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MODULO I: Diseño e Ingeniería Junio 24, 2005
9-1
Teorías de Falla
Estática
Conceptos Básicos
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MODULO I: Diseño e Ingeniería Junio 24, 2005
9-2
Introducción
¿Por qué fallan las partes mecánicas?
¿Qué tipo de esfuerzos causan la falla?
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MODULO I: Diseño e Ingeniería Junio 24, 2005
9-3
La figura 1 muestra el círculo de Mohr para
un elemento sometido a una prueba de
tensión. En esta prueba una fuerza axial es
aplicada lentamente causando un esfuerzo
normal. Sin embargo, el círculo de Mohr
también muestra un esfuerzo cortante, el cual
tiene una magnitud igual a la mitad del
esfuerzo normal. La pregunta es, ¿qué
esfuerzo hace que falle la pieza, el esfuerzo
normal o el esfuerzo cortante?
La figura inferior muestra un ensayo de
torsión que causa un esfuerzo de corte. Sin
embargo, también se encuentra presente un
esfuerzo normal. ¿Cuál hace fallar la pieza?
Introducción
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9-4
¿Qué queremos decir con falla?
• Una parte puede fallar si se deforma lo suficiente como para impedir
su correcto funcionamiento.
• Una parte puede fallar fracturándose y separándose.
• Cualquiera de estas condiciones es una falla, pero los mecanismos
que los causan son muy diferentes.
• Algunos factores a considerar son los siguientes:
Tipo de material
Condiciones del material
Tipo de carga
Introducción
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9-5
Falla de Materiales Dúctiles Bajo Carga
Estática
Mientras que los materiales dúctiles llegarán a la fractura
si se llevan más allá de su resistencia última, la falla
normalmente es considerada cuando llegan al punto de
cedencia. La resistencia a la cedencia es
considerablemente menor que la resistencia última. Se
han formulado muchas teorías para explicar esta falla, sin
embargo, únicamente dos de estas teorías coinciden con
los datos experimentales; la teoría de la energía de
distorsión (Von Mises-Hencky) y la teoría del esfuerzo
cortante máximo.
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9-6
Teoría de la Energía de Deformación
(Von Mises)
Energía Total de Deformación. La energía de
deformación en un volumen unitario asociado
con cualquier tipo de esfuerzo es igual al área
bajo la curva esfuerzo deformación hasta el
punto del esfuerzo aplicado tal como se
muestra en la figura 2.
2
1U
Extendiendo a un estado de esfuerzo tridimensional
3322112
1 U
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9-7
Teoría de la Energía de Deformación
(Von Mises) Cont...
Esta última expresión se puede escribir en términos de esfuerzos
principales únicamente por medio del uso de las siguientes relaciones:
2133
3122
3211
1
1
1
E
E
E
313221
2
3
2
2
2
1 22
1
EU
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9-8
Teoría de la Energía de Deformación
(Von Mises) Cont...
Estado de Carga Hidrostática. Es posible almacenar una gran
cantidad de energía de deformación sin que ocurran fallas en
materiales sometidos a esfuerzos uniformes en todas direcciones.
Esto es debido a que este tipo de esfuerzos, aunque crean un
cambio de volumen y grandes cantidades de energía de
deformación, no existe distorsión de la parte y por lo tanto no
existen esfuerzos cortantes. Como ejemplo considere una parte
sometida a los siguientes esfuerzos:
1 zyx
El círculo de Mohr es un punto con esfuerzo cortante nulo y con
esfuerzos principales iguales, de manera que no existe distorsión
ni falla.
321
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9-9
Teoría de la Energía de Deformación
(Von Mises) Cont...
Componentes de la Energía de Deformación. Se puede
considerar que la energía total de deformación se compone de
una parte hidrostática (Uh) que cambia el volumen, y otra debida
a la distorsión (Ud) que cambia la forma. Esta última proporciona
información del esfuerzo cortante. Se puede entonces escribir:
dh UUU
Los esfuerzos principales también se pueden escribir de la misma
forma:
idhi i = 1,2,3
Sumando los esfuerzos principales obtenemos:
dddh 3213213
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9-10
Teoría de la Energía de Deformación
(Von Mises) Cont...
Para que exista un cambio volumétrico sin distorsión, el término
entre paréntesis debe ser cero, con lo que obtenemos:
3321
h
La componente hidrostática es
simplemente el promedio de los esfuerzos
principales
Ahora bien, la energía Uh asociada al cambio de volumen se
puede encontrar reemplazando cada esfuerzo principal en la
ecuación de la energía total por el esfuerzo hidrostático h:
221
2
3hh
EU
313221
2
3
2
2
2
1 26
21
EUh
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9-11
Teoría de la Energía de Deformación
(Von Mises) Cont...
Energía de Distorsión. La energía de distorsión se obtiene de
hd UUU
313221
2
3
2
2
2
13
1
EUd
Para obtener un criterio de falla, comparemos la energía de distorsión
por unidad de volumen dada por la ecuación anterior con la energía
de distorsión por unidad de volumen presente en un ensayo de
tensión, ya que de este ensayo proviene nuestra mayor cantidad de
información. En este ensayo tenemos
yS1
032
Sustituyendo en Ud 2
3
1yd S
EU
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9-12
Teoría de la Energía de Deformación
(Von Mises) Cont...
Finalmente, el criterio de falla se obtiene igualando las dos
expresiones para Ud
313221
2
3
2
2
2
1
2
3
1
3
1
EUS
Edy
313221
2
3
2
2
2
1 yS
Aplicable para estado de esfuerzo triaxial. Para un estado de
esfuerzos biaxial, la ecuación se reduce a:
2
331
2
1 yS
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9-13
Teoría de la Energía de Deformación
(Von Mises) Cont...
La última ecuación
describe una elipse
como se muestra
en la figura 3. El
interior de esta
elipse define la
región segura de
esfuerzos biaxiales
combinados contra
cedencia bajo
carga estática.
Figura 3
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9-14
Teoría de la Energía de Deformación
(Von Mises) Cont...
Cortante Puro. Para el caso de cortante puro los esfuerzos
principales quedan definidos como
02
31
Esta condición queda representada por una línea recta a –45 grados
que pasa por el origen. Esta línea intersecta a la elipse en los
puntos A y B. Los valores absolutos de los esfuerzos principales en
estos puntos se encuentran a partir de la forma bidimensional:
max1
2
max
2
1
2
111
2
1
2
577.03
33
y
y
y
SS
S
Definimos la resistencia a la cedencia en corte yys SS 577.0
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9-15
Teoría del Esfuerzo Cortante Máximo
La contribución del esfuerzo cortante en la falla estática de
materiales dúctiles se reconoció antes del desarrollo de la teoría
de Von Mises. Esta teoría es conocida también como la Teoría
de Tresca-Guest.
Esta teoría establece que se presenta una falla cuando el
esfuerzo cortante máximo en una parte es mayor que el esfuerzo
cortante en una probeta de tensión cuando se alcanza el punto
de cedencia. Escrito de diferente manera, se predice que la
resistencia a la cedencia en corte de un material dúctil es:
yys SS 50.0
Notar que este criterio es más conservador que el criterio de la
energía de distorsión.
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9-16
Teoría del Esfuerzo Cortante Máximo.
Cont...
En la figura 4 se
muestra la envolvente
de falla hexagonal
superimpuesta con la
elipse de la energía de
distorsión. Está inscrita
dentro de la elipse y la
toca en seis puntos.
Se considera que
existe falla cuando el
estado combinado de
esfuerzos alcanza la
frontera hexagonal.
Las condiciones de
cortante puro se
muestran como los
puntos C y D.
Figura 4
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9-17
Teoría del Esfuerzo Cortante Máximo.
Cont...
El uso de esta teoría es para materiales dúctiles homogéneos
isotrópicos. El primer paso es calcular los tres esfuerzos
principales 1, 2 y 3, y de aquí el cortante máximo 13.
Entonces se compara el cortante máximo con el criterio de falla.
Se define un factor de seguridad a partir de las siguientes
relaciones:
3131maxmax 2
250.0
yyyys SSSSN
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MODULO I: Diseño e Ingeniería Junio 24, 2005
9-18
Comparando Teorías de Falla vs Datos
Experimentales
Figura 5
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9-19
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MODULO I: Diseño e Ingeniería Junio 24, 2005
9-20
Falla de Materiales Frágiles Bajo
Carga Estática
Los materiales frágiles se fracturan en lugar de ceder.
La fractura frágil en tensión es debida al esfuerzo
normal únicamente de manera que la teoría del
esfuerzo normal máximo es aplicable en este caso. La
fractura frágil en compresión es debida a una
combinación del esfuerzo normal en compresión y el
esfuerzo cortante y requiere una teoría de falla
diferente. Si se desea considerar toda una combinación
de cargas se utiliza una combinación de teorías.
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MODULO I: Diseño e Ingeniería Junio 24, 2005
9-21
Materiales Simétricos y No-Simétricos
Figura 6 Figura 7
Los materiales simétricos son aquellos cuya resistencia a la tensión es la
misma que su resistencia a la compresión (fig 6). Los materiales no-
simétricos son aquellos cuya resistencia a la tensión es diferente a la
resistencia a la compresión (fig 7). Las fundiciones son un ejemplo típico
de material no-simétrico.
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9-22
Teoría del Esfuerzo Normal Máximo
(Mohr)
Esta teoría establece que ocurre una falla cuando el mayor
esfuerzo normal es igual a algún límite de resistencia normal como
puede ser la resistencia a la cedencia o la resistencia última.
Figura 8
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9-23
Teoría de Coulomb-Mohr y Modificada de
Mohr
Las observaciones realizadas acerca de los materiales no-simétricos
llevaron al desarrollo de esta teoría. La figura 9 muestra las diferentes
teorías de falla para un estado de esfuerzos bidimensional en los ejes 1 y 3
y con esfuerzos normalizados a la resistencia última del material. Nótese
la similitud de la teoría de Coulomb-Mohr con la teoría del cortante máximo
para materiales dúctiles.
Figura 9
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MODULO I: Diseño e Ingeniería Junio 24, 2005
9-24
Comparando Teorías de Falla vs Datos
Experimentales
La desviación
mostrada con
respecto a la
teoría de
Coulomb-
Mohr, es lo
que desarrolla
la Teoría
Modificada de
Mohr. Esta es
la teoría
preferida para
el caso de
materiales
frágiles no-
simétricos
bajo carga
estática.
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9-25
Uso de la Teoría de Mohr Modificada
Si los esfuerzos principales se ordenan como
0, 231
Únicamente se necesitan dibujar los cuadrantes
primero y cuarto tal como se muestra en la figura 11.
El punto A representa un estado de esfuerzos con
los dos esfuerzos principales 1 y 3 son positivos. El
factor de seguridad para esta situación está dado
por
1utS
N
Si los esfuerzos principales tienen signos contrarios,
entonces existen dos posibilidades para la falla: la
primera es representada por el punto B y el factor de
seguridad estaría dado por la expresión anterior Figura 11
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9-26
Uso de la Teoría de Mohr Modificada
Si el estado de esfuerzo está representado por el punto C, entonces el
factor de seguridad está dado por:
311
utuc
ucut
SS
SSN
Un método alternativo es evaluar una serie de expresiones conocidas
como coeficientes de Dowling que representan un esfuerzo efectivo
equivalente al esfuerzo de Von Mises para materiales dúctiles.
El esfuerzo efectivo se determina en
base a la siguiente relación
321321 ,,,,, CCCMAX
El factor de seguridad es
utS
N
13133
32322
21211
2
2
1
2
2
1
2
2
1
uc
utuc
uc
utuc
uc
utuc
S
SSC
S
SSC
S
SSC
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9-27
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9-28
Teoría de la Fractura
Las teorías de falla revisadas hasta el momento suponen que los
materiales son perfectamente homogéneos e isotrópicos, de tal
manera que se encuentran libres de defectos como grietas,
huecos o inclusiones que pueden servir como concentradores de
esfuerzos. Por lo general, esto no es verdad para los materiales
reales.
Podemos afirmar que todos los materiales contienen microgrietas
que son imperceptibles al ojo.
Las grietas pueden ocurrir de forma espontánea durante el uso de
la parte, y esto dificulta mucho su determinación, cálculo y control.
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9-29
Teoría de la Fractura. (Cont...)
Las figuras 12 y 13 muestran la presencia de una grieta crea una
concentración de esfuerzos que tiende a ser infinita. Observe que este ocurre
conforme la apertura de la grieta disminuye.
c
aK 21
En esta sección supondremos que
la zona de cedencia alrededor de
la grieta es muy pequeña en
comparación con las dimensiones
de la parte y que el modo de la
separación de la grieta es en
tensión (modo I)
Figura 12 Figura 13
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9-30
Teoría de la Fractura. (Cont...)
Factor de Intensidad de Esfuerzos K
A partir de la teoría lineal de la elasticidad, para b>>a, los esfuerzos
alrededor de la grieta se pueden escribir como:
yxz
z
zxyz
xy
y
x
r
K
r
K
r
K
0
0
2
3sin
2sin
2cos
2
2
3sin
2sin1
2cos
2
2
3sin
2sin1
2cos
2
Esfuerzo plano
Deformación plana
Figura 14 Figura 15
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9-31
Teoría de la Fractura. (Cont...)
Tomando como ejemplo un estado de esfuerzo plano, calculando el esfuerzo
de Von Mises a partir de las componentes x,y y cortante, podemos obtener
una gráfica de esfuerzo vs para una distancia dada (Fig 16). Ahora bien, la
figura 17 muestra una gráfica esfuerzo vs radio para la posición con
máximo valor de esfuerzo.
Figura 16 Figura 17
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9-32
Teoría de la Fractura. (Cont...)
Los grandes esfuerzos cerca del borde de la grieta crean cedencia local y una
zona plástica de radio r como se muestra en la figura 18. El estado de
esfuerzos en esta zona plática es directamente proporcional al factor de
intensidad de esfuerzo K. Si b>>a y con una grieta en el centro:
aK nom
Si la grieta no es pequeña comparada con la
dimensión de la placa, o bien si la geometría
es más complicada, entonces:
aK nom
es un parámetro adimensional que depende
de la geometría, el tipo de carga y la razón a/b. Figura 18
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MODULO I: Diseño e Ingeniería Junio 24, 2005
9-33
Teoría de la Fractura. (Cont...)
Por ejemplo, el valor de para el caso de una grieta centrada en una placa
es
b
a
2sec
Ahora bien, si la grieta se encuentra en un borde
de la placa como se muestra en la figura 18,
entonces =1.12
Se define un factor de seguridad a la falla por
fractura
K
KN c
FM
Donde Kc es la tenacidad a la fractura que es
una propiedad del material. Figura 18 (repetida)
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9-34
Teoría de la Fractura. (Cont...)
Unidades.
Las unidades del factor de intensidad de esfuerzo K son
MPa-m0.5 o bien kpsi-in0.5.
Valores de Tenacidad a la Fractura.
Metales: 20 – 200 MPa-m0.5
Polímeros y cerámicos: 1 – 5 MPa-m0.5
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9-35
