Teoria de Cola 1-2-16

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Facultad de Ciencias e IngenierasDepartamento de Computacin

Verano 2016

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!"#$IA D" C#%A&

' %os Modelos de Lneas de Esperason de gran utilidad tantoen las .reas de anuactura como en las de &er4icio

' %os Anlisis de Colasrelacionan)

5la lon&itud de la lnea de espera(5el pro#edio de tie#po de espera otros actores como)5 la conducta de los usuarios a la llegada en la cola,

%os Anlisis de Colasaudan a entender el comportamientode estos sistemas de ser4icio la atencin de las ca+eras deun ,anco( acti4idades de mantenimiento reparacin dema7uinaria( el control de las operaciones en planta( etc8

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!"#$IA D" C#%A&

' Desde la perspecti$ade la In4estigacin de #peraciones( lospacientes 7ue esperan ser atendidos por el odontlogo o lasprensas da/adas esperando reparacin( tienen muco en

com:n' Am,os gente m.7uinas8 re!uieren de recursos hu#anos 'recursos #ateriales co#o e!uipospara 7ue se los cure o selos aga uncionar nue4amente

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!"#$IA D" C#%A&

Costos de &er4icio Costos de "spera' %os Administradores reconocen el e!uili"rio7ue de,e a,er

entre el COS(O DE proporcionar "uen SERVICIO elCOS(Odel tie#po DE ESPERA del cliente o de la m.7uina

7ue de,en ser atendidos' %os Administradores desean 7ue las colas sean losu)iciente#ente cortas con la inalidad de 7ue los clientesno se irriten e incluso se retiren sin llegar a utili*ar elser4icio o lo usen pero no retornen m.s

' &in em,argo los Administradores contemplan tener unalongitud de cola ra*ona"le en espera, 7ue sea ,alanceada(para o,tener aorros signiicati4os en el COS(O DELSERVICIO

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!"#$IA D" C#%A&

E!uili"rio entre Costos de Espera ' Costos de Ser$icio

Ni4el

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!"#$IA D" C#%A&

Costos de &er4icio 4s Ni4el de &er4icio' %os COS(OS DE SERVICIOse incre#entansi se me+ora el

NIVEL DE SERVICIO% %os Administradores de ciertoscentros de ser4icio pueden $ariar su capacidad teniendo

personal o m.7uinas adicionales 7ue son asignadas aincre#entar la atenci+n cuando crecen e>cesi4amente losclientes

5 "n supermercados se a,ilitan caas adicionales cuando

es necesario5 "n ,ancos puntos de ce7ueo de aeropuertos( se

contrata personal adicional para atender en ciertas?pocas del da o del a/o

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!"#$IA D" C#%A&

' Cuando el ser$icio #eora( dis#inu'e el costo de tie#poperdidoen las lneas de espera

' "ste costo puede rele+ar p-rdida de producti$idadde los

operarios 7ue est.n esperando 7ue compongan sus e7uipos opuede ser simplemente un estimado de los clientes perdidosa causa de mal ser4icio colas mu largas

' "n ciertos ser4icios I"&&( ancos( Cedulacin8 el costo dela espera puede ser intolera"le#ente alto

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!"#$IA D" C#%A&

COLAS MAS COM.NESSI(IO ARRI/OS EN COLA SERVICIO

&upermercado Compradores ago en ca+as

ea+e Veculos ago de pea+e

Consultorio acientes Consulta

&istema de Cmputo rogramas a sercorridos

roceso de datos

Compa/a de tel?onos %lamadas "ectuar comunicacin

anco Clientes Depsitos Co,ros

antenimiento .7uinas da/adas $eparacin

uelle arcos Carga descarga

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!"#$IA D" C#%A&Caractersticas de una %IN"A D" "&"$A

' Una cola de espera est. compuesta de tres elementos)1 Arri,os o ingresos al sistema2 Disciplina en la cola

3 &er4icio

' "stos tres componentes tienen ciertas caractersticas 7uede,en ser e>aminadas antes de desarrollar el aspecto

matem.tico de los modelos de cola

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' 0% CARAC(ERIS(ICAS DE ARRI/O)' %a )uente de in&reso7ue genera los arri,os o clientes para

el ser4icio tiene tres caractersticas principales)

a% (a#a1ode la po,lacin 7ue arri,a"% Patr+nde llegada a la colac% Co#porta#ientode las llegadas

0%a%(a#a1o de la Po"laci+n2"l tama/o de la po,lacin puede ser)in)inito 3ili#itado4 oli#itado 3)inito4%

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0% CARAC(ERIS(ICAS DE ARRI/O)

0%a% (a#a1o de la Po"laci+n2In)inito 3ili#itado42 Cuando el n:mero de clientes oarri,os en un #o#ento dadoes una pe7ue/a parte de losarri,os potenciales ara propsitos pr.cticos

po,laciones ilimitadas pueden considerarse a los4eculos 7ue se acercan a un caseta de pea+e( losaicionados a un partido del mundial de F:t,ol( clientesen un supermercado

%A A#$EA D" %#& #D"%#& A&U"ARRI/O

INFINI(O%Po"laci+n de arri"o li#itada o )inita2cuando se tienen mupocos ser4idores el ser4icio es restringido "+) lospacientes en un consutorio m?dico

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0% CARAC(ERIS(ICAS DE ARRI/O)' 0%"% Patr+n de arri"o al siste#a2

5 %os clientes arri,an a ser atendidos de una manerapro&ra#ada un paciente cada 1; minutos8 o de una

manera aleatoria5 &e consideran 7ue los arri,os son aleatorios cuando ?stosson independientes de otros su ocurrencia no puede serpredecida e>actamente

5 Frecuentemente en pro,lemas de colas( el n:mero de

arri,os por unidad de tiempo pueden ser estimados pormedio de la Distri"uci+n de Poisson 7ue es unadistri,ucin discreta de pro,a,ilidad

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0% CARAC(ERIS(ICAS DE ARRI/O)' DIS(RI/.CION DE POISSON2

' >8 ro,a,ilidad de > arri,os' > n:mero de arri,os por unidad de tiempo rata promedio de arri,o

e 2=1@2@

( ) ,...4,3,2,1,0_

!==

xparax

exP

x

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!"#$IA D" C#%A&DI&!$IUCI#N D" #I&N

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!"#$IA D" C#%A&DI&!$IUCI#N D" #I&N

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0% CARAC(ERIS(ICAS DE ARRI/O)0%c% Co#porta#iento de los arri"os)

%a maora de los modelos de colas asume 7ue los clientesson pacientes o sea 7ue esperan en la cola hasta ser

ser$idos no se pasan entre colas Desaortunadamente( la4ida es complicada la gente se reniega A7uellos 7ue seimpacientan por la espera( se retiran de la cola sincompletar su transaccin

"sta situacin sir$e para acentuarel estudio de la teora decolas el an.lisis de las lneas de espera( a 7ue un cliente noser4ido es un cliente perdido ace mala propaganda de esenegocio

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!"#$IA D" C#%A&2% CARAC(ERIS(ICAS DE LA LINEA DE ESPERA)

' %a LINEA DE ESPERA es el segundo componente de unsistema de colas %a longitud de la cola puede ser tam,i?nLIMI(ADA oILIMI(ADA

5 Cola LIMI(ADA es a7uella 7ue por aspectos sicos nopuede incrementarse a tama/os ininitos uede ser elcaso de una pelu7uera 7ue tiene pocos ,ar,eros sillaspara atender

5 "studiaremos los modelos de colas asumiendo colas delon&itud in)inita Una cola es ILIMI(ADA cuando sutama/o no tiene restriccin como es el caso de una casetade pea+e 7ue sir4e a los 4eculos 7ue arri,an

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!"#$IA D" C#%A&2% CARAC(ERIS(ICAS DE LA LINEA DE ESPERA)

' Una se&unda caracterstica de las lneas de espera sereiere a la DISCIPLINA EN LA COLA mediante la cual losclientes reci,en el ser4icio %a maora de los sistemas usan

la regla Primero "n Entrar Primero "n Salir First In FirstOut8 G"& FIF#8H &e denomina tam,i?n FIF& First InFirst Ser4ed8

' "n las .reas de emergencia de ospitales sin em,argo seomite esta regla dependiendo de la gra4edad de las lesiones

de las personas 7ue arri,an por au>ilio m?dico' "n supermercados( personas con menos de 10 artculos tienenla ca+a e>press 7ue atiende a este tipo de clientes ero en lacola se les atiende con la poltica "&

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!"#$IA D" C#%A&CARAC(ERIS(ICAS DE LA LINEA DE ESPERA

5% Caractersticas del Ser$icio

"l tercer ele#entode un sistema de colas es el SERVICIO "n?l son importantes dos propiedades ,.sicas)1 %a con)i&uraci+ndel sistema de ser4icio

2 "l patrn de tie#pos de ser$icio

5%0% CONFI6.RACIONES /ASICAS PARA EL SERVICIO2%os sistemas para el ser4icio son clasiicados en uncin delnumero de canalesser4idores8 el n:mero de )asesn:merode paradas 7ue de,en acerse durante el ser4icio8

Siste#a de cola de un solo canal2 tiene un soloser4idor "+emplos de ello son los ca+eros paraautomo4ilistas o los esta,lecimientos de comida r.pida

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!"#$IA D" C#%A&CARAC(ERIS(ICAS DE LA LINEA DE ESPERA

5%0% Con)i&uraciones "sicas para el Ser$icio5 Siste#a de cola #ulti7canal2 &on principalmente los

ca+eros de un ,anco en los cuales a una sola cola 4arias personas atendiendo a los clientes en di4ersas ca+as

5 Siste#a de una sola )ase2 es a7uel en el cual el clientereci,e el ser4icio de una sola estaci+n luego a,andona elsistema Un restaurant de comida r.pida en el cual lapersona 7ue toma la orden tam,i?n le entrega el alimento co,ra( es un sistema de una sola ase

5 Siste#a #ulti)ase2 cuando se pone la orden en unaestacin( se paga en una segunda se retira lo ad7uirido enuna tercera

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!"#$IA D" C#%A&Coniguraciones .sicas de &istemas de Colas

5%0% Con)i&uraciones "sicas para el Ser$icio

SERVIDOR

COLA

&"$VICI#FA&" 2

COLA

A$$I#&

&"$VICI#FA&" 1 &A%IDA&

SIS(EMA .N CANAL, .NA FASE

A$$I#&

.N SOLO CANAL, M.L(IFASE

&A%IDA&

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SIS(EMA M.L(ICANAL .NA FASE

A$$I#&

COLA CANA% 1

CANA% 2

CANA% 3

&A%IDA&

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SIS(EMA M.L(ICANAL M.L(IFASE

A$$I#&

COLA FA&" 2CANA% 1

FA&" 1CANA% 2

FA&" 2CANA% 2

&A%IDA&

FA&" 1CANA% 1



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5%8% Distri"uci+n del (ie#po de Ser$icio' %os patrones de ser$icio son similares a los patrones de

llegada ueden ser constantes o aleatorios%I &i el tiempo de ser4icio es constante( toma la #is#a

cantidad de tie#po atender a cada cliente "s com:n conser4icios dados por medio de m.7uinas %a4adoraautom.tica de carros8

II &i el tie#po de ser$icio es distri"udo aleatoria#ente 57ue es el caso m.s com:n 5 se lo representa por la

DIS(RI/.CION DE PRO/A/ILIDAD E9PONENCIALNE6A(IVA de la orma e7: para : ;% "sta es unaiptesis matem.tica mu con4eniente( cuando los arri"ossiguen la distri,ucin de Coisson1

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!"#$IA D" C#%A&edicin del $endimiento de las Colas

' %os modelos de colas audan a los administradores a tomardecisiones para "alancear los costos de ser$icio desea"les conlos costos de espera en la lnea%

' %os principales actores 7ue se e4al:an en estos modelos son)

0% (ie#po pro#edio 7ue cada cliente u o,+eto permanece en lacola8% Lon&itud de cola pro#edio5% (ie#po pro#edio !ue cada cliente per#anece en el siste#a

tiempo de espera tiempo de ser4icio8% Pro"a"ilidadde 7ue el ser4icio se 7uede 4aco?% Factor de utili*aci+ndel sistema@% Pro"a"ilidad de la presencia de un espec)ico n=#ero de

clientesen el sistema

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!"#$IA D" C#%A&Notacin de los odelos de Colas

' $econociendo la di4ersidad de los sistemas de colas( Jendall1B;38 propuso un siste#a de notaci+n para sistemas deser4idores paralelos 7ue a sido adoptado uni4ersalmente

' Una 4ersin resu#idade esta con4encin est. ,asada en elormato A/cNB "stas letras representan las siguientescaractersticas del sistema)5 A Distri,ucin de tiempo entre arri,os5 / Distri,ucin del tiempo de ser4icio

%os siguientes son sm,olos comunes para A /) e>ponencial o arKo4 304D constante o determinstica

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' "K "rlang de orden K' L !ipo ase' L Lipere>ponencial

' M Ar,itrario o general' MI Meneral independiente

5 c n:mero de ser4idores paralelos5 N Capacidad del sistema

5 B !ama/o de la po,lacinNota3042 A causa de las suposiciones de distri,ucin

e>ponencial en los procesos de arri,o( estosmodelos son llamados MARBOVIANOS

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' or e+emplo) MM0 signiica un solo ser$idor(capacidad de cola ili#itada po"laci+n in)inita de arri,ospotenciales %os tiempos entre arri,os los tiempos de

ser4icio son distri"udos e:ponencial#ente' Cuando N B son in-initos( pueden ser descartados de lanotacin 1es reducido a MM0

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!"#$IA D" C#%A&Variedad de odelos de Colas

' ">iste una cantidad enorme de odelos de Colas 7ue puedenutili*arse Nos 4amos a concentrar en < de los #odelos #susados odelos m.s comple+os pueden ser desarrollados

mediante el uso de la &imulacin se los encuentra en te>tosespeciali*ados so,re el tema' %os 9 modelos de colas a estudiar asumen)

o Arri,os seg:n la Distri,ucin de oissono Disciplina "&

o Una sola ase de ser4icio5 odelo A) Un canal( Arri,os seg:n la Distri,ucin de

oissonO !iempos de &er4icio e>ponenciales

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!"#$IA D" C#%A&Variedad de odelos de Colas

5 odelo /) ulticanal5 odelo C) !iempo de &er4icio constante5 odeloD) o,lacin %imitada

' Modelo A2 Modelo de Colas de un solo canal, con arri"os!ue si&uen la distri"uci+n de Poisson ' (ie#pos deSer$icio E:ponenciales2 3Modelo MM04

'%os casos m.s comunes de pro,lemas de colas incluen lalnea de espera de canal :nico o ser4idor :nico "n este casolos arri"os crean una sola cola a ser ser$ida por una solaestaci+n

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!"#$IA D" C#%A&odelo A) 1

' Asumimos 7ue e>isten las siguientes condiciones)1 %os clientes son ser4idos con una poltica PEPS cada

arri"o espera a ser ser$idosin i#portar la lon&itud de

la lnea o cola%2 %os arri"os son independientes de arri,os anteriores(pero el promedio de arri,os( no ca#"iacon el tiempo

3 %os arri"os son descritos mediante la distri,ucin depro,a,ilidad de Poisson proceden de una po"laci+n

#u' &rande o in)inita%9 %os tie#pos de ser$icio$arande cliente a cliente sonindependientes entre s( pero su rata pro#edio esconocida%

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!"#$IA D" C#%A&odelo A) 18 5 odelo ) &8

; %os tie#pos de ser$iciose representan mediante ladistri"uci+n de pro"a"ilidad e:ponencial ne&ati$a

6 %a rata de ser4icio es #s rpida7ue la rata de arri,o

(a"la >%5 Render P&% 08' Modelo /2 Modelo de cola #ulticanal 3MMS4' Dos o #s ser$idores o canales est.n disponi,les para

atender a los clientes 7ue arri,an' %os clientes orman una sola cola se los atiende de

acuerdo al ser$idor !ue !ueda li"re' Asumimos 7ue los arri"os siguen la distri"uci+n de

pro"a"ilidad de Poisson los tie#pos de ser$icio sondistri"udos e:ponencial#ente

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!"#$IA D" C#%A&odelo ) &8 odelo C) D18

' %os ser4icios se los ace de acuerdo a la polticapri#ero enlle&ar pri#ero en ser ser$ido"&8 todos los ser4idoresatienden a la misma rata

' Modelo C2 Modelo de (ie#po de Ser$icio Constante3MD04' Algunos sistemas tienen tie#pos de ser$icio constantes en

lugar de e>ponencialmente distri,udos Cuando los clientesson atendidos o e7uipos son procesados con un ciclo i+o

como es el caso de una la4adora de carros automati*ada ociertos entretenimientos en los par7ues de di4ersiones( elasumir ser4icio constante es adecuado

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!"#$IA D" C#%A&odelo D) o,lacin limitada

' Modelo D2 Modelo de Po"laci+n li#itada%7' "ste modelo puede ser usado por e+emplo si estamos

considerando reparaciones de e7uipo en una .,rica 7ue tiene

; m.7uinas "ste modelo per#ite cual!uier n=#ero dereparadoresa ser considerados' %a ra*n por la cual este modelo diiere de los otros tres es

7ue aora a una relacin de dependencia entre la lon&itudde la cola ' la rata de arri"o %a situacin e>trema sera si

en la .,rica tenemos ; m.7uinas( todas se an da/ado necesitan reparacinO siendo en este caso la rata de arri,oCERO "n general( si la lnea de espera crece( la rata dellegada tiende a cero

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$"&U"N D" %#& #D"%#& D" C#%A&D"&C$I!#&

MODELO NOM/RE N DECANAL

ES

N DEFASES

PA(RNDE

ARRI/O

PA(RNDE

SERVICIO

(AMAO DELA PO/LACIN

DISCIPLINADE COLA

A &I%"1

UN# UNA #I&N "P#N"NCIA%

INFINI!A "&

U%!I-CANA%&

U%!ICANA%

UNA #I&N "P#N"NCIA%

INFINI!A "&

C &"$VICI#C#N&!AN!"D18

UN# UNA #I&N C#N&!AN!"

INFINI!A "&

D #%ACI#N%II!ADA

UN# UNA #I&N "P#N"NCIA%

FINI!A "&

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UNAN-anagua3=

F

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UNAN-anagua 3@

F

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UNAN-anagua 3B

F

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UNAN-anagua 90

F

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UNAN-anagua 91

F

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UNAN-anagua 92

F#$U%A& A$A C#%AD"%# D) #%ACI

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UNAN-anagua 93

F#$U%A& A$A C#%AD"%# D) #%ACI

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Ejemplo


UNAN-anagua99

Suponga que en una estacin con un solo servidor llegan en promedio

45 clientes por hora, Se tiene capacidad para atender en promedio a 60

clientes por hora. Se sabe que los clientes esperan en promedio 3

minutos en la cola. Se solicita: a) iempo promedio que un cliente pasaen el sistema. b) !"mero promedio de clientes en la cola. c) !"mero

promedio de clientes en el Sistema en un momento dado.

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Ejemplo


UNAN-anagua9;

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UNAN-anagua 96

Ejemplo

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Tarea

Facultad de Ciencias e UNAN-anagua 9=

Suponga un restaurante de comidas r#pidas al cual llegan en promedio $00

clientes por hora. Se tiene capacidad para atender en promedio a $50 clientes

por hora Se sabe que los clientes esperan en promedio % minutos en la cola

&alcule las medidas de desempe'o del sistema a) (&u#l es la probabilidad

que el sistema este ocioso b) (&u#l es la probabilidad que un cliente llegue *tenga que esperar, porque el sistema est# ocupado c) (&u#l es el n"mero

promedio de clientes en la cola d) (&u#l es la probabilidad que ha*an $0

clientes en la cola

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