TEMA VI: FRACTURA

6.1 Introducción. Ductilidad y fragilidad.

Bloque I: FRACTURA FRÁGIL

6.2 Resistencia a fractura teórica.

6.3 Defectos, concentradores de tensiones.

6.4 Naturaleza estadística de la fractura frágil.

6.5 Teoría de Griffith.

6.6 Propagación de fisuras. Mecánica de la Fractura de Irwin.

Bloque II: FRACTURA NO LINEAL

6.7 No linealidad en punta de fisura. Modelo de Barenblatt.

6.8 Disipación de energía. Tenacidad y mecanismos de refuerzo.

6.9 Ensayos para la medida de la tenacidad a fractura

6.10 Fatiga.

6.1 INTRODUCCIÓN. DUCTILIDAD Y FRAGILIDAD

Al estudiar la curva tensión-deformación en un ensayo uniaxial describimos como en la respuesta

mecánica de un material pueden distinguirse tres regímenes: régimen elástico, régimen plástico y

finalmente la fractura. La importancia de este último régimen mecánico es evidente: la fractura supone el

final, o al menos el principio del fin, de la vida útil de una pieza. Entender el origen de este fenómeno es

de vital importancia para el diseño de todo tipo de estructuras en ingeniería. Cualquier fallo en el diseño

de una pieza por no tener en cuenta las propiedades de fractura del material puede ser catastrófico (en la

figura se muestra el barco “Liberty” que se hundió en puerto por una mala elección de las propiedades del

acero del casco). Además, las pérdidas anuales por fractura de piezas y estructuras industriales son

millonarios, lo que explica el extraordinario interés de estudiar este fenómeno para intentar minimizar

estos fallos.

6.1.1 Ductilidad y fragilidad.

Conviene recordar el concepto de ductilidad que definiéramos al estudiar las curvas tensión

deformación. La ductilidad de un material se define como la cantidad de deformación plástica máxima

que es capaz soportar un material antes de romper. Los parámetros principales utilizados para medir la

ductilidad son la deformación a fractura f o la reducción de área a fractura Af /A0. Esta magnitud, la

ductilidad, determina el tipo de fractura que se produce en el material: fractura frágil o fractura dúctil. Las

principales características de estos dos tipos de fractura se resumen en la siguiente tabla:

Fractura frágil Fractura dúctil

Apenas hay estricción Estricción apreciable

Las superficies de fractura son

macroscópicamente planas. La fractura se

produce a un ángulo de 90º con la carga aplicada y

es originada por tensiones normales

La fractura adopta la forma típica copa-cono. Por

tanto, la fractura se produce formando un ángulo de

45º con la carga aplicada y se origina por tensiones

de cizalladura.

Las superficies de fractura son microscópicamente

lisas en monocristales (clivaje) o amorfos y

estriadas en policristales

Microscópicamente se observa la formación de

microcavidades en la superficie de fractura

(fractura por desgarro)

Apenas se produce deformación plástica entorno a

la grieta Deformación plástica apreciable entorno a la grieta

Todos los materiales pueden presentar uno u otro tipo de comportamiento a fractura (frágil o dúctil)

dependiendo de la temperatura. Existe para todos ellos una temperatura de transición frágil-dúctil, de

forma que si la temperatura es mayor que dicha temperatura crítica, el comportamiento es dúctil, y si es

menor, frágil. Esto es lo que le ocurrió al acero del “Liberty”, que al botarlo al agua se enfrió por debajo

de su temperatura de transición y se agrietó el casco.

Además de la clasificación anterior, la fractura en policristales puede clasificarse en intergranular o

transgranular, según la ruta de propagación de la fisura sea a través de las fronteras de grano o

atravesando (rompiendo) los propios granos.

BLOQUE I: FRACTURA FRÁGIL

De los dos tipos principales de fractura que acabamos de describir, estudiaremos en primer lugar la

fractura frágil por ser más simple de analizar ya que en ese caso el material se comporta elásticamente

hasta la fractura (por ello, a la fractura frágil también se le denomina fractura elástica), por lo que

podemos hacer uso de la teoría elástica lineal para su descripción.

6.2 RESISTENCIA A FRACTURA TEÓRICA.

Es lógico pensar que la fractura elástica se produce cuando la

tensión que actúa sobre el material alcanza un cierto valor (a este

criterio de fractura se le denomina criterio de tensión crítica). Por

tanto, una de las magnitudes más básicas para describir la fractura

frágil es la tensión real a la que dicha fractura tiene lugar. A dicho

valor crítico de la tensión se le denomina resistencia a la fractura

del material. Haciendo uso de la teoría de la elasticidad lineal

podemos calcular dicho valor de forma teórica:

Consideremos una estructura cristalina cúbica como la de la

figura cuyos sus enlaces atómicos se comportan como muelles,

verifican la Ley de Hooke. Para producir la fractura entre los planos P1 y P2 es necesario romper todos

esos enlaces, creando dos superficies nuevas. Si s es la energía por unidad de superficie (energía

superficial del material), la energía necesaria para crear dos nuevas superficies de área S sería:

SU sS 2

Por otro lado, la energía elástica almacenada en la deformación provocada por una fuerza F que

estira los enlaces una cantidad a vendrá dada por:

aFaadKaFdU

aa

E

21

00

)()(

que considerando S

F y

0a

a y la ley de Hooke ( E ), conduce a:

0

2

21

021 Sa

ESaU E

Para que el inicio de fractura pueda producirse de forma espontánea (es decir, para que sea

energéticamente favorable), ha de verificarse que SE UU lo que implica:

SSaE

st

20

2

21

y, por tanto, la resistencia a fractura teórica, t, vendría dada por:

3

20

E

a

Est

Por tanto, la resistencia a fractura teórica, al igual que el módulo elástico, es una magnitud cuyo

valor está íntimamente relacionado con la energía de cohesión (energía de enlace) de los átomos. Sin

embargo, el cálculo anterior no es exacto, ya que la ley de Hooke no puede considerarse válida hasta la

rotura a nivel de enlaces atómicos porque la fuerza interatómica deja de ser lineal cerca de la rotura.

Haciendo un cálculo más exhaustivo, considerando la verdadera forma funcional de las fuerzas de enlace

(a partir del potencial Lennard-Jones), se obtiene que:

10

Et

Sin embargo, paradójicamente, las medidas experimentales de f arrojan valores que son entre 100-

1000 veces inferiores a E. ¿Cuál es el motivo de esta discrepancia entre los valores de resistencia a

fractura experimentales y los teóricos, entre f y t?

6.3 DEFECTOS, CONCENTRADORES DE TENSIONES.

Al igual que sucediera con la paradoja del límite elástico, la explicación a esta famosa paradoja de la

fractura frágil hay que buscarla en la existencia de defectos en un los materiales reales. En efecto, la

tensión en la punta de defectos tridimensionales preexistentes en el material (poros, grietas, etc.) es muy

superior a la tensión aplicada macroscópicamente sobre él, es decir, estos defectos actúan como

concentradores de tensión. En 1913, Inglis calculó la concentración de tensiones en defectos elípticos

bajo tensión uniforme, obteniendo que la tensión en la punta del defecto viene dada por:

c

b

cAAC 221

siendo c

b2

el radio de curvatura en punta del defecto y AC / el

factor de concentración de tensiones, que depende por tanto de la forma y

del tamaño del defecto. Como se aprecia en el gráfico, la alteración de las

tensiones apenas afecta a una región de tamaño c, pero en dicha región

las tensiones son muy superiores a las existentes en el resto del material.

La presencia de defectos en los materiales reales no invalida el

criterio de tensión crítica, pero implica que, obviamente, la fractura se

produce ahora cuando la tensión máxima en la punta de las grietas

preexistentes (y no la tensión macroscópica, que será mucho menor) alcanza la resistencia a fractura

teórica (es decir, cuandotC ). Esto implica que la resistencia a fractura aparente, la que medimos

macroscópicamente (Af ) sería:

cft

fA

tC2

de donde

ca

Esf

0

que considerando que la curvatura en punta de grieta es del orden de la distancia interatómica (≈ a0)

queda:

21

cc

Ef

sf

Experimentalmente, por ejemplo en ensayos a tracción en fibras de vidrio de diferente diámetro

(Griffith, ver figura), se comprueba esta dependencia inversa de la resistencia a fractura con la raíz

cuadrada del tamaño de los defectos. Así mismo, en la tabla se aprecia que los mayores valores de

resistencia medidos experimentalmente en fibras muy delgadas se aproximan al valor teórico (≈ E/10).

6.4 NATURALEZA ESTADÍSTICA DE LA FRACTURA FRÁGIL.

Puesto que la formación de los defectos en el proceso de fabricación de una pieza es un proceso

aleatorio, la población de defectos introducidos varía de una pieza a otra, tanto en número como en

distribución de tamaños. Por tanto, la resistencia a fractura también variará aleatoriamente dentro del

grupo de piezas, dependiendo del tamaño de los defectos que contenga cada una, de ahí que se hable de

que la fractura frágil tiene una naturaleza inherentemente estadística. Se hace pues necesario recurrir a

análisis estadísticos para describir completamente este fenómeno.

Material f máx (GPa) E (GPa) E/f máx

Fibra de vidrio 24.1 97.1 4

Fe whisker 13.1 295 23

Si whisker 6.5 166 26

Whisker de alúmina 15.2 496 33

Acero austenítico 3.14 200 64

Cuerda de piano 2.75 200 73

Si analizamos la fractura de una determinada

población de piezas en cualquier aplicación, la

probabilidad de fallos durante la vida útil sigue una curva

tipo bañera: primero muchos fallos debido a defectos de

fabricación, luego fallos al azar a ritmo constante y,

finalmente, se incrementa el número de fallos debido al

desgaste por fatiga de los materiales.

6.4.1 Análisis de Weibull.

Para el estudio estadístico de la resistencia a fractura de materiales el análisis más comúnmente

empleado es el debido a Weibull (1936). Este análisis se basa en el modelo del eslabón débil para

proponer que la probabilidad de supervivencia de un volumen V de un material determinado viene dada

por:

VR

VSV

V

VV

eeVSVS )(ln

0

000)()(

donde V0 es el volumen elemental. R sería el riesgo o probabilidad de rotura por unidad de volumen,

que depende sólo de la tensión aplicada . Weibull postuló que:

m

uVSV

R

0

0

0

)(ln1

donde u es la tensión umbral por debajo de la cual la probabilidad de fractura es cero (u = 0

habitualmente), o es el valor central de la distribución de Weibull (aproximadamente equivalente a una

tensión de fractura promedio) y m es el módulo de Weibull que da cuenta de la variabilidad en la

resistencia a fractura del material (a mayor m, menor variabilidad). Según esta distribución, la

probabilidad de fallo de la pieza viene dada por:

m

uV

eP

01

En lugar de representar directamente esta distribución de

probabilidad, se suele representar el

P1

1ln frente a la

tensión aplicada en escala logarítmica (ver figura):

0log)log(log1

1lnlog mmV

Pu

De esta forma se determinan fácilmente los valores de m y 0 (considerando el volumen de la pieza

como unitario), a partir de la pendiente y la ordenada en el origen de la recta resultante, y se puede

obtener información sobre la distribución de defectos en el material.

Esta fuerte componente aleatoria en la fractura de materiales frágiles plantea cuestiones acerca de la

fiabilidad en servicio (que en ocasiones se denomina confiabilidad) de estos materiales y que está

relacionada con el valor del módulo de Weibull, m. Para hacer frente a este problema se pueden buscar 3

tipos de estrategias:

Detección de defectos: Mediante la realización de ensayos no destructivos se determina el tamaño de

los defectos existentes, lo que permite detectar las piezas que, por presentar defectos demasiado

grandes, no cumplen los requerimientos de la aplicación para proceder a su reparación o desechado.

Eliminación de defectos: Si se precisan piezas libres de defectos existen dos alternativas. Por un lado

se puede optimizar el proceso de fabricación para minimizar la presencia de defectos perniciosos: se

trata de un proceso muy costoso y se hace necesario proteger las piezas tras la fabricación para

evitar su degradación (p. ej. recubrimientos en fibras ópticas). Alternativamente, si la optimización

del proceso de fabricación es compleja, para evitar la presencia de defectos se pueden realizar

ensayos tecnológicos de prueba (proof testing) que consiste en someter a las piezas fabricadas a una

tensión superior a la que sufrirán en servicio y eliminar aquellas que resultan dañadas. Es también

una práctica costosa, pero muy habitual en sistemas de control de calidad.

Incrementar la tolerancia a defectos: En lugar de intentar detectar o eliminar los defectos en nuestro

material, lo que se busca en este caso es optimizar su microestructura para que resista la presencia de

defectos y evite su propagación, impidiendo que se conviertan en fisuras macroscópicas. Esto es lo

que se intenta conseguir en muchos materiales compuestos (hormigón, materiales reforzados con

fibras, etc.) mediante la incorporación a la matriz de elementos de refuerzo que dificulten la

propagación de fisuras, como veremos en la sección 6.8.

6.5 TEORÍA DE GRIFFITH.

El criterio de tensión crítica aplicado a la punta de la fisura es una condición necesaria, pero no

suficiente, para que se propague una fisura. Además es necesario que esta propagación sea

energéticamente favorable. Por otro lado, el tratamiento utilizado hasta ahora para describir la fractura

frágil es formalmente poco riguroso porque aplica teoría de la elasticidad en un rango atómico donde la

aproximación de sólido continuo deja de ser aplicable. Estos problemas fueron sorteados por Griffith en

1920 al desarrollar su teoría de la fractura frágil a partir de consideraciones energéticas, considerando el

problema de la fractura desde un punto de vista termodinámico:

Consideremos un sistema termodinámico reversible compuesto

por un sólido elástico (B) en cuyo contorno (A) actúan determinadas

fuerzas externas, y que contiene una fisura de longitud inicial c y

superficie S. Supongamos ahora que dicha fisura experimenta un

crecimiento o desplazamiento virtual dc (ver figura). Según el 1er

Principio de la Termodinámica:

dQ = dU + dW

siendo Q el calor suministrado al sistema, U su energía interna y W

trabajo realizado por el sistema sobre el medio (por tanto, W < 0 si es

trabajo realizado sobre el sistema). Asumiendo que la propagación de la fisura un dc se produce

rápidamente podemos considerar que el proceso es adiabático (dQ = 0). Por otro lado la energía interna

del sistema tiene dos contribuciones, la energía elástica y la energía superficial del medio:

U = UE + US

Griffith consideró que la condición crítica para el crecimiento de la fisura es que los cambios

energéticos asociados al crecimiento de la fisura se equilibren, es decir, que se minimice la energía del

sistema:

0)(

dc

d

dc

WUUd SE U

Cuando el sistema está fuera del equilibrio, si 0dc

dU la grieta crecerá espontáneamente y si

0dc

dUla fisura tendería a cerrarse, a decrecer.

6.5.1 Resistencia a fractura en una grieta elíptica bajo tensión uniforme.

Utilizando este criterio de fractura que acabamos de obtener, Griffith estimó la resistencia a fractura a

partir de los resultados de Inglis para una grieta elíptica bajo tensión uniforme:

Consideremos una lámina de espesor unidad con fisura pasante. La

energía superficial asociada a la fisura (ignoramos el resto de superficies pues

no varían) viene dada por:

US = 4c

Utilizando la teoría de la elasticidad se puede demostrar (lo haremos más

adelante) que el trabajo realizado a carga constante por el sistema al crecer la

fisura es:

dW = -2 dUE

Por tanto:

U= UE +US +W = US -UE

Por otro lado, es posible demostrar que:

con E’=E si la lámina es delgada (estado de tensión plana) y

E’=E/(1-2) si la lámina es gruesa (estado de deformación plana).

Entonces:

cE

cc A

4

')(

22

U

Como vemos, UE decrece con c2 mientras que US crece

linealmente con c, es decir, conforme la fisura crece una región de

radio aproximadamente igual a c se descarga entorno a la punta de

fisura y la energía elástica liberada se emplea en crear las nuevas

superficies. Aplicando la condición de equilibrio de Griffith:

*

'2 0

*, c

E

dc

df

cc fA

U

Este valor de resistencia a fractura es coherente con el valor obtenido a partir del las tensiones en

punta de fisura pero el tratamiento seguido para calcularlo es más riguroso. En este caso, se cumple

0

*;

2

2

fAccdc

Ud

se trata de un máximo de energía y, por tanto, el sistema estaría en equilibrio inestable: mientras A<f

la fisura no crece, pero si A>f la fisura crece hasta el final sin necesidad de incrementar la tensión

(crecimiento inestable).

6.5.2 El experimento de Obreimoff.

Existen situaciones en las que el crecimiento no se

produce de esta forma inestable. Este es el caso del

experimento de Obreimoff sobre clivaje en láminas de mica

(ver figura). En este caso, al introducir la cuña en el bloque

de mica la fuerza y el desplazamiento son ortogonales:

Fu W=0 U=US+UE.

'

22

E

cU A

E

Por otro lado: US = 2c

y, según la teoría de vigas bajo flexión:

3

23

8c

hEdUE

entonces,

41

23

*, 16

3 0

hEdc

dc

d

fAcc

U

pero en este caso

0

*;

2

2

fAccdc

Ud

por tanto, se trata de un mínimo de energía, de un equilibrio estable: la fisura crece o decrece según h

hasta ese tamaño de equilibrio (crecimiento estable).

En su experimento, Obreimoff constató que existe una gran influencia del entorno en la fractura

frágil, que se traducen en fuertes variaciones del tamaño estable, c, de la fisura. Por otro lado, observó

retardos y variaciones en la velocidad de crecimiento de la fisura dependiendo de la velocidad de

introducción de la cuña, por lo que dedujo que la fractura es un proceso dependiente del tiempo. Además,

observó que se trata de un fenómeno sólo cuasi-reversible: aunque aparentemente las grietas se cierran al

retirar la cuña, se produce una reducción en la resistencia cuando se realiza un segundo ensayo sobre la

lámina y existe disipación de energía en el proceso. Es decir, el curado de la fisura es imperfecto porque

átomos extraños se introducen en la grieta, reduciendo la resistencia mecánica del material.

6.5.3 Limitaciones del análisis de Griffith.

De nuevo, a la hora de determinar la resistencia a fractura, f , a partir de la teoría de Griffith se ha

recurrido a resultados de teoría elástica, que no son válidos estrictamente en punta de fisura. El propio

concepto de punta de fisura no está claro. En teoría elástica se asume que la punta de fisura está bien

definida y que no existen fuerzas de atracción entre las superficies opuestas de la fisura, lo cual no es

estrictamente cierto, por tanto, los resultados de teoría de fractura que acabamos de estudiar no son

aplicables cerca de la punta de fisura. ¿ Punta de fisura ?

Por consiguiente, es necesario distinguir dos regímenes en la evolución de las fisuras:

Inicio o nucleación: Este régimen inicial es muy complejo de describir y está gobernado por

fuerzas locales que se denominan fuerzas de nucleación. Aunque existen modelos para estudiar

las fuerzas atómicas que rigen la nucleación de fisuras, éstos son demasiado complejos para

analizarlos en esta asignatura.

Propagación: Se entiende por propagación el crecimiento de la fisura más allá de la región donde

actúan las fuerzas de nucleación, es decir, el crecimiento de fisuras bien desarrolladas. Las

complejas fuerzas de nucleación no intervienen en este segundo régimen y por tanto su

descripción está al alcance de las teorías de fractura.

6.6 PROPAGACIÓN DE FISURAS. MECÁNICA DE LA FRACTURA DE IRWIN.

En 1957, Irwin estableció con un formalismo más correcto la equivalencia entre la formulación

energética y la formulación basada en tensiones de la mecánica de la fractura para la descripción del

proceso de propagación de fisuras (seguimos ignorando la nucleación).

Para comenzar el estudio de la mecánica de la fractura de Irwin, conviene identificar la existencia de

tres modos de fractura, que se corresponden con la separación de las dos superficies de fractura en cada

una de las tres direcciones del espacio:

Modo I. Apertura: El desplazamiento relativo de las superficies de fractura es normal a las paredes

de la fisura. Es evidente que este modo de fractura se debe a tensiones de tracción.

Modo II. Deslizamiento: Desplazamiento tangencial de las paredes de fisura en dirección

perpendicular al frente de fisura. Obviamente producido por tensiones de cizalladura.

Modo III. Desgarramiento: Desplazamiento tangencial de las paredes de fisura en dirección paralela

al frente de fisura. Producido por tensiones de cizalladura pura (no hay tensiones normales

(ver ecuaciones en sección 6.6.1).

El modo de fractura dominante depende de la orientación del defecto respecto al campo de tensiones

pero también del tipo de material. Así, por ejemplo, en materiales frágiles domina el modo I hasta el

punto de que las fisuras rotan si es necesario para propagarse según este modo. En materiales dúctiles

(metales y polímeros) prevalecen los modos de cizalladura II y III. En geología, el modo I está

completamente suprimido, incluso en materiales frágiles, porque las rocas rompen siempre por

compresión.

6.6.1 Factor de Intensidad de Tensiones.

A partir de los resultados de Westergaard (1939), Irwin estableció que la distribución de tensiones

completa entorno a una fisura puede escribirse, en primera aproximación (1er

término del desarrollo en

serie) como:

Modo I:

Modo II:

Modo III:

donde

Todas estas expresiones pueden escribirse de forma compacta como:

)(2

,

mij

m

ij fr

K

Así mismo, los desplazamientos pueden expresarse como:

)(22

,,

mim

mi fr

E

Ku

donde Km es el denominado factor de intensidad de tensiones, que depende del modo de fractura y de

las condiciones de contorno aplicadas (es decir, de las cargas aplicadas, de la longitud de la fisura, forma

de la pieza, etc.). El factor de intensidad de tensiones, como su nombre indica, es la magnitud que

determina la intensidad de las tensiones locales entorno a la fisura. Esta magnitud es la fuerza motriz de

la propagación de la fisura. Como veremos más adelante, en la formulación en tensiones de la mecánica

de la fractura de Irwin la propagación de la fisura se produce cuando esta magnitud iguala o supera un

cierto valor crítico.

Conviene notar que las tensiones varían con r-1/2

mientras que los desplazamientos lo hacen con r1/2

,

independientemente de las condiciones externas. Ello implica que las tensiones justo en punta de fisura

serían infinitas, lo que significa que este tratamiento no es aplicable muy cerca de la punta de fisura.

Además, tampoco es aplicable lejos de la fisura puesto que se necesitarían términos de orden superior en

el desarrollo en serie que se han despreciado para obtener las ecuaciones anteriores. En definitiva, como

ya hemos comentado la mecánica de fractura de Irwin, sólo es aplicable a la propagación y no a la

nucleación de fisuras y no pretende poder calcular qué sucede en regiones alejadas de la fisura ya que lo

que suceda en estas regiones no afecta a su propagación.

6.6.2 Velocidad de Liberación de Energía Mecánica.

La mecánica de la fractura de Irwin puede enunciarse de forma equivalente en términos energéticos.

Para ello, Irwin define el concepto de velocidad de liberación de energía mecánica, G, como la energía

mecánica liberada por unidad de superficie de fractura:

(UM=UE+W)

que considerando una longitud de frente de grieta unitaria puede escribirse alternativamente como:

dc

dUG M

G tiene dimensiones de energía/área o fuerza/longitud y es la fuerza motriz de la propagación de

fisuras. En efecto, cuanta más energía mecánica se libere al aumentar la longitud de la fisura (cuanto

mayor sea G), más favorable será dicha propagación. Como demostraremos a continuación, la velocidad

de liberación de energía mecánica es independiente de la configuración de cargas:

Supongamos un sistema como el de la figura. El desplazamiento

sufrido dependerá de la carga aplicada y de la flexibilidad (compliance)

del sistema, =(c):

u =P

La energía elástica del sistema será:

2

0

2

2

1

2

1)( P

uduuPU

u

E

Si el sistema evoluciona a carga constante, cuando la fisura crece dc la flexibilidad, aumenta y

dPdU E

2

2

1

Por otro lado,

PdPddPdu cteP

y por tanto

dPPdudW 2

Al tratarse de un trabajo realizado sobre el sistema es negativo. Como vemos que se verifica lo que

habíamos comentado anteriormente: dW=-2dUE .

Finalmente, se obtiene:

2

2

1PddU M

Si, en cambio, el sistema evoluciona a desplazamiento constante, sigue aumentando cuando la

fisura crece dc, pero ahora:

2

2

2

2

1

2

1Pdd

udU E

dS

dUG M

Por otro lado, al ser a desplazamiento constante, du=0, el trabajo realizado es nulo (W=0) por lo que

finalmente:

2

2

1PddU M

Por tanto, G tendría el mismo valor en ambos casos, que es lo que queríamos demostrar. Sin

embargo, a carga constante dUM=-dUE mientras que a desplazamiento constante dUM=dUE, es decir, lo

que es invariante es la velocidad de liberación de energía mecánica, G, y no la velocidad de liberación de

energía elástica, que en un caso es opuesta al otro. A pesar de tener el mismo valor de G, ambas

configuraciones no son igualmente estables:

A P=cte: 2

222

2

1

2

1

dc

dP

dc

dG

dc

dP

dc

dUG M

Mientras que para u=cte:

2

1

2

12

32

22

2

2

2 dc

du

dc

du

dc

dG

dc

du

dc

dUG M

De esta forma, si (c) es creciente con c, 0dc

d , la derivada de G a desplazamiento constante será

menor que la derivada de G a carga constante lo que, como veremos más adelante implica que la

configuración a desplazamiento constante produce fisuras más estables.

6.6.3 Equivalencia entre G y K.

Las dos formulaciones de la mecánica de la fractura de Irwin

son equivalentes y por tanto debe existir una equivalencia entre

las dos fuerzas motrices que acabamos de definir. Consideremos

por simplicidad el caso de fractura a desplazamiento constante y

en Modo I puro (ver figura). La energía elástica liberada durante

el crecimiento de la fisura (CC’) es equivalente al trabajo

realizado por las tensiones entorno a la fisura durante un proceso

hipotético de cierre de la fisura (C’C):

dxxdccrucxrdcdc

dUG yyy

c

dccdc

E ),( )0,(2

lim21

0

Sustituyendo los valores de yy y uy correspondientes al modo I (ver sección 6.6.1), se obtiene:

dcI

dcc

c

I dyy

ydc

dcE

Kdx

cx

xdcc

dcE

KG

0

22

'

2

'

2

que haciendo los cambios w=y/dc y posteriormente w=cos2 conduce a:

'4

2

2'

4

'

4 22

0

22

0

22

E

Ksen

E

Kdsen

E

KG III

Ecuaciones equivalentes se pueden obtener para todos modos de fractura:

)1( ,'

,'

222

E

KG

E

KG

E

KG III

IIIII

III

I

con E’=E si la lámina es delgada (tensión plana) y E’=E/(1-2) si es gruesa (deformación plana).

Queda, por tanto, demostrada la equivalencia entre G y K: conocida una de las dos magnitudes es

inmediato calcular la otra, a través de esta relación. Como ya se ha comentado, ambas magnitudes

caracterizan de algún modo la fuerza motriz de propagación de fisuras: a mayor G y K más favorable será

el que la fisura se propague.

6.6.4 Superposición de G y K.

Puesto que las tensiones del mismo tipo (cizalladura o normales) verifican el principio de

superposición y pueden sumarse, también los factores de intensidad de tensiones correspondientes a un

mismo modo de fractura se suman:

KI= KI (1)

+KI (2)

+KI (3)

En cambio, cuando los modos de fractura son diferentes, los factores de intensidad de tensiones no

pueden sumarse pero la energía liberada sí es aditiva:

IIIIIIIIIIII

zzyxxyyyy

c

dccdc

E GGGE

K

E

K

E

Kdxuuu

dcdc

dUG

)1(''

2

lim222

21

0

Por eso es tan interesante la mecánica de la fractura de Irwin, porque utilizando bien la formulación

en tensiones (K) o bien la energética (G) es posible aplicar el principio de superposición y se simplifica

mucho la resolución de cualquier problema de fractura.

6.6.5 Generalización de la Teoría de Griffith.

Una vez que hemos identificado las fuerzas motoras de la propagación de fisuras y sus propiedades,

es necesario incorporar el concepto de balance energético de Griffith a la mecánica de la Fractura de

Irwin para completar el esta teoría. Al igual que G caracteriza la energía mecánica disponible para la

propagación de fisuras, se hace necesario definir una magnitud que represente la energía necesaria para

que dicha propagación tenga lugar y que, en ausencia de otros fenómenos, se identifica con la variación

de energía superficial del sistema por unidad de área, es decir, con el trabajo necesario para romper

los enlaces:

dc

dU

dS

dUR ss

Esta magnitud es la fuerza que se opone al crecimiento de la fisura (notar que es positiva), es decir,

la fuerza de resistencia a la propagación de fisuras. Esta fuerza resistiva puede identificarse, de forma más

general, con el trabajo de adhesión de Dupré por unidad de área. Es decir, el trabajo necesario para

separar dos superficies unitarias y crear las respectivas interfases con el medio que rodea al material o

materiales. En el caso de un sólido homogéneo este trabajo se identifica con la energía superficial de

cohesión (2 veces la tensión superficial, recordar la teoría de Griffith) y, si se trata de cuerpos distintos,

con el trabajo de adhesión propiamente dicho, es decir, la diferencia entre las tensiones superficiales de

los cuerpos por separado y la energía interfacial de la unión entre ambos materiales:

Como se muestra en el esquema, ambas magnitudes pueden modificarse en presencia de un medio E

determinado, lo que explica el efecto del entorno en la propagación de fisuras que Obreimoff constató en

sus experimentos. Al efecto pernicioso que en muchos casos tiene el entorno químico en la fractura de los

materiales se le denomina fatiga química.

Teniendo en cuenta esta definición, la condición de equilibrio de Griffith queda expresada como:

CSM GRGRdSGdSdUdUdU 0

es decir, la fractura se produce cuando G alcanza un cierto valor crítico (GC=R) o, equivalentemente en la

formulación en tensiones, cuando K lo alcanza:

K=KC

Basta recordar que '

2

E

KG (modos I y II). El valor crítico KC se denomina tenacidad a fractura del

material. Por tanto, según esta condición crítica, si G > R (K>KC) la fisura crece, mientras que si G < R

(K<KC) la fisura se contrae, tendería a cerrarse.

La condición anterior es condición necesaria para que se produzca el fallo de una pieza, pero no

suficiente. Para que la pieza falle, además, la propagación de la fisura ha de ser inestable, es decir, se debe

cumplir que:

0 0 02

2

dc

dK

dc

dG

dc

Ud cteR

donde el cambio de signo de “<” a “>” se debe al distinto signo entre U y G. Por supuesto, es posible que

en un determinado sistema, debido al campo de tensiones que actúa sobre la grieta, se alternen periodos

de propagación estable-inestable-estable… Estos diferentes periodos de crecimiento de las fisuras en un

material reciben nombres como incubación (crecimiento estable inicial), pop-in (crecimiento inestable) o

detención o arrest (frenado de la propagación de una fisura tras un crecimiento inestable o pop-in).

6.6.6 G y K para sistemas específicos.

La mecánica de la fractura de Irwin que acabamos de explicar no serviría de nada si no fuera posible

calcular los valores de las fuerzas motrices de la propagación de fisuras: G y K. En esta sección

estudiaremos algunos valores típicos de estas magnitudes para algunas configuraciones tensionales de

interés:

Fisuras bajo tensión uniforme: En este caso, el factor de intensidad de tensiones toma siempre la

misma forma funcional, independientemente del modo de fractura:

21

21

21

21

cK

cK

cK

cK

III

AIII

II

AII

I

AI

donde es un parámetro que depende de la geometría de la fisura:

- Fisura recta en medio infinito: =

- Fisura recta en un extremo del medio: =

- Fisura recta en medio de anchura w:

21

2tan

2)/(

w

c

c

wwc

- Fisura semicircular (medio-penique): = 2/

- Fisura elíptica:

da

ccaE

a

c

caEca

21

0

22

2

21

222

1

2

sin11)/(

sincos)/(

),/(

Fisuras bajo tensión distribuida no uniforme: Cuando sobre la

fisura en un medio infinito actúa una distribución de tensiones

normales no uniforme, =(x) (para fisura recta) o =(r) (fisura

medio-penique), el factor de intensidad de tensiones puede

calcularse a partir de las expresiones:

)(2

o )(

20

220

22

c

II

c

II

rc

xr

cK

xc

xcK

donde los términos 2222

y 1

rc

r

xc

son funciones peso de

Green que tienen en cuenta que las tensiones más relevantes son las que se encuentran próximas a

la punta de fisura. A partir de estas expresiones, y sabiendo que

22

2222y xc

xc

xdx

c

xarcsen

xc

dx

es fácil obtener los valores de K para los casos de tensión constante que

acabamos de ver: basta con sustituir (x)=A o (r)=A. También es fácil

calcular los casos de carga lineal en la boca de una fisura recta (ver figura),

para ellos se sustituye (x)dx=F(x)dx, siendo F la fuerza por unidad de

longitud aplicada y (x) la función delta de Dirac. Entonces, integrando se

obtiene:

2

c

FK I

y de forma análoga para el caso de una carga puntual sobre una fisura

medio-penique (ver figura), sustituyendo (r)rdr=P(x), se obtiene:

2

23

c

PK I

En ambos casos el parámetro que aparece es un factor de corrección de borde similar al que

aparece en el caso de fisuras bajo tensión uniforme.

Geometrías experimentales: otras geometrías de interés práctico son las que se producen en los

diferentes ensayos mecánicos habitualmente realizados para estudiar fenómenos de fractura:

o Flexión en 4 puntos: En este ensayo entre los dos cilindros interiores la tensión de tracción

es constante (ver figura), y se puede suponer que existe una

fisura recta, bien porque la hayamos introducido nosotros

(entalla) o porque asumimos que los defectos preexistentes

tienen esa configuración. Entonces, si c<<d, podemos utilizar la

expresión 21

cK con = , sabiendo que:

24

3

wd

Pl

o Flexión biaxial: En este tipo de ensayo la tensión de tracción es

de nuevo uniforme en el centro de la muestra (ver figura). Por

tanto, de nuevo, si c<<d podemos utilizar 21

cK con, por

ejemplo, = 2(si en este caso suponemos que la fisura

es de medio penique). En este caso la tensión viene dada por:

2

22

2 2

2)1(1ln2)1(

16

3

R

ab

a

b

d

Pl

o Doble cantiléver: Este tipo de ensayo consiste en flexionar simultáneamente dos láminas de

material, por ejemplo, introduciendo una cuña en una entalla para hacer crecer la fisura.

Utilizando la energía mecánica, UM = UE, que vimos al estudiar el experimento de Obreimoff

pero multiplicada por dos (son dos láminas), es fácil calcular G para esta condición de

desplazamiento constante (h=cte.). En los otros 2 casos posibles, carga constante (P=cte.) y

momento constante (M=cte.), G también puede

calcularse a partir de la teoría de vigas bajo flexión, de

forma que finalmente se obtiene:

Todas estas configuraciones de carga no son igualmente estables, que es lo que hace a este

tipo de experimento tan interesante. Por ejemplo, a h=cte., 0dc

dGy por tanto la

propagación es estable, mientras que para P=cte., 0dc

dGy el crecimiento es inestable.

Finalmente el caso M=cte. G(c) es independiente de c lo cual hace este tipo de configuración

especialmente útil para poder conocer G sin tener que medir c, aunque lamentablemente es

una configuración difícil de realizar experimentalmente.

Doble torsión: Este experimento (ver figura) es

interesante porque permite obtener un factor de

intensidad de tensiones independiente del tamaño de

fisura, c, para una configuración a carga constante que es

más fácil de conseguir experimentalmente que un

momento constante. En concreto, se obtiene:

)1(1222

1

0

dw

PwK

6.6.7 Ejemplo de aditividad del factor de intensidad de tensiones.

Como ya se ha mencionado, el fallo de un sistema requiere no sólo que se satisfaga la condición de

equilibrio, G=GC o K=KC , sino también que la propagación de la fisura sea inestable. Sin embargo, en la

propagación de fisuras se pueden alternar periodos de estabilidad e inestabilidad, de forma que es posible

que una fisura crezca inestablemente y luego se detenga, pasando a tener un

crecimiento controlado por lo que a veces es complejo determinar la

condición de fallo. El siguiente ejemplo ilustra la alternancia de regímenes

de crecimiento (estable primero y luego inestable en este caso) y la

aditividad del factor de intensidad de tensiones, K:

Supongamos una fisura sometida a una carga puntual en su boca y,

posteriormente, sometida a tensión uniforme (ver figura). En este caso

ambas configuraciones provocan la apertura de la grieta (modo I) y, por lo

tanto, el factor de intensidad de tensiones asociado a ambas solicitaciones es aditivo:

c

FcKKK AFA

2

donde se han usado dos de las expresiones de K que

acabamos de estudiar. El factor de intensidad de tensiones

resultante tiende asintóticamente, en escala logarítmica, a

dos rectas de pendiente +1/2 y -1/2 (ver gráfica). Cuando

inicialmente sólo actúa la fuerza en la boca de la fisura

(F>0, A=0), la condición de equilibrio sería:

K=KF=KC →

22

2/1

42

CC

IK

F

K

Fc

Cuando comienza a actuar la tensión externa A y hasta que se alcanza un valor crítico M, es decir,

para M >A > 0 (por ejemplo, A =0.25M), para K=KC (línea discontinua horizontal en la gráfica)

existen 2 puntos de equilibrio: uno de equilibrio estable (c=cI’>cI → dK/dc<0) y otro inestable (c=cF →

dK/dc>0). La fisura crecerá desde el tamaño inicial de equilibrio cI hasta cI’, que es el nuevo tamaño de

equilibrio para esta tensión aplicada. El otro tamaño cF que también cumple la condición de equilibrio no

tiene ninguna relevancia real porque se llega al otro equilibrio antes.

Conforme A aumenta cI’ crece establemente, manteniéndose en todo momento el equilibrio K=KC.

Pero conforme esto sucede cF va decreciendo de forma análoga hasta que ambos valores se igualan y se

alcanza la condición de equilibrio inestable final: c= cI’= cF cM , que se producirá para A = , y que

podremos calcular haciendo K=KC y dK/dc=0:

F

K

K

Fc

c

F

c

FK

c

F

c

F

cdc

dK

c

FcKKK

C

M

C

M

MM

C

M

M

MM

M

M

MMCC

2

2

2

23

8

422

20

2

10

2

Estos valores de tamaño de fisura y de tensión son los críticos para provocar el fallo de la pieza, es

decir, esa sería la resistencia al fallo del material.

BLOQUE II: FRACTURA NO LINEAL

Hasta ahora hemos considerado que el sistema en que se propaga la fisura se comporta como un

medio elástico continuo. Sin embargo, en la práctica existen múltiples desviaciones respecto de este

comportamiento ideal de fractura lineal. En lo que sigue trataremos de identificar estas fuentes de

desviación respecto de la linealidad (el problema de la punta de fisura, presencia de deformación plástica,

etc.) y de extender la teoría de la fractura que hemos estudiado para abarcar estos casos.

6.7 NO LINEALIDAD EN PUNTA DE FISURA. EL MODELO DE BARENBLATT.

La mecánica de fractura de Irwin es una poderosa herramienta para describir múltiples aspectos del

proceso de fractura. Sin embargo, no está exenta de limitaciones. En particular, aunque permite

determinar cuándo una fisura debe propagarse, no puede explicar cómo lo hace. Es decir, al igual que la

teoría de Griffith no permite describir lo que sucede justo en la punta de fisura: como ya dijimos, la

mecánica de de fractura de Irwin predice una singularidad ( ~ r -1/2

) para las tensiones en punta de fisura.

Sin embargo, es precisamente en dicha región inaccesible a la teoría donde verdaderamente tiene lugar el

proceso de ruptura de enlaces que conduce a la fractura. El origen de esta singularidad es doble: por un

lado, la utilización de la aproximación de continuo y, por el otro, la aplicación de la ley de Hooke, de la

teoría elástica lineal. Al utilizar la ley de Hooke, en la punta de fisura se obtienen tensiones y

deformaciones infinitas, asumiendo la forma parabólica de Irwin para la punta de fisura, porque en

elasticidad se asume que no hay límites para la deformación elástica, es decir, que la tensión de límite

elástico es infinita.

Sin embargo, las tensiones de cohesión, p(u), entre dos

planos atómicos que se separan una distancia 2u, inicialmente

crecen de forma lineal pero luego alcanzan un máximo y

posteriormente disminuyen hasta desaparecer (puede

considerarse que ya son nulas a una distancia de unos pocos

diámetros atómicos) en lugar de incrementarse indefinidamente

como predice la ley de Hooke (ver figura). La no linealidad de

esta función de tensiones de cohesión es evidente y explica en

parte porque no es posible analizar lo que sucede en punta de

fisura. Esta función p(u) es independiente de la forma y tipo de

fisura y el área bajo la curva determina el trabajo de adhesión de

Dupré:

0

0 2)2()( BBB udupWR

El modelo de Barenblatt (1962) es el modelo más simple para

tratar de describir la fractura cerca de la punta de fisura. En este modelo

se asume una fisura plana y se retiene la aproximación de continuo,

pero se permite la existencia de una distribución no lineal de tensiones

normales al plano de la fisura, p(X) (ver figura). Se considera, además,

que verifican las siguientes hipótesis de Barenblatt:

i) que la anchura de la zona de cohesión, , es pequeña en

comparación con la longitud de la fisura (aproximación de zona

de cohesión pequeña de Barenblatt-Dugdale) y

ii) que la forma de la superficie de fisura cerca de la punta es

independiente de la configuración de cargas externas (es decir,

se considera que las fuerzas externas son remotas, que el tamaño

de la muestra, L, es mucho mayor que el de la fisura).

Bajo estas hipótesis, << c << L, es posible calcular los factores de intensidad de tensiones

asociados tanto a las fuerzas externas como a las tensiones de cohesión. Ambos factores presentan

singularidades en la punta de fisura pero al sumarse se cancelan, como veremos a continuación. En primer

lugar calculemos el factor K0 asociado a las tensiones de cohesión:

00

,

0 220

)(2

)(2 dX

X

XpKdx

xc

xcK cxcX

cI

donde el signo negativo indica que es un factor de tensiones que se opone a la propagación de la fisura. Se

define el módulo de cohesión o tenacidad intrínseca como: 00 KT , que es independiente de c y es por

tanto una propiedad del material. La condición de equilibrio se reduce entonces a:

K=KA+K0 = 0 KC = T0

Claramente, debe existir una relación entre T0 y R0, usando la relación entre G y K se obtiene:

00 'RET

Es posible calcular la forma de la punta de fisura

resultante de considerar este modelo, calculando a partir

de la teoría de elasticidad los desplazamientos debidos a

fuerzas de cohesión y a las fuerzas externas, obteniéndose

(ver figura) que: 2/3)( XXu

Y, por tanto, la deformación se anula cerca de la

punta de fisura, 0limlim 21

23

00

X

dX

du

XX, al contrario que

en la mecánica de la fractura de Irwin donde u X1/2

implica que la deformación es infinita en la punta de

fisura:

21

21

00limlim X

dX

du

XX .

Sigue existiendo, sin embargo, una cierta incertidumbre acerca de cuál debe ser la definición de

punta de fisura: ¿El punto donde p(u) alcanza el máximo?, ¿o el límite de la zona de cohesión..? Además,

es posible estimar el tamaño de la región de cohesión haciendo una serie de aproximaciones, y se obtiene

que ~ 0.2-1 nm. Este tamaño es demasiado pequeño para justificar el haber reemplazado las fuerzas

interatómicas discretas por una distribución uniforme de tensiones, con lo cual surgen dudas acerca de la

validez formal de este modelo, a pesar de que permite solventar el problema de la singularidad de las

tensiones en punta de fisura.

6.8 DISIPACIÓN DE ENERGÍA. TENACIDAD Y MECANISMOS DE REFUERZO.

La existencia de fenómenos no lineales en la fractura de materiales se pone de manifiesto también en

las diferencias observadas entre los valores experimentales de energía que es necesario gastar en el

proceso de fractura, R, y las energías superficiales o de cohesión teóricas, 2B, de los materiales:

Como se aprecia en la tabla los valores de R son superiores a los valores de energías de cohesión,

especialmente en algunos materiales como los metálicos (las energías de cohesión de los metales son

similares o menores a las de los cerámicos). Pero incluso en cerámicos R0=1-10 J·m-2

mientras que

R=1-1000 J·m-2

o, equivalentemente, T0=0.4-4 MPa m-1/2

mientras que T=0.4-20 MPa m-1/2

. Es decir,

deben existir otros fenómenos de disipación de energía en el proceso de fractura además de la creación de

nuevas superficies. Cuanto más intensos sean estos procesos de disipación de energía, más resistente a la

propagación de fisuras, más tenaz, será el material.

La principal fuente de disipación de energía en la fractura, especialmente en metales, es la

deformación plástica en punta de fisura pero, como veremos más adelante, existen otros mecanismos que

pueden llegar a ser importantes en materiales cerámicos y compuestos: microfisuras, fallas de cizalladura,

transformación tenaz, etc.

6.8.1 La aproximación de Irwin-Orowan.

Para incorporar estos procesos de disipación de energía a la mecánica de la fractura de una forma

simple se emplea la aproximación de Irwin-Orowan, que asume que el medio en torno a la fisura puede

dividirse en 2 regiones: una zona externa elástica que transmite las cargas externas y una región interna

donde ocurren los procesos de disipación de energía (incluida la formación de nuevas superficies, R0). Si

la región interna es pequeña en comparación a la externa:

i) El trabajo de separación de las dos superficies se produce en la región interna y lleva asociado un

factor de intensidad de tensiones, K, siendo independiente de la configuración de cargas externas

y, por tanto, R es una propiedad del material.

ii) Por otro lado, la velocidad de liberación de energía mecánica está gobernada exclusivamente por

la configuración elástica y no se ve afectada por los fenómenos que tienen lugar en la zona

interna.

Bajo estas condiciones, podemos seguir empleando la mecánica de la fractura de Irwin para

describir la propagación de fisuras en medios no elásticos (también denominados disipativos) sin más

que sustituir R0 por R y T0 por T. Esto se denomina extensión de Irwin-Orowan del concepto de Griffith.

Si bien estos nuevos valores de la tenacidad, T, o de su homólogo energético, R, no pueden calcularse

teóricamente sino que han de ser medidos experimentalmente. Se suele escribir:

R = R0 + RP = 2B + RP

donde RP es el trabajo plástico. Habitualmente en materiales plásticos y metálicos se desprecia el término

de energía superficial porque el término debido a plasticidad es muy superior, sin embargo, en ocasiones

se observa que el término superficial no es aditivo sino multiplicativo, por lo que hay que tener cuidado

con este tipo de simplificaciones.

6.8.2 Apantallamiento de la punta de fisura. Modelo de Thompson.

Existen modelos de fractura más elaborados que permiten entender por qué y cómo se incrementa el

valor de R debido a los procesos disipativos. En concreto, el modelo de Thompson (y Lawn) afirma que

los procesos disipativos incrementan la tenacidad del material porque apantallan la punta de fisura de las

cargas externas. Por tanto, estos procesos disipativos no afectan al proceso de separación de las

superficies propiamente dicho y la forma de la punta de fisura no se ve afectada, de modo que el modelo

de Barenblatt sigue siendo aplicable (aunque esto, evidentemente, es una aproximación).

En este modelo existen, por tanto, sumideros de energía que están determinados por la

microestructura y que se activan debido al fuerte campo

de tensiones existente en el entorno de la fisura. Se

considera, por tanto, que su actividad se limita a un

dominio anular r0 > r >r. De esta forma el modelo

distingue 3 regiones (ver figura): un enclave elástico,

una zona de apantallamiento donde suceden todos los

procesos disipativos y resto del sólido, que también es

elástico. El tamaño del enclave es muy superior al de la

zona de cohesión (r0 >>.) pero pequeño en

comparación con la distancia de separación promedio

entre sumideros de energía. A pesar de que dichos

sumideros están distribuidos de forma discreta se

mantiene la aproximación de continuo para poder seguir

aplicando el formalismo de Irwin. Además, conviene

mencionar que al crecer la fisura, la zona de

apantallamiento deja tras de sí una estela, donde los

sumideros pueden permanecer en un estado de actividad residual.

Los valores de K varían en cada región, como se aprecia en la figura:

i) Zona de cohesión: Cerca de la punta de fisura la condición de equilibrio sería la correspondiente a

sumar todos los factores de intensidad de tensiones:

k =KA+K+K0 = 0

ii) Enclave: En esta región, en cambio, un observador percibe el termino asociado a las tensiones de

cohesión como una fuerza resistiva: T0 = -K0. Este término resistivo, al ser la zona de cohesión

pequeña, puede considerarse independiente de la fisura y por tanto es una propiedad del material.

La condición de equilibrio sería ahora:

K*=KA+K= T0 =(E’R0)1/2

iii) Observador externo: en este caso, el observador percibe el termino de apantallamiento como

parte de la resistencia del material: T = -K. Por lo que el equilibrio queda:

KA=KR= T0 +T =T

Donde, T, es la tenacidad del material que puede medirse experimentalmente. En principio, el

término de apantallamiento podría ser calculado para cada uno de los mecanismos de apantallamiento a

partir de modelos que describan estos procesos y obtenerse una estimación teórica para la tenacidad, T,

pero es una tarea compleja.

En algunos casos, cuando los sumideros permanecen activos en la estela, la tenacidad puede

depender del tamaño de la grieta, T = T(c), creciendo conforme evoluciona la zona de apantallamiento.

Bajo estas condiciones, definiendo k(c)=KA(c)-T(c), o análogamente g(c)=GA(c)-R(c), la condición de

“fallo” puede expresarse de la siguiente forma:

Condición de equilibrio:

g(c) = 0 , k(c) = 0 GA=R, KA = T

Condición de inestabilidad:

dg/dc > 0, dk/dc > 0 dGA/dc > dR/dc, dKA/dc> dT/dc.

Los materiales que tienen valores de tenacidad dependientes de la longitud de fisura se dice que

exhiben un comportamiento tipo curva-T o, más comúnmente, comportamiento tipo curva-R (ver

figuras). Estos materiales exhiben una mayor

resistencia a la propagación inestable de fisuras.

En efecto, la condición de equilibrio se cumpliría

para determinados tamaños de grieta cuando G

fuera la recta marcada por 1 o 2, pero la

propagación inestable no se produciría hasta que

G aumentará, debido a un aumento de la tensión,

hasta el caso 3. De esta forma, el apantallamiento

estabiliza el crecimiento de fisuras hasta que la

tensión alcanza dicho valor, proporcionando al

material una mayor tolerancia al daño.

6.8.3 Mecanismos de apantallamiento y refuerzo de la tenacidad

Hasta ahora hemos hablado de la existencia de procesos disipativos y sumideros de energía, pero sin

explicar exactamente qué son. En esta pregunta analizaremos los distintos procesos disipativos que

aumentan la tenacidad de los materiales. Los mecanismos de refuerzo de tenacidad pueden clasificarse en

dos categorías: los mecanismos de apantallamiento frontal y los mecanismo de puenteado de fisuras.

Mecanismos de apantallamiento frontal: Disipan energía en punta de fisura tal y como hemos

descrito anteriormente y en ocasiones dejan una estela que continúa actuando de forma residual,

dando lugar al comportamiento tipo curva-R. Como mecanismos dentro de esta categoría cabe citar:

Dislocaciones: Las fuertes tensiones de cizalladura en punta de fisura pueden provocar

desplazamiento, multiplicación o nucleación de dislocaciones en materiales suficientemente

dúctiles (ver figura). Esta deformación plástica en punta de fisura

disipa energía mecánica, proporcionando apantallamiento a la punta

de fisura. Este es el mecanismo que proporciona a los metales (y

polímeros) su elevada tenacidad. En cerámicos, su eficacia se limita a

altas temperaturas o a cerámicos muy blandos (NaCl, LiF, etc).

Microfisuras: En policristales no cúbicos o materiales con varias fases existen tensiones de

origen térmico actuando en las juntas de grano. Estas tensiones superpuestas a la tensión en

punta de fisura provocan, en algunos materiales, la aparición de microfisuras interfaciales. Al

aparecer estas fisuras, se relajan las tensiones de origen térmico y se produce una dilatación

efectiva de los granos en torno a la punta de fisura. Esta dilatación tiende a cerrar la fisura,

oponiéndose a su avance. Este fenómeno apenas se aprecia en materiales monofásicos, ya que

requiere de granos pequeños pero tensiones térmicas muy elevadas. Sin embargo, es

especialmente activo en materiales polifásicos, donde las tensiones de origen térmico pueden

ser importantes incluso para tamaños de grano pequeño.

Transformación tenaz: En circona (ZrO2) es posible estabilizar la fase tetragonal (T), estable a

alta temperatura, a temperatura ambiente, donde la fase estable es la monoclínica (M). Para

ello se usan determinados procedimientos de fabricación, especialmente el dopaje con MgO,

CaO, Y2O3, CeO2, etc. Las tensiones de tracción en punta de fisura pueden inducir entonces la

transformación martensítica de la fase tetragonal a la

monoclínica. La transformación T→M. de la circona lleva

asociado un cambio de volumen del 4% y unas deformaciones

de cizalladura del 7 %. El aumento de volumen en los granos

transformados genera tensiones de compresión sobre la punta

de fisura y se opone a su propagación. Este proceso es muy

efectivo para apantallar las tensiones porque, además, la zona

transformada sigue favoreciendo el cierre de la fisura incluso

en la estela (ver figura), produciendo un comportamiento tipo

curva-R. Lamentablemente, hasta la fecha, este tipo de

transformación tenaz solamente ha sido observado en circona.

Fases dúctiles: En materiales cerámicos no es posible que se produzca deformación plástica per

se, sin embargo, introduciendo una segunda fase dúctil (formando un material compuesto) es

posible activar estos mecanismos. La eficacia de estas partículas dúctiles para incrementar la

tenacidad en cerámicos se ve incrementada por los fenómenos de puenteado, que analizaremos

a continuación.

Mecanismos de puenteado: El fenómeno de puenteado aumenta la resistencia a la propagación de

fisuras disipando energía al establecerse puentes o ligamentos entre las dos caras de la fisura. Es un

mecanismo que no actúa sobre el frente de fisura sino en la estela. Su efecto aumenta al crecer la

fisura y, por tanto, la región puenteada, por lo que siempre dan lugar a un comportamiento tipo

curva-R. Este tipo de mecanismo se observó originalmente en el hormigón. Las ligazones o puentes

pueden ser:

Los propios granos: Este mecanismo es especialmente efectivo en materiales con tamaño de

grano elevado. Se basa en la deflexión de la fisura según interfases débiles y en la existencia de

tensiones de origen térmico. Cuando las interfases entre los distintos granos del material son

débiles la fisura se propaga de forma intergranular, rodeando los granos. La deflexión ya de por

sí puede considerarse un mecanismo de refuerzo, aunque el hecho de que las interfases sean

débiles reduce sus beneficios. Sin embargo, lo verdaderamente importante es que si existen

además tensiones residuales, al propagarse la fisura y dilatarse los

granos se genera fricción entre las caras de la fisura (ver figura) y se

produce una fuerte disipación de energía que conduce a un aumento de

R y T. Además, el crecimiento la fisura es estable al acumularse el

efecto de puenteado en la estela.

Fibras y whiskers: El efecto es el mismo pero ahora la extracción o

separación de estos ligamentos de la matriz es más difícil, al ser más

largos, por lo que se incrementa la disipación de energía si la fibra

resiste la tensión. Como una alta resistencia a fractura es deseable en la

fibra, en ocasiones se usan whiskers, aunque como son más cortos el

beneficio obtenido es limitado.

Partículas dúctiles: Pueden actuar de ligamentos de forma que, si no

son extraídos, disipan mucha energía mecánica al ser deformados

plásticamente, como se muestra en la figura de la derecha.

Los mecanismos de puenteado suelen requerir de interfases débiles para reflectar las fisuras dejando

atrás los ligamentos. A consecuencia de ello, aunque se aumenta la resistencia a la propagación de fisuras

largas, se disminuye la resistencia al inicio de daño, es decir, a la generación de fisuras cortas. Por tanto,

la utilidad de estos mecanismos dependerá de la aplicación concreta: En concreto, la existencia de estos

mecanismos es buena en aplicaciones estructurales pero nefasta en aplicaciones donde se reuniera

resistencia erosión o en las que el inicio de cualquier tipo de daño sea intolerable (por ejemplo, en

implantes y aplicaciones biomecánicas). En efecto, un material cerámico dado puede exhibir alta

resistencia o alta tenacidad dependiendo de su tamaño de grano pero, desafortunadamente, no de forma

simultánea.

6.9 ENSAYOS PARA LA MEDIDA DE LA TENACIDAD A FRACTURA

Como acabamos de comentar, en la mayoría de materiales existen procesos disipativos que alteran

los valores de tenacidad a fractura respecto de los valores intrínsecos del material. Se hace, por tanto,

indispensable disponer de métodos de medida de esta magnitud si deseamos estudiar con detalle el

proceso de fractura de los materiales. Entre los distintos métodos disponibles, cabe destacar:

6.9.1. Ensayos Charpy e Izod de tenacidad por impacto

Estos ensayos se utilizan desde 1900, antes de que se

desarrollara la teoría de mecánica de la fractura que

acabamos de estudiar. En este tipo de ensayos se hace

impactar un péndulo o martillo sobre el material a

estudiar, habiendo previamente realizado una entalla en el

mismo, (ver figura) y se determina la energía absorbida en

la fractura a partir de la medida de la diferencia de alturas

o de los ángulos entre la posición inicial del péndulo y la

final:

Ea=mg(h-h’) =mgL(cos-cos )

Esta energía absorbida, comúnmente denominada

resiliencia del material, no puede correlacionarse

fácilmente con la tenacidad a fractura que hemos

estudiado (KC, T) y, por tanto, aunque se sigue usando a

nivel industrial en controles de calidad, no tiene utilidad a

nivel de estudios fundamentales del fenómeno de fractura.

6.9.2. Ensayos de tenacidad a fractura con deformación plana

En este tipo de ensayos se somete a una pieza pre-fisurada del

material a un estado de deformación plana. Generalmente la fisura

inicial se consigue sometiendo a fatiga una muestra con entalla y se

mide su longitud mediante microscopía. A continuación, dependiendo

de la forma de la muestra se somete bien a una tracción uniaxial

(compact tensión, CT) o a un ensayo de flexión en tres puntos (single

edge notch beam, SENB), según la figura. Para conseguir que la tensión

sea plana, se debe garantizar que el espesor de la muestra, B, cumpla:

2

5.2

Y

ICKB

La tenacidad a fractura se calcula entonces como:

)/( WcfWB

FK IC

siendo

432

23

/6.5/72.14/32.13/64.4886.0/1

/2)/( WcWcWcWc

Wc

WcWcf

6.9.3. Ensayos de indentación

Es posible calcular de forma simple la tenacidad a fractura de

materiales frágiles a partir de la medida de la longitud de las fisuras

generadas en un ensayo de indentación (ver figura). En efecto, durante los

ensayos de indentación con impresores puntiagudos (Vickers, Berkovich,

Knoop, etc.) en materiales frágiles aparecen fisuras de tipo medio penique a

consecuencia de las fuertes tensiones generadas en las aristas de las

pirámides de diamante. Los factores de intensidad de tensiones en este tipo

de ensayos son conocidos y, a partir de ellos, es posible estimar que la

tenacidad del material:

23

23

c

P

H

EK IC

La validez de este método y la correlación de sus resultados con los de otros ensayos más

convencionales están sujetas a discusión pero, aún así, se trata de un método ampliamente usado para

comparar tenacidades de distintos materiales debido a su sencillez. Conviene no obstante evitar la

utilización de este método en todos aquellos casos en los que el tamaño c se menor que 1.3-1.4 veces la

diagonal de la huella (2a en la figura).

6.10 FATIGA

La fatiga mecánica (como ya comentamos al hablar del

experimento de Obreimoff, también existe una fatiga

química) es un fenómeno que tiene lugar en materiales

sometidos a tensiones dinámicas y fluctuantes, es decir, a

múltiples ciclos de carga-descarga. Este fenómeno conduce a

la aparición de fisuras y, finalmente, al fallo de la pieza

aunque las tensiones aplicadas sean siempre inferiores a la

resistencia a la tracción, e incluso al límite elástico, del material. De hecho, este fenómeno es la primera

causa de rotura en materiales: el 90% de los metales que se rompen en servicio lo hacen por este motivo.

Para determinar la susceptibilidad de un material a la fatiga se obtienen, generalmente mediante

ensayos de flexión-rotación, curvas S-N que representan en escala logarítmica la amplitud de los ciclos de

tensión aplicados, S, frente al número de ciclos de carga-

descarga, N, (ver figuras). Para algunos materiales (figura

superior) existe un límite de tensión aplicada por debajo

de la cual el material no sufre fractura por fatiga. A esa

tensión se le denomina límite de fatiga o resistencia a la

fatiga. En aceros la resistencia a la fatiga es un 35-60%

de la resistencia a tracción. Sin embargo, en otros muchos

materiales ese límite es cero, es decir, incluso a tensiones

muy bajas puede producirse rotura si N es

suficientemente elevado (figura inferior). En estos

materiales se define la resistencia a fatiga para N ciclos

(por ejemplo la resistencia a fatiga para un millón de

ciclos, N=106) o, alternativamente, la vida a fatiga para

una tensión S determinada, Nf, como el número de ciclos

necesarios para producir la rotura a dicha tensión. Un

ingeniero debe escoger el material para cada pieza de

modo que se garantice la integridad del sistema que

fabrica al menos durante un periodo de vida considerable

(5-10 años de servicio). Por tanto, habrá de tener muy en

cuenta estos parámetros que acabamos de definir, y no

limitarse a analizar la resistencia a tracción o el límite

elástico del material.

6.10.1 Iniciación y propagación de la grieta

El proceso de rotura por fatiga es progresivo y consta de 3 etapas:

Iniciación o nucleación de la grieta: se forma una pequeña grieta en regiones de fuerte

concentración de tensiones, por ejemplo, en torno a defectos macroscópicos (cantos vivos,

roscas, etc.) o microscópicos (incluidos escalones producidos por deslizamiento de

dislocaciones).

Propagación estable de la fisura: la fisura va creciendo gradualmente en

cada ciclo de carga. Se pueden distinguir dos sub-etapas (ver figura):

o Sub-etapa I: Consiste en un crecimiento lento según planos

cristalográficos, que en metales coinciden con los planos en los que

las tensiones de cizalladura son mayores. En esta etapa la superficie

de fractura es lisa.

o Sub-etapa II: En esta etapa, más larga que la anterior, aumenta la

velocidad de propagación y se produce un cambio brusco en la

dirección de

crecimiento de la

fisura hasta colocarse

perpendicularmente a la tensión aplicada.

En materiales dúctiles, en este periodo el

crecimiento se produce por un mecanismo

de enromamiento-agudizamiento de la

punta de fisura durante cada ciclo (ver

figura izquierda). Por este motivo, la

superficie de fractura aparece estriada a

nivel microscópico. También pueden

apreciarse estrías macroscópicas, pero estas

indican detenciones en el ciclado, por ejemplo, periodos de parada en una maquina que

trabaja en horario solo de mañana o que deja de trabajar los fines de semana.

Rotura final inestable: El fallo final de la pieza se produce bruscamente, a gran velocidad, una

vez se ha alcanzado un cierto tamaño crítico de grieta. Puede ser fractura frágil o dúctil

dependiendo del material.

La contribución a la vida a fatiga de la última etapa es despreciable, por tanto, puede considerarse

que depende exclusivamente de los periodos de iniciación, Ni, y propagación de la grieta, Np:

Nf = Ni+ Np

De las dos contribuciones cuál sea la dominante depende mucho del nivel de tensión aplicado. A

baja tensión, el periodo más largo es el de iniciación de la grieta, pero conforme S aumenta disminuye Ni

en relación a Np .

El entorno, el ambiente químico puede alterar el proceso de fatiga, favoreciéndolo. En cerámicos

los procesos de fatiga suelen ser producidos por fatiga química, por el proceso denominado crecimiento

subcrítico de fisuras asistido por el entorno (agua, ácidos, etc.) y en metales sucede algo similar en los

procesos de corrosión.

Además de evitar en lo posible los procesos de corrosión, una

técnica ampliamente utilizada para mejorar el comportamiento a

fatiga en materiales metálicos es la introducción de tensiones de

compresión en la superficie del material mediante una fuerte

deformación localizada. Esta deformación se obtiene mediante un

proceso que recibe el nombre de granallado (shot peening), que

consiste en proyectar partículas de cierto tamaño a gran velocidad

sobre la superficie del material. Las deformaciones se producen

hasta una profundidad de entorno a un ¼-½ del diámetro de las

partículas empleadas en el granallado. Las tensiones de

compresión asociadas a esta deformación, además de endurecer la

superficie del material, mejoran sustancialmente su

comportamiento a fatiga, como se muestra en la figura.

Finalmente, conviene indicar que la resistencia a fatiga, e, está muy relacionada con la resistencia a

tracción del material, verificándose en metales que:

e ≈ 0.33 ts.