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TEORÍA DE ERRORES. Valor verdadero. Valor verdadero. ERRORES EN LAS MEDIDAS FÍSICAS. Clasificación : Errores sistemáticos defectos intrínsecos Errores accidentales causas fortuitas, tratamiento estadístico. DISTRIBUCIÓN GAUSSIANA. 68.27%. DISTRIBUCIÓN GAUSSIANA. s = 0.5. - PowerPoint PPT Presentation
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2
ERRORES EN LAS MEDIDAS FÍSICAS
• Clasificación:
• Errores sistemáticos defectos intrínsecos
• Errores accidentales causas fortuitas, tratamiento estadístico
Valor verdadero
Valor verdadero
3
DISTRIBUCIÓN GAUSSIANA
2
2
2exp
21
xx
y
68.27%2 95.45%3 99.73%
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
-5.0 -2.5 0.0 2.5 5.0
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
-5.0 -2.5 0.0 2.5 5.0
N
xxN
ii
1
2)(
4
DISTRIBUCIÓN GAUSSIANA
0.0
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
-4.0 -2.0 0.0 2.0 4.0x
= 0.5
= 1.068.27%
Si la distribución es gaussiana, la mejor estimación del Si la distribución es gaussiana, la mejor estimación del valor verdadero es la media aritméticavalor verdadero es la media aritmética
5
CUALIDADES DE LOS APARATOS DE MEDIDA
RESOLUCIÓN: Es la mínima división de la escala del aparato
SENSIBILIDAD: Es el número de divisiones de la escala que recorre el indicador del aparato cuando la magnitud a medir varía en una unidad.
Ejemplos: 1 mm en una regla milimetrada; 0.01 A en cierto amperímetro
Ejemplos.: 1 mm –1 en la regla milimetrada. 100 A–1 en el amperímetro.
Umbral de sensibilidad:
variación mínima de la magnitud que no es apreciada por el aparato (evidentemente es menor que la resolución)
6
CUALIDADES DE LOS APARATOS DE MEDIDA
FIDELIDAD: Es la cualidad del aparato de dar el mismo resultado siempre que se mide la misma magnitud física en las mismas condiciones experimentales y distintas condiciones ambientales del aparato (temperatura, tensión de alimentación, ...).
PRECISIÓN: Es la característica que nos indica globalmente el error debido al umbral de sensibilidad y la falta de fidelidad del aparato.
Se expresa ordinariamente como un tanto por ciento del fondo de escala (F.E.). Por ejemplo: un amperímetro de precisión 2% del F.E.
7
De todas estas características, la precisión es la que más completamente indica el error de la medida debido intrínsicamente al aparato, es decir, que no puede rebajarse salvo que midamos con un aparato más preciso
Hay otros errores que afectan circunstancialmente a un aparato, pero que pueden corregirse mediante calibrado, es decir, ajustándolos para que den medidas correctas o corrigiendo sus escalas tras una confrontación con un patrón o un aparato más preciso. Debido a esta circunstancia, es necesario definir otra cualidad.
EXACTITUD: Es la cualidad de un aparato que indica que es preciso y está bien calibrado. Sólo un aparato exacto permite medidas exactas, pero la exactitud está siempre limitada por la precisión del aparato.
PRECISIÓN y EXACTITUD
8
El error más típico que afecta a la exactitud de los aparatos es el “error de cero”. Causado por un defecto de ajuste del aparato, este da una lectura distinta de cero cuando lo que mide vale cero. Es fácilmente corregible reajustando el aparato o corrigiendo numéricamente las lecturas en la cantidad en que difieren el cero real y el de la escala.
7 mV
ERROR DE CERO
9
CIFRAS SIGNIFICATIVAS
• El número de cifras significativas de una El número de cifras significativas de una medida es el número de dígitos fiables que medida es el número de dígitos fiables que dicha medida contienedicha medida contiene.
• Ejemplo “dudoso”: tiempo que tarda la luz en recorrer UN MILLÓN de kilómetros...
scx
t 3333333333.3103
105
6
?
10
CIFRAS SIGNIFICATIVAS (2)
• Los ceros a la izquierda no son significativos, indican la colocación del punto decimal; así, 0.000345 tiene TRES cifras significativas.
• Los ceros a la derecha y después del punto decimal si son significativos; como ejemplo, 3.4120 tiene CINCO cifras significativas.
11
CIFRAS SIGNIFICATIVAS (3)
• En números enteros terminados en ceros, éstos pueden ser significativos o no; debe distinguirse si sólo sirven para localizar el punto decimal o son parte de la medida:
3·102 kg UNA cifra significativa
3.0·102 kg DOS cifras significativas
3.00·102 kg TRES cifras significativas
El resultado de un cálculo no puede ser más exacto que El resultado de un cálculo no puede ser más exacto que la cantidad menos exacta que interviene en el mismo.la cantidad menos exacta que interviene en el mismo.
12
ERRORES EN MEDIDAS DIRECTAS
N
iix
Nxx
Nx
121
1...)(
1
• Error del aparato • Serie de medidas: Error cuadrático medio
)1(
)(1
2
NN
xxx
N
ii
Nx
Resolución
Cuando sólo se presentan errores accidentales el mejor valor representativo del valor verdadero es el valor medio
13
ERRORES EN MEDIDAS DIRECTAS
• Error absoluto: sensibilidad • Error relativo: precisión
Determinación del error absolutoDeterminación del error absoluto:comparamos el error debido a la sensibilidad con el error cuadrático medio. Se toma la mayor de ambas cantidades. Se expresa con una sola cifra significativa, salvo si esta es 1, en cuyo caso se admiten dos cifras significativas.
xxx
Determinación del error relativoDeterminación del error relativo:cociente entre el error absoluto y el valor aceptado.Se expresa en tanto por uno o tanto por ciento.
14
EJEMPLO 1: Medida de una longitud
Sensibilidad:
Error cuadrático medio:
101.0 mm101622777.3 2L
mm107610149.4 2L
Valor aceptado:Valor aceptado: mm)05.064.635( LL
Media aritmética:
mm6400.635L
L (mm)
15
ERRORES EN MEDIDAS INDIRECTAS
• Magnitud x que se determina a través de la medida de otras con las que mantiene una relación funcional
),...,( 21 Nxxxxx
Ley de propagación del error de Gauss
22
22
2
11
...
N
N
xxx
xxx
xxx
x
16
ERRORES EN MEDIDAS INDIRECTAS
• La ley de propagación de Gauss nos da el valor medio del error absoluto de la magnitud medida en forma indirecta
El error máximo cometido se puede determinar sumando los valores absolutos de los errores individuales
17
Ejemplo 2. Valor promedio del error
• Determinación de la focal de una lente por el método de Bessel.
L
dLf
4'
22
d
Imagen
Posición 1 Posición 2
L
Objeto
19
VALOR MÁXIMO ERROR (INDIRECTAS)
• Si supusiéramos que cada variable xi es la única que influye en el error
ii
ii
xxx
xxx
x
2
El error máximo en la medida indirecta será la suma de los términos de error individual
NN
Máximo xxx
xxx
xxx
x
...2
21
1
20
CASO PARTICULAR 1: productos
• La función consta exclusivamente de La función consta exclusivamente de productos y/o cocientesproductos y/o cocientes
nN
ba xxxx ...21
Derivadas parciales
11 xx
axx
22 xx
bxx
NN xx
nxx
Error máximo (expresado como error relativo)
N
N
xx
nxx
bxx
axx
...2
2
1
1
21
CASO PARTICULAR 1: productos
• Fórmula de los logaritmos neperianos
NxLnnxLnbxLnaxLn ...21
N
N
xdx
nx
dxb
xdx
ax
dx ...2
2
1
1
N
N
xx
nxx
bxx
axx
...2
2
1
1
22
Ejemplo 3. Error en aumento lateral
• Formación de imagen real por lente convergente
y
y’
Objeto: y = 16±1 mmImagen: y’ = -12±1 mm
75.01612'
yy
m
15.01458.00625.00833.0161
121
''
yy
yy
mm
11.015.075.0 m 11.075.0 m
23
CASO PARTICULAR 2: error en la media
• Cálculo del error en la media empleando la ley Cálculo del error en la media empleando la ley de propagación de Gauss. de propagación de Gauss.
• Consideramos x1, x2,... xN (las N medidas realizadas de una magnitud, cada una afectada de un error individual x1, x2,...xN), como medidas directas a partir de las cuales se obtendrá la media como medida indirecta, siendo la relación funcional entre ellas
N
iix
Nx
1
1
24
CASO PARTICULAR 2: error en la media
• Propagación de Gauss: valor medio del error
22
2
2
11
...11
NxN
xN
xN
x
222
21 ...
1Nxxx
N
N
xN
xxxN
RMSN 22
22
1 ...1
xxRMSRMS Root Mean Square Root Mean Square
25
CASO PARTICULAR 2: error en la media
• Propagación de Gauss: valor máximo del error
N
N
xxx
xxx
xxx
x ...22
11
máx
NxxxN
...1
21
Error máximo: igual al promedio de los erroresError máximo: igual al promedio de los errores
26
EJEMPLO 4. Error en medida indirecta
• Determinación de la distancia Determinación de la distancia bb entre surcos consecutivos de una red de entre surcos consecutivos de una red de difracción. Los diversos valores de difracción. Los diversos valores de bb e e bb se han calculado en nm usando se han calculado en nm usando como fuente luminosa un láser He-Ne.como fuente luminosa un láser He-Ne.
• Media b = 3380 nm
• Media b = 28.3 nm
bRMS = 29.2 nm
• N = 6 b=29.2/6=12 nm
(valor medio del error) bmax=28.330 nm
(error máximo)
b b
338012 nm
338030 nm
28
0m
S 0
b
S
N
ii
N
ii yxbaN
11
(xi,yi)
y = b+mxyi -b-m xi
N
iii mxbyS
1
2)(
CRITERIO: Minimizar SCRITERIO: Minimizar S
AJUSTE POR MÍNIMOS CUADRADOS
(Ajuste lineal)
N
iii
N
ii
N
ii yxxbxa
11
2
1
29
MÍNIMOS CUADRADOS (Ajuste lineal de N puntos)
22 xNx
xyNyxm
22
2
xNx
xyxyxb
N
xx
N
yy
222
xy m
22
2
xxN
Nm
22
22
xxN
xb
DESVIACIONES (ERRORES EN LOS DATOS)
Coeficiente de correlación
2222 11y
Nyx
Nx
Nyx
xyr
30
MÍNIMOS CUADRADOS (Ejemplo)
0
10
20
30
40
50
60
70
0 10 20 30 40 50 60
x
y
x x y y
50 2 10 2
40 2 21 2
30 2 31 2
20 2 43 2
10 2 54 2
09.010.1 m
365b
99967.0r
bmxy
x x y y xy x^2 y^2
150 10 159 10 3670 5500 6267
x x y y xy x^2 y^2
50 2 10 2 500 2500 100
40 2 21 2 840 1600 441
30 2 31 2 930 900 961
20 2 43 2 860 400 1849
10 2 54 2 540 100 2916
31
EJEMPLO 6: Índice de refracción
• Medida del índice de refracción de una lámina de vidrio
i
r
n
sen i = n sen r
32
i i r r
25 1 15 1
30 1 20 1
35 1 21 1
40 1 24 1
45 1 27 1
50 1 29 1
55 1 30 1
60 1 32 1
65 1 33 1
70 1 36 1
bmxy
x x y y
sen r sen r sen i sen i
1 0,2588 0,0169 0,4226 0,0158
2 0,3420 0,0164 0,5000 0,0151
3 0,3584 0,0163 0,5736 0,0143
4 0,4067 0,0159 0,6428 0,0134
5 0,4540 0,0156 0,7071 0,0123
6 0,4848 0,0153 0,7660 0,0112
7 0,5000 0,0151 0,8192 0,0100
8 0,5299 0,0148 0,8660 0,0087
9 0,5446 0,0146 0,9063 0,0074
10 0,5878 0,0141 0,9397 0,0060
Medidas en grados sexagesimales
Índice de refracción: medidas (2)
rni sinsin
iiii
ii
cossin
sin
09.069.1 m
04.004.0 b
99301.0r
rrrr
rr
cossin
sin
33
0,0
0,2
0,4
0,6
0,8
1,0
1,2
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7
sen r
sen
i
09.069.1 m
04.004.0 b
99301.0r
Índice de refracción: gráfica (3)
Índice de refracción
35
CURVAS QUE PUEDEN REDUCIRSE A FORMA LINEAL
CASO 1. EXPONENCIALES
0 100 200 300 400 500 600 7000
1
2
3
4
5
t (s)
V (volts)
0 100 200 300 400 500 600 7000
1
2
3
4
5
/0
teVV
V )004.0008.5(0 V
s )2.05.251(
0 100 200 300 400 500 600 7000
1
2
3
4
5
t
eVV /0
Descarga de un condensador
36
CURVAS QUE PUEDEN REDUCIRSE A FORMA LINEAL
CASO 1. Las exponenciales se transforman en lineales tomando logaritmos
1
1 a
0 100 200 300 400 500 600 700-3,0
-2,5
-2,0
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
t (s)
ln (V/V0)
0 100 200 300 400 500 600 700-3,0
-2,5
-2,0
-1,5
-1,0
-0,5
0,0
0 100 200 300 400 500 600 700-3,0
-2,5
-2,0
-1,5
-1,0
-0,5
0,0t
VV )/ln( 0
taay 10
)002.0015.0(0 a1-
1 s )000004.0003930.0( a
37
CURVAS QUE PUEDEN REDUCIRSE A FORMA LINEAL
s
s’
ss
f1
'1
'1
f’
sf
s1
'1
'1
Ecuación de las lentes: forma de Gauss
CASO 2. FUNCIONES INVERSAS
Focal de una lente
38
s (cm) s’ (cm) 1/s (cm-1) 1/s’ (cm-1)97.50 67.65 0.010256 0.014782
106.00 63.95 0.0094340 0.015637
113.50 61.50 0.0088106 0.016260
120.30 59.70 0.0083126 0.016750
126.80 58.20 0.0078864 0.017182
(distancias s y s’ medidas con 0.05 cm)
CURVAS QUE PUEDEN REDUCIRSE A FORMA LINEAL
Focal de una lente: tabla de valores
39
1.45 10-2
1.50 10-2
1.55 10-2
1.60 10-2
1.65 10-2
1.70 10-2
1.75 10-2
7.50 10-3 8.00 10-3 8.50 10-3 9.00 10-3 9.50 10-3 1.00 10-2 1.05 10-2
1/s'
1/s
12 cm10003.0510.2'
1 f
a
004.0004.1 b
99998.0r
sb a
s
1
'
1
DETERMINACIÓN DE LA ORDENADA EN EL ORIGEN
CURVAS QUE PUEDEN REDUCIRSE A FORMA LINEAL
40
CURVAS QUE PUEDEN REDUCIRSE A FORMA LINEAL
cm84.3910510.2
11'
2
a
f
cm05.0
10510.2
10003.01'
22
2
2
a
af
43
Ley de Malus (2)0 161
10 12520 8730 5440 2845 1750 1055 660 465 770 1475 2280 3390 63
100 94110 130120 158130 190140 207150 214160 205170 179180 147
(º) I (lux)
0
50
100
150
200
250
0 40 80 120 160
I = m1 + m2 cos2(+m3)
m1 = (5.6±1.0) lux m2 = (204.9±1.8) lux
m3 = (31.2±0.3) º r = 0.99924
46
Difracción por una rendija (3)
d (mm) dc (mm) Intensidad0 -11.75 0.31 -10.75 0.72 -9.75 2.33 -8.75 5.44 -7.75 10.15 -6.75 16.26 -5.75 23.07 -4.75 29.98 -3.75 36.39 -2.75 41.710 -1.75 45.711 -0.75 47.912 0.25 48.613 1.25 47.314 2.25 44.315 3.25 39.716 4.25 33.817 5.25 27.118 6.25 20.119 7.25 13.520 8.25 7.921 9.25 3.822 10.25 1.423 11.25 0.324 12.25 0.2
0.0
10.0
20.0
30.0
40.0
50.0
-5.0 0.0 5.0 10.0 15.0 20.0 25.0
Inte
nsi
dad
(un
idad
es a
rbit
rari
as)
distancia (mm)
d
= 1
1.7
5 m
m0
Figura E-1: Localizacion grafica del centro de la figura de difraccionLocalización gráfica del centro de la figura de difracción
47
Difracción por una rendija (4)
0.0
10.0
20.0
30.0
40.0
50.0
-15.0 -10.0 -5.0 0.0 5.0 10.0 15.0
Inte
nsid
ad (
unid
ades
arb
itrar
ias)
distancia corregida (mm)
)(20 mxsincII 2.03.490 I 1)0013.02545.0( mmm
48
Difracción por una rendija (5)
D
am
2
mmDm
a 0513.01000108.6322545.0
26
)(20 mxsincII
2.03.490 I
1)0013.02545.0( mmm
nm)1.08.632( mmD )101000(
DmmDmDa maximo1
)2(
mm0008.010108.6232545.0101.010002545.00013.01000108.6321 666
mma )0008.00513.0(2
99955.0r
49
BIBLIOGRAFÍA
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Wilhelm H. Westphal, Prácticas de Física. Ed. Labor, Barcelona (1952)
Murray R. Spiegel, Estadística. Teoría y 875 problemas resueltos. McGraw-Hill(Schaum), México (1969)
Jerry D. Wilson, Física (2ª Ed.). Prentice-Hall, Méjico (1996)
W. H. Press y otros, Numerical Recipes. The Art of Scientific Computing, CambrigdeUniversity Press, Cambrigde 1986
W. Lichten, Am. J. Phys 57 (12), 1989