Upload
sofa-mawon
View
45
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
5/13/2018 TEOREMA TITIK TETAP DALAM RUANG 2-METRIK SEMI QUASI Bab 3 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/teorema-titik-tetap-dalam-ruang-2-metrik-semi-quasi-bab-3
24
BAB III
PEMBAHASAN
.
3.1 Ruang 2-Metrik Semi Quasi
Pada bagian ini akan dibahas tentang peluasan ruang metrik, yaitu ruang 2-
metrik semi quasi yang merupakan perumuman dari ruang 2-metrik. Untuk
mengawali pembahasan mengenai ruang 2-metrik semi quasi, diberikan terlebih
dahulu definisi tentang ruang 2-metrik, seperti diberikan oleh definisi berikut ini.
Definisi 3.1 [2]
Misalkan adalah himpunan tak kosong yang elemen-elemennya disebut titik dan
∶ × × → ℝ suatu fungsi tak negatif yang memenuhi :
(M1) untuk
∀
,
∈ dan
≠ , terdapat
∈ sehingga
(
,
,
)
≠0
(M2) (,,) = 0 jika sedikitnya dua dari ,, sama
(M3) (,,) = (,,) = (,,) untuk ∀ ,, ∈
(M4) (,,) ≤ (,,) + (,,) + (,,) untuk ∀ ,,, ∈ .
Fungsi yang demikian disebut fungsi 2-metrik pada dan pasangan (X,)
disebut ruang 2-metrik.
Secara geometris, fungsi 2-metrik dapat ditafsirkan sebagai fungsi luas
untuk segitiga. Adapun sifat-sifat dari fungsi 2-metrik pada Definisi 3.1 di atas
dapat dijelaskan dengan memperhatikan dua gambar berikut:
5/13/2018 TEOREMA TITIK TETAP DALAM RUANG 2-METRIK SEMI QUASI Bab 3 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/teorema-titik-tetap-dalam-ruang-2-metrik-semi-quasi-bab-3
25
A
C B
Sifat (M1) menyatakan bahwa untuk sebarang dua titik berbeda pada
Gambar 3.1, misal titik A dan B, dapat dipilih titik diluar garis AB, misal C,
sedemikian sehingga luas ∆ABC tidak sama dengan nol. Sifat (M2) menyatakan
bahwa jika dua atau tiga titik pada ∆ABC (Gambar 3.1) sama maka ∆ABC berupa
sebuah garis atau sebuah titik yang masing-masing tidak mempunyai dimensi
luas, sehingga luas ∆ABC sama dengan nol. Sifat (M3) menyatakan bahwa urutan
dari ketiga titik pada ∆ABC tidak mempengaruhi nilai dari luas ∆ABC. Sifat ini
biasa disebut dengan sifat simetri. Dengan memperhatikan Gambar 3.2 sifat (M4)
menyatakan bahwa luas segitiga pada alas tetrahedron selalu lebih kecil daripada
jumlah luas segitiga pada sisi-sisi tegaknya atau secara matematis dituliskan
sebagai
luas ∆ABC ≤ luas ∆ADB + luas ∆BDC + luas∆ADC
sehingga sifat (M4) ini biasa disebut dengan sifat ketidaksamaan bidang empat
(tetrahedral inequality).
Gambar 3.1 Segitiga ABC dan tetrahedron ABCD dengan alas segitiga ABC
C
A
B
D
5/13/2018 TEOREMA TITIK TETAP DALAM RUANG 2-METRIK SEMI QUASI Bab 3 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/teorema-titik-tetap-dalam-ruang-2-metrik-semi-quasi-bab-3
26
= (, , ) = (, , )
= (, , )
Contoh 3.1
Luas segitiga yang disusun oleh tiga titik
= (
,
,
),
= (
,
,
) dan
= (, , ) yang merupakan elemen-elemen di ℝ (diperlihatkan pada
gambar 3.3) didefinisikan dengan
(,,) =1
2 − − − × − − −
Akan ditunjukkan merupakan fungsi 2-metrik pada ℝ.
1. Untuk setiap ≠ di ℝdapat dipilih = (,,1 + ) di ℝ sehingga
(,,) =
− − − × − − (1 + ) −
=
− − − × 001
=
det
−
−
−
0 0 1
=det − −
0 1 − det − −
0 1 +
det − − 0 0
Gambar 3.2 Segitiga siku-siku xyz
5/13/2018 TEOREMA TITIK TETAP DALAM RUANG 2-METRIK SEMI QUASI Bab 3 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/teorema-titik-tetap-dalam-ruang-2-metrik-semi-quasi-bab-3
27
= ‖( − ) − ( − ) + 0‖
= ( − ) + ( − ) + ( 0)
= ( − ) + ( − )
Karena ≠ dan ≠ maka ( − ) ≠ 0 dan ( − ) ≠ 0, maka
(,,) = ( − ) + ( − ) ≠ 0.
2. Jika sedikitnya dua dari ,, sama, maka
untuk
=
(,,) =
− − − × − − − =
000
× − − −
=det
0 0 0 − − −
= det 0 0 − − − det 0 0 − − +
det 0 0 − −
= ‖0 − 0 + 0‖
= (0) + (0) + ( 0) = 0
untuk =
(
,
,
) =
− − −
×
− − −
=det − − − − − −
5/13/2018 TEOREMA TITIK TETAP DALAM RUANG 2-METRIK SEMI QUASI Bab 3 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/teorema-titik-tetap-dalam-ruang-2-metrik-semi-quasi-bab-3
28
=det − − − − − det − − − − +
det − − − −
= ‖0 − 0 + 0‖
= (0) + (0) + ( 0) = 0
untuk =
(
,
,
) =
− − −
× − − −
=
− − −
× 000
=det − − −
0 0 0
=det − −
0 0 − det − −
0 0 +
det − − 0 0
= ‖
0
−0
+ 0
‖
= (0) + (0) + ( 0) = 0
untuk = =
(,,) =
− − − × − − − =
000
× 000
=det
0 0 00 0 0
=det 0 0
0 0 − det 0 0
0 0 + det 0 0
0 0
= ‖0 − 0 + 0‖
= (0) + (0) + ( 0) = 0.
5/13/2018 TEOREMA TITIK TETAP DALAM RUANG 2-METRIK SEMI QUASI Bab 3 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/teorema-titik-tetap-dalam-ruang-2-metrik-semi-quasi-bab-3
29
3. Untuk setiap ,, ∈ ℝ berlaku
(,,) =
−
− − ×
−
− −
=
− + − − + − − + − × − − −
=
− − − × − − − + − − − × − − −
= − − − ×
− − − =
− − − ×
− − −
=
− − − × − − − = (,,)
=
− + − − + − − + − × − − −
=
− − −
×
− − −
+
− − −
×
− − −
=
− − − × − − − =
− − − × − − −
=
− − − × − − − = (,,)
Jadi kondisi (,,) = (,,) = (,,) dipenuhi.
4. Misalkan = (,,) adalah elemen di ℝ, maka untuk setiap
,,, ∈ ℝ diperoleh
(,,) =
− − − × − − −
5/13/2018 TEOREMA TITIK TETAP DALAM RUANG 2-METRIK SEMI QUASI Bab 3 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/teorema-titik-tetap-dalam-ruang-2-metrik-semi-quasi-bab-3
30
=
− + − − + − −
+
− × − + − − + −
− +
−
=
− − − × − − −
+ − − − × − − − +
− − − × − − − + − − − × − − −
=
− − − × − − −
+ − − − × − − − +
− − − × − − −
≤
− − − × − − −
+
− − − × − − − +
− − − × − − −
= − − − × − − − + − − − × − − − +
− − − × − − −
= (,,) + (,,) + (,,)
= (,,) + (,,) + (,,)
= (,,) + (,,) + (,,)
Jadi kondisi (,,) ≤ (,,) + (,,) + (,,) dipenuhi,
sehingga merupakan fungsi 2-metrik pada ℝ dan pasangan (ℝ,)
merupakan ruang 2-metrik.
5/13/2018 TEOREMA TITIK TETAP DALAM RUANG 2-METRIK SEMI QUASI Bab 3 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/teorema-titik-tetap-dalam-ruang-2-metrik-semi-quasi-bab-3
31
Jika fungsi 2-metrik hanya memenuhi sifat (M1) dan (M2) saja, maka
dipunyai Definisi 3.2 berikut ini.
Definisi 3.2 [2]
Misalkan adalah himpunan tak kosong yang elemen-elemennya disebut titik dan
∶ × × → ℝ suatu fungsi tak negatif yang memenuhi:
(M1) untuk ∀ , ∈ dan ≠ , terdapat ∈ sehingga (,,) ≠ 0
(M2)
(
,
,
) = 0 jika sedikitnya dua dari
,
,
sama.
fungsi d yang demikian disebut fungsi 2-metrik semi quasi pada dan pasangan
( ,) disebut ruang 2-metrik semi quasi.
Contoh 3.2
Fungsi pada Contoh 3.1 memenuhi sifat (M1) dan (M2), sehingga fungsi
merupakan fungsi 2-metrik semi quasi pada ℝ dan pasangan (ℝ,) merupakan
ruang 2-metrik semi quasi.
Contoh 3.3
Diberikan himpunan semua bilangan real ℝ. Akan ditunjukkan bahwa fungsi
:ℝ × ℝ → ℝ yang didefinisikan dengan
(,,) = () − () ||() () − 1
untuk setiap ,, ∈ ℝ merupakan fungsi 2-metrik semi quasi yang bukan
merupakan fungsi 2-metrik.
5/13/2018 TEOREMA TITIK TETAP DALAM RUANG 2-METRIK SEMI QUASI Bab 3 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/teorema-titik-tetap-dalam-ruang-2-metrik-semi-quasi-bab-3
32
1. Untuk sebarang , ∈ ℝ dan ≠ , dapat dipilih ∈ ℝ dimana ≠
dan
≠ sehingga berlaku
(,,) = () − () ||()() − 1 ≠ 0.
2. Jika sedikitnya dua dari ,, ∈ ℝ sama, maka akan diperoleh hasil
sebagai berikut:
untuk =
(,,) = (,,) = () − () ||()() − 1
= 0.||()() − 1 = 0
untuk =
(,,) = (,,) = () − ()||()() − 1
= () − () ||()() − 1
= () − () (1 − 1)
= () − () (0)
= 0
untuk =
(,,) = (,,) = () − () ||()() − 1
= () − () ||()() − 1
=
(
)
− (
)
(1
−1)
= () − () (0)
= 0
5/13/2018 TEOREMA TITIK TETAP DALAM RUANG 2-METRIK SEMI QUASI Bab 3 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/teorema-titik-tetap-dalam-ruang-2-metrik-semi-quasi-bab-3
33
untuk = =
(
,
,
) =
(
,
,
) =
(
)
− (
)
|
|(
)(
)
−1
= 0.(0) = 0.
3. Berikut ini diberikan contoh yang menyangkal bahwa memenuhi sifat
(M3) dari fungsi 2-metrik, yaitu (,,) ≠ (,,) ≠ (,,).
Misalkan diambil = 1, = 2 dan = 3 maka
(,,) = (1,2,3) = 1(.) − 2(.) |3|()( ) − 1
= |1 − 2|.(8)
= 1984
(,,) = (2,3,1) = 2(.) − 3(.) |1|()() − 1
= |2 − 3|.(0) = 0
(,,) = (3,1,2) = 3(.) − 1(.) |2|()() − 1
= |3
−1|.(2
−1)
= 6,5
sehingga (,,) ≠ (,,) ≠ (,,).
Jadi merupakan fungsi 2-metrik semi quasi pada ℝ, tetapi bukan merupakan
fungsi 2-metrik pada ℝ, sehingga pasangan (ℝ, ) merupakan ruang 2-metrik
semi quasi, tetapi bukan merupakan ruang 2-metrik.
3.2 Kontraksi dalam Ruang 2-Metrik Semi Quasi
Dalam subbab ini akan didefinisikan fungsi kontraksi. Kemudian akan
diselidiki bahwa dengan syarat ketidaksamaan tertentu yang diberikan, fungsi
5/13/2018 TEOREMA TITIK TETAP DALAM RUANG 2-METRIK SEMI QUASI Bab 3 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/teorema-titik-tetap-dalam-ruang-2-metrik-semi-quasi-bab-3
34
: → dalam ruang 2-metrik semi quasi (,) mempunyai titik tetap yang
tunggal. Namun sebelumnya, akan diberikan terlebih dahulu definisi tentang
fungsi pra-kontraksi.
Definisi 3.3 [2]
Fungsi bernilai real ∶ ℝ × ℝ × ℝ → ℝ dikatakan sebagai fungsi pra-
kontraksi jika memenuhi sifat-sifat berikut:
(a)
(1,1,1) =
ℎ< 1 dengan
ℎ ∈ ℝ.
(b) Misalkan , ∈ ℝ sedemikian hingga jika salah satu dari ketiga
pernyataan ≤ (,,) atau ≤ (,,) atau ≤ (,,)
berlaku, maka ≤ . untuk suatu [ℎ,1).
Selanjutnya himpunan semua fungsi pra-kontraksi ini dinotasikan dengan Φ.
HimpunanΦ pada Definisi 3.3 di atas bukan merupakan himpunan kosong
atau ≠ ∅. Hal ini diperlihatkan dalam Teorema 3.1 berikut.
Teorema 3.1 [2]
Fungsi nol :ℝ × ℝ × ℝ → ℝ yang didefinisikan dengan (,,) = 0
untuk setiap ,, ∈ ℝ merupakan anggota dari himpunan Φ.
Bukti:
(a) (1,1,1) = 0 < 1.
5/13/2018 TEOREMA TITIK TETAP DALAM RUANG 2-METRIK SEMI QUASI Bab 3 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/teorema-titik-tetap-dalam-ruang-2-metrik-semi-quasi-bab-3
35
(b) Untuk sebarang v ∈ ℝ dan u = 0 maka u ≤ (v,. v, u), u ≤ (v,. u, v) dan
u ≤
(u,. v, v) dipenuhi sehingga diperoleh u ≤ kv untuk
∀ k
∈[0, 1).
Jadi fungsi merupakan anggota dari himpunan Φ. ∎
Contoh 3.4
Misalkan fungsi :ℝ × ℝ × ℝ → ℝ didefinisikan dengan
(,,) = 0 untuk semua,, ≥ 1
min[
,
,
] untuk
,
,
yang lainnya
∀ x, y, z ∈ ℝ. Akan diperlihatkan merupakan anggota dari himpunan
(a) (1,1,1) = 0 < 1.
(b) Untuk sebarang u, v ∈ ℝ +dengan u < v dan u < 1 maka
u ≤ (v, u, v) = u ⟺ u ≤ u
u ≤ (v, v, u) = u ⟺ u ≤ u
u ≤
(u , v, v) = u
⟺ u ≤ u.
Mengingat u, v ∈ ℝ +serta u < v dan u < 1, maka v > 0 dan 0 ≤ u < 1
sehingga 0 ≤ < 1 dan ≤
. Kemudian dipilih = sehingga
diperoleh = untuk suatu ∈ [0,1).
Jadi fungsi adalah anggota dari himpunan .
Contoh 3.5
Misalkan fungsi :ℝ × ℝ × ℝ → ℝ didefinisikan dengan
(,,) =| + − 2|
2
untuk ∀ x, y, z∈ ℝ. Akan ditunjukkan merupakan anggota dari himpunan .
5/13/2018 TEOREMA TITIK TETAP DALAM RUANG 2-METRIK SEMI QUASI Bab 3 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/teorema-titik-tetap-dalam-ruang-2-metrik-semi-quasi-bab-3
36
(a) (1, 1, 1) =|.() |
= 0 < 1.
(b) Untuk sebarang , ∈ ℝ diperoleh
Jika ≤ (,,) =+ −2
2= |−|
2, maka
≤ |−|
2 ⟺ 2 ≤ | − | ⟺ − ≤ −2 atau − ≥ 2.
Untuk − ≤ −2 maka 3 ≤ ⟺ ≤ 13 dengan k =
∈ [0,1).
Untuk − ≥ 2 maka ≤ −. Hal ini tidak mungkin terjadi,
karena ≥ 0, kecuali untuk = 0 dan = 0.
Jika ≤ (,,) =+−2
2= |−|
2, maka
≤ |−|
2 ⟺ 2 ≤ | − | ⟺ − ≤ −2 atau − ≥ 2.
Untuk − ≤ −2 maka 3 ≤ ⟺ ≤ 13 dengan =
13
∈ [0,1).
Untuk − ≥ 2 maka ≤ −. Hal ini tidak mungkin terjadi,
karena ≥ 0, kecuali untuk = 0 dan = 0.
Jika ≤ (,,) =+ −2
2= 2−2
2, maka
≤ 2−22
⟺ 2 ≤ 2| − | ⟺ ≤ | − |
⟺ − ≤ − atau − ≥
Untuk
− ≤ −maka
≤0. Hal ini tidak mungkin terjadi, karena
≥ 0. Kecuali untuk = 0.
Untuk − ≥ maka 2 ≤ ⟺ ≤ 12 dengan k =
∈ [0,1).
Jadi fungsi adalah anggota dari himpunan .
5/13/2018 TEOREMA TITIK TETAP DALAM RUANG 2-METRIK SEMI QUASI Bab 3 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/teorema-titik-tetap-dalam-ruang-2-metrik-semi-quasi-bab-3
37
Selanjutnya dengan menggunakan Definisi 3.3 dipunyai definisi tentang
fungsi kontraksi sebagai berikut :
Definisi 3.4 [2]
Fungsi : → dalam ruang 2-metrik semi quasi (,) disebut fungsi
kontraksi jika terdapat fungsi Φ sedemikian hingga untuk ∀,, ∈
berlaku
(
,
,
)
≤
(
,
,
),
(
,
,
),
(
,
,
)
(3.1)
Contoh 3.6
Misalkan = (, , ), = (, , ) dan = (,,) adalah elemen-
elemen di ℝ. Didefinisikan fungsi konstan :ℝ → ℝ dengan =
(,,) = (1, 1, 1), adalah fungsi yang didefinisikan pada Contoh 3.5 dan
adalah fungsi 2-metrik semi quasi yang didefinisikan pada Contoh 3.1. Akan
ditunjukkan merupakan fungsi kontraksi. Untuk setiap ,, ∈ ℝ berlaku
(,,) ≤ (,,) ,(,,) ,(,,) ⟺ (1,1,1),(1,1,1),(,,) ≤ (,,),(,,),(,,) ⟺
1− 11− 11
−1
× − 1 − 1 − 1 ≤ (,,),(,,) ,(,,)
⟺
000
× − 1 − 1 − 1 ≤ (,,),(,,) ,(,,)
5/13/2018 TEOREMA TITIK TETAP DALAM RUANG 2-METRIK SEMI QUASI Bab 3 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/teorema-titik-tetap-dalam-ruang-2-metrik-semi-quasi-bab-3
38
⟺ 1
2det
0 0 0
−1
−1
−1
≤ (,,),(,,) ,(,,) det 0 0 − 1 − 1
− det 0 0 − 1 − 1 + det 0 0 − 1 − 1
≤ (,,),(,,),(,,) ⟺ 1
2‖0 − 0 + 0‖ ≤ (,,),(,,),(,,)
⟺1
2 (0) + (0) + (0) ≤ (,,) ,(,,),(,,) ⟺ 0 ≤ |(,,) + (,,) − 2(,,)|
2
Ketidaksamaan di atas selalu dipenuhi untuk setiap ,, ∈ ℝ, sehingga
merupakan fungsi kontraksi.
Contoh 3.7
Misalkan = (, , ), = (, , ) dan = (,,) adalah elemen-
elemen di ℝ. Diberikan fungsi identitas :ℝ → ℝ yang didefinisikan dengan
= dan adalah fungsi 2-metrik semi quasi yang didefinisikan pada Contoh
3.1. Andaikan adalah suatu fungsi kontraksi. Akan tetapi, untuk tiga titik ,,
yang semuanya berbeda diperoleh
(,,) ≤ (,,),(,,) ,(,,) ⟺ (,,) ≤ (,,),(,,),(,,) ⟺ (,,) ≤ ((,,),0,0)
5/13/2018 TEOREMA TITIK TETAP DALAM RUANG 2-METRIK SEMI QUASI Bab 3 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/teorema-titik-tetap-dalam-ruang-2-metrik-semi-quasi-bab-3
39
Berdasarkan Definisi 3.3 bagian (b) diperoleh (,,) ≤ .0 = 0. Karena
adalah fungsi tak negatif, maka
(
,
,
) = 0. Ini bertentangan dengan sifat
(M1) dari fungsi 2-metrik semi quasi yang menyatakan untuk dua titik berbeda
atau ≠ dapat dipilih ≠ dan ≠ sedemikian hingga (,,) ≠ 0. Jadi
pengandaian salah, sehingga bukan merupakan fungsi kontraksi.
Selanjutnya dengan menggunakan definisi fungsi kontraksi, dipunyai
beberapa teorema beserta akibatnya berikut ini :
Teorema 3.2 [2]
Diberikan ruang 2-metrik semi quasi (,) dan merupakan fungsi kontraksi.
Jika terdapat titik ∈ sedemikian hingga untuk a ∈ berlaku
(,,) = {(,,) | ∈ } (3.2)
maka adalah titik tetap yang tunggal dari .
Bukti:
Andaikan ∈ yang memenuhi kondisi (3.2) bukan merupakan titik tetap dari
fungsi atau ≠ . Misalkan = dan = , kemudian disubstitusikan
pada kondisi (3.1) diperoleh
(,,) ≤ ((,,) ,(,,) ,(,,)).
Dengan menggunakan Definisi 3.3 bagian (b) diperoleh
(,,) ≤ .(,,)
⇔ (,,) ≤ .(,,) untuk suatu ∈ [ℎ,1).
5/13/2018 TEOREMA TITIK TETAP DALAM RUANG 2-METRIK SEMI QUASI Bab 3 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/teorema-titik-tetap-dalam-ruang-2-metrik-semi-quasi-bab-3
40
Karena < 1 maka
(
,
,
) <
(
,
,
)
Karena ∈ maka (,,) ∈ {(,,) | ∈ }, sehingga terjadi
kontradiksi dengan kondisi (3.2) yang menyatakan bahwa (,,) adalah
infimum dari himpunan {(,,) | ∈ }. Oleh karena itu = . Hal ini
menunjukkan adalah titik tetap dari .
Untuk menunjukkan ketunggalan , diandaikan adalah titik tetap yang
lain dari , yaitu = , maka(,,) = (,,) ≤ ((,,),(,,),(,,))
≤ ((,,),(,,) ,(,,))
≤ ((,,),0,0)
Dengan menggunakan Definisi 3.3 bagian (b) diperoleh
(,,) ≤ .0 = 0.
Karena adalah fungsi tak negatif maka
(,,) = 0.
Kemudian andaikan ≠ . Mengingat adalah sebarang anggota dari , maka
ada tiga kemungkinan nilai dari , yaitu: (1) = , (2) = , (3) ≠ dan
≠ . Pada khususnya jika ≠ dan ≠ , maka ( , ,) = 0
bertentangan dengan sifat (M1) yang menyatakan bahwa untuk ≠ terdapat
≠ dan ≠ sedemikian hingga ( , ,) ≠ 0, sehingga = .
Jadi adalah titik tetap yang tunggal dari. ∎
5/13/2018 TEOREMA TITIK TETAP DALAM RUANG 2-METRIK SEMI QUASI Bab 3 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/teorema-titik-tetap-dalam-ruang-2-metrik-semi-quasi-bab-3
41
Kondisi (3.2) pada Teorema 3.2 merupakan syarat perlu dan cukup untuk
keberadaan titik tetap bagi
. Artinya, fungsi
mempunyai titik tetap jika dan
hanya jika terdapat titik ∈ sedemikian hingga untuk ∈ berlaku
(,,) = inf {(,,) | ∈ }.
Sedangkan kondisi (3.1) pada Definisi 3.4 merupakan syarat perlu untuk
ketunggalan titik tetap bagi jika telah diketahui memenuhi kondisi (3.2). Ini
berarti, terdapat yang mempunyai titik tetap tunggal tetapi bukan merupakan
fungsi kontraksi dan juga terdapat yang tidak mempunyai titik tetap tetapi
merupakan fungsi kontraksi.
Contoh 3.8
Didefinisikan fungsi 2-metrik semi quasi dan fungsi :ℝ → ℝ berturut-turut
dengan
(,,) = 0 jika sedikitnya dua dari ,, sama| + + | ji ka yang lainnya
∀ ,, ∈ ℝ dan = 2 –1.
Fungsi = 2 –1 tersebut mempunyai sebuah titik tetap, yaitu = 1 sehingga
inf {(,,)} = 0. Dengan demikian terdapat 1 ∈ ℝ sedemikian hingga
untuk ∀ ∈ ℝ berlaku
(1,(1),) = (1,2.(1) – 1,) = (1,1,) = 0⇔ (1,(1),) = inf { (,,)}
sehingga memenuhi kondisi (3.2).
5/13/2018 TEOREMA TITIK TETAP DALAM RUANG 2-METRIK SEMI QUASI Bab 3 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/teorema-titik-tetap-dalam-ruang-2-metrik-semi-quasi-bab-3
42
Andaikan merupakan fungsi kontraksi. Akan tetapi, jika diambil
= 1,
= 2 dan
= 3 kemudian disubstitusikan ke kondisi (3.1), maka
diperoleh
((2),(3),4) ≤ ((2,3,4),(2,(2),4),(3,(3),4))
⇔ (2.(2) − 1,2.(3) – 1,4)
≤ ((2,3,4),(2,2.(2) – 1,4),(3,2.(3) – 1,4))
⇔ (3,5,4) ≤ ((2,3,4),(2,3,4),(3,5,4)).
Dengan menggunakan Definisi 3.3 bagian (b) diperoleh
(3,5,4) ≤ (2,3,4)
karena < 1 maka
(3,5,4) < (2,3,4)
⇔ |3 + 5 + 4| < |2 + 3 + 4|
⇔ 12 < 9.
Hal ini tidak mungkin terjadi, sehingga tidak memenuhi kondisi (3.1). Oleh
karena itu, bukan merupakan fungsi kontraksi.
Contoh 3.9
Didefinisikan fungsi :ℝ → ℝ dengan = 2. Kemudian dipilih dan
berturut-turut adalah fungsi yang didefinisikan pada Contoh 3.5 dan Contoh 3.3.
Telah ditunjukkan dalam Contoh 2.4 bahwa fungsi = 2 tidak mempunyai
titik tetap. Selanjutnya akan ditunjukkan bahwa fungsi = 2 merupakan
fungsi kontraksi. Dengan mensubstitisikan fungsi = 2 dan ke dalam
kondisi (3.1) diperoleh
5/13/2018 TEOREMA TITIK TETAP DALAM RUANG 2-METRIK SEMI QUASI Bab 3 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/teorema-titik-tetap-dalam-ruang-2-metrik-semi-quasi-bab-3
43
(,,) ≤ ((,,),(,,),(,,)
⟺ (2 ,2,
)
≤
(
(
,
,
),
(
,2,
),
(
,2 ,
)
⟺ (2) () − (2) () ||() − 1 = 0
≤ (,,)(,,)(,,)
⟺ 0 ≤ (,,)(,,)(,,)
Ketidaksamaan di atas selalu dipenuhi untuk setiap ,, ∈ ℝ, sehingga fungsi
yang didefinisikan dengan
= 2 merupakan fungsi kontraksi.
Akibat 3.1 [2]
Misalkan : → adalah fungsi dalam ruang 2-metrik semi quasi (,) yang
memenuhi kondisi berikut :
(i) Terdapat bilangan bulat positif dan ∈ sedemikian hingga untuk
setiap ,, ∈ berlaku
(,,) ≤ ((,,) ,(,,),(,,) (3.3)
(ii) Terdapat titik ∈ sedemikian hingga untuk ∀ ∈ berlaku
(,,) = {(,,) | ∈ } (3.4)
maka adalah titik tetap yang tunggal dari .
Bukti :
Misalkan = , maka dengan menggunakan cara yang sama seperti pada bukti
untuk Teorema 3.2, mempunyai titik tetap yang tunggal. Oleh karena itu,
juga mempunyai titik tetap yang tunggal. Misalkan adalah titik tetap tunggal
5/13/2018 TEOREMA TITIK TETAP DALAM RUANG 2-METRIK SEMI QUASI Bab 3 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/teorema-titik-tetap-dalam-ruang-2-metrik-semi-quasi-bab-3
44
dari , maka = . Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa juga
merupakan titik tetap tunggal dari
.
Karena () = () = , maka adalah titik tetap dari .
Jika ≠ , maka terjadi kontradiksi terhadap ketunggalan titik tetap dari T n,
sehingga = . Hal ini menujukkan bahwa adalah titik tetap dari .
Untuk menunjukkan ketunggalan , diandaikan adalah titik tetap yang
lain dari , yaitu = , maka diperoleh
() = T ∘ T ∘ …∘ T (y
)= ysebanyak n fungsi T
sehingga adalah titik tetap dari . Jika ≠ maka terjadi kontradiksi
terhadap ketunggalan titik tetap dari , sehingga haruslah = . Jadi
adalah titik tetap yang tunggal dari . ∎
Jika Definisi 3.3 bagian (b) serta kondisi (3.1) pada Definisi 3.4 dan
kondisi (3.3) pada Akibat 3.1 berturut-turut dituliskan kembali dengan
(b’) Misalkan , ∈ ℝ sedemikian hingga jika salah satu dari ketiga
pernyataan < (,,) atau < (,,) atau < (.,)
berlaku, maka < , untuk ∈ ,
(,,) < ((,,),(,,),(,,)) (3.1’)
dan
(,,) < ((,,) ,(,,),(,,)) (3.3’)
untuk setiap ,, ∈ X, maka akan diperoleh akibat sebagai berikut :
5/13/2018 TEOREMA TITIK TETAP DALAM RUANG 2-METRIK SEMI QUASI Bab 3 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/teorema-titik-tetap-dalam-ruang-2-metrik-semi-quasi-bab-3
45
Akibat 3.2 [2]
Misalkan
:
→ adalah fungsi dalam ruang 2-metrik semi quasi (
,
) yang
memenuhi kondisi berikut :
(i) Terdapat ∈ sedemikian hingga ∀,, ∈ berlaku
(,,) < ((,,) ,(,,),(,,)) (3.1’)
(ii) Terdapat titik ∈ sedemikian hingga ∀ ∈ berlaku
(,,) = {(,,) | ∈ } (3.2)
maka
adalah titik tetap yang tunggal dari
.
Bukti:
Andaikan ∈ yang memenuhi kondisi (3.2) bukan merupakan titik tetap dari
fungsi atau ≠ . Misalkan = dan = , kemudian disubstitusikan
pada kondisi (3.1’) akan diperoleh
(,,) < ((,,),(,,),(,,)).
Dengan menggunakan (b’) diperoleh
(,,) < (,,)
⇔ (,,) < (,,) .
Karena ∈ maka (,,) ∈ {(,,)| ∈ }, sehingga terjadi
kontradiksi dengan kondisi (3.2) yang menyatakan bahwa (,,) adalah
infimum dari himpunan {(,,) | ∈ }. Oleh karena itu = . Hal ini
menunjukkan adalah titik tetap dari .
Untuk menunjukkan ketunggalan , diandaikan adalah titik tetap yang
lain dari , yaitu = , maka
5/13/2018 TEOREMA TITIK TETAP DALAM RUANG 2-METRIK SEMI QUASI Bab 3 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/teorema-titik-tetap-dalam-ruang-2-metrik-semi-quasi-bab-3
46
(,,) = (,,) < ((,,) ,(,,) ,(,,))
<
(
(
,
,
),
(
,
,
) ,
(
,
,
))
< ((,,),0,0)
Dengan menggunakan (b’) diperoleh
(,,) < 0.
Karena adalah fungsi tak negatif, maka 0 ≤ (,,) < 0, sehingga untuk
setiap bilangan real positif > 0, diperoleh 0 ≤ (,,) < . Andaikan
(,,) > 0, maka (,,) > (
,
,
)
> 0. Diambil = (
,
,
)
, maka
(,,) > > 0. Kontradiksi dengan pernyataan 0 ≤ (,,) < 0 untuk
setiap > 0. Jadi pengandaian salah, yang benar adalah (,,) = 0.
Andaikan ≠ . Mengingat adalah sebarang anggota dari , maka
ada tiga kemungkinan nilai dari , yaitu: (1) = , (2) = , (3) ≠ dan
≠ . Pada khususnya jika ≠ dan ≠ , maka ( , ,) = 0
bertentangan dengan sifat (M1) yang menyatakan bahwa untuk ≠ terdapat
≠ dan ≠ sedemikian hingga ( , ,) ≠ 0, sehingga haruslah
= . Jadi adalah titik tetap yang tunggal dari . ∎
Akibat 3.3 [2]
Misalkan : → adalah fungsi dalam ruang 2-metrik semi quasi (,) yang
memenuhi kondisi berikut:
(i) Terdapat bilangan bulat positif dan ∈ sedemikian hingga
∀,, ∈ berlaku
5/13/2018 TEOREMA TITIK TETAP DALAM RUANG 2-METRIK SEMI QUASI Bab 3 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/teorema-titik-tetap-dalam-ruang-2-metrik-semi-quasi-bab-3
47
(,,) < ((,,) ,(,,),(,,)) (3.3’)
(ii) Terdapat titik
∈ sedemikian hinnga untuk
∀ ∈ berlaku
(,,) = {(,,) | ∈ } (3.4)
maka adalah titik tetap yang tunggal dari .
Bukti:
Misalkan = , maka dengan menggunakan cara yang sama seperti pada bukti
untuk Akibat 3.2,
mempunyai titik tetap yang tunggal. Oleh karena itu
juga
mempunyai titik tetap yang tunggal. Misalkan adalah titik tetap tunggal dari
, maka = . Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa juga merupakan
titik tetap tunggal dari .
Karena () = () = , maka adalah titik tetap dari .
Jika ≠ , maka terjadi kontradiksi terhadap ketunggalan titik tetap dari T n.
Sehingga haruslah = yang berarti adalah titik tetap dari .
Untuk menunjukkan ketunggalan , diandaikan adalah titik tetap yang
lain dari , yaitu = , maka diperoleh
() = T ∘ T ∘ …∘ T (y) = ysebanyak n fungsi T
sehingga adalah titik tetap dari . Jika ≠ , maka terjadi kontradiksi
terhadap ketunggalan titik tetap dari
, sehingga haruslah
=
. Jadi
adalah titik tetap yang tunggal dari . ∎
5/13/2018 TEOREMA TITIK TETAP DALAM RUANG 2-METRIK SEMI QUASI Bab 3 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/teorema-titik-tetap-dalam-ruang-2-metrik-semi-quasi-bab-3
48
3.3 Titik Tetap Bersama dalam Ruang 2-Metrik Semi Quasi
Dua fungsi
= 2
dan
=
−masing-masing mempunyai titik tetap
tunggal yang sama, yaitu titik = 0. Titik = 0 yang demikian biasa disebut
titik tetap bersama yang tunggal dari fungsi = 2 dan = −. Dalam
subbab ini akan diselidiki bahwa jika : → dan : → adalah pasangan
fungsi dalam ruang 2-metrik semi quasi, maka dengan syarat ketidaksamaan
tertentu, fungsi dan mempunyai titik tetap bersama yang tunggal.
Teorema 3.3 [2]
Misalkan : → dan : → adalah fungsi dalam ruang 2-metrik semi quasi
(,) sedemikian hingga ∀,, ∈ memenuhi kondisi berikut:
(,,) ≤ ((,,),(,,),(,,)) (3.5)
Jika terdapat titik ∈ sedemikian hingga ∀,, ∈ memenuhi
(,,) = {(,,) | ∈ } (3.6)
maka adalah titik tetap bersama yang tunggal dari dan .
Bukti:
Andaikan ∈ yang memenuhi kondisi (3.6) bukan merupakan titik tetap dari
atau ≠ . Misalkan = , = dan kemudian disubstitusikan pada
kondisi (3.5) akan diperoleh
(,() ,) ≤ ((,,),(,,),(,(),)).
Dengan menggunakan Definisi 3.3 bagian (b) diperoleh
(,(),) ≤ .(,,) untuk suatu ∈ [ℎ,1).
5/13/2018 TEOREMA TITIK TETAP DALAM RUANG 2-METRIK SEMI QUASI Bab 3 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/teorema-titik-tetap-dalam-ruang-2-metrik-semi-quasi-bab-3
49
Karena < 1 maka
(
,
(
),
) <
(
,
,
)
⟺ (,,) < (,,)
Karena ∈ maka (,,) ∈ {(,,)| ∈ }, sehingga terjadi
kontradiksi dengan kondisi (3.6) yang menyatakan bahwa (,,) adalah
infimum dari himpunan {(,,) | ∈ }. Oleh karena itu, = . Hal ini
menunjukkan adalah titik tetap dari .
Andaikan ∈ bukan merupakan titik tetap dari . Misalkan ≠ , maka(,,) = (,,) ≤ ((,,),(,,),(,,))
⟺ (,,) ≤ 0,0,(,,) ⟺ (,,) ≤ 0.
Karena adalah fungsi tak negatif, maka
(,,) = 0.
Kemudian andaikan ≠ . Mengingat sebarang anggota dari , maka ada
tiga kemungkinan nilai , yaitu: (1) = , (2) = , (3) ≠ dan ≠ .
Pada khususnya jika ≠ dan ≠ , maka (,,) = 0 bertentangan
dengan sifat (M1) yang menyatakan bahwa untuk ≠ terdapat ≠ dan
≠ sedemikian hingga (,,) ≠ 0, sehingga = . Jadi adalah
titik tetap dari .
Untuk menunjukkan ketunggalan , andaikan adalah titik tetap yang
lain dari dan , yaitu = = , maka
(,,) = (,,) ≤ ((,,),(,,),(,,))
⟺ (,,) ≤ ((,,),(,,),(,,))
5/13/2018 TEOREMA TITIK TETAP DALAM RUANG 2-METRIK SEMI QUASI Bab 3 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/teorema-titik-tetap-dalam-ruang-2-metrik-semi-quasi-bab-3
50
⟺ (,,) ≤ ((,,),0,0)
⟺
(
,
,
)
≤0.
Karena adalah fungsi tak negatif, maka (,,) = 0.
Kemudian andaikan ≠ . Mengingat sebarang anggota dari , maka ada
tiga kemungkinan nilai , yaitu: (1) = , (2) = , (3) ≠ dan ≠ .
Pada khususnya jika ≠ dan ≠ , maka (,,) = 0 bertentangan
dengan sifat (M1) yang menyatakan bahwa untuk ≠ terdapat ≠ dan
≠ sedemikian hingga ( , ,) ≠ 0, sehingga haruslah = . Jadi
adalah titik tetap bersama yang tunggal dari dan . ∎
Contoh 3.10
Pandang himpunan semua bilangan real ℝ. Didefinisikan fungsi :ℝ → ℝ dan
:ℝ → ℝ berturut-turut dengan = 0 dan = − untuk setiap ∈ ℝ. Baik
fungsi maupun fungsi tersebut masing-masing mempunyai titik tetap tunggal
yang sama, yaitu = 0. Maka terdapat = 0 ∈ ℝ sedemikian hingga
( , ,) = (0,0,) = (0,0,) = 0 = {(,,) | ∈ ℝ}
sehingga fungsi dan memenuhi kondisi (3.6). Dengan memilih , yaitu
fungsi 2-metrik semi quasi yang didefinisikan dengan
(
,
,
) = min {|xy
−x|,|xz
−x|, |zy
−y|}
untuk setiap ,, ∈ ℝ dan kemudian mensubstitusikan , dan ke dalam
kondisi (3.5) diperoleh
(,,) ≤ ((,,) ,(,,),(,,))
⟺ (0,−,) ≤ ((,,),(,0,),(,−,))
5/13/2018 TEOREMA TITIK TETAP DALAM RUANG 2-METRIK SEMI QUASI Bab 3 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/teorema-titik-tetap-dalam-ruang-2-metrik-semi-quasi-bab-3
51
⟺ min{|0.(−y) − 0| ,|0. − 0|, |z(−y) − (−y)|} = min{0,0,|−zy− y|}
≤ (
(
,
,
) ,
(
,0,
) ,
(
,
−,
))
⟺ 0 ≤ ((,,),(,0,),(,−,))
Mengingat fungsi tak negatif ( ≥ 0) maka kondisi di atas selalu dipenuhi
∀,, ∈ ℝ, sehingga = 0 dan = − memenuhi kondisi (3.5).
Akibat 3.4 [2]
Misalkan
:
→ dan
:
→ adalah fungsi dalam ruang 2-metrik semi quasi
(,) yang memenuhi kondisi berikut:
(i) Terdapat ∈ serta bilangan bulat positif dan sedemikian hingga
∀,, ∈ berlaku
(,,) ≤ ((,,),(,,),(,,)) (3.7)
(ii) Terdapat titik ∈ sedemikian hingga ∀, ∈
(,,) = {(,,) | ∈ } (3.8)
maka adalah titik tetap bersama yang tunggal dari dan .
Bukti:
Andaikan ∈ yang memenuhi kondisi (3.8) bukan merupakan titik tetap dari
atau ≠ . Misalkan = dan = , kemudian disubstitusikan
pada kondisi (3.7) akan diperoleh
(,(),)
≤ ((,,),(,,),(,(),))
5/13/2018 TEOREMA TITIK TETAP DALAM RUANG 2-METRIK SEMI QUASI Bab 3 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/teorema-titik-tetap-dalam-ruang-2-metrik-semi-quasi-bab-3
52
Dengan menggunakan definisi 3.3 bagian (b) diperoleh
(
,
(
),
)
≤ .
(
,
,
) untuk suatu
∈[
ℎ,1).
Karena < 1 maka
(,(),) < (,,)
⟺ (,,) < (,,)
Karena ∈ maka (,,) ∈ {(,,) | ∈ }, sehingga terjadi
kontradiksi dengan kondisi (3.8) yang menyatakan bahwa (,,) adalah
infimumdari himpunan {(,,) |
}. Oleh karena itu, = . Hal
ini menunjukkan adalah titik tetap dari . Kemudian akan ditunjukkan bahwa
juga merupakan titik tetap dari .
Andaikan ∈ yang memenuhi kondisi (3.8) bukan merupakan titik
tetap dari . Misalkan ≠ . Maka
(,,) = (,,)
≤ ((,,) ,(,,) ,(,,))
⟺ (,,) ≤ (0,0,(,,))
⟺ (,,) ≤ 0.
Karena adalah fungsi tak negatif, maka (,,) = 0.
Andaikan ≠ . Mengingat sebarang anggota dari , maka ada tiga
kemungkinan nilai dari , yaitu: (1) = , (2) = , (3) ≠ dan
≠ . Pada khususnya jika ≠ dan ≠ , maka kondisi
(,,) = 0 bertentangan dengan sifat (M1) yang menyatakan untuk
≠ terdapat ≠ dan ≠ sedemikian hingga ( , ,) ≠0, sehingga haruslah = . Jadi adalah titik tetap dari .
5/13/2018 TEOREMA TITIK TETAP DALAM RUANG 2-METRIK SEMI QUASI Bab 3 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/teorema-titik-tetap-dalam-ruang-2-metrik-semi-quasi-bab-3
53
Untuk menunjukkan ketunggalan , andaikan adalah titik tetap yang
lain dari
dan
yaitu
=
=
, maka
(,,) = (,,)
≤ ((,,) ,(,,) ,(,,))
⟺ (,,) ≤ ((,,),(,,),(,,))
⟺ (,,) ≤ ((,,),0,0)
⟺ (,,) ≤ 0.
Karena adalah fungsi tak negatif, maka (,,) = 0. Kemudian andaikan
≠ . Mengingat adalah sebarang anggota dari , maka ada tiga
kemungkinan nilai , yaitu: (1) = , (2) = , (3) ≠ dan ≠ . Pada
khususnya jika ≠ dan ≠ , maka ( , ,) = 0 bertentangan dengan
sifat (M1) yang menyatakan bahwa untuk ≠ terdapat ≠ dan ≠
sedemikian hingga (,,) ≠ 0, sehingga = . Jadi adalah titik tetap
bersama yang tunggal dari dan .
Selanjutnya akan ditunjukkan adalah titik tetap tunggal bersama dari
dan . Karena () = () = dan () = () = ,
maka dan adalah titik tetap dari dan . Jika ≠ dan
≠ , maka terjadi kontradiksi terhadap ketunggalan titik tetap dari dan
. Sehingga haruslah
=
dan
=
. Hal ini menujukkan bahwa
adalah titik tetap dari dan .
Untuk menunjukkan ketunggalan , diandaikan adalah titik tetap yang
lain dari dan , yaitu = dan = , maka diperoleh
5/13/2018 TEOREMA TITIK TETAP DALAM RUANG 2-METRIK SEMI QUASI Bab 3 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/teorema-titik-tetap-dalam-ruang-2-metrik-semi-quasi-bab-3
54
() = ∘ ∘ …∘ (y) = ysebanyak n fungsi T
dan
() = ∘ ∘…∘ (y) = ysebanyak m fungsi S
sehingga y adalah titik tetap dari dan . Jika ≠ , maka terjadi
kontradiksi terhadap ketunggalan titik tetap bersama dari dan , sehingga
= . Jadi adalah titik tetap tunggal bersama dari dan . ∎
Jika fungsi dan pada Akibat 3.4 merupakan dua fungsi yang sama
( = ) , maka akan diperoleh akibat sebagai berikut.
Akibat 3.5 [2]
Misalkan : → adalah fungsi dalam ruang 2-metrik semi quasi (,) yang
memenuhi kondisi berikut:
(i) Terdapat ∈ serta bilangan bulat positif dan sedemikian hingga
∀,, ∈ berlaku
(,,) ≤ ((,,),(,,),(,,)) (3.9)
(ii) Terdapat titik ∈ sedemikian hingga ∀, ∈
(
,
,
) =
{
(
,
,
)|
∈ } (3.10)
maka adalah titik tetap yang tunggal dari .
5/13/2018 TEOREMA TITIK TETAP DALAM RUANG 2-METRIK SEMI QUASI Bab 3 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/teorema-titik-tetap-dalam-ruang-2-metrik-semi-quasi-bab-3
55
Bukti:
Andaikan
∈ yang memenuhi kondisi (3.10) bukan merupakan titik tetap dari
atau ≠ . Misalkan = dan = , kemudian disubstitusikan
pada kondisi (3.9) akan diperoleh
(,(),)
≤ ((,,),(,,),(,(),)) .
Dengan menggunakan Definisi 3.3 bagian (b) diperoleh
(
,
(
),
)
≤ .
(
,
,
)
untuk suatu ∈ [ℎ,1). Karena < 1 maka
(,(),) < (,,)
⟺ (,,) < (,,)
Karena ∈ , maka (,,) ∈ {(,,)| }, sehingga terjadi
kontradiksi dengan kondisi (3.10) yang menyatakan bahwa (,,) adalah
infimum dari himpunan {(,,) | }, maka = . Hal ini
menunjukkan bahwa adalah titik tetap dari . Kemudian akan ditunjukkan
bahwa juga merupakan titik tetap dari .
Andaikan ∈ bukan merupakan titik tetap dari atau ≠ ,
maka
(,,) = (,,)
≤ ((,,) ,(,,),(,,))
⟺ (,,) ≤ (0,0,(,,))
⟺ (,,) ≤ 0.
Karena adalah fungsi tak negatif, maka (,,) = 0.
5/13/2018 TEOREMA TITIK TETAP DALAM RUANG 2-METRIK SEMI QUASI Bab 3 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/teorema-titik-tetap-dalam-ruang-2-metrik-semi-quasi-bab-3
56
Kemudian andaikan ≠ . Mengingat adalah sebarang anggota dari ,
maka ada tiga kemungkinan nilai
, yaitu: (1)
=
, (2)
=
, (3)
≠
dan ≠ . Pada khususnya jika ≠ dan ≠ , maka
( , ,) = 0 bertentangan dengan sifat (M1) dari ruang 2-metrik semi
quasi yang menyatakan bahwa untuk ≠ dapat dipilih ≠ dan
≠ sedemikian hingga ( , ,) ≠ 0, maka = . Jadi
adalah titik tetap dari .
Untuk menunjukkan ketunggalan , andaikan adalah titik tetap yang
lain dari dan yaitu = = , maka
(,,) = (,,)
≤ ((,,) ,(,,) ,(,,))
⟺ (,,) ≤ ((,,),(,,),(,,))
⟺ (,,) ≤ ((,,),0,0)
⟺ (,,) ≤ 0.
Karena adalah fungsi tak negatif, maka (,,) = 0.
Kemudian andaikan ≠ . Mengingat adalah sebarang anggota dari , maka
ada tiga kemungkinan nilai , yaitu: (1) = , (2) = , (3) ≠ dan
≠ . Pada khususnya jika ≠ dan ≠ , maka ( , ,) = 0
bertentangan dengan sifat (M1) dari ruang 2-metrik semi quasi yang menyatakan
bahwa untuk ≠ terdapat ≠ dan ≠ sedemikian hingga
( , ,) ≠ 0, sehingga = . Jadi adalah titik tetap bersama yang
tunggal dari dan .
5/13/2018 TEOREMA TITIK TETAP DALAM RUANG 2-METRIK SEMI QUASI Bab 3 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/teorema-titik-tetap-dalam-ruang-2-metrik-semi-quasi-bab-3
57
Selanjutnya akan ditunjukkan adalah titik tetap yang tunggal dari .
Karena
(
) =
(
) =
dan
(
) =
(
) =
, maka
adalah titik tetap dari dan . Jika ≠ , maka terjadi kontradiksi
terhadap ketunggalan titik tetap dari dan , sehingga = .
Untuk menunjukkan ketunggalan , diandaikan adalah titik tetap yang
lain dari , yaitu = , maka diperoleh
() = ∘ ∘ …∘ (y) = ysebanyak n fungsi T
dan
() = ∘ ∘ …∘ (y) = ysebanyak m fungsi T
sehingga y adalah titik tetap dari dan . Jika ≠ , maka terjadi
kontradiksi terhadap ketunggalan titik tetap bersama dari dan , sehingga
haruslah = . Jadi adalah titik tetap yang tunggal dari . ∎
Jika ruang 2-metrik semi quasi ( ,) memenuhi sifat (M3) dari ruang 2-
metrik, yaitu (,,) = (,,) = (,,) , dan kondisi (3.6) pada Teorema
3.3 dituliskan kembali dengan
(,,) = {(,,)| ∈ } (3.6’)
maka diperoleh akibat sebagai berikut :
Akibat 3.6 [2]
Misalkan : → dan : → adalah fungsi dalam ruang 2-metrik semi quasi
(,) sedemikian hingga untuk ∀,, ∈ memenuhi kondisi berikut :
5/13/2018 TEOREMA TITIK TETAP DALAM RUANG 2-METRIK SEMI QUASI Bab 3 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/teorema-titik-tetap-dalam-ruang-2-metrik-semi-quasi-bab-3
58
(,,) ≤ ((,,),(,,),(,,) (3.5)
Jika terdapat titik
∈ sedemikian hingga
,
∈ memenuhi kondisi
(,,) = {(,,) | ∈ } (3.6’)
maka adalah titik tetap tunggal bersama dari dan .
Bukti:
Andaikan ∈ yang memenuhi kondisi (3.6’) bukan merupakan titik tetap dari
atau
≠ . Pada kondisi (3.4) diambil
=
dan
=
maka
((),,) ≤ ((,,) ,(,(),),(,,)).
Karena ruang 2-metrik semi quasi (,) memenuhi sifat simetri, maka
ketaksamaan di atas dapat dituliskan kembali dengan
(,(),) ≤ ((,,),(,(),) ,(,,))
Dengan menggunakan Definisi 3.3 bagian (b) diperoleh
(,() ,) ≤ .(,,) untuk suatu ∈ [ℎ,1).
Karena < 1 maka
(,(),) < (,,)
⟺ (,,) < (,,)
Karena ∈ maka (,,) ∈ {(,,) | }, sehingga terjadi
kontradiksi dengan kondisi (3.6’) yang menyatakan bahwa (,,) adalah
infimum dari himpunan {(,,) | }, maka = . Hal ini
membuktikan adalah titik tetap dari . Kemudian akan ditunjukkan bahwa
juga merupakan titik tetap dari .
5/13/2018 TEOREMA TITIK TETAP DALAM RUANG 2-METRIK SEMI QUASI Bab 3 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/teorema-titik-tetap-dalam-ruang-2-metrik-semi-quasi-bab-3
59
Andaikan ∈ bukan merupakan titik tetap dari . Misalkan ≠ , maka
(
,
,
) =
(
,
,
)
≤ (
(
,
,
),
(
,
,
),
(
,
,
))
⟺ (,,) ≤ 0,0,(,,) ⟺ (,,) ≤ 0.
Karena adalah fungsi tak negatif, maka (,,) = 0
Kemudian andaikan ≠ . Mengingat adalah sebarang anggota dari ,
maka ada tiga kemungkinan nilai , yaitu: (1) = , (2) = , (3) ≠
dan ≠ . Pada khususnya jika ≠ dan ≠ , maka (,,) = 0
bertentangan dengan sifat (M1) dari ruang 2-metrik semi quasi yang menyatakan
bahwa untuk ≠ terdapat ≠ dan ≠ sedemikian hingga
(,,) ≠ 0, sehingga = . Jadi adalah titik tetap dari .
Untuk menunjukkan ketunggalan , andaikan adalah titik tetap yang
lain dari dan , yaitu = = , maka
(,,) = (,,) ≤ ((,,),(,,),(,,))
⟺ (,,) ≤ ((,,),(,,),(,,))
⟺ (,,) ≤ ((,,),0,0)
⟺ (,,) ≤ 0.
Karena adalah fungsi tak negatif, maka (,,) = 0.
Kemudian andaikan ≠ . Mengingat sebarang anggota dari , maka ada
tiga kemungkinan nilai , yaitu: (1) = , (2) = , (3) ≠ dan ≠ .
Pada khususnya jika ≠ dan ≠ , maka (,,) = 0 bertentangan
dengan sifat (M1) dari ruang 2-metrik semi quasi yang menyatakan untuk ≠
5/13/2018 TEOREMA TITIK TETAP DALAM RUANG 2-METRIK SEMI QUASI Bab 3 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/teorema-titik-tetap-dalam-ruang-2-metrik-semi-quasi-bab-3
60
terdapat ≠ dan ≠ sedemikian hingga (,,) ≠ 0, sehingga
=
. Jadi
adalah titik tetap bersama yang tunggal dari
dan
.
∎
Jika Definisi 3.3 bagian (b) serta kondisi (3.5) pada Teorema 3.3, kondisi
(3.7) pada Akibat 3.4 dan kodisi (3.9) pada Akibat 3.5 berturut-turut dituliskan
kembali dengan
(b’) Misalkan , ∈ ℝ sedemikian hingga jika salah satu dari ketiga
pernyataan < (,,) atau < (,,) atau < (.,)
berlaku, maka < , untuk ∈ ,
(,,) < (,,),(,,) ,(,,) (3.5’)
(,,) < (,,),(,,),(,,) (3.7)
dan
(,,) < (,,) ,(,,) ,(,,) (3.9) untuk ∀,, ∈ , maka diperoleh akibat sebagai berikut :
Akibat 3.7 [2]
Misalkan : → dan : → adalah fungsi pada ruang 2-metrik semi quasi
(,) sedemikian hingga ,, ∈ memenuhi kondisi berikut :
(
,
,
) <
(
,
,
),
(
,
,
),
(
,
,
)
(3.5’)
Jika terdapat titik x0 ∈ sedemikian hingga x, a ∈ memenuhi kondisi
(,,) = {(,,)| ∈ } (3.6)
maka adalah titik tetap tunggal bersama dari dan .
5/13/2018 TEOREMA TITIK TETAP DALAM RUANG 2-METRIK SEMI QUASI Bab 3 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/teorema-titik-tetap-dalam-ruang-2-metrik-semi-quasi-bab-3
61
Bukti:
Andaikan
∈ yang memenuhi kondisi (3.6) bukan merupakan titik tetap dari
atau ≠ . Pada kondisi (3.5’) diambil = dan = maka
(,() ,) < ((,,),(,,) ,(,(),)) .
Dengan menggunakan (b’) diperoleh
(,() ,) < (,,)
⟺ (,,) < (,,)
Karena
∈
maka
(
,
,
)
∈{
(
,
,
) |
}, sehingga terjadi
kontradiksi dengan kondisi (3.6) yang menyatakan bahwa (,,) adalah
infimum dari himpunan {(,,) | }, maka = . Hal ini
menunjukkan adalah titik tetap dari . Kemudian akan ditunjukkan bahwa
juga merupakan titik tetap dari .
Andaikan ∈ bukan merupakan titik tetap dari atau ≠ . Maka
(,,) = (,,) < ((,,),(,,),(,,))
⟺ (,, < (0,0,(,,))
⟺ (,,) < 0.
Karena adalah fungsi tak negatif, maka 0 ≤ (,,) < 0 , sehingga untuk
setiap bilangan real positif > 0, diperoleh 0 ≤ (,,) < . Andaikan
(,,) > 0, maka (,,) >(,,)
> 0. Ambil =
(,,)
,
maka (,,) > > 0. Kontradiksi dengan pernyataan 0 ≤ (,,) < untuk setiap > 0. Jadi pengandaian salah, yang benar adalah (,,) = 0.
Kemudian andaikan ≠ . Mengingat sebarang anggota dari ,
maka ada tiga kemungkinan nilai , yaitu: (1) = , (2) = , (3) ≠
5/13/2018 TEOREMA TITIK TETAP DALAM RUANG 2-METRIK SEMI QUASI Bab 3 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/teorema-titik-tetap-dalam-ruang-2-metrik-semi-quasi-bab-3
62
dan ≠ . Pada khususnya jika ≠ dan ≠ , maka ( , ,) = 0
bertentangan dengan sifat (M1) dari ruang 2-metrik semi quasi yang menyatakan
bahwa untuk ≠ terdapat ≠ dan ≠ sedemikian hingga
( , ,) ≠ 0, sehingga = . Jadi adalah titik tetap dari .
Untuk menunjukkan ketunggalan , diandaikan adalah titik tetap yang
lain dari dan , yaitu = = , maka
(,,) = (,,) < ((,,) ,(,,) ,(,,))
⟺
(
,
,
) <
(
(
,
,
),
(
,
,
),
(
,
,
))
⟺ (,,) < ((,,),0,0)
⟺ (,,) < 0.
Karena adalah fungsi tak negatif, maka 0 ≤ (,,) < 0, sehingga untuk
setiap bilangan real positif > 0, diperoleh 0 ≤ (,,) < . Dengan
mengandaikan (,,) > 0, maka (,,) >(,,)
> 0. Ambil
= (,,)
, maka (,,) > > 0. Kontradiksi dengan pernyataan
0 ≤ (,,) < 0 untuk setiap > 0. Jadi pengandaian salah, yang benar
adalah (,,) = 0.
Kemudian andaikan ≠ . Mengingat sebarang anggota dari , maka
ada tiga kemungkinan nilai , yaitu: (1) = , (2) = , (3) ≠ dan
≠ . Pada khususnya jika
≠ dan
≠ , maka
(
,
,
) = 0
bertentangan dengan sifat (M1) dari ruang 2-metrik semi quasi yang menyatakan
bahwa untuk ≠ terdapat ≠ dan ≠ sedemikian hingga
5/13/2018 TEOREMA TITIK TETAP DALAM RUANG 2-METRIK SEMI QUASI Bab 3 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/teorema-titik-tetap-dalam-ruang-2-metrik-semi-quasi-bab-3
63
( , ,) ≠ 0, sehingga = . Jadi adalah titik tetap bersama yang
tunggal dari
dan
.
∎
Akibat 3.8 [2]
Misalkan : → dan : → adalah fungsi dalam ruang 2-metrik semi quasi
(,) yang memenuhi kondisi berikut:
(i) Terdapat ∈ dan bilangan bulat positif dan sedemikian hingga
∀,, ∈ berlaku
(,,) < (,,),(,,),(,,) (3.7’)
(ii) Terdapat titik ∈ sedemikian hingga ∀, ∈
(,,) = {(,,)| ∈ } (3.8)
maka adalah titik tetap bersama yang tunggal dari dan .
Bukti:
Andaikan ∈ yang memenuhi kondisi (3.8) bukan merupakan titik tetap dari
, atau ≠ . Pada kondisi (3.7’) diambil = dan = , maka
(,(),) <
((,,),(,,),(,(),)) .
Dengan menggunakan (b’) diperoleh
(,(),) = (,,) < (,,)
Karena ∈ maka (,,) ∈ {(,,) | }, sehingga terjadi
kontradiksi dengan kondisi (3.8) yang menyatakan bahwa (,,) adalah
infimum dari himpunan {(,,) | }, maka = . Hal ini
5/13/2018 TEOREMA TITIK TETAP DALAM RUANG 2-METRIK SEMI QUASI Bab 3 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/teorema-titik-tetap-dalam-ruang-2-metrik-semi-quasi-bab-3
64
menunjukkan adalah titik tetap dari . Kemudian akan ditunjukkan bahwa
juga merupakan titik tetap dari
.
Andaikan ∈ bukan merupakan titik tetap dari , misalkan ≠ ,
maka
(,,) = (,,)
< ((,,),(,,),(,,))
⟺ (,,) < (0,0,(,,))
⟺ (
,,)
< 0
Karena adalah fungsi tak negatif, maka 0 ≤ (,,) < 0, sehingga
untuk setiap bilangan real positif > 0, diperoleh 0 ≤ (,,) < .
Andaikan (,,) > 0, maka (,,) >(,,)
> 0. Diambil
=(,,)
, maka (,,) > > 0. Kontradiksi dengan pernyataan
0
≤ (
,
,
) <
untuk setiap
> 0. Jadi pengandaian salah, maka
(,,) = 0.
Kemudian andaikan ≠ . Mengingat sebarang anggota dari ,
maka ada tiga kemungkinan nilai dari , yaitu: (1) = , (2) = , (3)
≠ dan ≠ . Pada khususnya jika ≠ dan ≠ , maka
kondisi (,,) = 0 bertentangan dengan sifat (M1) yang menyatakan
untuk ≠ terdapat ≠ dan ≠ sedemikian hingga( , ,) ≠ 0, sehingga = . Jadi titik tetap dari .
Untuk menunjukkan ketunggalan , diandaikan adalah titik tetap yang
lain dari dan yaitu = = , maka
5/13/2018 TEOREMA TITIK TETAP DALAM RUANG 2-METRIK SEMI QUASI Bab 3 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/teorema-titik-tetap-dalam-ruang-2-metrik-semi-quasi-bab-3
65
(,,) = (,,)
<
(
(
,
,
) ,
(
,
,
) ,
(
,
,
))
⟺ (,,) < ((,,),(,,),(,,))
⟺ (,,) < ((,,),0,0)
⟺ (,,) < 0.
Karena adalah fungsi tak negatif maka 0 ≤ (,,) < 0, sehingga untuk
setiap bilangan real positif > 0, diperoleh 0 ≤ (,,) < . Dengan
mengandaikan (,,) > 0, maka (,,) > (
,
,
)
> 0. Diambil
=(,,)
, maka (,,) > > 0. Kontradiksi dengan pernyataan 0 ≤(,,) < 0 untuk setiap > 0. Jadi pengandaian salah, yang benar adalah
(,,) = 0.
Kemudian andaikan ≠ . Mengingat sebarang anggota dari , maka
ada tiga kemungkinan nilai
, yaitu: (1)
=
, (2)
=
, (3)
≠ dan
≠ . Pada khususnya jika ≠ dan ≠ , maka ( , ,) = 0
bertentangan dengan sifat (M1) dari ruang 2-metrik semi quasi yang menyatakan
bahwa untuk ≠ terdapat ≠ dan ≠ sedemikian hingga
(,,) ≠ 0, sehingga = . Jadi adalah titik tetap bersama yang
tunggal dari dan .
Selanjutnya akan ditunjukkan
adalah titik tetap tunggal bersama dari
dan . Karena () = () = dan () = () = ,
maka dan adalah titik tetap dari dan . Jika ≠ dan
5/13/2018 TEOREMA TITIK TETAP DALAM RUANG 2-METRIK SEMI QUASI Bab 3 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/teorema-titik-tetap-dalam-ruang-2-metrik-semi-quasi-bab-3
66
≠ , maka terjadi kontradiksi terhadap ketunggalan titik tetap dari dan
, sehingga
=
dan
=
.
Untuk menunjukkan ketunggalan , diandaikan adalah titik tetap yang
lain dari dan , yaitu = dan = , maka diperoleh
() = ∘ ∘ …∘ (y) = ysebanyak n fungsi T
dan
() = ∘ ∘…∘ (y) = ysebanyak m fungsi S
sehingga y adalah titik tetap dari dan . Jika ≠ , maka terjadi
kontradiksi terhadap ketunggalan titik tetap bersama dari dan , sehingga
haruslah = . Jadi adalah titik tetap tunggal bersama dari dan . ∎
Akibat 3.9 [2]
Misalkan : → adalah fungsi dalam ruang 2-metrik semi quasi (,) yang
memenuhi kondisi berikut:
(i) Terdapat bilangan bulat positif dan sedemikian hingga ∀,, ∈
dan ∈ berlaku
(,,) < (,,) ,(,,),(,,) (3.9) (ii) Terdapat titik
∈ sedemikian hingga
∀,
∈
(,,) = {(,,)| ∈ } (3.10)
maka adalah titik tetap yang tunggal dari .
5/13/2018 TEOREMA TITIK TETAP DALAM RUANG 2-METRIK SEMI QUASI Bab 3 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/teorema-titik-tetap-dalam-ruang-2-metrik-semi-quasi-bab-3
67
Bukti:
Andaikan
∈ yang memenuhi kondisi (3.10) bukan merupakan titik tetap dari
atau ≠ . Pada kondisi (3.9’) diambil = dan = , maka
(,() ,)
< ((,,),(,,),(,() ,)) .
Dengan menggunakan (b’) diperoleh
(,(),) = (,,) < (,,) .
Karena
∈ maka
(
,
,
)
∈{
(
,
,
) |
∈ }, sehingga terjadi
kontradiksi dengan kondisi (3.10) yang menyatakan bahwa (,,) adalah
infimum dari himpunan {(,,)| ∈ }, maka = . Hal ini
menunjukkan bahwa adalah titik tetap dari . Kemudian akan ditunjukkan
bahwa juga merupakan titik tetap dari .
Andaikan ∈ bukan merupakan titik tetap dari . Misalkan ≠ ,
maka
(,,) = (,,)
< ((,,) ,(,,),(,,))
⟺ (,,) < (0,0,(,,))
⟺ (,,) < 0.
Karena adalah fungsi tak negatif maka 0 ≤ (,,) < 0, sehingga untuk
setiap bilangan real positif > 0, diperoleh 0 ≤ (,,) < . Dengan
mengandaikan (,,) > 0, maka (,,) >(,,)
> 0.
Diambil =(,,)
, maka (,,) > > 0. Kontradiksi dengan
5/13/2018 TEOREMA TITIK TETAP DALAM RUANG 2-METRIK SEMI QUASI Bab 3 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/teorema-titik-tetap-dalam-ruang-2-metrik-semi-quasi-bab-3
68
pernyataan 0 ≤ (,,) < untuk setiap > 0. Jadi pengandaian salah,
maka
(
,
,
) = 0.
Kemudian andaikan ≠ . Mengingat sebarang anggota dari ,
maka ada tiga kemungkinan nilai , yaitu: (1) = , (2) = , (3) ≠
dan ≠ . Pada khususnya jika ≠ dan ≠ , maka
( , ,) = 0 bertentangan dengan sifat (M1) dari ruang 2-metrik semi
quasi yang menyatakan bahwa untuk ≠ dapat dipilih ≠ dan
≠ sedemikian hingga (,,) ≠ 0, sehingga = . Jadi
adalah titik tetap dari .
Untuk menunjukkan ketunggalan , andaikan adalah titik tetap yang
lain dari dan yaitu = = , maka
(,,) = (,,)
< ((,,) ,(,,) ,(,,))
⟺ (,,) < ((,,),(,,),(,,))
⟺ (,,) < ((,,),0,0)
⟺ (,,) < 0.
Karena adalah fungsi tak negatif, maka 0 ≤ (,,) < 0, sehingga untuk
setiap bilangan real positif > 0 diperoleh 0 ≤ (,,) < . Andaikan
(
,
,
) > 0, maka
(
,
,
) >
(, ,)
> 0. Ambil
=
(, ,)
, maka
(,,) > > 0. Kontradiksi dengan pernyataan 0 ≤ (,,) < 0 untuk
setiap > 0. Jadi pengandaian salah, yang benar adalah (,,) = 0.
Kemudian andaikan ≠ . Mengingat adalah sebarang anggota dari
, maka ada tiga kemungkinan nilai , yaitu: (1) = , (2) = , (3) ≠
5/13/2018 TEOREMA TITIK TETAP DALAM RUANG 2-METRIK SEMI QUASI Bab 3 - slidepdf.com
http://slidepdf.com/reader/full/teorema-titik-tetap-dalam-ruang-2-metrik-semi-quasi-bab-3
69
dan ≠ . Pada khususnya jika ≠ dan ≠ , maka (,,) = 0
bertentangan dengan sifat (M1) dari ruang 2-metrik semi quasi yang menyatakan
bahwa untuk ≠ terdapat ≠ dan ≠ sedemikian hingga
( , ,) ≠ 0, sehingga = . Jadi adalah titik tetap bersama yang
tunggal dari dan .
Selanjutnya akan ditunjukkan adalah titik tetap yang tunggal . Karena
() = () = dan () = () = , maka adalah
titik tetap dari dan . Jika ≠ , maka terjadi kontradiksi terhadap
ketunggalan titik tetap dari dan , sehingga = .
Untuk menunjukkan ketunggalan , diandaikan adalah titik tetap yang
lain dari , yaitu = , maka diperoleh
() = ∘ ∘ …∘ (y) = ysebanyak n fungsi T
dan
() = ∘ ∘ …∘ (y) = ysebanyak m fungsi T
sehingga y adalah titik tetap dari dan . Jika ≠ , maka terjadi
kontradiksi terhadap ketunggalan titik tetap bersama dari dan , sehingga
haruslah = . Jadi adalah titik tetap yang tunggal dari . ∎