EJERCICIOS DE ESTADSTICA

Inmaculada Leiva Tapia IES Alborn

2DISTRIBUCIN DE LAS MEDIAS MUESTRALES. TEOREMA CENTRAL DEL LMITE.APLICACIONES.

3Teorema central del lmite

Practica

4Consecuencias del TCL

5Control de las medias muestrales

6Control de la suma de todos los individuos de la muestra

Practica

7 EJERCICIO 1:

Los parmetros de una variable estadstica son: media = 16,4,y desviacin tpica = 4,8 .Se extrae una muestra de n = 400 individuos. a) Qu distribucin siguen las medias muestrales x extradas aleatoriamente de la poblacin?Justifica la respuesta. b) Halla el intervalo caracterstico para las medias muestrales x correspondientes a una probabilidad p = 0,99 c) Calcula P(16 < x < 17)

8 Solucin a):

9 Solucin b):

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Solucin c):

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EJERCICIO 2:

Los sueldos x (en euros),de los empleados de una fbrica se distribuyen N(1200,400). a)A qu distribucin se ajusta la variable suma de los sueldos en las muestras de tamao 25 extradas aleatoriamente de la poblacin?Justifica la respuesta. b) Elegida al azar una muestra de 25 individuos, cul es la probabilidad de que la suma de sus sueldos sea superior a 35000 ? c) Halla el intervalo caracterstico para las sumas de los sueldos de 25 individuos correspondientes a una probabilidad del 0,9.

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ESTIMACIN DE LA MEDIA

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La frmula E = z/2 /n relaciona las tres variables. Siempre se fijan dos de ellas,y se calcula la tercera; por ello hay tres tipos de ejercicios:

Conocidos (1 ) , n ==> E ?

Conocidos (1 ) , E ==> n ? Conocidos E , n ==> (1 ) ?

Intervalo de confianza para estimacin de la media

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EJERCICIO :

Sea x una variable aleatoria que se distribuye normal,con media desconocida y desviacin tpica = 4.Tomamos una muestra de tamao n = 22,en la que se obtiene una media muestral x = 5. a) Halla el intervalo de confianza para estimar la media de la poblacin,con un nivel de confianza del 82,62%. b) Si queremos reducir el error para que sea menor o igual que una dcima, manteniendo el nivel de confianza al 82,62%,hasta qu valor habr que aumentar el tamao mnimo de la muestra elegida para realizar la estimacin? c) Cul sera el nivel de confianza con que haramos la estimacin utilizando muestras de tamao 22,y admitiendo como error mximo una dcima? Interesara hacer la estimacin en tales condiciones?

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Intervalo de confianza para estimacin de la media:1) Hallar el error mximo admisible E

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Intervalo de confianza para estimacin de la media:2) Hallar el tamao n de la muestra

18Practica

Intervalo de confianza para estimacin de la media:3) Hallar el nivel de confianza (1 - )

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DISTRIBUCIN DE LAS PROPORCIONES MUESTRALES

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Sea una poblacin donde p es la proporcin de individuos que posee una determinada caracterstica C.Tomamos muestras del mismo tamao n.En cada una de esas muestras habr una proporcin pr de individuos con C.Cmo se distribuye la variable pr?

Distribucin de las proporciones muestrales

Demostracin: Si x = n individuos en cada muestra de tamao n con la caracterstica C, x es B(n,p). Si adems np 5 y nq 5,entonces: x es B(n,p) N(np ,npq). Si pr = proporcin de individuos de la muestra con la caracterstica C,entonces pr = x/n y,por tanto,la distribucin de pr es como la de x,pero con los parmetros media y desv. tpica divididos por n: pr es N(np/n ,npq/n) = N(p ,pq/n)

PROPOSICIN:si np 5 y nq 5, entonces la proporcin pr de individuos con la caracterstica C en las muestras de tamao n,es una variable estadstica que sigue una distribucin normal de media p y de desviacin tpica pq/n: np 5 y nq 5 ==> pr es N(p ,pq/n )

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Control de las proporciones muestrales

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ESTIMACIN DE LA PROPORCIN

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Intervalo de confianza para estimacin de la proporcin

Se desea estimar la proporcin p de individuos de una poblacin con una caracterstica C. Se toma una muestra aleatoria de tamao n,y se obtiene en ella la proporcin muestral pr.

Si np 5 y nq 5,y adems la muestra es grande (n 30), entonces el intervalo de confianza para la estimacin de la proporcin p en la poblacin,con un nivel de confianza de (1 ) 100% , es el intervalo simtrico centrado en pr:

( pr E, pr + E) = ( pr - z/2 pr(1-pr)/n , pr + z/2 pr(1-pr)/n )

en el que se cumple que P( pr E < p < pr + E ) = 1 .

La frmula E = z/2 pr(1-pr)/n relaciona las tres variables. Siempre se fijan dos de ellas,y se calcula la tercera;por ello hay tres tipos de ejercicios:

Conocidos (1 ) , n ==> E ?

Conocidos (1 ) , E ==> n ? Conocidos E , n ==> (1 ) ?

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EJERCICIO :

Tomada una muestra de 300 personas mayores de 15 aos en una gran ciudad, se encontr que 104 de ellas lean el peridico regularmente. a)Halla,con un nivel de confianza del 90%,un intervalo para estimar la proporcin de lectores del peridico entre los mayores de 15 aos. b)A la vista del resultado anterior,se pretende repetir la experiencia para lograr una cota de error de 0,01,con el mismo nivel de confianza del 90%.Cuntos individuos debe tener la muestra? c)A partir de una muestra de 100 individuos,se ha estimado la proporcin mediante el intervalo de confianza (0'17; 0'25).Cul es el nivel de confianza con el que se ha hecho la estimacin?

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Intervalo de confianza para estimacin de la proporcin: 1) Hallar el error mximo admisible E

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Intervalo de confianza para estimacin de la proporcin:2) Hallar el tamao n de la muestra

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Intervalo de confianza para estimacin de la proporcin:3) Hallar el nivel de confianza (1 - )

Practica

CONTRASTES DE HIPTESIS

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Enunciacin: de las hiptesis nula H0 y alternativa H1.

Deduccin de conclusiones: suponiendo cierta la hiptesis nula H0 , el parmetromuestral (media x o proporcin pr ,de las muestras),se distribuye mediante una normal con parmetros conocidos.Entonces,se elige un nivel de significacin y se construye la zona de aceptacin,que es el intervalo (o semirrecta) fuera del cual slo se encuentran el 100% de los casosraros de la poblacin.

Verificacin: se extrae ahora una muestra de tamao n, y en ella se calcula el parmetromuestral.

Decisin: si el valor del parmetro muestral obtenido cae dentro de la zona de aceptacin, se acepta la hiptesis nula con un nivel de significacin . En caso contrario,se rechaza la hiptesis nula y se acepta la alternativa.

Hay dos tipos de contrastes: bilateral y unilateral.

Pasos para efectuar un contraste de hiptesis:

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Contrastes de hiptesis para la media (bilateral)

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EJERCICIO 27:

Un fabricante de lmparas est ensayando un mtodo de produccin que se considera aceptable si las lmparas as obtenidas dan lugar a una poblacin normal de duracin media 2400 horas,con una desviacin tpica de 300 horas. Se toma una muestra de 100 lmparas,dando una duracin media de 2320 horas. Se puede aceptar la hiptesis de validez del nuevo proceso de fabricacin con un riesgo igual o menor al 5%?

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EJERCICIO 28:

Se sabe por experiencia que el tiempo obtenido por los participantes olmpicos de la prueba de 100 metros,en la modalidad de decathlon, es una variable aleatoria que sigue una distribucin normal con media 12 segundos y desviacin tpica 1,5 seg. Para contrastar,con un nivel de significacin del 5%,si no ha variado el tiempo medio en la ltima Olimpiada,se extrajo una muestra aleatoria de 10 participantes y se anot el tiempo obtenido por cada uno,con los siguientes resultados en segundos: 13 12 11 10 11 11 9 10 12 11 a) Cules son la hiptesis nula y la alternativa del contraste? b) Determina la regin crtica. c) Realiza el contraste.

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EJERCICIO 29: Se ha comprobado que el tiempo de espera (en minutos) hasta ser atendido, en cierto servicio de urgencias,sigue un modelo normal de probabilidad. A partir de una muestra de 100 personas atendidas en dicho servicio,se ha calculado un tiempo medio de espera de 14,25 minutos y una desviacin tpica de 2,5 minutos. a)Podramos afirmar,con un nivel de significacin del 5%,que el tiempo medio de espera en urgencias,no es de 15 minutos? b)Qu podramos concluir si el nivel de significacin hubiese sido del 0,1%? c)Existe contradiccin entre ambas situaciones?

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Solucin a):

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Solucin b) y c):

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Contrastes de hiptesis para la media (unilateral,a la derecha)

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EJERCICIO 30: La duracin de las bombillas de 100 vatios de una fbrica sigue una distribucin normal con una desviacin tpica de 120 horas.Su vida media est garantizada durante un mnimo de 800 horas. Se escoge,al azar,una muestra de 50 bombillas de un lote y tras probarlas, se obtiene una vida media de 750 horas. Con un nivel de significacin de 0,01,habra que rechazar el lote por no cumplir la garanta?

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Contrastes de hiptesis para la media (unilateral,a la izquierda)

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EJERCICIO 31: Una encuesta,realizada a 64 empleados de una fbrica,concluy que el tiempo medio de duracin de un empleo en la misma era de 6,5 aos con una desviacin tpica de 4 aos. Sirve esta informacin para aceptar,con un nivel de significacin del 5%,que el tiempo medio de empleo en la fbrica es menor o igual que 6 aos?

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Contrastes de hiptesis para la proporcin (bilateral)

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EJERCICIO 32:

Un dentista afirma que el 40% de los nios de 10 aos presentan indicios de caries dental. Tomada una muestra de 100 nios,se observ que 30 presentaban indicios de caries. Con un nivel de significacin del 5%,se puede rechazar la afirmacin del dentista?

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EJERCICIO 33:

Una empresa farmacetica afirma que uno de sus medicamentos reduce de foma considerable los sntomas de la alergia primaveral en el 90% de la poblacin. Una asociacin de consumidores ha experimentado dicho frmaco en una muestra de 200 alrgicos,obteniendo el resultado indicado por la empresa en170 casos. Determina si la asociacin de consumidores puede considerar que la afirmacin de la farmacutica es estadsticamente correcta,al nivel de significacin de 0,05.

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Contrastes de hiptesis para la proporcin(unilateral,a la izquierda)

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EJERCICIO 34:

El 42% de los escolares suele perder,al menos,un da de clase a causa de gripes y catarros.Sin embargo,un estudio sobre 1000 escolares revela que en el ltimo curso hubo 450 en tales circunstancias. Las autoridades sanitarias defienden que el porcentaje del 42% para toda la poblacin de escolares,se ha mantenido. Contrasta,con un nivel de significacin del 5%,la hiptesis defendida por las autoridades sanitarias,frente a que el porcentaje ha aumentado, como parecen indicar los datos,explicando claramente a que conclusin se llega.

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Contrastes de hiptesis para la proporcin(unilateral,a la derecha)

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EJERCICIO 35:

En una muestra aleatoria de 225 habitantes de una poblacin, hay 18 que hablan alemn. A un nivel de significacin de 0,05,hay suficiente evidencia para refutar la afirmacin de que al menos el 10% de los habitantes de la poblacin hablan alemn?

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EJERCICIO 36:

En el ao 2005 un estudio indicaba que un 15% de los conductores utilizaban el mvil con el vehculo en marcha. Con el fin de investigar la efectividad de las campaas realizadas para reducir estos hbitos,se ha hecho una encuesta a 120 conductores de los cuales 12 reconocieron hacer un uso indebido del mvil. Plantea un test para contrastar que las campaas no han cumplido su objetivo frente a que s lo han hecho,como parecen indicar los datos obtenidos. A qu conclusin se llega con un nivel de significacin del 4%?

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57 Inmaculada Leiva Tapia IES Alborn

FIN

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