1

Temat 1. Ciało stałe. Sie� krystaliczna doskonała. Symetrie kryształów.

1.1. Podstawowe poj�cia Definicja 1.1. Ciało stałe, to ciało w którym atomy znajduj� si� w ustalonych pozycjach wzgl�dem siebie, wyznaczaj�c okre�lon� sie� geometryczn�. Dla ciał stałych mo�na wprowadzi� poj�cie poło�e� w�złowych (równowagowych), wokół których atomy wykonuj� drgania. Ciało stałe pod wpływem niewielkich sił skr�caj�cych odkształca si� spr��y�cie, tzn. posiada spr��ysto�� postaci. Fizyka ciała stałego zajmuje si� głównie kryształami.

-14-12-10-8-6-4-202468

101214

0 1 2 3 4 5 6 7

R [10-10 m]

U -

eneg

ia [e

V]

energia odpychania(2,4 · 104) exp(-R /0,30) eV

energia kulombowska(25,2/R ) eV

energiacałkowita

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

8

0 1 2 3 4 5 6 7

R [10-10 m]

F -

siła

[eV

/10-1

0 m]

siła odpychania

siła przyci�gania(kulombowska)

siławypadkowa

r 0 - odległo��równowagowa

Rys. 1.1. Wykres energii oraz siły przypadaj�cej na cz�steczk� w krysztale KCl od odległo�ci mi�dzy jonami; zaznaczony jest udział energii kulombowskiej i energii odpychania. Na podstawie [2].

Definicja 1.2 Kryształ – ciało, w którym poło�enia w�złowe atomów tworz� periodycznie uporz�dkowan� sie� geometryczn�. Definicja 1.3 Polikryształ – rzeczywiste kryształy zwykle s� zlepkiem monokryształów ró�ni�cych si� orientacj� przestrzenn�. W warstwie przej�ciowej mi�dzy poszczególnymi monokryształami powstaj� liczne dyslokacje.

2

Definicja 1.4 Ciało amorficzne – ciało stałe niekrystaliczne, tzn. ciało w którym nie wyst�puje periodyczne uporz�dkowania dalekiego zasi�gu. Mo�liwy jest pewien stopie� uporz�dkowania krótkozasi�gowego.

a). Struktura monokryształu. b). Struktura polikryształu. c). Struktura ciała amorficznego. Rys. 1.2. Struktura ciał stałych o ró�nym stopniu uporz�dkowania. Definicja 1.5 Krystalografia – nauka zajmuj�ca si� zastosowaniem matematycznych praw symetrii do opisu kryształów. Istnienie periodycznego mikroskopowego uporz�dkowania pocz�tkowo było tylko hipotez�. Przełomowe odkrycia: � XVIII wiek – mineralodzy zauwa�yli, �e wska�niki opisuj�ce kierunki wszystkich płaszczyzn

kryształu s� liczbami całkowitymi. � Na pocz�tku XX wieku Max von Laue (1912) oraz William Henry Bragg i William Lawrence

Bragg (1913) stworzyli podstawy bada� mikroskopowej struktury kryształów na podstawie dyfrakcji promieni rentgenowskich na kryształach.

Definicja 1.6 Sie� Bravais’go (zwana tak�e sieci� prost�) okre�la charakter okresowego uporz�dkowania w przestrzeni powtarzaj�cych si� elementów strukturalnych kryształu. Elementami tymi mog� by� pojedyncze atomy, grupy atomów, molekuły, jony, itp. Istniej� dwie równowa�ne definicje sieci Bravais’go: 1. Sie� Bravais’go jest dyskretnym, niesko�czonym zbiorem punktów przestrzeni,

uporz�dkowanych w ten sposób, �e przy obserwacji układu z dowolnego nale��cego do� punktu R wzajemne rozmieszczenie punktów układu i jego orientacja s� zawsze takie same.

2. Trójwymiarowa sie� Bravais’go jest zbiorem tych wszystkich punktów przestrzeni, których wektory wodz�ce maja posta�:

R = n1 a1 + n2 a2 + n3 a3 , (1.1) gdzie współczynniki n1, n2, n3 przybieraj� dowolne warto�ci całkowite, natomiast a1, a2, a3 s� dowoln� trójk� wektorów nie le��cych w jednej płaszczy�nie. Wektory a1, a2, a3 nazywamy wektorami prymitywnymi/podstawowym/bazowymi sieci.

Istniej� trzy rodzaje przekształce� symetrii kryształu przeprowadzaj�cych struktur� krystaliczn� sam� w siebie: 1) translacja, 2) przekształcenia ze stałym punktem sieciowym, tzn. obroty wokół osi, odbicia wzgl�dem płaszczyzny, inwersja (r → –r). 3) kombinacje przekształce� typu 1 i 2.

3

Dwuwymiarowa sie� Bravais’go Przykłady: � Prosta sie� kwadratowa – sie� Bravais’go rozpi�ta na dwóch prostopadłych wektorach a1 i a2

o równej długo�ci � Wierzchołki sze�ciok�tów w strukturze „plastra miodu” nie tworz� płaskiej sieci Bravais’go.

Rys. 1.3. Prosta sie� kwadratowa. Rys. 1.4. Struktura plastra miodu. Dla dowolnej sieci Bravais’go istnieje niesko�czenie wiele układów wektorów bazowych, na których mo�na rozpi�� sie�. Najcz��ciej wybiera si� je tak, by miały najmniejsz� długo�� spo�ród wszystkich mo�liwych trójek wektorów. Trójwymiarowa sie� Bravais’go Istnieje siedem układów wektorów bazowych sieci Bravais’go, które generuj� 7 układów krystalograficznych. Uwzgl�dnienie mo�liwo�ci centrowania �cian i obj�to�ci komórek rozpi�tych na tych wektorach prowadzi do skonstruowania 14-tu mo�liwych sieci Bravais’go. Tylko niektóre rodzaje centrowania s� u�yteczne dla danego układu wektorów bazowych – przykładowo układ tetragonalny centrowany w podstawie jest równowa�ny jest równowa�ny prymitywnej sieci tetragonalnej o mniejszej komórce elementarnej. 1) układ trójsko�ny (ang. triclinic)

P

2) układ jednosko�ny (ang. monoclinic)

P C 3) układ rombowy (ang. orthorhombic) – wszystkie k�ty s� proste.

P I C F

a1 a2 alternatywny wybór wektorów bazowych

prymitywna komórka elementarna

4

4) układ trygonalny / romboedryczny (ang. rhombohedral)

P

5) układ heksagonalny (ang. hexagonal)

C 6) układ tetragonalny (ang. tetragonal) – wszystkie k�ty s� proste.

P I 7) układ regularny (ang. cubic) – wszystkie k�ty s� proste.

P I F Rys. 1.5. Czterna�cie trójwymiarowych sieci Bravais’go. Oznaczenia: P – komórki proste, I – komórki centrowane w obj�to�ci, F – komórki centrowane �ciennie, C – komórki centrowane w podstawie. Oznaczenia angielskie stosowane dla układu regularnego: SC – simple cubic, BCC – body centered cubic, FCC – face centered cubic. Definicja 1.7 sie� zło�ona lub sie� z baz� – opis poło�e� atomów w krysztale wymaga umieszczenia powtarzalnej grupy atomów w ka�dym w��le sieci Bravais’go. W sieci prostej na jeden w�zeł sieci przypada jeden atom. Definicja 1.8 baza atomowa – jeden atom lub grupa atomów przyporz�dkowana do ka�dego w�zła sieci Bravais’go.

5

Definicja 1.9 struktura krystaliczna = sie� Bravais’go + baza atomowa.

Rys. 1.6. Struktura krystaliczna powstaj�ca przez dodanie bazy do ka�dego w�zła sieci Bravais’go. Definicja 1.10 Komórka elementarna/prymitywna – w wyniku translacji o wszystkie wektory danej sieci Bravais’go wypełnia cał� przestrze� bez luk i nakrywania si�. Komórka elementarna jest komórk� o najmniejszej obj�to�ci. Na komórk� elementarn� przypada zawsze jeden w�zeł sieci. Komórka elementarna nie musi by� równoległo�cianem, nie musi te� zawiera� w�złów sieci w swych wierzchołkach. Wybór komórki elementarnej nie jest jednoznaczny. Definicja 1.11 Oczywista komórka elementarna/prymitywna – jest zawsze równoległo�cianem zbudowanym z podstawowych wektorów translacji a1, a2, a3 sieci Bravais’go, tzn. jest zbiorem punktów postaci: r = x1 a1 + x2 a2 + x2 a2 , (1.2) gdzie x1, x2, x3 ∈ [0; 1].

Rys. 1.7. Jeden z mo�liwych wyborów komórki elementarnej w płaskiej strukturze typu „plaster miodu”.

xa1

a2

a3

y

z

komórkaelementarna

komórkaprosta / umowna

Rys. 1.8. Jeden z mo�liwych wyborów wektorów prymitywnych w regularnej sieci płasko centrowanej FCC. Je�li wyj�ciow� sie� regularn� generuj� wektory xa , ya , za , to jako wektory prymitywne mo�na wybra�:

)ˆˆ(21 yxa1 += a , )ˆˆ(

21 zya2 += a ,

)ˆˆ(21 zxa3 += a .

na czerwono oznaczono wektory sieci Bravais’go

dwuatomowa baza

komórka elementarna

sie� Bravais’go baza (dwa ró�ne jony)

struktura krystaliczna

+ =

6

a) xa1

a2

a3

y

z

b)

a1

y

x

z

a2a3

Rys. 1.9. Dwa z mo�liwych sposobów wyboru wektorów prymitywnych w regularnej sieci centrowanej obj�to�ciowo BCC. Je�li wyj�ciow� sie� regularn� generuj� wektory xa , ya , za , to

jako wektory prymitywne mo�na wybra�: (a) xa1 ˆa= , ya2 ˆa= , )ˆˆˆ(21 zyxa3 ++= a albo (b)

)ˆˆˆ(21 zyxa1 −+= a , )ˆˆˆ(

21 zyxa2 ++−= a , )ˆˆˆ(

21 zyxa3 +−= a .

Definicja 1.12 Liczba koordynacyjna – liczba najbli�szych s�siadów jednego punktu sieci Bravais’go. Ze wzgl�du na okresowo�� sieci ka�dy punkt ma tak� sama liczb� najbli�szych s�siadów. Przykładowo prosta sie� regularna ma liczb� koordynacyjn� równ� 6, w strukturze FCC liczba koordynacyjna wynosi 12, w strukturze BCC wynosi 8. Definicja 1.13 stałe sieci – rozmiary komórki elementarnej. Wad� komórki prymitywnej zbudowanej na wektorach sieci Bravais’go jest brak pełnej symetrii sieci. Definicja 1.14 komórka elementarna Wignera-Seitza – komórka, która dobrze odzwierciedla symetri� sieci i zawiera zawsze tylko jeden w�zeł. Budowa: ustalony w�zeł sieci ł�czy si� ze wszystkimi jego s�siadami (nie koniecznie najbli�szymi), a otrzymane odcinki przepoławia si� płaszczyznami normalnymi. Fragmenty tych płaszczyzn ł�cz�c si� tworz� wielo�cian, w �rodku którego znajduje si� wybrany w�zeł.

Rys. 1.10. Przykład budowy komórki Wignera-Seitza dla dwuwymiarowej sieci uko�nej.

7

Rys. 1.11. Komórka Wignera-Seitza sieci BCC w kształcie o�mio�cianu �ci�tego (14 �cian). Otaczaj�cy sze�cian jest komórk� umown� z punktami sieciowymi we wszystkich wierzchołkach i w jednym punkcie w �rodku sze�cianu (nie pokazany na rysunku) [1].

Niektóre struktury krystaliczne s� na tyle cz�sto spotykane, �e otrzymały nazwy wywodz�ce si� od najpopularniejszych przedstawicieli. W szczególno�ci s� to: � Struktura chlorku sodu (Rys. 1.12) – sie� regularna centrowana powierzchniowo. Jony sodu i

chloru s� usytuowane na przemian w pozycjach tworz�cych sie� kubiczn� prost�. Inne przykłady kryształów o tej strukturze: LiF, PbS, AgBr, MnO,

� Struktura diamentu (Rys. 1.13) – układ dwóch sieci regularnych centrowanych powierzchniowo przesuni�tych wzdłu� głównej przek�tnej sze�cianu o jedn� czwart� jej długo�ci. We wszystkich w�złach tej sieci znajduje si� atomy jednego rodzaju. Ka�dy atom otoczony jest czterema najbli�szymi s�siadami tworz�cymi tetraedr. Inne przykłady kryształów o tej strukturze: Si, Ge, Pb.

� Struktura blendy cynkowej ZnS (Rys. 1.14) – podobna do struktury diamentu ale dwie sieci FCC s� zbudowane z innych atomów. W tej strukturze krystalizuje wiele zwi�zków zło�onych z atomów grup III i V, np.: GaAs, GaP, InSb.

� Struktura heksagonalna o najg�stszym upakowaniu HCP (ang. Hexagonal Close Packed) – nie jest to sie� Bravais’go, lecz składa si� z dwóch przesuni�tych heksagonalnych sieci Bravais’go (Rys. 1.15). W tej strukturze krystalizuj� m.in.: Zn, Cd, Be, Mg, Re.

Rys. 1.12. Struktura chlorku sodu [2].

8

a) poło�enia atomów zrzutowane na �cian� sze�cianu komórki umownej. W�zły 0 i ½ tworz� sie� FCC, w�zły ¼ i ¾ tworz� drug� przesuni�t� sie� FCC.

b) układ atomów w sze�ciennej komórce umownej.

Rys. 1.13. Struktura diamentu – układ dwóch sieci regularnych centrowanych powierzchniowo przesuni�tych wzdłu� głównej przek�tnej sze�cianu o jedn� czwart� jej długo�ci [2].

Rys. 1.14. Struktura blendy cynkowej – analogiczna jak struktura diamentu ale dwie sieci FCC s� obsadzone przez ró�ne jony.

a1 a2

a3

a) układ atomów w kolejnych warstwach. b) dwie podsieci heksagonalne przesuni�te

o wektor 321 aaar21

31

32

++= .

Rys. 1.15. Struktura HCP - heksagonalna o najg�stszym upakowaniu.

9

Układ atomów w krysztale mo�e wykazywa� pewn� symetri� [4]: 1. Odbicie – na przykład symetria zwierciadlana wzgl�dem płaszczyzny yz jest okre�lona przez

transformacj� współrz�dnych: x' = -x, y' = y, z' = z. Obecno�� płaszczyzny zwierciadlanej jest oznaczana symbolem m.

2. Inwersja – odbicie wzgl�dem punktu opisane przez transformacj� współrz�dnych: x' = -x, y' = -y, z' = -z. Inwersja jest oznaczana symbolem 1.

3. Obroty – obrót wokół pełnej osi o zadany k�t prowadzi do układu identycznego z pocz�tkowym. Liczba takich obrotów składaj�cych si� na k�t pełny nazywana jest krotno�ci� osi. Oprócz banalnego przypadku obrotu o 360° w kryształach idealnych mo�liwe s� osie dwu-, trój-, cztero- i sze�ciokrotne oznaczane liczbami 2, 3, 4 i 6.

4. Obroty inwersyjne – obrót po którym nast�puje inwersja. Osie obrotów inwersyjnych s� oznaczane symbolami 2 , 3 , 4 , 6 .

Definicja 1.15 krystalograficzne grupy punktowe – kombinacje wymienionych powy�ej elementów symetrii (bez translacji). Istniej� 32 ró�ne grupy punktowe. Mi�dzynarodowy system oznaczania grup punktowych Jednym z najpopularniejszych sposobów oznaczania grup punktowych jest okre�lenie zbioru generatorów grupy symetrii, np. 4mm oznacza o� czterokrotn� i dwie płaszczyzny zwierciadlane. Generatory to minimalny zbiór elementów symetrii, z których mo�na odtworzy� wszystkie elementy symetrii. Obowi�zuj� reguły: � m jest preferowane przed 2 , � płaszczyzna zwierciadlana prostopadła do osi symetrii jest zapisywana jako 2/m, � dwa niezale�ne zespoły płaszczyzn zwierciadlanych oznaczamy mm. Tabela 1.1. Wykaz wszystkich grup punktowych. Układ krystalograficzny

Grupy punktowe

Trójsko�ny 1, 1 Jednosko�ny 2, m, 2/m Rombowy 222, mm2 , mmm Tetragonalny 4, 4 , 4/m, 422, 4mm, m24 , 4/mmm Trygonalny 3, 3 , 32, 3m, m3 Heksagonalny 6, 6 , 6/m, 622, 6mm, m26 , 6/mmm Regularny 23, m3, 432, m34 , m3m

1.2. Znaczenie symetrii o�rodków Liczne wła�ciwo�ci fizyczne kryształów s� opisane tensorami ró�nej rangi. Na symetri�

tensora wynikaj�c� z natury opisywanego zjawiska nakłada si� symetria własna o�rodka, okre�lona przez grup� punktow�. Przykład 1.1: tensor podatno�ci elektrycznej Wektor polaryzacji elektrycznej w krysztale jest dany wzorem Pi = ε0 χχχχij Ej, (1.3)

10

gdzie ε0 – przenikalno�� elektryczna pró�ni, Ej – składowe wektora nat��enia pola elektrycznego, χχχχij - składowe tensora podatno�ci elektrycznej. Je�eli o�rodek nie wykazuje �adnej symetrii, to tensor χχχχ ma symetri� własn�

χχχχij = χχχχji . (1.4) Je�eli dany o�rodek wykazuje pewn� symetri�, to po dokonaniu transformacji o�rodka przez odpowiedni element symetrii nowy zwi�zek Pi = ε0 χχχχ'ij Ej albo równowa�nie P'i = ε0 χχχχij E'j, (1.5) musi by� to�samy ze zwi�zkiem wyj�ciowym (1.3).

Je�eli d jest macierz� transformacji odpowiadaj�c� danemu elementowi symetrii, to wektory podlegaj� transformacji według wzorów P' = d P, E' = d E, (1.6) natomiast tensor χχχχ zapisany w postaci tablicy 3 × 3 transformuje si� nast�puj�co χχχχ' = d χχχχ dT, (1.7) gdzie dT jest macierz� transponowan� wzgl�dem d.

Nale�y dokona� wszystkich mo�liwych transformacji poprzez elementy symetrii b�d�ce generatorami grupy punktowej oraz wszystkie nieto�same zło�enia tych elementów. W rezultacie otrzymamy układ dwóch lub wi�cej równa� w postaci (1.3), (1.5), … . Rozwi�zanie układu prowadzi do wniosku, �e wraz ze wzrostem symetrii o�rodka zmniejsza si� liczba niezale�nych składowych w opisuj�cym go tensorze (przykłady w Tabeli 1.2). Tabela 1.2. Zmiany postaci tensora polaryzacji elektrycznej ze wzrostem symetrii o�rodka.

grupa 1 grupa 2 (o� 2 || z) grupa 222 grupa m24 6 niezale�nych skł. 4 niezale�ne skł. 3 niezale�ne skł. 2 niezale�ne skł.

���

�

�

���

�

�

χχχχχχχχχ

=

332313

232212

131211

� ���

�

�

���

�

�

=

33

2212

1211

0000

χχχχχ

� ���

�

�

���

�

�

χχ

χ=

33

22

11

000000

� ���

�

�

���

�

�

χχ

χ=

33

11

11

000000

�

Przykład 1.2: Niektóre zjawiska nie mog� w ogóle wyst�powa� w kryształach o specyficznej symetrii – np. tensor liniowego efektu elektro-optycznego zeruje si� w o�rodkach posiadaj�cych �rodek symetrii, np. w grupie punktowej mmm.

Postacie wielu tensorów dla wszystkich grup punktowych s� zebrane w tablicach, np.: Yu.I. Sirotin, M.P.Shaskolskaya, „Fundamentals of Crystal Physics”, Mir Publishers, Moscow 1982.

1.3. Wska�niki płaszczyzn krystalicznych Definicja 1.16 Płaszczyzn� sieciow� nazywamy dowoln� płaszczyzn� zawieraj�c� co najmniej trzy niewspółliniowe punkty sieciowe. Orientacj� płaszczyzny sieciowej opisuje si� przy u�yciu wska�ników Millera wyznaczanych nast�puj�co: � Znajdujemy współrz�dne h', k', l' przeci�cia płaszczyzny z osiami w jednostkach stałych sieci

a1, a2, a3. � Tworzymy odwrotno�ci 1/h', 1/k', 1/l'. � Znajdujemy wska�niki Millera (h k l) jako trzy najmniejsze liczby całkowite o tym samym

stosunku jak dla odwrotno�ci 1/h', 1/k', 1/l'. � Je�eli np. h' → ∞, to odpowiedni wska�nik Millera zapisujemy h = 0. Ujemny wska�nik np. h

zapisujemy jako h .

11

Rys. 1.16. Przykład wyznaczania wska�ników płaszczyzny sieciowej (634). Dana płaszczyzna przecina osie w punktach wskazywanych przez wektory 2a1, 4a2, 3a3. Odwrotno�ciami wielokrotno�ci wektorów s� liczby 1/2, 1/4, 1/3. Najmniejsze liczby całkowite o tym samym stosunku to 6, 3, 4.

Rys. 1.17. Przykłady wska�ników wa�niejszych płaszczyzn sieciowych. Definicja 1.17 Rodzina płaszczyzn sieciowych – zbiór równoległych i równoodległych płaszczyzn sieciowych, które razem wzi�te zawieraj� wszystkie punkty trójwymiarowej sieci Bravais’go.

1

1

(1 1 0) 0

1

x

z

y

1

1

(111)

1

x

z

y

1

1

(110)

1

y

z

1

1

(010)

1 x

y

z

a1 a2 a3 1 2 3 4

1

2

3

1

2

płaszczyzna sieciowa (6 3 4)

x

12

1.4. Kwazikryształy / quasi-kryształy (ang. quasicrystals) Kwazikryształy zaobserwował po raz pierwszy Dan Shechtman w 1982. W 2011 roku Dan

Shechtman otrzymał za odkrycie kwazikryształów Nagrod� Nobla w dziedzinie chemii. Cech� charakterystyczn� kwazikryształów jest obecno�� elementów symetrii wykluczonych przez klasyczn� krystalografi�. Dotychczas udokumentowano eksperymentalnie wyst�powanie osi symetrii 5-, 8-, 10- i 12-krotnych. Czy kwazikryształ jest kryształem? � Argument za: kwazikryształy wykazuj� wyra�ne dyskretne widmo dyfrakcyjne, co wskazuje na

istnienie uporz�dkowania dalekiego zasi�gu (rys. 1.18). Uporz�dkowanie to ma charakter orientacyjny.

� Argument przeciw: szczelne wypełnienie przestrzeni komórkami o jednym kształcie nie daje mo�liwo�ci zbudowania struktury posiadaj�cej o� 5-, 8-, 10- lub 12-krotn�. W konsekwencji fundamentalne poj�cia klasycznej krystalografii takie jak symetria translacyjna w przestrzeni trójwymiarowej i sie� Bravais’go nie maj� zastosowania do kwazikryształów.

Rys. 1.18. Przykład diagramu dyfrakcyjnego kwazikryształu 3D. �ródło: http://spacecollective.org/michaelerule/5810/Quasicrystal-Diffraction-Patterns Definicja 1.18 (rewizja definicji „kryształu”) Odkrycie kwazikryształów zobligowało Mi�dzynarodow� Uni� Krystalograficzn� do zmiany w 1991 roku dotychczasowej definicji kryształu opartej na translacyjnej symetrii trójwymiarowej sieci. Obecnie za „kryształ” uwa�a si� ka�de ciało wykazuj�ce dyskretny diagram dyfrakcyjny. Ponadto zdefiniowano poj�cie „kryształ aperiodyczny” jako dowolny kryształ, w którym nie mo�na rozwa�a� istnienia trójwymiarowej okresowo�ci sieci [*]. [*] International Union of Crystallography (1992). "Report of the Executive Committee for 1991".

Acta Cryst. (1992), vol. A48 (6), str. 928, doi:10.1107/S0108767392008328. Kwazikryształy mo�na podzieli� na dwa rodzaje: 1) Kwazikryształy trójwymiarowe / ikozaedryczne (ang. icosahedral) - nie wykazuj� okresowo�ci

translacyjnej w �adnych kierunku. 2) Kwazikryształy dwuwymiarowe (ang. polygonal or dihedral quasicrystals), które maj� o� 8-, 10-

albo 12- krotn� i wykazuj� translacyjn� okresowo�� tylko wzdłu� tej osi.

13

Robert Berger i Maciej Mende udowodnili w roku 1966, �e mo�liwe jest szczelne nieokresowe pokrycie płaszczyzny (parkieta�) przy u�yciu kafelków o sko�czonej liczbie kształtów. Najprostsze pokrycie odkrył Roger Penrose w 1973 (ang. Penrose tiling), w którym wymagane s� tylko dwa rodzaje rombów (rys. 1.19). Rozmieszczenie refleksów dyfrakcyjnych generowanych przez kwazikryształy jest charakterystyczne dla aperiodycznych dwuwymiarowych pokry�.

Rys. 1.19. Pokrycie Penrose zło�one z dwóch rodzajów kafelków.

Materiały kwazikrystaliczne

Pierwsze zbadane kwazikryształy zostały znalezione w rosyjskich górach. Prawdopodobnie s� to materiały pochodzenia kosmicznego. W laboratoriach kwazikryształy wytwarza si� od 1984 roku. Kwazikryształy tworz� si� zwykle w trójskładnikowych stopach popularnych pierwiastków, dla przykładu: Al-Cu-Fe, Al-Ni-Co, Al-Pd-Mn.

Pierwsza generacja kwazikryształów była uzyskiwana podczas szybkiego przechłodzenia stopu metali ze stanu ciekłego. Uzyskana w ten sposób struktura jest stanem po�rednim mi�dzy faz� amorficzn� a faz� krystaliczn� a uło�enie atomów nie odpowiada minimum energii swobodnej. Pó�niej otrzymano tak�e stabilne struktury kwazikrystaliczne dla �ci�le okre�lonych składów stopów metali, np. Al0.62(CuFe)0.38.

Struktura i wła�ciwo�ci kwazikryształów s� całkowicie odmienne od struktury i wła�ciwo�ci pierwiastków wchodz�cych w skład stopu. Materiały te wykazuj�: � wysok� wytrzymało�� mechaniczn�, � wyj�tkow� odporno�� na korozj�, � niskie przywieranie. Stal z powłok� kwazikrystaliczn� znalazła ju� zastosowanie do produkcji wysokiej jako�ci ostrzy do golenia oraz igieł lekarskich. Trwaj� prace nad kolejnymi zastosowaniami...