TRABAJO: TEORA DE FALLASTEORA DE FALLA

La falla es la prdida de funcin de un elemento tanto por deformacin (fluencia) como por separacin de sus partes (fractura). Los mecanismos de falla dependen de la estructura microscpica del material y de la forma de sus enlaces atmicos. Para predecir la falla de materiales bajo cargas estticas (se considera carga esttica a aquella que no vara su magnitud ni direccin en el tiempo) y poder hacer diseos de elementos de mquinas confiables se han desarrollado varias teoras para grupos de materiales, basndose en observaciones experimentales.

Las teoras de falla se dividen en dos grupos: Materiales dctiles Teora del Esfuerzo Cortante Mximo Teora de Tresca (MSS) Teora de la Energa de Distorsin - Teora de Von Misses (DE) Teora de la Friccin Interna - Coulomb-Mohr Dctil (IFT)

Materiales frgiles Teora del Mximo Esfuerzo Normal Teora de Rankine (MNS) Teora de Coulomb Mohr Frgil (BCM)

Falla de Materiales dctilesSe considera dctil a un material que en el ensayo de tensin haya tenido ms del 5% de deformacin antes de la fractura. En los materiales dctiles se considera que la falla se presenta cuando el material empieza a fluir (falla por deformacin). Teora del Esfuerzo Cortante Mximo Tambin conocida como Teora de Tresca. Establece que la fluencia del material se produce por el esfuerzo cortante, surgi de la observacin de la estriccin que se produce en una probeta cuando es sometida a un ensayo de tensin. La teora dice: La falla se producir cuando el esfuerzo cortante mximo absoluto en la pieza sea igual o mayor al esfuerzo cortante mximo absoluto de una probeta sometida a un ensayo de tensin en el momento que se produce la fluenciaPara un elemento bajo la accin de esfuerzos tenemos el crculo de Mohr:

Figura 1.1. Crculo de Mohr para un elemento.El esfuerzo cortante mximo absoluto es entonces: (1.1)El crculo de Mohr para el ensayo de tensin en el momento de la fluencia es:

Figura 1.2. Crculo de Mohr para el ensayo de tensin al momento de la fluencia.

El esfuerzo cortante mximo absoluto es entonces para el ensayo de tensin al momento de la fluencia:

(1.2)Segn la teora de Tresca, igualamos las ecuaciones 1.1 y 1.2 y tenemos:

(1.3)La ecuacin 2.3 se utiliza cuando 1>0>3. En los otros casos: (1.4)En el plano 1-3, la teora de Tresca se representa grficamente como:

Figura 1.3. Representacin grfica de la Teora de Tresca. La falla se presentar cuando el punto determinado por los esfuerzos 1 y 3 se encuentra fuera del rea sombreada en la figura 1.3. Teora de la Energa de Distorsin Propuesta por R. Von Misses al observar que los materiales bajo esfuerzos hidrostticos soportan esfuerzos mucho mayores que sus esfuerzos de fluencia bajo otros estados de carga. La teora establece: La falla se producir cuando la energa de distorsin por unidad de volumen debida a los esfuerzos mximos absolutos en el punto crtico sea igual o mayor a la energa de distorsin por unidad de volumen de una probeta en el ensayo de tensin en el momento de producirse la fluencia

La teora de Von Misses dice que la distorsin del elemento es debida a los esfuerzos principales restndoles los esfuerzos hidrostticos La energa de distorsin es la diferencia entre la energa total de deformacin por unidad de volumen y la energa de deformacin por unidad de volumen debida a los esfuerzos hidrostticos.

Figura 1.4.Como el material se encuentra en el rango elstico (ya que la falla se produce al llegar a la zona plstica), la energa total de deformacin por unidad de volumen para el elemento es

(1.5)Las deformaciones son: (1.6)

Reemplazando las deformaciones de la ecuacin 1.6 en la ecuacin 1.5 resulta la energa total de deformacin:

(1.7)La energa de deformacin debida a los esfuerzos hidrostticos es:

(1.8)La energa de distorsin es entonces:

(1.9)En el ensayo de tensin al producirse la fluencia, 2=3=0, 1=Sy, y entonces la energa de distorsin en la probeta es:(1.10)Igualando las ecuaciones 1.9 y 1.10 como lo dice el enunciado de la teora, tenemos:

(1.11)Se define el esfuerzo de Von Misses como: (1.12)Entonces, la falla se da cuando: (1.13)En el caso bidimensional, 2=0 y el esfuerzo de Von Misses es: (1.14)Para el caso bidimensional, en el plano 1 - 3, la teora de Von Misses se representa grficamente como:

Figura 1.5. Representacin grfica de la teora de la energa de distorsin.

La falla se presentar cuando el punto determinado por los esfuerzos 1 y 3 se encuentra fuera del rea sombreada en la figura 1.5. La lnea ms gruesa representa las locaciones donde se presentar la falla de acuerdo con Von Misses, las lneas interiores ms delgadas representan las locaciones de falla de acuerdo con Tresca. De la figura 1.5 puede observarse que la teora de Von Misses tiene un mayor rea en la cual no se presentar falla que la teora de Tresca, por eso la teora del esfuerzo cortante mximo es la teora escogida para hacer clculos conservadores de falla de un material y tener mayor certeza de que no se producir falla.Si se considera un elemento que se encuentre bajo cortante puro en el momento de la falla, donde el esfuerzo cortante a la fluencia es Ssy el esfuerzo de Von Misses resulta ser de la ecuacin 1.12:

Y la falla se da cuando

Donde Sy es el esfuerzo de fluencia a la tensin, entonces resulta la importante relacin:(1.15)

Teora de Coulomb-Mohr Dctil Tambin conocida como Teora de la Friccin Interna (IFT). sta teora tiene en cuenta que el esfuerzo de fluencia a tensin (Syt) es diferente al esfuerzo de fluencia a compresin (Syc), donde generalmente Syc > Syt. Se basa en los ensayos de tensin y compresin, y establece que en el plano - la lnea tangente a los crculos de Mohr de los ensayos de tensin y compresin al momento de la fluencia es la locacin de la falla para un estado de esfuerzos en un elemento.

Figura 2.6. Crculos de Mohr de los ensayos de tensin y compresin al momento de la falla en lnea negra gruesa, y el crculo de Mohr de un estado de esfuerzos de un elemento al momento de la falla en lnea negra delgada. La lnea ms clara es la lnea donde se produce la falla. La ecuacin de la lnea de falla cuando 1> 0 > 3, resulta ser:

(1.16)En los otros casos, la falla se dar cuando:

(1.17)En el plano 1 -3, la teora de Coulomb-Mohr Dctil se representa grficamente como:

Figura 2.7. Representacin grfica de la teora de Coulomb-Mohr dctil.

La falla se presentar cuando el punto determinado por los esfuerzos 1 y 3 se encuentra fuera del rea sombreada en la figura 1.7. La lnea ms gruesa representa las locaciones donde se presentar la falla de acuerdo con Coulomb-Mohr, las lneas interiores ms delgadas representan las locaciones de falla de acuerdo con Tresca. De la figura 1.7 puede observarse que la teora de Coulomb-Mohr tiene un mayor rea en la cual no se presentar falla que la teora de Tresca, por eso y por lo que se ha hecho notar de la figura 1.5, es que la teora del esfuerzo cortante mximo es la teora escogida para hacer clculos conservadores de falla de un material y tener mayor certeza de que no se producir falla. Falla de materiales frgilesSe considera frgil a un material que en el ensayo de tensin haya tenido menos del 5% de deformacin antes de la fractura. En los materiales frgiles se considera que la falla se presenta cuando el material sufre de separacin de sus partes (falla por fractura). Teora del Mximo Esfuerzo Normal Enunciada por W. Rankine, la teora enuncia: La falla se producir cuando el esfuerzo normal mximo en la pieza sea igual o mayor al esfuerzo normal mximo de una probeta sometida a un ensayo de tensin en el momento que se produce la fractura Notando la resistencia a la tensin como Sut y la resistencia a compresin como Suc, tenemos que segn la teora, la falla se dar cuando:

(2.1)Para el caso bidimensional, en el plano 1-3, la teora del mximo esfuerzo normal se representa grficamente como:

Figura 2.1. Representacin grfica de la teora del esfuerzo normal mximo. La falla se presentar cuando el punto determinado por los esfuerzos 1 y 3 se encuentra fuera del rea sombreada en la figura 2.1.

Teora de Coulomb-Mohr Frgil Se deriva de forma similar a la teora de Coulomb-Mohr Dctil slo que, al tratarse de materiales frgiles, se tienen en cuenta las resistencias ltimas del material a la tensin y compresin en lugar de los esfuerzos de fluencia. La ecuacin de la lnea de falla cuando 1>0 >3, resulta ser:

(2.2)En los otros casos, la falla se dar cuando:

(2.3)En el plano 1- 3, la teora de Coulomb-Mohr Frgil se representa grficamente como:

Figura 2.2. Representacin grfica de la teora de Coulomb-Mohr frgil. La falla se presentar cuando el punto determinado por los esfuerzos 1 y 3 se encuentra fuera del rea sombreada en la figura 2.2. De las figuras 2.1 y 2.2 puede observarse que el rea libre de falla es mayor segn la teora del mximo esfuerzo normal que segn la teora de Coulomb-Mohr Frgil, por lo anterior, para clculos de diseo conservadores en materiales frgiles se recomienda usar la teora de Coulomb-Mohr Frgil.

Ejemplo Un punto de una pieza est solicitado segn el siguiente estado tensional: x = -500 kg/cm2 ; y =1000kg/cm2 ; xy =+600 kg/cm2. Si el material tiene una tensin de fluencia f =3030 kg/cm2, determinar el Coeficiente de Seguridad aplicando: a) Criterio de Guest-Tresca (mx).b) Criterio de Von Mises (Energa de distorsin)

Clculo de tensiones principales:

1 = 1210 kg/cm2 2 = -710 kg/cm2

Para cada criterio, calculamos el valor de la tensin efectiva = f(1 2 3), tal como se indica en la teora. En base a ello el factor de seguridad contra la falla = falla/c = f/c a) s/ criterio de mx Para nuestro caso las tensiones principales tienen distinto signo; calculamos en base a:c = 1 - 2 = 1210 + 710 = 1920 kg/cm2 = 3030/1920 = 1,578

b) s/ criterio de Von Mises. En este caso recurrimos a la expresin 2 = 21 + 22 1 2 2 = (1210)2 + (710)2+ (1210)(710); = 1681 kg/cm2 = 3030/1681= 1,802 Los valores calculados nos indican que el criterio de las tensiones tangenciales mximas es ms conservativo que el de la energa de distorsin.

Ejemplo Consideremos un tubo hueco de pared delgada cerrado en sus extremos y con una presin externa p. El espesor de la pared es t, el radio interno es r, y el material dctil tiene una resistencia de fluencia f. Encontrar una ecuacin para el espesor requerido correspondiente a los valores de r y un factor de seguridad de contra la fluencia.Solucin:x=(pr)/t Direccin tangencial y=(pr)/2t Direccin Longitudinalz=-p Direccin RadialAsumiendo que r/t es relativamente grande, z es pequea comparada con x y y, de forma tal que el problema puede simplificarse adoptando z = 0 como una aproximacin. Debido a que no hay tensiones tangenciales aplicadas, las tensiones de arriba son tensiones principales. 1=x=(pr)/t2=y=(pr)/2t3=z=0

La tensin efectiva para el criterio de la M.T.T. es:cs=MAX (|1 - 2|; 2 3| 3 1|)cs=MAX (|((pr)/t) - ( (pr)/2t)|; ( (pr)/2t) 0 |; 0- ((pr)/t)|)= (pr)/t

El factor de seguridad contra la fluencia es: v= f/ cs = (f t)/ (pr)

El cul da el espesor requerido: t =( Xpr)/ f