Teori Graph Matemathics Discrit

7/21/2019 Teori Graph Matemathics Discrit

http://slidepdf.com/reader/full/teori-graph-matemathics-discrit 1/19

Course Content

Template

Product Development Center, Bina NusantaraDC-PDC-4

Ver. 1.0 22/08/2005 18:!:00

Matematika Disk it

"#pe: $C$D%&'C C()*+%Code: 01



Table of Content

Table of Content............................................................................................................................. 0

Course Content..............................................................................................................................0

TEORI GRAPH............................................................................................................................ 01.P%N-%*"'$N (&P(N%N -*$P................................................................................02.%N'+%N'+ -*$P............................................................................................................ 0

"raversale 3rap4.................................................................................................................. 0%uler 3rap4........................................................................................................................... 0ameltonian 3rap4................................................................................................................ 0

.-*$P )+)+ :................................................................................................................ 0. &$"*'+ -*$P................................................................................................................. 0

'somorp4ic -rap4................................................................................................................. 0omeomorp4ic -rap4........................................................................................................... 0

5.6$B%6%D -*$P................................................................................................................ 0Directed 3rap4 7di3rap4................................................................................................... ..... 0!.P6$N$* -*$P 73rap4 idan3............................................................................................09.P%$*N$$N -*$P........................................................................................ .......... ........ 0

Activity........................................................................................................................................... 0 ;ui</%=am/+el>$ssess......................................................................................................... .... 0



Part

Course Content1TEORI GRAPH

Sasaran :

&a4asis?a dapat men3erti tentan3 de>inisi 3rap4, @omponen@omponen 3rap4, Aenis 3rap4 ai@ #an3

traversael, euler, 4amiltonian, dan ipartite 3rap4 serta dapat menulis@an entu@ 3rap4 @e dalam

model penulisan matri@s. Demi@ian Au3a den3an modul ini ma4asis?a dapat meman>aat@an teori

3rapa4 dalam men#elesai@an era3ai apli@asi @e idan3 ilmu lain seperti ilmu @ete@ni@an, manaAemen

maupun ilmu ilmu sosial.

Pokok Bahasan :

Pen3ertian 3rap4 dan omponen 3rap4

enisAenis 3rap4

+tru@tur 3rap4

-rap4 @4usus, matri@s 3rap4

6aeled 3rap4

Planar 3rap4

Pe?arnaan 3rap4



1.PENGERTIAN !OMPONEN GRAPH

-rap4 ermula dari masala4 dua pulau di ten3a4 laut, di mana @edua pulau terseut 4enda@

di@unAun3i den3an s#arat tida@ ole4 men33una@an Aematan #an3 ada lei4 dari satu @ali. al ini

dapat diilustrasi@an seperti pada 3amar di a?a4 ini.

e1,e2,...,e9 Aematan

&asala4n#a adala4 : $pa@a4 ada cara untu@ datan3 @edua pulau terseut 7dapat lei4 1@ali den3an

mele?ati masin3masin3 Aematan 4an#a satu @ali

)ntu@ men#elesia@an masala4 terseut, ma@a teori 3rap4 a@an di3una@an.

Pada dasarn#a 3rap4 dapat dide>inisi@an sea3ai 4impunan titi@[email protected]@ dimulai dan

dia@4iri den3an titi@. +edan3@an apli@asi 3rap4 adala4 3amaran lo3i@a dari suatu @eAadian, proses,

peristi?a, @e3iatan atau 4al4al lain #an3 salin3 er@aitan, #an3 memili@i )nsurunsur -rap4 :

Verte= / titi@titi@ simpul / no@ta4 dan %d3e / rusu@.

Conto4 :

$ dan B di@ata@an : erde@atan / erdampin3an / adAacent

e1 dan e2 di@ata@an : ertemu / incident di $

omponen lain dari 3rap4 dapat erupa :e

e

1

e

2 e

!

e

5e

$

B

D

%

e1,...,e! ed3e

$,B,C,D,% verte=

Pulau Pulau

daratan

daratan

e5

e1 e7

e3 e4

e2

e6

sungai

e4 e1

e2

e6

e5

e3

A

B

C

D

E



Multira!h adala4 3rap4 #an3 mempun#ai rusu@ 3anda #an3 men34uun3@an 2 titi@.

"oo! adala4 ed3e #an3 uAun3n#a satu verte= 73elun3.

Ps#u$ora!h adala4 3rap4 #an3 mempun#ai rusu@ 3anda dan loop.

misal :

Tri%ial ra!h adala4 3rap4 #an3 4an#a terdiri satu titi@.

D#ra&at ' $#r## suatu %#rt#( ≡ an#a@n#a rusu@ #an3 incident pada titi@ terseut.

)#rt#( #na! adala4 verte= #an3 de3reen#a 3enap

)#rt#( an&il adala4 verte= #an3 de3reen#a 3anAil.

"eorema :

umla4 de3ree semua verte= 2 @ali an#a@n#a rusu@.

Conto4 :

multi3rap4

Pseudo3rap4

de3 7$

de3 7B de3 7C de3 7D 2de3 7% 2de3 7 2de3 7- 2

EEEEEEEE F

∑ de3ree 18

∑ rusu@ G ∑ de3ree 2• ∑

ma@a Σ de3ree 2. Σ rusu@

CA

B

D E

G F



Conn#*ti%it+ :

Connectivit# adala4 @erter4uun3an simpul satu den3an simpul #an3 lain dalam 3rap4. Dalam 4al ini

ada eerapa @eter4uun3an #an3 dapat diuat, diantaran#a :

1" al@ adala4 lintasan dari suatu titi@ @e suatu titi@ #an3 lain.

#" Closed ?al@ adala4 ?al@ #an3 titi@ a?aln#a titi@ a@4irn#a.

$" "rail adala4 ?al@ #an3 semua ed3en#a erlainan.

%" Pat4 adala4 ?al@ #an3 semua titi@n#a erlainan.

&" C#cle adala4 pat4 #an3 tertutup.

'" -irt4 adala4 panAan3 c#cle #an3 terpende@ suatu 3rap4.

(" Circum>erence adala4 panAan3 c#cle #an3 terpanAan3 suatu 3rap4.

Conto4 :

ara@ 2 titi@ adala4 pat4 terpende@ dari 2 titi@ terseut, d7µ1, µ2.

1" %@sentrisitas suatu titi@ adala4 Aara@ terpanAan3 suatu titi@ terseut ter4adap titi@

#an3 lain, e7µ.

#" ariAari adala4 e@sentrisitas ter@ecil diantara e@sentrisitas #an3 ada, r7-.

$" Diameter adala4 Aara@ teresar antara 2 titi@ #an3 ada, d7-.

D E

B

G

A

$BC%B ?al@ $B%D$ closed ?al@ $D%BC trail $BC% pat4BC%B c#cle-irt4 Circum>erence 5



Conto4 :

Titik s#ntral G adala4 titi@ simpul #an3 e@sentrisitasn#a sama den3an AariAarin#a.

Pusat - adala4 4impunan titi@titi@ sentral

Conto4 : pada 3rap4 diatas, titi@ sentraln#a $,C,dan D pusat - H$,C,DI

Gra!h t#rhu,un adala4 suatu 3rap4 #an3 di antara verte=n#a ada pat4n#a.

Cut point 7titi@ poton3

i@a suatu verte= 3rap4 din#ata@an sea3ai titi@ poton3, ma@a verte= terseut dan semua ed3e #an3

insiden di titi@ terseut di4ilan3@an.

Conto4 :- dipoton3 di P ma@a #an3 tin33al : -VP #aitu :

- P

Dalam conto4 ini titi@ P di amil sea3ai cut point, se4in33a terentu@ 3rap4 #an3 aru seperti pada

3amar eri@utn#a.

#.)ENI*+)ENI* GRAPH

-rap4 dapat di@elompo@@an dalam eerapa Aenis antara lain :

Tra,ersable -rap

"raversale 3rap4 adala4 3rap4 #an3 semua rusu@n#a dapat dilalui masin3masin3 se@ali. $tau

7 dalam pra@te@n#a : 3rap4 terseut dapat di3amar tanpa pata4 / an3@at pensil

Conto4 :

B

C

A D E

G

d 7B,%8 5 r 7-8 2e 7$8 2 d 7-8 5e 7B8 5e 7C8 2e 7D8 2e 7%8 5

P

G

2

3

1

5

4



alann#a diseut traversale trail.

untu@ men33amar @emali 3rap4 terseut i@uti ana@ pana4 dan urutan nomorn#a.

+elain cara di atas traversale 3rap4 dapat Au3a ditentu@an den3an meli4at titi@ simpul dari 3rap4terseut apa@a4 tepat memili@i dua ua4 simpul #an3 erderaAat 3anAil.

Euler -rap

%ulerian 3rap4 adala4 3rap4 #an3 memili@i trail tertutup #an3 menca@up semua rusu@.

Conto4 :

Hameltonian -rap

ameltonian 3rap4 adala4 3rap4 #an3 mempun#ai pat4 tertutup #an3 menca@up semua titi@.

Contoh :

T#ori Eul#r /0/ - /12

+emua 3rap4 ter4uun3 #an3 mempun#ai dua verte= 3anAil adala4 traversale

"raversale trailn#a dimulai dari verte= 3anAil pertama dan dia@4iri pada verte= 3anAil

@edua.

-rap4 %ulerian Ai@a semua verte=n#a 3enap.

amelto

nian

Ciri-ciri : semua titikberderajat genap

Eulerian



$.GRAPH !H/*/* 0

1" -rap4 len3@ap adala4 3rap4 #an3 setiap verte=n#a ter4uun3 den3an semua titi@

#an3 lain den3an 4an#a rusu@ 7notasi : n

misal :

#" -rap4 teratur / re3uler adala4 suatu 3rap4 #an3 setiap titi@n#a erderaAat sama.

misal : 2 re3uler

$" Bipartite 3rap4 adala4 suatu 3rap4 #an3 titi@titi@ pada 3rap4 dapat di@elompo@@an

menAadi dua, titi@titi@ dalam satu @elompo@ ta@ ter4uun3, dan titi@titi@ antar

@elompo@ ter4uun3 len3@ap.

%. MATRI!* GRAPH

-rap4 dapat din#ata@an den3an matri@s, adapun Aenis matri@s 3rap4 #an3 dima@sud adala4:

1" %d3e matri= 74uun3an antara rusu@ den3an rusu@

#" $dAacenc# matri= 74uun3an antara simpul den3an simpul

$" 'ncidence matri= 74uun3an antara simpul den3an rusu@

e1 e2

e3

e4

A

e1 e2 e3 e4

e1 e2 e3 e4

e

e

e

e

Edge matrix

A B C

B

C

Adjacenc

incidence matrix

1100

1011

0111

C

B

$

011

101

110

0111

1011

1101

1110



Isomorpi Grap

'somorp4ic 3rap4 adala4 dua 3rap4 #an3 mempun#ai 3rap4ical proporties #an3 sama 7ereda tetapi

stru@tur sama, Aumla4 sisi #an3 sama dan Aumla4 simpul #an3 sama.

Conto4 :

-1 dan -2 isomorp4is, er@orespondensi 11 antara titi@titi@ dan rusu@rusu@.

orespondensi 11 terseut iala4 :

$; e1@2 J B* e2@J C" e@5 J DP e@1 , e5@

Homeomorpi Grap

#aitu : dua 3rap4 #an3 diperole4 dari 3rap4 #an3 sama / isomorp4ic den3an menama4 seAumla4

verte= tertentu #an3 masin3masin3 erderaAat 2 pada rusu@rusu@n#a.

Conto4 :

&.2A3E2ED GRAPH

#aitu : 3rap4 #an3 rusu@rusu@n#a dieri esaran/data ilan3an, #an3 men#ata@an esaran ?a@tu

ean4ar3aAara@dan lainlain. Den3an demi@ian dalam laeled 3rap4 dapat di4itun3 nilai optimum

dari suatu masala4.

&isaln#a : pat4 terpende@ trail terpanAan3

-1 dan -2 4omeomorp4ic

e 2

e 1

e 3

e 4

e 5

A

D C

B

! 1

! 2

! 3

! 4

! 5

P "

# $

G 1 G 2



Conto4 :

Direte4 -rap 54i-rap"

+uatu sistem #an3 er3era@ di3amar@an dalam di3rap4, #aitu 3rap4 #an3

memper4ati@an ara4 #an3 ditunAu@@an ole4 ed3en#a.

%d3e di3rap4 serin3 diseut arcus 7arc. Conto4 :

6aeled di3rap4 adala4 di3rap4 #an3 arcn#a mempun#ai esaran.

Conto4 : P, ;, * ermain / lempar ola

P 4an#a melempar @e ;

; mun3@in melempar @e P dan @e *

* mun3@in melempar @e P dan @e ;

&asala4 terseut dapat di3amar@an den3an laeled di3rap4 sea3ai eri@ut:

paralel arc

1

2 3

4

2

$

C

B

D

11

2

1

2

1

2

1

2

P

" $



arcus menunAu@@an ara4 dari/@e mana ola dilempar esaran men#ata@an peluan3 masin3masin3

lemparan

P pasti / 4an#a melempar @e ;→ KP,;L1

; mun3@in melempar @e P atau @e * → K;,PL K;,*L 1/2

* mun3@in melempar @e P atau @e ; → K*,PL K*,;L M

DeraAat verte= pada di3rap4

inde3ree P adala4 Aumla4 ed3e #an3 datan3 / masu@ @e ara4 P

outde3ree P adala4 Aumla4 ed3e #an3 per3i / @eluar menin33al@an P

Conto4 :

Verte= #an3 inde3reen#a 0 diseut sumer / asal / source

Verte= #an3 outde3reen#a 0 diseut tuAuan / sin@

Di@enal ti3a macam 4uun3an dalam di3rap4 :

1" ea@ 7lema4 : i@a dan 4an#a Ai@a ada 2 titi@ #an3 mempun#ai spannin3 semi?al@

Conto4 : $ dan B masin3masin3 semii?al@ 7$P BP

A

B C

D

indegree B % 1

&utdegree B % 2

dan lain'lain

A

B

C

A % s&urce

B % sin!

A

B

P



2). )nilateral 7sepi4a@ : Ai@a dan 4an#a ada 2 titi@ #an3 mempun#ai spannin3 ?al@.

Conto4 :

$ dan B terdapat spannin3 ?al@ #aitu :APB

32. +tron3 7@uat Ai@a dan 4an#a Ai@a ada spannin3 ?al@ #an3 tertutup

Contoh :

'.P2ANAR GRAPH 5-rap bi4an-"

Planar 3rap4 adala4 suatu 3rap4 #an3 rusu@rusu@n#a terleta@ pada idan3 datar, dan tida@ salin3

erpoton3an selain di verte=n#a.

Conto4 :

A!lanar Gra!h ra!h s#,i$an2

#aitu : 3rap4 #an3 dapat dipancan3@an / di3elar menAadi 3rap4 idan3.

Contoh :

A

B

P

A

P

B

C

A

D C

A B

D

(lanar gra() *u!an (lanar gra()

D



Dia3ram 3rap4 idan3 diseut &ap 7peta

-rap4 idan3 rusu@rusu@n#a memisa4@an idan3 leta@n#a 7 idan3 3amar atas daera4daera4 /

re3ion.

Conto4 :

DeraAat / de3ree daera4 r adala4 an#a@n#a ed3e #an3 mematasi r terseut.

Ruus-ruus Eul#r:

i@a suatu map, an#a@n#a verte= V, an#a@n#a re3ion * dan an#a@n#a ed3e %

&a@a erla@u :

D

A B

C

da(at dijadi!an

D

A

a(lanar gra()

(lanar gra()

r 1

r 2

r 3 r 4

3 regi&n tertutu( % r 1+ r 2+ r 31 regi&n ter*u!a % r 4 6 ,ertex- edge

deg .r 1/ % 3deg .r 2/ % 3

deg .r 3/ % 4

deg .r 4/ % 6

r 1

r 2

r 3 r 4



( )

( )

10 $ E 2

20 deg r 2 edge 2 E

30 E 3 6 *u!ti untu! 3

masing masing deg r 3

2E 3$ $

2

3 E

rumus+ 2 E 2

3E

6 3E 3 2E

E 3 6 ed .ter*u!ti/

+ − =

= • = •

≤ − → ≥

− ≥

≥ → ≤

→ + − ≤

+ − ≤

≤ − →

∑∑

q

-rap4 seidan3 ma@simum, Ai@a den3an penama4an rusu@ selalu men34asil@an 3rap4 #an3 tida@

seidan3. -rap4 seidan3 ma@simum diseut 3rap4 datar ma@simum ila 3rap4 terseut merupa@an

3rap4 datar.

5ntuk #na,ah at#ri +an t#lah a$a6 An$a $a!at #lihat at#ri lain +an a$a !a$a alaat

7#, ,#rikut ini6 $an klik 4ttp://???.asint.com/aisee/

(.PE6ARNAAN GRAPH

Dalam pe?arnaan 3rap4 terdapat ti3a macam/cara pe?arnaan, #aitu :

a. Pe?arnaan titi@

. Pe?arnaan rusu@

c. Pe?arnaan daera4

a2. P#7arnaan titik :

#aitu me?arnai titi@titi@ suatu 3rap4 sedemi@ian 4in33a titi@titi@ #an3 ter4uun3

?arna erlainan, dan an#a@n#a ?arna seminim mun3@in.

Ban#a@ ?arna minimum diseut ilan3an @romati@ → =7-

Conto4 :

)ntu@ mencari = 7- %6C P(%6 memeri petunAu@ lan3@a4lan3@a4n#a :

3

2 3

1

2

)ntu@ mem2eda@an ?arnadi3una@an an3@a1an3@a

Berarti : =7-8

http://www.absint.com/aisee/

http://www.absint.com/aisee/



urutkan titik-titik dari derajat tinggi ke rendah beri warna “1” titik terdepan (urutan

tersebut) dan titik-titik ang tidak terhubung dengan tadi! beri warna “"” titik di

be#akangna (urutan tersebut)!

Conto4 :

Pern#ataanpern#ataan eri@ut euivalence untu@ -rap4 -.

1" - ter?arnai titi@ 2

#" - adala4 ipartite

$" +etiap c#cle dari - mempun#ai ed3e 3enap.

Conto4 :

-rap4 len3@ap : =7n n

Conto4 :

$%$&A' &&-&& BC*+A,

(.) / 0

C

A

2

1

2

F4

D

E

3

3

1

2

1 2

2

G terwarnai 2

G = K 2.3

setia c cle mem un ai ed e

1

2 3

4

x . 4/ % 4



Po4on ter?arnai 2

Conto4 :

,2. P#7arnaan rusuk

#aitu : me?arnai rusu@rusu@ suatu 3rap4, sedemi@ian 4in33a rusu@rusu@ #an3

insiden ?arna erlainan dan an#a@ ?arna minimum.

Conto4 :

Pe?arnaan rusu@ untu@ 3rap4 len3@ap 7n

′ =−

x K n n ganjil

n n genap. /

+

+

1

Conto4 :

)ntu@ 5 :

beri warna rusuk-rusuk ang insiden disatu titik / 1-"--0 kemudian rusuk-rusuk ang

tidak insiden dengan rusuk di atas → warna sama kemudian rusuk ang terakhir warna 2

)ntu@ ! :

kerjakan dahu#u untuk 23 kemudian rusuk-rusuk ang insiden di titik ke 4 dengan warna

ang be#um digunakan pada setiap titik ang #ain.

1

2

1 1

1 1

2

1 2 1

2 1

14

1

3 22 3

x′ .G/ % 4

3

1

3

2

2

4

x′ . 4/ % 3



c.Pewarnaan Daerah :

Pewarnaan daerah di#akukan dengan ter#ebih dahu#u membentuk graph tersebut menjadi

graph p#anar kemudian me#akukan pewarnaan untuk tiap daerah ang berbeda pada

daerah ang berdekatan! 5um#ah warna diambi# ang pa#ing minimum!Contoh : 6akukan pewarnaan graph secara daerah untuk kasus gambar graph

sebe#umna!

Untuk menambah materi yang telah ada, Anda dapat melihat materi lain yang

ada pada alam web berikut ini, dan klik

http://www.math.getech.edu/~thoma/!"/#ourcolor.html

http://www.math.getech.edu/~thomas/FC/fourcolor.html

http://www.math.getech.edu/~thomas/FC/fourcolor.html



Part

Ati,it7#8ui9:E;am:*elf+Assess

Soal :

1.-amar@an seua4 3rap4 den3an lima verte@s #an3 mempun#ai deraAat 2, , , , O

2.Carila4 diameter dari 8n 3rap4 len3@ap pada n verte@s. O

."unAu@@an a4?a Aumla4 ma@simum dari rusu@ dalam seua4 3rap4 n verte@s adala4

n7n 1/2 O

. "unAu@@an a4?a semaran3 3rap4 #an3 mempun#ai empat verte@s atau @uran3

adala4 planar O

Documents

Teori Graph Matemathics Discrit