Teoría de grafos

Deseamos interconectar entre si todos los ordenadores de un edificio

Tres problemas de conexión:

Conectar una serie de ordenadores por pares

Procurar que la distancia por cable entre dos ordenadores sea lo más parecida posible a la distancia física

Interconectar una red de ordenadores tal que entre dos ordenadores no pasemos por muchos nodos intermedios

Grafo G(V,A): consiste en un conjunto de vértices V y un conjunto A de pares no ordenados de vértices (aristas)

A={{x1,x

2},{x

1,x

3},{x

1,x

6},{x

2,x

3},{x

2,x

4},

{x3,x

4},{x

3,x

6},{x

4,x

5},{x

4,x

6},{x

5,x

6}}

x6

x5

x4

x3

x2

x1

V={x1,x

2,x

3,x

4,x

5,x

6}

{x3,x6}={x6,x3}

Tipos de grafos

Multigrafo G(V,A): admite aristas múltiples

A={{x1,x

2},{x

1,x

3},{x

1,x

6},{x

2,x

3},{x

2,x

4},

{x3,x

4},{x

3,x

6},{x

4,x

5},{x

4,x

6},{x

4,x

6},

{x4,x

6},{x

5,x

6}}

x6

x5

x4

x3

x2

x1

V={x1,x

2,x

3,x

4,x

5,x

6}

Tipos de grafos

Seudografo G(V,A): admite aristas múltiples y lazos

A={{x1,x

2},{x

1,x

3},{x

1,x

6},{x

2,x

3},{x

2,x

4},

{x3,x

4},{x

3,x

6},{x

4,x

5},{x

4,x

6},{x

4,x

6},

{x4,x

6},{x

5,x

6},{x

1,x

1},{x

1,x

1},{x

5,x

5}}

x6

x5

x4

x3

x2

x1

V={x1,x

2,x

3,x

4,x

5,x

6}

Tipos de grafos

x5

x4

x3

x2

x1

V={x1,x

2,x

3,x

4,x

5}

A={(x1,x

2),(x

1,x

3),(x

1,x

4),(x

1,x

5),(x

3,x

2),

(x4,x

3),(x

5,x

3),(x

5,x

4)}

Grafo dirigido o digrafo G(V,A): consiste en un conjunto de vértices V y un conjunto A de pares ordenados de vértices

Tipos de grafos

),(),( 3553 xxxx

Grafo ponderado G(V,A): las aristas (y/o vértices) tienen asignado un número (que se denomina peso)

V={x1,x

2,x

3,x

4,x

5,x

6,x

7}

A={{x1,x

2},{x

1,x

5},{x

1,x

6},{x

2,x

3},{x

2,x

6},

{x2,x

7},{x

3,x

6},{x

4,x

5},{x

4,x

6},{x

4,x

7},

{x5,x

6}{x

6,x

7}}

x2

4

x5

5

3

4 5

4

x6

6

2

3

x4

x3

x1

x7

1 7

3

Tipos de grafos

A={{x1,x

2},{x

1,x

3},{x

1,x

6},{x

2,x

3},{x

2,x

4},

{x3,x

4},{x

3,x

6},{x

4,x

5},{x

4,x

6},{x

5,x

6}}

x6

x5

x4

x3

x2

x1

V={x1,x

2,x

3,x

4,x

5,x

6}

La entrada (i,j) vale 1 sólo si existe la arista {xi,xj}

Listas de adyacencia

Matriz de adyacencia

Representaciones de grafos

Realización gráfica

011101

101000

110110

101011

001101

100110

Adj

x6

x3

Se trata de una matriz binaria simétrica con diagonal de 0s

A={{x1,x

2},{x

1,x

3},{x

1,x

6},{x

2,x

3},{x

2,x

4},

{x3,x

4},{x

3,x

6},{x

4,x

5},{x

4,x

6},{x

5,x

6}}

x6

x5

x4

x3

x2

x1

V={x1,x

2,x

3,x

4,x

5,x

6}

δ(x1)=3, δ(x2)=3, δ(x3)=4, δ(x4)=4, δ(x5)=2, δ(x6)=4

Lista de grados

La valencia de un vértice es el número δ(x) de aristas en él incidentes

La lista de grados de un grafo consiste en la lista de las valencias de sus vértices. Con normalidad, se toma ordenada de mayor a menor.

Lista de grados: (4,4,4,3,3,2)

x6

x5

x4

x3

x2

x1

δ(x1)=3, δ(x2)=3, δ(x3)=4, δ(x4)=4, δ(x5)=2, δ(x6)=4

Lema del apretón de manos

En todo grafo, la suma de las valencias de los vértices totaliza el doble del número de aristas

Lista de grados: (4,4,4,3,3,2)

axxxVx

v 2)()()( 1

=20: debe haber 10 aristas

12345678910

Subgrafos

Un subgrafo de un grafo G(V,A) consiste en un grafo H(W,B) conWV y B A.

El subgrafo inducido por un conjunto de vértices S consiste en el mayor subgrafo de G que tiene por vértices el conjunto S.

El subgrafo inducido por un conjunto de aristas X consiste en el subgrafo de G que conforman las aristas de X y sus extremos.

x3

x2

x1

x5

x6

F

x3

x2

x1

x5

x6

J

Algunos grafos notables

Ciclos Cn

x3

x2

x1

x3

x2

x1

x3

x3

x2

x1

x5

x4

C3

C5

C4

Algunos grafos notables

Grafos completos

K3

K5

K4

x3

x2

x1

x3

x2

x1

x4

x3

x2

x1

x5

x4

Algunos grafos notables

Grafos r-regulares

K4: 3-regular

Grafo 3-regular

x6x

7

x2

x3 x

8

x9

x10

x12 x

14

x13

x1

x4

x11

x5

Algunos grafos notables

Grafos bipartitos

x6

x5

x4

x3

x2

x1 x

3

x5

x6

x4

x2

x1

C6

Grafos bipartitos completos Km,n

x5

x3

x1 x

2

x4

x5

x3

x1 x

2

x4

x6

K3,2 K3,3

G

b

cd

e

f

g

hi

jx e y están conectados

(a,b,g,f,a,e,j,f,g,b,c)

Caminos G=(V,A) un grafo

x,yV dos vértices camino (de x a y)

(x = x0, x1, x2, ..., xm-1, xm = y)xi V, {xi-1,xi} A

a

k(G): conectividad ó índice de vértice conexión. Indicael menor número de vértices cuya eliminacióndesconecta el grafo (o lo convierte en trivial, en elcaso de grafos completos) . Estos vértices reciben elnombre de conjunto de vértices de corte. Un grafo Ges n-conexo si k(G)≥n.

Conexión

x6

x7

x4

x1

x3

x2

x5

af

e

g

hi

dcb

d es un vértice de corte: G -d es disconexo

k-conexión en grafos G=(V,A) un grafo conexo

G=(V,A) un grafo conexo

{g,c} conforma una pareja de corte: G - {g,c} es disconexo

a

f

e

g

hi

d

c

b

k-conexión en grafos

Se trata de un grafo 2-conexo no 3-conexo

k(G)=2

a

e

d c

b

j

f

g

h

i

G=(V,A) un grafo conexo

a

e

d c

b

j

f

g

h

i

k-conexión en grafos

Dos caminos entre dos vértices u,vV se dice que son disjuntos porvértices si los únicos vértices que tienen en común son u y v.

(a,e,c)

(a,d,b,c)

Teorema de Whitney: Un grafo es k-conexo si y sólo si todo par devértices del grafo está conectado por al menos k caminos disjuntos porvértices.

G=(V,A) un grafo conexo

a

e

d c

b

j

f

g

h

i

k-conexión en grafos

Teorema de Menger: Un grafo es k-conexo por aristas si y sólo si todopar de vértices del grafo está conectado por al menos k caminos disjuntos poraristas.

ka(G)≥3

Árbol

Un grafo T=(V,A) es un árbol si

Es conexo

No contiene ciclos

Un grafo G=(V,A) que no contiene ciclos se llama bosque.

Cada componente conexa de un bosque es un árbol.

Caracterización

Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

1. T(V,A) es un árbol

2. Dos vértices cualesquiera de T están conectados por un

único camino.

3. T es conexo y la eliminación de cualquiera de sus aristas

produce un bosque de dos árboles.

4. T es conexo y |A| = |V|-1.

5. T es acíclico y |A| = |V|-1.

Hay dos métodos sistemáticos paraobtener árboles (bosques) recubridores:

Árboles recubridores

Consiste en recorrer el grafo a partir de un vértice, de manera que no setoma ninguna bifurcación hasta agotar el camino en curso. Llegado elcaso, se retrocede hasta la primera bifurcación, y se sigue elprocedimiento.

Búsqueda en profundidad (DFS):

Búsqueda en anchura (BFS):

Consiste en recorrer el grafo a partir de un vértice, de manera que uno seexpande lo máximo posible desde cada vértice que visita, considerandotodos los vértices adyacentes, y así sucesivamente.

Grafos planos

Una representación gráfica de un grafo en una superficie S (por ejemplo elplano) se dice que es una inmersión en S si dos aristas no se cortan enpuntos que no sean vértices del grafo.

Inmersión en el plano

Un grafo se dice que es un grafo plano si admite una inmersión en el plano.

Grafos planos

K4 SÍ es un grafo plano

K5 NO es un grafo plano ????

Grafos planos

Fórmula de Euler: Si G=(V,A) es un grafo plano conexo, con c caras, a aristas y vvértices: v + c = a + 2

Tests de planaridad

Se llama subdivisión de un grafo G=(V,A) a un nuevo grafo G’ obtenido alsubdividir alguna(s) arista(s) de G, mediante la inserción de nuevo(s) vértice(s).

Teorema de Kuratowski: Un grafo es plano si, y sólo si, no contiene ningúnsubgrafo isomorfo a K5 ni a K3,3, ni a subdivisiones de ellos.

Los vértices no se pueden insertar en cruces