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lgebra lineal - Tema 6Geometra del plano y del espacio

Espacios afines E2 y E3Definicin mtrica de las cnicasDefinicin general de las cnicas y ecuaciones reducidasInterseccin de cnicas y rectas. TangenciaEstudio particular de las cudricasDefinicin general de las cudricas y ecuaciones reducidas

Tema 6: Geometra del plano y del espacio Prof. J. Hilario 2010 2

Referencias cartesianas y cambio de coordenadas

Se llama referencia cartesiana de origen en OEn y base B={e1,...,en} de Rn al par (O;B) Coordenadas de XEn en (O;B) = coordenadas del

vector OX en la base B

Cambio de referencia cartesiana:


Cambios de referencia mediante coordenadas ampliadas

El cambio de coordenadas puede expresarse mediante coordenadas ampliadas como:

Abreviadamente se pone: Xa = QaXa Se cumple que detQa = detQ


Referencias cartesianas rectangulares

Si En es eucldeo se dice que (O;B) es una referencia cartesiana rectangular cuando la base B es ortonormal Entre 2 referencias rectangulares se cumple QtQ=I y

las ecuaciones de cambio de coordenadas son: X = D+QX X = -QtD+QtX

Mediante coordenadas ampliadas se expresa:


Definicin mtrica de las cnicas (repaso): Elipse

Lugar geomtrico de los puntos cuya suma de distancias a los focos F y F es constante


Definicin mtrica de las cnicas (repaso): Hiprbola

Lugar geomtrico de los puntos cuya diferencia de distancias a los focos F y F es constante


Definicin mtrica de las cnicas (repaso): Parbola

Lugar geomtrico de los puntos que equidistan del foco F y de la recta directriz d

La parbola: Tiene 1 eje de simetra No tiene centro de simetra No tiene asntotas


Definicin general de las cnicas

Se llama cnica a un lugar geomtrico de los puntos de E2 que verifican una ecuacin cuadrtica de la forma:

Mediante coordenadas ampliadas, se expresa:

A=Matriz (simtrica) de los trminos cuadrticos, siendo A0 M=Matriz ampliada de la cnica Toda matriz kM, con k0, determina la misma cnica


Ecuacin de la cnica tras un cambio de base ortonormal

Si se cambia la base ortonormal de la referencia cartesiana, sin cambiar el origen: Se verifica X=QX, con QtQ=I Las matrices de la cnica pasan a ser:

Como A es simtrica, es posible realizar una diagonalizacin ortogonal tal que: A es diagonal, formada por los autovalores de A Q es ortogonal, formada por autovectores de A


Obtencin de la ecuacin reducida (1)

Tras una diagonalizacin ortogonal de A, se tiene una nueva referencia {O;u1,u2} siendo u1 y u2 autovectores de A Las matrices de la cnica son (con j=autovalores de A):

La ecuacin de la cnica es:

A partir de aqu se busca un cambio del origen que simplifique la ecuacin hasta llegar a un tipo conocido. Se distinguen 2 casos: Ambos autovalores no nulos: 10 y 20 Un autovalor nulo: 10 y 2=0



Si 10 y 20 la ecuacin se agrupa en cuadrados perfectos:

Por tanto, trasladando el origen a se tiene:

La cnica puede ser:



Si 10 y 2=0 la ecuacin se agrupa en un cuadrado perfecto:

Si b20, trasladando el origen ase obtiene una parbola:

Si b2=0, se trata de un caso degenerado, que puede corresponder a: Dos rectas paralelas Una recta doble El conjunto vaco


Cnicas con centroClculo directo del centro

Si los dos autovalores de A son no nulos: La ecuacin reducida no tiene trminos lineales

Por tanto la cnica tiene un centro de simetra

Dicho centro de la cnica (elipse, hiprbola,...) se puede calcular en la referencia original Se plantea X=D+X (cambio de origen) Se impone que desaparezcan los trminos lineales La ecuacin resultante es AD=-B D=-A-1B


Invariantes de las cnicasMtodos directos de clasificacin

Ante cambios de la referencia rectangular, se cumple: M = QatMQa det M = det M A = QtAQ det A = det A = 12

Las cnicas se agrupan en: Ordinarias (detM0): elipses, hiprbolas, parbolas, Degeneradas (detM=0): rectas, puntos,

Se puede clasificar la cnica analizando: Signo de detA y de sus autovalores 1 y 2 Signo de detM

La ecuacin reducida de una cnica con centro se puede obtener directamente como:

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