TEORÍA DE FALLA PROPUESTA PARA EL BAMBÚ

Christian Andrés Rangel Collazos Ingeniero Civil. Cali, Colombia.

Estudiante de Maestría

José Jaime García Álvarez Ingeniero Mecánico, M.Sc, Ph.D. Cali, Colombia

Profesor Titular Universidad del Valle, Cali, Colombia.

Escuela de Ingeniería Civil y Geomática Universidad del Valle, Cali - Colombia

Resumen El bambú es una buena alternativa para ayudar a reducir del déficit de vivienda en el mundo, gracias a sus ventajas económicas y ambientales combinadas con sus excelentes propiedades mecánicas. Debido a que grandes zonas habitadas de nuestro planeta tienen un riesgo sísmico alto, se debe garantizar la sismorresistencia de las construcciones de bambú. Para ello es conveniente desarrollar una teoría de falla que permita optimizar las estructuras de bambú, en especial en las uniones, donde se producen estados de esfuerzo complejos. Como en un material compuesto artificial, un estado de esfuerzos multiaxial conduce a interacciones que alteran la resistencia, comparada con los casos simples de carga. Para considerar la no linealidad tensión-compresión que ha sido documentada para este material, en este estudio se adoptó la teoría de Tsai-Wu en combinación con un modelo transversalmente isótropo. Esta teoría fue ajustada con valores reportados en la literatura y ensayos realizados en nuestro laboratorio para la guadua angustifolia. Análisis con la teoría ajustada mostraron que la interacción de los componentes del esfuerzo arroja una resistencia menor que la obtenida en ensayos uniaxiales. Actualmente se realizan más experimentos para mostrar la validez de esta teoría bajo un mayor espectro de estados de esfuerzo. Abstract Bamboo has become a good alternative to help mitigating the shortage of houses in the world, given its economical and environmental advantages combined with its excellent mechanical properties. Due to the high seismic risk in wide areas of our planet, special care has to be exercised to guarantee seismic resistant bamboo constructions. As in any artificial composite materials, a 3-D stress field leads to interactions that alter the strength compared to that obtained under simple load cases. Consequently a failure theory needs to be formulated in order to be used with finite element analyses for the optimization of bamboo structures, in particular at the joints. Given the tension-compression nonlinearity that has been documented for bamboo, the Tsai-Wu theory was adopted in conjunction with a transversely isotropic model. This failure theory was initially adjusted with values reported in the literature and tests undertaken in our lab for guadua angustifolia. Analyses with the adjusted theory showed that the interaction of the components of the stress field yielded a lower strength compared to that obtained in simple tests. More experiments have to be undertaken to show the validity of this failure theory under a wide spectrum of load cases.

Introducción Seiscientos millones de personas en países en desarrollo viven en habitaciones que atentan contra su salud [1]. Además, las actividades de construcción y similares son las que más consumen recursos materiales, de capital o energía [2]. Por lo anterior es necesario desarrollar nuevas soluciones de vivienda sostenibles y de bajo costo. Uno de los materiales con alto potencial para el desarrollo de dichas soluciones es el bambú. Los bambús o Bambusoideae son una subfamilia de plantas perteneciente al género de las gramíneas que agrupa alrededor de 1200 especies diferentes. Estás plantas están presentes de forma natural en todos los continentes con excepción de Europa [3] y algunas de ellas se destacan por ser las plantas terrestres conocidas de crecimiento más veloz ya que se han observado bambús que pueden crecer hasta 1 m en 24 horas en condiciones de laboratorio. La mayoría de especies de bambú han sido usadas por el hombre para diversos fines, de acuerdo a sus características propias. Entre los usos más comunes se encuentran la construcción de viviendas, puentes y otras estructuras, la fabricación de artesanías e implementos cotidianos y la alimentación. La guadua angustifolia es una especie de bambú que crece en la parte norte de Suramérica. Su tallo tiene forma de un cilindro hueco con tabiques rigidizadores (nudos) separados a distancias que oscilan entre 20 y 40 cm. El diámetro se incrementa progresivamente desde la base hasta la parte superior y alcanza una altura promedio de 30 m con un diámetro medio de 12 cm y un espesor de pared que oscila entre 8 y 12 mm. [4] Dada sus excelentes propiedades mecánicas, este material es usado frecuentemente en la construcción de casas rurales y estructuras temporales. Además, es una planta de rápido crecimiento y su uso controlado ayuda a preservar los bosques naturales. Se convierte así en un buen candidato para ayudar a solucionar el déficit de vivienda en Latinoamérica. Desde el punto de vista mecánico la guadua es un material anisótropo que contiene fibras alineadas en la dirección axial del tallo. Esto le confiere una alta rigidez y resistencia en la dirección axial comparadas con las obtenidas en la dirección transversal. [5] Se han realizado investigaciones para determinar las propiedades mecánicas de diferentes especies de bambú con el fin de mejorar la calidad de las estructuras construidas con este material. Frecuentemente, estos estudios han estado encaminados a determinar las propiedades en la dirección axial. [6], [7], [8], [9] Pocas investigaciones han tenido como objetivo determinar la resistencia en los otros planos de carga. [4], [10] Estudios para caracterizar el bambú han mostrado que la resistencia a cortante puro es tres o cuatro veces mayor que la resistencia a cortante en pruebas de flexión, lo que se atribuye al estado multiaxial de esfuerzos que se genera en la estructura de guadua en estas pruebas. [5] Así mismo, se ha observado que en pruebas de compresión de tacos completos cortados del tallo, la falla ocurre por separación en los planos longitudinales debido a la baja resistencia a tracción en la dirección circunferencial. [7] Dado el complejo estado de esfuerzos que se presenta en el bambú aún en configuraciones simples de carga, es conveniente utilizar una teoría

de falla que permita conocer los planos débiles del material ante casos multiaxiales de carga. La hipótesis de este estudio es que una teoría de falla para materiales anisótropos puede explicar adecuadamente las fallas que se observan en estructuras de bambú. Mediante la utilización de esta teoría y el análisis de modelos de elementos finitos puede ser posible mejorar el comportamiento de los elementos, en particular, en las uniones, [12] que es donde se suelen presentar las fallas en caso de eventos sísmicos. Se presenta el ajuste de una teoría de falla usada para materiales compuestos, su predicción de falla para un anillo sometido a flexión y un protocolo propuesto para someter latas de guadua a torsión pura en máquinas de prueba convencionales. Materiales y métodos Tal como había sido propuesto por Barriosnuevos, [10] en este proyecto se considerará la teoría de falla de Tsai-Wu, [12] la cual tiene en cuenta la interacción entre los esfuerzos en distintas direcciones y las diferencias en la resistencia a tracción y compresión. Matemáticamente este criterio se puede representar por la ecuación

1][)()]([)( ≤+ WT TT σσσ (1)

donde el vector )(σ contiene las componentes del tensor esfuerzo de Cauchy y las matrices ][T y ][W contienen los coeficientes de resistencia kiF y iF así

=

66

55

44

333231

322221

311211

00000

00000

00000

000

000

000

][

F

F

F

FFF

FFF

FFF

T ,

=

0

0

0][

3

2

1

F

F

F

W . (2)

Las componentes del tensor esfuerzos de Cauchy se organizaron de forma vectorial como sigue

≡

→

6

5

4

3

2

1

12

13

23

33

22

11

332313

232212

131211

σσσσσσ

σσσσσσ

σσσσσσσσσ

. (3)

Se considera que los ejes 1, 2 y 3 coinciden con los ejes del material. En este caso, el eje 3 corresponde al axial que va a lo largo del tallo del material, mientras los ejes 2 y el 3 coinciden con los ejes radial y circunferencial respectivamente (Fig. 1). Como las fibras coinciden con el eje 3, la ecuación (2) que es válida para un material ortótropo se puede aplicar a este caso.

Figura 1. Esquema con la alineación de los ejes. Según el modelo transversalmente

isótropo el plano 1-2 es de isotropía Mediante el desarrollo de la ecuación (1) se obtiene

1222 323231312121

332211

2

666

2

555

2

444

2

333

2

222

2

111

≤++

+++++++++

σσσσσσσσσσσσσσσ

FFF

FFFFFFFFF. (4)

Como una primera aproximación, en este trabajo se adopta el modelo transversalmente isótropo propuesto por Torres et al., [4] según el cual el plano transversal perpendicular al eje 3 (plano 3 o plano 1-2) es un plano de isotropía, lo cual implica que las propiedades en cualquier dirección del plano 3 no cambian. Con base en este modelo se pueden deducir las siguientes igualdades

2211 FF = (5)

5544 FF = (6)

3231 FF = (7)

21 FF = (8)

Es así como la resistencia en la dirección radial se hace igual a la resistencia en la dirección circunferencial. Por otra parte, si se considera un estado de esfuerzo cortante puro, según el cual todas las componentes del tensor esfuerzo son iguales a cero, excepto σσ =6 , según la ecuación (4) en la superficie límite de falla se cumple que

12

66 =σF . (9)

Por otra parte, si se hace una rotación de ejes de 45º respecto al eje 3, para este mismo estado de esfuerzos se cumple que σσ =1 , σσ −=2 y las otras componentes del esfuerzo son iguales a cero. Con respecto a esta rotación de ejes las componentes de resistencia no cambian debido a la hipótesis de isotropía transversal, por tanto, la ecuación (4) queda así

12 2

21

2

11

2

11 =−+ σσσ FFF . (10)

Mediante la substitución de (9) en (10) se obtiene

)(2 121166 FFF −= . (11)

De donde se concluye que el número de coeficientes de resistencia independientes para un material transversalmente isótropo es de siete, tal como aparecen en las siguientes matrices ][T y ][W

−

=

)(200000

00000

00000

000

000

000

][

2111

44

44

331331

131121

311211

FF

F

F

FFF

FFF

FFF

T

=

0

0

0][

3

1

1

F

F

F

W . (12)

Bajo estas condiciones, la ecuación (4) se puede escribir así

1222

)(2

323131312121

332111

2

62111

2

544

2

444

2

333

2

211

2

111

≤++

++++−+++++

σσσσσσσσσσσσσσσ

FFF

FFFFFFFFFF. (13)

Cinco de los coeficientes se pueden expresar en términos de las resistencias últimas del material a tensión u

itσ y a compresión u

icσ , respectivamente, en la dirección i, y la

resistencia última a cortante u

4σ . Con base en la ecuación (13) se puede verificar que

u

c

u

t

F11

11

1

σσ= (14)

u

c

u

t

F33

33

1

σσ= (15)

2

4

44)(

1u

Fσ

= (16)

u

c

u

t

F11

1

11

σσ−= (17)

u

c

u

t

F33

3

11

σσ−= . (18)

Los otros dos coeficientes independientes 21F y 32F se deben obtener mediante la

realización de pruebas biaxiales. Por ejemplo, para obtener 21F se puede realizar una

prueba en la cual σσσ == 21 . Si el material falla cuando uσσ = entonces, de acuerdo con la ecuación (13)

])(221[)(2

111

2

1221 FFF uu

uσσ

σ−−= . (19)

En caso de no tener resultados de pruebas biaxiales, Tsai-Wu [13] proponen estimar estos coeficientes así

jjiiji FFF 5.0−= . (20)

Con base en resistencias reportadas en la literatura se realizó un primer ajuste de la teoría de falla. Se consideraron las siguientes resistencias en dirección de las fibras y resistencia a cortante reportadas en la literatura (Tabla 1) en donde se excluyó la resistencia a compresión reportada por Ciro et al (2005) por ser mucho mayor que las otras resistencias

MPau

t 2.713 =σ MPau

c 4.443 =σ MPau 2.64 =σ .

Además, con base en las mediciones realizadas por Barriosnuevos [10] se consideran las siguientes resistencias en dirección perpendicular a las fibras

MPau

t 41 =σ MPau

c 441 =σ .

Tabla 1. Resumen de resistencias de la guadua reportadas en la literatura

Autor u

tσ3 (MPa) u

cσ3 (MPa) uσ 4 (MPa) Ghavami y Marinho [6] 86.96 29.48 2.02 Takeuchi y González [9] 56.00 López y Trujillo [11] 53.50 43.90 6.90 López y Silva [14] 52.44 42.99 6.73 Uribe y Durán [15] 49.43 Takeuchi [16] 6.89 Diaz y González * 7.74 Castrillón y Malaver * 91.87 7.84

* Citados por Ciro et al. [17]

Con el objeto de obtener algunos puntos de la curva de falla se realizaron pruebas a torsión de elementos longitudinales del tallo de guadua (latas). Estos experimentos estuvieron orientados a complementar las resistencias que han sido reportadas en la literatura, ya que la prueba de torsión no está documentada en las normas para guadua por la dificultad de someter a torsión pura elementos longitudinales con máquinas universales. Adicionalmente, se deseaba conocer la curva esfuerzo-deformación con el objeto de determinar si el comportamiento del material es dúctil y frágil. Consistente con la teoría planteada, se consideró como falla el esfuerzo correspondiente a la intersección de la curva fuerza-deflexión con una paralela a su parte lineal trazada por el 0.2% de la deformación. Para generar torsión pura, una parte del elemento se empotró mediante platinas de acero de 3/8” de espesor y tornillos de sujeción (Fig. 2.a). En el otro extremo también se utilizaron platinas de acero para transmitir el torque mediante la aplicación de la carga vertical a cierta distancia del centroide de la sección del elemento de bambú. Para garantizar una aplicación de torsión pura, se usó un elemento de apoyo ubicado en un eje coincidente con el centroide de la sección. La altura de este elemento (Fig. 2.b) se modificó mediante un tornillo para adaptarse a la posición vertical del extremo de la lata, la que puede variar dependiendo de las irregularidades del elemento. Las latas de guadua angustifolia utilizadas en este estudio se obtuvieron de plantas con edades entre tres y cinco años. Estas plantas fueron cultivadas en el Eje Cafetero (Colombia) a una altitud de 1500 m respecto al nivel del mar. Se midieron los diámetros, el espesor, la altura y la humedad de acuerdo con la norma ISO 22157-1. [18] La fuerza se aplicó mediante una máquina de pruebas dinámica [19] y la carga y los desplazamientos se midieron, respectivamente, mediante una celda LC703-300 y un LVDT LD610-15 (Omega Engineering, Inc., USA). La fuerza se aplicó con control de desplazamiento a una velocidad de 1 mm/min con base en recomendaciones de la norma D143-94. [20]

a.

b.

Figura 2. a. Montaje para la prueba de torsión pura de latas de

guadua y b. Detalle del dispositivo utilizado en el extremo para el apoyo vertical de la probeta

Se realizaron además pruebas preliminares de flexión con anillos de guadua en donde la mitad de cada anillo se fijó con dos placas de acero firmemente sujetas con pernos a la base de la máquina de pruebas (Fig. 3). En la parte media del extremo de la otra mitad del anillo se aplicó una carga axial, de tal forma que en la sección del empotramiento se produjo un momento flector igual al producto de la fuerza axial por el radio medio. En esta prueba se utilizaron los instrumentos descritos anteriormente para la prueba de torsión de latas.

Figura 3. Montaje utilizado para la prueba de anillos de guadua y la fisura observada

Con el objeto de determinar la distribución de esfuerzos en la sección se realizaron modelos de elementos finitos con el programa ABAQUS 6.91.1 (Simulia, France). La malla estuvo compuesta de hexaedros C3D8I la cual fue escogida con base en un análisis de convergencia con un refinamiento de malla cerca de la zona del empotramiento. Se utilizó un modelo transversalmente isótropo, donde las constantes elásticas utilizadas (Tabla 2) se obtuvieron en estudio previos. [4], [6], [21] Tabla 2. Constantes elásticas utilizadas en el modelo de elementos finitos.

Constante Valor Referencia ν12 0.24 Ghavami et al [21] E1 0.403 GPa Ghavami et al [21]

G13 0.599 GPa Ghavami et al [21]

ν31 0.30 Ghavami y Marinho [6] E3 14.600 GPa Ghavami y Marinho [6]

Resultados En la prueba de torsión pura se observó un comportamiento no lineal en la curva de carga vs deflexión (Fig. 4) y un comportamiento dúctil del material. Un examen de las latas probadas no reveló fisuras en el material. Con base en la recta al 0.2% de la deformación la resistencia obtenida fue de 5.5 MPa. En la prueba de flexión con anillos se observó una curva de fuerza vs deflexión (Fig. 5) típica de un material frágil. En la simulación de este experimento de flexión en anillos de bambú se observó una consistencia entre la falla observada (Fig. 3) y la que predice la teoría de falla (Fig. 6).

Figura 4. Curva típica obtenida en la prueba de torsión pura de latas de guadua en la que se observa la ductilidad del material bajo este estado de carga. Esta probeta

no presentó ruptura para la carga mostrada

Figura 5. Curva típica obtenida en la prueba de flexión de anillos. El punto de carga

máxima indica la falla del material El modelo de elementos finitos mostró un esfuerzo máximo en el perímetro (Fig. 7), localizado en el centro del lado más largo de la lata. Esta distribución es consistente con la obtenida mediante la elasticidad lineal para un material isótropo. [22] Una comparación entre el esfuerzo máximo obtenido con el modelo de elementos finitos y las fórmulas de elasticidad lineal válidas para materiales isótropos muestran diferencias máximas del 20% en el esfuerzo cortante máximo, siendo mayor en todos los casos el esfuerzo máximo obtenido con la fórmula. En un análisis con la teoría de falla se observa una reducción de la resistencia circunferencial cuando aumenta el esfuerzo cortante en el material (esfuerzo S4 mostrado en la leyenda de la Fig. 8).

Figura 6. Contornos según la teoría de falla y su ajuste para un experimento típico con anillos, mostrando el valor máximo cerca de 1 en el borde interno de la

superficie superior

Figura 7. Distribución de esfuerzos cortantes σ23 en un elemento de guadua según

el análisis de elementos finitos

Figura 8. Representación de la superficie de falla. Se puede observar la influencia

del esfuerzo cortante S4 (σ23 en notación tensorial) en la disminución de la capacidad de carga del material, lo que se puede apreciar por una menor área para

Discusión Para la guadua angustifolia se adoptó la teoría de Tsai-Wu, la cual ha sido propuesta para predecir la falla de materiales compuestos artificiales. Con base en una teoría de falla ajustada es posible realizar análisis con modelos de elementos finitos con el objeto de conocer los puntos débiles de un elemento o conexión para realizar las modificaciones geométricas o constructivas que permitan mejorar el comportamiento del material y la seguridad de la estructura. Simulaciones preliminares arrojaron una buena correlación entre el punto de falla observado y el que predice la teoría. Con el fin de complementar algunos puntos para el ajuste de la teoría de falla se realizaron pruebas de torsión pura de latas de guadua en una máquina universal mediante un protocolo sencillo, el cual podría ser utilizado para ensayar otros tipos de bambú y maderas. La resistencia obtenida (5.73 MPa) es similar al promedio establecido con base en los datos reportados en la literatura (6.2 MPa) utilizando procedimientos de prueba totalmente diferentes, lo que sugiere la validez de esta prueba para hallar la resistencia a torsión del material. El comportamiento dúctil observado en estas pruebas de torsión pura es consistente con la alta ductilidad del material cuando es sometido a carga de compresión en dirección de las fibras. [9] Por el contrario, cuando se presentan esfuerzos de tracción perpendiculares a las fibras, la falla se presentó de una forma súbita, tal como fue comprobado en los

experimentos pilotos con anillos de guadua sometidos a flexión. Se corrobora así la debilidad del material cuando está sometido a esfuerzos de tracción perpendiculares a las fibras, aspecto que debe ser de especial atención en las uniones de la estructura. Con respecto al ajuste de los esfuerzos obtenidos en la prueba de torsión se pudo comprobar que los resultados de los modelos de elementos finitos tuvieron una diferencia de 20% con respecto a los obtenidos mediante fórmulas de elasticidad lineal válidas para materiales isótropos. Estas diferencias se pueden atribuir a la variación de la geometría de las latas con respecto a la rectangular. Un análisis con la teoría de falló mostró una pérdida de resistencia del material debido al acople entre esfuerzos circunferenciales y cortantes. Esta situación se suele presentar en vigas completas sometidas a flexión en donde los esfuerzos normales en la dirección circunferencial aparecen en los mismos planos donde existen esfuerzos cortantes significativos. Esto parece explicar la menor resistencia a cortante obtenida en pruebas de flexión con respecto a la obtenida en pruebas de cortante puro, tal como ha sido documentado en la literatura. [5] Los resultados preliminares muestran que la teoría de falla propuesta puede representar de una forma adecuada la falla de la guadua. No obstante, es necesario realizar una gran cantidad de pruebas adicionales bajo estados diferentes de carga con el fin de determinar más exactamente los límites de aplicación de la teoría. Esta teoría servirá de insumo a modelos de elementos finitos con los cuales se podrá simular de una forma confiable el comportamiento mecánico de las uniones, que son las zonas más vulnerables de las estructuras en bambú ante eventos sísmicos, y a partir de dichas simulaciones establecer las configuraciones óptimas de diseño. Agradecimientos Los autores agradecen el apoyo de la Universidad del Valle y Colciencias para la realización de este estudio. Referencias

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