6

9 = 2 A

= 3 V

υSiS

ix

+−

Teorema Superposisi

Semua rangkaian yang telah kita analisis sampai sekarang (dan yang akan kita

analisis kelak) adalah rangkaian linear. Pada waktu ini kita harus lebih spesifik dalam

mendefiniskan sebuah rangkaian linear. Setelah melakukan hal ini, maka kita dapat

meninjau akibat linearitas yang terpenting, yakni prinsip superposisi. Ini adalah prinsip

dasar, dan kenyataan bahwa superposisi tidak dapat diterapkan untuk rangkaian yang tak

linear, adalah alasan mengapa sangat sukar menganalisis tangkaian tak linear.

Teorema Superposisi biasanya muncul dalam bentuk yang serupa dengan yang

berikut :

Jadi jika ada N sumber bebas, maka kita lakukan N percobaan. Setiap sumber bebas

adalah aktif hanya dalam satu eksperimen. Sebuah sumber tegangan yang tak aktif adalah

identik dengan sebuah hubungan pendek, dan sebuah sumber arus bebas yang tak aktif

adalah sebuah rangkaian terbuka. Perhatikan bahwa sumber-sumber tak bebas pada

umumnya adalah aktif dalam setiap percobaan.

Gambar 1: Rangkaian yang mengandung sebuah sumber arus bebas dan

sebuah sumber tegangan bebas yang mudah dianalisis dengan prinsip

superposisi.

Untuk rangkaian dari Gambar 1 kita gunakan superposisi untuk menuliskan

ungkapan bagi arus cabang yang tak diketahui ix. Mula-mula kitabuat sumber arus sama

dengan nol dan didapat bagian ix yang ditimbulkan oleh sumber tegangan sebesar 0,2 A.

Selanjutnya jika kita biarkan sumber tegangan sama dengan nol dan memakai pembagian

Di dalam setiap jaringan penahan linear yang mengandung beberapa sumber, tegangan atau arus yang melalui setiap tahanan atau sumber dapat dihitung dengan melakukan penjumlahan aljabar dari semua tegangan atau arus sendiri-sendiri yang dihasilkan oleh setiap sumber bebas yang bekerja sendiri, dengan semua suber tegangan bebas lain diganti oleh rangkaian-rangkaian pendek dan semua sumber arus bebas yang lain diganti oleh rangkaian terbuka.

2

3 A

ix

10 V 2ix+−

+−

1

+

υ

_

arus, maka bagian sisa dari ix terlihat sama dengan 0,8 A. kita dapat menuliskan jawaban

terperinci sebagai

ix=ix|ix=0 + ix|v s=0 =3

6 + 9+ 2

66 + 9

= 0,2 + 0,8 = 1,4

Gambar 2: Superposisi dapat digunakan menganalisis rangkaian ini

dengan mula-mula menggantikan sumber 3 A dengan sebuah rangkaian

hubung terbuka (Open Circuit). Sumber tegangan tak bebas selalu aktif

(kecuali jika ix = 0)

Sebagai contoh pemakaian prinsip superposisi pada rangkaian yang mengandung

sebuah sumber tak bebas, tinjaulah Gambar 2. Kita mencari ix, dan mula-mula kita buat

sumber 3 A menjadi rangkaian terbuka. Persamaan mesh adalah

−10+ 2 i x' + 1i x

' + 2 ix' =0

sehingga

ix' = 2

Selanjutnya, kita hubung-pendekkan sumber 10 V dan kita tuliskan persamaan simpul

v} } } over {2} } `+` { {v rSup { size 8{ − 2 ix} } } over {1} } `=`3} {¿ ¿¿¿¿

dan menghubungkan kuantitas pengontrol sumber tak bebas kepada v} } } {¿¿¿

v=` - 2i rSup { size 8{¿¿Kita dapatkan

ix} } =` - 0,6} {¿¿¿

dan, jadi,

ix=i x' +ix

} } =2 - 0,6=1,4} { ¿¿¿

+−

0,1 Ω 0,3 Ω

0,5 A 80 mV

ix

(a)

+−

10 Ω 40 Ω

1 V −2 V

ix

(b)

+−

+− 3 V

50 Ω 150 Ω 40 A

10 V

ix

(c)

120 A

− +

Biasanya ternyata bahwa hanya sedikit, kalau pun ada, waktu yang dihemat dalam

menganalisis sebuah rangkaian yang mengandung satu atau lebih sumber-sumber tak

bebas dengan menggunakan prinsip superposisi, karena harus selalu ada paling sedikit dua

sumber yang beroperasi; sebuah sumber bebas dan semua sumber yang tak bebas.

Kita harus terus menerus sadar akan batasan superposisi. Ini hanya dapat dipakai untuk

respons liner, jadi respons nonlinear yang paling umum-daya-tidak memenuhi superposisi.

Misalnya, tinjaulah dua batere 1-V yang seri dengan sebuah tahanan 1-. Daya yang

diberikan kepada tahanan jelaslah 4 W, tetapi jika kita secara salah menggunakan

superposisi mungkin kita akan mengatakan bahwa setiap batere memberi 1 W sehingga

daya total 2 W. Ini tak benar.

Contoh Soal

1. Gunakan superposisi untuk mencari ix di dalam masing-masing rangkaian yang

diperlihatkan pada Gambar 15.

Gambar 3: Lihat Contoh Soal 1.

Jawab

0,1 Ω 0,3 Ω

0,5 A

−ix

(a)

0,1 Ω 0,3 Ω

80 mVix

(a)

+−

ix

(a) Jika sumber arus 0,5 A bekerja maka sumber tegangan 80 mV diganti

dengan rangkaian hubung singkat (Short Circuit) sehingga rangkaian 3a

menjadi

Gambar 4a: Gambar 3a dengan mengganti sumber tegangan 80

mV dengan rangkaian hubung singkat.

sehingga dengan pembagian arus akan didapat respon arus yang ditimbulkan

oleh sumber arus 0,5 A,

( ix )0,5 A=−0,30,3+0,1

⋅0,5

=−0 ,375 Ajika sumber tegangan 80 mV bekerja maka sumber arus 0,5 A dihubung

pendek

Gambar 4b: Gambar 3a dengan mengganti sumber arus 0,5 A

dengan rangkaian hubung terbuka.

dengan analisis rangkaian pada loop tunggal maka didapat respon arus ix

yang disebabkan oleh sumber tegangan 80 mV yaitu

( ix )80mV=80⋅10−3

0,3+0,1=0,2 A

10 Ω 40 Ω

ix

(b)

+− 3 V

10 Ω 40 Ω

1 V

ix

(b)

+−

sehingga respon arus totalnya merupakan jumlah respon arus yang

disebabkan oleh sumber arus 0,5 A dan sumber tegangan 80 mV

( ix )total=( ix )0,5A+( ix )80mV

=−0 ,375+0,2=−0 ,175 A=−175 mA

(b) Jika sumber tegangan 3 V bekerja maka kedua sumber tegangan 1 V dan −2

V dihubung singkat menjadi

Gambar 4c: Gambar 3b dimana sumber tegangan 1 V dan −2V

diganti dengan rangkaian hubung singkat.

( ix )3V=υR

= 310

=0,3 A

jika sumber tegangan 1 V bekerja maka sumber tegangan 3 V dan −2 V

dihubung singkat

Gambar 4d: Gambar 3b dimana sumber tegangan 3 V dan −2V

diganti dengan rangkaian hubung singkat

10 Ω 40 Ω

−2 V

ix

(b)

+−

50 Ω 150 Ω

ix

(c)

120 A

( ix )1V=−4040+10

⋅110⋅4010+40

=−4050

⋅18=0,1 A

jika sumber tegangan −2 V bekerja maka kedua sumber tegangan 3 V dan 1

V diganti dengan rangkaian hubung singkat

Gambar 4e: Gambar 3b dimana sumber tegangan 3 V dan 1 V diganti

dengan hubung singkat.

( ix )−2V=0 A (karena tidak dialiri arus)

sehingga total respon arusnya adalah

( ix )total=( ix )3V+( ix )1V+(i x )−2V

=0,3−0,1+0=0,2 A=200 mA

(c) Jika sumber arus 120 A bekerja maka sumber tegangan 10 V dihubung

singkat sedangkan sumber arus 40 A dihubung terbuka

Gambar 4f: Gambar 3c dimana sumber tegangan 10 V dengan

rangkaian hubung singkat dan sumber arus 40 A dengan rangkaian

hubung terbuka.

50 Ω 150 Ω

10 V

ix

(c)

− +

50 Ω 150 Ω 40 A

ix

(c)

( ix )120 A=−5050+150

⋅120

=−30 A

jika sumber tegangan 10 V bekerja maka kedua sumber arus 120 A dan 40 A

dihubung terbuka

Gambar 4g: Gambar 3c dengan mengganti sumber arus 120 A dan

40 A dengan rangkaian hubung terbuka (Open Circuit).

( ix )10V=υReq

=1050+150

=0 ,05 A

jika sumber arus 40 A bekerja maka sumber arus 120 A diganti dengan

rangkaian hubung terbuka sedangkan sumber tegangan 10 V hubung

singkat.

Gambar 4h: Gambar 3c dimana sumber arus 120 A dihubung terbuka

sedangkan sumber tegangan 10 V dihubung singkat.

( ix )40 A=150150+50

⋅40

=30 ASehingga total respon arusnya yaitu

( ix )total=( ix )30 A+( i x)10V+(i x )40 A

=−30+0 ,05+30=0 ,05 A=50 mA