TEOREMA DE FERRARIS

REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELAUNIVERSIDAD DEL ZULIA

FACULTAD DE INGENIERÍAESCUELA DE INGENIERÍA ELÉCTRICA

MÁQUINAS ELÉCTRICAS II

Integrantes:

María Boscán C.I.18.522.489

Leonardo Seadi C.I. 19.017.774

Jorge Contreras C.I. 19.499.183

Víctor Febres C.I. 19.285.692

Hugo Rincón C.I. 18.831.366

Javier Carvajal C.I. 18.394.065

Maracaibo, Noviembre de 2009.

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Fasor espacial.

En el estudio de las máquinas eléctricas se presentan varias

cantidades físicas que pueden ser consideradas como funciones

periódicas, distribuidas en el espacio alrededor de la periferia del estator

y en el entrehierro de la máquina, por ejemplo, inducción en superficie

del rotor, capa de corriente del estator, entre otros. Estas funciones

pueden ser tratadas como funciones que varían sinusoidalmente en el

espacio. Por lo tanto el fasor de la teoría de circuitos no puede ser usado

para representar estas cantidades. Por ello se creó otra cantidad física

para ejemplificar estos casos, el cual es llamado fasor espacial.

Un fasor espacial es, por tanto, un segmento orientado en el plano

complejo que caracteriza simbólicamente, en el caso más general

(régimen dinámico), una magnitud física espacial de una máquina

eléctrica rotativa que está distribuida sinusoidalmente en el espacio. En

la siguiente imagen se ve reflejado:

Fig. 1 Fasores Espaciales

La mayoría de las máquinas no son bipolares. Al introducir ondas

con más de dos polos (máquinas multipolares y armónicos espaciales de

cualquier máquina) surge una primera dificultad para su representación

fasorial, puesta de manifiesto con ayuda de la figura 2. En ella se ha

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dibujado la onda de inducción fundamental correspondiente a una

máquina de cinco pares de polos en un instante cualquiera (también

podría tratarse del armónico quinto de una máquina bipolar).

Fig. 2 Onda giratoria de inducción de cinco pares de polos.

Si en este caso se definirá el fasor espacial de inducción como

aquel cuyo módulo coincide con el valor máximo de la onda y cuyo

argumento es el correspondiente a la posición en la que se presenta un

máximo positivo, resultaría que, para caracterizar la misma onda, habría

cinco fasores espaciales. Para máquinas con más polos (o para los

armónicos de orden superior) el número de fasores espaciales

representativos de una misma onda senoidal sería todavía mayor.

A pesar de que el flujo es una magnitud fundamental en las

máquinas eléctricas, su definición y representación son, a menudo, poco

rigurosas. La teoría clásica opera siempre con el flujo por polo, el cual no

puede ser caracterizado mediante un fasor espacial ya que, para un

instante dado cualquiera, dicha magnitud, a diferencia, de la onda de

inducción, tiene un valor único, no un conjunto de valores, identificables

e individualizados, correspondientes a cada una de las coordenadas

espaciales.

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El flujo de corona está definido para toda coordenada angular.

Además, de la ecuación , se deduce de

inmediato que si la inducción radial en la superficie, está

distribuida sinusoidalmente (donde x representa el estator o el rotor

cilíndrico) su integral, es decir, el flujo que atraviesa las distintas

secciones del yugo o corona del elemento x (abreviadamente: flujo de

corona en x) también lo está y, por tanto, puede ser caracterizada

mediante un fasor espacial. En otras palabras, todo armónico espacial

de inducción de orden VX, BV produce otro flujo de corona del mismo

orden, фcor v.

Por su parte, el fasor espacial de fem inducida ev en x caracteriza

la distribución espacial de las fem inducidas en los conductores axiales

si todos en la superficie cilíndrica del estator o rotor por la onda de

inducción (o de flujo) de V pares de polos, de módulo y velocidad

instantáneas arbitrarias, existentes en la máquina. Dicho fasor es igual,

con signo cambiado, a la derivada temporal del fasor espacial del flujo

de corona de orden V producida por toda la máquina. Es decir,

Los fasores espaciales y ev son, con gran diferencia, los de

mayor potencia de cálculos, ya que cumplen el llamado primer teorema

de la correlación general, a saber: en todo instante de un transitorio

arbitrario, los enlaces de flujo común de una fase A de constitución

arbitraria debidas a un campo armónico V cualquiera, o la fem inducida

en ella debido a dicho campo armónico, se obtiene, a escalas ZA εVA,

mediante dos fórmulas muy sencillas: proyectando simplemente sobre el

eje fasorial del A los fasores ф y ev respectivamente. El número de fases

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y el de armónicos espaciales de la máquina puede ser arbitrario. Las

fórmulas son de aplicación al elemento cilíndrico (estator o rotor), con

independencia de que el otro sea de estructura cilíndrica o de polos

salientes.

Teorema de Ferraris.

Se enuncia de la siguiente manera:

“Un arrollamiento polifásico que tenga p pares de polos y esté

recorrido por corrientes polifásicas equilibradas de pulsación ω produce

p pares de polos ficticios que deslizan, con velocidad angular ω / p a lo

largo del arrollamiento sin sufrir modificaciones”

Demostración del Teorema de Ferraris empleando fasores

espaciales.

Se tiene un sistema balanceado en donde las corrientes son

perfectamente sinusoidales:

En la figura 3, se pueden apreciar los fasores espaciales de los

devanados A, B y C, en donde el fasor A está sobre la referencia espacial

y el fasor B y C están desfasados 4π/3 y 2π/3 (2π/m) respectivamente

con respecto al fasor espacial A. Es importante resaltar que cada uno de

estos fasores espaciales varían solamente en amplitud con el tiempo.

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Fig. 4 Fasor espacial de cada bobina

Fig. 3 Fasor espacial de cada bobina

Aplicando fasores espaciales a las corrientes obtenidas

anteriormente se tiene:

La fuerza magnetomotriz de cada una de las fases son:

En la figura 4 se puede apreciar que el fasor espacial del devanado A solamente varía en amplitud. Esta magnitud que varía con el tiempo es la proyección del fasor espacial sobre su eje de referencia del sistema trifásico. Esta variación se da en los tres fasores espaciales, sólo que las

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amplitudes instantáneas son diferentes por la diferencia en fase de 2π/3 radianes.

Fig. 4 Variación del fasor espacial del devanado A en el tiempo

Aplicando el principio de superposición a las fuerzas

magnetomotrices obtenidas anteriormente se tiene:

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Donde es la fase y es la posición del estator.

En la siguiente figura, se puede observar que el fasor espacial

resultante sólo varía en ángulo y no en amplitud, es decir, el campo

cambia de fase con el tiempo y por tanto se produce un fasor giratorio

en el espacio del estator de la máquina.

Fig. 5 Variación del fasor espacial resultante en el tiempo