32

Bab 3

Determinan

Pendahuluan Dalam matematika kita mengenal fungsi, misalnya f(x) = cos x + x3 + 2x + 3, yang

menghubungkan sebuah bilangan real x dengan sebuah bilangan real f(x). Demikian juga

untuk setiap matrik bujur sangkar, kita dapat menghubungkan sebuah matrik bujur

sangkar X dengan sebuah bilangan real melalui suatu proses yang mirip seperti fungsi.

Misalnya terdapat fungsi f(X) di mana X adalah matrik bujur sangkar. Maka

f(X) = k ; (k = sebuah bilangan real)

Bilangan k dinamakan determinan dari matrik X. Determinan sebagai fungsi pertama

kali ditemukan untuk menyelesaikan sistem persamaan linier, dan ternyata mempunyai

banyak kegunaan yang menarik. Pada bab ini kita akan membahas determinan matrik

bujur sangkar ordo 1, 2, 3 dan yang lebih tinggi.

Determinan Ordo Satu Determinan matrik A, ditulis dengan simbol Det(A) atau |A|, adalah suatu bilangan yang

dimiliki hanya oleh matrik-matrik bujur sangkar. Matrik selain matrik bujur sangkar

tidak memiliki determinan. Determinan suatu matrik berukuran 1 x 1 adalah elemen

matrik itu sendiri, misalnya A = [3], maka det(A) = 3. Atau B = [-6], maka det(B) = -6.

Jika diberikan persamaan linier dengan satu variabel x misalnya

ax = b

a dapat di pandang sebagai sebuah matrik 1 x 1. Jika det(a) 0 atau jika a 0 maka

persamaan ax = b mempunyai sebuah jawaban tunggal x = 1a

b. Jika det(a) = 0 atau a = 0

maka persamaan ini tidak mempunyai solusi. Dari sini kita melihat bahwa det(A) 0

merupakan syarat agar sebuah sistem persamaan linier Ax = b mempuyai solusi.

33

Determinan Ordo Dua

Untuk matrik bujur sangkar 2 x 2, misalnya A = a bc d

maka determinan A dapat

dihitung sebagai berikut :

|A| = a bc d

= a.d – b.c

Contoh 1 :

Hitung determinan dari : a. 2 33 1

dan b.

4 02 8

Penyelesaian :

a. 2 33 1

= 2.1 – (-3)(3) = 11 b.

4 02 8

= 4.8 – 0.2 = 32

Perlu diingat bahwa matrik dan determinan memiliki tanda kurung yang berbeda. Untuk

matrik digunakan tanda kurung siku [ ] atau ( ), sedangkan determinan menggunakan

tanda kurung | | yang mirip seperti tanda nilai mutla sebuah bilangan. Jadi penulisan

bilangan-bilangan dalam bentuk persegi panjang berikut :

2 33 1

,

4 02 8

adalah menyatakan determinan (bukan matrik). Sedangkan yang seperti berikut ini :

7 35 1

, 1 00 1

adalah menyatakan matrik (bukan determinan).

Determinan Ordo Tiga Untuk matrik bujur sangkar 3 x 3 terdapat satu metode khusus untuk mencari

determinannya, yakni metode sarrus. Namun metode sarrus tidak berlaku umum untuk

matrik berordo lebih dari tiga. Oleh karena itu kita juga akan membahas cara mencari

determinan dengan metode lain yang bisa berlaku umum untuk matrik berukuran lebih

dari 3 x 3.

Sekarang kita akan menghitung determinan matrik 3 x 3. Perhatikan berikut ini :

34

Ini merupakan rumus determinan 3 x 3. Rumus ini sulit untuk diingat. Namun ada cara

yang lebih mudah, yakni dengan menggunakan metode sarrus. Kita mengetahui bahwa,

untuk mencari determinan ordo dua, dapat dilakukan perkalian silang sebagai berikut

yakni dengan mengurangkan hasil perkalian entri-entri yang berada pada “tanda panah

diagonal arah kanan” dengan entri-entri yang berada pada “tanda panah diagonal arah

kiri”, sehingga diperoleh a11.a22 – a12.a21. Ide ini kita lanjutkan untuk determinan ordo

tiga

Perhatikan trik berikut. Kita menambahkan kolom ke-4 dan kolom ke-5 pada matrik A, di

mana entri-entri kolom ke-4 berasal dari kolom-1 dan entri-entri kolom ke-5 berasal dari

kolom-2. Kemudian tarik panah diagonal kanan dan diagonal kiri seperti berikut :

Jumlahkan semua hasil kali entri-entri yang berada pada “tanda panah diagonal arah

kanan”, kemudian kurangkan dengan semua hasil kali entri-entri yang berada pada

“tanda panah diagonal arah kiri” sehingga diperoleh

Begitulah cara mudah mengingat rumus ini.

= a11.a22 – a12.a21

35

Contoh 2 :

Hitung determinan dari matrik B berikut ini

Penyelesaian :

Hasilnya :

Contoh 3 :

Hitung determinan matrik C berikut ini

Penyelesaian :

Dari beberapa contoh di atas, kita mengetahui bahwa determinan suatu matrik bisa

bernilai positif, negatif atau nol.

Minor dan Kofaktor Sekarang kita akan membahas cara menentukan determinan matrik 3 x 3 atau lebih. Cara

ini berlaku umum untuk matrik bujur sangkar n x n. Untuk itu kita perlu memahami

pengertian minor dan kofaktor.

36

Contoh 4 :

Hitunglah kofaktor C12, C24 dan C32 dari matrik A berikut

Penyelesaian :

Untuk menghitung kofaktor-kofaktor tersebut, pertama kita perlu menentukan minor yang

terkait dengan masing-masing kofaktor. Ingat bahwa untuk menghitung minor dari aij ,

kita harus menghapus baris ke-i dan kolom ke-j dari matrik A. Misalnya untuk

menghitung kofaktor C24 maka kita harus menghapus baris ke-2 dan kolom ke-4 dari

matrik A

A =

4 0 10 41 2 3 9

5 5 1 63 7 1 2

M24 = 4 0 105 5 13 7 1

= 508

Oleh karena itu, berdasarkan definisi 2 maka kofaktor C24 adalah :

C24 = (-1)2+4 M24 = (-1)6. 508 = 508

Kofaktor C12 :

Kofaktor C12 = (-1)1+2. M12 . Kita harus menghitung dahulu minor M12 dengan cara

menghapus baris-1 dan kolom-2 matrik A :

Definisi 1: Jika A adalah matrik bujur sangkar berukuran n x n, maka minor entri aij, dinyatakan oleh Mij, adalah determinan submatrik yang diperoleh dengan menghapus baris ke-i dan kolom ke-j dari matrik A.

Definisi 2 : Jika A adalah matrik bujur sangkar maka kofaktor dari entri aij, dinyatakan oleh Cij, adalah bilangan (-1)i + j. Mij

37

A =

4 0 10 41 2 3 9

5 5 1 63 7 1 2

M12 = 1 3 9

5 1 63 1 2

= 160

sehingga kofaktor C12 = (-1)1+2. M12 = (-1)3 . (160) = -160

Dengan cara yang sama kita peroleh kofaktor C32 = -150

Suku (-1)i+j merupakan tanda bagi tiap kofaktor Cij. Untuk memudahkan, jika i + j adalah

genap maka tanda kofaktornya positif (+1) dan bila i + j ganjil maka tanda kofaktornya

negatif (-1). Untuk sebarang matrik bujur sangkar n x n maka tanda bagi tiap kofaktor

dapat dengan mudah ditentukan dengan melihat tanda (+/-) dari matrik berikut

Sekarang kita akan menggunakan kofaktor untuk mencari determinan matrik. Cara ini

sering dinamakan dengan ekspansi kofaktor. Namun sebelum menggunakan cara ini,

adalah penting untuk memahami teorema berikut

Teorema ini menyatakan jika kita telah memilih sebuah baris ke-i, kemudian bergeraklah

disepanjang baris itu dengan mengalikan setiap entrinya ai1, ai2, …, ain dengan setiap

kofaktor yang berasosiasi (berhubungan) dengan masing-masing entri tersebut, lalu

jumlah dari seluruh perkalian tersebut akan menyatakan determinan matrik A. Pengertian

yang sama juga berlaku ketika kita memilih sebarang kolom, misalnya kolom ke-j.

Artinya kita dapat menghitung determinan matrik dengan memilih sebuah baris atau

Teorema 1 : Jika A adalah matrik n x n.

a. Pilih sebarang baris, misalnya baris i, maka

det(A) = ai1Ci1 + ai2Ci2 + … + ainCin

b. Pilih sebarang kolom, misalnya kolom j, maka

det(A) = a1jC1j + a2jC2j + … + anjCnj

38

kolom tertentu sebagai basis ekspansi. Cara ini dinamakan ekspansi kofaktor.

Perhatikan contoh berikut

Contoh 5 :

Diberikan matrik berikut ini,

hitunglah determinannya dengan ekspansi kofaktor

a. Ekspansi baris pertama

b. Ekspansi baris ketiga

c. Ekspansi kolom kedua.

Penyelesaian :

a. Dengan ekspansi baris pertama maka

b. Idenya sama seperti di jawaban a,

c. Ekspansi kolom kedua

39

Apa yang telah kita kerjakan memberi hasil yang sama. Artinya, baris atau kolom apapun

yang digunakan sebagai basis ekspansi, tetap akan memberi nilai determinan yang sama.

Dalam bahasa Inggris, kata ‘determine’ artinya ‘tertentu’. Yang dimaksud tertentu di sini

adalah adanya sebuah angka tertentu (misalnya pada contoh ini -154) di mana dengan

pilihan ekpansi baris/kolom apapun, hasilnya tetap suatu bilangan tertentu.

40

41

42

43

Pilihan Cerdik Untuk Ekspansi Baris atau Kolom Untuk mencari determinan dengan menggunakan ekspansi baris atau kolom, kita bebas

memilik baris atau kolom tertentu sebagai basis ekspansi. Namun adalah cerdik bila kita

memilih satu baris atau kolom yang memiliki entri nol terbanyak. Ini akan menghemat

banyak perhitungan, sebab mengalikan suatu kofaktor Cij dengan entri nol (aij) akan

menghasilkan nilai nol juga.

Contoh 6 :

Jika A adalah matrik 4 x 4

maka determinan A dihitung dengan memilik kolom kedua sebagai basis ekspansi, karena

kolom dua memiliki entri nol terbanyak (yakni 3 nol) :

det(A) = a12C12 + a22C22 + a32C32 + a42C42 = a22C22 (ini karena a12 = a32 = a42 = 0)

Kemudian determinan matrik 3 x 3 di atas dihitung kembali dengan ekspansi kolom

kedua (karena nol terbanyak di sini). Hasilnya

Jadi determinan matrik A adalah -6. Jika kita gunakan ekpansi dengan baris atau kolom

lain, maka determinannya tetap -6.

Sifat-Sifat Determinan Berikut ini kita berikan beberapa sifa determinan. Sifat-sifat tersebut ditampilkan dalam

bentuk teorema-teorema (yang tidak kita buktikan) dan contoh-contohnya.

Teorema 2 : Jika A matrik n x n dan k adalah skalar maka det(kA) = kn det(A)

44

Contoh 7 :

Untuk matrik berikut, hitunglah det(A) dan det(2A)

Penyelesaian :

Dengan ekspansi kolom-1 kita peroleh det(A) = 45. Sedangkan matrik 2A adalah

Karena det(A) = 45, k = 2 dan n = 3, maka dengan teorema 2 kita peroleh

Teorema 3 ini dapat diperluas : det(ABC) =det(A).det(B).det(C)

Contoh 8 :

Untuk matrik-matrik berikut ini, hitunglah det(A), det(B), det(AB)

Penyelesaian :

Matrik hasil kali A dan B adalah AB di mana

Dengan teorema 3 kita peroleh

Teorema 3 : Jika A dan B adalah matrik berukuran sama maka det(AB) = det(A).det(B)

45

Contoh 9 :

Untuk matrik A berikut ini, tentukan det(A) dan det(A-1)

Penyelesaian :

Invers dari A adalah

dan det(A) = 58. Oleh karena itu

Teorema 4 : Andaikan A adalah matrik yang dapat dibalik maka

1 1det(A )det(A)

Teorema 5 :

Matrik bujur sangkar A dikatakan dapat dibalik jika dan hanya jika det(A) 0.

Matrik yang dapat dibalik dinamakan matrik non-singular dan matrik yang tak

dapat dibalik dinamakan matrik singular.

Teorema 6 :

Jika A adalah matrik bujur sangkar maka det(A) = det(AT)

Teorema 7 :

Jika A adalah matrik bujur sangkar di mana terdapat satu baris atau satu kolom yang

semua entrinya nol maka det(A) = 0, sehingga A disebut matrik singular

Teorema 8 :

Andaikan A adalah matrik segitiga n x n maka det(A) = a11.a22…ann

46

Matrik segitiga adalah matrik bujur sangkar di mana semua entri yang berada dibawah

atau di atas diagonall utama bernilai nol. Matrik segitiga ada dua macam : matrik

segitiga atas dan matrik segitiga bawah. Misalnya :

SA =

11 12 13 13

22 23 24

33 34

44

a a a a0 a a a0 0 a a0 0 0 a

(matrik segitiga atas)

SB =

11

21 22

31 32 33

41 42 43 44

a 0 0 0a a 0 0a a a 0a a a a

(matrik segitiga bawah)

Matrik Adjoin dan Matrik Kofaktor Matrik adjoin adalah matrik yang berasal dari matrik kofakor. Matrik adjoin digunakan

untuk menentukan invers suatu matrik bujur sangkar. Berikut definisinya

Contoh 10 :

Hitung adjoin matrik A berikut ini

Penyelesaian :

Definisi 3 :

Jika A adalah matrik n x n dan Cij adalah kofaktor aij. Matrik kofaktor adalah matrik

yang entri-entrinya berasal dari kofaktor A yaitu

11 12 1n

21 22 2n

n1 n2 nn

C C ... CC C ... C

...C C ... C

Matrik adjoin A adalah transpose dari matrik kofaktor tersebut dan dinyatakan oleh

adj(A)

47

Pertama kita hitung dahulu semua kofaktor dari matrik A yakni C11, C12, …, C33. Kita

hanya menghitung C21 dan C23 dengan rinci, dan yang lainnya dikakukan dengan cara

yang sama

Kita telah mengetahui semua kofaktor, sehingga matrik kofaktornya adalah :

Maka adj(A) adalah transpose matrik kofaktor, yakni

Mencari Invers Dengan Determinan dan Matrik Adjoin Kita dapat menentukan invers matrik dengan memanfaatkan determinan dan matrik

adjoin. Berikut ini adalah teorema yang digunakan untuk menghitung invers matrik

Contoh 11 :

Gunakan matrik adjoin untuk mendapatkan invers matrik A berikut ini

Teorema 9 :

Jika A adalah matrik yang dapat dibalik maka 1 1A adj(A)det(A)

48

Penyelesaian :

Pertama kita harus memastikan bahwa det(A) 0. Sebab jika det(A) = 0 maka A adalah

matrik singular yang tak dapat dibalik, oleh karena itu inversnya tak ada.

Dari perhitungan, maka det(A) = -154 dan adjoin A adalah

Sehingga

1 1A adj(A)det(A)

Jika A-1 dicari dengan eliminasi Gauss-Jordan, maka hasilnya sama saja.

Aturan Cramer Kita akhiri bab ini dengan membahas satu kegunaan lain dari determinan, yakni untuk

menyelesaikan sistem persamaan linier. Satu hal yang belum dibahas dalam bab sistem

persamaan linier adalah menyelesaikan sistem linier dengan aturan Cramer.

Kita dapat menyatakan sistem persamaan linier (SPL)

a11x1 + a12x2 + … + a1mxm = b1 a21x1 + a22x2 + … + a2mxm = b2

an1x1 + an2x2 + … + anmxm = bn

dalam bentuk perkalian matrik AX = B di mana A adalah matrik koefisien sistem tersebut, X adalah vektor yang memuat variabel-variabel dan B adalah konstanta ruas kanan SPL

A = ; X = ; B =

Aturan Cramer dapat digunakan hanya jika SPL memiliki banyak variabel yang sama dengan banyaknya persamaan. Artinya matrik koefisien A adalah matrik bujur sangkar. Berikut ini adalah teorema untuk aturan Cramer

49

Contoh 12 :

Gunakan aturan Cramer untuk menyelesaikan sistem persamaan berikut

Penyelesaian :

Pertama kita nyatakan SPL ini dalam bentuk perkalian matrik-matrik berikut

kita hitung determinan A adalah : det(A) = -187

Kemudian kita hitung determinan det(A1), det(A2) dan det(A3)

Maka solusi SPL ini adalah

Teorema :

Andaikan A adalah matrik n x n yang dapat dibalik, maka solusi bagi SPL AX = b

diberikan oleh

1 2 n1 2 n

det(A ) det(A ) det(A )x , x ,..., xdet(A) det(A) det(A)

di mana Ai adalah matrik yang diperoleh dengan mengganti kolom ke-i dari A dengan

entri matrik b.

50

Bagaimana menurut anda, mana lebih mudah, mencari solusi SPL dengan eliminasi

Gauss-Jordan atau dengan aturan Cramer ?