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Índice
• Teoremas inf-sup
• Aplicación a capacidad de carga de fundaciones
• Aplicación a empujede suelos
• Saltos en desplazamientos y líneas características
Teo
rem
as
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est
ad
o lí
mite
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Teo
rem
as
de
est
ad
o lí
mite
Teorema de límites inferior y superior
Teorema de límite inferior (teorema estático)
• Campo tensional en equilibrio con acciones exteriores
• Respeta ecuación constitutiva
Reacciones menores o iguales a la de falla
Teorema de límite superior (teorema cinemático)
• Mecanismo con trabajo igual a energía disipada
• Respeta ecuación constitutiva
Reacciones mayores o iguales a las de falla
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Teorema superior y plasticidad asociativa
Hipótesis teorema superior: mecanismo asociativo
Teo
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as
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est
ad
o lí
mite
(Powrie 2014)4
Índice
• Teoremas inf-sup
• Aplicación a capacidad de carga de fundaciones
• Aplicación a empujede suelos
• Saltos en desplazamientos y líneas características
Teo
rem
as
de
est
ad
o lí
mite
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Teorema inferior: capacidad de carga no drenada
Campo tensional equilibrado: Líneas punteadas � = 0
• 1: ��� = �; ��� = ��� + 2 · ��
• 2: ��� = ���; ��� = ��� + 2 · �� = �� = � · �� + �
Solución exacta: �� = 2 + � · �� + �
Teo
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de
est
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��� =
�
� �
������
������
�
��
��� ������ = ���
�
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�� normal a ��: vertical��
�= 0
Mecanismo cinemático: falla circular, giro infinitesimal �
• 1: ��� = � ·�
�· �
• 2: ���� = � · � · � · � · �� + � · � ·�
�· �
• 3: ��� = ���� →�
�= �� = �� · �� + �
Superior: �� = 2� · �� + �
Exacta: �� = 2 + � · �� + �
Inferior: �� = 4 · �� + �
Teorema superior:capacidad de carga no drenada
Teo
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de
est
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mite
�� =�
�
��
�
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Teorema inferior: capacidad de carga drenada
Campo tensional equilibrado: Líneas punteadas � = 0
• 1: ��� = �; ��� = ��� · ��
• 2: ��� = ���; ��� = ��� · �� = �� = � · ���
Solución exacta: �� = � · �� ��� � · ��
Teo
rem
as
de
est
ad
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mite
� �
������
������
�
��� ������ = ���
�
�� =�
�
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�� normal a ��: inclinada��
�< 0: dilatancia (mayor a real)
Mecanismo cinemático: giro infinitesimal � con � = �
��� � =��
� ��→ � = �� · �� ��� � (espiral logarítmica)
• 1: ��� = � ·�
�· �
• 2: ���� = �� ��� � · � · � ·�
�· �� ��� � · �
• 3: ��� = ���� →�
�= �� = ��� ��� � · �
Ejemplo: � = 30º
• Superior: �� = 110 · �
• Exacta: �� = 18 · �
• Inferior: �� = 9 · �
Teorema superior:capacidad de carga drenada
Teo
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��� =
�
�
9
�
�
La capacidad de carga de fundaciones superficiales en condición no drenada tiene la forma �� = �� · �� + �
• Teorema estático: 4.00 < �� < �. ��
• Teorema cinemático: �. �� < �� < 6.28
�� = 2�= 6.28
�� = 2 + �= 5.14
�� = 6.00
Solución exacta: cuando el teorema estático y el cinemático coinciden
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Teo
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�� = 5.52
(Powrie 2014)
Índice
• Teoremas inf-sup
• Aplicación a capacidad de carga de fundaciones
• Aplicación a empujede suelos
• Saltos en desplazamientos y líneas características
Teo
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mite
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Método de Rankine (teorema estático)
Se efectúan hipótesis que permiten establecer un estado tensional simple en el terreno
• Superficie horizontal
• Estructura vertical
• Contacto suelo – estructura sin fricción
• Con estas hipótesis, seintegra la tensión horizontal
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��� = ��
��� → ��� = ��
� ��
�� = 1 ��⁄
��� � = ����
�
Método de Rankine (teorema estático)
Teo
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��� = ��
�� = � ��� � ��
�
�
=�
������
��� = ����
�
Método de Coulomb (equilibrio límite ~ teorema cinemático)
Teo
rem
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de
est
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o lí
mite Hipótesis sobre la geometría
de falla
• Cuña rígida
• Contacto suelo – estructura puede tener fricción
Sólo se calculan fuerzas en el plano de potencial deslizamiento
No se verifica el equilibrio estático fuera del plano de potencial deslizamiento
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�
�
�
�
H
�
Método de Coulomb (equilibrio límite ~ teorema cinemático)
Teo
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mite • Se plantea una superficie de
potencial deslizamiento
• Se forma el polígono de fuerzas
– Peso propio
– Dirección de la fricción (�)
– Dirección del empuje (�)
• Se determina el empuje �para ese plano de potencialdeslizamiento
• Se cambia el plano y se busca el mínimo
�
�
�
�
�
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Método de Coulomb (equilibrio límite ~ teorema cinemático)
Teo
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mite
�
�
�
�
H
Se determina � tal que
Para suelo sin cohesión queda
Si � = � = � y � = ��° queda �� = � ��⁄ igual a Rankine
�
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�� ��⁄ = 0
�� =1
2�����
�� =sin� � + �
sin� � sin � − � 1 +sin � + � sin � − �sin � − � sin � + �
�
Ejercicio: Determinar el empuje activo por método de Rankine
Teo
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est
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mite Dimensiones
• � = 5.5�
• � = 3�
Suelo
• � = 20��/�3
• � = 0��/�2
• � = 30º
Muro/suelo: � = 0°
B
H
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Índice
• Teoremas inf-sup
• Aplicación a capacidad de carga de fundaciones
• Aplicación a empujede suelos
• Saltos en desplazamientos y líneas características
Teo
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Teo
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mite
Saltos en el campo de desplazamientos
Líneas de discontinuidadcinemática
• Continuidad de tensiones
• Desplazamiento relativo
• Separa zonas con tensiones uniformes
�
�� � �� �
��� = ���
�
(Powrie 2014)19 �� ��� �
Líneas características
A lo largo de estas líneas el material está en fluencia
• Patrón continuo en todala zona plastificada
• Más restrictiva que saltosde desplazamiento
Teo
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�
��� ��
�
�
4+
�
2�
4−
�
2
(Powrie 2014)20
Líneas características vs saltos de desplazamientos
Líneas características: solución rigurosa de ecuaciones diferenciales de plasticidad
Saltos de desplazamiento: técnica analítica para cálculo de soluciones por teorema estático
Solución exacta: líneas características = infinitos “saltos” de desplazamiento
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(Wang 2008)(Miller et al 2014)
Soluciones numéricas mediante métodode líneas carácterísticas
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(LimitState.com)
Bibliografía
Básica
• Powrie, W. Soil Mechanics. Concepts and Applications. 2ª Ed. Spon Press.
• Potts et al. Guidelines for the use of advanced numericalanalyses. COST Action C7. Telford.
• Jimenez Salas et al. Geotecnia y Cimientos. Rueda
Complementaria
• Chen, W. y Mizuno, W. Nonlinear analysis in soilmechanics. Elsevier.
• Chen, W y Liu, X. Limit analysis in soil mechanics. Elsevier
• Potts y Zdracovic. Finite element analysis in geotechnicalengineering. Theldord.
• Zienkiewicz et al. Computational geomechanics. Wiley.
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