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EJERCICIOS RESUELTOS DE ESTADÍSTICA Y PROBABILIDAD (2º E.S.O.)
ESTADÍSTICA
PROBABILIDAD
EJERCICIOS RESUELTOS DE SEMEJANZAS (3º E.S.O.)
42.- (Página 107) Aplicamos el Teorema de Tales para calcula el segmento AC :
5 4 6 5 307,5
6 4 4
AC ABAC
AC AB AC
= = = = =
cm
43.- (Página 107) Calculamos el valor de las incógnitas mediante el Teorema de Tales:
a) 4 2 3 2 6
1,53 4 4
xx
= = = = cm b)
2 4,8 3 2 61,25
3 4,8 4,8x
x
= = = = cm
44.- (Página 108) Calculamos el valor de los segmentos OA , AB y BC mediante el Teorema de Tales:
Sabemos que 0,8OB
OB=
. Para calcular el resto de segmentos establecemos las siguientes proporciones:
a) OA → 2,3
0,8OA OB
OA OB OA= =
y despejando:
2,32,875
0,8OA = = cm
b) AB → 0,82,8
AB OB AB
A B OB= =
y despejando: 0,8 2,8 2,24AB = = cm
c) BC→ 0,84,5
BC OB BC
B C OB= =
y despejando: 0,8 4,5 3,6BC = = cm
50.- (Página 108) Para saber si son semejantes, tenemos que ver si las parejas de lados homólogos son
proporcionales, esto es, si se cumple que a b c
a b c= =
:
• a) y b) 4 7 9
3 4 6 Por lo que NO son proporcionales
• a) y c) 4 7 9
6,75 9 13 Por lo que NO son proporcionales
• a) y d) 4 7 9
0,6676 10,5 13,5= = = Por lo que SÍ son proporcionales
• b) y c) 3 4 6
6,75 9 13= Por lo que NO son proporcionales
• b) y d) 3 4 6
6 10,5 13,5 Por lo que NO son proporcionales
• c) y d) 6,75 9 13
6 10,5 13,5 Por lo que NO son proporcionales
51.- (Página 108) Para comprobar si los triángulos son semejantes, debemos comprobar si las parejas de
lados homólogos son proporcionales. Como sabemos que una pareja de ángulos de 100º son iguales, con
comprobar sólo dos parejas de lados, tendremos comprobado que son proporcionales. En definitiva,
tenemos que plantearnos si: ¿?5,5 4
10,75 10=
Lo comprobamos multiplicando en cruz: ¿?
5,5 10 4 10,75 = → 55 43 No son iguales con lo que los
triángulos no son semejantes.
57.- (Página 108) Tenemos un triángulo de lados: 7, 11 y 13 cm. Si queremos calcular las longitudes de los
lados de otro semejante sabiendo que la razón de semejanza es 2,5, lo hacemos usando que se debe cumplir
lo siguiente: 2,5a b c
a b c= = =
siendo los numeradores los lados del triángulo original y los denominadores
los del triángulo que estamos calculando:
• 2,5a
a=
→
72,5
a=
y despejando:
72,8
2,5a = = cm
• 2,5b
b=
→
112,5
b=
y despejando:
114,4
2,5b = = cm
• 2,5c
c=
→
132,5
c=
y despejando:
135,2
2,5c = = cm
(Ten en cuenta que también podrían haber establecido que la razón de semejanza se obtiene de las medidas
del segunda triángulo entre las del primero (las fracciones estarían escritas todas al revés) por lo que el que
estás calculando tendría longitudes mayores).
58.- (Página 108) Si los lados de un hexágono miden 13, 14, 15, 17, 19 y 20 cm. y sabemos que uno de los
lados de otro hexágono semejante al anterior mide 80 cm, manteniendo una razón de semejanza entera (no
decimal), entonces la pareja de lados homólogos serán el de 80 cm con el de 20 ya que la razón de semejanza
se obtiene al dividirlos y es la única combinación que da entera. Es decir: 80
420
r = = es la razón de
semejanza, lo que quiere decir que el segundo hexágono es 4 veces mayor que el primero. Para el resto de
lados calculamos usando la razón de semejanza:
• 4a
a
= → 4
13
a= y despejando: 4 13 52a = = cm
• 4b
b
= → 4
14
b= y despejando: 4 14 56b = = cm
• 4c
c
= → 4
15
c= y despejando: 4 15 60c = = cm
• 4d
d
= → 4
17
d = y despejando: 4 17 68d = = cm
• 4e
e
= → 4
19
e= y despejando: 4 19 76e = = cm
60.- (Página 108) Si los dos rectángulos son semejantes, la razón de semejanza se obtiene dividiendo una
pareja de lados homólogos, y esta razón debe mantenerse en sus perímetros. Por lo tanto, calculamos la
razón de semejanza: 1,4
0,58822,38
r = = (Observa que si hubiésemos elegido la otra pareja de lados la
razón no varía: 3
0,58825,1
r = = ).
El perímetro del primero respecto del segundo también mantiene dicha razón, que lo puedes comprobar:
3 3 1,4 1,4 8,80,5882
5,1 5,1 2,38 3,38 14,96
Pr
P
+ + += = = =
+ + +.
61.- (Página 108) Si los lados iguales de dos triángulos isósceles
semejantes miden 8 y 14 cm respectivamente, entonces, la razón de
semejanza entre dichos triángulos es: 8 4
14 7r = = . Con esto, calculamos
la medida del lado desigual del segundo triángulo, sabiendo que el del
primero mide 3 cm: l
rl
=
→ 3 4
7r
l= =
→
3 4
7l=
y despejando:
3 7 215,25
4 4l
= = = cm.
62.- (Página 108) Tenemos un triángulo rectángulo de catetos de 6 y 8 cm y cuya hipotenusa mide 10 cm. Si
tenemos el valor de la hipotenusa de otro triángulo rectángulo semejante, mediante la razón de semejanza
calculada con el cociente de las hipotenusas,
podemos calcular el valor de los catetos del
triángulo semejante:
a) Si la hipotenusa mide 9 cm: 10
9r = . Por lo tanto calculamos los catetos:
• 1
1
cr
c=
→
1
10 6
9 c=
y despejando tenemos que 1
9 65, 4
10c cm
= =
• 2
2
cr
c=
→
2
10 8
9 c=
y despejando tenemos que 2
9 87,2
10c cm
= =
b) Si la hipotenusa mide 12 cm: 10 5
12 6r = = . Por lo tanto calculamos los catetos:
• 1
1
cr
c=
→
1
5 6
6 c=
y despejando tenemos que 1
6 6 367,2
5 5c cm
= = =
• 2
2
cr
c=
→
2
5 8
6 c=
y despejando tenemos que 2
6 8 489,6
5 5c cm
= = =
22.- (Página 105) Para calcular la escala dividimos la longitud de la realidad entre la de la representación
(ambos en centímetros):
Longitud realidad 35000000025000000
Longitud foto 14ESCALA = = = → Escala 1: 25000000
23.- (Página 105) Podemos calcular las medidas reales del molino, estableciendo un regla de tres entre las
longitudes del papel y las de la realidad:
• Para el alto:
150 304500
1x
= = cm 45= m
• Para el ancho:
150 6900
1y
= = cm 9= 9= m
70.- (Página 109) La escala de un mapa es 1: 400000 .
a) Si la distancia en un mapa entre dos ciudades es de 11 cm, basta con una regla de tres para saber
la distancia real:
400000 114400000
1x
= = cm 44= km
b) Si la distancia real entre dos localidades es de 236 km, basta con una regla de tres para saber la
distancia real:
23600000 159
400000y
= = cm
71.- (Página 109) La distancia real entre dos puntos A y B es de 45 km. Calculamos las distancias en diferentes
planos, sabiendo sus escalas, mediante reglas de tres:
a) ESCALA → 1: 250
4500000 118000
250x
= = cm
b) ESCALA → 1: 50000
4500000 190
50000y
= = cm
PAPEL REALIDAD
1 150
30 x
PAPEL REALIDAD
1 150
6 y
PAPEL REALIDAD
1 400000
11 x
PAPEL REALIDAD
1 400000
y 23600000
PAPEL REALIDAD
1 250
x 4500000
PAPEL REALIDAD
1 50000
y 4500000
c) ESCALA → 1: 2000000
4500000 12,25
2000000z
= = cm
d) ESCALA → 1:350000
4500000 112,86
350000t
= = cm
75.- (Página 109) Una cama de medidas 150 200 cm en la realidad, en un plano de escala 1: 40 , tendrá las
siguientes medidas, calculadas por regla de tres:
150 1 150 1 3,75
40 40Lado
= = = cm
200 1 200 2 5
40 40Lado
= = = cm
Por otra parte, si las medidas reales de la habitación son 3, 4 4,8 metros, o lo que es lo mismo 340 480
cm, las medadas de dicha habitación en el papel será de:
340 1 340arg 8,5
40 40L o
= = = cm
480 1 48012
40 40Ancho
= = =
Por lo tanto, la superficie del dibujo libre después de poner la cama
será la resta de las superficies de los dos rectángulos, el de la
habitación menos el de la cama:
Superficie habitación Superficie cama− =
28,5 12 3,75 5 102 18,72 83,28 cm= − = − =
PAPEL REALIDAD
1 2000000
z 4500000
PAPEL REALIDAD
1 350000
t 4500000
PAPEL REALIDAD
1 40
Lado 1 150
Lado 2 200
PAPEL REALIDAD
1 40
Largo 340
Ancho 480
EJERCICIOS RESUELTOS DE ESTADÍSTICA (3º E.S.O.)
1.- (Página 146) Poblaciones y muestras:
a) El día del mes en el que han nacido los estudiantes de un instituto.
La población sería el conjunto de estudiantes del instituto y como pueden ser demasiados, como
muestra se podrían coger 10 estudiantes de cada curso, o dos de cada clase (un chico y una chica, por
ejemplo).
b) Las edades de los alumnos de Secundaria de una Comunidad Autónoma.
La población sería el conjunto de todos los alumnos de dicha comunidad Autónoma y como son
demasiados, como muestra se podrían coger a 100 alumnos de secundaria distribuidos en diferentes
barrios.
2.- (Página 146) Muestras para realizar los siguientes estudios:
a) La comida favorita de los alumnos de un colegio.
Podemos seleccionar a 5 alumnos por clase y preguntarles sobre su comida preferida para formar una
muestra representativa.
b) Sueldo de los trabajadores de una empresa
Podemos seleccionar 100 trabajadores de la empresa que se encuentren en distintos puestos de
trabajo
c) Horas de sol al día en una ciudad
Podemos anotar las horas de sol que hay en dicha ciudad durante 50 días seguidos si es en una
temporada o cada 10 días si lo que remos saber a lo largo de un año.
d) Los pesos de los jugadores de un torneo de tenis.
Si hay pocos jugadores se podría coger como muestra a toda la población.
3.- (Página 147) Clasificación:
VARIABLE CUALITATIVA CUANTITATIVA
CONTINUA DISCRETA
a) Marca de un teléfono X
b) Color de ojos X
c) Deporte favorito X
d) Edad X
4.- (Página 147) Clasificación:
VARIABLE CUALITATIVA CUANTITATIVA
CONTINUA DISCRETA
a) Raza X
b) Edad X
c) Altura (cm) X
d) Peso (kg) X
e) Sexo X
f) Color de pelo X
g) Estado de salud X
h) Nivel de peligrosidad X
8.- (Página 149) Completamos la tabla con los datos que nos dan:
9.- (Página 149) Recogemos en una tabla de frecuencias los pesos en kilos de 24 personas:
PESO ix if ih
[30,40) 35 4 0,17
[40,50) 45 5 0,21
[50,60) 55 6 0,25
[60,70) 65 5 0,21
[70,80) 75 3 0,13
[80,90) 85 1 0,04
N = 24 1,00
Hemos agrupado los pesos en intervalos puesto que las 24 cantidades son diferentes (es una variable
estadística continua). Como el peso más bajo es de 30,5 kg y el más alto de 80 kg, es adecuado usar intervalos
de 10 kg de amplitud.
14.- (Página 152) Tenemos el consumo durante 10 días de litro de agua en una casa:
15 165 153 168 165 167 153 168 154 165
Calculamos a continuación los valores de la media, la moda y la mediana:
Número de hijos 0 1 2 3 Total
Frecuencia abs. ( if ) 3 4 6 15
Frecuencia rel. ( ih )
Número de hijos 0 1 2 3 Total
Frecuencia abs. ( if ) 3 4 6 2 15
Frecuencia rel. ( ih ) 0,2 0,27 0,4 0,13 1
• Media: 159 165 153 168 165 167 153 168 154 165 1617
161,710 10
x+ + + + + + + + +
= = =
• Moda: 165Mo =
Para la mediana, reescribimos la secuencia de datos pero ordenada de menor a mayor y observamos cuáles
son los que aparecen en el centro de la muestra:
153 153 154 159 165 165 165 167 168 168
• Mediana: 165 165
1652
Me+
= =
15.- (Página 152) Las películas vendidas en un portal web en los últimos 12 meses son:
2056 1621 1689 1370 1183 1023 757 460 1083 1221 1896 2457
Calculamos a continuación los valores de la media, la moda y la mediana:
• 2056 1621 1689 1370 1183 1023 757 460 1083 1221 1896 2457 168161401,3
12 12x
+ + + + + + + + + + += = =
• Moda: Mo
Para la mediana, reescribimos la secuencia de datos pero ordenada de menor a mayor y observamos cuáles
son los que aparecen en el centro de la muestra:
460 757 1023 1083 1183 1221 1370 1621 1689 1896 2056 2457
• Mediana: 1221 1370 2591
1295,52 2
Me+
= = =
16.- (Página 153) Estos son los días que ha llovió en cada mes del último año:
12 8 16 14 11 7 1 0 6 9 10 3
Como vamos a estudiar los cuartiles, nos conviene tener la muestra con los datos ordenados de menor a
mayor:
0 1 3 6 7 8 9 10 11 12 14 16
• Primer cuartil: es el valor que deja a su izquierda la cuarta parte de los datos. Como la cuarta parte
de 12 es 12: 4 3= , hay que dejar tres datos a la izquierda y cogeríamos el cuarto. Mirando la
secuencia ordenada de datos, se tiene que 1 6Q = .
• Segundo cuartil: es el valor que deja a su izquierda la mitad de los datos. Como la mita de 12 es
12 : 2 6= , hay que dejar 6 datos a la izquierda y cogeríamos el séptimo. Mirando la secuencia
ordenada de datos, se tiene que 2 9Q = .
• Tercer cuartil: es el valor que deja a su izquierda las tres cuartas partes de los datos. Como las tres
cuartas partes de 12 es 3 3 12
de 12 94 4
= = , hay que dejar 9 datos a la izquierda y cogeríamos el
décimo. Mirando la secuencia ordenada de datos, se tiene que 3 12Q = .
17.- (Página 153) Estas son las notas del último examen de Matemáticas:
8 4 5 2 5 7 9 3 4 5 7 8 9 5 6 6 7 9 3
Como vamos a estudiar cuartiles, nos conviene reescribir la muestra con los datos ordenados de menor a
mayor:
2 3 3 4 4 5 5 5 5 6 6 7 7 7 8 8 9 9 9
• Segundo cuartil: es el valor que deja a su izquierda la mitad de los datos. Como la mita de 19 es 19 : 2 9,5= , hay que dejar 9,5 datos a la izquierda y cogeríamos el décimo. Mirando la secuencia
ordenada de datos, se tiene que 2 6Q = . Nos indica que en la mitad de los exámenes las notas están
por encima de 6.
• Tercer cuartil: es el valor que deja a su izquierda las tres cuartas partes de los datos. Como las tres
cuartas partes de 19 es 3 3 19 57
de 19 14,254 4 4
= = = , hay que dejar 14,25 datos a la izquierda y
cogeríamos el décimo quinto. Mirando la secuencia ordenada de datos, se tiene que 2 8Q = . Nos
indica que en el 25% de los exámenes tiene una nota superior o igual a 8.
20.- (Página 155) Los expositores vendidos por Samuel y Yolanda en 6 meses son:
Meses OCT NOV DIC ENE FEB MAR
Samuel 4 5 9 2 1 3
Meses OCT NOV DIC ENE FEB MAR
Yolanda 5 5 6 2 2 4
Vamos a calcular las desviaciones típicas de los dos conjuntos de datos.
Calculamos primero las medias aritméticas de los expositores vendidos por cada una de las personas a lo
largo de los 6 meses:
4 5 9 2 1 3 244
6 6Samuelx
+ + + + += = = y
5 5 6 2 2 4 244
6 6Yolandax
+ + + + += = =
Calculamos ahora las desviaciones de las ventas respecto a su media:
Meses OCT NOV DIC ENE FEB MAR
Samuel 4 5 9 2 1 3
Desviaciones 4 – 4 = 0 5 – 4 = 1 9 – 4 = 5 2 – 4 = -2 1 – 4 = - 3 3 – 4 = - 1
Meses OCT NOV DIC ENE FEB MAR
Yolanda 5 5 6 2 2 4
Desviaciones 5 – 4 = 1 5 – 4 = 1 6 – 4 = 2 2 – 4 = -2 2 – 4 = - 2 4 – 4 = 0
Con esto, calculamos la varianza haciendo el cociente entre la suma de los cuadrados de las desviaciones y
el número total de datos:
( ) ( ) ( )2 2 22 2 2
20 1 5 2 3 1 0 1 25 4 9 1 30
56 6 6
Samuel+ + + − + − + − + + + + +
= = = =
( ) ( )2 22 2 2 2
21 1 2 2 2 0 1 1 4 4 4 0 14
2,336 6 6
Yolanda+ + + − + − + + + + + +
= = = =
Y por último hacemos la raíz cuadrada para calcular las desviaciones típicas:
2 5 2,236Samuel Samuel = = = y 2 2,33 1,5275Yolanda Yolanda = = =
21.- (Página 155) La recaudación semanal en una tienda de discos durante los dos primeros meses de
apertura vienen recogidos en las tablas:
Semana 1 2 3 4
Mes 1 1820 2150 956 1235
Semana 1 2 3 4
Mes 2 624 1952 611 2974
Vamos a calcular las desviaciones típicas de las ventas de ambos meses. Calculamos primero las medias
aritméticas de las recaudaciones semanales durante cada mes:
1
1820 2150 956 1235 61611540,25
4 4Mesx
+ + += = =
2
624 1952 611 2974 61611540,25
4 4Mesx
+ + += = =
Calculamos ahora las desviaciones de recaudaciones respecto a su media:
Semana 1 2 3 4
Mes 1 1820 2150 956 1235
Desviaciones 1820 - 1540,25 = 279,75 2150 - 1540,25 = 609,75 956 - 1540,25 = - 584,25 1235 - 1540,25 = - 305,25
Semana 1 2 3 4
Mes 2 624 1952 611 2974
Desviaciones 624 - 1540,25 = - 916,25 1952 - 1540,25 = 411,75 611 - 1540,25 = - 929,25 2974 - 1540,25 = 1433,75
Con esto, calculamos la varianza haciendo el cociente entre la suma de los cuadrados de las desviaciones y
el número total de datos:
62
35
15
8
A B C D
( ) ( )2 22 2
2
1
179,75 609,75 584,25 305,25 884022,25221005,5625
4 4Mes
+ + − + −= = =
( ) ( )2 22 2
2
2
916,25 411,75 929,25 1433,75 3928196,75982049,1875
4 4Mes
− + + − += = =
Y por último hacemos la raíz cuadrada para calcular las desviaciones típicas:
2
1 1 221005,5625 470,1122Mes Mes = = =
2
2 2 982049,1875 990,9839Mes Mes = = =
35.- (Página 157) Representamos los datos
de la tabla en un diagrama de barras:
Datos 100 250 320 410 540
if 5 7 9 3 2
En el eje horizontal se representan los
datos y en el eje vertical, las frecuencias, es
decir, el número de veces que se repite
cada dato. Por eso, cuanto mayor sea la
barra, más cantidad de ese dato habrá.
38.- (Página 157) Con los datos de la tabla realizamos un diagrama de sectores. Para ello calculamos la
frecuencia relativa y la multiplicamos por 260º para saber cuándos grados tiene que abarcar cada sector del
diagrama. Después con un transportador de ángulos y un compás realizamos el diagrama:
a) Tabla 1
Datos Frec. abs. ( if ) Frec. rel. ( rf ) Grados
A 62 0,52 186
B 35 0,29 105
C 15 0,13 45
D 8 0,07 24
Totales 120 1 360
5
7
9
32
0
2
4
6
8
10
100 250 320 410 540
Frec
uen
cia
(fi)
Datos
DIAGRAMA DE BARRAS
15
15
25
2030
45
1 2 3 4 6 8
b) Tabla 2
19.- (Página 154) Tenemos las notas del último examen de matemáticas:
8 4 5 2 5 7 9 3 4 5 7 8 9 5 6 6
Queremos hacer un diagrama de caja y bigotes, para lo que debemos estudiar los cuartiles. Lo mejor es
ordenar la muestra de menor a mayor para ver mejor los resultados:
2 3 4 4 5 5 5 5 6 6 7 7 8 8 9 9
Calculamos entonces los cuartiles:
• Cuartil 1: como el cuarto de 19 es 19 : 4 4,75= , tenemos que dejar a la derecha 4,75 datos, esto
es 1 4Q = .
• Cuartil 2: como la mitad de 19 es 19 : 2 9,5= , tenemos que dejar a la derecha 9,5 datos, esto es
2 6Q = .
• Cuartil 3: como las tres cuartas partes de 19 es 3 3 19 57
de 19 14,254 4 4
= = = , tenemos que dejar
a la derecha 14,25 datos, esto es 3 8Q = .
Por otra parte tenemos que el menor valor de los datos es 2 y que el mayor es 9, que serán los extremos del
diagrama.
Con todo lo anterior, el diagrama de caja y bigotes, sería el siguiente:
Lo que podemos observar es que están bastante equilibrados los resultados de
la muestra ya que la caja está muy centrada y cada espacio de la caja es del
mismo tamaño. El valor central (la mediana o segundo cuartil) es el valor 6 que
estaría ocupando el centro de la muestral. Como los valores de las notas
pueden ir de 1 a 10, quiere decir que hay más cantidad de notas altas que bajas
(la mitad de las notas están por encima del 6 y la otra mitad por debajo)
Datos Frec. Abs. ( if ) Frec. Rel. ( rf ) Grados
1 15 0,10 36
2 15 0,10 36
3 25 0,17 60
4 20 0,13 48
6 30 0,20 72
8 45 0,30 108
Totales 150 1 360
EJERCICIOS RESUELTOS DE ESTADÍSTICA (4º E.S.O.)
36.- (Página 252) Clasificación:
VARIABLE CUALITATIVA CUANTITATIVA
DISCRETA CONTINUA
a) Marca de teléfono móvil X
b) Tiempo dedicado a leer X
c) Número de mensajes enviados X
d) Distancia hasta el centro escolar X
e) Número de episodios de una serie X
f) Número de hermanos X
g) Bebida preferida X
h) Número de habitaciones de su casa X
37.- (Página 252) Clasificación:
VARIABLE CUALITATIVA CUANTITATIVA
DISCRETA CONTINUA
a) Con una puntuación entera de 1 a 5 X
b) Con una puntuación de 0 a 10 X
c) Con SÍ o NO X
38.- (Página 252) Si la contestación a la pregunta de una variable estadística es el nombre de una ciudad,
esta, podría ser:
“Ciudad favorita en la que has estado”, que sería una variable estadística cualitativa.
39.- (Página 252) Clasificación:
VARIABLE CUALITATIVA CUANTITATIVA
DISCRETA CONTINUA
a) Tiempo que dedican al trabajo X
b) Edad X
c) Estado civil X
d) Número de hijos X
40.- (Página 252) Se ha preguntado a 250 personas sobre sus gustos literarios. A continuación tenemos la
tabla de frecuencias:
ix if iF ih iH
Aventuras 104 104 0,416 0,528
Terror 28 132 0,112 0,544
Biografía 4 136 0,016 0,724
Novela histórica 45 181 0,18 0,724
Drama 12 193 0,048 0,772
Comedia Romántica 57 250 0,228 1
N = 250
1
41.- (Página 252) Se realiza una encuesta a 30 personas sobre el número de veces que utilizaron el cajero
automático de su banco en el último mes.
a) Tabla de frecuencias:
ix if iF ih Hi
0 5 5 0,167 0,333
1 5 10 0,167 0,400
2 2 12 0,067 0,500
3 3 15 0,100 0,500
4 8 23 0,267 0,767
5 3 26 0,100 0,867
6 1 27 0,033 0,900
7 1 28 0,033 0,933
8 2 30 0,067 1,000
N = 30
1
b) No utilizaron el cajero automático en el último mes el 16,7
0,167 16,7%100
= = de las personas
encuestadas (mirar la columna de frecuencias relativas ih y multiplicar por 100)
c) Los que fueron más de tres y menos de ocho veces al cajero automático son los correspondientes a
ir 4, 5, 6 ó 7 veces. En total suponen 8 3 1 1 13+ + + = personas, esto es el
43,30,267 0,1 0,033 0,033 0,433 43,3%
100+ + + = = =
(También se puede hacer una regla de tres sabiendo que 13 de 30 personas cumplen la condición
pedida: 13 1300
43,330 100 30
xx= = = )
d) Los que fueron 4 ó más veces al cajero automático son los que fueron 4, 5, 6, 7 u 8 veces. En total
suponen el 50
0,267 0,1 0,033 0,033 0,067 0,5 50%100
+ + + + = = =
45.- (Página 252) El número de canciones escuchadas durante el fin de semana, por alumnos de 4º de la
E.S.O., lo vamos a recoger en una tabla, con 8 clases (intervalos). Podemos elegir la amplitud de los intervalos
de la siguiente forma:
• Primero el rango de la muestra lo dividimos entre el total de intervalos: 95 4 91
11,3758 8
−= = Esto
quiere decir que deberíamos usar intervalos de esta amplitud. Por usar número esteros, los haremos de 12 canciones de amplitud.
• Para que el reparto esté equilibrado y puesto que 12 8 96 = es cinco unidades más grande que el rango de la muestra, vamos a empezar el primer intervalo en 2 (incluido) y terminaremos en 98 (sin incluir). Es decir, ampliamos un poco el rango por cada lado.
Clases ix if iF ih Hi
[2,14) 8 2 2 0,050 0,150
[14,26) 20 4 6 0,100 0,325
[26,38) 32 7 13 0,175 0,575
[38,50) 44 7 20 0,175 0,500
[50,62) 56 10 30 0,250 0,750
[62,74) 68 4 34 0,100 0,850
[74,86) 80 4 38 0,100 0,950
[86,98) 92 2 40 0,050 1,000
N = 40
1,000
65.- (Página 254) Ampliamos la tabla facilitada para calcular las medidas de centralización y dispersión:
ix if iF i ix f 2
i if x
2 3 3 6 12
5 8 11 40 200
6 2 13 12 72
7 1 14 7 49
10 4 18 40 400
N = 18 105 733
a) Medidas de centralización:
• Media: 105
5,83318
i ix fx
N
= = =
• Moda: 5Mo =
• Mediana: la media de los datos que ocuparían las posiciones 9 y 10: 5 5
52
Me+
= =
b) Medidas de dispersión:
• Rango o recorrido: 10 2 8R = − =
• Varianza:
22
2 27335,833 6,6944
18
i if xx
N
= − = − =
• Desviación típica: 2 6,6944 2,5873 = = =
• Coeficiente de Variación: 2,5873
0,44355,833
CVx
= = =
71.- (Página 254) Ampliamos la tabla facilitada para calcular las medidas de centralización y dispersión:
Clases ix if iF i ix f 2
i if x
[2,8) 5 8 8 40 200
[8,14) 11 5 13 55 605
[14,20) 17 3 16 51 867
[20,26) 23 6 22 138 3174
N = 22
284 4846
a) Medidas de centralización:
• Media: 284
12,9122
i ix fx
N
= = =
• Moda: 5Mo =
• Mediana: la media de los datos que ocupan las posiciones 11 y 12: 11 11
112
Me+
= =
b) Medidas de dispersión:
• Rango o recorrido: 23 5 18R = − =
• Varianza:
22
2 2484612,91 53,628
22
i if xx
N
= − = − =
• Desviación típica: 2 53,628 7,3231 = = =
• Coeficiente de Variación: 7,3231
0,567212,91
CVx
= = =
83.- (Página 255) Ampliamos la tabla facilitada para
calcular los cuartiles:
Calculamos los cuartiles:
• Primer cuartil: como 25% de 30 0,25 30 7,5= = hay que elegir el primer valor que deja los 7,5
(es decir los 7 ) primeros valores menores que él delante. Mirando la columna de frecuencias
acumuladas: 1 3Q = .
• Segundo cuartil o mediana: como 50% de 30 0,5 30 15= = , entonces 2 5Q = .
• Tercer cuartil: como 75% de 30 0,75 30 22,5= = , entonces 2 7Q = .
54.- (Página 253) En la tabla aparecen los porcentajes, pero podemos
suponen que la muestra es sobre 100 elementos y los porcentajes coincidirían
con las frecuencias de cada uno de los datos. Esto no influye en el diagrama
de barras, pues las alturas serán proporcionales en función de la escala que
elijamos:
Clases ix if iF
[2,4) 3 9 9
[4,6) 5 13 22
[6,8) 7 7 29
[8,10) 9 1 30
N = 30
ix if iF
A 6 6
B 15 21
C 24 45
D 18 63
E 20 83
F 4 87
G 13 100
N = 100
59.- (Página 253) Dada la siguiente tabla, sacamos un histograma y su polígono de frecuencias absolutas y
acumuladas:
20.- (Página 246) Recogemos los datos en la siguiente tabla:
Calculamos los percentiles 8 y 34:
• Percentil 8: como 8% de 23 0,08 23 1,84= = entonces,
mirando las frecuencias acumuladas, debemos elegir el
valor que deja 1,84 (es decir 2 ) delante, esto es: 8 0P =
• Percentil 34: como 34% de 23 0,34 23 7,82= = ,
entonces: 34 1P =
30.- (Página 250) Diagrama de dispersión de los datos:
Clases if iF
[0,5) 3 3
[5,10) 5 8
[10,15) 6 14
[15,20) 4 18
[20,25) 2 20
N= 20
ix if iF
0 2 2
1 6 8
2 5 13
3 3 16
4 4 20
5 3 23
N = 23
34.- (Página 251) Existe correlación positiva entre las variables porque se observa que a medida que crece
una la otra también.
35.- (Página 251) Completamos con los tipos de correlación entre las parejas de variables:
Fíjate en que todas las
relaciones son lineales
(rectas) las de correlación
positiva con pendiente
positiva y las de correlación
negativa, con pendiente
negativa.
VARIABLES CORRELACIÓN
POSITIVA NEGATIVA
a) ( )3 2y x= + X
b) 2y x= − X
c) 5y x= − X
d) ( )2 1y x= + X
e) 8y x= − X
f) 5y x= + X
EJERCICIOS RESUELTOS DE PROBABILIDAD (4º E.S.O.)
37.- (Página 288) Clasificación:
EXPERIMENTO ALEATORIO DETERMINISTA
a) Medir el tiempo empleado por un atleta en una carrera X
b) Repartir un número de caramelos entre 4 niños X
c) Elegir un número natural menor que 12 X
d) Número de pasajeros de un autobús a una hora determinada X
e) Calificación obtenida en un test X
f) Distancia recorrida por un vehículo que circula a 80 km/h X
g) Cantidad de caracteres recibidos en el mensaje de Twitter X
h) Número de monedas de 1€ que te cambian por 4 billetes de 5€ X
i) Monedas de cualquier valor a cambio de 4 billetes de 5€ X
40.- (Página 288) Se lanzan al aire tres monedas:
a) El espacio muestral (vamos a suponer que importa el orden de lanzamiento) es:
( ) ( , , ), ( , , ), ( , , ), ( , , ), ( , , ), ( , , ), ( , , ), , ,E C C C C C X C X C C X X X C C X C X X X C X X X=
b) ( ) ( )"Obtener solamente una cara" , , ), ( , , ), ( , , )P P C X X X C X X X C= =3
8
(Con un diagrama de árbol puedes contar los casos sin problemas)
54.- (Página 289) Se forman números de dos cifras entre los números 1 , 2 , 3 y 4 :
a) Espacios muestrales:
Adela → 12,13,14,21,23,24,31,32,34,41,42,43ADELAE = (Sin que se repitan cifras)
Jorge → 11,12,13,14,21,22,23,24,31,32,33,34,41,42,43,44JORGEE = (Repitiendo cifras)
El espacio muestral de Adela tiene 12 sucesos elementales y el de Jorge tiene 16 (cada uno de los resultados
posibles).
b) Sucesos no elementales de cada experimento (por ejemplo):
Adela → "Formar un número mayor de 40" 41,42,43A = =
Jorge → "Formar un número con cifras iguales" 11,22,33,44B = =
c) Por ejemplo, el suceso B no se puede dar en el experimento de Adela
41.- (Página 288) Al lanzar un dado sumamos dos si sale impar y restamos
uno si sale par:
a) El espacio muestral es: 1,3,5,7E =
b) Anotar número par es el suceso vacío, ningún resultado del espacio
muestral es par: A =
c) El suceso número impar coincide con todo el espacio muestral: 1,3,5,7B E= =
44.- (Página 288) En una bolsa hay bolas pequeñas, medianas y grandes, tanto blancas como negras:
a) Espacio muestral fijándonos sólo en el tamaño: , , E PEQUEÑA MEDIANA GRANDE=
b) El espacio muestral fijándonos sólo en el color: , E BLANCA NEGRA=
c) El espacio muestral si nos fijamos en ambas cosas:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , , , , , E PEQUEÑA BLANCA PEQUEÑA NEGRA MEDIANA BLANCA MEDIANA NEGRA GRANDE BLANCA GRANDE NEGRA=
45.- (Página 288) Al extraer una tarjeta con una letra escrita de la palabra PROBABILIDAD, el espacio muestral
del experimento es: , , , , , , ,E P R O B A I L D= (Que haya letras iguales significará que será más probable,
posible, escoger dicha letra, pero no añade opciones al espacio muestral y por eso sólo se pone cada letra,
no repetida, que haya).
47.- (Página 288) Cogemos al azar una carta de la baraja española y definimos los sucesos:
"Sacar as" 1 ,1 ,1 ,1A O C E B= =
"Sacar bastos" 1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 , , ,B B B B B B B B SB CB RB= =
"Sacar caballo" , , ,C CO CC CE CB= =
1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,
1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,"Sacar una carta que no sea figura"
1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,
1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7
O O O O O O O
C C C C C C CD
E E E E E E E
B B B B B B B
= =
"Sacar una figura de oros" , ,F SO CO RO= =
(Recuerda que en una baraja española hay 40 cartas, 10 de cada uno de los cuatro palos: oros (O ), copas (
C ), espadas ( E ) y bastos ( B ). Cada palo además costa de 7 cartas desde el as (el 1) hasta el 7, y tres figuras:
sota ( S ), caballo ( C ) y rey (C )).
En los sucesos anteriores, en cada pareja, la primera letra o número representa la carta y la segunda letra el
palo.
a) Expresamos a continuación la unión e intersección de parejas de sucesos anteriores:
1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 , , , ,1 ,1 ,1A B B B B B B B B SB CB RB O C E = 1A B B =
1 ,1 ,1 ,1 , , , ,A C O C E B CO CC CE CB = A C =
1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,
1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,
1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,
1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7
O O O O O O O
C C C C C C CA D D
E E E E E E E
B B B B B B B
= =
1 ,1 ,1 ,1A D O C E B A = =
1 ,1 ,1 ,1 , , ,A F O C E B SO CO RO = A F =
1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 , , , , , ,B C B B B B B B B SB CB RB CO CC CE = B C CB =
1 , 2 ,3 , 4 ,5 ,6 ,7 ,
1 , 2 ,3 , 4 ,5 ,6 ,7 ,
1 , 2 ,3 , 4 ,5 ,6 ,7 ,
1 , 2 ,3 , 4 ,5 ,6 ,7 ,
, ,
O O O O O O O
C C C C C C C
B D E E E E E E E
B B B B B B B
SB CB RB
=
1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7B D B B B B B B B =
1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 , , , , , ,B F B B B B B B B SB CB RB SO CO RO = B F =
1 , 2 ,3 , 4 ,5 ,6 ,7 ,
1 , 2 ,3 , 4 ,5 ,6 ,7 ,
1 , 2 ,3 , 4 ,5 ,6 ,7 ,
1 , 2 ,3 , 4 ,5 ,6 ,7 ,
, , ,
O O O O O O O
C C C C C C C
C D E E E E E E E
B B B B B B B
CO CC CE CB
=
C D =
, , , , ,C F CO CC CE CB SO RO = C F CO =
1 , 2 ,3 , 4 ,5 ,6 ,7 ,
1 , 2 ,3 , 4 ,5 ,6 ,7 ,
1 , 2 ,3 , 4 ,5 ,6 ,7 ,
1 , 2 ,3 , 4 ,5 ,6 ,7 ,
, ,
O O O O O O O
C C C C C C C
D F E E E E E E E
B B B B B B B
SO CO RO
=
D F =
b) Las parejas de sucesos incompatibles son las que no tiene elementos en común (intersección
vacía), esto es: y A C , y A F , y B F , y C D y y D F .
48.- (Página 289) Se elige al azar un número de 1 a 9 ( 1,2,3,4,5,6,7,8,9E = ) y definimos los sucesos:
"Salir par" 2,4,6,8A = =
"Salir múltiplo de 3" 3,6,9B = =
"Salir múltiplo de 4" 4,8C = =
"Salir mayor que 5" 6,7,8,9D = =
"Salir menor que 7" 1,2,3,4,5,6F = =
"Salir 8 ó 9" 8,9G = =
"Salir 1" 1H = =
a) Los contrarios:
1,3,5,7,9A =
1,2,4,5,7,8B =
1,2,3,5,6,7,9C =
1, 2,3, 4,5D =
7,8,9F =
1,2,3,4,5,6,7G =
2,3,4,5,6,7,8,9H =
b) Las parejas de sucesos y A H , y B C , y B H , y C H , y D H , y F G y y G H son
incompatibles, ya que no tienen elementos en común (su intersección es vacía).
c) 2,3,4,6,8,9A B C =
d) 6F B D =
e) ( ) 2,3,4,6,8,9 8,9 8,9A B C G = =
f) ( ) ( ) 4,8,9 2,4,6,7,8,9 4,8,9G C A D = =
g) ( ) 7,8,9 2,4,6,8,9 8,9F A G = =
h) 1,4,8 1,2,3,4,5,6 2,3,5,6,7,9 1,2,3,4,5,6 2,3,5,6H C F = = =
i) 4 1,3,5,7,9 1,2,3,5,6,7,8,9 1,3,5,7,9 1,3,5,7,9F C A = = =
4 y 5.- (Página 279) Extraemos una carta de la baraja española y definimos los sucesos:
"Salir as" 1 ,1 ,1 ,1A O C E B= =
"Salir bastos" 1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 , , ,B B B B B B B B SB CB RB= =
Calcula:
• Ejercicio 4: 1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 , , , ,1 ,1 ,1A B B B B B B B B SB CB RB O C E = y 1A B B =
Como los sucesos A y B tienen un elemento en común, son sucesos compatibles.
• Ejercicio 5:
2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 , , , ,
2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 , , , ,"No salir as"
2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 , , , ,
2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 , , ,
O O O O O O SO CO RO
C C C C C C SC CC RCA
E E E E E E SE CE RE
B B B B B B SB CB RB
= =
1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 , , , ,
"No salir bastos" 1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 , , , ,
1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 , , ,
O O O O O O O SO CO RO
B C C C C C C C SC CC RC
E E E E E E E SE CE RE
= =
Como
2 ,3 , 4 ,5 ,6 ,7 , , , ,
2 ,3 , 4 ,5 ,6 ,7 , , , ,
2 ,3 , 4 ,5 ,6 ,7 , , ,
O O O O O O SO CO RO
A B C C C C C C SC CC RC
E E E E E E SE CE RE
=
, los sucesos A y B son compatibles.
6.- (Página 279) Si A es un suceso de un experimento aleatorio, entonces:
a) A A A = pues si unes los elementos del conjunto A con él mismo, no se añade nada y vuelve a
darnos el conjunto A .
b) A A A = pues los elementos que tiene en común un suceso consigo mismo, son todos los
elementos de dicho suceso.
58.- (Página 289) Tenemos 5 refrescos de cola (C ), 6 de naranja ( N ), 2 de limón ( L ) y 4 de manzana ( M ).
Si cogemos uno al azar:
a) ( )casos favorables 6 3
casos posibles 16 8P N = = =
b) ( )casos favorables 2 1
casos posibles 16 8P L = = =
c) ( )casos favorables 8 1
casos posibles 16 2P C M = = =
d) ( )casos favorables 13
casos posibles 16P M = =
e) ( )casos favorables 8 1
casos posibles 16 2P C L = = =
f) ( )casos favorables 8 1
casos posibles 16 2P N L = = =
59.- (Página 290) Cogemos al azar una carta de la baraja española:
a) ( )4 1
" "40 10
P As = =
b) ( )10 1
" "40 4
P Oro = =
c) ( )10 1
"Rey de bastos"40 4
P = =
d) ( )16 2
"As o figura"40 5
P = =
60.- (Página 290) En un centro escolar, el 15% de los estudiantes tiene ojos azules ( A ), el 45% los tiene
marrones ( M ), el 30% los tiene verdes (V ) y el resto (esto es el 10% ) los tiene grises (G ). Se elige un
estudiante al azar:
a) ( )30 3
100 10P V = =
b) ( ) ( ) ( ) ( )45 10 0 55 11
100 100 100 100 20P M G P M P G P M G = + − = + − = =
c) ( ) ( )15 85 17
1 1100 100 20
P A P A= − = − = =
62.- (Página 290) Se lanza un dado de seis caras:
"Salir número impar" 1,3,5A = = → ( )3 1
6 2P A = =
"Salir número igual o mayor que 5" 5,6B = = → ( )2 1
6 3P B = =
"Salir número menor que 7" 1,2,3,4,5,6C = = → ( )6
16
P C = = (Suceso seguro)
"Salir número mayor que 7"D = = → ( )0
06
P D = = (Suceso imposible)
Por lo que: ( ) ( ) ( ) ( )1 1
0 13 2
P D P B P A P C
72.- (Página 291) Si lanzamos un dado y después sumamos las caras visibles, es lo mismo que sumar todas
las caras menos la que queda cara al suelo. Como esta última es una de las caras, se tiene que hay seis
resultados posibles que son:
1 2 3 4 5,
1 2 3 4 6,
1 2 3 5 6,15,16,17,18,19,20
1 2 4 5 6,
1 3 4 5 6,
2 3 4 5 6
E
+ + + + + + + +
+ + + +
= = + + + +
+ + + +
+ + + +
a) ( )1
"Exactamente 15"6
P =
b) ( )3 1
"Un número par"6 2
P = =
c) ( )2 1
"17 ó 19"6 3
P = =
d) ( )2 1
"Un número múltiplo de 3"6 3
P = =
e) ( )4 2
"Un número mayor de 16"6 3
P = =
f) ( )2 1
"Un número primo"6 3
P = =
73.- (Página 291) Se lanzan tres monedas al aire (podemos suponer que una detrás de otra). Tenemos
recogido en el siguiente diagrama de árbol las posibilidades del experimento:
Por lo tanto, el espacio muestral es: , , , , , , ,E CCC CCX CXC CXX XCC XCX XXC XXX= y podemos
calcular las probabilidades mediante la regla de Laplace:
a) ( ) ( )1
"Tres caras"8
P P CCC= =
b) ( ) ( )3
"Dos caras y una cruz" , ,8
P P CCC CXC XCC= =
c) ( ) ( )3
"Una cara y dos cruces" , ,8
P P CXX XCX XXC= =
d) ( ) ( )1
"Ninguna cara"8
P P XXX= =
e) ( ) ( ) ( )7
"Al menos una cara" , , , , , , 18
P P CCC CCX CXC CXX XCC XCX XXC P XXX= = − =
f) ( ) ( )4 1
"Al menos dos cruces" , , ,8 2
P P CXX XCX XXC XXX= = =
77.- (Página 291) En un test de cuatro preguntas con cuatro respuestas posibles cada una, sabemos que sólo
una de las cuatro respuestas es correcta. Si llamamos "Respuesta correcta"C = y
"Respuesta incorrecta"X = y siguiendo la idea del diagrama de árbol del ejercicio anterior, pensando en
responder cada una de las preguntas después de la anterior, tenemos que las posibilidades de respuesta del
test, son en total 16:
Sabiendo esto podemos calcular las probabilidades usando la Regla de Laplace:
a) ( ) ( )4 1
"Acertar una" , , ,16 4
P P CXXX XCXX XXCX XXXC= = =
b) ( ) ( )1
"Acertar cuatro"16
P P CCCC= =
c) ( )"Acertar al menos dos"P =
( )11
, , , , , , , , , ,16
P CCCC CCCX CCXC CCXX CXCC CXCX CXXC XCCC XCCX XCXC XXCC= =
24.- (Página 284) Sean dos sucesos incompatibles A y B tales que: ( ) 0,2P A = y ( ) 0,6P A B = .
Para calcular ( )P B vamos a usar la propiedad que siempre se cumple en probabilidad
( ) ( ) ( ) ( )P A B P A P B P A B = + − , pero sabiendo además que los sucesos A y B son
incompatibles, es decir que ( ) 0P A B = . Con lo que se tiene que: ( ) ( ) ( )P A B P A P B = + y
entonces sustituyendo: ( )0,6 0,2 P B= + y podemos despejar: ( ) 0,4P B = .
28.- (Página 185) En un dado que no está equilibrado, la probabilidad de que salga un número primo (
2,3,5 ) es el doble de la de un número no primo ( 1,4,6 ).
Sabemos que el espacio muestral está formado por los seis números: 1,2,3,4,5,6E = y la probabilidad
de que salga alguno de ellos es uno, ya que ( ) 1P E =
Si llamamos ( )1x P= , entonces también ( )4x P= y ( )6x P= que son los números no primos.
De la misma forma: ( )2 2x P= , ( )2 3x P= y ( )2 5x P= .
Con todo lo anterior, planteamos una ecuación:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 3 4 5 6 2 2 2 9P E P P P P P P x x x x x x x= = + + + + + = + + + + + =
Y despejando: 1
1 99
x x= =
Por tanto la probabilidad de sacar un número no primo es 1
9y la de un número primo es el doble
2
9.
Por último, la probabilidad de obtener cualquier número par:
( ) ( ) ( ) ( )2 1 1 4
2 4 69 9 9 9
P PAR P P P= + + = + + =
81.- (Página 291) La probabilidad de que al lanzar un dado en el que sabemos que ha salido par, se haya
obtenido un seis, lo calculamos mediante la probabilidad condicionada:
( )( )
( )
( )
( )
16 6 166 |
3 3
6
P par PP par
P par P par
= = = =
82.- (Página 291) La probabilidad de que al sacar una carta de una baraja sea una sota, sabiendo que ha salido
una figura, lo calculamos mediante la probabilidad condicionada:
( )( )
( )
( )
( )
4
4 140|12 12 3
40
P sota figura P sotaP sota figura
P figura P figura
= = = = =
84.- Al lanzar dos dados y sumar las puntuaciones, tenemos las siguientes opciones:
DADO 1
1 2 3 4 5 6
DA
DO
2
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
Observamos que de las puntuaciones cuya suma es 5 (señaladas a continuación), sólo dos de ellas tienen a
uno de los dados con puntuación de 3.
DADO 1
1 2 3 4 5 6
DA
DO
2
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
Por lo que si queremos calcular la probabilidad condicionada de haber obtenido una puntuación en uno de
los dados de 3, si sabemos que en total ha suma 5, sería:
( )2 1
"Una de las puntuaciones es 3" | "La suma ha sido 5"4 2
P = =
90.- (Página 292) Con los datos de la tabla, que ampliamos con los totales respecto a los datos originales:
Pinzas Grandes Pinzas Pequeñas Total
Madera 10 19 29
Plástico 18 23 41
Total 28 42 70
Elegimos una pinza al azar y calculamos:
a) ( )28 2
"Sea Grande"70 5
P = =
b) ( )18 9
"Sea Grande y de plástico"70 35
P = =
c) ( )18
"Sea Grande sabiendo que es de plástico"41
P =
92.- (Página 292) Con los datos rellenamos una tabla de contingencia:
Si elegimos un alumno al azar, se tienen las siguientes probabilidades:
a) ( )20 5
"Sea chico"36 9
P = =
b) ( )10 5
"Sea chico y moreno"36 18
P = =
c) ( ) ( ) ( ) ( )20 22 10 32 8
"Sea chico o moreno" "Sea chico" "Sea moreno" "Sea chico y moreno"36 36 36 36 9
P P P P= + − = + − = =
d) ( )12 3
"Sea morena sabiendo que es chica"16 4
P = =
e) ( )4 2
"Sea chica sabiendo que es rubia"14 7
P = =
f) ( )4 1
"Sea chica y rubia"36 9
P = =
93.- (Página 292) Se extraen dos cartas de una baraja española (podemos suponer que una detrás de otra).
Calculamos las probabilidades:
a) ( ) ( ) ( ) ( )1ª 2ª 1ª 1ª 1ª
4 3 1"Sean dos ases" |
40 39 130P P As As P As P As As= = = =
b) ( ) ( ) ( ) ( )1ª 2ª 1ª 1ª 1ª
12 11 11"Sean dos figuras" |
40 39 130P P Figura Figura P Figura P Figura Figura= = = =
c) ( ) ( ) ( )1ª 2ª 1ª 2ª"Un rey y un siete" Rey ReyP P Siete P Siete= + =
( ) ( ) ( ) ( )1ª 2ª 1ª 1ª 2ª 1ª
4 4 4 4 4Rey | Rey Rey |
40 39 40 39 195P P Siete P Siete P Siete= + = + =
d) ( ) ( ) ( )1ª 2ª 1ª 2ª"Una copa y un basto"P P Copa Basto P Basto Copa= + =
Hombres Mujeres Total
Morenos 10
Rubios 4
Total 20 16 36
Hombres Mujeres Total
Morenos 10 12 22
Rubios 10 4 14
Total 20 16 36
( ) ( ) ( ) ( )1ª 2ª 1ª 1ª 2ª 1ª
10 10 10 10 10 5| |
40 39 40 39 78 39P Copa P Basto Copa P Basto P Copa Basto= + = + = =
97.- (Página 292) Extraemos tres bolas de una bolsa con 5 rojas, 2 azules y una amarilla:
Apoyándonos del diagrama de árbol calculamos las probabilidades siguientes:
a) ( ) ( )5 4 3 15 5
"Tres del mismo color"8 7 6 84 28
P P RRR= = = = (No se pueden sacar ni tres
azules ni tres amarillas porque no hay)
b) ( ) ( ) ( ) ( )5 4 2 5 2 4 2 5 4 15 5
"Dos rojas y una azul"8 7 6 8 7 6 8 7 6 42 14
P P RRAz P RAzR P AzRR= + + = + + = =
c) ( ) ( ) ( ) ( )"Dos azules y una amarilla"P P AzAzAm P AzAmAz P AmAzAz= + + =
2 1 1 2 1 1 1 2 1 3 1
8 7 6 8 7 6 8 7 6 168 56= + + = =
