1

İSTANBUL TEKNİK ÜNİVERSİTESİ

FEN EDEBİYAT FAKÜLTESİ

STAJ DEFTERİ

Öğrencinin Fakülte Numarası: 040100531

Öğrencinin Adı ve Soy Adı: Ceren Burçak Dağ

Fakülteye Girdiği Öğretim Yılı: 2011 (ÇAP)

Defterin Ait Olduğu Öğretim Yılı: 2012

2

STAJ KONUSU: BAZI TEMEL FĠZĠKSEL PROBLEMLERĠN COMSOL MULTIPHYSICS

MODELLING SIMULASYON PROGRAMIYLA NÜMERĠK OLARAK ÇÖZÜLMESĠ

STAJ YERİ: KOÇ ÜNĠVERSĠTESĠ MĠKROFOTONĠK ARAġTIRMA LABORATUVARI (KUMRL)

STAJ SÜRESİ: 02-07-2012 ĠLE 27-07-2012 TARĠHLERĠ ARASI 4 HAFTA

STAJ ÇALIŞMA BÖLÜMÜ: FEN FAKÜLTESĠ

STAJ DEFTERİNİN KONTROL VE ONAYI

KONTROL

ADI, SOYADI: ULAġ GÖKAY, PhD ÖĞRENCĠSĠ

KOÇ ÜNĠVERSĠTESĠ MĠKROFOTONĠK ARAġTIRMA LABORATUVARI

İMZASI:

ONAY

ADI, SOYADI: CEREN GEDĠKOĞLU

KOÇ ÜNĠVERSĠTESĠ AraĢtırma ve GeliĢtirmeden Sorumlu Rektör Yardımcısı Ġdari Asistanı

İMZASI:

3

İÇERİK

1. COMSOL MULTIPHYSICS’e GiriĢ

2. Elektrik ve Manyetik bir Alanda OluĢan Lorentz Kuvvetinin Benzetimi

3. Coax bir Kablonun Kapasite Hesabı

4. Coax bir Kablonun Empedans Hesabı

5. Coax bir Kabloda Elektromanyetik Dalganın ĠlerleyiĢi

6. Ġyon Siklotronu Benzetimi

7. Elektrostatik Quadrupole Proton Lensi

8. Elektrostatikte Kullanılan bir Metot olan Method of Images Simulasyonu ve

Ġndüklenen Yüzey Akımının Ġncelenmesi

9. Ekler

10. Referanslar

4

COMSOL MULTIPHYSICS’e GİRİŞ

COMSOL MULTIPHYSICS farklı fiziksel modülleri olan ve bu modülleri birbirine kuple

ederek benzetim yapan bir SEM (Sonlu elemanlar metodu, ing. FEM) programıdır.

Program üzerinde istediğiniz geometriyi oluĢturabilir, geniĢ malzeme kütüphanesinden

oluĢturduğunuz geometri için malzeme atayabilirsiniz. Hatta malzemeyi özellikleri

fonksiyon olarak girerek kendiniz de yaratabilirsiniz. Tek bir fizik ekleyebileceğiniz gibi

birden çok fiziği bir araya getirip bir problemin birçok ayağını düĢünen bir benzetim

tasarlayabilirsiniz.

Bir SEM programı olduğu için COMSOL problemi bölümlere ayırarak çözer. Mesh

dediğimiz bu yapının bölüm geometrisini ve büyüklüğünü istediğiniz gibi seçebilir,

geometrinizin farklı kısımlarına farklı meshler tanımlayabilirsiniz. Ya da COMSOL’un

kullandığınız fiziğe uygun bir meshi otomatik olarak yaratmasını isteyebilirsiniz.

Benzetimi seçtiğiniz fiziğe göre statik, zamana bağlı, frekansa bağlı, öz değer çözümü

Ģeklinde gerçekleĢtirebilir, parametrik benzetimler yapabilirsiniz. Benzetim sonrasında

Sonuçlar kısmında çözümleri 3,2 ya da 1 boyutlu çözüm grupları seçerek tablo ve grafik

haline getirebilirsiniz. Öte yandan sonucu geometriniz üzerinde görsel olarak da

görebilirsiniz. Daha fazla bilgi ve seçenek için COMSOL MULTIPHYSICS’in sitesini1

ziyaret edebilirsiniz.

Bu dokümandaki benzetim programları tüm

COMSOL MULTIPHYSICS 4

versiyonlarıyla gerçekleĢtirilebilir.

Benzetimlerde kullanılan modüller AC/DC

Modülü ve RF Modülüdür.

1 www.comsol.com [1]

5

Elektrik ve Manyetik bir Alanda Oluşan Lorentz Kuvvetinin Benzetimi

1. Teorik Bilgi

Hareket eden yükler akım oluĢturur.

Nasıl durağan bir yük etrafında elektrik alan oluĢturuyorsa, hareketli yüklerin oluĢturduğu akım

da etrafında bir manyetik alan yaratır. Bunu ifade eden yasaya Biot-Savart Yasası denir ve

aĢağıdaki gibi gösterilir.

∫

Bir elektrostatik alan etki bölgesinde bulunan durağan yüklere,

büyüklüğünde bir kuvvet uygular. Benzer Ģekilde manyetik alan da etki bölgesine giren ve

üzerinden akım geçen bir tele kuvvet uygular. Hareket eden bir parçacığa uygulanan kuvvet

aĢağıdaki gibiyken,

üzerinden akım geçen bir tele uygulanan kuvvet Ģu Ģekilde gösterilir:

(

Yukarıdaki kuvvete Lorentz Kuvveti denir. Lorentz Kuvveti bir vektörel çarpım sonucu ortaya

çıktığı için yönünün bulunmasında sağ-el kuralı kullanılır. Buna göre eğer akım x yönünde

gidiyor, manyetik alan da y yönünde uygulanıyorsa, kuvvet z yönünde olacaktır.

Bu benzetimde problemimiz bir eğriliği olan telde ilerleyen akım üzerine tek yönde

uygulanan manyetik alanın tel üzerine uyguladığı kuvvetin yön ve büyüklük tayinidir. Bu

benzetim ile basit bir fiziksel eĢitliği belirli bir geometri üzerinde göreceğiz.

6

2. Benzetim Tarifi2

COMSOL’u açtığınızda karĢınıza probleminizi hangi boyutta tasarlayacağınızı soran bir menü

gelir. Buradan 3D’yi iĢaretleyip yukarıdaki „Next‟ butonuna basınız. Ardından kullanacağınız

fizikler olarak AC/DC modülündeki Electric Currents (ec) ve Magnetic Fields (mf)’yi seçin. Son

olarak çalıĢmayı durağan (stationary) olarak belitip finish ikonuna basınız.

Geometri sekmesinde length unit denilen kısmı m’den (metreden) mm’ye (milimetreye)

getirelim. Kullanacağımız geometri oldukça basit silindirik bir geometri olacak. Bunun için

Geometry sekmesine sağ tıklayın ve karĢınıza gelen geometri seçeneklerinden cylinder‟i

seçiniz. Silindir sekmesinde yarıçapı 1, uzunluğu 0.2 olarak yazın. AĢağıya doğru Layers

kısmıyla karĢılaĢacaksınız. Burada Layer 1 karĢısına 0.1 yazalım. Bu silindire bir kabuk

oluĢturmamızı sağlayacak. Böylece iç içe iki silindirimiz olacak. Bu iĢlemleri yaptıktan sonra

yukarıdaki mavi gözüken ve üzerine gelince build all denilen ikona basın. Ġstediğimiz

özelliklerdeki silindiri yarattık.

Lorentz kuvveti daha rahat görebilmek adına bu silindiri daha basit bir geometriye indireceğiz.

Silindir virajı olan bir yol gibi gözükecek. Bunun için Geometry sekmesine yine sağ tıklayın ve

Delete Entities seçin. Geometriden silinecek kısımları geometri üzerinden farklı Ģekillerde

seçebiliriz. Bunun için Graphics sekmesinde geometri üzerinde gözüken bazı ikonları

kullanıyoruz.3 Geometri üzerinden içte kalan silindiri ve dörde ayrılmıĢ dıĢ kabuğun bir parçasını

seçin ve build all’a basın.

Geometri ġekil 1’deki gibi olmalı.

Geometriyi sonlandırmak için

Form Union (fin) sekmesine girip

build all’a basınız.

Bir sonraki sekme Materials, yani

Malzemeler sekmesi. Bu

benzetimde amacımız dıĢarıdan

uygulanan bir manyetik alanın

geometrinin üzerinden ilerleyecek

akıma nasıl bir kuvvet

uygulayacağını bulmak. Materyali

iletken seçmek yapacağımız

benzetimde akımın iletken

üzerinden ilerlemesiyle çevresinde

oluĢturduğu kendi manyetik alanını

2 İlk benzetimin tarifi giriş olduğundan dolayı daha detaylı anlatılacaktır. Ancak daha sonrakiler maddeler şeklinde

özetlenecektir. 3 Comsol’daki ikonların kısaca açıklamaları için Ek kısmına bakınız.

Şekil 1: Problemin geometrisi

7

da hesaba katmamızı gerektirecek. Bu nedenle iletkenliği oldukça düĢük, aslen bir dielektrik

yarı-iletken malzeme olan silikonu (Si) tercih edelim. Silikonu seçmek için Materials sekmesine

sağ tıklayıp Material Browser’ı açın ve Search kısmına silicon yazın. Gelen sonuçlardan Built-In

sekmesine tıklayıp buradaki silikonu seçin. Silikon karĢınıza geldikten sonra Selection

kısmından All domains’i seçerek tüm geometriyi silikon yapınız. COMSOL seçtiğiniz materyalin

kullandığınız fiziğin hesaplarında kullanılacak özelliklerini size gösterir. Eğer materyalinizi

kendiniz tanımlıyorsanız, bunları doldurmayı unutmayınız.

Sıradaki adım seçtiğimiz fizikleri kullanmakta ve onları birbirine entegre etmede. Bunun için

öncelikle Electric Currents sekmesine sağ tıklayalım ve geometri üzerinden akacak olan akımın

oluĢmasını sağlayan potansiyel

farkı programa tanıtalım. Electric

Potential seçin ve ġekil 2’de

gösterilen gibi kenarlardan birini

seçin. AĢağıda potansiyel

kısmına 10 V yazın. Daha sonra

Ground ekleyin ve diğer kenarı

seçiniz. Ground, adından da

anlaĢıldığı gibi potansiyeli

otomatik olarak 0 V’a

eĢitleyecektir. Elektriksel kısımla

iĢimiz tamamlandı. Bu

yaptıklarımız geometri üzerinden

akım akmasını sağlayacaktır.

Bir sonraki fizik Magnetic Fields.

Burada öncelikle tüm geometriyi

kapsayacak bir alan

tanımlayacağız. Bunun için sekmeye sağ tıklayalım ve Magnetic Field seçelim. Gördüğünüz gibi

aĢağıda x,y,z komponentleri boĢ olan bir manyetik alan kısmı oluĢtu. 150 Gauss’luk bir mıknatıs

satın alabileceğimiz türden bir mıknatıstır. 150 Gauss, 1.191*10^4 A/m eder. COMSOL’a bu

değeri 1.191e4 olarak girebilirsiniz. Manyetik alanı z yönünden uygulayacağız. Eğer sağ el

kuralını kullanırsak, kural bize kuvvetin içeriye doğru olacağını söylemektedir. Benzetimin bize

sonunda bunu vereceğini düĢünüyoruz.

Manyetik alan sekmesinden çıkmadan önce elektrik akım kısmıyla bu fiziği birbirine tanıtmamız

ve Lorentz kuvvetini hesaplaması gerektiğini söylememiz gerekiyor. Elektrik akımını tanıtmak

için öncelikle Manyetik alan sekmesine sağ tıklayıp External Current Density seçelim. KarĢımıza

gelen pencerede geometrideki bütün alanları seçelim ve aĢağıda değer kısmına elektrik alanda

hesaplanacak olan current density vektörünün komponentlerini Ģu Ģekilde girelim: x’e ec.Jx, y’ye

ec.Jy ve z’ye ec.Jz. Burada ec, electric currents’ın kısaltılması, J ise bilindiği üzere akım

yoğunluğudur.

Daha sonra yine manyetik alan sekmesine sağ tıklayarak Force Calculation seçelim.

Geometrinin tümünü tanıtalım ve bu alanı da bitirelim.

Şekil 2. Geometri

8

Benzetim öncesi son kısım Meshing. Bu kısımda FEM mantığını bilmeden seçimi elle yapmak

çok doğru değil. O nedenle seçimi fiziğe bırakmak ve physics-controlled-mesh seçip size’ı

Normal tutup, duruma göre Fine ya da Finer’a yükseltmek bir öğrenci için daha mantıklı. Daha

sonradaki benzetimlerde göreceğimiz gibi benzetim sonrası hata payını düĢürebilmek için

refinement yapmak da yüksek olasılıklı bir seçenek.4

Study’e sağ tıklayıp compute diyelim.

3. Sonuçlar

Otomatik olarak oluĢan Electric Potential grubunda geometri üzerinde potansiyelin nasıl

dağıldığını görebilirsiniz. Normalde geometrinin iç kısımlarındaki dağılımı da göstermek üzere

potansiyel grubu slice’larla oluĢturulur. AĢağıdaki görüntüyü elde etmek için aynı grubun

sekmesine sağ tıklayıp surface seçebilir ve yukarıdaki plot ikonuna basabilirsiniz.

Şekil 3: Potansiyel Fark

Biz Lorentz kuvvetini görebilmek için Results’a sağ tıklayalım ve bir 3D Plot Group seçelim.

Daha sonra 3D Plot’a sağ tıklayalım ve Streamlines seçelim. Streamline’lar bize akan bir

büyüklüğün akıĢ yönünü ve renk ifadesini değiĢtirirsek de büyüklüğünü gösterebilirler. Bunun

4 Benzetim 2’ye bakınız.

9

için Streamline penceresine girdikten sonra Expression kısmında sağdaki bir ikon olan Replace

Expression’a basalım ve burada Electric Currents içinden Current Density Norm’u seçelim. Bir

aĢağıdaki Selection kısmına tüm sınırları ekleyelim ya da streamline positioning kısmından

start-point controlled seçelim. Bu kısımla geometrinin hangi kısmındaki akıĢ çizgilerini görmek

istediğimizi programa bildiriyoruz. Coloring and Style kısmından gözünüze hangisi daha rahat

geliyorsa onu seçebilirsiniz.

AkıĢ çizgilerini renklendirmek de mümkün. Bunun için Streamline’a sağ tıklayın ve Color

Expression seçiniz. Çizgiler üzerinde hangi büyüklüğün değiĢimini gözlemek istiyorsanız onu

seçebilirsiniz. Biz akıĢın yönünü görebilmek için bunu elektriksel potansiyel olarak seçelim.

Aynı grupta Lorentz kuvvet çizgilerini de görelim. Bunun için grup sekmesine yine sağ tıklayalım

ve bu sefer Arrow Line seçelim. Expression kısmına Magnetic Fields içinden Lorentz Force

Contribution yerleĢtirelim. KarĢımıza çıkan Ģekil aĢağıdaki gibi olacaktır.

Şekil 4: Akış çizgileri akımı, oklar ise Lorentz kuvvetini temsil etmektedir.

Görüldüğü gibi yolu eğri olan bir akımın üzerine z yönünden bir manyetik alan uygulanırsa

kuvvetin yönü eğriliğin merkezini gösterecektir.

10

4. Notlar

Bu benzetimde uygulanan kuvvetin büyüklüğünü bulabilmemiz için probe kullanabiliriz. Bunun

için benzetim öncesi Model sekmesi altında Definitions’a sağ tıklayın ve burada probe

kısmından boundary probe seçin.5 Source Selection kısmından hangi sınırlardaki değeri merak

ediyorsanız onu seçebilirsiniz. Expression kısmına mf’den Lorentz Force vektörünün herhangi

bir komponentini seçin. Tüm komponentleri görebilmek için üç ayrı probe yaratabilirsiniz.

Yaptığımız benzetim aĢağıdaki değerleri verdi:

Lorentz force contribution, y component (N/m^3), Boundary Probe 1

-6.753e-12

Lorentz force contribution, z component (N/m^3), Boundary Probe 2

-3.0611e-18

Lorentz force contribution, y component (N/m^3), Boundary Probe 3

-6.753e-12

Manyetik alanı uyguladığımız yön olan z yönünde sıfıra yakınsayan bir değer gözükmekte ve bu

da benzetimin akla uygun olduğunu söylemekte. Öte yandan diğer yönlerdeki kuvvet

büyüklükleri eĢit. Bu da yüklerin xy yüzeyinde hareket ettiğini bize gösteriyor.

Verilen potansiyel farktan elektrik alanı, elektrik alandan da akım yoğunluğunu hesaplayıp

manyetik alanla vektörel çarpımını alırsak Lorentz kuvvetini teorik olarak bulmak mümkün ve

bulunan değer benzetim değerleriyle karĢılaĢtırılabilir. Yalnız programın yoğunluk değerleri

verdiği unutulmamalı, programın değerlerini de ayrıca entegre etmeliyiz. Bu tarz matematiksel

ifadelerle daha sonra karĢılaĢacağız.

Ayrıca en baĢta potansiyel ve manyetik alan olarak girdiğimiz değerleri Global Definitions

kısmından parametre olarak da atayabilirdik. Bu tüm değerlere toplu olarak ulaĢmamızı ve

istenildiği takdirde rahatça parametrik sweep yapabilmemizi sağlar.

5 Diğer probe’ları da seçebilirsiniz. Point-probe tek bir noktanın değerini verecektir. Domain probları cisim

üzerindeki toplam değeri verir.

11

Coax bir Kablonun Kapasite Hesabı

5. Teorik Bilgi

Coax kablo Ģekildeki gibi katmanları olan silindirik bir yapıdan oluĢur, (bknz ġekil 1). DıĢarıdaki

ve en içerideki yapılar iletken olmak üzere, arada kalan yapı bir dielektrik malzemedir. Bu

dielektrik malzeme hava olabileceği gibi polarizasyonu daha yüksek baĢka dielektrik materyaller

de olabilir.

Şekil 5. Coax kablo temsili resmi

Benzer yapı elektrolitik kapasitelerde de görülür. Bu Ģekildeki bir sistemde iki metal arasında

oluĢan potansiyel fark aradaki dielektriğin polarize olmasına neden olur ve iletken levhalar

arasında potansiyel fark düĢümü yapmadan kapasiteye ulaĢan yükler dielektrik malzeme

içerisinde bir nevi depo edilir. Bir kondansatörün kapasite değeri ne kadar büyükse elemana

giren yük miktarı sabit kalmak üzere oluĢturacağı potansiyel fark da o kadar düĢüktür. Bu

aĢağıdaki denklemden de gözükmektedir.

12

Coax bir kabloda elektrik alan üzerinden çözüm yapıldığında,

∫ ∫

∫

(

)

Kapasite denklemi Ģu Ģekilde çıkar:

(

)

Benzetimini yapacağımız problem coaxial bir kablonun kapasitesinin kablonun uzunluğuna

ve dielektrik malzeme kalınlığına bağlı parametrik değişimidir.

6. Benzetim Tarifi

- 3 boyutlu olarak ve Elektrostatik fizik ara yüzünü seçerek durağan bir çalıĢma yaratınız.

Benzetimde parametrik tarama kullanacağımız için parametre tayin etmemiz gerekmektedir.

Ancak parametrik çalıĢma yapmasınız da, modelinizdeki değiĢkenleri parametreler cinsinden

girmeniz önerilir. Bu daha rahat çalıĢma imkanı sunmaktadır.

Parametreler aĢağıdaki tablo gibi olmalı. Kullanacağımız yalıtkan hava olacak, çünkü bazı coax

kablolarda yalıtkan olarak hava kullanılmaktadır. Analitik değerle nümerik değeri karĢılaĢtırmak

için formülü de C_analitik olarak girelim.

Name Expression Value Description

r_o 2.5[mm] 0.001 m Coaxın dıĢ yarıçapı

r_i r_o – r_ins 0.00125 m Coaxın iç yarıçapı

r_ins 1.25 [mm] 0.00125 m Coaxın yalıtkan yarıçapı

Eo 8.8542e-12 [F/m] 8.8542E-12 F/m Dielektrik permittivity, vakuum

Er 1 1 Rel.perm., hava (yalıtkan)

C_analitik 2*pi*Er*Eo*L/log(r_o/r_i) 4.013E-13 F Kapasite (formül)

L 5[mm] 0.005 m Coaxın uzunluğu

13

- Geometri sekmesine gidiniz, sağ tıklayıp bir silindir yaratınız. Yarıçapı kısmına r_o

parametresini, uzunluğu kısmına L parametresini giriniz. Layers kısmına gelin ve burada

Layer 1 adlı yerin adını yalıtkan diye değiĢtirin. KarĢısına r_i parametresini girin.

- Çoğu çalıĢmada modelin etrafına bir hava katmanı atmak daha gerçekçi sonuçlar

almamızı sağlar. Bu nedenle bir tane küre yaratınız ve yarıçapını 10 mm olarak giriniz.

- Materyal kısmına gelin ve materyal kütüphanesinden hava (air) seçiniz. Ġçteki silindir

haricinde bütün geometriyi hava olarak tanımlayın. Daha sonra yine kütüphaneden

alüminyum seçiniz ve içteki silindiri Al olarak tanımlayın. Bu sefer dıĢ metal kabuk için bir

kez daha alüminyum seçin ve ikinci alüminyumun Geometric entity level kısmını

Domain’den Boundary’ye çeviriniz. DıĢtaki silindirin bütün kabuğunu seçiniz. Böylece dıĢ

katmanı alüminyum yapmıĢ olacaksınız.

- ġimdi Elektrostatik fiziğine gidelim ve sağ tıklayıp bir Terminal yaratalım. Terminal türü

olarak Voltage seçelim ve 10 V değerini atayalım. Bu potansiyeli de dıĢ kabuktaki

sınırlara uygulayalım, yani tamamen alüminyum olan metal kısma.

- Ardından bir Ground çekelim. Burada iç taraftaki silindirik metalin tüm sınırlarını seçelim.

- Mesh olarak fizik

kontrollü mesh,

eleman boyutu

olarak da Fine

seçelim.

- ÇalıĢmayı iki

aĢamalı

yapacağız. Ġlkinde

elimizdeki

değerlerle çözüp

nümerik cevabın

analitik cevapla ne

kadar tuttuğunu

görelim. Ġkinci

aĢamada yarıçapa

ve uzunluğa bağlı

olmak üzere iki

parametrik çalıĢma

açalım.

- Benzetimi çalıĢtırmadan önce Model 1’in altında bulunan Definitions’a gidin ve bir Global

Variable Probe yaratın, ifade kısmına elektrostatik içinden capacitance (kapasite değeri)

seçiniz.

Şekil 6. Elektriksel potansiyel dağılımı

14

7. Benzetimde Post-Processing

a. Study 1’e sağ tıklayıp çalıĢtırın.

Benzetim sonuçları altında otomatik olarak oluĢan potansiyel dağılım dilimlerini görebilirsiniz.

ġimdi biraz önce yarattığınız global proba gidiniz ve pencerenin üzerindeki refresh tuĢuna

basınız. KarĢınıza bir tablo gelecek. Prob kapasitenin nümerik değerini aĢağıdaki gibi

göstermektedir.

Capacitance (F): 5.1602e-13

Analitik olarak beklediğimiz değer ise 4.013E-13 F. Değerler birbirine oldukça yakın olmakla

beraber, hata payını biraz daha azaltmak için meshe refinement operatörü uygulayabiliriz.

Refinement meshteki parçaları ikiye böler ve doğru sonuca daha yakın bir sonuç verir. Bunun

için meshe gidin ve physics-controlled mesh’i user-controlled mesh’e çevirin. COMSOL

normalde mesh’i free tetrahedrallerle kaplar. O nedenle Mesh sekmesine sağ tıklayıp free

tetrahedral seçin ve seçim kısmını tüm geometri olarak belirleyin. Ardından Free tetrahedral’e

sağ tıklayın ve size seçin. Bunu Fine olarak belirleyin. Build all’a basın. Böylece ilk benzetim

meshini elimizle kurduk. ġimdi Mesh sekmesine sağ tıklayıp More Operations kısmından

Refine’ı seçin. Split longest side seçin ve tekrar build all’a basınız.

Benzetimi tekrar çalıĢtırdığınızda,

Capacitance (F): 5.1364e-13 elde edeceksiniz. Bu analitik değere biraz daha yakın. Farklı

tekniklerle nümerik değer daha iyi hesaplanabilir.

b. Parametrik tarama

Study’ye sağ tıklayın ve parametric sweep seçiniz.

Pencereye girdiğinizde parameter names kutusunun altında bazı operatör iĢaretleri

göreceksiniz. Artı olana basınız. KarĢınıza en baĢta tanımladığımız parametreler gelecek. r_ins

parametresini seçin ve parameter values kısmına range(0.1,0.1,2.4) giriniz. Yani 0.1 mm

aralıklarla 0.1 mm ve 2.4 mm arasındaki tüm değerleri alacağız. ÇalıĢtır’a basınız.

Bilgisayarınızın CPU ve RAM gücüne göre hesaplama zamanı değiĢecektir. Tarama bittiğinde

Ģekil 3’teki gibi bir grafikle karĢılaĢacaksınız. Coax kapasite denklemi düĢünüldüğünde yalıtkan

kalınlığının artması kapasitenin azalmasına yol açmaktadır. Nümerik olarak elde ettiğimiz grafik

de bunu söylemektedir.

15

Şekil 7. Kapasite vs. yalıtkan kalınlığı

Son olarak kablonun uzunluğuna göre bir kapasite hesabı yapalım. Bunun için parametrik

tarama kutusuna gidin ve eski parametreyi silin. Yerine anlattığımız Ģekilde L parametresini

seçin. Tarama aralığını, 0.2 mm aralıklarla olmak üzere 5 mm’den baĢlayarak 10 mm’de sona

erecek Ģekilde ayarlayın. Formülden de görüldüğü gibi kablonun boyu arttıkça kapasite değeri

artmaktadır.

Şekil 8. Kapasite vs. L

16

Coax bir Kablonun Elektromanyetik Arayüzünde Empedans Hesabı6

1. Teorik Bilgi

Coax bir kablonun kapasite hesabını bir önceki bölümde yapmıĢtık, (bknz. sf. 11-15). Oradaki

bilgilere referans vererek böyle bir sistemin empedansının aĢağıdaki gibi verildiğini

söyleyebiliriz.

√

Bu denklem √ ifadesinden gelmektedir. Coax bir kablo kapasite etkisi gösterdiği gibi

aynı zamanda endüktif bir etki de gösterir, çünkü her iletken içeren sistemde endüktans

gözlenir.

Endüktans hesabı da coax geometrisi için Ģu Ģekilde çıkarılır:

∫

∫

Ġki tarafın türevini aldığımızda,

(

)

Olduğu için,

(

)

Bu benzetimde problemimiz bir coax kablonun empedansını nümerik olarak çözmektir.

6 COMSOL RF Modülü Coax Kablo modelinden yararlanılmıştır, [1].

17

2. Benzetim Tarifi

2D bir çalıĢma yaratınız. Fizik olarak RF Modülüne girin ve Electromagnetic Waves arayüzünü

Mode Analysis özelliğiyle seçiniz.

Global tanımlar kısmında bazı parametreler tanımlayacağız. AĢağıdaki tabloya bakınız.

Name Expression Description

r_i 0.5 [mm] Coax iç yarıçap

r_o 3.43 [mm] Coax dıĢ yarıçap

eps_r 2.4 Bağıl dielektrik sabit

Z0_analitik (Z0_const/ (2*pi*sqrt(eps_r)))*log(r_o/r_i) Karakteristik empedans, analitik

Z0_const sabiti COMSOL tarafından tanımlanmıĢ bir sabittir ve değeri aĢağıdaki gibidir:

√

Z0_analitik parametresini ilk bölümdeki formülümüzdür ve 74.53 Ω değerini vermektedir.

Geometri sekmesine gidin ve bir daire yaratınız. Daire penceresinde Type kısmını Curve olarak

belirleyiniz. Yarıçapını r_o olarak giriniz ve daireye kalınlığı r_o-r_i [mm] olacak Ģekilde bir

katman yaratınız.

Materyaller kısmına geliniz ve bir materyal yaratınız. Materyalinizin bağıl permitivitesinin

değerini eps_r, bağıl permeabilitesini 1 ve son olarak iletkenliğini 0 olarak giriniz. Materyalinizin

adını yalıtkan olarak değiĢtirin. Böylece coax kablonun iç kısmını tanımlamıĢ olduk.

Programın empedansı nümerik olarak hesaplayabilmesi için empedans bilgisinin ona tanıtılması

gerekmektedir. Bunun için birkaç yol olmakla beraber biz gerilim değerini elektrik alan üzerinden

r1’den r2’ye kadar entegre ederek ve akım değerini de manyetik alan üzerinden dairesel Ģekilde

entegre ederek bulacağız.

Bunun için öncelikle Model sekmesinin altındaki Definitions’a gidiniz ve buna sağ tıklayıp Model

Couplings’ten Integration seçiniz. Entegrasyonun adını int_yarıcap olarak değiĢtirin ve integrali

alacağınız kısım olarak iç çemberle dıĢ çemberi bir araya getiren yarıçap çizgilerinden birini

seçiniz, (bknz ġekil 1).

Ardından yine Definitions’a sağ tıklayın ve bu sefer Variables seçin. Entegrasyonu kullanmak

için boĢ alanlardan birine aĢağıdaki değeri giriniz.

18

Burada emw.Ex Elektromanyetik fiziğinin hesapladığı elektrik alanın x komponentini

göstermektedir. Bu komponenti t1x ile çarpınca bu elektrik alanı x’e teğet olan birim uzunlukla

çarptığımız anlamına gelmektedir.

Daha sonra akımı tanımlamak için tekrar bir entegrasyon açınız ve bu sefer adını int_dairesel

seçiniz. Seçim alanı olarak da dıĢ çemberdeki dört ayrı çizgiyi seçiniz, (ġekil 2’ye bakınız).

Sonra DeğiĢkenler sekmesine gidip

Ģekildeki satırı oraya yazınız. Burada

emw.Hx ifadesi Elektromanyetik fiziğinin

içindeki manyetik alanın x bileĢenine

karĢılık gelmektedir.

V int_rad(-emw.Ex*t1x-emw .Ey*t1y)

gerilim

I -int_circ(emw.Hx*t1x+em w.Hy*t1y)

akım

Şekil 9. Entegrasyon 1

Şekil 10. Entegraston 2

19

Daha sonra bir satır alta empedansı tanımlayınız.

Z0_model V/I Karakteristik empedans_nümerik

Elektromanyetik fiziği kısmında bir değiĢiklik yapmayın. Zaten halihazırda çemberin dıĢ kısmı

PEC (mükemmel elektrik iletken, perfect electric conductor) olarak tanımlanmıĢ durumda.

Mesh’i olduğu Ģekilde bırakın ve build all’a basınız.

ÇalıĢma kısmında Mode Analysis ayarlar penceresinde Desired number of modes’a 1 giriniz.

Böylece tek bir mod çevresinde benzetim yapılacaktır. Search for modes around kısmına

sqrt(eps_r) giriniz. Programa modu nerede araması gerektiğini de söyledik.

3. Benzetim Sonuçları

Şekil 11.Renk dağılımı elektrik alanı, beyaz oklar manyetik alanı, kırmızı oklar ise teğetleri göstermektedir.

20

Bunun için otomatik olarak oluĢan elektrik alan grubu içinde bir arrow surface grubu yaratın ve

ifade kısmı için manyetik alan seçin. Aynı zamanda bir tane de arrow line grubu yaratın ve onun

için de Geometry ve Mesh içindeki geometry tangent’ı seçin.

Asıl önemli olarak Definitions kısmına gidin ve bir prob yaratın. Ġfade kısmına Definitions alt

baĢlığı içinden Z0 seçin.

Effective mode index: 1.5492 için karakteristik empedans: 74.6538 Ω nümerik olarak

hesaplanmıĢtır.

Bu değeri mesh’e refinement yaparak iyileĢtirmek mümkün.

21

Coax bir Kabloda Elektromanyetik Dalganın İlerleyişi

1. Giriş

Coax kablo yapısı itibariyle bir elektromanyetik sistemdir. Eğer onu yan yana gelmiĢ küçük

endüktanslar ve her endüktanstan sonra toprağa uzanan kapasiteler olarak görürsek coax

kablonun neden bir elektromanyetik sistem olduğunu anlayabiliriz.

Bu benzetimde açık uçlu, kapalı uçlu ve bir devreye bağlanmıĢ olan coax kablonun üzerinden

elektromanyetik dalganın akıĢını inceleyeceğiz. Bunun için COMSOL’un RF Modülünü

kullanacağız. 7

2. Benzetim Tarifi

- 2 boyutlu axisymmetric (eksene göre simetrik), RF Modülü->Transient Electromagnetic

Waves arayüzünü zamana bağlı bir çalıĢma olarak seçiniz.

- Global Definitions kısmında Parametreler sekmesine girin ve aĢağıdaki gibi bir tablo

yaratınız.

Name Expression Description

r_coax 1[mm] Coax iç yarıçapı

R_coax 2[mm] Coax dıĢ yarıçapı

L_coax 40[mm] Coax kablonun boyu

f 20[GHz] Darbe freakansı

T 1/f Periyot

h_max Min(L/8,(R_coax-r_coax)/2) Maksimum element boyutu

L c_const/f BoĢ uzayda dalgaboyu

c_const: Comsol’da bazı sabitler tanımlıdır. Bunlardan biri de ıĢık hızıdır.

- Global Definitions penceresinden Functions->Gaussian Pulse seçiniz. Fonksiyon adı

olarak gauss_darbesi yazınız. Parametreler kısmında Location’a 2*T, standard deviation

kısmına ise T/2 giriniz.

- ġimdi bu darbeyi bir sinyalin üzerine bindirmemiz gerekiyor. Bu nedenle Global

Defitinions‟a bir kez daha sağ tıklayın ve Anaytic Function seçiniz. Fonksiyonun adını V0

olarak değiĢtirin. Parametre kısmında ifade kutusuna gauss_darbesi(t)*sin(2*pi*f*t)

7 Bu benzetimde, Comsol Model Kütüphanesi’nden yararlanılmıştır [3].

22

yazınız. Arguments kısmına zaman anlamına gelen t giriniz. Units kısmındaki Arguments

bölümüne saniye olan s giriniz. Function bölümüne ise gerilim olan V giriniz. Ardından

Plot Parameters kısmında Lower limit 0, upper limit 0.2[ns] olmak üzere kaydediniz.

Yukarıdaki Plot butonuna basarsanız fonksiyonu çizdirebilirsiniz.

Şekil 12. Gauss Darbesi

- Geometriye sağ tıklayın ve bir dikdörtgen seçiniz. Bunun enini R_coax-r_coax, boyunu

L_coax, pozisyonda r kısmına ise r_coax giriniz. Böylece bu dikdörtgen bizim

kablomuzun yalıtkan kısmı oldu. Eksen-simetrik bir çalıĢma seçmemizden ötürü de

silindirik bir yapıyı çok kolay bir Ģekilde iki boyutlu olarak resmedebildik.

- Ardından materyaller kısmına girin, havayı seçin ve tek domain olan 1’i girin. Kablo

yalıtkanını hava seçmiĢ olduk.

Sınır Koşulu: Kapalı Uçlu Elektromanyetik Harmonik Osilatör

- Fizik arayüzünde öncelikle kabloya dalgayı göndereceğiz portu seçelim. Bunun için sağ

tıklayıp Lumped Port yaratın. Dikdörtgenin aĢağı kısmı giriĢ olacağından dolayı sadece

aĢağıdaki kenarını seçin. Port özellikleri kısmında Wave excitation at this port’u açın ve

gerilim kısmına V0(t) girin. Bu gauss darbesini bu kenardan modele vereceğiz anlamına

gelmektedir. En aĢağı kısımdaki empedans kısmına ise coax’ın empedans formülünü

girin,

23

(

) (

)

Bu coax kabloyla kabloyu bağladığımız devrenin empedans uyumunu sağlayacak. Empedans

uyumuyla iki sistem arasında maksimum güç aktarımı yapılabilmektedir.

Bunun dıĢında fiziğe ekleme yapmamıza gerek yok, çünkü hali hazırda tüm sınırlar PEC

(perfect electric conductor) olarak elektromanyetik fiziğinde tanımlıdır. Kapalı uç benzetimi için

ikinci ucun PEC olması gerekmektedir.

- Mesh’e sağ tıklayıp free triangular mesh seçiniz. Ardından bunun boyut kısmını açıp

element boyutları bölümü Custom olarak belirleyiniz. KarĢınıza gelen ayarlarda

Maksimum element boyunu parametrelerde tanımladığımız h_max olarak giriniz.

- Benzetimi çalıĢtırmadan önce yukarıda Model sekmesinin altındaki Definitions’a gidiniz

ve bir Domain Point Probe yaratın. Point selection altında x’i r_coax’a, y’yi de 0’a

sabitleyin.

- Zamana bağlı benzetimin zaman aralığını belirlemek için aralığa range(0,T/24,10*T)

giriniz. Relative tolerance kısmını 0.0001 olarak giriniz. Ayrıca yukarıdaki Results While

Solving kısmını açın ve burada Output from solver’ı seçin. Böylece benzetim sırasında

verdiğimiz darbeyi kablo boyunca gözlemleyebileceğiz.

3. Benzetim Sonuçları

ġekil 2’de de görüldüğü gibi ilk gauss darbesi kabloya gönderdiğimiz, ikincisi ise kapalı uçtan

tamamen yansıyarak geri gelen gauss darbesidir. Kapalı bir uçtan beklendiği üzere darbenin

maksimumu ile minimumu yer değiĢtirmiĢtir.

Diğer çalıĢma grubu olan Electric Field (temw)’de dalganın kablodan nasıl ilerlediği görülebilir,

(bknz. ġekil 3).

24

Şekil 13. Kabloda dalganın ilerleyişi

Şekil 14. Gauss darbesi görseli

25

Sınır Koşulu: Açık Uçlu Elektromanyetik Harmonik Osilatör

Bunun için fiziğe geri dönün ve sağ tıklayarak bir Perfect Magnetic Conductor seçiniz. Kablonun

üst kenarını iĢaretleyin. Böylece elektromanyetik bir sistemde açık uçlu harmonik osilatörü

modelleyebildik. Benzetimi çalıĢtırın.

Şekil 15. Açık uçlu harmonik osilatör

Bu sefer elde ettiğimiz grafik birbiriyle tıpatıp aynı iki gauss darbesi, çünkü açık uçlu bir

harmonik osilatörde dalga tersine dönmez.

Sınır Koşulu: Devreye Bağlanmış bir Elektromanyetik Harmonik Osilatör

ġimdi tekrar fiziğe dönelim ve bu sefer bir Lumped Port ekleyelim, en üstteki kenarı seçelim.

ġekil 5’te görüldüğü üzere bu sefer ikinci bir gauss darbesi gözükmemektedir, çünkü darbe

kablo üzerinden akmıĢ ve devreyi tamamlamıĢtır.

26

Şekil 16. Gauss darbesi, kablo devreye bağlıyken

4. Notlar

Comsol Staj Dokümanı klasöründe üç sınır koĢulu için de hazırlanan animasyonları

izleyebilirsiniz. Animasyonları Exports kısmına tıklayıp hazırlayabilirsiniz.

27

İyon Siklotronu Benzetimi

1. Teorik Bilgi

Siklotron en basit parçacık hızlandırıcısıdır. Ġki D Ģeklindeki elektrotlardan meydana gelen ve

parçacığın hareket düzlemine dik olarak uygulanan manyetik alan altında yüksek frekanslı AC

gerilimle parçacıklar dairesel bir yapı içinde dönüĢ yarıçapları artarak hızlandırılırlar. Belirli bir

enerjiye ulaĢtıktan sonra da ya siklotrondan ayrılarak düz bir ıĢın Ģeklinde doğrusal

hızlandırıcıya girerler ya da önlerine konan bir engelle bir çarpıĢma yaĢarlar.

Eğer yüklü bir parçacığı sadece manyetik alana tabi tutarsak, parçacık sabit bir yarıçap ile

dönmeye baĢlar. Bu sabit yarıçap parçacığın merkezcil kuvvetiyle üzerine uygulanan Lorentz

kuvvetinin eĢitlenmesiyle aĢağıdaki gibi bulunur.

Bilindiği üzere, manyetik alan, manyetik vektör potansiyelinin rotasyonelidir.

2. Benzetimin Tarifi

- ACDC Modülünden Particle Tracing for ACDC’yi8 zamana bağlı çalıĢma olarak 3 boyutlu

bir geometri için seçiniz.

- Global Definitions kısmına benzetim boyunca kullanacağımız parametreleri giriniz.

o m = 0.04[kg/mol]/N_A_const

o V0 = 2e3[m/s]

o Ax = 1[Wb/m]*y[1/m]

o Ay = -1[Wb/m]*x[1/m]

o Az = 0[Wb/m]

o Bx = d(Az,y)-d(Ay,z)

o By = d(Ax,z)-d(Az,x)

o Bz = d(Ay,x)-d(Ax,y)

8 Bu arayüz 4.2a sürümünden sonra Charged Particle Tracing haline gelmiştir.

28

m, iyon kütlesidir. V0 iyonun baĢlangıç hızıdır. Ax, Ay ve Az manyetik vektör

potansiyelleridir. Bunların rotasyonelini alarak Bx, By ve Bz’yi bulabiliriz.

- Geometriye sağ tıklayıp bir 2e-3 m yarıçapında ve uzunluğunda bir silindir yaratın.

- Materyal kısmını boĢ bırakın, bu geometrinizin uzay olacağı anlamına gelir. Bu tarz bir

materyal seçmeme durumu diğer fizikler için geçerli değildir.

- Particle Tracing fiziğinde öncelikle Particle Properties kısmına parçacığın kütlesini m

olarak giriniz.

- Daha sonra sisteme manyetik bir kuvvet uygulamak için fiziğe sağ tıklayıp Magnetic

Force seçiniz. Tüm geometriye fiziği uygulayın. Z kısmına 1 yazınız, bu benzetimi tek bir

parçacıkla yapacağımız anlamına gelir. Manyetik alan vektör bileĢenlerine sırasıyla

tanımladığımız Bx, By ve Bz’yi yazınız. Ya da bir diğer seçenek parametreler kısmında

manyetik alanı vektör potansiyelleri cinsinden tanımlamak değil, onun yerine fizik içinde

z bileĢenine 2[T] yazmaktır. Ancak ilk Ģekildeki tanım yapmak benzetimi Newtonian

mekaniğinden Lagrangien ve Hamiltonian mekaniklerine taĢıdığınızda size kolaylık

sağlayacaktır. Çünkü daha ileri analizi ACDC modülündeki Particle Tracing arayüzü ile

değil, Mathematics modülündeki Particle Tracing arayüzü ile yapabilirsiniz.

- Fiziğe yine sağ tıklayıp parçacığa bir baĢlangıç koĢulu vermek için Inlet’i seçin.

Uygulama alanı olarak tüm sınırları alın ve baĢlangıç koordinatlarını (0,0,0) olarak tutun.

Parçacığın hareketini görebilmemiz için bir ilk hıza ihtiyacı vardır. Bu nedenle x

yönündeki hızını V0 olarak giriniz. Parçacığın benzetim boyunca tüm hareketini rahatça

görebilmek için de z yönünde ufak bir hız giriniz, (1e2 m/s). Böylece parçacık bir spiral

hareketi yapacaktır.

- Mesh’i fizik kontrollü bırakın ve eleman büyüklüğünü Extra Fine olarak girin.

- Study içindeki Time-Dependent sekmesine girin ve benzetim süresini 5e-8 s aralıklarla 0

s’den 2e-5 s’ye kadar ayarlayın. Benzetimi çalıĢtırın.

3. Benzetim Sonuçları

Otomatik olarak gelen 3D çalıĢma grubu içinde Particle Trajectories sekmesi gözükmektedir.

Buradaki veri kaynağını Particle 1 yaparak istediğiniz zamana ait parçacık koordinatlarını

görebilirsiniz. Parçacığın benzetim boyunca yaptığı yörüngeyi görmek için Coloring and Style

kısmındaki Line Style altında olan türü Tube olarak iĢaretleyin. Tube Radius expression‟ı ise

0.001 yapın. Bu gerçek değere göre bir ölçeklendirme yapacaktır. Alt kısımdaki Point style’ın

türünü ise None’a çevirin, böylece yörüngeyi noktalar bütünü Ģeklinde görmeyeceksiniz.

4. Notlar

Benzetimin Lagrangian ve Hamiltonian hesaplarını yapmak için COMSOL’un Model

Kütüphanesine baĢvurabilirsiniz, [4]

29

Yaptığımız benzetimle ilgili animasyonu izlemek için dokümanın paylaĢımlar klasörüne bakınız.

Şekil 17. İyonun 2e-5 saniyedeki yörüngesi

30

Elektrostatik Quadrupole Proton Lensi

5. Teorik Bilgi

Bir parçacık demetinin hızlandırıcıya girmeden önce tek bir noktada odaklanması gerekir. Nasıl

optik lensler ıĢığı odaklayabiliyorsa, manyetik ve elektrostatik lensler de elektron, proton, iyon

gibi parçacıkları odaklayabilirler.

Benzetimini yapacağımız elektrostatik quadrupole, elektrik alanı birbirine göre 900 kaymıĢ iki

lensten oluĢacak. Tasarım boyutlarının referansı için [5]’e bakınız, (Okayama & Kawakatsu,

1978).

Manyetik bir quadrupole benzetimine COMSOL Model kütüphanesinden ulaĢabilirsiniz, [6].

Şekil 18. Elektrostatik Quadrupole

6. Benzetimin Tarifi

- 3 boyutlu bir çalıĢmayı, elektrostatik arayüzü ile zamanla değiĢmeyen olarak açınız.

- Global Definitions sekmesi altında Parametreler penceresini açınız. AĢağıdaki tabloyu

giriniz.

31

Name Expression Description

Vz 0.01*3e8[m/s] Protonlara quadrupole’e girerken verilen ilk hız

Mp 1.672e-27[kg] Proton kütlesi

Ze 1.602e-19[C] Proton yükü

- Ardından geometri sekmesine girin. Comsol Staj Dokümanı klasörünün altında

“quadrupole_benzetimi.mphbin” adında bir model geometri dosyası bulacaksınız.

Geometri sekmesine sağ tıklayın ve Import seçin. Bu geometri dosyasını programa

ekleyin ve import’a basın. Böylece geometriyi elde etmiĢ oldunuz.

- Geometride görüldüğü üzere farklı uzunluklarda iki lens ve bunları kaplayan bir dıĢ

kabuk bulunmaktadır. Bu lenslerden ilki 20 mm, ikincisi 40 mm’dir. Okayama’nın

deneylerinde 5.75 mm yarıçapında silindir Ģeklindeki elektrotlar ve uzunluğu 20 mm olan

tek bir lens kullanılmıĢtır. Tasarım yapılırken bu sayılara sadık kalınmıĢtır, ancak sistem

iki lense çıkartılması gerektiğinden ikinci lens ilkinin iki katı seçilmiĢtir. Bunun nedeni

proton demetini daha iyi odaklayabilmektir. Protonların son olarak çarptığı duvar ise

ikinci lensten 40 mm uzaktadır.

- Materyaller sekmesine gidin ve materyal kütüphanesinden bakır seçiniz. Tüm elektrotları

bakıra ekleyiniz, (domain: 2-9). Ardından bir kez daha bakır seçiniz ve geometrik

seçimini domain’den boundary’ye çeviriniz, bu Ģekilde hacim seçmek yerine sınır alanı

seçeceğiz. Burada da dıĢ kabuğun tüm dıĢ sınırlarını seçiniz, (boundary: 1-4, 17-18, 29-

30). DıĢ kabuk elektrik bir kafes gibi davranmaktadır. Proton demetinin vakumda hareket

etmesini istediğimizden Materyal sekmesine sağ tıklayın ve materyal seçiniz. Materyal

içeriği kısmında Comsol’un hesap için sizden talep ettiği materyal özellikleri

gözükmektedir. Bizim durumumuzda bu sadece bağıl permitivitedir. Oraya boĢluğun

özelliği olan 1 giriniz. Geometri seçimini ise dıĢ kabuk olarak yapınız, (domain: 1).

Materyalin adını vakum olarak değiĢtirin.

- Elektrostatik bir quadrupole’da ilk lenste karĢılıklı elektrotlar aynı yük miktarını,

yanlarındaki elektrotlar ise aynı yük miktarını ters iĢarette taĢımaktadırlar. ġekil 2’den

durumu özetleyecek olursak, kırmızı elektrotlar 1kV, mavi elektrotlar -1kV değerlerinde

gerilime sahip olacaklardır.

Şekil 19. Elektrot sistemine bakış

32

Bu nedenle fizik arayüzüne sağ tıklayıp bir terminal seçelim. Bir terminal seçmek vakum içinde

yüzen bir elektrot için önemlidir, burada electric potential seçilmemelidir. Terminal 1’in türünü

gerilime çevirelim ve gerilim değeri olarak 1000 V girelim.

Quadrupole’un ikinci lensinde gerilim dağılımı ilkine göre 90 derece kaymıĢ olacak, böylece ilk

lens içinden geçerken bir yöne doğru yassı haline gelmiĢ demet, ikinci lense girdiğinde dairesel

bir Ģekle yaklaĢacak. Bu nedenle ilk lenste karĢılıklı elektrotlar, ikinci lenste ise 90 derece

dönmüĢ Ģekildeki elektrot çifti terminal 1 için seçilmelidir, (boundary: 5-8, 13, 19-22, 24-25, 35-

42, 48-49, 52-53).

Ardından terminal 2 yaratınız, buraya da kalan elektrotları giriniz, (boundary: 9-12, 14-18, 23,

26-27, 31-34, 43-47, 50-51, 54). Türünü yine gerilime çeviriniz ve değer olarak da -1000 V

giriniz.

Son olarak dıĢ kabuk olan kafesimizin bir kafes olduğunu programa söylememiz gerekiyor.

Bunun için arayüze yine sağ tıklayın ve bir dielectric shielding seçiniz. Tüm dıĢ kabuğu seçiniz,

(boundary: 1-4, 29-30).

- Mesh için fizik kontrollü normal seçimini yapınız.

- Benzetimi baĢlatın.

7. Benzetim Sonuçları

Benzetim sonunda otomatik olarak Electic Potential çalıĢma grubu gelecektir. Potansiyel

dağılımı ġekil 3’teki gibi ve beklediğimiz Ģekildedir.

Şekil 20. Potansiyel dağılım

33

Bu çalıĢma grubundaki dilimlerle oynayarak farklı görseller elde edebilirsiniz. Elektrostatik

quadrupole’da elektrik alan görsellerini inceleyelim. Bunun için Sonuçlara sağ tıklayıp bir

çalıĢma grubu oluĢturun ve dilim seçiniz. Ġfade kısmına Electric Field, norm giriniz, (bknz. ġekil

4)

Şekil 21. Elektrik alan normu

Benzer Ģekilde Elektrik alanın x ve y yönündeki komponentlerini de görebiliriz.

Şekil 22. Elektrik alan, x komponenti

34

Şekil 23. Elektrik alan, y komponenti

Elektrik alan normu ve diğer Ģekiller sistemin orta noktasında oluĢan sıfır alanı rahatça

göstermektedir.

Son olarak protonları yerleĢtirirsek nasıl bir yörünge izlerler, bunu görelim. Bunun için yeni bir

çalıĢma grubu açalım ve çalıĢma grubuna sağ tıklayıp More plots içinden Particle Tracing with

Mass seçelim.

Gelen pencerede Equation of Motion kısmı otomatik olarak gelmiĢ olmalı. GelmemiĢse ifade

kısmından tek seçenek olan Elektrostatik->Elektromanyetik kuvvet seçin. Parameters kısmında

partq adında adlandırılmıĢ parçacık yükünün değerini e_const’tan Ze’ye çevirin. e_const

elektronunun yüküdür.

Mass and Velocity penceresinde kütleye mp girin, z yönünde ilk hız olarak vz yazın.

Parçacıkları ilk lensin baĢında görece büyük bir dairesel alandan bırakacağız. Bunun için

Particle Positioning kısmında x yönüne 7.5+2.5*cos(range(0,0.05*pi,2*pi)), y yönüne

7.5+2.5*sin(range(0,0.05*pi,2*pi)), z yönüne ise 0.1 giriniz. Burada (7.5mm, 7.5mm)

quadrupole’un tam merkezidir. Görüldüğü üzere parçacıkları 2.5 mm yarıçapındaki bir çemberin

çevresinden bırakmaktayız.

Coloring and Style penceresinde stili Line’dan Tube’e çevirin, Radius scale factor kısmına da

0.1 yazınız. Plot dediğiniz zaman ġekil 7’deki görseli göreceksiniz.

35

Şekil 24. Proton demeti odaklanırken

36

Elektrostatikte Kullanılan bir Metot olan Method of Images Simulasyonu

ve İndüklenen Yüzey Akımının İncelenmesi

1. Teorik Bilgi ve Giriş

Sadece bir yük içeren elektrostatik alanı çözmek kolaydır.

Ancak hem bir iletken (perfect electric conductor) hem de bir yük içeren uzayda elektrik alanı

çözmek o kadar kolay değildir, [7]. Ġletken bir kürenin yüzeyi sıfır potansiyel olduğundan dolayı

bu tarz problemler modelden iletkeni kaldıracak ve onun etkisini koruyacak Ģekilde

yerleĢtirilecek yüklerle çözülmüĢtür.

Ġletken çok uzun bir levhanın yanındaki bir elektronun levhanın yüzeyini sıfır potansiyel

yapabilmesi için levhanın diğer tarafında eĢit ama ters iĢaretli bir yük olduğu düĢünülmeli ve iki

taraftaki yüklerin eĢit potansiyelinin (equipotential) levha yüzeyine gelmesi sağlanmalıdır.

Ġletkeni kaldırıp yerine bir yük daha koyduğumuz ve uzayda elektrik alan çözümü yaptığımız bu

problemler method of images problemleri olarak anılırlar.

Ġletken yüzey yakınlarındaki yükler için ayna görevi görmekte ve sanki var olan yüklerin sanal

eĢlerini yaratmaktadır. Aslında olan ise uzaydaki yüzün topraklanmıĢ iletken yüzeyinde yükler

indüklemesi ve bu indüklenen yüklerin uzaydaki elektrostatik alana katkıda bulunmasıdır.

Ġletken bir levha değil, bir küre olduğunda ise durum biraz farklıdır. Bu sefer oluĢan sanal yük ile

gerçek yükün miktarları eĢit olmadığında equipotential’ları iletken bir kürenin sıfır potansiyelli

yüzeyine oturmaktadır. Böyle bir problemde indüklenen yük aĢağıdaki formülle verilmektedir.

Bu benzetimde iletken bir kürenin yanına bir elektron getireceğiz ve küre üzerindeki indüklenen

yük miktarını hesaplayıp analitik değerle karĢılaĢtıracağız.

37

2. Benzetim Tarifi

- 3 boyutlu, zamanla değiĢmeyen bir çalıĢma yaratınız. Elektrostatik fizik arayüzünü

ekleyiniz.

- Globaller kısmında Parametreleri açınız ve buraya aĢağıdaki tablodakileri yazınız.

Name Expression Description

q -e_const Elektron yükü

a 1[mm] Ġletken kürenin yarıçapı

b sqrt(2^2+2^2+2^2)[mm] Yükün kürenin merkezine uzaklığı

q_inducted -a/b*q Ġndüklenen yüzey yükü: analitik

- Ardından geometriye gidiniz ve yarıçapı 1 mm olan bir küre yaratınız.

- Elektronu yerleĢtireceğimiz noktayı tutması için yarıçapı 0.1 mm olan ve (1,1,1)

pozisyonunda bulunan bir küre daha yaratınız.

- Sistemi içeren uzayı tanıtabilmek için (10,10,10) boyutlarında bir blok yaratınız.

- Materyaller kısmında, materyal kütüphanesinden bakır ekleyiniz ve iletken küreyi seçiniz.

- Ardından bir materyal yaratın ve permitivite olarak 1 girin. Geri kalan her Ģeyi bu

materyale atayın.

- Fizik kısmında, ilk olarak iletken kürenin yüzeyini sıfır potansiyel yapmak için bir ground

seçin ve kürenin tüm sınırlarını atayın.

- Ardından bir yük tanımlayabilmek için points kısmından point charge seçiniz ve küçük

kürenin iletken küreye bakan yüzündeki noktalardan birini seçin.

- Geometrimiz karmaĢık cisimler içermemektedir, ama çok büyük ve çok küçük cisimler

olduğu için fiziğe bağlı, element büyüklüğü finer olacak Ģekilde meshi ayarlayın. Ġstenirse

iletken küreye daha detaylı bir mesh de atanabilir.

- Benzetimi baĢlatmadan önce model altındaki tanımlara gidiniz ve Model Couplings’ten

bir entegrasyon yaratın. Yüzey olarak yükün kürede direkt gördüğü sınırı seçin,

(boundary: 3). Entegrasyonun adını int olarak değiĢtirin.

- Ardından aynı sekme altında variables açın ve buraya aĢağıdaki tabloyu girin.

Name Expression Description

q_inductedNum int(es.nD) Nümerik olarak hesaplanan yüzey yükü

Burada es.nD fiziğin indüklenen yüzey yük yoğunluğunu göstermektedir. Biz istediğimiz sınır

üzerinden bu büyüklüğü entegre ederek o sınırda ne kadar yük toplandığını görebiliriz.

- Benzetimi çalıĢtırın.

38

3. Benzetim Sonuçları

Potansiyel grafiklerini incelemeden önce indüklenen yük yoğunluğunu inceleyelim. Bunun için

bir çalıĢma grubu yaratın ve yüzey seçin. Ġfade kısmına surface charge density girin.

Şekil 25. İndüklenen yüzey yükleri

ġekil 1’de indüklenen yüklerin artı iĢaretli olduğu ve elektronun baktığı noktada daha yoğun olduğu görülmektedir. ġimdi hesaplanan değerle analitik değere bakalım.

Analitik değere göre indüklenen miktar 4.6251e-20 C olmalıdır. Hesaplananı görmek için

tanımlara sağ tıklayıp global variable probe seçin. Ġfade kısmına tanımlardan q_inductedNum

seçiniz. Görüldüğü üzere hesaplanan değer, 5.93169e-20 C’dur. E-20 mertebesinde değerlerde

görülen farklılık ihmal edilebilir. Değerler birbirine oldukça yakındır.

Ġndüklenen yüklerin nasıl bir elektrik alan yarattığı farklı bir çalıĢma grubu oluĢturulup görülebilir.

Kürenin etrafından yayılan pozitif değerli elektrik alan görülmektedir.

39

Şekil 26. Elektrik alan

Kürenin yüzeyinin sıfır potansiyel olacağı kayda alınarak, E = -grad(V) bağıntısı düĢünülürse

eksi potansiyel değerleri mantıklıdır ve miktar küreden sonsuza doğru beklenildiği gibi

artmaktadır.

Şekil 27. Potansiyel dağılım

40

EK: COMSOL Toolbar Menüsündeki İkonların Anlamları

Soldan sağa doğru her bir ikona sırasıyla sayı verdiğimizi düĢünürsek;

1. Geometrinin ilgili bölümünün görüntüden çıkartılması

2. Geometrinin ilgili bölümünün görüntüye tekrar sokulması

3. Görüntü ayarlarına reset atılması

4. Buradaki seçeneklerde, sadece saklanmayanları göster, sadece saklananları göster,

tüm geometriyi göster seçenekleri bulunur. O sırada grafik penceresinde ne görmek

istiyorsanız onu seçersiniz. Kapalı geometrilerin olduğu modellerde içeriyi görmek için

kullanılır.

5. Ġçeri doğru zoom

6. DıĢarı doğru zoom

7. Bir bölge seçerek zoom

8. Seçtiniz bölgeye doğru zoom yapar.

9. En genel geometriyi göstermek için dıĢarı zoom yapar.

10. Geometriyi x,y,z tüm yönlerinde görmek

11. Geometriyi xy yönlerinde görmek

12. Geometriyi yz yönlerinde görmek

13. Geometriyi zx yönlerinde görmek

14. Geometriden özel seçim yapmak için bu tuĢa basılır.

15. Geometriden obje seçmek için bu tuĢa basılır.

16. Geometriden domain seçmek için bu tuĢa basılır.

17. Geometriden boundary (yüzey alanı) seçmek için bu tuĢa basılır.

18. Geometriden kenar seçmek için bu tuĢa basılır.

19. Geometriden nokta seçmek için bu tuĢa basılır.

20. Geometri üzerine ıĢık vurursunuz.

21. Geometriyi saydam görürsünüz.

22. Geometrinin sadece çerçevelerini görürsünüz.

23. Geometrinin fotoğrafını bilgisayarınıza alabilirsiniz.

24. Grafik penceresini küçültür.

25. Grafik penceresini tam ekran yapar.

41

REFERANSLAR

[1] COMSOL’a GiriĢ Dokümanı (PDF, ing.).

[2] COMSOL Model Library, Finding the Impedance of a Coaxial Cable

[3] COMSOL Model Library, Transient Modelling of a Coaxial Cable

[4] COMSOL Model Library, Ion Cyclotron Motion, (Model en düĢük 4.2a sürümüyle

çalıĢmaktadır. Yine de PDF kaynağına ulaĢılabilir.)

[5] Okayama, S & Kawakatsu, H. 1978. Potential distribution and focal properties of

electrostatic quadrupole lenses. J. Phys. E: Sci. Instrum., Vol. 11, Great Britain.

[6] COMSOL Model Library, Quadrupole Lens

[7] Feynman Lectures on Physics, Vol. 2, Chapter 5. Feynman, R.