Tema8_reduccio Matrius Endomorfismes Vaps Veps

7/24/2019 Tema8_reduccio Matrius Endomorfismes Vaps Veps

1/63

8.1

Tema 8

Reducci de matrius / endomorfismes.

8.1, ... , 8.3.- Endomorfismes i matrius triangularitzables /diagonalitzables.

Donada una matriuA, ens preguntem per matrius de canvi de base Sque simplifiquinla matriu transformada

ASSA1

Aix facilitar els clculs i problemes on intervingui A, com illustren els exemplessegents.

Notem que aquesta possibilitat de simplificaci dependr en bona part del cosdescalars considerat ( , , ...).

Exem.

(1) Per a la matriu

5214A

tenim:

60

03

21

11 1ASSAS

(2) Apliquem-ho per calcular kAk, :

11

1

1111

2122

21223

11

12

3

1

60

03

21

11kk

kk

k

k

k

kkk

SASSASSASSASA

(2) En particular:

22

11

3

1

6

1lim

k

A

(3) Apliquem-ho igualment per resoldre un sistema dequacions diferencials de matriuA


2/63

8.2

yxy

yxx

52

4

amb les condicions inicials: 1)0(,2)0( yx .

Amb el canvi de variables anterioryxyyxx 2,

resulta1)0()0(;6,3 yxyyxx

de resoluci immediata

ttetyetx

63 )(,)(

Per tant, la soluci del sistema inicial s:

tt

tt

eety

eetx

63

63

2)(

)(

Def. ( matrius i endomorfismes triangularitzables / diagonalitzables)

(1) Una matriunMA ( ) es diu triangularitzable / diagonalitzable sobre si hi ha

una matriu de canvi de base nMS ( ), 0det S , per a la qual la matriutransformada ASSA 1 s triangular / diagonal, respectivament.

(2) EssentEun -espai vectorial, un endomorfisme EEf : es diu triangularitzable/ diagonalitzable si la seva matriu ho s, s a dir, si per una certa nova base la sevamatriu resulta triangular / diagonal, respectivament.

Exem.

(1) Hem vist a lexemple anterior que

52

14A

s -diagonalitzable:

60

03

21

11 1ASSS

(2) La matriu


3/63

8.3

01

10A

s -diagonalitzable:

i

iASSii

S0

011 1

Veurem que no s -diagonalitzable.

(3) La matriu

21

10A

s -triangularitzable

10

21

11

11 1ASSS

Veurem que no s -diagonalitzable, ni -diagonalitzable.

Obs.

(1) El nostre objectiu s determinar la existncia i clcul de S, per tal de simplificar almxim la matriu en qesti (sobre , , ...).

(2) Veurem de seguida que saconsegueix prenent la base S adaptada als anomenatssubespais invariants.

(3) En particular, els ms interessants sn els subespais invariants uni-dimensionals, elsgeneradors dels quals sanomenen vectors propis (VEPs).

(4) La situaci idnia es donar quan puguem obtenir una base de VEPs, en quin cas lamatriu A resulta diagonal, com als exemples inicials.

(5) El darrer exemple mostra que no sempre s possible la diagonalitzaci. Tanmateix,veurem que tota matriu s triangularitzable sobre .

8.4, ..., 8.9. Subespais Invariants

Def. Essent EEf : lineal


4/63

8.4

(1) Un subespai EN sanomena subespai invariant respecte a f (o simplement f-invariant) si NNf )( , s a dir

Nvf )( , per a tot Nv

(1) En direm tambA-invariant, onAs la matriu defen una base qualsevol.

(2) Aleshores, sanomena restricci defaN,N

f , laplicaci lineal:

NNfN

:

definida simplement per:

)())(( vfvfN

, si Nv

Exem.

(1) Els subespais trivials 0 iEsnf-invariants per tot EndEf , i les restriccions snsimplement 0if.

(2) Si :f2 2s una rotaci dangle , amb 0 , no hi ha cap subespai

f - invariant (fora dels trivials).

(3) Si : 3 3s la projecci vertical sobre el pla horitzontal

)0,,(),,( yxzyx

sn subespais - invariants

0:),,( zzyxN 0:),,( yxzyxL

amb restriccions respectives:

IdN | ; 0| L

(4) Essent EndEf , siNiLsn f invariants, tamb ho sn LN i LN .

(5) En general, si EndEf i )(tP n[t], sfinvariant el subespai

)(fNucPN En efecte:

NvffvfPf

vfPfvffPvffP

vfPNv

)(0)0()))(((

))(())()(())()((

0))((


5/63

8.5

(5) Aix, snf invariants:

kk fNucvfEv 0)(:

vvfvvIfEv )(:0))((:

)()(:0))((:

22

vfvfvvffEv

La proposici segent recull una caracteritzaci i les propietats principals dels subespaisinvariants:

Prop. Essent EndEf i EN subespai vectorial:

(1) Si ),,( 1 duu es una base deN:

Nf invariant Nufufn )(,),(

1

dufufuurang dd )(,),(,,, 11

(1) Aleshores la matriu de la restricci Nf| en la base ),,( 1 duu s:

))(,),(()( 1),,(|),,( 11 duuNuuN ufufMatfMatA dd

(2) Si ampliem la base anterior a una base de Eadaptada a N, ),,,,,( 11 ndd uuuu ,

aleshores la matriu defen aquesta base s de la forma:

(3) En particular, si

ELN , subespaisf invariantsELN

i prenem una base adaptada

),,( 1 duu base deN

),,( 1 nd uu base deL

la matriu defen aquesta base resulta:

on )( |),,( 1 NuuN fMatA d , )( |),,( 1 LuuL fMatA nd .


6/63

8.6

Obs. El resultat anterior es generalitza de forma natural a ms de dos subespais:

ENN s ,,1 subespaisf invariants

ENN s 1

),,( 1 nuu reuni de bases de sNN ,,1

aleshores

on iA s la matriu de la restricci defa iN , en la base corresponent.

Exem.

(1) Reprenem lexemple anterior de la projecci : 3 3, )0,,(),,( yxzyx , i els

subespais invariants 0 zN , 0 yxL . Clarament LN 3.Si prenem

),( 21 uu base deN; )( 3u base deL

la matriu de en la base ),,( 321 uuu resulta

(2) Considerem

012110

111

A

21 ,uuN ),0,(),1,1,1( 21 uu

Observem que 2dim N per tot , , ja que 2),( 21 uurang .

(2.1) En primer lloc, vegem per a quins valors de , sA-invariant el subespaiN:


7/63

8.7

22,

2

0

2

1

1

1

2

,

3

0

3

212

211

uuAu

uuAu

(2.1) Alternativament:

200

230

331

231

001

31

),,,( 2121

rang

rangAuAuuurang

(2.2) En particular, per 1 , calculem la matriu de la restricci:

33

10

321

2

3

3

0

3

212

21

NA

uuAu

uAu

(2.3) Si ampliem la base deNamb )0,0,1(3 u , resulta:

(3) Considerem

0:),,(

:),,(

330

125

411

3

1

zyxzyxL

zyxzyxN

A

(3.1) Base deN: )( 1u , amb )1,1,1(1 u


8/63

8.8

11 2uAu

Per tant,N sA-invariant, i la matriu de la restricci en base )( 1u s:

)2(N

A

(3.2) Base deL: ),( 32 uu , amb )1,1,0(),0,1,1( 32 uu

32 uAu ; 23 uAu

Per tant,LsA-invariant i la matriu de la restricci en base ),( 32 uu s:

01

10L

A

(3.3) Clarament 0LN . Per tant 3 = LN , i podem prendre la base),,( 321 uuu , en la qual la transformada deAser:

Aplicacions . Per simplificar, treballarem amb sistemes dinmics discrets, per tot s

igualment vlid per a sistemes dinmics diferencials.(1) Subsistema restricci dun sistema dinmic.

(1.1) Considerem el sistema dinmic discret

012

110

111

),()1( AkAxkx

Hem vist que

21 ,uuN ; )1,0,1(),1,1,1( 21 uu

s un subespaiA-invariant.

Completem, com abans, una base de 3 amb )0,0,1(3 u , i designem les

noves coordenades:


9/63

8.9

2

1

3

2

1

;x

xx

x

x

x

xN

Amb aquesta notaci

03 xNx

i el sistema donat pot escriures com:

Per tant:

NkxNkxNkx )2()1()(

Concloem, doncs, que Ns dinmicament invariant, i podem considerar elsubsistema restricci a Ndel sistema donat, el qual en les noves coordenadeses pot descriure per:

kkx

AkxAkxNNNN

,0)(

33

10;)()1(

3

(1.2) Aquest exemple es generalitza a un sistema dinmic discret qualsevol:

)()1( kAxkx

Com abans, per un subespai N n, sn equivalents:

(i)NA-invariant(ii)Ns dinmicament invariant, s a dir:

NkxkxNkx ),2(),1()(

Aleshores es pot, doncs, considerar el subsistema restricci aN.

(1.2) Una descripci explcita pot obtenir-se mitjanant una base adaptada:

),,( 1 duu base deN

),,,,( 1 nd uuu base den

Sabem que en aquesta base la matriu transformada t la forma:


10/63

8.10

Amb la notaci:

),,,,( 1 nd xxxx , coordenades en aquesta base

),,( 1 dN xxx

el subsistema restricci sexpressa:

)()1( kxAkxNNN

0)()(1 kxkx Nd , per a tot k

(1.2) Observem que si 03

A , no podem desacoblar les variables),,( 1 dN xxx de la resta ),,( 1 nd xx , quan considerem punts fora deN.

(2) Descomposici en subsistemes desacoblats

(2.1) Considerem el sistema dinmic discret

330

125

411

3

1;)()1( AkAxkx

Hem vist en un exemple anterior:

)1,1,1(, 11 uuN , sA-invariant )1,1,0(),0,1,1(,, 3232 uuuuL , sA-invariant

LN 3

Acabem de veure que podem considerar els subsistemes restricci aNiL, comabans:

),,( 321 xxxx coordenades en base ),,( 321 uuu ),(),( 321 xxxxx LN

el sistema inicial resulta:

01

10),2( LN AA


11/63

8.11

o equivalentment com a dos subsistemes desacoblats:

)()1(

)()1(

kxAkx

kxAkx

LLL

NNN

(2.1) Cadascun daquests subsistemes s fcilment resoluble:

enN, cada pas s una homotcia de ra 2.

enL, cada pas s una rotaci dangle 2 .

Podem doncs recompondre el sistema total:

per punts fora deNiL,la trajectria s una corba helicodal,

deix 0 zyxN ,que en cada gir duplica la distncia al pla 0 zyxL .

(2.2) En general, per a un sistema dinmic discret

)()1( kAxkx

si hi ha subespaisN,Lamb:

LN, subespaisA-invariants

LN3

les equacions del sistema inicial poden transformar-se en dos subsistemesdesacoblats, s a dir, on les variables de cadascun no apareixen a laltre:

)()1(

)()1(

kxAkx

kxAkx

LLL

NNN

En efecte, si com abans prenem:

),,( 1 duu base deN),,( 1 nd uu base deL

la matriu transformada en aquesta base resulta de la forma

Separant les noves coordenades en:

),,( 1 dN xxx


12/63

8.12

),,( 1 ndL xxx

obtenim les equacions desacoblades buscades.

(2.2) A partir de les solucions de cada subsistema podem obtenir les de linicial

mitjanant:

))(,0()0),(()( kxkxkxLN

(3) Subsistema controlable dun sistema de control

(3.1) Considerem el sistema discret de control

1

1

1

,

012

110

111

;)()()1( bAkbukAxkx

Ja hem vist en temes anteriors que el subespai destats assolibles s:

212 ,

631

301

631

Im),,Im(),(Im uubAAbbbAKN

amb )1,0,1(),1,1,1( 21 uu .

Hem vist en un exemple anterior que s A-invariant. Si prenem la base),,( 321 uuu , amb )0,0,1(3 u , els sistema resulta

Observem que, com abans, si un punt duna trajectria pertany a N, aleshores

tamb hi pertanyen tots els segents, qualsevol que sigui el control aplicat:

NkxNkx )1()( , per qualsevol )(ku

Ms especficament

)(01

3310

0

)1(

0

)(

ku

kxkx


13/63

8.13

Podem, doncs, considerar la restricci del sistema inicial a Im ),( bAK :

)(0

1)(

33

10)1( kukxkx cc

que t tamb Im ),( bAK com conjunt destats assolibles. Sanomenasubsistema controlable de linicial.

8.10, ..., 8.12. - VAPs i VEPs.

Idea. A lapartat anterior hem vist que podem simplificar una matriu prenent basesadaptades a subespais invariants. La mxima simplificaci la obtindrem ambsubespais invariants de dimensi 1: clarament vN ser f-invariant si i noms si

Nvf )( , s a dir, vvf )( per algun . Aix motiva la definici segent deVAPs i VEPs, eines extraordinriament tils i utilitzades tant en els desenvolupamentsterics com en les aplicacions tecnolgiques.

Def. Essent EEf : lineal i A la seva matriu en una base qualsevol, un vector0v sanomena un vector propi (VEP), amb el seu valor propi (VAP), si

vvf )(

o equivalentment

nn x

x

x

x

A

11

on ),,( 1 nxx sn les coordenades de v en la base considerada.

Obs.

(1) Sovint es denominen eigenvectorsi eigenvalues, respectivament.

(2) Sanomena espectre dA, )(A , al conjunt dels seus VAPs.

(3) Si hi ha un VAP de mdul estrictament ms gran que els altres, sanomena VAPdominant.

Exem.

(1) Per qualssevol endomorfismef i vector 0v :


14/63

8.14

v VEP, amb VAP Nucfv 0

(2) Per qualssevol endomorfismef i vector 0v :

v VEP rang (v, f(v))= 1

(3) Per

52

14A

tenim:

2

16

12

6

2

1;

1

13

3

3

1

1AA

Per tant: )1,1(1 v s VEP, amb VAP 31

)2,1(2 v s VEP, amb VAP 61

(4) Per

01

10A

tenim:

i

iii

Ai

iii

A 11

1;11

1

Per tant: ),1(1 iv s VEP, amb VAP i1

),1(2 iv s VEP, amb VAP i1

(5) Esbrinem si ),1,1( v s VEP de

400

131

113

A

per algun :

4

2

2

1

1

4

2

2

1

1

A

Per tant:


15/63

8.15

0 vs VEP, amb VAP 2 . 2 vs VEP, amb VAP 4 . 2,0 vno s VEP.

(6) En E 2:

(6.1)funa homotcia, de ra :

tots els vectors 0v sn VEPs, amb VAP .

(6.2)funa rotaci, amb angle k :

cap vector s VEP.

(6.3)f la simetria respecte leix 0x :

els vectors 0),0,( xx , sn VEPs, amb VAP 1 .

els vectors 0),,0( yy , sn VEPs, amb VAP 1 .

(7) EssentDla derivaci:

(7.1) Per :D t t , els nics VEPs sn:

les constants, amb VAP 0 .

(7.2) Per CD : ( ) C ( ), els VEPs (funcions prpies) sn:

les constants, amb VAP 0 . les exponencials, atet )( , amb VAP a .

(7.3) Per CD :2 ( ) C ( ), els VEPs sn els de (7.2) i:

les trigonomtriques tsin i tcos , amb VAP 2 .

Aplicacions. Ja hem dit que els VAPs i VEPs sn molt presents a lenginyeria:

(1) Les rotacions en 3 es caracteritzen per tenir un VAP 1 , simple. Els VEPscorresponents formen leix de rotaci.

(2) Les direccions/moments principals dinrcia sn els VEPs/VAPs de la matriudinrcia.

(3) Les direccions principals de deformaci sn els VEPs del tensor deformaci.

(4) Els modes propis de vibraci sn les funcions prpies de loperador diferencialcorresponent.


16/63

8.16

(5) Els VEPs/VAPs de la matriu dun sistema poblacional donen, respectivament, les

distribucions estacionries i la taxa global de creixement de cadascuna.

(6) Lestabilitat dun sistema dinmic depn dels VAPs de la seva matriu.

(7) Els pols de la matriu de transferncia dun sistema de control sn els VAPs de lamatriu de lequaci destats.

(8) El cercador Google es basa en cercar el VEP de VAP ms gran duna matriurelacionada amb la de connexions de la xarxa.

s clar el resultat fonamental segent:

Prop. Essent EEf : lineal iAla seva matriu en una base qualsevol:

(1) diagonalitzable existeix una base de VEPs

(2) De forma ms precisa:

(2.1)

n

v fMat

i

0

01

)(

(2.2)

1

11

0

0

ASS

Exem.

(1) Ja hem vist:

60

03

21

11,

52

14 1ASSSA

(2) Tamb:

i

iASS

iiSA

0

011,

01

10 1

(3) Per la matriu:

400

131

113

A

ja hem vist:


17/63

8.17

)0,1,1(1 v s VEP, amb VAP 21

)2,1,1(2 v s VEP, amb VAP 42

Afegim ara:

)1,0,1(3 v s VEP, amb VAP 43

Per tant:

400

040

002

120

011

1111ASSS

(4) En apartats prxims veurem criteris per verificar fcilment que no s diagonalitzable

la matriu

10

11A

Fem-ho ara per laplicaci directa de la definici:

)0,1(1 v s VEP, amb VAP 11

No s possible formar una base de VEPs, ja que els vectors l.i. amb 1v sn de la

forma )1,(2 v , i cap dells s VEP:

222 ,11

1

110

11

Av

8.14, ... , 8.16 Clcul elemental de VAPs i VEPs:polinomi caracterstic, subespais propis.

Idea. Notem que:

(1) VAP: v VEP 0),()( vIfNucvvvf

(2) VAP 0)det(0)( IfIfNuc

Aix motiva la definici i la proposici segents.

Def. Essent EEf : lineal iAla seva matriu en una base qualsevol:

(1) El seu polinomi caracterstic s:


18/63

8.18

)det()det()( tIAtIftQ

(2) Si ns VAP, sanomena el subespai propi associat:

)( IfNucE

Prop. En les condicions anteriors:

(1) VAP s arrel de )(tQ

(2) VAP : els seus VEPs = 0E

Exem. Refem els exemples anteriors:

(1)

52

14A

)9)(3(18952

14det)( 2

tttt

t

ttQ

VAPs: 31 , 62

VEPs: )1,1(,22

11)3( 111

vvNucIANucE

)2,1(,12 12)6( 222

vvNucIANucE

(2)

01

10A

))((11

1det)( 2 ititt

t

ttQ

VAPs: i1 , i2

VEPs: ),1(,1

1

)( 111 ivvi

i

NuciIANucE

),1(,1

1)( 222 ivv

i

iNuciIANucE

(3)

400

131

113

A

2

)4)(2(400

131

113

det)(

ttt

t

t

tQ


19/63

8.19

VAPs: 21 , 42

VEPs: )0,1,1(,200

111

111

)2( 111

vvNucIANucE

)1,0,1(),2,1,1(,,000

111111

)4( 32322

vvvvNucIANucE

(4)

10

11A

2)1(10

11det)(

t

t

ttQ

VAPs: 11 VEPs: )0,1(,

00

10)( 111

vvNucIANucE

(5) )()()1()(

01

1

n

n

n

tttQA

Obs.

(1) De vegades )(tQ es defineix permutant lordre dels minuend/subtrahend, de maneraque el signe canvia per a dimensions imparelles, resultant sempre mnic (coeficient

principal igual a 1).

nn ttIAAtI )det()1()det(

Vegeu els exemples (3) i (5) anteriors. bviament aquest canvi de signe no afectales seves arrels, s a dir, els VAPs.

(2) Aquesta forma de calcular els VAPs s poc eficient numricament per a dimensionselevades. Trobar algorismes tils per al clcul dels VAPs duna matriu granconstitueix un problema numric clssic.

(3) Tanmateix, aquesta caracteritzaci dels VAPs proporciona propietats estructuralsinteressants, com per exemple el corollari immediat a lapartat segent.

Matlab/Octave.-

(1) Lordre poly( ) dona el polinomi caracterstic, per amb un possible canvi de signe(vegeu (1) de la observaci anterior):


20/63

8.20

poly(A) = det )()1()( tQAtI n

Recordem que el presenta con un vector, donant-nos els seus coeficients (en grausdecreixents).

(2) Els VAPs podrem obtenir-los amb la funci roots( ) sobre el polinomi anterior, perresulta poc eficient. Es millor obtenir-los directament per lordre eig( ):

eig(A) )(AAVAPs

Els presenta llistats en vertical, cadascun repetit tants cops com la seva multiplicitat(sovint apareixen com lleugerament diferents).

(2) Lordre max(abs( )) en seleccionaria el VAP dominant, si nhi ha.

(3) Per cada VAP, podrem obtenir una base de VEPs dels seu subespai propi mitjanantlordre null( ).

null(A *eye(n)) = base E base 0VEPs

(4) Es poden obtenir directament els VAPs i els VEPS mitjanant

[V, D] = eig(A)

que dona un matriu Vde vectors columna i una matriu diagonalD:

-

a la diagonal de D apareixen els VAPS, repetits tants cops com la sevamultiplicitat.

- per cada VAP, les columnes corresponent de V en sn VEPs, que generen elsubespai propi corresponent, per no necessriament l.i.(!); per obtenir una base,cal eliminar les columnes l.d. (per exemple, seleccionant les columnes pivot).

- aix, doncs:A V= V D

(4) En particular, si rank(V) = n, les columnes de Vformen una base de VEPs deEiper tantAdiagonalitza:

DAVV 1

Corol. En les condicions anteriors:

(1) El mxim nombre de VAPs s n.

(2) Si ns imparell, com a mnim hi ha un VAP real.

Aplicaci. (Eix de rotaci duna rtula)


21/63

8.21

(1) Considerem una rtula, s a dir, un slid rgid amb noms un punt fix. Aparentmentla resta de punts poden moures, tots ells, de molt diverses maneres. Tanmateix,anem a veure que, de fet, per tot moviment (o successi de moviments) duna rtula,la correspondncia entre la posici final i la inicial s justament una rotaci.

En efecte, observem que la correspondncia entre la posici inicial i la final dequalsevol moviment ha de ser un endomorfisme de 3. Per tant, segons acabem deveure, ha de tenir com a mnim un VAP i en conseqncia un VEP, s a dir, unarecta invariant passant pel punt darticulaci. Com que el slid s rgid i es preservala orientaci, el VAP en qesti ha de ser precisament igual a 1, de manera quelendomorfisme en qesti no s ms que una rotaci, deix el subespai propidaquest VAP.

(2) Les condicions per que un movimentf sigui el dun slid rgid amb lorigen fix sn:

0)(),( 21 efef

1)()( 21 efef

)()()( 213 efefef

Per exemple:

)1,1,4(23

1

)(

)1,1,0(2

1)(

)2,2,1(3

1)(

33

22

11

efe

efe

efe

s laboris calcular el polinomi caracterstic de la matriu corresponent

1322

1322

402

23

1A

i les seves arrels. Tanmateix, el raonament anterior ens assegura que 11 ns

VAP, i que qualsevol seu VEP, com ara

)1,21,2(1 v

genera leix de rotaci.

(2) Anlogament, verifiqueu que


22/63

8.22

)1,2,1(6

1)(

)1,1,1(3

1)(

)1,0,1(2

1)(

33

22

11

efe

efe

efe

s una rotaci i trobeu-ne leix.

8.17, ... , 8.21. - Propietats del polinomi caracterstic.

Les propietats segents faciliten el clcul del polinomi caracterstic:

Prop. Essent nMA ( ):

(1) )()(1 tQtQASSAAA

(2) Aquesta propietat facilita el clcul de Q(t)i sobretot el dels VAPs, ja que:

VAPsA = VAPsA1 VAPsA2

(3) Si Bb

A1

, aleshores:

)(1

)( btQb

tQ BnA

(4) (Clcul de Q(t)per menors)

))1()1()1()( 221

1( nnkn

k

knnnnn

A tttttQ

on k indica la suma dels k-menors principals deA. En particular:

AtrA n det,1

(4) Per dimensions baixes:

(3.1) 2n : AttrAttQ det)( 2


23/63

8.23

(3.2) 3n : AtttrAttQ det)( 223

3332

2322

3331

1311

2221

12112

aa

aa

aa

aa

aa

aa

Exem. Refem alguns dels exemples anteriors:

(1)

52

14A : 189

52

14)54()( 22

ttttQ

(2)

400

131

113

A

323210)436()12128(10

det)40

13

40

13

31

13()433()(

2323

23

tttttt

AttttQ

(2) Ms eficient seria:

)4)(86()4()31

13)33(()()()( 2221 tttttttQtQtQ

VAPs: 41

2,42

26

2

32366, 32

(3)

311

040

113

A

400

131

113

010

100

0011ASSS

Per tant, el seu polinomi caracterstic s el mateix que a lexemple anterior.

(3) El polinomi caracterstic de la matriu


24/63

8.24

1004

14

34

14

14

14

3

tamb el podem calcular a partir de lexemple anterior mitjanant

2

14

2

532)4(32)4(10)4(

4

1)( 2323

3

tttttttQ

(4)

00

0

A

))()(()(

ttttQ

(5) SiAtriangularitza (sobre , totes ho fan!!), la diagonal sn els VAPs:

)()()1()(

01

11

n

n

n

tttQASS

Com que )(tQ s invariant per canvi de base, tamb ho sn els seus coeficients.

Prop. (invarincia dels coeficients caracterstics)

Essent EEf : lineal iAla seva matriu en una base qualsevol:

(1) Els coeficients n ,,1 del polinomi caracterstic, )(tQ , sn invariants per canvi

de base.

(2) Suposem que )(tQ descomposa totalment (sobre , sempre; en general, pertriangularitzables)

)()()( 1 ntttQ

on suposem cada arrel ( VAP) repetida tants cops com la seva multiplicitat.Aleshores:

nn

nnj

ji

i

n

A

trA

1

131212

11

det


25/63

8.25

Exem.

Considerem

222

510

501

A

s evident que un VAP s 11 , ja que 0)det( IA . Tamb s clar que )1,1,1(2 v

s un VEP, amb VAP 62 .

Finalment:

3321 614 trA

Per tant, 33 .

Aplicaci .- (Signes dels VAPs)

(1) Sovint interessen, no pas els valors dels VAPs, sin els seus signes. Per dimensionsbaixes, aquests signes queden determinats pels dels coeficients de )(tQ , sensenecessitat de trobar explcitament les seves arrels. Per exemple, per n= 2:

detA trA VAPs+ + + ++ - - -- +/0/- + -0 + + 00 - - 00 0 0 0

(2) Extrems relatius

Per funcions diferenciables de 1 variable, el carcter dextrem relatiu dun puntcrtic (s a dir, un zero de la derivada) ve determinat pel signe de la derivada segona:mxim, si s negativa; mnim, si s positiva.En el cas de nvariables, ve determinat de forma anloga, no pas pel signe de lesderivades segones, sin pels signes dels VAPs (!) de la seva matriu Hessiana (= dederivades segones) en el punt.Aix, per n = 2:

: 2

0),(),( baDbaD yx

),(),( ),(),( baDbaD

baDbaDHyyyx

xyxx


26/63

8.26

Aleshores:

detH trH

+ + mnim relatiu en ),( ba

+ - mxim relatiu en ),( ba

- + / - punt de sella en ),( ba

(2) Per exemple:

)0,0(),(;),( 22 bayxyx

s clar que xDx 2 , yDy 2 sanullen a lorigen, i que:

2002H

Resulta que a lorigen tenim: mnim relatiu per 22),( yxyx

mxim relatiu per 22),( yxyx

punt de sella per )(),( 22 yxyx

concordant amb les seves representacions grfiques.

(3) Classificaci de cniques i qudriques

La tipologia de les cniques i qudriques queda determinada pels signes dels VAPsde les seves matrius i de les de la part quadrtica.

Per exemple, per cniques no degenerades:

01

1

y

x

Ayx , 0det A

resulta:

0detA ellipse (real o imaginria)

0detA hiprbola

0detA parbola


27/63

8.27

8.23, ... , 8.26. Criteri de diagonalitzaci pel polinomi caracterstic:multiplicitats dun VAP.

Ja hem vist que un endomorfisme/matriu ser diagonalitzable si hi ha una base de VEPs,s a dir, si podem trobar nVEPs l.i. Un primer pas fonamental en aquesta direcci s elsegent:

Prop.- (VEPs de VAPs diferents, sn l.i.)

Essent EEf : lineal iAla seva matriu en una base qualsevol.

Si s ,,1 sn els seus VAPs, els seus subespais propis sEE ,,1 sn l.i. s a dir:

1v VEP de 1 , , sv VEP de s svv ,,1 l.i.

Obs. Altrament dit, els subespais propis formen suma directa: EEE s 1 . En

particularEEE s dimdimdim 1

Tindrem prous VEPs l.i. per formar una base si i noms si es verifica la igualtat. Hemarribat, per tant, a un criteri general de diagonalitzaci, amb una primera aplicacidirecta quan tots els VAPs sn simples. De seguida abordarem el cas de VAPs

mltiples.

Corol. En les condicions anteriors:

(1) Criteri general de diagonalitzaci

Diagonalitzable EEE s dimdimdim 1

(2) En particular

nVAPs diferents diagonalitzable

nVAPs simples

Exem. s diagonalitzable tota matriu triangular de la forma

n

A

0

1

, amb n ,,1 diferents.


28/63

8.28

Obs. A la prctica, aquesta condici s genrica, ja que les arrels dun polinominoms sn mltiples en situacions particulars, i habitualment esdevenen simples ambqualsevol petita pertorbaci o error, fora que vinguin condicionades per restriccionsespecfiques (de simetria, conservaci, ...) del problema en qesti. Els casos amb

VAPs mltiples poden dilucidar-se comparant les multiplicitats que definim acontinuaci.

Def. Essent EEf : lineal iAla seva matriu en una base qualsevol. Si ns unVAP, definim:

(1) , multiplicitat algebraica de : la seva multiplicitat com arrel de )(tQ .

(2) d, multiplicitat geomtrica de : )(dim IArangnE

s clar que si ),,( 1 dvv s una base de E , la matriu defen una base ampliada s de

la forma:

Per tant:

Prop. En les condicions de la definici anterior

d1

En general tenim, doncs:ndd ss 11

Segons el corollari anterior, diagonalitzar si totes les desigualtats sn de fet igualtats.

Teor. (criteri de diagonalitzaci per Q(t)) .

Essent EEf : lineal iAla seva matriu en una base qualsevol, si prenem

s ,,1 , els seus VAPs

s ,,1 , les multiplicitats algebraiques respectives

sdd ,,1 , les multiplicitats geomtriques respectives

Aleshores:

diagonalitzen si i noms si:(i) )(tQ descompon totalment:


29/63

8.29

sstttQ

)()()( 11

(ii) les multiplicitats coincideixen:

ssdd ,,11

Obs.

(1) Les condicions del teorema venen a dir:

(i) disposar de prous VAPs(ii) per cadascun, disposar de prous VEPs l.i.

(2) La condici (i) es compleix sempre sobre

(3) La condici (ii) es compleix per VAPs simples:

11 d

(3) En particular, retrobem el corollari anterior: nVAPs simples diagonalitzable

Exem. Confirmem alguns exemples anteriors:

(1)

52

14A

Diagonalitza (sobre , amb VAPs simples):(i) )6)(3()( tttQ

(ii) 31 : 11 , 11 d

62 : 12 , 12 d

(2)

400

131

113

A

Diagonalitza (sobre , amb VAPs mltiples):

(i) 2)4)(2()( tttQ (ii) 21 : 11 , 11 d

42 : 22 , 22 d

(3)

01

10A

Diagonalitza sobre , per no pas sobre :

(i) ))((1)( 2 ititttQ

(ii) sobre :

i1 : 11 , 11 d


30/63

8.30

i2 : 12 , 12 d

(4)

10

11A

No diagonalitza (ni sobre , ni sobre ):(i) 2)1()( ttQ (ii) No es compleix ja que:

11 : 21 , 11 d

Matlab/Octave.- Recordem que ens permet verificar el criteri anterior, per a tots elVAPS alhora:

Adiagonalitza rank(V)= n, ssent [V, D] = eig(A)

Si volem verificar (ii) per a un VAP particular i :

- la seva multiplicitat algebraicai

s el nombre de vegades que apareix aD

- la seva multiplicitat geomtrica id s el rang de les columnes corresponents en V

(o tamb el nombre de vectors en null(A i*eye(n)) )

8.27, ... , 8.31. Alguns tipus particulars de matrius.

Teor. (matrius simtriques)

(1) nMA ( ), simtrica diagonalitza sobre .

(2) Ms encara, els VEPs de la base poden triar-se ortogonals entre ells.

Exem.

211

121

112

A

(1) )4()1(496)( 223 ttttttQ

VAPs: 11 , ( 21 ); 42 , ( 12 )

En efecte diagonalitza, ja que: 2

111

111

111

31

rangd

(1) Una alternativa ms eficient s notar directament que 11

s VAP. De fet sdoble ja que 21 d . Finalment:


31/63

8.31

4116 22 trA

(2) VEPs:

1

1

0

,

0

1

1

;,

111

111

111

21211 vvvvNucE

1

1

1

;

211

121

112

332 vvNucE

Una base de VEPs s ),,( 321 vvv

(2) Una base de VEPs ortogonal ser ),,( 321 vvv , on 212 vvv , amb 0, 21 vv :

)2,1,1(22),1,1(),0,1,1(,0

212

21

vvv

vv

Aplicaci Les matrius simtriques apareixen abundantment en diversos mbits de lacincia i lenginyeria. Per exemple:

- tensors dinrcia- tensors tensi i deformaci- matriu dinduccions mtues

- matriu Hessiana (= de derivades segones) de funcions reals de diversesvariables- matrius de cniques i qudriques

Prop. (matrius circulants)

Sanomenen matrius circulants les de la forma

3

132

213

321

Mcccccc

ccc

Z

(

)

(1) SiZs circulant, diagonalitza per la transformaci

2

2

1

1

111

3

1

aa

aaS

on 13 a , 1a

ia

23

21


32/63

8.32

(1) El recproc tamb s cert.

(2) SiZ,Zsn circulants, tamb ho sn ZZ i ZZ

(2) Ms encara

Obs. Observem que 2,,1 aa sn les 3 arrels cbiques de 1, i per tant:

01 2 aa

Exem.

(1)

211

121

112

Z

Verifiquem que les columnes de Sde la proposici anterior sn efectivament VEPs:

111 4

4

4

4

3

1:

1

1

1

3

1vZvv

22

2

2

2

22

2

1

3

1

21

21

2

3

1:

1

3

1v

a

a

aa

aa

aa

Zv

a

av

322

2

2

32

3

1

3

1

21

21

2

3

1:

1

3

1v

a

a

aa

aa

aa

Zv

a

av

Per tant, en aquest cas 41 , 132 :

100

010

0041ZSS

(2) En general, per una matriu circulantZqualsevol:

,3211 ccc


33/63

8.33

Aplicacions

(1) Aquestes matrius apareixen en electrotcnia, com a matrius dacoblament magnticen diferents tipus de motors i mquines dinducci.

(2) Apareixen tamb en altres contextos com ara els polgons niuats, els oscilladorsacoblats i la transformada discreta de Fourier.

(3) De fet es generalitzen a dimensions superiors, a matrius circulants per blocs, ...

Prop. (matrius companion o de Sylvester)

Sanomenen aix les de la forma:

n

nnn

M

aaaa

A

121

1000

0100

0010

()

(1) El seu polinomi caracterstic s:

)()1()( 221

1 nnnnn atatattQ

(1) En particular:

2n :

12

10

aaA , 21

2)( atattQ

3n :

123

100

010

aaa

A , )()( 322

13

atatattQ

(2) La multiplicitat geomtrica de qualsevol seu VAP s 1:

1)1()( nnIArangnd

(2) En particular, no diagonalitza si algun VAP s mltiple.

Aplicacions .-

(1) Com veurem en els temes 9 i 10, apareixen com matriu del sistema dinmic associata una equaci (EDD / EDO) dordre n.


34/63

8.34

(2) De forma directa apareixen, per exemple, en models poblacionals. Ms freqentssn les de la forma generalitzada de Leslie:

121

1

2

1

000

000

000

aaaa

b

b

b

nnn

n

n

(3) La forma generalitzada per blocs apareix com a matrius de realitzacions desistemes de control dels quals es coneixen la seva matriu de transferncia.

(4) Vegem amb ms detall com apareixen com forma cannica de control i en laassignaci de pols per realimentaci.

Aplicaci .-

(1) Forma cannica de control

Un sistema discret de control uniparamtric

)()()1( kbukAxkx

resulta ser controlable si i noms si

nbAAbbrang n ),,,Im( 1

Si prenem com matriu de canvi de base )( 1 bAbbAT n , les matriustransformades deAi bsn:

000100

010

001

1

2

1

n

n

T

a

a

a

a

ATTA ,

1

0

0

1 bTb

on, com abans:

)()1()( 11

1 nnnnn atatattQ

Si fem el canvi addicional


35/63

8.35

1

01

001

0001

121

32

1

aaa

aa

a

S

nn

nn

resulta

121

1

1000

0100

0010

aaaa

SASA

nnn

C,

1

0

0

1 bSbC

Anomenada forma cannica de control.

(1) Considerem, per exemple:

11

12A ,

2

1b

33)( 2 tttQ

03

13

21

14 1ATTAT ,

1

01bTb

33

10

03

01 1SASAS C ,

1

01bSbC

(2) Assignaci de pols per realimentaci

En les condicions anteriors ens plantegem si, qualssevol que siguin

n

AVAPs ,,)( 1

s possible trobar una matriu fila F per tal que els de bFA siguin uns altresprefixats

nbFAVAPs ,,)( 1

s evident que la resposta s afirmativa per la forma cannica de control, s a dir,que hi ha

CF tal que:

)( CCC FbAVAPs = n ,,1

Ara s suficient prendre


36/63

8.36

1)( TSFF C

ja que:

1))()(( TSFbATSbFACCC

(2) Suposem que, essentAi bcom a (1) cerquem Fper tal que:

VAPs (A+bF) = 21 ,

s fcil trobar )( 21 hhFC amb:

VAPs ( CCC FbA ) = 21 ,

En efecte:

21 33

10

hhFbA CCC

3

3

3

3

212

211

212

211

h

h

h

h

Per tant:

15

12

7

1)33())(( 2121

121 TShhF

Per exemple, per:

2,1 21

seria:

)14(15

12

7

1)61(

F

En efecte:

21

21

2)det(

3)(

1902

2814

1112

bFA

bFAtr

bFA

(2) El problema, en termes de teoria de control, s trobar un control automtic perrealimentaci (o feedback)

)()( kFxku

de manera que el sistema dinmic resultant en lla tancat


37/63

8.37

)()()()()1( kxbFAkbFxkAxkx

tingui pols ( VAPs) adients. Recordem que dels seus valors depenen propietatscom ara lestabilitat o les ressonncies. Segons acabem de raonar, aquesta

reassignaci (o shifting) de pols per realimentaci s possible per a sistemescontrolables, i pot calcular-se a travs de la forma cannica de control de les matriusinicials.

8,32, ... , 8.35.- Matrius no derogatries.

Hem vist alguns casos de matrius no diagonalitzables, com per exemple lescompanion amb VAPs mltiples. Quan no s possible completar una base de VEPs,

ens plantegem bases alternatives per tal dobtenir formes simplificades o redudes de ladonada. En aquest apartat estudiarem les no derogatries i en el prxim els casosparticulars 2n i 3n .

Def. Essent EEf : lineal iAla seva matriu en una base qualsevol, suposem el seupolinomi caracterstic totalment descomponible:

s

s

n tttQ

)()()1()( 11

Sanomena no derogatria si la multiplicitat geomtrica de cada VAP s 1:

11 sdd

Exem.

(1) Ja hem vist que totes les companion ho sn.

(2) Clarament, no diagonalitzen si algun VAP s mltiple.

(3)

10

21

A 2)1()( ttQ

VAPs: 11 ( 21 )

1)(21 IArangd

(4) En general, es demostra que una matriuAs no derogatria si i noms si existeix unvector Ev de manera que:

nvAAvvrang n ),,,( 1


38/63

8.38

Estudiem primer el cas dun sol VAP:

Lema (cas no derogatori, amb un sol VAP)

En les condicions de la definici anterior, suposem un sol VAP :

nn ttQ )()1()(

1)(dim IArangnEd

(1) Existeix algun vector Ew tal que:

0)()( 1 wIf n , 0)()( wIf n

(1) En particular, siAs companion, podem prendre )1,0,,0,0( w .

(2) Per qualsevol daquests vectors, una base deEs:

)()(,),)((, 1 wIfwIfw n

(3) La matriu defen aquesta base s:

10000

01000

00010

00001

00000

A

(4) El darrer vector de la base (2), i noms ell, s un VEP, i per tant base de E .

(4) Concordantment, la darrera columna de A , i noms ella, s diagonal.

Obs.

(1) En les condicions de la proposici anterior, es diu que la base (2) est formada peruna cadena (de Jordan), de llargria n, generada pel vector w.

(2) Les matrius de la forma (3) sanomenen blocs de Jordan (del VAP , i grandria n).

Exem.

(1) Per

1021A


39/63

8.39

Es clar que lnic VAP s =1, doble, amb d= 1. Doncs, s no derogatria i nodiagonalitzable.

Cerquem un generador ),( yxw tal que:

0

20020)(0

y

y

xwIA

0

0

00

00)(0 2

y

xwIA

Per exemple:

)1,0(w

Aleshores una cadena de Jordan s:

1

0w ,

0

2)( wIA

i la matriu en aquesta base ser el bloc Jordan de VAP 1 i grandria 2:

11

01

01

20 1ASSS

(1) Tamb podrem haver pres un altre generador:

)3,4( w

0

3

3

4)( IA

11

01)(

03

34 1SASS

(2) Considerem la matriu companion:

331

100

010

A

323 )1()133()( tttttQ

Com que 3 , no diagonalitza.

Cerquem un generador ),,( zyxw tal que:


40/63

8.40

zyx

zyx

zyx

z

y

x

wIA

2

2

2

121

121

121

)(0 2

0

0

0

000

000

000

)(0 3

z

y

x

wIA

Per qualsevol 02 zyx , tindrem una cadena de Jordan:

z

y

x

w ,

zyx

zy

yx

wIA

23

)( ,

zyx

zyx

zyx

wIA

2

2

2

)( 2

i la matriu en qualsevol daquestes bases ser el bloc de Jordan de VAP 1 igrandria 3:

110

011

001

A

(2) En particular, essentAcompanion, podem prendre:

1

00

w ,

2

10

)( wIA ,

1

11

)( 2 wIA

Generalitzem el lema anterior al cas de diversos VAPs:

Prop. (cas no derogatori general)

Essent EEf : lineal iAla seva matriu en una base qualsevol, suposem:

s

stttQ

)()()( 11

11 sdd

(1) Existeixen vectorss

ww ,,1 que:

0)()( 1 ii wIf i , 0)()( ii wIf

i ; si ,,1

(2) Aleshores una base deEs:


41/63

8.41

ssssss vwIfwIfw

vwIfwIfw

s

)()(,),)((,

)()(,),)((,

1

111

11111

(3) La matriu defen aquesta base s:

(4) Per cada si ,,1 el vector )()( 1 iii wIfv i s VEP, i per tant base del

subespai propii

E .

(4) Concordantment, la darrera columna de cada bloci

A , i cap altra, s diagonal.

Obs.

(1) Es diu que la base de (2) s formada per cadenes (de Jordan), de llargries

s ,,1 , generades pels vectors sww ,,1 .

(2) La matriu de (3) sanomena la forma reduda de Jordan de la inicial. Es diagonal perblocs de Jordan, de VAPs s ,,1 , i grandries s ,,1 , respectivament.

Exem. Per

310

110

111

A

tenim:2)2)(1()( tttQ

11 : 11 ( 11 d )

21 : 22 , 1)2(32 IArangd

Per tant s no diagonalitzable, no derogatria.

Per 11 , prenem un VEP 1v :

11

210

100

110

)( vNucIANucE

,

0

0

1

1v

Per 22 , cerquem un generador 2w :


42/63

8.42

22

110

110

111

)2(0 wwIA

222

000

000111

)2(0 wwIA

Per exemple

0

1

1

2w ,

1

1

0

)2( 22 wIAv

En definitiva:

210

020

001

100

110

0111ASSS

8,36, ... , 8.38.- Formes redudes per n=2 i n=3.

Prop .- Classificaci de matrius per n = 2.

Podem ja relacionar les possibles formes redudes per 2MA ( ):

(1) ))(()( 21 tttQ , 21

2

11

0

0

ASS

amb: 21 vvS

1v : VEP de 1

2v : VEP de 2

(1) Si 21 , , una forma reduda alternativa amb coeficients reals s:

bia1 , bia2

ab

baSAS

1)(

amb: uuS

11 vvu

)( 11 vviu


43/63

8.43

(2) 2)()( ttQ ,

0

02 Ad

(3) 2)()( ttQ ,

1

01 1ASSd

amb:)( vwS

0)( vwIA

Aplicaci Classificaci de transformacions en el pla

Tota transformaci lineal en el pla es representa per una matriu 2MA ( ), i per tantshi aplica la classificaci daqueixes matrius. Grficament, es pot representar per la

imatge del quadrat unitat:

(1) Aixafaments:

(1) Rotacions:

(2) Compressions/dilatacions (homotcies):


44/63

8.44

(3) Cisallaments:

Prop. Classificaci de matrius per n = 3

Anlogament, per 3MA ( ):

(1)

3

2

1

1321

00

00

00

))()(()(

ASSttttQ

amb: 321 vvvS

321 ,, vvv : VEPs de 321 ,, respectivament

(1) Com abans, si 32 , , una forma alternativa real s:

ab

baASSbiabia

0

000

,1

132

amb: uuvS 1

22 vvu

)( 22 vviu

(2) 221 ))(()( tttQ , 22 d

2

2

1

1

0000

00

ASS

amb: 221 vvvS

1v : VEP de 1

22 ,vv : VEPs l.i. de 2

(3) 221 ))(()( tttQ , 12 d

2

2

1

1

10

00

00

ASS


45/63

8.45

amb: 221 vwvS

1v : VEP de 1

0)( 22

2 wIA , 0)( 222 vwIA

(4) 3)()( ttQ , 3d

00

00

00

A

(5) 3)()( ttQ , 1d

10

01

001ASS

amb:

vuwS 0)( 2 vwIA

wIAu )(

(6) 3)()( ttQ , 2d

00

01

001ASS

amb: vvwS

0)( vwIA v : VEP l.i. amb v

Exem. La matriu

101

020

103

A

correspon al darrer cas ja que:

323 )2(8126)( tttttQ 2)2(3 IArangd

Per tant, la seva forma reduda ser

200

021

0021ASS


46/63

8.46

on les columnes de S sn una base de la forma ),)2(,( vwIAvw , amb

)2(,)2( 2 IANucwIANucw )2( IANucv ; vv , l.i.

Per exemple:

010

100

011

)0,1,0(

)1,0,1(

)0,0,1(

S

v

v

w

8.39, ... , 8.45.- Forma reduda de Jordan: cas general.

Obs.

(1) Quan el polinomi caracterstic descompon totalmentntttQ

sss 11 ,)()()(

1

(recordem que sobre sempre ho fa), tota matriu pot reduir-se a lanomenada

forma cannica de Jordan, la qual en particular inclou els casos ja estudiats:ii

d (diagonalitzable)

1id (no derogatria).

Queda pendent, doncs, generalitzar el cas:

iid 1 .

que ja hem estudiat quan n= 3.

(2) Triangularitzaci

En un primer pas, es demostra per inducci que pot reduir-se a la forma triangular


47/63

8.47

(3) Primera descomposici

s fcil veure que la forma (2) es pot reduir a la diagonal per blocs triangulars:

Sanomenen subespais propis generalitzats els

i

i

iEIANucE

i

)(

que corresponen a cadascun dels blocs diagonals i per tant:

(3.1)s

EE ,,

1 snA-invariants

(3.2)ii

E dim ; si ,,1

(3.3) sEEE 1

(4) Segona descomposici

Finalment es construeix una base de Jordan per cadai

E separadament, essent la

base cercada la reuni de totes elles. El resultat final desprs daquesta segonadescomposici senuncia a continuaci.

Teor. (forma reduda de Jordan complexa)

Essent EEf : lineal i A la seva matriu en qualsevol base, considerem el seu

polinomi caracterstic (sobre ) i les multiplicitats geomtriques:

s

stttQ

)()()( 11

siIANucd ii ,,1;)(dim1

(1) Existeix una matriu de canvi de base


48/63

8.48

de manera que la matriu

ASSAJ

1

s de la forma:

(1.1)

(1.2)

ambi

d blocs diagonals, de grandries adequades.

(2) En particular:

(2.1)

i

i

iii Ad

0

0

prenenti

S una base de VEPs dei

.


49/63

8.49

(2.2)

i

i

ii Ad

10

1

0

1

prenent iS la cadena

iiiiii vwIAwIAw i 1)(,,)(,

generada per qualsevoli

w tal que:

0)(,0)( 1 iiii wIAwIA ii

(3) La forma JA s nica, fora de permutacions en els blocs diagonals.

Def.

(1) En les condicions anteriors, JA , sanomena forma cannica de Jordan de A, i Suna

base de Jordan.

(2) Les grandries de les submatrius diagonals de cada iA sanomenen els divisors

elementals del VAP i . Els VAPs s ,,1 , juntament amb els divisors elementals

de cadascun, determinen la forma de Jordan: sanomena la caracterstica de Segre deA.

Obs.

(1) Com casos particulars, retrobem els ja estudiats: diagonalitzable ssdd ,,11

no derogatria 11 sdd

(2) Queda pendent determinar, en lapartat prxim, els divisors elementals quaniid 1 . Reiterem que:

iid divisors elementals: 1,,1,1

1id divisors elementals: i

(2) Veurem tamb en lapartat prxim que les bases de Jordan es formen reunint lescorresponents a cada VAP

i (de forma ms precisa les de cada subespai propi

generalitzati

E ).

Per cadascun, s una reuni de id cadenes de Jordan (corresponents a cada bloc de

Jordan dei

A ), de llargries els divisors elementals.


50/63

8.50

En particular, una basei

E s formada pels VEPs finals de cada cadena,

corresponents a les columnes diagonals de iA (la darrera de cada bloc de Jordan).

(3) En qualsevol cas, resulta finalment que JA s diagonal per blocs de Jordan, tants

com sdd 1 :

8.42, 8.43.- Clcul del divisors elementals i de bases de Jordan.

Anem a veure com calcular els divisors elementals i com construir bases de Jordan. Persimplificar la notaci ens referirem a un VAP, ben ents que caldr aplicar-horeiteradament a tots.

Suposem doncs, en tot lapartat:

)()( ttQ ,1 d

Lema En les condicions anteriors:

(1) La cadena de subespais


51/63

8.51

EIAIAIA

IANucIANucE

n )()()(

)()(1

2

estabilitza a partir de la primera igualtat.

(2) Si anomenem ,,, 21 les dimensions respectives:

)(dim

)(dim

)(dim22

1

IANuc

IANuc

dIANuc

es verifica:

121d

01123121

Obs. En les condicions anteriors:

(1) s el menor exponent per al qual

)(dim IANuc

(2) ,3,2,11 321d

121 d

Teor. En les condicions anteriors:

(1) Els divisors elementals d ,,, 21 del VAP queden determinats per lesquemasegent:


52/63

8.52

(2) Si prenem dwww ,,, 21 de manera que:

0)(,0)( 111111

vwIAwIA

..,0)(,0)(

21

2212 22

ilvv

vwIAwIA

..,,

0)(,0)(321

3313 33

ilvvv

vwIAwIA

etc.

aleshores una base de Jordan de E s formada per les cadenes generades perdwww ,,, 21 :

ddddvwIAwIAw

vwIAwIAw

vwIAwIAw

d

1

22122

11111

)(,,)(,

)(,,)(,

)(,,)(,2

1

Obs. En les condicions del teorema:

(1) El nombre de rectangles en planta baixa s d, i en total, .

(2) dvv ,,1 sn VEPs, i formen una base de E .

(3) Retrobem com casos particulars els ja coneguts:

diagonalitzable 1d

la base anterior es redueix als VEPs dvv ,,1

no derogatria 1d la base anterior es redueix a una cadena

vwIAwIAw 1)(,,)(,

Exem.

(1) Suposem que per un cert VAP s:

13)()( ttQ


53/63

8.53

13)(dim

12)(dim

10)(dim

7)(dim

4)(dim

5

4

3

2

IANuc

IANuc

IANuc

IANuc

IANuc

Aleshores:

Per tant, els divisors elementals seran:

1,3,4,5 4321

(1) Observem que la darrera dada (... = 13) era innecessria, ja que es derivanecessriament de la penltima (... = 12).

(2) Considerem

4200

8400

17397113

A

(2.1) 4)( ttQ 4,0

(2.2) 24)(dim rangAIANucd

44)(dim 22 rangAIANuc

2,2 21


54/63

8.54

(2.3) Una base de Jordan ser:

222

111

,

,

vAww

vAww

on: 1w : 0,0 112 AwwA

Per exemple: )0,0,9,3(),0,0,0,1( 11 vw

:2w

12

22

..

0,0

vambilAw

wAw

Per exemple: )2,4,7,1(),0,1,0,0( 22 vw

8.45, 8.46.- Matrius conjugades.

En apartats anteriors havem classificat les matrius per 2n i 3n . Ara podem

generalitzar-ho:

Corol. (Classificaci de matrius/endomorfismes)

Donades dues matrius A, B corresponents a dos endomorfismes de E en una basequalsevol:

(1) BASS 1 , per alguna JJ BAS


BSSASSBAASSB

ASSAJJ

J

J

)()()(

)( 121

1121

21

2

11

1

Obs. En les condicions anteriors, es diu que les matrius A i B sn conjugades (osimilars), o tamb que ambds endomorfismes sn equivalents. Respon a la ideaintutiva que sn iguals, en el fons, tot i que aquesta igualtat noms es palesa quanels representem en bases adients.

Altrament dit:de manera anloga com la dimensi classifica els espais vectorials,


55/63

8.55

la caracterstica de Segre classifica els endomorfismes de cadascun.

Exem.

(1) Discutim per a quins valors de dcba ,,, sn equivalents les matrius:

a

ba

cba

dcba

BA

000

00

0,

4200

8400

1739

7113

(1.1) 4)( ttQA

4)()( tatQB

Per tant, cal: 0a

(1.2) Ja hem vist a lexemple anterior, que per 0 :

2,2 21 AA

Imposem-ho perB:

(i) 0,04)(dim2 cbrangBIBNuc (ii) Suposant 0,0 cb :

4 = 22 4)(dim rangBIBNuc , qualsevol que sigui d.

(2) SuposemA, Bcom abans, amb:

0,0 cba , dqualsevol

Cerquem Stal que:

BASS 1

(2.1) A lexemple anterior hem vist que

(2.2) Anlogament, perB:


56/63

8.56

(2.3) Doncs, podem prendre:

0010

1000

0010100

2000

4100

7090

1031

2121

c

cd

cSSS

8.46, 8.47.- Aplicaci al clcul matricial.

Per a matrius diagonalitzables, el clcul matricial es redueix al corresponent amb elsVAPs:

Prop. (Clcul matricial: cas diagonalitzable)

Essent nMA ( ) diagonalitzable:

n

ASS

1

1

(1) 11

SSAk

n

k

k

, per qualsevol enter k .

(1) Recprocament, podem trobar arrels k-simes deA:

ASS

k

n

i

k

i

11

(2) Ms en general, considerem una funci analtica )(z de la forma

kkzazazaaz2

210)(

com ara


57/63

8.57

!4!21cos

!5!3

sin

!!2!11

42

53

2

zzz

zzzz

k

zzze

kz

Es defineix

kkAaAaAaIaA2

210)(

que pot calcular-se mitjanant

11

)(

)()(

SSA

n

(3) Tamb s vlid el pas al lmit; per exemple:

11

lim

lim

lim

SSAk

n

k

k

k

si cada kilim , ni1 , existeix i s finit.

(3) Igualment per la derivaci, ...

Exem. Reprenem lexemple introductori:

6003

1112

31,

2111

52

14

11 ASSSS

A

11

11

2122

21223

60

03kk

kk

k

k

k

k SSA

ABSSB kk

k

1

60

03


58/63

8.58

11

610

031

SSA

tttt

tttt

t

t

At

eeee

eeeeS

e

eSe 6363

6363

16

3

222

2

3

1

0

0

12

12

3

1

00

01

2sin 1SSA

14

21

3

1

10

01 1SSe

Ai

2211

31

1000

10

021

61lim 11 SSSSA

k

k

k

k

tttt

tttt

t

t

At

eeee

eeeeS

e

eSeD

6363

63631

6

3

442

222

60

03

Observem que aquest mateix resultat resulta de derivar lexpressi de Ate trobadaabans.

Observem igualment que:

AtAtAeeD

Obs (Clcul matricial: cas general).- De forma anloga, per a matrius nodiagonalitzables, el clcul matricial es redueix al corresponent amb els blocs de Jordan:

dJ

J

ASS

11 1

1

)(

)(

)(

S

J

J

SA

d

Per als blocs de Jordan tenim per exemple:


59/63

8.59

kk

k

k

k

k

k

k

k

k

k

J

1

3

2

1

3

2

0

1

!3

!2

0

1

3

2

t

t

t

t

ee ttJ

Exem. Havem vist:

210

020

001

100

110

011

310

110

111

1ASSS

A

(1)Segons les frmules anteriors:

1

1

220

020

001

S

k

SAkk

kk

1

22

2

0

00

00

S

ete

e

e

Sett

t

t

tA

(2)Com abans, podem aplicar-ho a lmits, derivades,... Per exemple:


60/63

8.60

1

10

1

00

1

021

lim

1

0

1

120

010

002

1

lim

1

1

1

2

1lim

SS

k

SA

k

kk

k

* AtAt AeeD

Una de les conseqncies que ms aplicarem s:

Corol.- Per a tota matriuA (real o complexa)

,10lim ik

kA VAP i

,0)(0lim iAt

tRe VAP i

onR() indica part real.

8.48, ... , 8.51.- El teorema de Cayley-Hamilton. El polinomi anullador.

Teor. (de Cayley-Hamilton)

Essent EEf : lineal,Ala seva matriu en una base qualsevol, i Q(t)el seu polinomicaracterstic, es verifica:

0)det)1(()1()( 1 IAAtrAAAQ nnnn

Obs.

(1) s evident per endomorfismes triangularitzables, i en particular per = .

(2) Com una aplicaci, observem que si 0det A :

)(det

1)1(

det)1()(

2111

21

nnn

nnn

AtrAAA

A

IAAtrAAA

(2) En particular:


61/63

8.61

2n : )(det

11ItrAA

AA

3n : )(det

12

21 IAtrAAA

A

(3) Una altra conseqncia, molt til en teoria de control lineal, s que, per qualsevolvector columna b:

Aquest teorema justifica la definici i el corollari segents:

Def. Essent EEf : lineal iAla seva matriu en una base qualsevol, sanomena elseu polinomi (mnim) anullador, P(t), al mnic de menor grau que anulliA:

(i) 0)( AP

(ii) 0)( AP si grPPgr (iii) )(tP mnic

Exem.

(1) SiAs diagonalitzable, amb VAPss

,,1 , s:

)()()( 1 stttP

(2) Si J s un n-bloc de Jordan, s:

nttP )()(

Prop. En les condicions anteriors, si

s

stttQ

)()()( 11

aleshores:

(1) )(tP s de la forma:

),1(,1

)()()( 11si

tttP

ii

ss



62/63

8.62

i

= ms gran divisor elemental dei

Obs.

(1) Havem caracteritzat els VAPs com les arrels del caracterstic )(tQ . La proposicianterior els caracteritza com arrels de lanullador )(tP .

(2) Els exponentsi

queden caracteritzats per:

i

ii

i

EIfNucIfNuc

IfNucIfNucE

ii

ii

)()(

)()(

1

2

(3) Si no coneixem el polinomi caracterstic, lanullador pot obtenir-se assajant

successivament polinomis mnics de grau creixent:

1a tal que: (t + 1a )(A) = 01 IaA

21 ,aa tal que: 0))(( 212

212 IaAaAAatat

etc.

)(tP s el primer per al qual el sistema resulta compatible.

Corol. (criteris de diagonalitzaci i no derogaci pel polinomi anullador)

En les condicions anteriors:

(1) diagonalitzable 11 s )( iid

(2) no derogatria ss ,,11 )1( id

Aplicacions.

(1) Endomorfismes idempotents

Un endomorfisme EEf : es diu idempotent si

ff 2

Clarament equival a 02 ff , i per tant el polinomi anullador s

tttttP )1()( 2


63/63

fora dels casos trivials Idf 0f .

Els seus VAPs sn, doncs, 11 , 02 , i segons el corollari anterior,diagonalitza. En definitiva, la seva matriu reduda s de la forma:

0

0

0

1

01

(2) Restricci dun diagonalitzable

Anem a veure que la restricci dun endomorfisme diagonalitzable a un subespaiinvariant s tamb diagonalitzable.

Considerem EEf : lineal i EN un subespai f-invariant. Siguin Ai NA| les

matrius respectives en una base adaptada aN. Sifs diagonalitzable, segons acabemde veure ser:

)()()( 1 stttP

Com que )(fP anullar en particular els vectors deN, tindrem

0)( | NAP

de manera que )(tPN ser un divisor de )(tP .

Doncs, les arrels de )(tPN seran igualment simples i, altre cop pel corollari

anterior, Nf| ser diagonalitzable.

Documents

Tema8_reduccio Matrius Endomorfismes Vaps Veps