MODUL

TEORI PERMAINAN

IMAM PRIHATNO (1137010027)

MATEMATIKA 2013 A

JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SUNAN GUNUNG

DJATI

BANDUNG

2015

i

|

KATA PENGANTAR

Alhamdulillah puji dan syukur selalu saya panjatkan kepada

Allah SWT., yang telah melimpahkan berkah dan karunianya.

Tidak lupa shalawat serta salam selalu terlimpah curahkan kepada

junjungan Nabi besar kita, Muhammad SAW., kepada

keluarganya, sahabatnya, beserta para tabiin-tabiinya.

Modul ini dibuat untuk menyeslesaikan tugas Pengantar Riset

Operasi mengenai Toeri Permainan. Adapun Materi-materi

diambil dari hasil pembelajaran penulis terhadap referensi-

referensi yang penulis dapatkan, baik berupa buku pembelajaran,

internet, dan sumber-sumber lainnya.

Penulis sadari bahwa masih modul yang dibuat masih jauh

dari sempurna. Maka penyusunan ini dibuat semata-mata untuk

membagi ilmu yang penulis dapatkan kepada para pembaca. Serta

saya ucapkan terima kasih kepada teman-teman yang telah

membantu dalam proses pembuatan modul ini dan penulis

harapkan modul yang dibuat ini bias membantu pembaca dalam

pembelajaran yang berkenaan.

Bandung, 24 Agustus 2015

Penulis

ii

|

DAFTAR ISI

KATA PENGANTAR....................................................................i

DAFTAR ISI.................................................................................ii

A. Standar Kompetensi...........................................................1

B. Uraian Materi.....................................................................1

1. TEORI PERMAINAN.................................................1

1.1...................................................... PURE STRATEGY

9

1.2................................................... MIXED STRATEGY

12

1.2.1. METODA ANALITIS....................................13

1.2.2. METODA GRAFIK........................................15

1.2.3. METODA PEMROGRAMAN

LINIER............................................................19

C. Rangkuman......................................................................25

D. Suggested Reading...........................................................26

E. Latihan.............................................................................27

DAFTAR ISTILAH.....................................................................iii

iii

|

1

|

A. Standar Kompetensi

1. Mahasiswa mampu mengetahui konsep dari teori

permainan.

2. Mahasiswa mampu mengetahui kasus-kasus dalam

teori permainan berdasarkan identifikasinya.

3. Mahasiswa mampu mengetahui konsep penyelesaian

dari metoda teori permainan.

B. Uraian Materi

1. TEORI PERMAINAN

Kehidupan penuh dengan berbagai konflik dan persaingan.

Banyak contoh yang melibatkan lawan dalam suatu konflik

termasuk pertempuran militer, kampanye politik, iklan dan

kampanye pemasaran oleh sebuah perusahaan bisnis yang sedang

bersaing, dan lain sebagainya. Fitur dasar dalam berbagai situasi

tersebut adalah bahwa hasil akhir akan tergantung terutama pada

kombinasi strategi yang dipilih oleh lawan. Teori permainan

merupakan suatu teori matematika yang berhubungan dengan

fitur umum dari situasi yang kompetitif seperti siatuasi-situasi ini

dalam bentuk formal, jalan yang abstrak. Hal ini menempatkan

penekanan khusus pada proses pengambilan keputusan dari

lawan.

Teori permainan adalah suatu pendekatan matematis untuk

merumuskan situasi persaingan dan konflik antara berbagai

kepentingan.

2

|

Dalam teori permainan dilibatkan dua atau lebih pengambil

keputusan atau yang biasa disebut pemain. Setiap pemain dalam

teori permainan mempunyai keinginan utntuk menang.

Kasus-kasus dalam teori permainan, sebelum diselesaikan

dengan menggunakan salah satu metoda teori permainan,

diidentifikasi terlebih dahulu berdasarkan:

Jumlah pemain.

Jumlah keuntungan dan kerugian atau yang biasa disebut

dengan nilai permainan.

Jenis strategi yang digunakan.

Berdasarkan jumlah pemain ada dua jenis permainan yang

dikenal, yaitu two-person games dan N-person games. Jumlah

pemain yang terlibat dalam two-person games adalah dua

pemain, dan dalam N-person games adalah lebih dari dua

pemain.

Sedangkan berdasarkan jumlah keuntungan dan kerugian

dikenal dua jenis permainan, yaitu zero-sum games dan non

zero-sum games. Nilai permainan dalam zero-sum games adalah

nol, sedangkan dalam non zero-sum games nilai permainannya

tidak sama dengan nol. Yang akan kita bahas di sini adalah jenis

two-person zero-sum games.

Ada dua strategi permainan yang biasa digunakan, yaitu

Pure Strategy dan Mixed Strategy.

3

|

Asumsi dalam teori permainan, yaitu:

Matriks pay-off (hasil permainan dengan menggunakan

kombinasi berbagai strategi) harus diketahui oleh setiap pemain,

strategi permainan tidak dapat dirusak oleh pesaing/faktor lain.

Matriks Pembayaran (pay-off matrix)

Matriks pembayaran (pay off matrix) adalah suatu tabel

berbentuk segi empat dengan elemen-elemennya yang merupakan

besarnya nilai pembayaran yang bersesuaian dengan strategi yang

digunakan oleh kedua pihak.

Dari matriks pembayaran yang tersedia akan terlihat bahwa

kedua pihak (pemain) yang saling bersaing dapat menentukan

strategi optimum dan nilai permainannya.

Strategi optimum adalah strategi yang menjadikan seorang

pemain (pihak) berada dalam posisi pilihan terbaik, tanpa

memperhatikan langkah-langkah pemain pesaingnya. Pengertian

posisi pilihan terbaik ini bahwa setiap penyimpangan dari

strategi ini akan mengakibatkan turunnya pembayaran (pay off).

Nilai permainan (value of the game) adalah rata-rata

pembayaran (ekspetasi perolehan) tiap permainan jika kedua

pihak (pemain) yang saling bersaing tersebut melakukan strategi

optimum (strategi yang terbaik) mereka. Dengan kata lain, nilai

permainan adalah suatu pembayaran yang bersesuaian dengan

strategi optimum yang dilakukan oleh kedua pemain tersebut.

4

|

Yang dimaksud dengan nilai di sini adalah nilai yang diperoleh

pihak (pemain) pertama pada akhir suatu permainan.

Berdasarkan nilai permainan, permainan dapat dibedakan

menjadi dua jenis, yaitu:

1. Permainan dikatakan adil (fair) jika nilai permainan sama

dengan nol.

2. Permainan dikatakan tidak adil (unfair) jika nilai

permainan tidak sama dengan nol.

Matriks pay-off two-person zero-sum games

Pemain Kedua (P2)

Pemain

Pertama

(P1)

i / j 1 2 3 … n

1 a11 a12 a13 … a1n

2 a21 a22 a23 … a2n

3 a31 a32 a33 … a3 n

… … … … … …

m am1 am2 am3 … amn

Keterangan:

m = adalah banyaknya strategi yang dimiliki P1.

n = adalah banyaknya strategi yang dimiliki P2.

a ij , i=1,2 ,… ,m dan j=1,2 ,…, n adalah nilai pembayaran

yang didefinisikan secara numerik (bilangan positif, negatif, atau

5

|

nol) yang bersesuaian dengan strategi ke i bagi pemain P1 dan

strategi ke j bagi pemain P2.

*Note: Pemain pertama P1 (pemain baris) merupakan pemain

yang berusaha memaksimumkan perolehan (pembayaran atau

keuntungan), sedangkan pemain kedua P2 (pemain kolom)

merupakan pemain yang berusaha meminimumkan pembayaran

(kerugian).

Matriks pay-off N-person zero-sum games

Untuk jumlah pemain n>2 dibentuk menjadi 2 kelompok

yang juga saling berhadapan (bersaing). Pengelompokan ini

dikenal dengan istilah koalisi.

Contoh kasus pada Matriks Pay-off N-person zero-sum

games. Misalkan A , B , dan C adalah pemain. A mempunyai 2

strategi, yaitu X1 dan X2. B mempunyai 2 strategi, yaitu Y 1 dan

Y 2. Dan C mempunyai 3 strategi, yaitu Z1 , Z2 , dan Z3.

Strategi Pay-off

A B C A B C

X1 Y 1 Z1 -3 2 1

X1 Y 1 Z2 4 -5 1

X1 Y 1 Z3 0 2 -2

X1 Y 2 Z1 -6 4 2

X1 Y 2 Z2 2 -4 2

X1 Y 2 Z3 4 0 -4

X2 Y 1 Z1 1 1 -2

6

|

X2 Y 1 Z2 -1 -2 3

X2 Y 1 Z3 2 1 -3

X2 Y 2 Z1 -3 -2 5

X2 Y 2 Z2 -1 1 0

X2 Y 2 Z3 4 -1 -3

Dengan jumlah pemain n=3, maka terdapat 3 koalisi yang

mungkin, yaitu A melawan B dan C; A dan B melawan C; B

melawan A dan C. Dengan demikian, ada 3 buah matriks pay-off

sesuai dengan koalisi tersebut.

Matriks pay-off untuk A melawan B dan C pemain A

dipandang sebagai pemain baris.

Pemain

A

Pemain B , C

i / j Y 1 , Z1 Y 1 , Z2 Y 1 , Z3 Y 1 , Z1 Y 1 , Z2 Y 1 , Z3

X1 -3 4 0 -6 2 4

X2 1 -1 2 -3 -1 4

Elemen-elemen dalam matriks pay-off tersebut dipandang

dari pemain A.

Kemudian buat matriks pay-off untuk memandang koalisi B

dan C sebagai pemain baris.

Pemain B , C Pemain A

7

|

i / j X1 X2

Y 1 , Z1 3 -1

Y 1 , Z2 -4 1

Y 1 , Z3 0 -2

Y 1 , Z1 6 3

Y 1 , Z2 -2 1

Y 1 , Z3 -4 -4

Dari kedua tabel di atas akan dihasilkan strategi optimal yang

sama pula.

Pada tabel pertama: a11=−3. Hal ini berarti bahwa jika

pemain A memilih strategi X1 dan pemain koalisi B ,C

memilih strategi Y 1 Z1, maka pemain A akan membayar

sebesar 3 kepada pemain koalisi. Dalam hal ini, pemain

koalisi menang.

Pada tabel kedua: a11=3. Hal ini berarti bahwa jika

pemain koalisi memilih strategi Y 1 Z1 dan pemain A

memilih strategi X1, maka pemain koalisi akan

memperoleh pembayaran sebesar 3. Dalam hal ini,

pemain koalisi menang.

Demikian juga dengan elemen-elemen lain. Jadi, penyajian

matriks pay-off bisa seperti pada tabel pertama atau kedua.

8

|

Kemudian buat juga matriks pay-off untuk pemain koalisi

A , B melawan C. Pemain koalisi dipandang sebagai pemain

baris.

Pemain A , B

PemainC

i / j Z1 Z2 Z3

X1 , Y 1 -1 -1 2

X1 , Y 2 -2 -2 4

X2 , Y 1 2 -3 3

X2 , Y 2 -5 0 3

Elemen a11=−1 diperoleh dari penjumlahan pay-off untuk

pemain A pemain B jika koalisi A , B memilih strategi X1 , Y 1 dan

pemain C memilih strategi Z1. Jadi a11=−3+2=−1. Demikian

juga untuk elemen-elemen lain.

a12=4−5=−1 a31=1+1=2

a13=0+2=2 a32=−1−2=−3

a21=−6+4=−2 a33=2+1=3

a22=2−4=−2 a41=−3−2=−5

a23=4+0=4 a42=−1+1=0

a43=4−1=3

Demikian juga untuk bentuk pasangan koalisi yang lain.

Dalam tabel soal terlihat bahwa jumlah pembayaran untuk semua

9

|

pemain dalam setiap kombinasi pamilihan strategi pada pemain

sama dengan nol.

1.1. PURE STRATEGY

Hasil yang optimal dari suatu permainan yang mempunyai

saddle point dapat diperoleh dengan mengunakan Pure Strategy.

Yang dimaksud dengan saddle point adalah semacam titik

keseimbangan antara nilai permainan kedua pemain.

Dalam Pure Strategy digunakan kriteria maksimin dan

minimaks. Maksimin adalah nilai maksimum dari nilai-nilai

minimum, dan Minimaks adalah nilai minimum dari nilai-nilai

maksimum.

Langkah-langkah penyelesaian dengan Pure Strategy:

a. Terjemahkan setiap kasus ke dalam bentuk matriks segi,

dimana satu pemain berperan sebagai pemain baris dan

yang lain berperan sebagai pemain kolom.

b. Pay-off benilai positif berarti keuntungan bagi pemain

baris.

c. Pay-off bernilai negatif berarti keuntungan bagi pemain

kolom.

d. Tentukan nilai minimium setiap baris.

e. Tentukan nilai maksimum dari langkah d (Maksimin).

f. Tentukan nilai maksimum dari setiap kolom.

g. Tentukan nilai minimum dari langkah f (Minimaks).

10

|

Jika Minimaks = Maksimin ===> Terdapat Sebuah Saddle Point

# Contoh

Tentukan saddle point dari permainan dengan matriks pay-

off berikut:

II

1 2 3

I

1 -3 -2 6

2 2 0 2

3 5 -2 -4

Berdasarkan kriteria maksimin untuk pemain baris:

Nilai minimum pada baris 1: -3

baris 2: 0

baris 3: -4

Nilai maksimum dari (-3, 0, -4) adalah 0, jadi nilai

maksiminnya = 0

Berdasarkan kriteria minimaks untuk pemain kolom:

Nilai maksimum pada kolom 1: 5

kolom 2: 0

kolom 3: 6

Nilai minimum dari (5, 0, 6) adalah 0, jadi nilai minimaksnya

= 0.

11

|

Karena nilai maksimin = minimaks ===> terdapat saddle

point, yaitu nilai maksimin atau minimaks = 0.

Bias juga dilakukan penyederhanaan matriks pay-off terlebih

dahulu dengan berdasarkan pada kriteria Superioritas, baru

kemudian dianalisa dengan menggunakan minimaks dan

maksimin.

Apakah kriteria superioritas itu?

Superioritas adalah suatu kriteria penghilangan suatu kolom

atau baris dari suatu matriks pay-off sehingga menjadi sederhana

berdasarkan pada pendominasian suatu baris/kolom oleh

baris/kolom lainnya.

Untuk pemain baris ==> Jika pay-off dari satu strategi >

strategi lain.

Untuk pemain kolom ==> Jika pay-off dari satu strategi <

strategi lain.

# Contoh

Sederhanakan matriks pay-off permainan berikut dengan

menggunakan kriteria Superioritas.

II

1 2 3

I

1 1 2 4

2 1 0 5

3 0 1 -1

12

|

Pertama lakukan langkah pemeriksaan antar baris; apakah

ada satu baris yang mendominasi baris lainnya. Ternyata ada,

yaitu baris 1 mendominasi baris 3, sehingga baris 3 dapat

dihilangkan, dan akan diperoleh matriks pay-off sebagai berikut:

II

1 2 3

I1 1 2 4

2 1 0 5

Bila diperhatikan kembali matriks pay-off baris di atas,

ternyata kolom 2 dan kolom 1 didominasi kolom 3, sehingga

kolom 3 dapat dihilangkan, dan akan diperoleh matriks pay-off

berikut:

II

1 2

I1 1 2

2 1 0

1.2. MIXED STRATEGY

Mixed Strategy digunakan untuk mencari solusi optimal dari

kasus teori permainan yang tidak mempunyai saddle point.

Beberapa metoda yang digunakan dalam Mixed Strategy

adalah:

Metoda Analitis.

13

|

Metoda Grafik.

Metoda Pemrograman Linier.

1.2.1. METODA ANALITIS

Metoda ini efektif digunakan untuk menyelesaikan kasus

yang sederhana. Rumus untuk mencari solusi yang optimal

adalah:

Untuk pemain baris:

mMaks

X i

{Min(∑i=1

m

ai 1 X i ,∑i=1

m

ai 2 X i , …,∑i=1

m

a¿ X i)}a¿= pay-off untuk strategi pemain baris ke-i dan strategi pemain

kolom ke-n.

X i= Peluang strategi ke-i dari pemain baris.

Untuk pemain kolom:

MinY j

{Maks(∑j=1

n

a1 j Y j ,∑j=1

n

a2 j Y j ,…,∑j=1

n

amj Y j)}amj= pay-off untuk strategi pemain baris ke-m dan strategi pemain

kolom ke-j.

Y j= peluang strategi ke-j dari pemain kolom.

Berdasarkan teori probabilitas:

14

|

∑i=1

m

X i=∑j=1

n

Y j=1

X i ≥ 0 ,Y j ≥0 untuk semua i dan j.

# Contoh

Tentukan nilai permainan dari masalah permainan yang

mempunyai matiks pay-off berikut:

Pemain 2

1 2

Pemain 11 2 3

2 4 1

Untuk menyelesaikan persoalan tersebut kita periksa terlebih

dahulu apakah malasah tersebut mempunyai saddle point.

Ternyata tidak ada saddle point-nya, sehingga masalah

permainan ini harus diselesaikan dengan menggunakan Mixed

Strategy, dan karena matriks pay-off-nya hanya berukuran 2 x 2,

maka dapat diselesaikan dengan menggunakan metoda analitis.

Berikut adalah cara penyelesaiannya (berdasarkan pada pemain

baris).

Expected pay-off (pay-off yang diharapkan):

2 X1+4 X2............................(1)

3 X1+X2..............................(2)

X1+ X2=1............................(3)

Pers. (3) Pers. (1) dan (2)

15

|

2+2 X2.................................(4)

3−2 X2................................(5)

Karena permainan stabil (optimal) yang diinginkan, maka:

2+2 X2=3−2 X2

4 X2=1

X2=14

1.2.2. METODA GRAFIK

Metoda grafik dapat digunakan untuk menyelesaikan

masalah permainan yang mempunyai matriks pay-off berukuran 2

x n atau n x 2. Penyelesaian dengan menggunakan metoda grafik

ini diawali dengan melihat nilai pay-off yang diharapkan untuk

setiap strategi murni yang digunakan oleh lawan. Dimana pada

masalah ini nilai pay-off yang diharapkan ditentukan oleh

peluang pengunaan setiap strategi. Untuk lebih jelasnya,

perhatikan pembahasan beikut.

Permainan 2 x n

Bila matriks suatu permainan berukuran 2 x n, maka

permainan tersebut dapat diselesaikan dengan metoda grafik

didasarkan pad acara penyelesaian berikut:

16

|

Bila X1 adalah peluang penggunaan strategi 1 dan X2

adalah peluang penggunaan strategi 2 oleh pemain baris,

maka X1+ X2=1.

Nilai pay-off yang diharapakan bagi pemain baris dapat

diketahui untuk setiap strategi murni yang digunakan oleh

pemain kolom dengan didasarkan pada peluang

penggunaan setiap strateginya tersebut (X1 dan X2).

Dilakukan pembuatan grafik hubungan nilai pay-off yang

diharapkan bagi pemain baris pada setiap peluang untuk

setiap strategi murni pemain kolom.

Berdasarkan kriteria maksimin dapat ditentukan peluang

penggunaan setiap strategi pemain baris dan nilai

permainannya.

Permainan 2 x n

Bila matriks suatu permainan berukuran m x 2, maka

permainan tersebut dapat diselesaikan dengan metoda grafik

didasarkan pada cara penyelesaian berikut:

Bila Y 1 adalah peluang penggunaan strategi 1 dan Y 2

adalah peluang penggunaan strategi 2 oleh pemain kolom,

maka Y 1+Y 2=1.

Nilai pay-off yang diharapkan bagi pemain kolom dapat

diketahui untuk setiap strategi murni yang digunakan oleh

pemain baris dengan didasarkan pada peluang

penggunaan setiap strateginya tersebut (Y 1 dan Y 2).

17

|

Dilakukan pembuatan grafik hubungan nilai pay-off yang

diharapkan bagi pemain kolom pada setiap peluang untuk

setiap strategi murni pemain baris.

Berdasarkan kriteria minimaks dapat ditentukan peluang

penggunaan setiap strategi pemain kolom dan nilai

permainannya.

# Contoh

Berapa nilai permainan dari permainan yang mempunyai

matriks pay-off berikut:

1 2 3 4

1 2 2 3 -1

2 4 2 2 6

Karena matriks pay-off dari permainan di atas berukuran 2 x

4, maka nilai permainan tersebut dapat dicari dengan

menggunakan metoda grafik. Pertama ditentukan nilai pay-off

yang diharapkan (expected pay-off) pada pemain baris untuk

setiap strategi murni yang digunakan oleh pemain kolom.

Strategi murni Expected pay-off

1 −2 X1+4

2 −X1+3

3 X1+2

4 −7 X1+6

18

|

Setiap expected pay-off utnuk setiap strategi murni, dibuat

grafiknya yang merupakan hubungan peluang dan nilai pay-off-

nya. Sumbu X pada grafik merupakan nilai peluang penggunaan

strategi dan sumbu Y merupakan nilai pay-off-nya. Karena

peluang hanya mempunyai kisaran nilai antara 0 hingga 1, maka

kisaran nilai pada sumbu X adalah 0 hinggan 1. Kemudian nilai

pay-off dapat dibuat grafiknya dengan mencari nilai pay-off pada

nilai peluang 0 dan 1, hingga diperoleh bentuk grafik seperti pada

Gambar 1.1.

Gambar 1.1

Karena perhitungan didasarkan pada pemain baris, maka

digunakan kriteria maksimin, dan diperoleh nilai permainan

untuk suatu permainan yang stabil adalah nilai pada titik C.

Peluang penggunaan strategi 1 dapat diketahui dengan

menarik garis dari titik C ke sumbu X . Dari sini diperoleh nilai

19

|

X1; dan nilai X2 dapat diperoleh dari persamaan X1+ X2=1.

Sedangkan nilai permainan dapat dihitung dengan memasukan

nilai X1 ke salah satu persamaan yang melalui titik C.

Berdasarkan pada perhitungan tersebut, maka untuk masalah

di atas diperoleh nilai X1=12

, X2=12

dan nilai permainan (

V ¿=2∙12

.

1.2.3. METODA PEMROGRAMAN LINIER

Metoda pemrograman linier yang dimaksud di sini adalah

merumuskan masalah permainan (teori permainan) ke bentuk

masalah pemrograman linier dan menyelesaikannya dengan

menggunakan metoda simpleks.

Dasar perumusannya adalah sebagai berikut.

Untuk pemain baris:

MaksX i

{Min(∑i=1

m

ai 1 X i ,∑i=1

m

ai 2 X i , …,∑i=1

m

a¿ X i)}

∑i=1

m

X i=1 dan X i ≥ 0 ,i=1,2, …, m

V (nilai permainan) adalah:

Min(∑i=1

m

ai 1 X i ,∑i=1

m

ai 2 X i , …,∑i=1

m

a¿ X i)

20

|

Pada model pemrograman linier kita kenal adanya fungsi

obyektif dan kendala. Untuk masalah permainan ini dasar fungsi

obyektif dan kendalanya adalah:

Fungsi obyektif:

Memaksimumkan nilai permainan terhadap kendala:

Solusi optimal untuk pemain baris sehingga akan diperoleh

model matematis sebagai berikut:

Fungsi obyektif:

Maksimumkan Z=V

terhadap kendala:

∑i=1

m

aij X i≥ V , j=1,2 , …, n

dimana

∑i=1

m

X i=1 dan X i ≥ 0 untuk semua i.

Pada kendala diberikan tanda ≥ karena pemain baris selalu

ingin mendapatkan nilai kemenangan yang lebih besar dari

kemungkinan-kemungkinan yang dapat diperoleh.

Bila dijabarkan lebih lanjut, maka model matematisnya menjadi:

Fungsi obyektif:

Maksimumkan Z=V

terhadap kendala:

21

|

a11 X1+a21 X2+…+am1 X m≥ V

a12 X1+a22 X2+…+am2 Xm ≥V⋮

a1n X1+a2n X 2+…+amn Xm ≥ V

X1 , X2 , …, Xm≥ 0

Agar pembatas tersebut mempunyai nilai kanan yang berupa

bilangan, bukan berupa variable, maka ruas kiri dan kanan dibagi

dengan V dan diasumsikan bahwa V >0, sehingga diperoleh

bentuk model matematis berikut:

Fungsi obyektif:

Maksimumkan Z=V

terhadap kendala:

a11 X1

V+

a21 X 2

V+…+

am1 X m

V≥1

a12 X1

V

+a22 X 2

V+…+

am2 X m

V≥1

⋮

a1n X1

V+

a2 n X2

V+…+

amn Xm

V≥ 1

X1

V,

X2

V, …,

Xm

V≥ 0

22

|

Bila dimisalkan X i

V=x i dan karena ∑

i=1

m

X i=1, maka akan

diperoleh model matematis berikut:

Fungsi obyektif

Minimumkan Z=x1+x2+…+xm

terhadap kendala:

a11 x1+a21 x2+…+am1 xm≥ 1

a12 x1+a22 x2+…+am2 xm ≥1⋮

a1n x1+a2 n x2+…+amn xm ≥ 1

x1 , x2 ,…, xm ≥0

Untuk pemain kolom:

Dengan cara penurunan yang sama dengan pemain baris,

maka untuk pemain kolom akan diperoleh bentuk model

matematis sebagai berikut:

Fungsi obyektif:

Maksimumkan W = y1+ y2+…+ yn

terhadap kendala:

a11 y1+a12 y2+…+a1 nn≤ 1

a12 y1+a22 y2+…+a2 n yn≤ 1⋮

23

|

am1 y1+am2 y2+…+amn y n≤ 1

y1 , y2 , …, yn≥ 0

Masalah permainan yang telah diubah ke bentuk model

matematis seperti di atas dapat langsung dicari silusinya dengan

menggunakan metoda simpleks.

Tentukan nilai permainan dari masalah permainan yang

mempunyai matriks pay-off berikut:

Pemain 2

1 2 3

Pemain 1

1 4 2 -3

2 -1 0 3

3 2 3 -2

Karena permainan tersebut tidak mempunyai saddle point,

maka harus diselesaikan dengan menggunakan metoda

pemrograman linier. Berikut adalah cara penyelesaiannya

(berdasarkan pada kriteria kolom).

Bila diperiksa berdasarkan kriteria minimaks akan diperoleh

nilai 3 dan dengan kriteria maksimin -1, sehingga nilai permainan

optimal akan berkisar antara -1 hingga 3. Karena nilai permainan

mungkin bernilai negative, sedangakan diasumsikan V >0, maka

perlu ditambahkan suatu konstanta untuk memenuhi asumsi

24

|

tersebut, yaitu sebesar 3, sehingga matriks pay-off berubah

menjadi:

Pemain 2

1 2 3

Pemain 1

1 7 5 0

2 2 3 5

3 5 6 1

Model matematis:

Maksimumkan W = y1+ y2+ y3

terhadap kendala:

7 y1+5 y2≤ 1

2 y1+3 y2+6 y3 ≤ 1

5 y1+6 y2+ y3≤ 1

y1 , y2 , y3≥ 0

bentuk baku untuk simpleks:

Maksimumkan W = y1+ y2+ y3+0 S1+0 S2+0 S3

terhadap kendala:

7 y1+5 y2+S1+0 S2+0S3=1

2 y1+3 y2+6 y3+0 S1+S2+0 S3=1

5 y1+6 y2+ y3+0 S1+0 S2+S3=1

25

|

y1 , y2 , y3 , S1 , S2 , S3 ≥ 0

Tabulasi awalnya:

CB Cj

Basis

1 1 1 0 0 0RK θ

y1 y2 y3 S1 S1 S3

0 S1 7 5 0 1 0 0 1

0 S1 2 3 6 0 1 0 1

0 S3 5 6 1 0 0 1 1

CD j 1 1 1 0 0 0 W =0

Selanjutnya tinggal menyelesaikan dengan metoda simpleks

hingga diperoleh solusi optimal. Perlu diingat bahwa permainan

yang diperoleh adalah nilai yang telah ditambah dengan

konstantan 3 tadi, sehingga nilai permainan yang sebenarnya

harus dikurangkan terlebih dahulu dengan nilai konstanta

tersebut. Perlu juga diingat bahwa nilai y j bukanlah nilai

pengunaan strategi ke j, tetapi nilai Y j -lah yang merupakan nilai

peluang tersebut; sehingga untuk mengetahui nilai peluang

(Y ¿¿ j)¿, nilai y j harus dibagi dengan nilai permainan (V ) untuk

mendapatkan nilai peluang yang dimaksud.

C. Rangkuman

Teori permainan adalah suatu pendekatan matematis

untuk situasi persaingan dan konflik antara berbagai

kepentingan.

Metoda teori permainan didasarkan pada jumlah pemain,

jumlah keuntungan dan kerugian yang bisa disebut

26

|

dengan nilai permainan, dan jenis strategi yang

digunakan.

Berdasarkan jumlah pemain yaitu two-person games dan

N-person games.

Berdasarkan jumlah keuntungan dan kerugian, yaitu zero-

sum games dan non zero-sum games.

Berdasarkan jenis strategi yang digunakan, yaitu pure

strategy dan mixed strategy.

Superioritas adalah suatu kriteria penghilangan suatu

kolom atau baris dari matriks pay-off sehingga menjadi

lebih sederhana berdasarkan pada pendominasian suatu

baris/kolom oleh baris.kolom lainnya.

Pure strategy menggunakan kriteria maksimin dan

minimaks.

Mixed strategy menggunakan beberapa metoda, yakni

metoda analitis, metoda grafik, dan metoda pemrograman

linier.

D. Suggested Reading

1. Sudrajat. 2008. Pendahuluan Penelitian Operasional

Modul I. FMIPA UNPAD. Bandung: tidak diterbitkan.

2. Ayu, Media Anugerah. 1993. Pengantar Riset

Operasional Seri Diktat Kuliah. Jakarta: Universitas

Gunadarma.

3. Hillier, Federick S, Gerald J. Lieberman. 2001.

Introduction to Operations Research 7th ed. Boston:

McGraw-Hill.

27

|

4. Kurdhi, Nughthoh Arfawi. Riset Operasi Probabilistik

Teori Permainan (Game Teory). Jurusan Matematika

FMIPA UNS.

E. Latihan

1. Cari nila saddle point dari permainan yang mempunyai

matriks payy-off berikut:

a.

II

1 2 3

I

1 1 -1 1

2 -2 0 3

3 3 1 2

b.

28

|

II

1 2 3 4

I

1 3 -3 -2 -4

2 -4 -2 -1 1

3 1 -1 2 0

c.

II

1 2 3

I

1 2 3 1

2 1 4 0

3 3 -2 -1

2. Selesaikan permainan yang mempunyai matriks pay-off

berikut dengan menggunakan mixed strategy berdasarkan

kriteria maksimin (pemain baris).

II

1 2

I1 3 -2

2 -1 2

3. Selesaikan permainan yang mempunyai matriks pay-off

berikut dengan menggunakan mixed strategy berdasarkan

kriteria minimaks (pemain kolom).

29

|

a.

II

1 2 3

I

1 1 -1 3

2 0 4 1

3 3 -2 5

4 -3 6 -2

b.

II

1 2 3 4

I

1 5 0 3 1

2 2 4 3 2

3 3 2 0 4

c.

II

1 2 3 4

I 1 1 -3 2 -2

2 2 3 0 3

30

|

3 0 4 -1 -3

4 -4 0 -2 2

DAFTAR ISTILAH

Teori permainan = adalah teori matematika yang berhubungan

dengan fitur umum situasi kompetitif seperti ini dalam cara yang

abstrak formal.

Two-person games = jenis permainan dalam teori permainan

dengan berdasarkan jumlah pemain sebanyak 2 pemain.

N-person games = jenis permainan dalam teori permainan

dengan berdasarkan jumlah pemain sebanyak lebih dari 2 pemain.

Zero-sum games = jenis permainan dalam teori permainan

dengan berdasarkan nilai permainan sama dengan nol.

Non zero-sum games = jenis permainan dalam teori permainan

dengan berdasarkan nilai permainan tidak sama dengan nol.

31

|

Pure strategy = strategi di mana setiap pemainannya hanya

mempunyai tepat satu strategi atau langkah yang terbaik.

Mixed strategy = strategi dengan setiap pemain menggunakan

distribusi probabilitas dalam memilih strateginya.

Saddle point = titik keseimbangan antara nilai permainan kedua

pemain.

Maksimin = nilai maksimum dari nilai-nilai minimum setiap

baris.

Minimaks = nilai minimum dari nilai-nilai maksimum setiap

kolom.

Superioritas = suatu kriteria penghilangan suatu kolom atau

baris dari suatu matriks pay-off sehingga menjadi sederhana

berdasarkan pada pendominasian suatu baris/kolom oleh

baris/kolo