BAB VII

TEORI PERMAINAN (GAME THEORY)

A. Pengertian

Teori permainan merupakan pengembangan dari model pengambilan keputusan,

terutama diaplikasikan dalam hubungan antara dua pihak yang saling

berkompetisi/bersaing.

Permainan merupakan istilah generik umum/lazim yang menunjukkan situasi

konflik dalam berbagai kondisi. Pihak-pihak yang bersaing akan melakukan strategi

tindakan yang resional untuk memenangkan persaingan, dan masing-masing pihak juga

mengetahui strategi pihak lawannya. Pihak-pihak yang bersaing ini disebut pemain.

Ciri/sifat permainan :

1. Jumlah pemain terbatas.

2. Untuk setiap pemain ada sejumlah kemungkinan tindakan yang terbatas.

3. Ada pertentangan kepentingan (conflict of interest) antara pemain.

4. Aturan permainan untuk mengatur di dalam memilih tindakan diketahui oleh setiap

pemain.

5. Hasil tindakan yang dilakukan dapat berupa bilangan + (menang), - (kalah), dan 0

(tidak ada yang menang atau seri).

B. Unsur-Unsur Dasar Teori Permainan

1. Matriks Pembayaran (Pay of Matrix).

Pembayaran dalam setiap strategi permainan yang berbeda.

2. Strategi Permainan.

Tindakan/aktivitas pilihan dalam permainan.

3. Aturan Permainan.

Tentang bagaimana cara pemain memilih strategi.

4. Nilai Permainan.

Hasil yang diperkirakan (expected value) permainan.

5. Strategi Dominan.

Setiap pembayaran dalam suatu strategi paling tinggi dibanding dengan setiap

pembayaran strategi lain.

101

6. Strategi Optimum.

Tindakan/rencana yang membawa pemain dalam posisi yang menguntungkan tanpa

melihat tindakan lawan.

7. Tujuan Model Permainan.

Untuk merumuskan strategi optimum bagi masing-masing pemain.

C. Two – Person Zero - Sum Game (Permainan Berjumlah Nol Dari Dua Orang)

Misalnya : A menang Rp 10 juta (+10), berarti B kalah Rp 10 juta (-10).

Jumlah kemenangan A dan kekalahan B adalah +10 - 10 = 0.

Karena permainan hanya 2 orang saja (two person) dimana kemenangan

dan kekalahan adalah nol (zero sum), maka permainan tersebut dinamakan

two – person - sum game.

Di dalam two – person zero - sum game, hasil kemenangan berupa pembayaran

yang dapat disajikan dalam bentuk matrix. Untuk pembayaran dalam permainan tersebut,

pay off dan matrixnya dinamakan pay off matrix of the game.

Matrix pembayaran (pay off matrix) adalah matix yang unsur-unsurnya merupakan

jumlah nilai yang dibayarkan oleh pemain yang kalah kepada pemain yang menang pada

akhir permainan. Pembayaran dapat berupa uang, penurunan/kenaikan market share.

Contoh Matrix Pembayaran Bagi A

-3 2 Artinya :

I. A 2 3 Baris 1. A kalah 3 dan A menang 2.

4 -5 2. A menang 2 dan A menang 3.

3. A menang 4 dan A kalah 5.

II. 3 0 -2 Artinya :

1 -2 4 Baris 1. A menang 3 tidak ada yang menang A kalah 2.

2. A menang 1, A kalah 2, A menang 4.

102

B

B

Dalam two – person zero - sum game yang ada dua jenis persoalan, yaitu :

1. Permainan yang posisi terbaiknya bagi setiap pemain dicapai dengan memilih satu

strategi tunggal, permainannya disebut permainan strategi murni (pure – strategy

game).

2. Permainan yang kedua pemainnya melakukan pencampuran terhadap strategi. Strategi

yang berbeda dengan maksud untuk mencapai posisi pilihan terbaik, dan disebut

permainan strategi campuran (mixed – strategy game).

D. Pure – Strategy Game (Permainan Strategi Murni)

Pada pure – strategy game, pemain yang maksimumkan (A) akan merumuskan

strategi optimumnya dengan menggunakan Kriteria Maksimin, yaitu mencari nilai

minimum dari masing-masing baris, kemudian menentukan nilai maksimumnya. Nilainya

itu disebut nilai maksimin.

Sedangkan pemain yang meminimumkan (B) akan merumuskan strategi

optimumnya dengan menggunakan Kriteria Minimaks, yaitu mencari nilai maksimum dari

masing-masing kolom, kemudian menentukan nilai minimumnya, Nilai tersebut

dinamakan nilai minimaks.

Apabila nilai maksimin sama dengan nilai minimaks (maks min = min maks),

maka telah tercapai titik keseimbangan (saddle point), dan disebut juga nilai harapan

(expected value / EV), dan berarti permainan tersebut telah terpecahkan.

Tetapi bila nilai maksimin tidak sama dengan nilai minimaks (maks min ≠ min

maks), maka berarti tidak tercapai titik keseimbangan dan dikatakan saddle pointnya tidak

ada, dan permainan tersebut tidak dapat diselesaikan dengan strategi murni, harus

dipecahkan dengan strategi campuran (mixed - strategy game).

103

Contoh I. Matrix Pembayaran Bagi A

- Perusahaan B Minimum

BarisPe

rusa

haan

AStrategi I II III IV

1 8 7 15 12 7

2 10 14 8 13 8

3 13 16 15 12

Maksimum Kolom 12 14 16 15 -

Maka nilai maksimumnya adalah 12 (maksimin = 12). Dan bila nilai maksimum dari

masing-masing kolom diperhatikan, terlihat bahwa nilai minimumnya adalah 12

(minimaks = 12). Dari hasil tersebut berarti maksimin = minimaks = 12.

Jadi saddle point / expected value atau nilai permainan tercapai pada strategi A, dan B1

yaitu sebesar 12 (perusahaan A adalah pemain yang menang) berarti bahwa perusahaan A

akan berada pada posisi terbaik, jika melakukan strategi tunggal yaitu strategi A3.

Contoh II. Matrix Pembayaran Bagi Pemain A

- Pemain B Minimum

Baris

Pem

ain

A

Strategi B1 B2 B3 B4

A1 1 4 8 3

A2 4 6 -5 7 -5

A3 -2 3 10 9 -2

Maksimum Kolom 6 10 9 -

104

12

Maksimin (nilai maksimum dari minimum baris)

Minimaks (nilai minimum dari maksimum kolom)

Maksimin

4

1

Minimax

Dalam permainan di atas, dimana maksimin = 1 dan minimax = 4 (maksimin ≠ minimaks).

Permainan ini tidak mempunyai titik keseimbangan (saddle point). Untuk menyelesaikan

masalah permainan ini dilakukan dengan permainan strategi campuran (mixed – strategy

game).

E. Mixed – Strategy Game (Permainan Strategi Campuran)

Apabila maximin ≠ minimax atau tidak mempunyai saddle point, maka

penyelesaiannya dilakukan dengan menggunakan strategi campuran. Pada strategi

campuran dapat digunakan beberapa metode, antara lain adalah :

1. Metode aljabar.

2. Menggunakan probabilitas dan nilai harapan.

3. Menggunakan matrix

4. Metode grafik

5. Metode/pendekatan dominance.

1. Metode Aljabar.

Dalam suatu permainan dimana terdapat 2 orang pemain, dan masing-masing

pemain mempinyai 2 strategi (2 x 2). Dengan menggunakan metode aljabar Pemain A,

misalkan strategi A1 = P, maka strategi A2 = 1 – P (A1 + A2 = 1). Begitu juga dengan

pemain B, misalkan strategi B1 = q, maka strategi B2 = 1 – q (B1 + B2 = 1).

Contoh Matrix Pembayaran

- Pemain B

Pem

ain

A Strategi B1 = q B2 = 1 - q

A1 = P 4 2

A2 = 1 - P 3 4

Dari tabel matrix pembayaran di atas, kita harus mencari nilai P bagi pemain A untuk

menentukan strategi optimumnya, dan mencari nilai q bagi pemain B untuk

menentukan strategi optimumnya.

Dimana pemain A menggunakan strategi A1 dan A2, sedangkan pemain B melakukan

strategi B1 dan B2.

105

Untuk pemain A yang menggunakan strategi A1 sebesar P dab strategi A2 sebesar 1

– P, maka kemenangan bagi pemain A, bila pemain B memilih strategi B1 adalah :

4P + 3 (1 - P) dan bila pemain B memilih strategi B2

adalah 2P + 4 (1 - P) kemudian untuk mencari P

Kita pecahkan persamaan ini :

4P + 3 (1 - P) = 2P + 4 (1 - P)

4P + 3 - 3P = 2P + 4 - 4P

P + 3 = -2P + 4

3P = 1

P = 1/3 = 0,33 (33 %)

1 - P = 1 - 1/3 = 2/3 = 0,67 (67 %)

Berarti pemain A menggunakan strategi A1 = P yaitu sebesar 33 % dan strategi

A2 = 1 - P sebesar 67 % ( A1 = 1/3 dan A2 = 2/3).

Untuk pemain B yang menggunakan strategi B1 sebesar 2 dan strategi B2 sebesar

1 - q, maka kemenangan bagi pemain B, bila pemain A memilih strategi A1 adalah :

4q + 2 (1 - q) dan bila pemain A memilih strategi A2

adalah 3q + 4 (1 - q), kemudian untuk mencari nilai q

Kita selesaikan persamaan berikut ini :

4q + 2 (1 - q) = 3q + 4 (1 - q)

4q + 2 - 2q = 3q + 4 - 4q

2q + 2 = -q + 4

2q + q = 4 - 2

3q = 2

q = 2/3 = 0,67 (67 %)

1 - q = 1 - 2/3 = 1/3 = 0,33 (33 %)

Berarti pemain B menggunakan strategi B1 = q yaitu sebesar 67 % dan strategi

B2 = 1 - q sebesar 33 % (B1 = 2/3 dan B2 = 1/3)

Untuk menentukan nilai permainan (value of the game) dari matrix pembayaran

dapat kita tentukan dari :

- Pemain B

Pem

ai

n A

Strategi B1 = 2/3 B2 = 1/3

A1 = 1/3 4 2

106

A2 = 2/3 3 4

a. Permainan dilihat dari pandangan pemain A, nilai permainan/nilai harapan (EV)

dapat ditentukan dengan cara berikut ini :

EV = B1 [4(A1) + 3(A2)] + B2 [2(A1) + 4(A2)]

= 2/3 [4(1/3) + 3(2/3)] + 1/3 [2(1/3) + 3(2/3)]

= 2/3 (4/3 + 6/3) + 1/3 (2/3 + 8/3)

= 2/3 (10/3) + 1/3 (10/3)

= 20/9 + 10/9 = 30/9

EV = 3,33

b. Permainan dilihat dari pandangan pemain A, nilai permainan/nilai harapan (EV)

dapat ditentukan dengan cara berikut ini :

EV = A1 [4(B1) + 2(B2)] + A2 [3(B1) + 4(B2)]

= 1/3 [4(2/3) + 2(1/3)] + 2/3 [3(2/3) + 4(1/3)]

= 1/3 (8/3 + 2/3) + 2/3 (6/3 + 4/3)

= 1/3 (10/3) + 2/3 (10/3)

= 10/9 + 20/9 = 30/9

EV = 3,33 (hasilnya sama dengan yang pertama)

Jadi, nilai permainan/nilai harapan dari permainan tersebut adalah sebesar 3,33

(berarti pemain A menang), dan bila nilainya negatif, berarti pemain A kalah.

2. Metode Probabilitas Dan Nilai Harapan

Dalam permainan sederhana, yaitu 2 pemain dan masing-masing dengan dua

strategi (2 x 2) yang tidak mempunyai saddle point. Dimana strategi dari setiap pemain

mempunyai probabilitas untuk menunjukkan perbandingan waktu yang digunakan

untuk setiap strategi tersebut.

Permainan dilakukan secara acak/random, dan dapat dicatat probabilitas dari

setiap pembayaran (pay off), kemudian ditentukan nilai harapan dari permainan

tersebut.

Contoh Matrix Pembayaran Pay Off

StrategiB

MinB1 B2

A A1 -6 4 -6

107

A2 7 -5

Max 7 -

Cara Kerja :

a. Dari Baris

Cari nilai yang paling besar dari baris, kemudian kurangkan dengan nilai yang

terkecil dari baris tersebut, lalu hasilnya dibalik.

Baris A1 → 4 - (-6) = 10 → 12

A2 → 7 - (-5) = 12 → 10

b. Dari Kolom

Cari nilai yang paling besar dari kolom, lalu kurangkan dengan nilai yang terkecil

dari kolom tersebut, kemudian hasilnya dibalik.

Kolom B1 → 4 - (-6) = 13 → 9

B2 → 7 - (-5) = 9 → 13

-6 4 12

7 -5 10

9 13

Tabel Probabilitas Pay Off A

Pay

offStrategi

Probabilitas

Pay OffExpected Value / EV

-6 A1 . B1 12/22 . 9/22 -6 (12/22 . 9/22) = -648/484

4 A1 . B2 12/22 . 13/22 4 (12/22 . 13/22) = 624/484

7 A2 . B1 10/22 . 9/22 7 (10/22 . 9/22) = 630/484

108

4

-5 Maximum

Maximum ≠ MinimumAtau -5 ≠ 4Maximum

22

22

B

A 22

22

-5 A2 . B2 10/22 . 13/22 -5 (10/22 . 13/22) = -650/484

EV = -44/484 = -0,09

Jadi besarnya nilai permainan/nilai harapan dari permainan tersebut adalah sebesar

-0,09 (berarti pemain A kalah).

3. Menggunakan Matrix

Matrix juga dapat digunakan untuk menyelesaikan persoalan dalam teori

permainan yang mempunyai matrix pembayaran bentuk segi empat dan tidak

mempunyai titik keseimbangan (saddle point).

Strategi optimum dari masing-masing pemain ditentukan dengan menggunakan

rumus seperti berikut ini :

a. Strategi optimum bagi pemain A

b. Strategi optimum bagi pemain B

Keterangan :

Opt = Strategi optimum

Cof = Cofactor

Adj M = Adjoint matrix

Kemudian nilai permainan (value of the game) atau nilai harapan (expected value / EV)

ditentukan dengan memakai rumus di bawah ini :

109

1 1 Adj M

Opt A =1 1 Adj M

11

Opt B =1 1

1 1 Adj M

Cof

11

Dimana M = Matrix pembayaran (pay off).

Contoh Matrix Pembayaran (Pay Off)

Cofactor untuk 2 x 2 →

Cofactor = → Catatan : lihat cofactor dari matrix

Adjoint = →

a. Strategi optimum bagi pemain A

= =

= =

110

EV = OptA x M x OptB

A

B

11 -2

-5 5

+ -

- +

5 5

2 11

5 2

5 11

Transpose dari cofactorNm → baris; baris → kolom

1 1 Adj M

1 1 Adj M 11

OptA

5 2

5 11

1 1

1 1 5 2

5 11

1

1

1 x 5 + 1 x 5 1 x 2 + 1 x 11

1 x 5 + 1 x 5 1 x 2 + 1 x 11 1

1

10 13

10 13 1

1

= =

10Jadi A1 =

2313

A2 =23

b. Strategi optimum bagi pemain B

= =

Jadi B1 =

B2 =

Nilai permainan/nilai harapan adalah :

EV = OptA x M x OptB

111

10 13

10 x 1 + 13 x 1

10 13

23

1 1 Cof

1 1 Adj M 11

OptB =

1 15 52 11

=11

5 52 111 1

(1 x 5 + 1 x 2) (1 x 5 + 1 x 11)

11

(1 x 5 + 1 x 5) (1 x 2 + 1 x 11)

7 16

11

10 13

7 16

10 x 1 + 13 x 1=

7 16

23=

23

1623

7

11 -2

-5 5

B1

B2

A1A2=

10

23

13

2311 -2

-5 5

7/23

16/23=

= [ 1,88 x 0,30 + 1,99 x 0,70 ]

= [ 0,564 + 1,393 ]

EV = 1,957 atau 1,96

Jadi nilai permainan/nilai harapan adalah sebesar 1,96 (berarti A menang).

4. Metode Dominance

Suatu permainan dimana terdapat dua orang pemain dan salah satu pemain

mempunyai strategi lebih dari 2 pilihan. Sedangkan lawannya hanya mempunyai 2

pilihan yang diberi simbol dengan (M x 2) atau (2 x n) → M = baris; n = kolom.

Misalnya : Matrix Pembayaran

m = 3 ; n = 2 m = 2 ; n = 4

Apabila terdapat matrix pembayaran seperti matrix di atas (M x 2) atau (2 x n), maka

matrix tersebut dapat dirubah atau diperkecil menjadi 2 x 2 dengan menggunakan

pendekatan metode dominance, sehingga kita dapat memecahkan persoalan dengan

menggunakan metode aljabar, probabilitas, dan nilai harapan setara matrix.

112

11 -2

-5 5

0,43 0,57 x 0,30

0,70

0,43 x 1 + 0,57 x (-5) 0,43 x (-2) + 0,57 x 5 0,30

0,70

4,73 – 2,85 -0,86 + 2,85 0,30

0,70

1,88 1,99 0,30

0,70

=

=

=

=

B

A 2 3

-1 -2

1 4

A

B1 -3 2 42 1 0 3

dan

Pendekatan Metode Dominance

Jika unsur-unsur dalam suatu baris mempunyai nilai lebih kecil dari

unsur-unsur baris yang lain, maka baris tersebut dikatakan dominated, dan bila

unsur-unsur dalam suatu kolom mempunyai nilai lebih besar, maka kolom tersebut

juga dikatakan dominated. Kemudian baris atau kolom yang dominated/dominan

tersebut dapat dihapus atau dihilangkan, sehingga tersisa matrix pembayaran yang

lebih kecil atau 2 x 2.

Contoh 1 :

Matrix Pembayaran

Contoh 2 :

Kemudian kolom tersebut dihapus, sehingga tersisa matrix.

Contoh 3:

113

A

B

3 2

2 3

-4 1

A

B

3 2

2 3

Unsur unsur terkecil dari baris A (1 , 2, 3) adalah unsur baris ke 3 yaitu -4 dan 1. Baris ke 3 ini dikatakan dominan, kemudian baris ini dihilangkan, sehingga tersisa baris 1 dan baris 2, dan nantinya berubah menjadi

dipecahkan dengan metode aljabar, probabilitas, dan matrix

B

A 2 -1 1 3

4 1 -4 2

Unsur-unsur terbesar dari kolom B (1, 2, 3, 4) adalah.

24

32

unsur kolom ke 1 dan unsur kolom ke 4 Kolom-kolom tersebut dikatakan dominan

A

B

-1 1

1 -4

Untuk menentukan nilai permainannya, digunakan

metode aljabar, probabilitas, atau menggunakan matrix

A

B

4 -7 2

3 -3 -5

2 -4 -6B1 B2 B3

A1

A2

A3

B tidak memilih B1 karena memberi peluang bagi A untuk menang, dan B sendiri akan kalah. Jadi B akan memilih B2 dan B3 (B1 hapus).A tidak memilih A3 karena A akan kalah, dan B akan menang. Jadi A memilih A1 dan A2 (A3

hapus).

Jadi matrix yang tersisa adalah :

A1 → 2 – (-7) = 9 2

A2 → -3 – (-5) = 2 9

B1 → -3 – (-7) = 4 7

B2 → 2 – (-5) = 7 4

Nilai permainan

EV = A1 [-7(B1) + 2(B2)] + A2 [-3(B1) + (-5)(B2)]

= -7 + 2 + -3 + (-5)

= + + -

5. Metode Grafis

Metode grafis hanya dapat dipakai untuk memecahkan persoalan teori pemain

bila paling sedikit salah satu pemain hanya mempunyai dua strategi permainan, dan

diasumsikan bahwa permainan tersebut tidak mempunyai keseimbangan (saddle

point).

Contoh : Matrix Permainan

Strategi Y1 Y2 .......... Yn

114

A

B

B1 B2

-7 2

-3 -5

A1

A2

11

11

+

+

A1 = A2 =11

2 9

11

B1 =11

7B2 =

4

11;

;

11

2

11

7 4

11

9

11 11

7 4

11

11

2

11

-49

11

8

11

9

11

-21

11

20

121

-82=

121

369

121

451=

B

X1 A11 A12 .......... A1n

X2 A21 A22 .......... A2n

Karena A hanya mempunyai 2 strategi, yaitu X1 dan X2, maka X2 = 1 - X1 dengan X1

> 0 ; X2 > 0.

Berdasarkan strategi murni dari pemain B, maka harapan pembayaran bagi pemain A

(expected pay of A) adalah :

Strategi Murni B Expected Pay Of A

1 (a11 – a21) X1 + a21

2 (a11 – a22) X1 + a22

: : : : :

: : : : :

n (a1n – a2n) X1 + a2n

Expected pay off A bervariasi secara linear terhadap X1.

Dengan kriteria minimax untuk permainan strategi campuran pemain A harus memilih

X1 yang akan memaksimumkan expected pay off minimumnya, yaitu dengan cara

menggambarkan garis-garis lurus ke atas sebagai fungsi dari X1.

Contoh Matrix Permainan 3 x 2

B1 = Y B2 = 1 - Y

A1 -2 4

A2 8 3

A3 9 0

A1 → 2Y + 4 (1-Y) = 2Y + 4 – 4Y = -2Y + 4

A2 → 8Y + 3 (1-Y) = 8Y + 3 – 3Y = 5Y + 3

A3 → 9Y + 0 (1-Y) = 9Y + 0 = 9Y

(-6Y + 4) ; (5Y + 3) ; (9Y)

115

A

B

A-2 4 8 3 9 0

A

B

9

8 8

6 6

4 4

2 2

0 0

-2 -2

Titik minimax pada strategi 1 dan 2

(-6Y + 4, (5Y + 3)

-6Y + 4 = 5Y + 3

-6Y – 5Y = 3 -4

-11Y = -1

Y = 1/11(B1)

B2 = 1 – Y = 1 – 1/11 = 10/11

EV= -6Y – 4

= -6 (1/11) + 4

= -6/11 + 4

= -0,55 + 4

= 3,45

atau

EV= 5Y + 3

= 5 (1/11) + 3

116

Titik minimax

Titik perpotongan terendah (itik V) nilai permainan. V = 3,5

Strategi 1 Strategi 2

Strategi 2

Strategi 3

Strategi 1

= 5/11 + 3

= 0,45 + 3

= 3,45

117