Teoremas elementales de los Triángulos

1.- La suma de los tres ángulos interiores de un triángulo es 180°.

2.- Todo ángulo exterior de un triángulo, es igual a la suma de los ángulos interiores no adyacentes.

3.- La suma de los ángulos exteriores de un triángulo es 360°

4.- En todo triángulo isósceles, a lados iguales se oponen ángulos iguales.

5.- En todo triángulo, a mayor lado se opone mayor ángulo.

6.- En todo triángulo, un lado es menor que la suma de los otros dos pero mayor que su diferencia.

Gráficos de un   Triángulo   Para ver el gráfico coloque el mouse sobre la palabra triángulo

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WWW.EDICIONESRUBINOS.COMGEOMETRIA PREUNIVERSITARIA-4-RECOMENDACIÓNEn el triángulo ABC, si mBAC = 2mBCA, se traza unaceviana de modo que se formen dos triángulo isósceles.Esto es posible de dos formas diferentes observe los dosgráficos siguientes :α °2α °α °BCAQα °QPROBLEMAS PROPUESTOSPROBLEMAS PROPUESTOS01.Del gráfico mostrado, calcular “x + y + z”A) 180B) 270C) 360D) 450E) 54002.Calcular “α ”12α °α °β °2β °A) 45B) 30C) 40D) 50E) 6003. En los lados

de un triángulo isóscelesABC, AB = BC, se ubican los puntos P y Qrespectivamente. Si PQ = QC y mACP = 16,calcular la mBPQA) 16B) 24C) 32D) 48E) 64

04. Dos lados de un triángulo escaleno miden 8 y 10.¿Cuántos valores pares puede tomar la medida deltercer lado?A) 4B) 5C) 6D) 7E) 805.Calcular “x”, si BC = ACA) 30B) 45C) 37D) 53E) 6006.Si: BC > AB, calcular el máximo valor entero de lam BECABCα °α °EMHA) 91B) 92C) 93D) 94E) 95

07.Se tiene el triángulo escaleno ABC : AB = 5; BC = 12y mABC < 90. Si “AC” toma su mayor valor entero,calcular el perímetro del triángulo ABCA) 25B) 26C) 27D) 28E) 29

08. Dos ángulos exteriores de un triángulo acutángulomiden “9x” y “6x”. Determinar la suma de los valoresenteros que puede asumir “x”A) 70B) 135C) 77

D) 33E) 49

09.En un triángulo ABC : AC = 2(AB) y mA = 2(mC).Calcular la mBACA) 30B) 45C) 60D) 53E) 37

WWW.EDICIONESRUBINOS.COMGEOMETRIA PREUNIVERSITARIA-5-10.Del gráfico, calcular “x”A) 90B) 100C) 120D) 150E) 10511.En la figura AB = OD = DC, luego podemos afirmarque :2α °α °BCDAOA) 10 < α< 70B) 15 < α< 60C) 20 < α< 80D) 5 < α< 75E) 5 < α< 6512.En la figura AB = AC = CD. Calcular “x”B

CDAθ °x2 θ °A) 12B) 15C) 22,5D) 30E) 36

13. Enuntriánguloobtusángulo ABC obtuso en A;mA = 2(mC) y AB = 4. Calcular el máximo valorentero de ACA) 2B) 3C) 1D) 4E) 514.Calcular “x”, si BP = ACA) 10B) 12C) 15D) 18E) 2015.En la figura adjunta :AB = DC = CE¿Cuántos valores enteros puede tomar “x”?BCAxDE6A) 1B) 2C) 3D) 4E) 516.En la figura AP = PC; BQ = MC, el triángulo MBC esequilátero. Calcular “x”BCAxM2P

QA) 40B) 50C) 60D) 70E) 8017.Del gráfico, calcular “α ” si p+ q = 216BCAQPθ°θ°θ°wwwpqα ° α ° α °A) 8B) 10C) 12D) 14E) 1618.En un triángulo ABC, recto en “B”, se traza la altura. La bisectriz interior delA intersecta aen“M” y aen “P”. La bisectriz interior delCintersecta aen “N” y aen “Q”.Calcular MNsi : BP - BQ = 6A) 6B) 3C) 4D) 1,5E) 219.En la figura AB = BC y AE = ED, calcular “x”A) 135B) 60C) 125D) 90E) 120

WWW.EDICIONESRUBINOS.COMGEOMETRIA PREUNIVERSITARIA-6-20.En la figura BC = CD. Calcular “x”A) 10B) 20C) 15D) 30E) 22,5TAREATAREA01.En un triángulo ABC, AB = BC, sobrese toma elpunto “D” tal que AB = DC y en la prolongación dese toma el punto “E” tal que BC = BE. Si lamDAE = 35, calcular la mCA) 35B) 40C) 45D) 50E) 30

02.Las medidas de los lados de un triángulo están enprogresión aritmética de razón “r”(“r” es un númeroentero positivo). Calcular el mínimo valor entero quepuede asumir el perímetro de la región que limita eltriánguloA) 7rB) 9r + 1C) 12r- 1D) 6r + 1E) 6r - 1

03. SetieneuntriánguloobtusánguloABC,obtusoen“A”tal que mA = 2mC y AB = 6. Calcular el mayorvalor entero de “AC”A) 4B) 5C) 6D) 8E) 11

04. Dado un triángulo equilátero ABC y “P” un puntointerior, tal que : PA = 2 y PC = 7. Calcular el mayorvalor entero de “PB”A) 6

B) 7C) 8D) 9E) 1005.En la región exterior a un triángulo ABC yrelativo alladose toma el punto D,demodo que ;AB = BC = AD. Calcular : mBAC, sabiendo que :A) 20B) 25C) 35D) 45E) 36

06.En un triángulo ABC, mBAC = 2(mACB), se trazala bisectriz interior BD. Calcular “DC”, sabiendo queAD = 4 y “AC” toma su mínimo valor entero.A) 6B) 8C) 3D) 7E) 507.En un triángulo ABC, recto en B, se traza la ceviana, de modo que : AB + AD = BC, mABD = 3αymACB = 2α . Calcular “α ”A) 11B) 15C) 30D) 10E) 20

08. InteriormenteauntriángulorectánguloABC,rectoen“B”, se toma el punto “P” tal que mPAC = mBCPy AB = PC = BC. Calcular la mPCBA) 15B) 22,5C) 18D) 30E) 26,5

09. Dado un triángulo ABC en el exterior se ubica elpunto “P” tal que el perímetro de la región triangularBPC es igual a 12 u. Calcular el máximo valor enterode“AC”,siAByBCconenteros.(m BAC>m BCA)A) 11 uB) 10 uC) 9 uD) 8 uE) 6 u10.Se tiene un triángulo ABC, se trazan la alturayla bisectriz interior

intersectándose en “O”. Si :AO = 4, OC = 12 y CD = 15, calcular el máximo valorentero de, sitoma su mínimo valor entero,además “D” es un punto exterior y relativo al ladoA) 20B) 21C) 23