Teorema del lmite central y Estimacin de intervalos de confianza

Teorema del lmite central y Estimacin de intervalos de confianzaTEOREMA DEL LIMITE CENTRALElTeorema Central del Lmitedice que si tenemos un grupo numeroso de variables independientes y todas ellas siguen el mismo modelo de distribucin la suma de ellas se distribuye segn una distribucin normal.Ejemplo: la variable "tirar una moneda al aire". Si lanzamos la moneda al aire 50 veces, la suma de estas 50 variables se distribuye segn una distribucin normal.

TEOREMA DEL LIMITE CENTRALEste teorema se aplica tanto a suma de variables discretas como de variables continuas.

Los parmetros de la distribucin normal son:Media:n * m(media de la variable individual multiplicada por el nmero de variables independientes).Varianza:n * s2(varianza de la variable individual multiplicada por el nmero de variables individuales).

TEOREMA DEL LIMITE CENTRALEJEMPLOSe lanza una moneda al aire 100 veces, si sale cara le damos el valor 1 y si sale cruz el valor 0. Cada lanzamiento es una variable independiente que se distribuye segn el modelo de Bernouilli, con media 0,5 y varianza 0,25.Calcular la probabilidad de que en estos 100 lanzamientos salgan ms de 60 caras.La variable suma de estas 100 variables independientes se distribuye, por tanto, segn una distribucin normal.Media = 100 * 0,5 = 50Varianza = 100 * 0,25 = 25TEOREMA DEL LIMITE CENTRALEJEMPLOPara ver la probabilidad de que salgan ms de 60 caras calculamos la variable normal tipificada equivalente:Y = 60-50 = 2,00 5,0(*) 5 es la raz cuadrada de 25, o sea la desviacin tpica de esta distribucin, Por lo tanto:P(x>60) = P(x>2,0) = 1-P(x 30, se puede usar el TLC.Si la distribucin madre es normal, la distribucin de la media muestral tambin es normal, independientemente del tamao.TEOREMA DEL LIMITE CENTRALCONSECUENCIASPermite averiguar la probabilidad de que la media de una muestra concreta est en un cierto intervalo.Permite calcular la probabilidad de que la suma de los elementos de una muestra est, a priori, en un cierto intervalo.Inferir la media de la poblacin a partir de una muestra.TEOREMA DEL LIMITE CENTRALEJEMPLOLas bolsas de sal envasadas por una mquina tienen = 500g y = 35g. Las bolsas se empaquetaron en cajas de 100 unidades.Calcular la probabilidad de que la media de los pesos de las bolsas de un paquete sea menor que 495 g.

ESTIMACION DE INTERVALOS DE CONFIANZAEnestadstica, se llama a un par o varios pares de nmeros entre los cuales se estima que estar cierto valor desconocido con una determinada probabilidad de acierto. Formalmente, estos nmeros determinan unintervalo, que se calcula a partir de datos de unamuestra, y el valor desconocido es unparmetro poblacional.ESTIMACION DE INTERVALOS DE CONFIANZALa probabilidad de xito en la estimacin se representa con1 - y se denominanivel de confianza. En estas circunstancias,es el llamadoerror aleatorioonivel de significacin, esto es, una medida de las posibilidades de fallar en la estimacin mediante tal intervalo.ESTIMACION DE INTERVALOS DE CONFIANZA (NOTA)Es una de las formas mas efectivas de inferencia estadistica. Y se puede ver a diario antes de unas eleccionesCALCULAR EL INTERVALO DE CONFIANZAUn intervalo de confianza (o nivel de confianza) es un indicador de la precisin de una medicin que hiciste. Tambin es un indicador de cun estable es tu valor estimado, el cual es la medida de lo cerca que estar la medicin hecha, respecto al valor estimado original si repitieras tu experimento. Sigue los pasos a continuacin para calcular el intervalo de confianza para tus datos.CALCULAR EL INTERVALO DE CONFIANZAPaso 1: Escribe el fenmeno que te gustara examinar.Supongamos que trabajas con la siguiente situacin:el peso promedio de un estudiante de gnero masculino en la UTP es de 82 kg (180 lb).Analizars qu tan precisamente podrs predecir el peso de los estudiantes varones de la UTP dentro de un intervalo de confianza dado.CALCULAR EL INTERVALO DE CONFIANZAPaso 2: Selecciona una muestra de tu poblacin escogida.

sta es la que utilizars en la recoleccin de datos para evaluar tu hiptesis. Supongamos que seleccionaste, al azar, 1000 estudiantes hombres.CALCULAR EL INTERVALO DE CONFIANZAPaso 3: Calcula el promedio y la desviacin estndar de tu muestra.Escoge un dato estadstico de tu muestra que quieras usar para estimar el parmetro de tu poblacin escogida. Un parmetro de poblacin es un valor que representa una caracterstica particular de la poblacin.CALCULAR EL INTERVALO DE CONFIANZAAs es cmo puedes encontrar el promedio y la desviacin estndar de tu muestra: Para calcular la media de los datos de la muestra, solo suma todos los pesos de los 1000 hombres que seleccionaste y divide el resultado entre 1000; es decir, el nmero de hombres. Esto debera darte, por ejemplo, un valor del peso promedio de 84,4 kg (186 lb).Para calcular la desviacin estndar de la muestra, tendrs que encontrar el promedio o la media de los datos. Luego, tendrs que encontrar la varianza de los datos o el promedio al cuadrado de las diferencias con respecto al valor medio. Una vez que encuentres este nmero, solo calcula su raz cuadrada. Supongamos que la desviacin en este caso sea 14 kg (30 lb).CALCULAR EL INTERVALO DE CONFIANZAPaso 4: Elige el nivel de confianza que desees.

Los niveles de confianza ms comnmente usados son 90 por ciento, 95 por ciento y 99 por ciento. Al resolver un problema, es posible que este dato est disponible para ti. Supongamos que escogiste 95%.CALCULAR EL INTERVALO DE CONFIANZAPaso 5: Calcula tu margen de error.Puedes encontrar el margen de error usando la siguiente frmula:Za/2* /(n).Za/2= coeficiente de confianza, donde a = nivel de confianza, = desviacin estndar, n = tamao de muestra. Esta es otra forma de decir que deberas multiplicar el valor crtico por el error estndar.CALCULAR EL INTERVALO DE CONFIANZAAs es como puedes resolver esta frmula por partes: Para encontrar el valor Za/2: en este caso el nivel de confianza es 95%. Convierte el porcentaje a un nmero decimal 0,95 y divdelo entre 2 para tener 0,475. Luego, revisa latabla de valores zpara encontrar el valor que corresponde a 0,475. Vers que el valor ms cercano es 1,96 en la interseccin de la fila 1,9 y la columna 0,6.Calcula el error estndar: toma la desviacin estndar, 14 kg (30 lb), y divdela por la raz cuadrada del tamao de la muestra, 1000. Obtendrs 14/31,6 o 0,44 kg (0,95 lb).Multiplica 1,96 por 0,44 (tu valor crtico por tu error estndar) para obtener 0,86; tu margen de error.CALCULAR EL INTERVALO DE CONFIANZAPaso 6: Expresa tu intervalo de confianza.Para expresar el intervalo de confianza, simplemente tienes que tomar el promedio o la media (82), y escribirla antes de y el margen de error. La respuesta es: 82 0,86. Puedes encontrar los lmites superior e inferior del intervalo de confianza, sumando y restando el margen de error a la media. Entonces, tu lmite inferior es 82 0,86 o 81,14 kg (178,14 lb), y tu lmite superior es 82 + 0,86, o 82,86 kg (181,86 lb).Tambin puedes usar esta frmula prctica para encontrar el intervalo de confianza:x Za/2* /(n).Aqu, x representa la media.