Tensegrities

 

La palabra “tensegrity” es una invención: una contracción de la “integridad del tensional.” Tensegrity describe un principio de la estructural-relación en el cual la forma estructural esté guarenteed por finito cerrado, los comportamientos comprensivo continuos, tensional del sistema y no por los comportamientos de compresión discontinuos y exclusivamente locales del miembro. Tensegrity proporciona la capacidad de rendir cada vez más sin

asunder en última instancia que se rompe o que viene. Richard Buckminster más lleno (exerpt de “Synergetics”), P. 372.)

 

. From the icosahedron, the platonic (3,5) polyhedron, with 20 triangular faces and [hence] 12 vertices and 30 edges (let us call it Ic), a

(5,6,6) Archimedean polyhedron, with 60 vertices, 90 edges and 32 faces [20 triangular and 12 pentagonal] can be constructed by slicing off a pentagonal neighborhood [of radius 1/3 of the edge-length of Ic] at any vertex of Ic. The result is accordingly called the truncated icosahedron. In Europe the leather version is called a football. In chemistry its skeleton is known as the model of the fullerene C60 carbon molecule, depicted on the stamp to the right.. The cuboctahedron, a quasiregular (3,4,3,4) polyhedron with 12 vertices, 24 lines and 14 faces [6 squares and 8 triangles], can be obtained from either the cube, or its dual the octahedron, by a similar, but more drastic, truncating process. In the case of the cube, one cuts off a triangular neighborhood of radius 1/2 of the edge-length [at each vertex]; in the case of the octahedron, halfsized square pyramids have to be removed, to get the same result [as a balancing exercise in the pub you might try to create a paper model by using 6 square beer mats (leaving the triangular faces open)] A second drastic truncation operation then leads to a non-uniform polyhedron with 24 vertices, 48 edges [of size a or b = a ], and 26 faces [8 equilateral triangles of side a, 6 squares of size bxb and 12 axb rectangles]. Unfold it to get a better understanding. Then shrink the edges of length b to length a to finally obtain the so-called small rhombicuboctahedron, a (3,4,4,4) Archimedean polyhedron [with 24 vertices 48 edges and 26 faces, namely, 8 triangles and 18 squares]. As above in accordance with Euler's formula: v - e + f = 2 , which together with an icosahedron appears on a stamp on my Algebra page. Let us see what Maple has to offer.

restart: with(geom3d):icosahedron(Ic,point(o,0,0,0),1): draw(Ic);   Archimedean(F1,_t([3,5]),point(o,0,0,0),1): draw(F1);

Here _t stands for truncation, which transforms e.g. the green central triangle of (3,5) [= Ic] into the lighter central hexagon of (5,6,6) [= F1]. The circum-radius is set to 1. The star on the Berlin Xmas stamp below looks like a starred version of F1, but it is not, unfortunately, for the 6 pyramids surrounding the central hexagon are clearly congruent

the icosahedron tensegrityconstructed by seven students,

one early morning in April(!) 1974Kenneth Snelson , the inventor of tensegrities

Catalogue of symmetric tensegrities George W. Hart, mathematical sculptor, computer scientist

The very instructive "examples,stellate" worksheets in Maple also provide the means to get pictures and numerical data of polyhedra. We may e.g. ask for the edge-length s, the mid-radius m [i.e. the radius of the mid-sphere, touching all the edges] and the name of the polyhedra at hand. For reasons of space, the output will be presented column-wise. The plottools package has its own powerful stellate facility.

s:=sides(F1);     evalf(s); m:=MidRadius(F1): evalf(m); form(F1);     simplify(s/m); simplify(sides(Ic)/MidRadius(Ic));

The origami polyhedron hovering over the city of Kyoto, the seat of the International Congress of Mathematicians in 1990, looks like a stella octangula, a compound of a tetrahedron and its dual [obtained by a point reflection in its center]. The 12 face diagonals of a common cube accordingly form the edges of a stella octangula. It is available in Maple as a stellation of the octahedron through [octahedron(oc,point(o,0,0,0),1): stellate(stoc,oc,1): draw(stoc);] The star on the German Xmas

stamp below looks like a starred version of a (3,4,4,4) with no pyramids on the 8 triangular faces, of which only 2 are visible on the stamp.

Archimedean(co,[[3],[4]],point(o,0,0,0),1): draw(co);     Archimedean(F2,_r([[3],[4]]),point(o,0,0,0),1): draw(F2);

sco:=sides(co); s2:=sides(F2);     form(co); form(F2);     mco:=MidRadius(co): m2:=MidRadius(F2): evala(sco/mco); evala(s2/m2);

Maple can construct stellations [starformed extensions of a specific kind] of 7 polyhedra, the 5 platonic and the 2 quasiregular ones, among them the cuboctahedron co [also available through cuboctahedron(co,point(o,0,0,0),1): draw(co); ]. It has five stellations parameterized by n, where n = 0, 1, ..., 4, including the trivial one with n = 0, identical to co. The pictures are too nice to be missed. Within Maple the pictures can be rotated by moving your mouse over them [or by choosing different orientations].stellate(G0,co,0):

draw(G0,style=patch,orientation=[66,100],lightmodel=light2);stellate(G1,co,1): draw(G1,style=patch,orientation=[66,100],lightmodel=light2);stellate(G2,co,2): draw(G2,style=patch,orientation=[66,100],lightmodel=light2);stellate(G3,co,3): draw(G3,style=patch,orientation=[66,100],lightmodel=light2);stellate(G4,co,4): draw(G4,style=patch,orientation=[66,100],lightmodel=light2);

Reference: L. Fejes Tóth, Regular Figures, MacMillan, New York (1964) [with nice stereograms of various polytopes, to be viewed with red-green glasses]

Finally the small stellated dodecahedron {5/2, 5} found by Kepler [and rediscovered by Poinsot ] and its dual the great dodecahedron {5, 5/2} found by Poinsot. The cardboard model to the left is again a gift from Frits Göbel. It luckily has survived cats, children and other curious creatures. The huge steel model to the right, made in 1997 by the technical staff of the physics department after a design by M.C. Escher from 1952, stands before the Mesa+ clean room on our campus nearby where we live.

TENSEGRITY

Timothy Wilken, MD

Estrategias de organización de un universo estudiado más lleno de Buckminster por más

de cincuenta años. De todos los patrones del sinérgico en universo, el más de gran

alcance que él encontró era el tensegrity. Tensegrity es una contracción de los términos

“tensión” y “integridad”. Un tensegrity es un sistema equilibrado del empuje y del tirón.

Empuje y tirón

Tensegrity es el patrón que los resultados cuando el empuje y el tirón

tienen ganar-ganan la relación con uno a. Más lleno de Buckminster

explicado que estos fenómenos fundamentales no eran contrarios,

solamente complementos que se podrían encontrar siempre juntos.

Él explicó más lejos que el empuje es divergente mientras que el

tirón es convergente. Tensegrity es un par, como muchos pares de

coexistencia, de leyes físicos fundamentales - empuje y tirón -

compresión y tensión - repulsión y atracción.

El empuje y el tirón se parecen tan comunes y ordinario en nuestra

experiencia de la vida que los seres humanos pensemos poco en

estas fuerzas. La mayor parte de asumimos que son contrarios

simples. En y hacia fuera. Hacia adelante y hacia atrás. La fuerza

dirigió en una dirección o su contrario.

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Más lleno explicado que estos fenómenos fundamentales no eran

contrarios, solamente elogios que se podrían encontrar siempre

juntos. Él explicó más lejos que el empuje es divergentemientras que

el tirón es convergente.

Imaginarte el empujar de una bola del ping-pong en una tabla lisa con el punto de

un lápiz agudo. La bola rodaría siempre lejos de la dirección del empuje, primera

una forma del balanceo entonces la otra. Empujar es divergente. Ahora imaginar la

diferencia, si unes una secuencia a la bola del ping-pong con la cinta, y tirar de ella

hacia ti. No importa cómo otras fuerzas pudieron influenciar la bola para rodar lejos de

ti, la secuencia te la traería siempre cada vez más directamente. Tirar es convergente.

 

Otro ejemplo de la experiencia común ocurre cuando estamos tirando de un

acoplado con un coche. Al conducir cuesta arriba, uno está tirando contra

gravedad. El acoplado converge en un curso detrás del coche. Si el acoplado comienza a

sacudirse, el tirón de aumento aumentando la aceleración puede humedecer el

movimiento que se sacude.

Conducir cuesta abajo, sin embargo, el acoplado

puede comenzar a empujar. Esto produce un lado

fuerte para echar a un lado fuerza - divergencia. El

acoplado comenzará a sacudirse de lado a lado. El

empuje otra vez, es divergente. Cuando el acoplado

comienza a empujar, los expertos aconsejan aceleran

levemente para reestablecer tirón. El tirón es

convergente, y el acoplado enderezará curso.

El globo

Un ejemplo común de un tensegrity está en el globo de un niño. Cuando está

examinada como sistema, la piel de goma del globo se puede ver como

continuamente tirando (contra el aire adentro) mientras que las moléculas individuales

del aire discontinuo están empujando contra el interior del globo que lo mantiene

inflado. Todas las fuerzas externas que pulsan la superficie externa están

inmediatamente y distribuido continuamente sobre el sistema entero, significar el globo

es muy fuerte a pesar de su material fino.

El neumático del automóvil funciona la misma manera. Es la integridad del tensional

adentro en el neumático que rinde un porcentaje de averías bajo a pesar de el desgaste

de altas velocidades y de millas largas.

Un tensegrity entonces es cualquier sistema equilibrado integrado por dos elementos -

un tirón continuo balanceado por empuje discontinuo. Cuando estas dos fuerzas son en

equilibrio resultados estabilizados de un sistema que es máximo fuerte. Los bolsos de

aire que protegen Rover de la NASA son tensegrities. 

Estructuras más grandes

Tensegrity también refiere a medios de crear las estructuras. Tensegrity primero fue

explorado por el artista Kenneth Snelson para producir esculturas tales como su aguja

de 18 metros de alto Tower (1968). La idea fue adoptada en arquitectura en los años 80

con David Geiger que diseñaba la primera estructura significativa - un pasillo de la

competición para las Olimpiadas del verano de 1988.

El término “tensegrity” fue acuñado para Snelson por Buckminster Fuller de la

integridad del tensional. Sus bóvedas geodésicas famosas son ellos mismos tensegrities:

“Los grandes sistemas estructurales del universo se logran cerca islanded la

compresión y la tensión omnicontinuous. Tensegrity es una contracción de la

estructuración de la integridad del tensional. Todas las bóvedas geodésicas son

estructuras del tensegrity, si las diferenciaciones de la compresión de la Tensión-

islanded son al observador o no visibles. Las esferas geodésicas de Tensegrity hacen lo

que hacen porque tienen las características las estructuras de hidráulicamente o

neumáticamente infladas.”

Más grande es el tensegrity más fuerte es. La bóveda geodésica en el mundo de

Disney en la Florida es un ejemplo. Teóricamente, no hay limitación al tamaño de

un tensegrity. Las ciudades se podrían cubrir con las bóvedas geodésicas que los

planetas se podrían contener dentro de ellas.

Como el médico y el científico Donald Ingber de Harvard explica: “Los miembros del

tensión-cojinete en estas estructuras - si bóvedas más llenas o esculturas de Snelson - el

mapa hacia fuera las trayectorias más cortas entre las fuerzas adyacentes de Tensional

de los miembros (y estar por lo tanto, por la definición, dispuesta geodesically) se

transmite naturalmente sobre la distancia más corta entre dos puntos, así que colocan a

los miembros de una estructura del tensegrity exacto a la mejor tensión del withstand.

Por esta razón, las estructuras del tensegrity ofrecen una cantidad máxima de fuerza”.

Vida Tensegrities

Dos tensegrities son fácilmente recognizeable en sistemas del cuerpo humano. El

sistema muscular-esquelético es un tensegrity del músculo y el hueso, el músculo

proporciona el tirón continuo, el empuje discontinuo de los huesos.

Esto forma la base para toda la movilidad física humana. El sistema nervioso central se

puede también entender como usar la analogía del tensegrity donde están las neuronas

del motor (discontinuo empujando nuestros huesos y empalmes) en equilibrio con las

neuronas sensoriales (que tiran continuamente de la información), estas fuerzas se

complementa para darnos el movimiento inteligente.

Leído sobre el Ortegrity, un Tensegrity de organización humano.

Leído sobre el GIFTegrity, un intercambio Gifting Tensegrity de la ayuda.