BAB VI TEOREMA GREEN, STOKES DAN GAUSS

6.1 Teorema Green

Teori ini adalah teori yang sangat penting jika dihubungkan dengan

integrasi garis pada kurva tertutup bidang. Teori ini menjelaskan hubungan antara

integral garis di sepanjang kurva (atau kurva-kurva) yang membentuk atau

membangun sebuah daerah/domain/region dan integral ganda (double integral)

atau integral integral permukaan yang di ambil di daerah tersebut. Dengan kata

lain teori ini menjelaskan bahwa permasalahan integral garis dapat di selesaikan

dengan integral permukaan dan demikian sebaliknya. Hal ini diungkapkan oleh

G. Green, seorang matematikawan Inggris di awal abad 19.

Teorema: Misal D suatu domain dari bidang xy dan C adaalah lengkung (kurva)

tertutup yang licin (smooth) di D, dengan interior juga di D. Misalkan

P(x,y), Q(x,y) adalah fungsi-fungsi yang ditentukan, kontinu dan

mempunyai turunan parsial pertama yang kontinu di D, maka :

∫ ∫∫

∂∂

−∂∂

=+C

R

dxdyyP

xQQdyPdx , R daerah tertutup yang dibatasi C.

Bukti :

Teori ini akan dibuktikan dengan menampilkan R dalam bentuk :

;;

dycbxa

≤≤≤≤

dimana ( ) ( )xfyxf 21 ≤≤ dan ( ) ( )ygxyg 21 ≤≤ seperti terlihat dalam gambar di

bawah ini :

( )xfy 2=

a b

d

c

x

y

R

( )xfy 1=

Integral lipat dua ∫∫ ∂∂

R

dxdyyP dapat ditulis dalam bentuk integral iterasi

( )

( )∫∫ ∫ ∫ ∂

∂=

∂∂

R

b

a

xf

xfdydx

yPdxdy

yp 2

1

. Sekarang dapat kita integrasikan :

( )[ ] ( )[ ]{ }

( )[ ] ( )[ ]( )∫

∫ ∫

∫∫∫

−=

−−=

−=∂∂

C

b

a

b

a

b

aR

dxyxP

dxxfxPdxxfxP

dxxfxPxfxPdxdyyP

,

,,

,,

12

12

Dengan jalan yang sama maka ∫∫ ∂∂

R

dxdyyQ dapat ditulis dalam integrasi

( )∫C

dyyxQ , sehingga ∫ ∫∫

∂∂

−∂∂

=+C R

dxdyyP

xQQdyPdx . Dengan ini teorema

GREEN telah terbukti kebenarannya.

Domain D atau daerah D dalam Teorema ini harus mememnuhi sifat-sifat

sebagai berikut :

1. merupakan domain / daerah yang tertutup dan terbatas.

2. memuat sejumlah terhingga kurva tertutup sederhana yang tidak saling

berpotongan satu sama lain.

3. setiap kurva tertutup sederhana tersebut harus licin (smooth).

Domain/daerah yang memenuhi sifat-sifat di atas disebut daerah reguler (reguler

region)

Contoh soal :

1. Hitung ( ) ( )( )

( )

∫ −+−2,

0,0

22 236π

dyxyxdxyxy sepanjang cycloid

θθθ cos1;sin −=−= yx .

Penyelesaian : yxy

MyxyM 2662

−=∂

∂→−=

yx

xNxyxN 2623 2 −=

∂∂

→−=

Jadi xN

yM

∂∂

=∂

∂ , maka integral di atas tidak tergantung lintasan.

Dengan lintasan garis lurus dari ( )0,0 ke ( )2,π persamaan garisnya adalah

xyπ2

= atau yx2π

= ; dydx2π

=

( ) ( ) ( )( )

( )

∫ ∫

−+

−=−+−

2,

0,0

2

0

2222222

43

23236

π

πππ

π dyyydyyydyxyxdxyxy

∫

−+−=

2

0

222

43

223 dyyππ

ππ ∫

−=

2

0

22

23

49 dyyππ

2

0

32

23

49

31 y

−= ππ

−= ππ

23

49

38 2 ππ 46 2 −=

2. Ujilah Teorema GREEN dalam bidang untuk ( ) ( )∫ −+−C

dyxyydxyx 6483 22 ,

dimana C adalah batas daerah yang di definisikan oleh 1,0,0 =+== yxyx .

Penyelesaian :

1

1 x

y

Dengan Integral Garis :

• dari (0,1) ke (1,0) ;y = 0 ; dy = 0

( ) ( ) ∫∫ =−+−1

0

222 36483 dxxdyxyydxyxC

1

0

3x= 1=

• dari (1,0) ke (0,1)

Persamaan garisnya xyyx −=→=+ 11 ; dxdy −=

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )( )( )∫∫ −−−−+−−=−+−0

1

2222 16141836483 dxxxxdxxxdyxyydxyxC

( )∫ −+−+−−=0

1

222 610416883 dxxxxxx 0

1

23 13123

11 xxx +−−=

13123

11−+=

38

=

• dari (0,1) ke (0,0); lintasan x = 0 ; dx = 0

( ) ( ) ∫∫ =−+−0

1

22 46483 ydydyxyydxyxC

0

1

22y= 2−=

Jadi : ( ) ( )∫ =−+=−+−C

dyxyydxyx352

3816483 22

Dengan Teorema GREEN di bidang yy

MxN 10=

∂∂

−∂∂

( ) ( ) ( )∫ ∫∫−

=−+−1

0

1

0

22 106483x

C

dydxydyxyydxyx ∫−

=1

0

1

0

25 dxyx

( )∫ +−=1

0

2215 dxxx1

0

32

315

+−= xxx

+−=

31115

35

=

6.2 Teorema Stokes

Rumusan dari teorema Stokes’s adalah :

∫∫∫ ++=

∂∂

−∂∂

+

∂∂

−∂∂

+

∂∂

−∂∂

CS

RdzQdyPdxdAyP

xQ

xR

zP

zQ

yR γβα cos cos cos

Teorema Stokes memainkan peranan di dalam dimensi-3 seperti halnya Teorema

Green di bidang. Teori ini memiliki andil besar dalam ilmu fisika matematika.

Dalam perumusan di atas, S adalah sebuah permukaan yang dibatasi oleh

sebuah kurva C; P,Q dan R adalah fungsi-fungsi dalam x,y dan z.

Sudut-sudut α,β dan γ adalah sudut-sudut yang

dibentuk oleh normal n terhadap sumbu-sumbu x,y

dan z. Dalam kasus S adalah sebuah daerah di

bidang xy, Teorema Stokes’s identik dengan

Toeorema Green di bidang, dalam kasus ini jika kita

pilih arah z yang positif maka cos α = 0, cos β = 0

dan cos γ = 1. Sehingga selama dz = 0 sepanjang

kurva C dalam kasus ini maka :

∫∫∫ +=

∂∂

−∂∂

CS

QdyPdxdAyP

xQ

Rumusan ini adalah merupakan Teorema Green di bidang.

Teorema Stokes dapat diberikan dalam bentuk vektor sebagai berikut :

Misalkan S suatu permukaan terbuka, bermuka dua dan dibatasi oleh lengkung C

yang sederhana. Garis normal pada S mempunyai arah positif disatu pihak dan

arah negatif dipuhak lain. Arah dari lengkung C disebut positif jika seorang

berjalan menyusur keliling C senantiasa mempunyai luas disebelah kirinya.

Dengan kata lain berlawanan dengan arah perputaran jarum jam.

Normal pada S disebarang titik adalah dapat diberikan sebagai berikut:

n = cos α i + cos β j + cos γ k

Suatu vektor A = A1 i + A2 j + A3 k bersifat bahwa A1, A2 dan A3 kontinu,

bernilai tunggal dan mempunyai turunan parsial yang kontinu di S.

Teorema Stokes menyatakan bahwa tangensial komponen dari vektor A

sekeliling lengkung tertutup C sama dengan integral luas dari komponen normal

dari rotasi A jika dikenakan pada permukaan S yang dibatasi oleh C.

Secara Rumus dapat dituliskan sebagai ( )∫ ∫∫ •×∇=•C S

dsdr nAA

Pembuktiannya diberikan sebagai berikut:

Misalkan S adalah permukaan dengan proyeksi pada bidang-bidang xy, yz dan xz

merupakan daerah yang dibatasi oleh lengkung tertutup sederhana. Persamaan

untuk S dapat dituliskan dalam bentuk z = ƒ(x,y), x = g(y,z), y = h(x,z) dengan

ƒ,g,h bernilai tunggal, kontinu dan merupakan fungsi yang dapat diturunkan.

Yang harus ditunjukkan adalah:

( )∫∫ •×∇S

ds nA = ( )[ ]∫∫ •++×∇S

dsAAA 321 nkji = ∫ •C

drA

y

x

z

o

S

R

C

dx dy

ds

Mula-mula pertimbangkan: ( )[ ]∫∫ •×∇S

dsA 1 ni

∇×(A1 i) =

0 0 z

y

x

1A∂∂

∂∂

∂∂

kji

= yA

zA

∂∂

−∂∂ 11 j k

( )[ ] dSyA

zAdSA 11

1

•

∂∂

−•∂∂

=•×∇ nknjni ………………………..(1)

Jika persamaan untuk S dipilih z = ƒ(x,y) maka vektor posisi untuk setiap titik dari

S adalah r = xi + yj +ƒ(x,y)k sehingga kjkjryf

yz

y ∂∂

+=∂∂

+=∂∂ tetapi

y∂∂r adalah

vektor yang menyinggung permukaan S, maka vektor tersebut tegak lurus dengan

n, sehingga:

knjnknjnrn •∂∂

=•=•∂∂

+•=∂∂

•yz-atau 0

yz

y

Subtitusikan dalam persamaan (1)

dSyA

yz

zAdS

yA

zA 1111

•

∂∂

−•∂∂

∂∂

−=

•

∂∂

+•∂∂ knknknjn

Atau ( )[ ] dSyz

zA

yAdSA 11

1 knni •

∂∂

∂∂

+∂∂

=•×∇ ………………………(2)

pada permukaan S : A1(x,y,z) = A1{x,y,f(x,y)} = F(x,y) maka yF

yz

zA

yA

∂∂

=∂∂

∂∂

+∂∂ 11

dan persamaan (2) menjadi [∇×(A1i)] dxdyyFdS

yFdS

∂∂

−=•∂∂

−=• knn ,

sehingga

( )[ ]∫∫ •×∇S

dsA 1 ni = ∫∫ ∫ ∫Γ

==∂∂

−R C

dxAFdxdxdyyF

1 dengan tanda/simbol Γ adalah

keliling dari R.

Di setiap titik (x,y) dari Γ nilai dari F sama dengan nilai dari A1 di tiap-tiap

titik (x,y,z) dari C, dan karena dx sama untuk kedua lengkung maka kita peroleh

∫ ∫Γ

=C

dxAFdx 1 atau ( )[ ]∫∫ •×∇S

dsA 1 ni = ∫C

dxA1 kalau S diproyeksikan pada

bidang koordinat lainnya, diperoleh: ( )[ ]∫∫ •×∇S

dsA 2 nj = ∫C

dyA2

( )[ ]∫∫ •×∇S

dsA 3 nk = ∫C

dzA3

Kalau ketiga persamaan ini kita jumlahkan diperoleh:

( )∫∫ •×∇S

ds nA = ( )[ ]∫∫ •++×∇S

dsAAA 321 nkji = ∫ •C

drA

Contoh Soal :

Hitung : ( )∫∫ ∇S

xA . n dS, dimana A = (x2 + y - 4)i + 3xy j + (2xz +n2)k dan S

adalah permukaan dari :

a) Setengah bola x2 + y2 + z2 = 16 di atau bidang xy.

b) Paraboloida z = 4 – (x2 + y2) di atas bidang xy.

Penyelesaian :

( )∫∫ ∇S

xA . n dS ∫=C

A . dv ( ) ( ) ( )∫ +++−+=C

dzzxzdyxydxyx 22 234

a) c adalah sebuah lingkaran ;1622 =+ yx z = 0

( )∫∫ ∇S

xA . n dS ( ) ( ) ( )∫ +++−+=C

dzzxzdyxydxyx 22 234

( )∫∫

−+∂∂

−∂∂

= dxdyyxy

xyx

43 2 ( )∫ ∫−

−

−−

−=4

4

16

16

2

2

13x

x

dydxy ∫−

−

−−

−=4

4

16

16

2

2

223 dxyy

x

x

dxx∫−

−−=4

4

2162 4

4

12

2sin816

22

−

−

+−−=

xxx { }π802 +−= π16−=

b) c adalah lingkaran 422 =+ yx

( )∫∫ ∇S

xA . n dS ( )∫ −=C

y 13 dy dx ( )∫ ∫−

−

−−−=

2

2

4

4

2

213

x

xy dy dx

∫−

−

−−

−=

2

2

4

4

2

2

223

x

x

yy dx

∫−−−=

2

2

242 dxx 2

2

12

2sin24

22

−

−

+−−=

xxx

{ }π202 +−= π4−=

6.3 Teorema Gauss

Teorema divergensi Gauss adalah analog tiga dimensi dari teorema Green

di bidang. Isi dasar dari Teorema Divergensi adalah:

( )∫∫∫ ∫∫ ++=

∂

∂+

∂∂

+∂∂

V S

dAAAAdVz

Ay

AxA

γβα coscoscos 321321

dimana, V adalah sebuah daerah diruang dimensi 3; SAW adalah permukaan yang

dibatasi oleh T; A1, A2, dan A3 adalah fungsi-fungsi dari x,y dan z yang kontinu

dan mempunyai turunan parsial pertama yang kontinu di V. Dan cos α, cos β dan

cos γ adalah cosinus dari garis normal terhadap SAW ditarik keluar dari T.

Secara vektorial teorema di atas dapat dirumuskan sebagai berikut:

Ambillah S suatu luas tertutup dan menuntupi volumeV. Normal dari SAW diambil

normal pada permukaan yang mengarah keluar; ditentukan sebagai normal positif

dan dimisalkan bahwa normal positif ini membentuk sudut α β dan γ dengan

su,bu-sumbu positif x, yang dan z. Normal jika ditulis dalam vector adalah:

n = cos α i + cos β j + cos γ k

Suatu vektor A = A1 i + A2 j + A3 k bersifat bahwa A1, A2 dan A3 kontinu,

bernilai tunggal dan mempunyai turunan parsial yang kontinu di daerah tersebut

Teorema Divergensi manyatakan bahwa integral luas dari komponen

normal suatu vector A meliputi suatu luas tertutup sama dengan integral dari

divergensi A terhadap volume yang ditutupi oleh luas tersebut. Teori Divergensi

disebut pula Teori Green dalam ruang.

Dalam bentuk rumusan matematis teorema Divergensi diberikan sebagai

∫∫∫ ∫∫ •=•∇V S

dSdV nAA .

Pembuktian Teorema tersebut diberukan sebagai berikut:

Ambilah S suatu luas tertutup yang sedemikian rupa sehingga sebarang garis

sejajar sumbu koordinat akan memotong S paling banyak pada dua titik.

Misalakan persamaan permukaan bagian bawah dan atas, S1 dan S2 masing-

masing adalah z = f1(x,y) dan z =f2(x,y).

Proyeksi dari S pada bidang xy adalah R

y

x

z

o

R

ds1

ds2

n1

n2

2γ

2γS1;z=f1(f,y)

S2;z=f2(x,y)

∫∫∫ ∫∫∫ ∂∂

=∂

∂

V V

dxdydzz

AdV

zA

33 = ∫∫ ∫

∂∂=

=R

fz

fzdy

zA

dx 2

1

3 = ]∫∫ ==

R

fzfz dydxzyxA 2

1),,(3

= [ ]∫∫ −R

dydxfyxAfyxA ),,(),,( 1323 untuk bagian atas S2 dxdy = cos γ2 dS2 = k •

n2 dS2, karena normal n2 pada S2 membentuk sudut lancip γ2 dengan k. Bagian

bawah S1, dxdy = - cos γ1 dS1 = - k • n1 dS1, karena normal n1 pada S1 membentuk

sudut tumpul dengan k yang merupakan normal dari R.

Maka :

[ ]∫∫ ∫∫ •=R S

dSAdydxfyxA2

22323 ),,( nk

[ ]∫∫ ∫∫ •=R S

dSAdydxfyxA1

11313 ),,( nk

dan

∫∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫ •+•=−R R S S

dSAdSAdydxfyxAdydxfyxA2 1

1132231323 ),,(),,( nknk

= ∫∫ •S

dSA 3 nk , sehingga ∫∫∫ ∫∫ •=∂

∂

V S

dSAdVz

A 3

3 nk ……..(1)

Dengan analog yang sama dan dengan memproyeksikan S pada bidang-bidang

koordinat lainnya akab diperoleh:

∫∫∫ ∫∫ •=∂∂

V S

dSAdVxA

11 nk ………………………………………..(2)

∫∫∫ ∫∫ •=∂

∂

V S

dSAdVy

A 22 nk ………………………………………..(3)

dan kalau (1), (2) dan (3) dijumlahkan akan dihasilkan/diperoleh hasil akhir yaitu

∫∫∫ ∫∫ •=•∇V S

dSdV nAA

Contoh Soal :

Hitunglah ∫∫S

F . n dS, dimana F = 2xy i + yz2 j + xz k dan S adalah

permukaan parellelepipedum x = 0; y = 0; z = 0; x = 2; y = 1; z = 3.

Penyelesaian :

Dari Teorema DIVERGENSI,

∫∫S

F . n dS ∫∫∫∇=V

. F dv

∇ . F ( )xzkjyzxyiz

ky

jx

i ++

∂∂

+∂∂

+∂∂

= 22 xzy ++= 22

∫∫

S

F . n dS ∫∫∫∇=V

. F dv

( )∫ ∫ ∫= = =++=

2

0

1

0

3

0

22x y z

zyx dz dy dx ∫ ∫

++=

2

0

1

0

3

0

3

312 dydxzyzxz

( )∫ ∫ ++=2

0

1

0963 yx dy dx ( )∫ ++=

2

0

1

0

2 933 dxyyxy ( )∫ +=2

0123x dx

2

0

2 1223 xx += 246 += 30=