Teorema de Gauss

Teorema de Gauss e Aplicações

Josecley F. Góes1

1Processo Seletivo para Provimento de Vagasde Professor Temporário de Expansão

Universidade do Federal do Rio de Janeiro - UFRJ - Macaé

Março de 2012

Josecley Fialho Góes (UFRJ - MACAÉ) Teorema de Gauss e Aplicações Disciplina: Cálculo 1 / 25

Sumário

1 Introdução

2 Teorema de GaussAplicações


Introdução

Introdução


Introdução

Introdução

O Teorema da Divergência é algumas vezes chamado Teorema deGauss, em homenagem ao grande Matemático alemão Karl FriedrichGauss (1777 - 1855);

Este teorema foi descoberto durantes suas pesquisas sobre eletrostática;

Estabeleceremos o Teorema de Gauss para as regiões dos tipos I, II e IIIe às quais chamaremos regiões sólidas simples;

Por exemplo: regiões limitadas por elipsóides ou caixas retangulares;


Introdução

Introdução






Introdução

Introdução






Introdução

Introdução






Introdução

Introdução

Exemplo de regiões do tipo I

Uma região sólida E é dita ser do tipo I se está contida entre os gráficos deduas funções contínuas de x e y , ou seja,

E = (x , y , z)|(x , y) ∈ D,u1(x , y) ≤ z ≤ u2(x , y) (1)

onde D é a projeção de E sobre o plano xy .

Figura 1: Uma região sólida do tipo I


Introdução

Introdução

Exemplo de regiões do tipo II

Uma região sólida E é dita ser do tipo II se for da forma

E = (x , y , z)|(y , z) ∈ D,u1(y , z) ≤ x ≤ u2(y , z) (2)

onde D é a projeção de E sobre o plano yz.

Figura 2: Uma região sólida do tipo II


Introdução

Introdução

Exemplo de regiões do tipo III

Uma região sólida E do tipo III é da forma

E = (x , y , z)|(x , z) ∈ D,u1(x , z) ≤ y ≤ u2(y , z) (3)

onde D é a projeção de E sobre o plano xz.

Figura 3: Uma região sólida do tipo III


Teorema de Gauss

Teorema de Gauss


Teorema de Gauss

Teorema de Gauss

Teorema de Gauss ou Divergência

Seja E uma região sólida simples e seja S a superfície fronteira de E , ori-entada positivamente, ou seja, o vetor normal unitário n está apontando parafora de E . Seja F um campo vetorial cujas funções componentes têm deriva-das parciais contínuas em uma região aberta que contenha E . Então∫∫

SF · dS =

∫∫∫E

div F dV (4)

Note que ele relaciona a integral da derivada de uma função sobre umaregião com a integral de uma função original F sobre a fronteira da região.


Teorema de Gauss

Teorema de Gauss

Teorema de Gauss ou Divergência

Seja E uma região sólida simples e seja S a superfície fronteira de E , ori-entada positivamente, ou seja, o vetor normal unitário n está apontando parafora de E . Seja F um campo vetorial cujas funções componentes têm deriva-das parciais contínuas em uma região aberta que contenha E . Então∫∫

SF · dS =

∫∫∫E

div F dV (4)

Note que ele relaciona a integral da derivada de uma função sobre umaregião com a integral de uma função original F sobre a fronteira da região.


Teorema de Gauss

Teorema de Gauss

Exemplo 1

Determine o fluxo do campo vetorial F(x , y , z) = zi + y j + xk sobre a esferaunitária x2 + y2 + z2 = 1.Solução: Primeiro calcularemos a divergência de F:

divF =∂

∂x(z) +

∂

∂y(y) +

∂

∂z(x) = 1

A esfera unitária S é a fronteira da bola unitária B dada por x2 + y2 + z2 ≤ 1.Então, o Teorema de Gauss dá o fluxo como∫∫

SF · dS =

∫∫∫B

div F dV =

∫∫∫B

1 dV

= V (B) =43π(1)3

=4π3


Teorema de Gauss

Teorema de Gauss

Exemplo 1: Solução Alternativa

Poderíamos resolver este problema usando a definição para superfícies pa-ramétricas: ∫∫

SF · dS =

∫∫D

F · (ru × rv)dA (5)

Solução: Usando a representação paramétrica

r(φ, θ) = sen(φ)cos(θ)i + sen(φ)sen(θ)j + cos(φ)k, 0 ≤ φ ≤ π 0 ≤ θ ≤ 2π

temosF(r(φ, θ)) = cos(φ)i + sen(φ)sen(θ)j + sen(φ)cos(θ)k

O produto vetorial dos vetores tangentes é:

rφ × rθ = sen2(φ)cos(θ)i + sen2(φ)sen(θ)j + sen(φ)cos(φ)k

Portanto


Teorema de Gauss

Teorema de Gauss

Exemplo 1: Solução Alternativa

F(r(φ, θ)) · (rφ × rθ) = cos(φ)sen2(φ)cos(θ) + sen3(φ)sen2(θ)

+ sen2(φ)cos(φ)cos(θ)

e, pela Eq. 5, o fluxo é∫∫S

F · dS =

∫∫D

F · (ru × rv)dA

=

∫ 2π

0

∫ π

0(2sen2(φ)cos(φ)cos(θ) + sen3(φ)sen2(θ) dφ dθ

= 2∫ π

0sen2(φ)cos(φ) dφ

∫ 2π

0cos(θ) dθ +

∫ π

0sen3(φ)dφ

∫ 2π

0sen2(θ) dθ

= 0 +

∫ π

0sen3(φ)dφ

∫ 2π

0sen2(θ) dθ

=43π


Teorema de Gauss

Teorema de Gauss

Exemplo 1: Figura de Visualização

Figura 4: Campo Vetorial F em pontos da esfera unitária


Teorema de Gauss

Teorema de Gauss

Exemplo 2:

Calcule∫∫

SFdS, onde F(x , y , z) = (4x ,−2y2, z2) e S é a superfície limitada

por x2 + y2 = 4 tal que 0 ≤ z ≤ 3.

Solução: Seja o sólido W = (x , y , z) ∈ R3/x2+y2 ≤ 4,0 ≤ z ≤ 3 é o sólidolimitado por um cilindro e fechado por dois planos paralelos; denotemos por∂W = S. Aplicaremos o teorema de Gauss: divF(x , y , z) = 4−4y + 2z, logo:∫∫

SF · dS =

∫∫∫W

4− 4y + 2z dx dy dz;

Em coordenadas cilindricas, obtemos:divF(r , θ, z) = 4− 4 r sen(θ) + 2z, com0 ≤ r ≤ 2 ,0 ≤ θ ≤ 2 e 0 ≤ z ≤ 3; então:∫∫

SF · dS =

∫∫∫W

4− 4y + 2z dx dy dz =

∫ 2

0

∫ 2

0

∫ 3

0(4− 4 r sen(θ) + 2z) r dr dθ dz

= 84π.


Teorema de Gauss

Teorema de Gauss

Exemplo 2: Figura de Visualização

Figura 5: Campo Vetorial F em pontos do cilindro


Teorema de Gauss Aplicações

Aplicações



Aplicações

Escoamento de Fluidos

Seja v(x , y , z) o campo de velocidade de um fluido com densidadeconstante ρ;

A taxa de vazão do fluido por unidade de área é F = ρv ;

Se P(x0, y0, z0) é um ponto no fluido e Ba é uma bola com centro em P0e raio muito pequeno a, então:

divF(P) ≈ divF(P0)

para todos os pontos de Ba, uma vez que divF é contínuo.

Podemos aproximar o fluxo sobre a fronteira esférica Sa, como segue:



Aplicações

Escoamento de Fluidos∫∫

Sa

divF · dS =

∫∫∫Ba

divF dV

≈∫∫∫

Ba

divF(P0) dV

= divF(P0)V (Ba)

A aproximação se torna melhor a medida que a→ 0 e sugere que

divF(P0) = lima→0

1V (Ba)

∫∫Sa

divF · dS



Aplicações

Escoamento de Fluidos: considerações

divF(P) é o valor limite do fluxo por unidade de volume sobre umaesfera de centro P0;

divF(P) é a taxa líquida do fluxo por unidade de volume que sai de P0;

Se divF(P) > 0, então P é chamado fonte, pois o fluido está "saindo"deP;

Se divF(P) < 0, então P é chamado servidouro(poço), pois o fluido está"entrando"por P;



Aplicações

Equação da Continuidade: Conservação de massa

Consideremos x = (x , y , z) ∈ Ω, v = v(t ,x) e ρ = ρ(t ,x) tais que paracada t , v seja um campo de vetores de classe C1 em Ω e ρ uma funçãocom valores reais de classe C1 em Ω. Dizemos que v e ρ possuem umalei de conservação da massa quando:

ddt

∫∫∫Ω

ρ dx dy dz = −∫∫

∂Ω

J; (6)

para toda região Ω ⊂ R3, onde J = ρ v.Se ρ é uma densidade de massa ou carga e v o campo de velocidadede um fluido, a definição expressa que a variação da massa total em Ω éigual a razão com que a massa flui para o interior de Ω.



Aplicações


Note que:ddt

∫∫∫Ω

ρ dx dy dz =

∫∫∫Ω

dρdt

dx dy dz;

Se denotamos por div(J) a divergência de J calculada para cada t fixo,pelo Teorema de Gauss: ∫∫

SJ =

∫∫∫Ω

div(J)

logo, a Eq. 6 é equivalente a∫∫∫Ω

[div(J) +

dρdt

]dx dy dz = 0; (7)

para toda região Ω ⊂ R3;



Aplicações


Então a Eq. 7 pode ser escrita como,

div(J) +dρdt

= 0; (8)

A Eq. 8 é chamada de Equação da Continuidade.Nos casos onde a massa específica é constante, temos que o div(J) = 0 naEq. 8.



Aplicações

Interpretação da Divergência

Da Eq. 8, temos:dρdt

= −div(J); (9)

logo, a divergência é a taxa de variação da densidade do fluido num ponto.Se div(J) > 0 num ponto, sua densidade diminui, ou seja, o fluido estáse expandindo;

Se div(J) < 0 num ponto, sua densidade aumenta, ou seja, o fluido estáse contraindo;

Se div(J) = 0 em todos os pontos, a densidade é constante, ou seja, ofluido permanece em equilíbrio.


Bibliografia

Bibliografia


Bibliografia

Bibliografia I

Stewart, JamesCálculo , volume 2: tradução Antonio Carlos Gilli Martins.Cengage Learning: São Paulo, 2009.

Fletcher, C. A. J.Computational Techniques for Fluid Dynamics, Vol. I.Springer-Verlag: New York, 1991.


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