lui e7ton de dezvoltare a binomului a + b

a+b &) a +) a b+) a b +.....) a b +.....+) ab +) b ,

se pot deduce c3teva identităţi interesante n care intervin coeficinţii

− − − − −

n ( # 2 n # nn n n n

n

n2 ) + ) + ) + .

binomiali.

Particulariz3nd n formula lui e7ton a b # $ăsim:

Suma coeficienţilor binomiali ai dezvoltării este 2

=n aceeaşi formulă a lui e7to

.... + ) + )

n

−

• = =

=

•

( )n( # 2 n

n n n n( ) )

lu3n

+ ) .....

d a # şi b # obţinem:

Suma alternantă a coeficienţilor binomiali este

# )

(

=

= −

− − −

=


24/30

$0

2dentit-ţi 9n calculul cu comin-ri)continuare+

( )

( )

n ( # 2 n # nn n n n n

n( # 2 n

n # ( 2 ! '

n n n n

n ( 2 ! '

n n

n

n n

n n n

Adun3nd cele două sume membru cu membru obţinem:2 ) + ) + ) + ..... + ) + )

( ) ) + ) ..... # )

2 22

) + ) + ) + ) + .)

.... sau

Suma coeficienţilor

+ ) + ) + ) + ....

−

− =

=

= − − −

=

( )

n

n # # " n

#

n # " n n n n

n #

n n n

binomiali de ran$ impar este 2

Scăz3nd cele două sume obţinem:

2 2 ) + ) + ) + ) + ..... sau

Suma coeficienţilor binomiali de ran$

2 ) + ) + ) + )

par est

+...

e

.

2

−

−

−

=

=


25/30

$1

"plicaţie:

# 2 n

n n n n n- - #n n #

- n - n n

' Să se calculeze suma:

S ) + 2) + ) +.....+ n) .a/ utiliz3nd e$alitatea -) n)

pentru n,- , n -0

b/ utiliz3nd formula combinărilor complementare:) ) pentru n,- , n -0

−−

∗

−

==

∈ ≥

= ∈ ≥

¥

¥

&uma


26/30

$3

-spuns:

( )

( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )

- n

- #n #

( # 2 n #n

( # 2 n # n #n # n # n # n #

n # n # n # n #

a/ ;emonstrarea formulei:

n n # 1n1-) - -

-1. n - 1 - - # 1 n - 1

n # 1n n)

- # 1 n - 1

Astfel suma se rescrie:

S n) + n) + n) + .... + n)

n ) + ) + ) + .... + ) 2n− −− − −

−−

−− −

−

− −

−= = =

− − −

−= =

− −

= =

= = ×

&uma


27/30

$4

-spuns )continuare+:

( )

( )

n

- n - n n

n # n 2 n # (n n n n n n

( # n n 2 n #n n n n n

n

b/ %escriem suma S utiliz3nd formula combinărilor

complementare, ) ) şi se obţine:

S ) + 2) + ) +..... + n # ) + n)

n) + n # ) +.... + ) + 2) + ) .

Adunăm cele două sume:

S

−

− − −

− − −

=

= − =

= −

= ( ) ( )

( ) ( )

( )

# 2 n

( # 2 n 2 n # nn n n n n n

2 n # nn n n n n

( # 2 n 2 n #n n n n n n

n

n

) + 2) + ...+ n 2 ) + n # ) + n)

S n) + n # ) + n 2 ) +...........+ 2) +) + ) + ) +..............

..+ )

.+ )+

2S n

2S n

) + )

− −

−

− −

−

− −

= − −= ⇒

= × nn #nS 22 n−⇒ = ×

&uma


28/30

$;

-spuns:

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )

- - nn

- +#

- +# n +#n +#

# 2 n( n n n n

n n

;emonstrarea formulei:

) # # n1 n1 n +#)

- +# - +# - +# -1 n - 1 - +# 1 n - 1 n +#

n + # 1 # # )) .

- +# 1 n - 1 n +# n +# n +#

)u această formulă rescriem fiecare termen al sumei

) ) ) )S ) + + + ..... +

2 n +#

= = × = × =− −

= × = =−

= =

$

( )

( ) ( )

# 2 n+#

+# n +# n +#

# 2 n+#

n+# n+# n+# n

( # 2 n+#

n+# n+# n+# n+# n

+#

n +

+#

#

) )+ + .... +

n +# n +# n +#

#) + ) + ) + .

) + ) + ) + ) + .... + )

.. .+)n +#

# #2 #

n +# n +#

#−

=

= =

= = −

&uma


29/30

$<

est

#!

#ie binomul * , * (.*

)3ţi termeni are dezvoltareaD

)are este ran$ul termenului din mi>locD

)are este suma coeficienţilor binomiali ai acestui binomD

olosind formul termenului $eneral,

− ≠ ÷

1)

2)

3)

- n - - -+# n

2

6 &) a b aflaţi:

%an$ul termenului care conţine pe * .

)3ţi termeni raţionali are dezvoltareaD

−

!)

")


30/30

/=

em-

n

"

#Să se afle termenul dezvoltării binomului * * + care

*

l conţine pe * dacă suma coeficienţilor binomiali este #2B.

÷ 1)

2)

n2 2Se consideră dezvoltarea * , * , n .

*

Să se determine n astfel nc3t suma coeficienţilor primilor

trei termeni

∗ ∗ − ∈ ∈ ÷

a)

¡ ¥

!

ai dezvoltării să fie @.

Pentru n&B verificaţi dacă e*istă un termen care9l conţine pe * .

Pentru n&B( aflaţi suma coefic

b)

c)

( )

n

n

ienţilor dezvoltării.

Să se scrie numărul comple* z #+ i sub forma tri$onomtrică

şi apoi să se clculeze z cu formula lui Foivre0

Să se dezvolte #+ i după formula lui e7ton0

$al3nd e$alităţil

=3) a)

b)

c)

( ) ( )n n

( 2 ! ' # " n n n n n n n n

e de la a/ şi b/ să se deducă e$alităţile:

n n) ) + ) ) +..... 2 cos şi ) ) + ) ) + ..... 2 sin

! !

π π − − = − − =

Documents

Tema Curs Zahiu Mariana Denisa