Teoria de camps

1

TEORIA DE CAMPS

1. Camp escalar És una funció que associa a cada punt de l’espai un valor escalar que és independent de l’orientació o rotació del sistema inercial de l’observador.

( , , )U U x y z= Exemples: pressió atmosfèrica, temperatura, etc.

Superfícies equiescalars: lloc geomètric dels punts de l’espai on el camp escalar pren el mateix valor

( , , )U x y z cte= 2. Gradient d’un camp escalar Considerem un camp escalar ( , , )U U x y z= , i volem calcular la variació que experimenta el valor del camp en passar d’un punt ( , , )P x y z a un altre ( , , )Q x dx y dy z dz+ + +

separats per un ˆˆ ˆd dxi dy j dz k= + +

: U U UdU dx dy dzx y z

∂ ∂ ∂= + +∂ ∂ ∂

Podem expressar aquesta variació com el producte escalar de dos vectors: graddU U d= ⋅

on grad U

és un vector que s’escriu com:

ˆˆ ˆgrad U U UU i j kx y z

∂ ∂ ∂= + +∂ ∂ ∂

Operador nabla:

és un operador que, en coordenades cartesianes, s’escriu com:

ˆˆ ˆi j kx y z∂ ∂ ∂

∇ = + +∂ ∂ ∂

Introduint l’operador nabla, podem escriure el gradient com:

grad U U=∇

i, per tant, la variació del camp escalar com:

dU U d=∇ ⋅

Teoria de camps

2

El gradient es perpendicular a les superfícies equiescalars

Considerem que els dos punts P i Q, units pel vector d

, estan sobre una mateixa superfície equiescalar. La variació, dU , del camp en passar de P a Q serà nul·la:

00

0dU

U ddU U d≠

∇ ≠

∇= ⊥∇ ⋅ = ⇒

Com d

està contingut a la superfície, U∇

serà perpendicular a ella.

El gradient està dirigit cap als valors creixents del camp Considerem una superfície equiescalar i el punt P sobre ella. Situem ara el punt Q sobre la normal al punt P, pel costat on creix el valor del camp. La variació, dU , en passar de P a Q serà positiva:

cos 0 0dU U d U d α α=∇ ⋅ = ∇ > =⇒

donat que ara U∇

i d

són paral·lels i el seu producte escalar positiu.

El gradient en un punt ens indica la direcció i sentit en la qual el camp escalar presenta la màxima variació

Considerem un punt P qualsevol i la superfície equipotencial en la qual està situat. Si volem que la variació del camp escalar sigui màxima, per un desplaçament d

qualsevol: cosdU U d U d α=∇ ⋅ = ∇

s’ha de complir que 0α = , que és precisament la direcció del vector gradient.

3. Camp vectorial És una funció que associa a cada punt de l’espai un vector (mòdul, direcció i sentit).

ˆˆ ˆ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )x y zA x y z A x y z i A x y z j A x y z k= + +

Exemples: camp gravitatori terrestre, velocitats en un fluid, etc.

Teoria de camps

3

Línies de camp: són corbes tangents al vector camp a cadascun dels seus punts

ˆˆ ˆ

ˆˆ ˆ x yy z zx

d dxi dy j dz kA d

A A i A j Adx dy dzAk A A

= + + → →= + +

= =

4. Circulació d’un camp vectorial Donat un camp vectorial, A( x,y,z )

, definim la circulació del camp entre els punts M i N al llarg de la corba C, com:

N

M ( C )

C A d= ⋅∫

5. Rotacional d’un camp vectorial Considerem una petita superfície S∆ , situada a una zona de l'espai on existeix un camp vectorial A( x,y,z )

, i calculem la circulació del camp a través del contorn de la superfície:

C

C A d= ⋅∫

Definirem el rotacional del camp A

com la circulació, C , dividida per S∆ , quan aquesta superfície tendeix a zero:

0rot lim C

S

A dˆA n

S∆ →

⋅=

∆

∫

on n̂ és el vector unitari normal a la superfície S∆ . Per relacionar el rotacional amb les derivades espacials, considerem una petita superfície rectangular S x y∆ = ∆ ∆ ,

situada al pla xy i amb vector normal ˆn̂ k= . Calculem la circulació al llarg del contorn d'aquesta superfície:

yxx x y y

y x

AAC A x A y x A y A x yy x

A AC x yx y

∂ ∂∆ = ∆ − + ∆ ∆ − ∆ + + ∆ ∆ ∂ ∂

∂ ∂∆ = − ∆ ∆ ∂ ∂

Teoria de camps

4

Com un rotacional és una circulació per unitat de superfície, podem concloure que:

rot y xA A ˆA kx y

∂ ∂= − ∂ ∂

Si imaginéssim petites superfícies situades als plans yz i xz , obtindríem resultats semblants:

rot yz AA ˆA iy z

∂ ∂= − ∂ ∂

rot x zA A ˆA jz x

∂ ∂ = − ∂ ∂

Per tant, si considerem una superfície més general situada amb una orientació qualsevol a l'espai cartesià, el rotacional del camp A

al llarg del contorn d'aquesta superfície serà:

rot y yz x z xA AA A A A ˆˆ ˆA i j ky z z x x y

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = − + − + − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

El rotacional es pot escriure de manera senzilla utilitzant l'operador nabla,∇

. Segons l'equació anterior veiem que el rotacional d' A

és el producte vectorial de ∇

per A

:

rot

x y z

ˆˆ ˆi j k

A Ax y z

A A A

∂ ∂ ∂= ∇× =

∂ ∂ ∂

Teorema de Stokes

C S

A d A ds⋅ = ∇× ⋅∫ ∫

on S és la superfície encerclada per la corba tancada C

Camp irrotacional o conservatiu

Direm que un camp A

és irrotacional o conservatiu quan compleix, per a qualsevol punt de l’espai:

0A∇× =

Segons el teorema de Stokes també complirà que:

0C

A d⋅ =∫

per a qualsevol corba tancada C

Teoria de camps

5

6. Flux d’un camp vectorial Considerem un camp vectorial A

, i una superfície S que podem considerar dividida en elements infinitesimals de superfície ˆds ds n=

.

Definirem el flux elemental d' A

a través de ds , com: d A ds AdscosθΦ = ⋅ =

• si 0 0 02

cos dπθ θ≤ < → > → Φ > , direm que el flux està sortint de ds

• si 0 02

cos dπ θ π θ< ≤ → < → Φ < , direm que el flux està entrant a ds

Si sumem tots els dΦ corresponents als ds que formen la superfície S , obtindrem el flux d' A

a través de S , com:

S S

A ds AdscosθΦ = ⋅ =∫ ∫

El flux total a través de S serà entrant o sortint depenent del balanç entre els signes dels flux elementals a través de cada ds de la superfície. 7. Divergència d’un camp vectorial Considerem un petit volum v∆ , situat a una zona de l'espai on existeix un camp vectorial A( x,y,z )

, i calculem el flux del camp a través de la superfície tancada que el delimita:

S

A dsΦ = ⋅∫

Definirem la divergència del camp A

com el flux, Φ , dividit per v∆ , quan aquest volum tendeix a zero:

0div lim S

v

A dsA

v∆ →

⋅=

∆

∫

La divergència representa, per tant, una mesura del flux per unitat de volum quan aquest volum és infinitament petit i podem associar-lo a un "punt" de l'espai. Si la divergència del camp és diferent de zero en un punt, vol dir que hi ha un flux net entrant o sortint d'aquest petit espai. En conseqüència, en aquest punt ha d'haver-hi una font o un pou de línies de camp, depèn del signe.

Teoria de camps

6

Per relacionar la divergència amb les derivades espacials, considerem un petit volum cúbic

v x y z∆ = ∆ ∆ ∆ , i calculem el flux a través de les sis cares del cub. El flux net a través de les dues cares perpendiculars a l'eix y serà:

y yy y y

A AA y x z A x z x y z

y y∂ ∂

∆Φ = + ∆ ∆ ∆ − ∆ ∆ = ∆ ∆ ∆ ∂ ∂

Si repetim el mateix procediment per a les cares perpendiculars als eixos x i z , obtindrem el flux net sortint a través de la superfície tancada que envolta el volum:

yx zAA A x y zx y z

∂ ∂ ∂∆Φ = + + ∆ ∆ ∆ ∂ ∂ ∂

Com una divergència és un flux per unitat de volum, podem concloure que:

div yx zAA AAx y z

∂∂ ∂= + +∂ ∂ ∂

La divergència es pot escriure de manera senzilla utilitzant l'operador nabla ,∇

. Segons l'equació anterior veiem que la divergència d’ A

és el producte escalar de ∇

per A

: div A A=∇ ⋅

Teorema de la divergència:

S v

A ds Adv⋅ = ∇ ⋅∫ ∫

on v és el volum interior a la superfície tancada S

Camp solenoidal

Direm que un camp A

és solenoidal quan compleix, per a qualsevol punt de l’espai:

0A∇ ⋅ =

Segons el teorema de la divergència també es complirà:

0S

A ds⋅ =∫

per a qualsevol superfície tancada S

Teoria de camps

7

8. Laplaciana d’un camp escalar Donat un camp escalar ( , , )U U x y z= , definim la laplaciana com la divergència del gradient del camp escalar:

2 2 22

2 2 2( ) U U UU Ux y z

∂ ∂ ∂∇ =∇ ⋅ ∇ = + +

∂ ∂ ∂

9. Sistemes de coordenades

Coordenades cartesianes ˆˆ ˆd dxi dy j dz k= + +

dv dxdy dz=

ˆˆ ˆU U UU i j kx y z

∂ ∂ ∂∇ = + +

∂ ∂ ∂

yx zAA AA

x y z∂∂ ∂

∇ ⋅ = + +∂ ∂ ∂

ˆˆ ˆy yz x z xA AA A A AA i j k

y z z x x y∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∇× = − + − + − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

2 2 22

2 2 2

U U UUx y z

∂ ∂ ∂∇ = + +

∂ ∂ ∂

Coordenades esfèriques ˆ ˆˆ sind dr r rd r dθ θ θ ϕ ϕ= + +

2 sindv r dr d dθ θ ϕ=

1 1ˆˆ ˆsin

U U UU rr r r

θ ϕθ θ ϕ

∂ ∂ ∂∇ = + +

∂ ∂ ∂

( ) ( )22

1 1 1sinsin sinr

AA r A A

r r r rϕ

θ θθ θ θ ϕ

∂∂ ∂∇ ⋅ = + +

∂ ∂ ∂

( ) ( ) ( )1 1 1 1ˆ ˆˆsinsin sin

r rA A AA A r r A r Ar r r r r

θϕ ϕ θθ θ ϕ

θ θ ϕ θ ϕ θ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∇× = − + − + − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

22 2

2 2 2 2 2

1 1 1sinsin sin

U U UU rr r r r r

θθ θ θ θ ϕ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∇ = + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

Teoria de camps

8

Coordenades cilíndriques ˆˆˆd dr r rd dz kϕ ϕ= + +

dv r dr d dzϕ=

1 ˆˆˆU U UU r kr r z

ϕϕ

∂ ∂ ∂∇ = + +

∂ ∂ ∂

( )1 1 zr

A AA r Ar r r z

ϕ

ϕ∂∂ ∂

∇ ⋅ = + +∂ ∂ ∂

( )1 1 ˆˆˆz r z rAA A A AA r rA k

r z z r r rϕ

ϕϕϕ ϕ

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∇× = − + − + − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

2 22

2 2 2

1 1U U UU rr r r r zϕ∂ ∂ ∂ ∂ ∇ = + + ∂ ∂ ∂ ∂

Teoria de camps

9

Exercici 1 Donat el vector posició respecte a l’origen, ˆˆ ˆr xi y j z k= + +

, demostreu que:

• ˆr r∇ =

• 2

ˆ1 rr r

∇ = −

• ( ) ( )1

2 2 2 2 2 2 2r r x y z x y z= = + + = + +

( ) ( )12 2 2 21ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 2 2

2r r r rr i j k x y z xi yj zk rx y z r

−∂ ∂ ∂∇ = + + = + + + + = =

∂ ∂ ∂

• ( )

( )1

2 2 2 2

2 2 2

1 1 x y zr x y z

−= = + +

+ +

( ) ( )32 2 2 2

3 2

1 1 1 1 ˆˆ ˆ

ˆ1 ˆˆ ˆ2 2 22

i j kr x r y r z r

r rx y z xi yj zkr r

−

∂ ∂ ∂ ∇ = + + = ∂ ∂ ∂

− + + + + = − = −

Teoria de camps

10

Exercici 2 Donat el camp vectorial 2 2 2 2ˆ ˆ( ) ( )A x y i y z j= + + +

, calculeu:

• A∇ ⋅

• A∇×

• 2 2yx zAA AA x yx y z

∂∂ ∂∇ ⋅ = + + = +

∂ ∂ ∂

•

( ) ( ) ( )

ˆˆ ˆ

ˆ ˆˆ ˆ ˆ0 2 0 0 0 2 2 2

y yz x z xA AA A A AA i j ky z z x x y

z i j y k zi yk

∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∇× = − + − + − = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂

= − + − + − = − −

Teoria de camps

11

Exercici 3

Donat el camp vectorial, expressat en coordenades esfèriques (on k és una constant):

3 3

2 ˆˆcos sink kE rr r

θ θθ= +

• Demostreu que és irrotacional • Calculeu l’equació de les línies de camp

• Camp irrotacional :

3

2 cosrkE

rθ= ; 3 sinkE

rθ θ= ; 0Eϕ =

( ) ( )

( ) 3 3

1 1 1 ˆˆsinsin sin

1 1 2 2ˆ ˆsin sin 0

r

r

E EE E r rEr r r

E k krEr r r r r

θϕ ϕ

θ

θ θθ θ ϕ θ ϕ

ϕ θ θ ϕθ

∂ ∂ ∂ ∂∇× = − + − + ∂ ∂ ∂ ∂

∂ ∂ − = − + = ∂ ∂

0E∇× =

• Equació de les línies de camp:

ˆ ˆˆ sin

ˆ sinˆˆr

r

dl dr r r d r d EE EE dldr r d r dE E r E E

ϕθ

θ ϕ

θ θ θ ϕ ϕθ θθ ϕ

= + + → → = == + +

2cos sin 2cos

sindr d

dr rd rθ θ θ θ

θ θ= ⇒ =

( )ln 2ln sin lnr kθ= + ⇒ 2sinr k θ=