Teoria de camps
1
TEORIA DE CAMPS
1. Camp escalar És una funció que associa a cada punt de l’espai un valor escalar que és independent de l’orientació o rotació del sistema inercial de l’observador.
( , , )U U x y z= Exemples: pressió atmosfèrica, temperatura, etc.
Superfícies equiescalars: lloc geomètric dels punts de l’espai on el camp escalar pren el mateix valor
( , , )U x y z cte= 2. Gradient d’un camp escalar Considerem un camp escalar ( , , )U U x y z= , i volem calcular la variació que experimenta el valor del camp en passar d’un punt ( , , )P x y z a un altre ( , , )Q x dx y dy z dz+ + +
separats per un ˆˆ ˆd dxi dy j dz k= + +
: U U UdU dx dy dzx y z
∂ ∂ ∂= + +∂ ∂ ∂
Podem expressar aquesta variació com el producte escalar de dos vectors: graddU U d= ⋅
on grad U
és un vector que s’escriu com:
ˆˆ ˆgrad U U UU i j kx y z
∂ ∂ ∂= + +∂ ∂ ∂
Operador nabla:
és un operador que, en coordenades cartesianes, s’escriu com:
ˆˆ ˆi j kx y z∂ ∂ ∂
∇ = + +∂ ∂ ∂
Introduint l’operador nabla, podem escriure el gradient com:
grad U U=∇
i, per tant, la variació del camp escalar com:
dU U d=∇ ⋅
Teoria de camps
2
El gradient es perpendicular a les superfícies equiescalars
Considerem que els dos punts P i Q, units pel vector d
, estan sobre una mateixa superfície equiescalar. La variació, dU , del camp en passar de P a Q serà nul·la:
00
0dU
U ddU U d≠
∇ ≠
∇= ⊥∇ ⋅ = ⇒
Com d
està contingut a la superfície, U∇
serà perpendicular a ella.
El gradient està dirigit cap als valors creixents del camp Considerem una superfície equiescalar i el punt P sobre ella. Situem ara el punt Q sobre la normal al punt P, pel costat on creix el valor del camp. La variació, dU , en passar de P a Q serà positiva:
cos 0 0dU U d U d α α=∇ ⋅ = ∇ > =⇒
donat que ara U∇
i d
són paral·lels i el seu producte escalar positiu.
El gradient en un punt ens indica la direcció i sentit en la qual el camp escalar presenta la màxima variació
Considerem un punt P qualsevol i la superfície equipotencial en la qual està situat. Si volem que la variació del camp escalar sigui màxima, per un desplaçament d
qualsevol: cosdU U d U d α=∇ ⋅ = ∇
s’ha de complir que 0α = , que és precisament la direcció del vector gradient.
3. Camp vectorial És una funció que associa a cada punt de l’espai un vector (mòdul, direcció i sentit).
ˆˆ ˆ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )x y zA x y z A x y z i A x y z j A x y z k= + +
Exemples: camp gravitatori terrestre, velocitats en un fluid, etc.
Teoria de camps
3
Línies de camp: són corbes tangents al vector camp a cadascun dels seus punts
ˆˆ ˆ
ˆˆ ˆ x yy z zx
d dxi dy j dz kA d
A A i A j Adx dy dzAk A A
= + + → →= + +
= =
4. Circulació d’un camp vectorial Donat un camp vectorial, A( x,y,z )
, definim la circulació del camp entre els punts M i N al llarg de la corba C, com:
N
M ( C )
C A d= ⋅∫
5. Rotacional d’un camp vectorial Considerem una petita superfície S∆ , situada a una zona de l'espai on existeix un camp vectorial A( x,y,z )
, i calculem la circulació del camp a través del contorn de la superfície:
C
C A d= ⋅∫
Definirem el rotacional del camp A
com la circulació, C , dividida per S∆ , quan aquesta superfície tendeix a zero:
0rot lim C
S
A dˆA n
S∆ →
⋅=
∆
∫
on n̂ és el vector unitari normal a la superfície S∆ . Per relacionar el rotacional amb les derivades espacials, considerem una petita superfície rectangular S x y∆ = ∆ ∆ ,
situada al pla xy i amb vector normal ˆn̂ k= . Calculem la circulació al llarg del contorn d'aquesta superfície:
yxx x y y
y x
AAC A x A y x A y A x yy x
A AC x yx y
∂ ∂∆ = ∆ − + ∆ ∆ − ∆ + + ∆ ∆ ∂ ∂
∂ ∂∆ = − ∆ ∆ ∂ ∂
Teoria de camps
4
Com un rotacional és una circulació per unitat de superfície, podem concloure que:
rot y xA A ˆA kx y
∂ ∂= − ∂ ∂
Si imaginéssim petites superfícies situades als plans yz i xz , obtindríem resultats semblants:
rot yz AA ˆA iy z
∂ ∂= − ∂ ∂
rot x zA A ˆA jz x
∂ ∂ = − ∂ ∂
Per tant, si considerem una superfície més general situada amb una orientació qualsevol a l'espai cartesià, el rotacional del camp A
al llarg del contorn d'aquesta superfície serà:
rot y yz x z xA AA A A A ˆˆ ˆA i j ky z z x x y
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ = − + − + − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
El rotacional es pot escriure de manera senzilla utilitzant l'operador nabla,∇
. Segons l'equació anterior veiem que el rotacional d' A
és el producte vectorial de ∇
per A
:
rot
x y z
ˆˆ ˆi j k
A Ax y z
A A A
∂ ∂ ∂= ∇× =
∂ ∂ ∂
Teorema de Stokes
C S
A d A ds⋅ = ∇× ⋅∫ ∫
on S és la superfície encerclada per la corba tancada C
Camp irrotacional o conservatiu
Direm que un camp A
és irrotacional o conservatiu quan compleix, per a qualsevol punt de l’espai:
0A∇× =
Segons el teorema de Stokes també complirà que:
0C
A d⋅ =∫
per a qualsevol corba tancada C
Teoria de camps
5
6. Flux d’un camp vectorial Considerem un camp vectorial A
, i una superfície S que podem considerar dividida en elements infinitesimals de superfície ˆds ds n=
.
Definirem el flux elemental d' A
a través de ds , com: d A ds AdscosθΦ = ⋅ =
• si 0 0 02
cos dπθ θ≤ < → > → Φ > , direm que el flux està sortint de ds
• si 0 02
cos dπ θ π θ< ≤ → < → Φ < , direm que el flux està entrant a ds
Si sumem tots els dΦ corresponents als ds que formen la superfície S , obtindrem el flux d' A
a través de S , com:
S S
A ds AdscosθΦ = ⋅ =∫ ∫
El flux total a través de S serà entrant o sortint depenent del balanç entre els signes dels flux elementals a través de cada ds de la superfície. 7. Divergència d’un camp vectorial Considerem un petit volum v∆ , situat a una zona de l'espai on existeix un camp vectorial A( x,y,z )
, i calculem el flux del camp a través de la superfície tancada que el delimita:
S
A dsΦ = ⋅∫
Definirem la divergència del camp A
com el flux, Φ , dividit per v∆ , quan aquest volum tendeix a zero:
0div lim S
v
A dsA
v∆ →
⋅=
∆
∫
La divergència representa, per tant, una mesura del flux per unitat de volum quan aquest volum és infinitament petit i podem associar-lo a un "punt" de l'espai. Si la divergència del camp és diferent de zero en un punt, vol dir que hi ha un flux net entrant o sortint d'aquest petit espai. En conseqüència, en aquest punt ha d'haver-hi una font o un pou de línies de camp, depèn del signe.
Teoria de camps
6
Per relacionar la divergència amb les derivades espacials, considerem un petit volum cúbic
v x y z∆ = ∆ ∆ ∆ , i calculem el flux a través de les sis cares del cub. El flux net a través de les dues cares perpendiculars a l'eix y serà:
y yy y y
A AA y x z A x z x y z
y y∂ ∂
∆Φ = + ∆ ∆ ∆ − ∆ ∆ = ∆ ∆ ∆ ∂ ∂
Si repetim el mateix procediment per a les cares perpendiculars als eixos x i z , obtindrem el flux net sortint a través de la superfície tancada que envolta el volum:
yx zAA A x y zx y z
∂ ∂ ∂∆Φ = + + ∆ ∆ ∆ ∂ ∂ ∂
Com una divergència és un flux per unitat de volum, podem concloure que:
div yx zAA AAx y z
∂∂ ∂= + +∂ ∂ ∂
La divergència es pot escriure de manera senzilla utilitzant l'operador nabla ,∇
. Segons l'equació anterior veiem que la divergència d’ A
és el producte escalar de ∇
per A
: div A A=∇ ⋅
Teorema de la divergència:
S v
A ds Adv⋅ = ∇ ⋅∫ ∫
on v és el volum interior a la superfície tancada S
Camp solenoidal
Direm que un camp A
és solenoidal quan compleix, per a qualsevol punt de l’espai:
0A∇ ⋅ =
Segons el teorema de la divergència també es complirà:
0S
A ds⋅ =∫
per a qualsevol superfície tancada S
Teoria de camps
7
8. Laplaciana d’un camp escalar Donat un camp escalar ( , , )U U x y z= , definim la laplaciana com la divergència del gradient del camp escalar:
2 2 22
2 2 2( ) U U UU Ux y z
∂ ∂ ∂∇ =∇ ⋅ ∇ = + +
∂ ∂ ∂
9. Sistemes de coordenades
Coordenades cartesianes ˆˆ ˆd dxi dy j dz k= + +
dv dxdy dz=
ˆˆ ˆU U UU i j kx y z
∂ ∂ ∂∇ = + +
∂ ∂ ∂
yx zAA AA
x y z∂∂ ∂
∇ ⋅ = + +∂ ∂ ∂
ˆˆ ˆy yz x z xA AA A A AA i j k
y z z x x y∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∇× = − + − + − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
2 2 22
2 2 2
U U UUx y z
∂ ∂ ∂∇ = + +
∂ ∂ ∂
Coordenades esfèriques ˆ ˆˆ sind dr r rd r dθ θ θ ϕ ϕ= + +
2 sindv r dr d dθ θ ϕ=
1 1ˆˆ ˆsin
U U UU rr r r
θ ϕθ θ ϕ
∂ ∂ ∂∇ = + +
∂ ∂ ∂
( ) ( )22
1 1 1sinsin sinr
AA r A A
r r r rϕ
θ θθ θ θ ϕ
∂∂ ∂∇ ⋅ = + +
∂ ∂ ∂
( ) ( ) ( )1 1 1 1ˆ ˆˆsinsin sin
r rA A AA A r r A r Ar r r r r
θϕ ϕ θθ θ ϕ
θ θ ϕ θ ϕ θ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∇× = − + − + − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
22 2
2 2 2 2 2
1 1 1sinsin sin
U U UU rr r r r r
θθ θ θ θ ϕ
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∇ = + + ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
Teoria de camps
8
Coordenades cilíndriques ˆˆˆd dr r rd dz kϕ ϕ= + +
dv r dr d dzϕ=
1 ˆˆˆU U UU r kr r z
ϕϕ
∂ ∂ ∂∇ = + +
∂ ∂ ∂
( )1 1 zr
A AA r Ar r r z
ϕ
ϕ∂∂ ∂
∇ ⋅ = + +∂ ∂ ∂
( )1 1 ˆˆˆz r z rAA A A AA r rA k
r z z r r rϕ
ϕϕϕ ϕ
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∇× = − + − + − ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
2 22
2 2 2
1 1U U UU rr r r r zϕ∂ ∂ ∂ ∂ ∇ = + + ∂ ∂ ∂ ∂
Teoria de camps
9
Exercici 1 Donat el vector posició respecte a l’origen, ˆˆ ˆr xi y j z k= + +
, demostreu que:
• ˆr r∇ =
• 2
ˆ1 rr r
∇ = −
• ( ) ( )1
2 2 2 2 2 2 2r r x y z x y z= = + + = + +
( ) ( )12 2 2 21ˆ ˆˆ ˆ ˆ ˆ ˆ2 2 2
2r r r rr i j k x y z xi yj zk rx y z r
−∂ ∂ ∂∇ = + + = + + + + = =
∂ ∂ ∂
• ( )
( )1
2 2 2 2
2 2 2
1 1 x y zr x y z
−= = + +
+ +
( ) ( )32 2 2 2
3 2
1 1 1 1 ˆˆ ˆ
ˆ1 ˆˆ ˆ2 2 22
i j kr x r y r z r
r rx y z xi yj zkr r
−
∂ ∂ ∂ ∇ = + + = ∂ ∂ ∂
− + + + + = − = −
Teoria de camps
10
Exercici 2 Donat el camp vectorial 2 2 2 2ˆ ˆ( ) ( )A x y i y z j= + + +
, calculeu:
• A∇ ⋅
• A∇×
• 2 2yx zAA AA x yx y z
∂∂ ∂∇ ⋅ = + + = +
∂ ∂ ∂
•
( ) ( ) ( )
ˆˆ ˆ
ˆ ˆˆ ˆ ˆ0 2 0 0 0 2 2 2
y yz x z xA AA A A AA i j ky z z x x y
z i j y k zi yk
∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∇× = − + − + − = ∂ ∂ ∂ ∂ ∂ ∂
= − + − + − = − −
Teoria de camps
11
Exercici 3
Donat el camp vectorial, expressat en coordenades esfèriques (on k és una constant):
3 3
2 ˆˆcos sink kE rr r
θ θθ= +
• Demostreu que és irrotacional • Calculeu l’equació de les línies de camp
• Camp irrotacional :
3
2 cosrkE
rθ= ; 3 sinkE
rθ θ= ; 0Eϕ =
( ) ( )
( ) 3 3
1 1 1 ˆˆsinsin sin
1 1 2 2ˆ ˆsin sin 0
r
r
E EE E r rEr r r
E k krEr r r r r
θϕ ϕ
θ
θ θθ θ ϕ θ ϕ
ϕ θ θ ϕθ
∂ ∂ ∂ ∂∇× = − + − + ∂ ∂ ∂ ∂
∂ ∂ − = − + = ∂ ∂
0E∇× =
• Equació de les línies de camp:
ˆ ˆˆ sin
ˆ sinˆˆr
r
dl dr r r d r d EE EE dldr r d r dE E r E E
ϕθ
θ ϕ
θ θ θ ϕ ϕθ θθ ϕ
= + + → → = == + +
2cos sin 2cos
sindr d
dr rd rθ θ θ θ
θ θ= ⇒ =
( )ln 2ln sin lnr kθ= + ⇒ 2sinr k θ=