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EDUCACIÓN PRIMARIA
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Temario
Evolución de la percepción espacial en la Educación Primaria.
Elementos, formas y relaciones geométricas en el entorno: clasificación y representación.
Intervención educativa.
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1 Evolución de la percepción espacial en la Educación Primaria
1.1 El desarrollo de los conceptos geométricos. Teoría de Piaget
1.2 El modelo de niveles de Van Hiele
1.3 El aprendizaje de geometría en la Educación Primaria
2 Elementos, formas y relaciones geométricas en el entorno: clasificación y representación
2.1 Elementos geométricos
2.2 Formas geométricas en el plano
2.3 Figuras geométricas en el espacio
2.4 Relaciones geométricas
2.5 Representación geométrica
3 Estrategias de intervención educativa
3.1 Competencias
3.2 Objetivos
3.3 Contenidos
3.4 Orientaciones metodológicas
3.5 Evaluación
CONTENIDOS
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INTRODUCCIÓN
La Geometría es una rama de las matemáticas tradicionalmente incluida en el currículo de enseñan-za Primaria, aunque a menudo relegada a un segundo plano en favor de los contenidos numéricos. Su utilidad en la vida cotidiana y la posibilidad de emplear en su enseñanza materiales concretos y nuevas tecnologías hacen que los contenidos geométricos permitan utilizar metodologías interdis-ciplinares y activas.
En este tema se estudia, en primer lugar, cómo se produce la adquisición de los conceptos de per-cepción espacial en la etapa de los seis a los doce años, analizando la teoría de Piaget y el modelo de los niveles de Van Hiele, que son las teorías mas aceptadas en la actualidad. A continuación. se describen, para finalizar esta primera parte del tema, algunos aspectos generales del bloque dedica-do a la Geometría en el currículo por el que se establecen las enseñanzas de la Educación Primaria.
En la segunda parte del tema, se presentan los elementos, formas y relaciones geométricas en el plano y en el espacio, poniendo especial énfasis en las posibles clasificaciones y en las formas de representación.
Por último, se analiza cuál debe ser la intervención educativa en la etapa de Educación Primaria en torno al estudio de los conceptos geométricos.
El trabajo de este tema te permitirá aplicar las distintas perspectivas sobre educación matemá-tica desarrolladas en el tema 20. Está muy relacionado con el tema 21. Resolución de problemas y con el 23, Magnitudes y su medida.
6 TEMARIO
1Evolución de la percepción espacial en la Educación PrimariaPrimero hablaremos de cómo se produce la evolución de la adquisición de los conceptos geométri-cos en los niños. Nos basaremos en Godino (2002) para introducir las teorías de Piaget y el modelo de los niveles de Van Hiele, que son las más aceptadas en la comunidad de didáctica de las mate-máticas.
1.1 El desarrollo de los conceptos geométricos. Teoría de Piaget
Los niños comienzan a relacionarse con su entorno a través de los sentidos, fundamentalmente la vista y el tacto. Posteriormente desarrollan el lenguaje. Piaget realizó numerosos experimentos hasta llegar a formular una teoría del desarrollo de los conceptos espaciales en el niño.
Distingue entre percepción, que define como el «conocimiento de objetos resultante del contacto directo con ellos», y representación (o imagen mental), que «comporta la evocación de objetos en ausencia de ellos».
Tenemos así dos periodos en relación al desarrollo espacial:
� Desarrollo del espacio perceptivo. Tiene lugar en los Estadios Sensoriomotor (hasta los dos años el niño desarrolla las capacidades de percepción: contornos, formas, tamaños… del espacio cercano) y Preoperacional (de los 2 hasta los 7 años, el lenguaje les permite entender mejor el espacio próximo) Para estudiar esta etapa Piaget utilizó tests basados en la capacidad de discri-minación entre distintos objetos a través de la vista.
� Desarrollo del espacio representativo. Tiene lugar especialmente en el Estadio de las Opera-ciones Concretas: aproximadamente a partir de los siete años son más conscientes de su entorno exterior y ante la representación de objetos (ej.: dibujos), comprenden la existencia de otras par-tes no representadas. Piaget estudió esta etapa mediante pruebas de reconocimiento de objetos y formas por el tacto y en la capacidad de reproducirlas con palillos o dibujos.
En cada uno de estos estadios de desarrollo, Piaget distingue, además, una progresiva diferenciación de propiedades geométricas, partiendo de aquellas propiedades que él llama topológicas, o sea, propiedades globales independientes de la forma o el tamaño, como son: cercanía o proximidad, separación, orden o sucesión espacial, inclusión o contorno y continuidad. Por ejemplo, un niño que se encuentra en el primer periodo puede realizar un dibujo de un hombre con una gran cabeza en la que hay dos ojos, una boca y una nariz, debajo de la boca. Dibuja un pequeño tronco separado de la cabeza, dos trazos para los brazos y otros dos para las piernas, separados del tronco. En este dibujo vemos que el niño no considera las proporciones, distancias y perspectivas, pero empieza a construir las relaciones topológicas más sencillas (como cercanía y separación).
El segundo grupo de propiedades que, según Piaget, distinguen los niños son las que denomina propiedades proyectivas, que suponen la capacidad del niño para predecir qué aspecto presentará un objeto al ser visto desde diversos ángulos. Por ejemplo, los niños pueden querer dibujar una cara de perfil y seguir, sin embargo, poniendo dos ojos en ella; o pueden no ser capaces de darse cuenta
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de que, al mirar un lápiz desde un extremo, se verá un círculo. La «rectitud» es una propiedad pro-yectiva, dado que las líneas rectas siguen mostrando aspecto rectilíneo cualquiera que sea el punto de vista desde el que se las observe.
El tercer grupo de propiedades geométricas son las euclídeas, esto es, las relativas a tamaños, dis-tancias y direcciones, que conducen, por lo tanto, a la medición de longitudes, ángulos, áreas, etc. Se pueden distinguir, por ejemplo, un trapecio y un rectángulo basándose en los ángulos y en las longitudes de los lados. (Desde el punto de vista proyectivo, ambas figuras son equivalentes, ya que el tablero de una mesa rectangular ofrece aspecto de trapecio visto desde ciertos ángulos). Los ni-ños pueden en este estadio reproducir la posición exacta de un punto en una página, o una figura geométrica, y decidir qué líneas y ángulos han de medir para ello.
1.2 El modelo de niveles de Van Hiele
En la didáctica de la geometría ha tenido una fuerte influencia el trabajo desarrollado por Pierre y Dina Van Hiele para explicar el desarrollo del pensamiento geométrico de los estudiantes. El mode-lo teórico conocido como de «los niveles de Van Hiele» comenzó a proponerse en 1959 y ha sido objeto de abundantes experimentaciones e investigaciones que han llevado a introducir diversas matizaciones, pero que aún continúa siendo útil para organizar el currículo de geometría en la Edu-cación Primaria y Secundaria.
En este modelo se proponen cinco niveles jerárquicos para describir la comprensión y el dominio de las nociones y habilidades espaciales. Cada uno de los cinco niveles describe procesos de pensa-miento que se ponen en juego ante tareas y situaciones geométricas. A continuación describimos brevemente las características de los cinco niveles y los tipos de actividades que pueden desarrollar-se en cada uno de ellos.
X Características generales de los niveles
La principal característica de este modelo de pensamiento geométrico es que en cada nivel (excep-to en el último) se deben crear unos objetos de manera que las relaciones entre estos objetos se convierten en los objetos del siguiente nivel. Hay por tanto un progresivo ascenso en la abstracción y complejidad. Además de este rasgo, el modelo postula las siguientes características:
1. Los niveles son secuenciales. Para lograr un cierto nivel superior al 0, los alumnos deben superar los niveles previos.
2. Los niveles no son dependientes de la edad en el sentido de los estadios de desarrollo de Piaget. Algunos estudiantes y adultos pueden permanecer siempre en el nivel 0, y un número importan-te de personas adultas no alcanzan nunca el nivel 2. Sin embargo, la edad está relacionada con la cantidad y tipo de experiencias geométricas que tenemos. Por tanto, es razonable aceptar que todos los niños de Educación Infantil a 2.º curso de Primaria estén en el nivel 0, así como que la mayoría de los niños de la etapa de Primaria no alcanzarán el nivel 2.
3. La experiencia geométrica es el principal factor que influye en la progresión de niveles. Las ac-tividades que permiten a los niños explorar, hablar sobre las experiencias, e interactuar con el contenido del siguiente nivel, además de incrementar sus experiencias con el nivel en que se encuentran, proporcionan la mejor oportunidad de avanzar hacia el siguiente nivel.
4. Cuando la instrucción o el lenguaje usado está a un nivel superior al del alumno, habrá un fallo en la comunicación. Los estudiantes a los que se pide enfrentarse con objetos de pensamiento que no han construido en el nivel anterior pueden estar realizando un aprendizaje memorístico y alcanzar solo temporalmente un éxito superficial. Un estudiante puede, por ejemplo, memorizar que todos los cuadrados son rectángulos sin haber construido esa relación.
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Veamos ahora las características específicas de cada nivel:
Teoría de los niveles de razonamiento geométrico de Van Hiele.
Formas
Clases de formas
Propiedades de formas
Relaciones entre prop.
Sistemas axiomáticos
Análisis de sistemas deductivos
0. Visualización
1. Análisis
2. Deducción Informal
3. Deducción
4. Rigor
X Nivel 0. Visualización
Los objetos de pensamiento en el nivel 0 son formas y se conciben según su apariencia.
Los alumnos reconocen las figuras y las nombran basándose en las características visuales globales que tienen. Aquellos que razonan según este nivel son capaces de hacer mediciones e incluso de hablar sobre propiedades de las formas, pero no piensan explícitamente sobre estas propiedades. Lo que define una forma es su apariencia. Un niño en este nivel pensará que un cuadrado que se presente apoyado sobre un vértice es un rombo (asocian la forma a la posición en que normalmente se presentan las figuras).
Los productos del pensamiento del nivel 0 son clases o agrupaciones de formas que parecen ser «similares».
X Nivel 1. Análisis
Los objetos de pensamiento en el nivel 1 son clases de formas, en lugar de formas individuales.
Los estudiantes que razonan según este nivel son capaces de considerar todas las formas incluidas en una clase en lugar de una forma singular. En lugar de hablar sobre este rectángulo, es posible hablar sobre todos los rectángulos. Al centrarse en una clase de formas, los alumnos son capaces de pensar sobre lo que hace que un rectángulo sea un rectángulo (cuatro lados, lados opuestos paralelos, lados opuestos de la misma longitud, cuatro ángulos rectos, diagonales congruentes, etc.). Las características irrelevantes (como el tamaño o la orientación) pasan a un segundo plano. Los alumnos del nivel 1 pueden ser capaces de enumerar todas las propiedades de los cuadrados, rec-tángulos y paralelogramos, pero no ver las relaciones de inclusión entre estas clases: que todos los cuadrados son rectángulos y todos los rectángulos son paralelogramos.
Los productos del pensamiento del nivel 1 son las propiedades de las formas.
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X Nivel 2. Deducción informal
Los objetos del pensamiento del nivel 2 son las propiedades de las formas.
A medida que los estudiantes comienzan a ser capaces de pensar sobre propiedades de los objetos geométricos sin las restricciones de un objeto particular, son capaces de desarrollar relaciones entre estas propiedades. Las figuras se pueden clasificar usando solo un mínimo de características. Por ejemplo, cuatro lados congruentes y al menos un ángulo recto pueden ser suficiente para definir un cuadrado.
Los productos de pensamiento del nivel 2 son relaciones entre propiedades de los objetos geomé-tricos.
X Nivel 3. Deducción
Los objetos de pensamiento en el nivel 3 son relaciones entre propiedades de los objetos geomé-tricos.
En este nivel los estudiantes son capaces de examinar algo más que las propiedades de las formas. Su pensamiento anterior ha producido conjeturas sobre relaciones entre propiedades. Los alumnos de este nivel comienzan a apreciar la necesidad de construir un sistema lógico que repose sobre un conjunto mínimo de supuestos y a partir del cual se deriven todas las proposiciones. Estos estu-diantes son capaces de trabajar con enunciados abstractos sobre propiedades geométricas y llegar a conclusiones basadas más sobre la lógica que sobre la intuición. Éste es el nivel requerido en los cursos de geometría de Bachillerato.
Los productos del pensamiento del nivel 3 son sistemas axiomáticos deductivos para la geometría.
X Nivel 4. Rigor
Los objetos de pensamiento del nivel 4 son sistemas axiomáticos para la geometría.
En el nivel máximo de la jerarquía de pensamiento geométrico propuesto por Van Hiele, el objeto de atención son los propios sistemas axiomáticos, no las deducciones dentro de un sistema. Se apre-cian las distinciones y relaciones entre los diferentes sistemas axiomáticos. Éste es el nivel requerido en los cursos universitarios especializados en los que se estudia la geometría como una rama de las matemáticas.
Los productos de pensamiento del nivel 4 son comparaciones y contrastes entre diferentes sistemas axiomáticos de geometría.
En la etapa de Primaria solo vamos a encontrarnos con alumnos en los dos primeros niveles, por eso vamos a enumerar tipos de actividades que podemos realizar en ellos.
X Características de las actividades del nivel 0
� Actividades de clasificación, identificación y descripción de formas variadas.
� Uso de gran cantidad de modelos físicos que se pueden manipular por los niños.
� Ejemplos de una variedad de formas diferentes con objeto de que las características irrelevantes no se perciban como importantes. (Esto evitará que, por ejemplo, muchos alumnos piensen que solo los triángulos equiláteros son realmente triángulos, o que un cuadrado girado 45º deja de ser un cuadrado).
� Proporcionar oportunidades para que los alumnos construyan, dibujen, compongan o descom-pongan formas diversas.
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X Características de las actividades del nivel 1
� Comenzar a centrar la atención más sobre las propiedades de las figuras que en la simple iden-tificación. Definir, medir, observar y cambiar las propiedades con el uso de modelos concretos.
� Resolver problemas en los que las propiedades de las formas sean aspectos importantes a tener en cuenta.
� Seguir utilizando modelos concretos, como en las actividades del nivel 0, pero usando modelos que permitan la exploración de diversas propiedades de las figuras.
� Clasificar figuras usando las propiedades de las formas como también sus nombres. Por ejemplo, encontrar propiedades de los triángulos que hagan que unos sean similares y otros diferentes.
1.3 El aprendizaje de geometría en la Educación Primaria
En el currículo que establece las enseñanzas de la Educación Primaria, encontramos dentro del área de Matemáticas los contenidos organizados en bloques: uno de ellos corresponde a Geometría. El objetivo general del estudio de este bloque de conocimientos es que el alumnado aprenda sobre formas y estructuras geométricas. La geometría es describir, analizar propiedades, clasificar y razonar, y no solo definir. El aprendizaje de la geometría requiere pensar y hacer, y debe ofrecer continuas oportunidades para clasificar de acuerdo a criterios libremente elegidos, construir, dibujar, modeli-zar, medir, desarrollando la capacidad para visualizar relaciones geométricas. Todo ello se logra esta-bleciendo relaciones constantes con el resto de los bloques y con otros ámbitos como el mundo del arte o de la ciencia, pero también asignando un papel relevante a la parte manipulativa a través del uso de materiales (geoplanos y mecanos, tramas de puntos, libros de espejos, material para formar poliedros, etc.) y de la actividad personal realizando plegados, construcciones, etc. para llegar al concepto a través de modelos reales. A este mismo fin puede contribuir el uso de programas infor-máticos de geometría dinámica.
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2Elementos, formas y relaciones geométricas en el entorno: clasificación y representaciónLa geometría surgió de la necesidad de los hombres de resolver problemas como: realizar medidas de terrenos, construcciones religiosas y de otro tipo, ornamentación, esculturas, etc. Los elementos y formas geométricas son modelos que podemos encontrar también en la naturaleza y el arte. Es indudable la utilidad de la geometría en multitud de contextos y profesiones, por eso tenemos que transmitir a nuestros alumnos la necesidad de aprender y aplicar los conocimientos geométricos a su vida cotidiana.
Para enseñar geometría en la escuela Primaria, debemos partir de la realidad que nos rodea y utilizar los ejemplos más cercanos al niño para aproximarnos a los conceptos geométricos. Muchos de es-tos conceptos son demasiado abstractos para que los alumnos de Primaria puedan comprenderlos, pero sí podemos acercarnos a las propiedades más relevantes a través de materiales y objetos reales que nos sirvan de modelo.
Es importante que partamos de la realidad, y el mundo que nos rodea es fundamentalmente tri-dimensional. Por eso es recomendable comenzar a estudiar los conceptos de geometría espacial antes que los de geometría plana. En los libros de texto que encontramos habitualmente esta re-comendación no se cumple, siguen el orden tradicional: primero se introducen los elementos y formas en el plano y más tarde se pasa al estudio de sólidos y poliedros. Este orden de introducir la geometría escolar está influido por la estructura lógica de las matemáticas, pero no es el adecuado si queremos tener en cuenta planteamientos didácticos basados en el desarrollo de los niños.
2.1 Elementos geométricos
Cuando queremos encontrar la unidad mínima o el elemento básico que sirve para componer todos los demás, nos aproximamos a la idea de punto. Para representar un punto, normalmente se hace una pequeña muesca con un lápiz sobre un papel, de forma que queremos dar la idea de que no tiene dimensiones, la marca solo determina una posición sobre el plano o el espacio.
Con puntos podemos crear otros elementos geométricos, como las rectas. Decimos que dos pun-tos determinan una única recta. Cuando dibujamos una recta siempre estamos representando solo un trozo, porque una recta es ilimitada por ambos extremos, de forma que resulta muy difícil visua-lizarla. Podemos acercarnos a su definición si tensamos un hilo fino y pensamos que nunca termina por ninguno de sus extremos.
Tres puntos no alineados determinan un plano. Podemos representar un trozo de un plano median-te la superficie de una mesa, de la pizarra o de una hoja de papel. Un plano no tiene espesor y es ilimitado por todos lados, por lo tanto también resulta difícil encontrar un modelo real. Dos planos pueden cortarse en una recta o ser paralelos, es decir, no tienen ningún punto en común.
Las rectas y los planos contienen infinitos puntos. El espacio es el conjunto de todos los puntos. Cualquier subconjunto de puntos del espacio se denomina figura geométrica. El objetivo de la geo-metría es describir, clasificar y estudiar las propiedades de las figuras geométricas.
Las rectas pueden ocupar distintas posiciones en el espacio: dos rectas son paralelas si, estando en el mismo plano, nunca llegan a cortarse; si se cortan (tienen un punto común) se llaman secantes. Dos rectas que no se cortan y no están en el mismo plano, se dice que se cruzan.
Un punto sobre una recta determina dos semirrectas. Una recta sobre un plano determina dos semiplanos. Un plano en el espacio determina dos semiespacios.
Dos puntos sobre una recta determinan un segmento. Podemos medir la longitud del segmento: la distancia que separa sus extremos. Los segmentos sí pueden representarse mejor, ya que son limita-dos, aunque contienen infinitos puntos.
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Dos semirrectas en el plano con origen común determinan un ángulo. La región del plano com-prendida entre dichas semirrectas es el ángulo, las semirrectas se llaman lados y el origen que com-parten, vértice del ángulo. Podemos medir la abertura de los ángulos utilizando un transportador o círculo graduado. La unidad de medida más utilizada son los grados, minutos y segundos sexagesi-males. Podemos clasificar los ángulos según su abertura en: llanos (abarcan un semiplano), rectos (la mitad de un ángulo llano), agudos (menores que un recto) y obtusos (mayores que un recto y menores que un llano).
Dos semiplanos que se cortan determinan un ángulo diedro. La medida de la abertura de un ángu-lo diedro es la del ángulo que forman dos semirrectas contenidas en los semiplanos que lo forman, perpendiculares a la recta de intersección.
Elementos geométricos
O
B
A
A B
punto ARecta r
Semirrecta segmento
ángulo AÔB
Ángulo diedro
Todos estos conceptos que parecen elementales desde el punto de vista matemático, son dema-siado abstractos para los niños de Primaria. Por eso la aproximación que debe hacerse es introducir las nociones y propiedades, partiendo de la realidad y utilizando recursos que permitan visualizar a los niños las principales características de estos elementos geométricos. Podemos utilizar materiales concretos, a veces tan simples como cuerdas, hilos, abanicos, papel para doblar, etc. Tenemos que ser conscientes de que no vamos a encontrar modelos reales que reflejen fielmente los conceptos de punto, recta, plano, etc., porque son objetos ideales que no existen en la realidad.
2.2 Formas geométricas en el plano
X Poligonal y polígono
Las líneas poligonales están formadas por segmentos concatenados. Pueden ser abiertas o cerradas.
Abierta Cerrada
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La medida de una línea poligonal es su perímetro (suma de las longitudes de los segmentos que la componen). Una línea poligonal es convexa si no puede ser cortada por una recta en más de dos puntos, en caso contrario es cóncava.
Convexa Cóncava
Polígono (poli = varios y gono = ángulos) es la superficie plana limitada por una línea poligonal cerrada. La medida de un polígono es su área. Según el número de lados, los polígonos pueden ser: triángulos, cuadriláteros, pentágonos, hexágonos, heptágonos, octógonos, eneágonos, decágonos... (utilizando los prefijos griegos de número). Los polígonos que tienen todos sus lados y sus ángulos iguales se llaman polígonos regulares. El punto interior que equidista de los vértices es el centro.
Propuesta didáctica para el aula
Lado
Diagonal
ángulo interiorángulo
exteriorvértice
a) En la figura aparecen los elementos básicos de un polígono. Definir cada uno de ellos de la forma más precisa posible.
b) ¿Puede ocurrir que algún polígono no tenga diagonales? ¿Cuántas diagonales tiene un cuadrado, un pentágono y un hexágono?
c) ¿Obtener una fórmula para calcular el número de diagonales de un polígono de n lados?
X Clasificación de triángulos
Hemos visto que el triángulo es un polígono de tres lados, tres ángulos y tres vértices. La condición para poder construir un triángulo es que la longitud de cualquiera de sus lados sea menor que la suma de los otros dos (propiedad triangular). La suma de los tres ángulos interiores de un triángulo siempre es 180º. Vamos a clasificar los triángulos utilizando dos criterios diferentes, la longitud de sus lados y la amplitud de sus ángulos:
Atendiendo a la longitud de sus lados, los triángulos pueden ser: equiláteros (tres lados iguales), isósceles (dos lados iguales y uno desigual) y escalenos (los tres lados desiguales).
Equilátero Isósceles Escaleno
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Atendiendo a la amplitud de sus ángulos, los triángulos pueden ser: rectángulos (con un ángulo recto), obtusángulos (un ángulo obtuso) o acutángulos (tres ángulos agudos). En los triángulos rec-tángulos los lados que determinan el ángulo recto se llaman catetos y el lado opuesto, hipotenusa.
Rectángulo Acutángulo Obtusángulo
X Clasificación de cuadriláteros
Los cuadriláteros son polígonos con cuatro lados, vértices y ángulos. La suma de los cuatro ángulos interiores de cualquier cuadrilátero es siempre 360º.
Para clasificar los cuadriláteros podemos utilizar diversos criterios atendiendo a distintas propieda-des. Por ejemplo, podemos fijarnos en el paralelismo de sus lados, igualdad de lados, de ángulos, concavidad o convexidad, etc. Según el criterio elegido, obtendremos un tipo de clasificación. Nor-malmente, en los libros de texto de Primaria y Secundaria encontramos una única clasificación ba-sada en el paralelismo de los lados. Es importante ver también otro tipo de clasificaciones para que los alumnos comprueben las relaciones que se establecen entre las figuras según sus propiedades.
Vamos a clasificar los cuadriláteros atendiendo a que tengan 0, 1 o 2 pares de lados paralelos. En los cuadriláteros puede suceder:
a) Que los dos pares de lados sean paralelos, llamándose a estos cuadriláteros paralelogramos. Los paralelogramos son cuadrados, rectángulos, rombos y romboides.
� Los cuadrados tienen los cuatro lados iguales, los ángulos rectos y sus dos diagonales iguales y perpendiculares.
� Los rectángulos tienen lados iguales dos a dos, los ángulos rectos y sus dos diagonales igua-les y no perpendiculares.
� Los rombos tienen los cuatro lados iguales, los ángulos iguales dos a dos, sus dos diagonales son distintas y perpendiculares.
� Los romboides tienen los lados y los ángulos iguales dos a dos y sus diagonales son distintas y no perpendiculares.
Cuadrado Rectángulo Rombo Romboide
b) Que solo tengan un par de lados paralelos llamándose a éstos cuadriláteros trapecios. Los trape-cios pueden ser rectángulo (trapecio con dos ángulos rectos), isósceles (trapecio con lados no paralelos iguales) y escaleno (trapecio con los lados no paralelos desiguales).
Rectángulo Isósceles Escaleno
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c) Que no tengan ningún par de lados paralelos llamándose a estos cuadriláteros trapezoides.
Trapezoide
X Curvas, circunferencia y círculo
Una curva plana se puede describir de manera informal como el conjunto de puntos que trazamos cuando deslizamos un lápiz sobre el papel sin levantarlo. Si por todos los puntos solo pasamos una vez se dice que la curva es simple. Si los extremos coinciden, se dice que la curva es cerrada.
La circunferencia es la línea curva y cerrada formada por los puntos del plano situados a igual dis-tancia de un punto interior llamado centro. En la figura aparecen los elementos de la circunferencia más notables: centro, radio, cuerda, diámetro y arco.
Centro
diámetro
cuerda
radio
arco
La medida de la circunferencia es la longitud de la circunferencia y se calcula mediante la fórmula L = 2πr, donde π es un número irracional (tiene infinitas cifras decimales no periódicas, aunque suele aproximarse por el número 3,1416) y r es el radio de la circunferencia.
Una recta puede ser respecto a una circunferencia: exterior (si no la corta en ningún punto), tan-gente (si la corta en un solo punto), secante (si la corta en dos puntos).
La región del plano comprendida dentro de una circunferencia se llama círculo. La medida del cír-culo es su área y se calcula mediante la fórmula A = πr2.
ro
2.3 Figuras geométricas en el espacio
El concepto intuitivo de curva se puede extender del plano al espacio imaginando figuras dibujadas por un lápiz «mágico», cuyos puntos dejan un trazo visible en el aire.
Cualquier superficie sin agujeros y que encierra una región hueca (su interior) se dice que es una superficie cerrada simple.
La unión de todos los puntos de una superficie cerrada simple y todos los pun-tos de su interior forman una figura espacial llamada sólido.
Una superficie cerrada simple es convexa si el segmento que une cualquier par de puntos de la superficie está contenido en el interior de dicha superficie. Por ejemplo, la esfera, que es el conjunto de puntos situados a una distancia constante de un punto fijo (el centro), es convexa. Esfera
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X Poliedros. Clasificación
Un poliedro es una superficie cerrada simple formada por regiones poligonales planas. Cada región poligonal se dice que es una cara del poliedro, y los vértices y lados de las regiones poligonales se dice que son los vértices y lados del poliedro. Para clasificar los poliedros podemos atender a diver-sos criterios, como por ejemplo, la regularidad y número de caras que concurren en los vértices. Otros criterios de clasificación de los poliedros son:
� Inclinación (rectos y oblicuos).
� Poliedros con bases (con una base, o varias bases).
� Según la construcción del modelo:
� Con polígonos regulares (poliedros regulares, semirregulares, deltaedros).
� Con polígonos iguales (poliedros de caras iguales: poliedros regulares, deltaedros, bipirámides de base regular).
� Con vértices iguales (poliedros. regulares, semirregulares, prismas rectos de base regular...).
� Combinaciones de distintos criterios.
� Ejes y planos de simetría, diagonales, ángulos.
X Poliedros regulares
Un poliedro regular es un poliedro con las siguientes características: la superficie es convexa, las caras son regiones poligonales regulares congruentes y concurren el mismo número de caras en cada uno de los vértices.
Solo pueden construirse 5 clases de poliedros regulares. Esto es así por-que la suma de los ángulos interiores de los polígonos que forman las caras de un poliedro regular que concurren en un mismo vértice debe ser menor de 360º, de lo contrario no podrían cerrar un espacio interior.
Los ángulos interiores del triángulo equilátero miden 60º. Si usamos triángulos como caras para formar poliedros, como mucho pueden concurrir en el mismo vértice 5 triángulos, ya que la suma de sus ángulos cumple la condición indicada. Tenemos así tres poliedros (con 3, 4 y 5 triángulos en cada vértice): el tetraedro, el octaedro y el icosaedro.
Con caras que sean cuadrados solo se puede formar el cubo, en el que concurren 3 cuadrados en cada vértice. Si utilizamos pentágonos regulares como caras, solo podemos construir un poliedro: el dodecaedro.
Propuesta didáctica para el aula: Completar la siguiente tabla con el n.º de caras, vértices y aristas de cada poliedro regular. Calcular cuánto vale C + V – A en cada caso.
Polígono utilizado
C Nº de caras
A Nº de
aristas
VNº de
vérticesC – A + V
Nombre poliedro
TRIÁNGULO 4 6 4 TETRAEDRO
TRIÁNGULO OCTAEDRO
TRIÁNGULO ICOSAEDRO
CUADRADO CUBO
PENTÁGONO DODECAEDRO
Tetraedro
Cubo
Octaedro
Dodecaedro
Icosaedro
2417EDUCACIÓN PRIMARIA
X Prismas y pirámides
Los prismas son poliedros con dos bases formadas por polígonos iguales y tantas caras laterales como número de lados tienen las bases. Las caras laterales son paralelogramos.
Las pirámides son poliedros con una sola base, que puede ser cualquier polígono y tantas caras laterales como lados tiene la base. Las caras laterales son triángulos que concurren todos en un vértice.
Tanto prismas como pirámides pueden ser rectos u oblicuos. Si calculamos el número de caras, vér-tices y aristas de prismas y pirámides, veremos que también se cumple la misma relación que en los poliedros regulares: C + V – A = 2. En realidad, esta relación se verifica para cualquier poliedro, es la llamada característica de Euler.
X Conos y cilindros
Los conos y los cilindros son superficies cerradas simples que generalizan las pirámides y los prismas, respectivamente. Un cono tiene una base, que es cualquier región limitada por una curva cerrada simple contenida en un plano. La superficie lateral está generada por los segmentos que unen el vértice, no situado en el plano de la base, con los puntos de la curva que delimita la base.
A A A
BB
B
Un cilindro es la superficie generada trasladando los puntos de una región cerrada simple contenida en un plano hacia un plano paralelo. Los puntos que unen puntos correspondientes en las curvas que limitan las bases forman la superficie lateral. Si los segmentos que unen puntos correspondien-tes en las dos bases son perpendiculares a los planos de las bases se dice que el cilindro es recto, en caso contrario se trata de un cilindro oblicuo.
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2.4 Relaciones geométricas
En el currículo de Primaria encontramos numerosas referencias a la necesidad de establecer, estudiar y aplicar distintos tipos de relaciones geométricas.
Cuando introducimos los primeros conceptos geométricos en la escuela, partimos de la realidad tomando como modelo objetos que nos rodean y que pueden ser ejemplos de formas y figuras geométricas. Enseguida apreciamos relaciones que necesitamos ir definiendo para poder clasificar las figuras, como son el paralelismo, la perpendicularidad, la simetría, etc.
Es importante que no nos quedemos en la descripción de las figuras y sus propiedades, sino que lleguemos también a establecer relaciones entre ellas de forma que proporcionemos a los niños las experiencias necesarias para progresar en su desarrollo geométrico y poder alcanzar el nivel 2 de Van Hiele.
Mediante el planteamiento de problemas geométricos apropiados podemos estudiar propiedades de las figuras, realizar observaciones, buscar regularidades, realizar hipótesis, etc. Todas estas accio-nes proporcionan a nuestros alumnos oportunidades para establecer relaciones geométricas. Por ejemplo:
� Buscar en el geoplano varios polígonos que tengan igual área y distinto perímetro.
� Formar mosaicos y recubrimientos del plano con diferentes figuras y polígonos.
� Relacionar distintos sólidos y poliedros con su desarrollo plano.
Veamos ahora los movimientos del plano que permiten establecer relaciones entre las figuras que conservan distintas propiedades:
X Movimientos rígidos del plano
Se llama movimientos rígidos del plano o isometrías a movimientos que conservan el tamaño y la forma de las figuras. Después de realizar un movimiento rígido sobre una figura, se obtiene otra que tiene la misma forma y dimensiones que la inicial, pero se encuentra colocada en una posición distinta del plano. Existen tres tipos de isometrías: traslaciones, giros y simetrías.
� Traslaciones
Una traslación queda determinada dando el vector que indica la dirección en que se desplazan los puntos y la distancia a la que lo hacen (módulo del vector: distancia entre el origen y el ex-tremo). Por ejemplo, el triángulo ABC de la figura se transforma en el triángulo A’B’C’ mediante la traslación dada por el vector u.
� Giros
Un giro queda determinado dando un punto O, que será el centro del giro y permanecerá fijo, y la amplitud α de un ángulo orientado, que indica el ángulo de giro.
En la figura vemos que el heptágono se ha transformado mediante un giro de 45º alrededor del punto H en el heptá-gono A’B’C’D’E’F’G’.
2419EDUCACIÓN PRIMARIA
� Simetrías
La simetría o reflexión sobre un espejo es el movimiento rígido del plano que se produce fijando una recta r del plano y hallando para cada punto P otro punto P’, de tal manera que la recta r es mediatriz del segmento PP’. La simetría invierte la orientación de las figuras. La recta r se llama eje de simetría.
Estos tres movimientos pueden aplicarse sucesivamente sobre una figura dando lugar a compo-siciones de movimientos. Por ejemplo, una simetría con deslizamiento es la composición de una simetría y una traslación.
Podemos definir la relación de congruencia de figuras de la siguiente forma: dos figuras son con-gruentes si, y solo si, una es la transformación de la otra mediante un movimiento rígido (es decir, tienen la misma forma y el mismo tamaño).
Los movimientos del plano dan lugar a frisos y mosaicos, que son recubrimientos del plano realiza-dos a partir de una figura básica que se repite indefinidamente cubriendo el plano sin dejar huecos ni solapamientos. Estos patrones geométricos se utilizan como motivos decorativos en azulejos, cenefas, alfombras, etc.
X Homotecias y semejanzas
Las homotecias y semejanzas no son movimientos, porque conservan los ángulos, pero no las dis-tancias. Es decir, las figuras transformadas tienen la misma forma que las originales, pero distinto tamaño.
Una homotecia de centro O y razón k, es la transformación que hace corresponder a cada punto P otro punto P’, alineado con O y P, de forma que OP’ = k · OP
Decimos que dos polígonos son semejantes, cuando cada ángulo y su transformado tienen la mis-ma amplitud y cada lado y su transformado son proporcionales de razón k (razón de semejanza).
En la figura vemos el cuadrilátero transfor-mado mediante una homotecia de razón k=2 (OP’ = 2 · OP). El cuadrilátero A’B’C’D’ tiene los ángulos iguales que el ABCD y sus lados miden el doble.
20 TEMARIO
Las semejanzas se utilizan para elaborar planos, mapas, maquetas, fotocopias, etc. La escala es la razón de semejanza entre la figura original y su representación.
Plano de situación. Escala: 1:200.000 1 cm sobre el mapa equivale
a 200.000 cm = 2 Km sobre el terreno.
2.5 Representación geométrica
La didáctica de las matemáticas recomienda que se utilicen representaciones y modelos, físicos o gráficos, de los conceptos geométricos que permitan a los alumnos observar, medir, manipular, construir, transformar, etc.
Para elegir una buena representación o modelo de un concepto, situación o problema concreto, tenemos que tener en cuenta dos factores:
� Que el modelo sea una representación lo más fiel posible del concepto o situación.
� Que los alumnos interpreten la representación con facilidad y le den el significado conceptual que el maestro pretende.
Las representaciones que son demasiado complicadas para los estudiantes, las que solo transmiten los conceptos de forma parcial o las que sugieren ideas equivocadas son totalmente inadecuadas para la enseñanza de la geometría en cualquier nivel.
En Primaria se utilizan numerosos tipos de representación geométrica: dibujos, geoplanos, cuadrí-culas, figuras, poliedros, plegado de papel, puzles, planos, mapas, applets de java, recursos informá-ticos, etc.
Los gráficos o dibujos son probablemente el medio de representación geométrico más extendido en el aula y, desde luego, en los libros de texto. Sin embargo, los dibujos pueden ser un obstáculo en la adquisición de conceptos geométricos en algunos casos.
2421EDUCACIÓN PRIMARIA
X Representación de estereotipos
Existe una tendencia a usar estereotipos para representar figuras u objetos que provocan una identi-ficación entre el objeto geométrico y su representación, lo que puede llevar a los alumnos a crearse ideas erróneas.
La posición fija de las figuras suele ser uno de los estereotipos más frecuentes en la representación gráfica, de forma que induce a los alumnos a identificar la forma con la posición.
Ejemplo:
Se tiende a representar siempre los cuadrados apoyados sobre uno de sus lados y los rombos sobre uno de sus vértices, de forma que muchos estudiantes confunden el cuadrado con el rombo si lo ven girado respecto de la posición habitual.
¿Las dos figuras son cuadrados?
X Representación de objetos tridimensionales
Según Gutiérrez (1994), cuando representamos un objeto tridimensional mediante una figura plana, necesitamos que el alumno realice dos acciones para comprender dicha representación:
1. Que interprete la figura plana para convertirla en un objeto tridimensional.
2. Que convierta la imagen mental tridimensional que se ha construido en el concepto geométrico estudiado.
Es decir, necesitamos contar con la capacidad de visión espacial de los estudiantes y con la habilidad de dibujar figuras tridimensionales o de interpretar los dibujos realizados por otras personas.
Pasos para realizar una representación plana del cubo.
Es importante que desde Primaria se trabaje el paso del plano al espacio en los dos sentidos posi-bles: representación plana de figuras tridimensionales y construcción de sólidos, a partir de su repre-sentación plana. Pero no hay que olvidar que, si los alumnos tienen dificultades para interpretar los dibujos, podemos utilizar otros recursos para representar los conceptos tridimensionales: modelos físicos, representaciones virtuales que permiten el movimiento, etc.
22 TEMARIO
3Estrategias de intervención educativaCon la entrada en vigor de la LOMCE, que modifica la LOE, se insiste en la necesidad de utilizar la educación como clave en la transformación de la sociedad, que cada vez más, requiere de ciuda-danos más activos y deseosos de participar en la misma. Para ello, se reclama la adquisición, desde edades tempranas, de competencias clave a través de un cambio en la metodología empleada hasta ahora. Esta debe contemplar al alumnado como un elemento activo en el proceso de aprendizaje, si queremos conseguir una mejora de la calidad de la educación.
En la Orden ECD/65/2015, de 21 de enero, por la que se describen las relaciones entre las com-petencias, los contenidos y los criterios de evaluación de la Educación Primaria, la Educación Se-cundaria Obligatoria y el Bachillerato, se establece que los métodos docentes deberán favorecer la motivación por aprender procurando todo tipo de ayudas y empleando lo que se conoce por metodologías activas y contextualizadas: Aquellas que faciliten la participación e implicación del alumnado y la adquisición y uso de conocimientos en situaciones reales.
Las metodologías activas han de apoyarse en estructuras de aprendizaje cooperativo, siendo este tipo de estrategias las más adecuadas para la transferibilidad de los aprendizajes. El apren-dizaje por proyectos, los centros de interés, el estudio de casos o el aprendizaje basado en problemas favorecen la participación activa, la experimentación y un aprendizaje funcional que va a facilitar el desarrollo de las competencias, así como la motivación.
La selección y uso de materiales y recursos didácticos constituye un aspecto esencial de la metodo-logía. El profesorado debe implicarse en la elaboración y diseño de diferentes tipos de materiales, adaptados a los distintos niveles y a los diferentes estilos y ritmos de aprendizaje de los alumnos, con el objeto de atender a la diversidad en el aula y personalizar los procesos de construcción de los aprendizajes. Se debe potenciar el uso de una variedad de materiales y recursos, considerando especialmente la integración de las Tecnologías de la Información y la Comunicación en el proceso de enseñanza-aprendizaje que permiten el acceso a recursos virtuales.
2423EDUCACIÓN PRIMARIA
A todo ello, hay que sumarle necesariamente una adecuada coordinación entre los docentes sobre las estrategias metodológicas y didácticas que se utilicen.
La presencia de la geometría en el entorno inmediato es una razón suficiente para justificar su en-señanza y su aprendizaje, pero no es la única. Las personas construyen de manera intuitiva algunas relaciones y conceptos geométricos, producto de su interacción con el espacio; la enseñanza de la geometría debe permitir avanzar en el desarrollo del conocimiento de ese espacio, de tal mane-ra que en un momento dado se puedan manejar mentalmente imágenes de figuras y relaciones geométricas haciendo uso de la capacidad de abstracción. El estudio de la geometría permite al alumno estar en interacción con relaciones que ya no son el espacio físico sino un espacio concep-tualizado y, por lo tanto, en un determinado momento, la validez de las conjeturas que haga sobre las figuras geométricas ya no se comprobarán empíricamente sino que tendrán que apoyarse en razonamientos que obedecen a las reglas de argumentación en matemáticas, en particular, la de-ducción de nuevas propiedades a partir de las que ya conocen.
El aprendizaje de la geometría:
� Se aplica en la realidad (en la vida cotidiana, la arquitectura, la pintura, la escultura, la astronomía, los deportes, la carpintería, etc.).
� Se usa en el lenguaje cotidiano (calles perpendiculares, mesa rectangular, escalera en espiral, etc.).
� Se relaciona con otros contenidos de las matemáticas (un modelo geométrico de la multiplica-ción de números o expresiones algebraicas lo constituye el cálculo del área de rectángulos).
� Permite desarrollar en los alumnos su percepción del espacio, su capacidad de visualización y abstracción, su habilidad para elaborar conjeturas acerca de las relaciones geométricas en una figura o entre varias y su habilidad para argumentar al tratar de validar las conjeturas que hace.
A continuación vamos a ir analizando algunos elementos curriculares que el maestro, como con-ductor del aprendizaje de los alumnos a lo largo de toda la etapa de Educación Primaria, debe tener en cuenta.
3.1 Competencias
� La competencia matemática se desarrolla principalmente en su aspecto de conocimiento y manejo de elementos matemáticos básicos (medidas, símbolos, elementos geométricos, etc.) en situaciones reales o simuladas de la vida cotidiana y la puesta en práctica de procesos de razonamiento que llevan a la solución de los problemas o a la obtención de información. Se trata de que los alumnos sepan aplicar destrezas y actitudes que permiten razonar matemáticamente para dar una mejor respuesta a situaciones de la vida de distinto nivel de complejidad.
� Respecto a las competencias básicas en ciencia y tecnología, el estudio de la geometría con-tribuye al desarrollo de la capacidad de visualización espacial, lo que permite que los alumnos mejoren su capacidad de construir y manipular mentalmente figuras en el plano y el espacio, lo que favorecerá el uso de mapas, planos, elaboración de dibujos, etc.
� El estudio de la geometría puede contribuir al desarrollo de la competencia en comunicación lingüística, propiciando el uso adecuado del vocabulario propio de la geometría, así como la correcta expresión y gusto por emplear con precisión el lenguaje. También se desarrollan ca-pacidades de descripción verbal de los razonamientos y procesos necesarios para resolver los problemas. Igualmente, es necesario saber escuchar las explicaciones de los demás y desarrollar el espíritu crítico para poder rebatir ideas que no se consideren correctas.
� En el estudio de la geometría se desarrolla la competencia digital, ya que una de las recomen-daciones metodológicas es el uso de las TIC y el software de geometría dinámica.
24 TEMARIO
� Las competencias sociales y cívicas se trabajarán mediante el empleo de metodologías de trabajo colaborativo. Esto permite el desarrollo de la capacidad de interacción en grupo, donde los alumnos deberán valorar el trabajo de los demás y contribuir con su propio esfuerzo a la con-secución de logros colectivos que permitirán resolver los problemas y situaciones planteados.
� El estudio de conceptos geométricos contribuye al desarrollo de conciencia y expresiones cul-turales al estar estrechamente relacionado con el desarrollo de capacidades que proporcionan a los alumnos herramientas para construir dibujos, obras tridimensionales y apreciación de recur-sos artísticos que vemos en la pintura, escultura, arquitectura y en la propia naturaleza. También se necesita utilizar herramientas de dibujo y construcción (reglas, compás, medidor de ángulos, plegado de papel, etc.), cuyo manejo resultará muy oportuno en otras áreas relacionadas con esta competencia.
� La necesidad de explicar el proceso de resolución de un problema, la búsqueda de regularida-des, la relación entre las propiedades de los cuerpos, la aplicación de herramientas sencillas para construir procedimientos más complejos, etc.; son aspectos que inciden en el desarrollo de la competencia para aprender a aprender. Comunicar con eficacia los resultados del propio tra-bajo y ser crítico con uno mismo y los demás son también formas de reflexionar sobre el propio aprendizaje.
� Al sentido de iniciativa y espíritu emprendedor se contribuye desde el planteamiento de situaciones que permiten al alumno enfrentarse con éxito a problemas abiertos, en los que debe tomar decisiones que le permitan resolverlos utilizando sus propias estrategias y conocimientos.
3.2 Objetivos
Desde el estudio del bloque de Geometría en la etapa de Educación Primaria se pretenden desarro-llar las siguientes capacidades:
� Utilizar el conocimiento geométrico para comprender, valorar y producir informaciones y men-sajes sobre hechos y situaciones de la vida cotidiana y reconocer su carácter instrumental para otros campos de conocimiento.
� Apreciar el papel de las matemáticas en la vida cotidiana, disfrutar con su uso y reconocer el valor de actitudes como la exploración de distintas alternativas, la conveniencia de la precisión o la perseverancia en la búsqueda de soluciones.
� Conocer, valorar y adquirir seguridad en las propias habilidades matemáticas para afrontar situa-ciones diversas, que permitan disfrutar de los aspectos creativos, estéticos o utilitarios y confiar en sus posibilidades de uso.
� Elaborar y utilizar instrumentos y estrategias personales de cálculo mental y medida, así como procedimientos de orientación espacial, en contextos de resolución de problemas, decidiendo, en cada caso, las ventajas de su uso y valorando la coherencia de los resultados.
� Utilizar de forma adecuada los medios tecnológicos tanto en el cálculo, como en la búsqueda, tratamiento y representación de informaciones diversas.
� Identificar formas geométricas del entorno natural y cultural, utilizando el conocimiento de sus elementos y propiedades para describir la realidad y desarrollar nuevas posibilidades de acción.
3.3 Contenidos
En el área de Matemáticas los elementos, formas y relaciones geométricas se estudian en el Bloque Geometría. Con el estudio de la geometría se pretende que los alumnos aprendan a reconocer e identificar formas y cuerpos geométricos sencillos desde perspectivas diferentes, establecer relacio-nes entre ellos y sus elementos, representar formas y construir y describir los cuerpos.
2425EDUCACIÓN PRIMARIA
Algunos contenidos que se trabajan son:
� La situación en el plano y en el espacio, distancias, ángulos y giros
� Descripción de posiciones y movimientos, en relación a uno mismo y a otros puntos de refe-rencia.
� Uso de vocabulario geométrico para describir itinerarios: líneas abiertas y cerradas; rectas y curvas.
� Interpretación y descripción verbal de croquis de itinerarios y elaboración de los mismos.
� Representación elemental de espacios conocidos: planos y maquetas. Descripción de posicio-nes y movimientos en un contexto topográfico.
� Las líneas como recorrido: rectas y curvas, intersección de rectas y rectas paralelas.
� Ángulos en distintas posiciones.
� Sistema de coordenadas cartesianas. Descripción de posiciones y movimientos por medio de coordenadas, distancias, ángulos, giros...
� La representación elemental del espacio, escalas y gráficas sencillas.
� Utilización de instrumentos de dibujo y programas informáticos para la construcción y explo-ración de formas geométricas.
� Formas planas y espaciales
� Las figuras y sus elementos. Identificación de figuras planas en objetos y espacios cotidianos.
� Identificación de los cuerpos geométricos en objetos familiares. Descripción de su forma, uti-lizando el vocabulario geométrico básico.
� Comparación y clasificación de figuras y cuerpos geométricos con criterios elementales.
� Clasificación de polígonos. Lados y vértices.
� La circunferencia y el círculo.
� Los cuerpos geométricos: cubos, esferas, prismas, pirámides y cilindros. Aristas y caras.
� Construcción de figuras geométricas planas a partir de datos y de cuerpos geométricos par-tiendo de un desarrollo. Exploración de formas geométricas elementales.
� Comparación y clasificación de ángulos.
� Relaciones entre lados y entre ángulos de un triángulo.
� Interés por la precisión en la descripción y representación de formas geométricas.
� Regularidades y simetrías
� Búsqueda de elementos de regularidad en figuras y cuerpos a partir de la manipulación de objetos.
� Interpretación de mensajes que contengan informaciones sobre relaciones espaciales.
� Resolución de problemas geométricos explicando oralmente y por escrito el significado de los datos, la situación planteada, el proceso seguido y las soluciones obtenidas.
� Confianza en las propias posibilidades; curiosidad, interés y constancia en la búsqueda de so-luciones y para utilizar las construcciones geométricas y los objetos y las relaciones espaciales.
� Transformaciones métricas: traslaciones y simetrías.
� Interés por la elaboración y por la presentación cuidadosa de las construcciones geométricas.
� Gusto por compartir los procesos de resolución y los resultados obtenidos. Colaboración acti-va y responsable en el trabajo en equipo.
� Reconocimiento de simetrías en figuras y objetos.
26 TEMARIO
� Trazado de una figura plana simétrica de otra respecto de un elemento dado.
� Introducción a la semejanza: ampliaciones y reducciones.
� Interés y perseverancia en la búsqueda de soluciones ante situaciones de incertidumbre rela-cionadas con la organización y utilización del espacio.
3.4 Orientaciones metodológicas
Las actividades se deben basar en la experiencia, y estar relacionadas con el entorno de los alumnos. Las matemáticas se aprenden utilizándolas en contextos funcionales relacionados con situaciones de la vida diaria para ir adquiriendo progresivamente conocimientos más complejos a partir de ex-periencias y conocimientos previos.
En primero es el entorno escolar, su espacio, tiempo y actividad, la referencia básica en el trabajo matemático. En segundo se amplía al entorno familiar y en tercero a la vida cotidiana del alumno. En estos tres primeros cursos se pretende encontrar contextos que posibiliten la formulación de tareas concretas, prácticas y sustentadas en los intereses y necesidades del alumno y sus vivencias diarias y a la vez faciliten la evaluación y el seguimiento de los progresos en el aprendizaje. En los siguientes cursos el entorno se va ampliando paulatinamente desde la vida cotidiana, al entorno inmediato y al entorno funcional. A partir de cuarto el alumno va desarrollando su capacidad para analizar, asimilar y enfrentarse a situaciones de entornos no tan ligados a su día a día, desplazando el centro desde sí mismo al mundo físico y social que vive, explora, investiga, descubre, lee, describe…
En esta etapa, el conocimiento geométrico y espacial que traen los niños a la escuela debería am-pliarse mediante exploraciones, investigaciones y discusiones sobre figuras y estructuras. Los alum-nos deberían usar sus nociones de ideas geométricas para llegar a ser más competentes para descri-bir, representar su entorno y desplazarse en él.
Deberían comenzar a aprender a representar figuras de dos y tres dimensiones mediante dibujos, bloques, dramatizaciones y palabras; y hacer exploraciones descomponiendo figuras y creando otras nuevas. Su conocimiento de la dirección y de la situación debería perfeccionarse, mediante el lenguaje hablado, dándoles y siguiendo instrucciones en varios pasos para que localicen objetos. La geometría ofrece un aspecto del pensamiento matemático distinto al de los números pero relacio-nado con él.
Cuando los alumnos llegan a familiarizarse con las figuras, las estructuras, la localización y las trans-formaciones, y cuando desarrollan el pensamiento espacial, disponen de un fundamento para com-prender el mundo que les rodea.
La destreza en el razonamiento que los estudiantes desarrollan en esta etapa les permite investigar problemas de creciente complejidad y estudiar propiedades geométricas. El estudio de la geometría requiere pensar y hacer. Poco a poco, los alumnos deberían ir adquiriendo claridad y precisión para describir las propiedades de los objetos geométricos y clasificarlos por estas propiedades en cate-gorías, como rectángulos, triángulos, pirámides o prismas. Pueden desarrollar conocimientos acerca de cómo se desarrollan las figuras geométricas unas con otras, y empezar a articular argumentos geométricos sobre las propiedades de estas figuras. Podrían también explorar el movimiento, la localización y la orientación mediante, por ejemplo, la creación de caminos sobre cuadrículas, o definiendo series de reflexiones y giros para demostrar que dos figuras son congruentes. Cuando los alumnos investigan propiedades, puede conectarse este trabajo con otros temas, especialmente los de medida y números.
Los alumnos deberían acceder al estudio de la geometría, al finalizar esta etapa con un conocimien-to informal sobre puntos, líneas, planos y una variedad de figuras bidimensionales y tridimensiona-les; con experiencia en el dibujo y la visualización de líneas, ángulos, triángulos y otros polígonos; y con nociones intuitivas sobre las figuras, adquiridas a través de los años de interacción con objetos de su vida diaria. Las actividades principales han de ser: investigar relaciones dibujando, midiendo, visualizando, comparando, transformando y clasificando objetos geométricos.
2427EDUCACIÓN PRIMARIA
A continuación se presentan posibles actividades a realizar en el aula, en relación a la geometría, ordenadas según su aumento progresivo de dificultad.
� Reproducción de líneas de diversas formas con una cuerda partiendo de modelos ilustrados.
� Representación e identificación de líneas rectas, curvas y poligonales.
� Representación e identificación de líneas abiertas y cerradas.
� Identificación de polígonos, sus lados y vértices.
� Reconocimiento e identificación de formas poligonales fundamentales, sus lados y vértices.
� Representación de formas geométricas en cuadrícula.
� Representación de figuras simétricas en cuadrícula.
� Identificación de prismas, cubos, cilindros, conos y esferas.
� Determinación de caminos en una cuadrícula y de sus medidas.
� Comentarios libres y de carácter verbal por parte del alumnado, en situación colectiva, sobre ¿qué sabemos de las líneas y formas geométricas? y ¿qué nos interesa o nos gustaría saber?
� Repaso, por cada uno de los grupos, de los contenidos previos de la unidad didáctica, expresión de los procesos, con mayor incidencia en la elaboración de croquis sencillos y en los tipos y clases de líneas.
� Identificación y sencilla descripción de los objetos del entorno próximo, y relacionados con figu-ras geométricas y sus elementos.
� Descripción verbal de puntos y sistemas de referencia distintos de sí mismos.
� Realizar desplazamientos, ángulos, giros, semirrectas, líneas horizontales y verticales.
� Experimentación con el propio cuerpo de todos los elementos de los cuerpos geométricos aprendidos.
� Comentario libre y de forma verbal por parte del alumnado, en situación de gran grupo, sobre ¿qué sabemos de figuras geométricas? ¿qué dificultades nos hemos encontrado hasta ahora?
� Representación gráfica de los movimientos en el espacio real: desplazamientos, giros, rotaciones y cambios de dirección.
� Realización de actividades psicomotoras de desplazamiento de actividades de tipo manipulador, como las construcciones con geotiras en el geoplano y mediante plegado de papel.
� Identificación y sencilla descripción de los objetos del entorno próximo relacionados con figuras geométricas y sus elementos.
� Desarrollo de representaciones gráficas de movimientos en el espacio real, tomando como re-ferencia el cuadriculado del aula (baldosa de clase) y el cuadriculado del gráfico donde se va a reproducir.
� Dibujo, construcción y clasificación de polígonos y cuadriláteros.
� Identificación de las figuras planas estudiadas, descubriendo sus elementos y propiedades.
� Representación y dibujo de figuras planas en posiciones no habituales.
� Manejo en pequeño grupo de los materiales de dibujo: escuadra, cartabón, transportador, com-pás y del plegado del papel y geoplano. Desarrollo y construcción de todas las figuras y cuerpos geométricos aprendidos.
� Elaboración de croquis y planos de complejidad creciente. Iniciación de sencillos trabajos a es-cala.
� Inventar y resolver problemas con figuras y cuerpos geométricos.
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3.5 Evaluación
Nuestro sistema educativo está estructurado por etapas y, dentro de estas, por cursos. Conviene que al término, en cada curso, seamos capaces de constatar el avance realizado por los alumnos. Las pruebas que se diseñen para tal fin deben ser acordes con los contenidos tratados a lo largo del cur-so y al mismo tiempo no hay que olvidar que deben servir para evaluar cuantitativamente el grado de consecución de los objetivos propuestos al inicio. Es necesario tener muy claro cuál es el nivel que se pretende alcanzar con los alumnos, qué tipologías de problemas se consideran específicas y qué estrategias generales o procesos heurísticos se quiere que los alumnos practiquen. Sobre la base de todo esto se seleccionan los ítems que se crean convenientes y se determina cómo se ha de valorar cada pregunta.
A modo de ejemplo, se proponen pruebas que podrían plantearse en momentos diferentes del primer curso. En ellas se recogen tres tipos de actividades:
� De reformulación.
� Actividades sencillas de descripción y de reconocimiento de objetos y espacios.
� Problemas de construcción.
Al igual que en los demás cursos, los alumnos deben realizar individualmente las pruebas de evalua-ción, intentando que los niños las perciban como una sesión más y no se sientan evaluados.
El tipo de actividades que en estas sesiones aparecen son del estilo de las realizadas durante el curso; no obstante, son un modelo que puede ser modificado por el profesorado, aunque se recomienda mantener la estructura. Cada una de ellas puede constar de:
� Un ejercicio en el que deben rellenar huecos, para lo que es necesaria tanto la comprensión lectora como el cálculo mental.
� Una actividad en la que se presenta una situación, a partir de la cual el alumno debe analizar y determinar qué se le pide en cada caso.
� Un problema representativo de este curso.
2429EDUCACIÓN PRIMARIA
CONCLUSIÓN
En este tema hemos empezado estudiando dos de las teorías más importantes sobre el desarrollo de la percepción espacial y la evolución de los conceptos geométricos: la teoría de Piaget y el mo-delo de los niveles de Van Hiele. Luego, hemos visto una descripción del bloque de Geometría que se incluye en el currículo de Educación Primaria.
Hemos introducido las definiciones y conceptos básicos sobre los elementos geométricos, las for-mas y figuras en el plano y el espacio y las relaciones que pueden establecerse entre ellas, dete-niéndonos en los movimientos rígidos del plano, homotecias y semejanzas. Hemos estudiado las distintas formas de clasificación y representación, así como posibles dificultades que pueden surgir durante su aprendizaje.
Por último, hemos realizado algunas recomendaciones sobre la metodología y formas de evaluación que pueden utilizarse para la enseñanza de la geometría en Primaria.
Podemos concluir que el estudio de la geometría permite desarrollar en los alumnos su percepción del espacio, su capacidad de visualización y abstracción, su habilidad para elaborar conjeturas acerca de las relaciones geométricas en una figura o entre varias y su habilidad para argumentar al tratar de validar las conjeturas que hace. Es indudable que el aspecto formativo de la enseñanza de la geometría es tan relevante como el aspecto informativo ya que los procesos de pensamiento que los alumnos desarrollan son tan importantes como el aprendizaje de los contenidos geométricos.
30 TEMARIO
BIBLIOGRAFÍA
� BIBLIOGRAFÍA REFERIDA
CAPARRÓS, L. (2014): Competencias clave: de la teoria a la práctica. Ministerio de Educación cultura y deporte. Área de educación.
CORBERÁN, R. M. (2014): Didáctica de la geometría: el modelo Van Hiele. Valencia: Publicacions de la Uni-versitat de valencia.
GODINO, J.; RUIZ, F. (2002): Geometría y su didáctica para maestros. Matemáticas para Maestros. Proyecto Edumat-Maestros.
Accesible en: http://www.ugr.es/~jgodino/manual/matematicas_maestros.pdf
GUTIÉRREZ, A. (1994): Las representaciones planas de cuerpos tridimensionales en la enseñanza de la geo-metría espacial. Revista EMA, vol. 3, 3, 193-220.
Accesible en: http://www.uv.es/Angel.Gutierrez/archivos1/textospdf/Gut98a.pdf
VVAA. (2014): Actividades prácticas de matemáticas y su didáctica 1 y 2: grado maestro de primaria. Ma-drid: Editorial CCS.
� BIBLIOGRAFÍA COMENTADA
ALSINA, C., BURGUES, C., Y FORTUNY, J. M. (1987): Invitación a la didáctica de la geometría. Madrid. Síntesis.
ALSINA, C., BURGUES, C., Y FORTUNY, J. M. (1991): Materiales para construir la geometría. Madrid. Sín-tesis.
Estos dos libros son referencia obligada para un maestro que imparta geometría en la enseñanza obligato-ria. Presenta materiales y actividades.
CASTRO, E. (Ed.) (2001): Didáctica de la matemática en la Educación Primaria. Madrid. Síntesis.Es un manual que recoge todos los contenidos de didáctica de matemáticas que un maestro debe cono-cer. Dedica varios capítulos a la geometría: elementos geométricos, formas planas y espaciales; transfor-maciones.
CHAMORRO, M. C. (2003): Didáctica de las matemáticas para Primaria. Madrid. Es un manual que recoge todos los contenidos de didáctica de matemáticas que un maestro debe cono-cer. Dedica varios capítulos a la geometría.
HOLLOWAY, G. E. T. (1982): Concepción del espacio en el niño según Piaget. Buenos Aires. Paidós.En este libro se expone la teoría de Piaget acerca de las relaciones espaciales y se explica cómo los niños van construyendo las relaciones topológicas, proyectivas y euclidianas.
NORTES, A. (1993): Matemáticas y su didáctica. Murcia. Tema-DM.Es un manual que recoge todos los contenidos de matemáticas que un maestro debe conocer. Reco-mendado para recordar definiciones y relaciones geométricas. También tiene una parte final dedicada a la didáctica.
2431EDUCACIÓN PRIMARIA
RIZO, C.; CAMPISTROUS, L. (2007): «Geometría dinámica en la escuela, ¿mito o realidad?» Uno. Revista de Didáctica de las Matemáticas, 45, 61-79. Barcelona. Graó.
En este artículo se analiza la enseñanza de la geometría desde una perspectiva dinámica, frente a la estática más clásica. Se hacen propuestas para introducirla en el aula desde edades tempranas.
VANCLEAVE, J (2015): Enseña matemáticas de forma divertida. Mexico: Limusa.En este libro proporciona un importante apoyo didáctico dirigido a que los alumnos puedan desarrollar un conocimiento básico de las matemáticas y de esta manera desarrollen el interés por la investigación científica. Es una guía de trabajo donde paso a paso a través de experimentos y explicaciones se inicia a los alumnos al estudio de la matemática a través de sus componentes, como son, números y operacio-nes, alberga, mediciones, geometría, análisis de datos y probabilidad. Se incluyen ilustraciones, ejercicios y ejemplos que facilitarán el proceso de enseñanza-aprendizaje.
VARIOS. (1994): «Geometría en todos los niveles y según el nivel». Uno. Revista de Didáctica de las Mate-máticas, 2. Barcelona. Graó.
Número monográfico dedicado a la enseñanza de la geometría. Puede ampliar el epígrafe 1, en concreto la teoría de los niveles de Van Hiele. También hay un artículo dedicado a las representaciones gráficas en resolución de problemas geométricos.
� WEBGRAFÍA
http://www.ugr.es/~jgodino/edumat-maestros/
http://www.peremarques.net/
http://www.astroseti.org/articulo/4163/
http://www.geup.net
http://www.geolay.com´
http://www.ugr.es/~jgodino/edumat-maestros/
2433EDUCACIÓN PRIMARIA
RESUMEN
1.Evolución de la percepción espacial en la Educación Primaria
1.1.El desarrollo de los conceptos geométricos. Teoría de Piaget
Piaget distingue entre percepción e interpretación. Los niños en su desarrollo geométrico pasan por dos estadios: sensorio-motor y operaciones concretas. Las propiedades geométricas que primero perciben son las topológicas, luego las proyecti-vas y por último las euclídeas.
1.2.El modelo de niveles de Van Hiele
Consta de cinco niveles que son secuenciales y no dependen de la edad, sino de las experiencias geométricas realizadas. Si a un alumno de un nivel le planteamos actividades propias de un nivel superior, solo lograremos un aprendizaje memo-rístico. En Primaria normalmente encontramos alumnos en el nivel 0, visualización, y en nivel 1, análisis.
1.3.El aprendizaje de geometría en la Educación Primaria
En el curriculo que establece las ensenanzas de la Educa-cion Primaria, encontramos dentro del area de Matematicas los contenidos organizados en bloques: uno de ellos corres-ponde a Geometria. El objetivo general del estudio de este bloque de conocimientos es que el alumnado aprenda sobre formas y estructuras geometricas. La geometria es describir, analizar propiedades, clasificar y razonar, y no solo definir. El aprendizaje de la geometria requiere pensar y hacer, y debe ofrecer continuas oportunidades para clasificar de acuerdo a criterios libremente elegidos, construir, dibujar, modelizar, medir, desarrollando la capacidad para visualizar relaciones geometricas.
2.Elementos, formas y relaciones geométricas en el entorno: clasificación y representaciónLa geometría surgió de la necesidad de los hombres de re-solver problemas como: realizar medidas de terrenos, cons-trucciones, ornamentación, esculturas, etc. Los elementos y formas geométricas son modelos que podemos encontrar también en la naturaleza y el arte.
2.1.Elementos geométricos
Definiciones intuitivas a conceptos del plano (punto, recta, segmento, semirrecta, ángulo) y del espacio (plano, semipla-no, semiespacio, ángulo diedro).
2.2.Formas geométricas en el plano
Definiciones de línea poligonal, perímetro, polígono y sus elementos.
Clasificaciones de triángulos (según sus lados y según sus ángulos) y cuadriláteros (según el paralelismo de sus lados). Definición de curva, circunferencia y círculo.
2.3.Figuras geométricas en el espacio
Definiciones de superficie cerrada simple, sólido, esfera, po-liedros y sus clasificaciones, poliedros regulares (tetraedro, octaedro, icosaedro, cubo, dodecaedro), prismas y pirámides (C+V-A = 2), conos y cilindros (rectos y oblicuos).
2.4.Relaciones geométricas
Es importante no quedarse en la descripción de las figuras y sus propiedades, también hay que establecer relaciones entre ellas de forma que proporcionemos a los niños las experien-cias necesarias para progresar en su desarrollo geométrico y poder alcanzar el nivel 2 de Van Hiele.
Movimientos rígidos del plano (traslaciones, giros y sime-trías): conservan los ángulos y las distancias. Definición de congruencia de figuras. Frisos y mosaicos son recubrimientos del plano.
Homotecias y semejanzas: conservan los ángulos pero no las distancias. Se aplican en mapas, planos, maquetas, etc.
2.5.Representación geométrica
Los gráficos o dibujos son probablemente el medio de repre-sentación geométrico más extendido. Sin embargo, los dibu-jos pueden ser un obstáculo en la adquisición de conceptos geométricos en algunos casos: representación de estereo-tipos (como asociar las figuras geométricas a determinadas posiciones), dificultades en la representación plana de figuras tridimensionales.
3.Estrategias de intervención educativaEn el currículo por el que se establecen las enseñanzas de la Educación Primaria, el estudio de la geometría es describir, analizar propiedades, clasificar y razonar, y no solo definir. El aprendizaje de la geometría requiere pensar y hacer, y debe ofrecer continuas oportunidades para clasificar de acuerdo a criterios libremente elegidos, construir, dibujar, modelizar, medir, desarrollando la capacidad para visualizar relaciones geométricas.
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3.1. Competencias
De manera más específica, el conocimiento geométrico y es-pacial contribuye directamente a la adquisición de la compe-tencia matemática en su aspecto de conocimiento y manejo de elementos matemáticos básicos (medidas, símbolos, ele-mentos geométricos, etc.) en situaciones reales o simuladas de la vida cotidiana y en la puesta en práctica de procesos de razonamiento que llevan a la solución de los problemas o a la obtención de información.
3.2.Objetivos
Se enumeran algunos objetivos relacionados con el conoci-miento geométrico y espacial.
3.3.Contenidos
En el área de Matemáticas los elementos, formas y relaciones geométricas se estudian en el Bloque 4: Geometría. Con el estudio de la geometría se pretende que los alumnos apren-dan a reconocer e identificar formas y cuerpos geométricos sencillos desde perspectivas diferentes, establecer relaciones entre ellos y sus elementos, representar formas y construir y describir los cuerpos.
3.4.Orientaciones metodológicas
En esta etapa, el conocimiento geométrico y espacial que traen los niños a la escuela debería ampliarse mediante ex-ploraciones, investigaciones y discusiones sobre figuras y es-tructuras. Los alumnos deberían usar sus nociones de ideas geométricas para llegar a ser más competentes para describir, representar su entorno y desplazarse en él.
3.5.Evaluación
Nuestro sistema educativo está estructurado por etapas y, dentro de estas, por cursos. Conviene que al término, en cada curso, seamos capaces de constatar el avance realizado por los alumnos. Las pruebas que se diseñen para tal fin deben ser acordes con los contenidos tratados a lo largo del curso y al mismo tiempo no hay que olvidar que deben servir para evaluar cuantitativamente el grado de consecución de los ob-jetivos propuestos al inicio.
