Teoria d’homotopia i rob oticamat.uab.cat/~albert/nw/pdf/homot_robotica_notes.pdf · Intro.Esp. conf.CaminsComp. Top.Eines: LS TC(Sn) H (X; R)TC(X Y) ConclusionsBiblio Continguts

Intro. Esp. conf. Camins Comp. Top. Eines: LS TC(Sn) H∗(X ; R) TC(X × Y ) Conclusions Biblio

Teoria d’homotopia i robotica

Albert Ruiz Cirera

Tendencies actuals de les matematiques - Grau en Matematiques - UAB

24 de febrer de 2011

A. Ruiz Cirera Teoria d’homotopia i robotica 1/27


Continguts

1 Introduccio

2 Espais de configuracions

3 Camins als espais de configuracions

4 Complexitat topologica

5 Eines per a calcular TC(X ): LS

6 Complexitat topologica de les esferes

7 Eines per a calcular TC(X ): H∗(X ; R)

8 Productes

8 Conclusions

9 Bibliografia



Robotica: planificadors de moviments

Brac articulat

Moviment de robots al pla

Brac articulat amb obstacles



Planificacio del moviment

Modelar el robot (o robots) i l’ambient on es mouen (Espai deconfiguracions).

Desenvolupar algorismes que es permetin passar el robot (o robots)d’un estat a un altre (Trobar camins de l’espai de configuracions).

Trobar propietats topologiques de l’espai de configuracions:complexitat topologica.



Espais de configuracions

Estats

Fixat un sistema S (brac articulat, robot al pla, . . . ) anomenemestat a una posicio possible del sistema.

Espais de configuracions

Anomenem espai de configuracions d’un sistema S a l’espaitopologic que te per punts tots els possibles estats d’S .

Exemple

∼= S1 × I × S1 ∼= ←−



Espais de configuracions: mes exemples

Exemple

Considerem 2 robots que es mouen pel pla on hi ha 3 obstablesfixats:

Per tant l’espai on es mou es M ∼= R2 \ {x1, x2, x3}.L’espai de configuracions es:

C (M, 2)def= {(y1, y2) ∈ M ×M | y1 6= y2}.



Camins

Fixem I ∼= [0, 1], l’interval unitat amb la topologia Euclidiana.

Definicio

Sigui X un espai topologic.

Un camı en X es una aplicacio contınua

γ : I −→ Xt 7→ γ(t)

Anomenem inici del camı γ al punt γ(0).

Anomenem final del camı γ al punt γ(1).



Espais de camins (I)

Definicio

Donat X un espai topologic definim PX , l’espai de camins en X ,com l’espai topologic que te per punts els camins γ : I → X .

Topologia compacta-oberta

Donat un dos espais topologics Y i Z , considerem l’espai ZY

l’espai topologic un els punts son aplicacions contınues de Y en Z .Considerem la topologia compacta-oberta: es la que te per subbaseels conjunts

V (K ,U)def= {f ∈ ZY | f (K ) ⊂ U}

on K ⊂ Y es compacte i U ⊂ Z es obert.Per a que la topologia de ZY tingui bones propietats molts copsdemanem que Y sigui localment compacte i Hausdorf.



Espais de camins (II)

Topologia compacta oberta

Propietats de la topologia compacta oberta:

Z {∗} ∼= Z .

Axiomes de separabilitat: si Z es T0, T1, T2 o T3, tambe hoes ZY .

Llei exponencial: si X i Y son localment compactes iHausdorff i Z es Hausdorff, llavors ZX×Y ∼= (ZX )Y .

Lema

L’aplicacio avaluacio

F : PX × I −→ X(γ, t) 7→ γ(t)

es contınua.



Camins a espais de configuracions

Considerem X un espai de configuracions i l’aplicacio avaluacio alsextrems:

av : PX −→ X × Xγ 7→ (γ(0), γ(1))

que es contınua pel lema anterior.

Passar d’un estat A a un estat B d’un espai de configuracions X estrobar un camı γ : I → X tal que γ(0) = A i γ(1) = B.

Definicio

Donat un espai X , un algorisme de moviments en X es unaaplicacio s : X × X → PX tal que av ◦s = IdX×X .

Seccions

Quan tenim una aplicacio exhaustiva f : X → Y , a una aplicacios : Y → X tal que f ◦ s = IdY l’anomenem una seccio.



Algorismes de moviments continus

Teorema

X admet un algorisme de moviments continu si i nomes si X escontractil.

Pregunta:

Que vol dir que X es contractil?



Teoria d’homotopia

Fixem X i Y espais topologics, I l’interval unitat. f : X → Y ig : X → Y aplicacions son contınues.

Homotopia d’aplicacions

Diem que f i g son homotopes si existeix una aplicacio contınua

H : X × I −→ Y(x , t) 7→ H(x , t)(x , 0) 7→ f (x)(x , 1) 7→ g(x)

Escriurem f ' g .

Propietat

“Ser homotop a” defineix una relacio d’equivalencia de funcionscontınues.



Teoria d’homotopia (II)

Homotopia d’espais topologics

Diem que X i Y son espais topologics homotops si existeixenaplicacions contınues f : X → Y i g : Y → X tals que f ◦ g ' IdY

i g ◦ f ' IdX .Escriurem X ' Y .

Propietat

“Ser homotop a” defineix una relacio d’equivalencia als espaistopologics.

Exemple

Si X ∼= Y , llavors X ' Y .

[0, 1] ' {0}.R ' {0}.



Exemples d’homotopia

Exemple

Si X ∼= Y , llavors X ' Y .

[0, 1] ' {0}.

Exemple

Rn ' {0}.

Observacions

Diem que un espai es contractil si es homotop a un punt.

Molts invariants topologics es conserven per homotopia.



Algorismes de moviments continus

Teorema

X admet un algorisme de moviments continu si i nomes si X escontractil.



Complexitat topologica: definicio

Tal i com hem vist, en general no podrem obtenir algorismes demoviments continus. Aixo ens porta a la definicio seguent:

Definicio

Sigui X un espai de configuracions. La complexitat topologica d’X(que escrivim TC(X )) es el menor k tal que existeixen k + 1 oberts{Ui}0≤i≤k tals que

X × X = U0 ∪ · · · ∪ Uk

i si : Ui → PX , seccions contınues a l’aplicacio av.

Observacio

Depenent de la font diuen que te . . . complexitat topologica k siexisteixen k oberts . . . .



Complexitat topologica

Teorema

La complexitat topologica TC(X ) tant sols depen del tipusd’homotopia d’X .

Exemple

TC(X ) = 0 si i nomes si X es contractil.

Problema

Calcular la complexitat topologica d’un espai es difıcil.



Categoria de Lusternik-Schnirelmann

Definicio

Donat un espai topologic X definim la categoria LS d’X (i escrivimcat(X )) com el mınim k tal que existeixen k + 1 oberts contractils{Ui}0≤i≤k tals que

X = U0 ∪ · · · ∪ Uk

Exemple

La categoria LS d’un espai contractil es 0.

La categoria LS de les esferes es 1.



Categoria LS i complexitat topologica (I)

Lema

cat(X ) ≤ TC(X ) ≤ cat(X × X )

Exemple

cat(S1) = 1, cat(S1 × S1) = 2, per tant 1 ≤ TC(S1) ≤ 2.

Exemple

cat(S2) = 1, cat(S2 × S2) = 3, per tant 1 ≤ TC(S2) ≤ 3.



Categoria LS i complexitat topologica (II)

Teorema

Si G es un grup de Lie connex (i.e. G es una varietat diferenciableconnexa amb estructura de grup, i on la multiplicacio i el pas al’invers son aplicacions diferenciables), llavors

cat(G ) = TC(G ).

Exemple

TC(S1) = TC(S3) = 1

Exemple

TC(S1× n· · · ×S1) = n

Exemple

Un objecte solid a R3 te coma espai de configuracionsSO(3) i com que es grup deLie:

TC(SO(3)) = cat(RP3) = 3



Complexitat topologica de les esferes

Teorema

TC(Sn) =

{1 si n senar,2 si n parell

Sobre la demostracio

Sabem que les esferes no son contractils, per tantTC(Sn) ≥ 1.

En el cas n senar es troba un recobriment de 3 oberts deSn × Sn i les seccions corresponents. S’utilitza que per a nsenar hi ha camps vectorials sobre Sn sense zeros.

Es demostra que TC(Sn) ≤ 3 trobant un recobriment per 4oberts i les seccions corresponents.

S’utilitza cohomologia per a demostar que TC(Sn) ≥ 3.



Anell de cohomologia

Fixem un anell R.A un espai topologic X li assignem una R-algebra graduadaH∗(X ; R) que anomenem anell de cohomologia d’X ambcoeficients a R. Si tenim una aplicacio contınua f : X → Y tenimuna aplicacio d’R-algebres f ∗ : H∗(Y ; R)→ H∗(X ; R).

Propietats:

1 Tant sols depen del tipus d’homotopia.

2 (Id |X )∗ = IdH(X ;R).

3 (g ◦ f )∗ = f ∗ ◦ g∗.



TC(X ) i H∗(X ;R)

Observacio

La complexitat topologica d’X esta acotada inferiorment per lalongitud dels productes no nuls (de certs) elements d’H∗(X ; R).

Aquest resultat ens permet demostrar:

Exemples

TC(Sn) ≥ 2 si n parell.

TC(S) = 4 per a S una superfıcie compacta orientable degenere g ≥ 2.



Mes cohomologia

Per a certs anells R, la cohomologia H∗(X ; R) te mes estructura.Per exemple, per a cossos finits H∗(X ;Fp) la cohomologia es unaalgebra sobre una altra algebra (l’Algebra d’Steenrod). Aquestaestructura tambe s’utilitza per a calcular quotes inferiors per a lacomplexitat topologica d’espais.

Exemple

Considerem r un natural i {1, ω, ω2, . . . , ωr−1} les arrels de launitat a C ∼= R2. Aquest grup actua sobre la esfera unitatS2n−1 ⊂ R2n ∼= Cn i definim l’espai lenticular com el quocient

L2n−1r = S2n−1/〈w〉 .

Llavors:

TC(L2n+1p ) = 4n + 2 per a p primer senar.

TC(L2n+12s ) = 4n + 2 si n escrit en base 2 te menys de s uns.



Productes: TC(X × Y )

Definicio

Diem que X es un espai topologic X es un retracte d’un entornEuclidia si es homeomorf a un subespai de Rn (que tambe li diemX ) i existeix un entorn obert U d’X i una apicacio contınuar : U → X tal que r |X = IdX .

Teorema

Si X i Y son retractes d’entorns Euclidians llavors

TC(X × Y ) ≤ TC(X )× TC(Y ) .



Conclusions

No tenim cap tecnica que permeti calcular la complexitattopologica d’un espai en general.

S’utilitzen eines molt basiques: construccio de seccionsconcretes.

Eines que podem veure al grau: (co)homologia.

Tambe eines no tant basiques: operacions secundaries acohomologia.



Bibliografia

Sobre teoria d’homotopia:

G.E. Bredon,Topology & Geometry.Graduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag 1995.

M. Spanier,Algebraic Topology.McGraw-Hill, 1966.

N.E. Steenrod and D.B.A. Epstein,Cohomology Operations.Princeton University Press, 1962.

Sobre topologia i robotica:

M. Farber,Invitation to topological robotics.Zurich Lectures in Advanced Mathematics. EuropeanMathematical Society (EMS), Zurich, 2008.



Bibliografia

Sobre teoria d’homotopia:

G.E. Bredon,Topology & Geometry.Graduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag 1995.

M. Spanier,Algebraic Topology.McGraw-Hill, 1966.

N.E. Steenrod and D.B.A. Epstein,Cohomology Operations.Princeton University Press, 1962.

Sobre topologia i robotica:

M. Farber,Invitation to topological robotics.Zurich Lectures in Advanced Mathematics. EuropeanMathematical Society (EMS), Zurich, 2008.


Documents

Teoria d’homotopia i rob oticamat.uab.cat/~albert/nw/pdf/homot_robotica_notes.pdf · Intro.Esp. conf.CaminsComp. Top.Eines: LS TC(Sn) H (X; R)TC(X Y) ConclusionsBiblio Continguts