TEORI ANTRIANanisah.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/52692/...L = jumlah rata-rata pelanggan yang diharapkan dlm sistem Lq = jumlah pelanggan yang diharapkan menunggu dalam antrian

TEORI ANTRIAN

Riset Operasional 2, Anisah SE., MM 1

Riset OperasionalRiset operasional merupakan cabang interdisiplin dari matematikaterapan dan sains formal yang menggunakan model-model—sepertimodel matematika, statistika, dan algoritma untuk mendapatkan nilaioptimal atau nyaris optimal pada sebuah masalah yang kompleks.

Riset Operasional merupakan suatu metode, teknik, peralatan dan caramanajemen yang digunakan oleh seorang manajer untuk menyelesaikanmasalah-masalah yang sering muncul dalam kegiatan-kegiatan sehari-hari.

Riset operasional biasanya digunakan untuk mencari nilai maksimal(profit, performa lini perakitan, hasil panen, bandwith dll) atau nilaiminimal (kerugian, risiko, biaya, dll) dari sebuah fungsi objektif. Sehinggaakhirnya permasalahan tersebut dapat dipecahkan secara optimal.


Model Antrian

Sistem ekonomi dan usaha (bisnis) sebagian besar beroprasidengan sumber daya yang relatif terbatas. Sering terjadi orang–orang, barang – barang, komponen-komponen, atau kertaskerja harus menunggu untuk mendapatkan jasa pelayanan.Garis-garis tunggu ini sering disebut dengan antrian (Queues),berkembang karna kualitas pelayanan (server) adalah relatifmahal untuk memenuhi permintaan layanan dan sangatterbatas.


Tujuan dasar model antriana.Meminimumkan biaya langsung

Biaya langsung adalah biaya yang timbul akibat lamanyawaktu pelayanan yang secara langsung membebaniperusahaan. Contohnya, pembengkakan biaya akibat waktu iniadalah pekerja yang dibayar perjam dan diharuskan melayanisejumlah pelanggan, perusahaan harus membayar pekerjatersebut persatuan waktu.b. Meminimumkan biaya tidak langsung

Biaya tidak langsung adalah terjadi apabila pelanggan harusmenunggu lama sehingga mungkin membatalkan niatmemakai jasa perusahaan tersebut.


Elemen – elemen pokok dalam antrian Sumber masukan.Sumber masukan terdiri atas suatu populasi orang,barang,komponen atau kertas kerja yang datang pada suatu sistemuntuk dilayani. Pola kedatangan.Individu – individu mungkin datang dengan tingkat kedatanganyang konstan ataupun random. Tingkat kedatangan produk-produk yang bergerak sepanjang lini perakitan produksi massamungkin konstan, sedangkan tingkat kedatangan mengikutidistribusi probabilitas poison. Distribusi probabilitas poisonadalah salah satu pola kedatangan yang paling sering bilakedatangan-kedatangan didistribusikan secara random.


Elemen – elemen pokok dalam antrian Disiplin antrian

Model-model yang disajikan disini dibatasi untuk disiplin antrian Fistcome, fist served (FCFS).

Kepanjangan antrian

Apabila kapasitas antrian menjadi faktor pembatas besarnya jumlahindividu yang dapat dilayani dalam sistem secara nyata, berarti sistemmempunyai kepanjangan antrian yang terbatas (finite). Sebagai contohsistem yang mempunyai antrian yang terbatas adalah jmlah tempatperkir atan station pelayanan.

Tingkat pelayanan

Waktu yang digunakan untuk melayani individu-individu dalam suatusistem di seuat waktu pelayanan ( servise time).


Contoh Antrian1. Pelanggan menunggu pelayanan di kasir2. Mahasiswa menunggu konsultasi dengan pembimbing3. Mahasiswa menunggu registrasi dan pembayaran SPP4. Penumpang kereta api menunggu pelayanan loket penjualan

karcis5. Pengendara kendaraan menunggu pengisian bahan bakar6. Beberapa produk atau komponen menunggu untuk di

selesaikan


CONTOH SISTEM ANTRIAN

Sistem Garis tunggu atau antrian Fasilitas

1. Lapangan terbang Pesawat menunggu dilandasan

Landasan pacu

2. Bank Nasabah (orang) Kasir3. Pencucian Mobil Mobil Tempat pencucian mobil

4. Bongkar muat barang Kapat dan truk Fasilitas bongkar muat5. Sistem komputer Program komputer CPU, Printer, dll6. Bantuan pengobatan

daruratOrang Ambulance

7. Perpustakaan Anggota perpustakaan Pegawai perpustakaan8. Registrasi mahasiswa Mahasiswa Pusat registrasi9. Skedul sidang pengadilan Kasus yang disidangkan Pengadilan

Riset Operasional 2, Anisah SE., MM OPERATIONS RESEARCH

Stuktur Model Antrian1. Garis tunggu atau sering disebut antrian (queue)2. Fasilitas pelayanan (service facility)

Garis tungguatau antrian

1

2

s

FasilitasPelayanan

Pelangganmasuk

Ke dalam sistemantrian

Pelanggan keluardari sistem

antrian

STUKTUR SISTEM ANTRIANRiset Operasional 2, Anisah SE., MM 9

STRUKTUR ANTRIAN

Proses antrian pada umumnya dikelompokkan ke dalamempat struktur dasar menurut sifat-sifat fasilitas pelayanan,yaitu:1. Single Channel - Single Phase (satu saluran satu tahap)2. Single Channel - Multi Phase (satu saluran banyak tahap)3. Multi Channel - Single Phase (banyak saluran satu tahap)4. Multi Channel - Multi Phase (banyak saluran banyak

tahap)


Notasi dalam sistem antriann = jumlah pelanggan dalam sistemPn = probabilitas kepastian n pelanggan dalam sistemλ = jumlah rata-rata pelanggan yang datang persatuan waktuµ = jumlah rata-rata pelanggan yang dilayani per satuan waktuPo = probabilitas tidak ada pelanggan dalam sistemp = tingkat intensitas fasilitas pelayananL = jumlah rata-rata pelanggan yang diharapkan dlm sistemLq = jumlah pelanggan yang diharapkan menunggu dalamantrian


Notasi dalam sistem antrianW = waktu yang diharapkan oleh pelanggan selama dalamsistemWq = waktu yang diharapkan oleh pelanggan selamamenunggu dalam antrian1/µ = waktu rata-rata pelayanan1/λ = waktu rata-rata antar kedatanganS = jumlah fasilitas pelayanan


Single Channel - Single Phase(satu saluran satu tahap)

Model yang paling sederhana yaitu model saluran tunggal atausistem M/M/1

1. Populasi input tak terbatas2. Distribusi kedatangan pelanggan potensial mengikuti

distribusi poisson3. Disipliln pelayanan mengikuti FCFS4. Fasilitas pelayanan terdiri dari saluran tunggal5. Distribusi pelayanan mengikuti distribusi poisson6. Kapasitas sistem diasumsikan tak terbatas7. Tidak ada penolakan maupun pengingkaran


Rumus

μλ

P 1

P)1(PP nn 2

λ-μλ

P-1

PL 3

P-1

P

λ)-μ(μλ

L22

q 4

λ-μ1

W 5

λ)-μ(μλ

W q 6


ContohPT CIARD mengoperasikan satu buah pompa bensin dengan satu operator. Rata-ratatingkat kedatangan kendaraan mengikuti distribusi poisson yaitu 20 kendaraan perjam. Operator dapat melayani rata-rata 25 mobil per jam, dengan waktu pelayanansetiap mobil mengikuti distribusi probabilitas eksponensial. Jika diasumsikan modelsistem antrian yang digunakan operator tersebut (M/M/1), hitunglah :

1. Tingkat intensitas (kegunaan) pelayanan (p)2. Jumlah rata-rata kendaraan yang diharapkan dalam sistem3. Jumlah kendaraan yang diharapkan menunggu dalam antrian4. Waktu yang diharapkan oleh setiap kendaraan selama dalam sistem (menunggupelayanan)

5. Waktu yang diharapkan oleh setiap kendaraan untuk menunggu dalam antrian

Mobil antrimenunggupelayanan

s1 pompa bensin

melayani 20 mobil perjam

Kedatanganmobil, 15 per

jam

Mobil Keluar

SPBU CIARD

FasilitasPelayanan


Penyelesaianλ = 20 dan µ = 25

1. Tingkat intenstas (kegunaan) pelayanan atau p

80,025

20

μλ

p

Angka tsb menunjukkan bahwa operator akan sibuk melayani kendaraan selama 80% dariwaktunya. Sedangkan 20% dariwaktunya (1 – p) yang sering disebut idle time akandigunakan operator untuk istirahat, dll

2atau,4

2025

20

λ-μλ

L

480,01

80,0

p-1

pL

Angka tersebut menunjukkan bahwa operator dapat mengharapkan 4 mobil yangberada dalam sistem


3 20,3125

400

)2025(25

)20(

λ)-μ(μλ

Lq22

Angka tersebut menunjukkan bahwa mobil yang menunggu untuk dilayani dalamantrian sebanyak 3,20 kendaraan

4menit12ataujam20,0

25

1

2025

1

λ-μ1

W

Angka tersebut menunjukkan bahwa waktu rata-rata kendaraan menunggu dalamsistem selama 12 menit

5 menit9,6ataujam16,0125

20

)2025(25

20

λ)-μ(μλ

Wq

Angka tersebut menunjukkan bahwa waktu rata-rata kendaraan menunggu dalamantrian selama 9,6 menit


Hubungan antara L, Lq, W dan Wq

L = λ W Lq= λ Wq W = Wq + 1/µ


MULTIPLE-CHANNEL MODEL(M/M/s)

Dalam Multiple-Channel Model, fasilitas yang dimiliki lebih darisatu. Huruf (s) menyatakan jumlah fasilitas pelayanan


ContohSebuah rumah sakit memiliki ruang gawat darurat (RGD) yang berisikantiga bagian ruangan yang terpisah untuk setiap kedatangan pasien. Setiapruangan memiliki satu orang dokter dan satu orang jururawat. Secara rata-rata seorang dokter dan jururawat dapat merawat 5 orang pasien per jam.Apabila pasien yang dihadapi hanya luka-luka ringan, mereka dapatmelayani 12 pasien per jam. Laporan pihak statistik pasien pada rumahsakit tersebut menunjukkan bahwa kedatangan dan penyelesaianpelayanan mengikuti distribusi Poisson.

Pasien menungguddalam antrian untuk

berobats

3 saluran pelayanan1 team mengobati rata-rata 15 pasien perjam

Pasien datang(rata-rata 12

pasien per jam)

Pasien pergisetelah menerma

pengobatan

Model UGD

s

s

Sistem : (M/M/3)λ = 12 s = 3µ = 5p = 12/3(5) = 0,8


µ = rata-rata tingkat pelayanan untuk setiap fasilitas pelayanan

sμλ

p

2

so

p)-(1s!

p)μλ

(PLq

1-s

0n

sn

o

)sμλ

-(1s!

)μλ

(

n!

)μλ

(P

sn0),P(n!

)μλ

(

sn),P(ss!

)μλ

(n

o

n

o-sn

nP

jika

jika

λLq

Wq

μ1

WqW

μλ

LqλWL


Penyelesaian

)04,0(6

)80,0)(824,13(20,0

)1512

-(13!

)1512

()5

12(0,20

p)-(1s!

p)μλ

(PLq

2

5

2

so

pasien216,90,24

21184,2Lq

menit46ataujam0,76812

216,9

λLq

Wq

menit58ataujam0,9685

10,768

μ1

WqW

11,6212(0,968)λWL


Documents

TEORI ANTRIANanisah.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/52692/...L = jumlah rata-rata pelanggan yang diharapkan dlm sistem Lq = jumlah pelanggan yang diharapkan menunggu dalam antrian