Introducción

 Cuando se trata del diseño de estructuras o componentes, las propiedades físicas de los materiales constituyentes suelen encontrarse a partir de los resultados de experimentos de laboratorio en los que únicamente se ha sometido a los materiales a las condiciones de esfuerzo más simples. La prueba más usual es la prueba de tensión simple, en la que se determina fácilmente el valor del esfuerzo de fluencia o el de fractura (el que ocurra primero), Excepto en unos cuantos casos particulares, generalmente no se conoce la resistencia de los materiales sometidos a sistemas complejos de esfuerzos, En la práctica estos sistemas complejos de esfuerzos son los que se encuentran más a menudo, por lo que resulta necesario contar con alguna base para determinar los esfuerzos de trabajo permisibles de modo que se evite la falla, De este modo, la función de las teorías de la falla elástica consiste en predecir, con base en el comportamiento de los materiales en una prueba de tensión simple, cuándo se presentará la falla elástica bajo cualquier condición de esfuerzo aplicado.

Se han propuesto varios criterios teóricos con objeto de obtener una correlación adecuada entre la vida o duración estimada del componente y la que realmente se logra en las condiciones de carga de servicio para aplicaciones en materiales tanto frágiles como dúctiles. Las cinco teorías principales son:

 

a) Teoría del esfuerzo principal máximo (Rankine).

b) Teoría del esfuerzo cortante máximo (Guest- Tresca).

c) Deformación principal máxima (Saint-Venant).

d) Energía total de deformación por unidad de volumen (Haigh).

e) Energía de deformación por esfuerzo cortante por unidad de volumen (Maxwell- Huber Von Mises).

En cada caso, el valor de la propiedad elástica crítica que se elija implicada en el título de la teoría se calcula tanto para las pruebas de tensión simples como para un sistema de esfuerzos complejos tridimensional. Estos valores se igualan entonces para obtener el llamado criterio de falla enlistado en la última columna del cuadro . En este cuadro, es el esfuerzo de fluencia en una prueba de tensión simple, y y son los tres esfuerzos principales en el sistema tridimensional complejo de esfuerzos, en orden de magnitud. Así, en el caso de la teoría del esfuerzo cortante máximo, es la mayor diferencia numérica entre dos esfuerzos principales, tomando en consideración los signos y el hecho de que uno de los esfuerzos principales pueda ser cero.

Cada una de las teorías que se enlistan en el cuadro que se indica a continuacion, se presentarán en detalle , así como una sexta teoría, f) la teoría del esfuerzo cortante modificada de Mobr. Mientras que en las teorías anteriores, de la a) a la e), se supone una resistencia del material idéntica en tensión y compresión, en la teoría modificada de Mohr se intenta considerar la resistencia adicional de los materiales frágiles a la compresión.

y

21 , 3

1 3

y 1

2y

 Teoría

Valor en la prueba de

tensión a la falla

Valor en un sistema de esfuerzos complejo

Criterio de falla

Esfuerzo principal máximo (Rankine)

Esfuerzo cortante máximo (Guest-

Tresca)

   

Deformación principal máxima

(Saint-Venant)

Energía de deformación total

por unidad de volumen (Haigh)

     

Energía de deformación por esfuerzo cortante

por unidad de volumen Teoría de energía de distorsión (Maxwell-Huber Von Misses)

  

   

 

y1 1 y

y2

1 312

1 31 y

Ey

Ev

Ev

E321

321 vv y

Ey

2

2

133221

23

22

21 2

2

1

v

E

133221

23

22

21 2

v 2

y

Gy

6

2

2

132

32

221

12

1

G

2

13

232

221

2

1

2y

TEORIA DEL ESFUERZO PRINCIPAL MAXIMO  En esta teoría se supone que en el sistema complejo de

esfuerzos la falla se presenta cuando el esfuerzo principal máximo alcanza el esfuerzo de fluencia en tensión simple. De este modo, el criterio de fractura es

1 y

Sin embargo, debe observarse que también se presentaría la falla a la compresión si el menor esfuerzo principal fuera de compresión y su valor alcanzara el valor del esfuerzo de fluencia a la compresión para el material que se estudia antes de alcanzar el valor de a la tensión. Por lo tanto, un criterio adicional es

3

ty

3 y

Si bien puede demostrarse que la teoría se cumple muy satisfactoriamente en el caso de los materiales frágiles, existe considerable evidencia experimental de que la teoría no debe aplicarse a los materiales dúctiles. Por ejemplo, aun en el caso de la misma prueba de tensión pura, la falla en materiales dúctiles no ocurre debido a los esfuerzos directos aplicados, sino debido a un esfuerzo cortante en planos que se encuentran a 450 con respecto al eje de la muestra. Además, los materiales realmente homogéneos pueden resistir presiones hidrostáticas muy elevadas sin fallar, lo que indica que los esfuerzos directos máximos solos no constituyen un criterio válido de fractura para todas las condiciones de carga.

TEORIA DEL ESFUERZO CORTANTE MAXIMO  En esta teoría se establece que la falla puede presentarse

cuando el esfuerzo cortante máximo en un sistema complejo de esfuerzos resulta igual al de fluencia en una prueba de tensión simple.

Puesto que el esfuerzo cortante máximo es la mitad de la mayor diferencia entre dos esfuerzos principales, el criterio de falla se hace

02

1

2

131 y es decir y 31

El valor de es, en forma algebraica, el valor más pequeño, es decir, considerando el signo y el hecho de que un esfuerzo pueda resultar cero. Esto proporciona una correlación bastante exacta en resultados experimentales, en particular para materiales dúctiles, y con frecuencia se emplea en el diseño de máquinas con materiales dúctiles. Con frecuencia, este criterio se conoce como teoría de "Tresca" y constituye una de las leyes de la plasticidad que se emplean ampliamente.

3

TEORIA DE LA DEFORMACION PRINCIPAL MAXIMA

 En esta teoría se supone que la falla se presenta cuando la deformación máxima en un sistema complejo de esfuerzo es igual a la deformación en la fluencia en la prueba de tensión, Es decir

Ev

Ev

E321

Ey

321 vv y

Los resultados obtenidos en pruebas de placas pIanas sometidas a dos tensiones perpendiculares entre sí contradicen esta teoría. El efecto de la relación de Poisson en cada tensión reduce la deformación en la dirección perpendicular, de modo que, según esta teoría, la falla se presentaría con una carga mayor. Este no siempre es el caso. La teoría resulta razonablemente válida para el hierro colado pero en la actualidad generalmente no se emplea en procedimientos de diseño.

TEORIA DE LA ENERGIA TOTAL DE DEFORMACION MAXIMA POR VOLUMEN UNITARIO

 En esta teoría se supone que la falla se presenta cuando la energía total de deformación en el sistema de esfuerzo complejo iguala a la asociada con el esfuerzo de fluencia en la prueba de tensión.

El criterio de falla será:

13322123

22

21 2

2

1 vE E

y

2

2

Es decir

13322123

22

21 2 v 2

y

La teoría proporciona resultados bastante satisfactorios, en materiales dúctiles pero generalmente prefiere utilizarse la teoría que a continuación se menciona.

TEORIA DE LA ENERGIA MAXIMA DE DEFORMACION POR ESFUERZO CORTANTE MAXIMO (O ENERGIA DE DISTORSION) POR

UNIDAD DE VOLUMEN. Anteriormente se señala el modo en que la energía de deformación de un elemento estructural sometido a esfuerzos puede dividirse en componentes de energía de deformación volumétrica y de energía de deformación por esfuerzo cortante, en donde la primera lleva consigo un cambio de volumen y ninguna distorsión, mientras que con la última se produce la distorsión de los elementos esforzados. Esta teoría afirma que la falla se presenta cuando la componente de energía máxima de deformación por esfuerzo cortante en el sistema de esfuerzos complejos es igual a la asociada al esfuerzo de fluencia en una prueba de tensión,

Es decir

2132

322

2112

1 G G

y

6

2

Esta teoría se verifica de modo considerable en la práctica y se recomienda ampliamente como la base más confiable para el diseño, en particular cuando se trata de materíales dúctiles. Con frecuencia se conoce como el criterío de "von Mises" o "Maxwell" y probablemente es la mejor teoría de las cinco. También, algunas veces se conoce como teoría del esfuerzo cortante octahédrico máximo

213

232

2212

1 2y

De este modo, Griffith señala la mayor importancia de los esfuerzos de tensión en comparación a los de compresión en relación a la fractura, en particular en casos de fatiga. Mohr introdujo una teoría adicional para predecir la falla de materiales cuyas resistencias difieren en forma considerable en tensión y en esfuerzo cortante; a continuación presentamos esta teoría.

En las teorías anteriores se ha supuesto que las propiedades del material en tensión y compresión son similares. Sin embargo, es bien sabido que ciertos materiales, en especial el concreto, el hierro colado, los suelos, etc., exhiben propiedades sumamente diferentes, lo que depende de la naturaleza del esfuerzo aplicado. Griffith*, además de explicar esto para materiales frágiles, introdujo el principio de energía superficial en grietas microscópicas y demostró que una grieta existente se propagará rápidamente si la liberación de energía de deformación elástica disponible es mayor que la energía superficial de la grieta. ,

TEORIA MODIFICADA DE MOHR DEL ESFUERZO CORTANTE PARA MATERIALES FRAGILES

(ALGUNAS VECES CONOCIDA COMO TEORIA DE LA FRICCION INTERNA

En general, los materiales frágiles muestran poca capacidad de deformarse plásticamente, por lo que suelen fracturarse en o muy cerca del límite elástico. Por lo tanto, cualquiera de los así llamados "criterios de fluencia" que se introdujeron arriba normalmente entrañan la fractura de un material frágil. Anteriormente se dijo, sin embargo, que los materiales frágiles suelen resultar considerablemente más resistentes a la compresión que a la tensión, y para tomar en cuenta esto, Mohr ha propuesto una construcción, que se basa en su circulo de esfuerzo, en la aplicación de la teoría del esfuerzo cortante máximo.

En la figura 15-1, el circulo con diámetro OA es el que representa tensión pura, el circulo de diámetro OB es para compresión pura y el circulo cuyo centro es O y cuyo diámetro es CD es el de esfuerzo cortante puro. Cada uno de estos tipos de prueba puede realizarse en el laboratorio con relativa facilidad para alcanzar la falla. Entonces, una envolvente de estas curvas, que se muestra por las líneas puntea- das, representa la envolvente de falla según la teoría de Mohr. Con esto, cuando se encuentra que un circulo de esfuerzo para una condición de esfuerzo complejo particular corta la envolvente, esto indicará una condición de falla.

Mohr sugiere, como una mejor aproximación para este procedimiento, que sólo se dibujen los círculos de fallas por compresión y tensión puras, considerando OA y OB iguales a tos esfuerzos de fluencia, o de fractura del material frágil. Así, las tangentes comunes a estos círculos pueden emplearse como la envolvente de falla, como se muestra en la figura . Los círculos dibujados tangentes a esta envolvente representan la condición de falla en el punto de tangencia.

Con objeto de desarrollar una expresión teórica para el criterio de falla, considere un circulo de esfuerzo general con los esfuerzos principales De esta forma es posible deducir una expresión que relacione los esfuerzos principales, y los esfuerzos de fluencia del material frágil en tensión y compresión, respectivamente.

21 ,

21 ,Ct yy ,

Con base en la teoría de la figura

MH

JL

KM

KL

Ahora, en términos de los esfuerzos 211 2

1

2

1 ty

KL

Ct yyKM 2

1

2

1

tyJL

2

1

2

121

tC yyMH 2

1

2

1

Efectuando la multiplicación cruzada y simplificando, esto se reduce a

12

2

1 cy

que entonces constituye el criterio

de esfuerzo cortante modificado de

Mohr para materiales frágiles.

CONCLUSIONES  l. Para materiales frágiles la teoría modificada de Mohr o la del esfuerzo principal máximo son las más adecuadas. Sin embargo, debe observarse que esta última puede, definitivamente, resultar insegura para el caso de materiales dúctiles. 2. El esfuerzo cortante máximo (de Tresca) o la energía máxima de deformación por esfuerzo cortante (de von Mises) son las teorías más adecuadas para materiales dúctiles. 3. Todas las teorías proporcionan resultados semejantes en situaciones de carga en donde un esfuerzo principal es grande en comparación con los demás. 4. La mayor diferencia entre las teorías se tienen en el segundo y el cuarto cuadrantes cuando ambos esfuerzos principales son numéricamente iguales. 5. En la mayor parte de los casos, la teoría del esfuerzo cortante máximo es la más conservadora (es decir, la más segura) y esto, junto con su fórmula sencilla y de fácil aplicación, probablemente explique su amplia utilización en la industria.

EJEMPLOS

Ejemplo 1  Un material sometido a una prueba de tensión simple muestra

un esfuerzo de fluencia de 240 MN/m2. Calcule el factor de seguridad si los esfuerzos principales que se tienen en un sistema de esfuerzo bidimensional complejo se limitan a 140 MN/m2 a tensión y 45 MN/m2 a compresión. Las teorías de falla adecuadas en las que debe basarse la respuesta a este problema son:

 a) teoría del esfuerzo cortante máximo; b) teoría de la energía máxima de deformación por esfuerzo

cortante.  Solución  a) Teoría del esfuerzo cortante máximo En esta teoría se enuncia que la falla se presentará cuando el

esfuerzo cortante máximo en el material sea igual al valor del esfuerzo cortante máximo en la fluencia en una prueba de tensión sencilla, es decir, cuando:

312

1 y2

1y

2

1o 31 y

En este caso el sistema es bidimensional, es decir, el esfuerzo principal en un plano es igual a cero. Sin embargo, en vista de que uno de los esfuerzos principales proporcionados es de compresión, se deduce que el valor de cero es el de ya que el valor negativo de asociado con el esfuerzo de compresión producirá un valor numéricamente mayor en la diferencia de esfuerzo al - , por lo que esto debe emplearse en el criterio anterior.

23

3

De este modo, =140MN/m2, =0 y . = -45 MN/m2. Ahora, al aplicarse un factor de seguridad, el esfuerzo de fluencia de diseño resulta y éste debe sustituir a en el criterio de fluencia que entonces resulta,

1 2 3

y

31

ny 45140

240

nUnidades en MN/m2

3.1185

240n El factor de seguridad requerido es de 1.3.

b) Teoría de la energía máxima de deformación por esfuerzo cortante  Una vez más, al igualar los valores de la cantidad implicada en la prueba de tensión y en el sistema de esfuerzo complejo,

Gy

6

2 2132

322

2112

1 G

2y 2132

322

212

1

Donde se emplean los tres valores de esfuerzo principal mencionados arriba y donde sustituye a

ny

y

2222

1404545001402

1240

n

4

2

4

1042.3203.096.12

11076.5

n

063.210583.5

1076.524

42

n

44.1nEl factor de seguridad requerido en este caso es de 1.44.

Ejemplo 2 Un tubo de acero tiene un diámetro medio de 100 mm y un

espesor de 3 mm. Calcule el momento de torsión que puede transmitirse mediante el tubo con un factor de seguridad de 2.25 si el criterio de falla es: a) el esfuerzo cortante máximo; b) la energía máxima de deformación; c) la energía máxima de deformación por esfuerzo cortante. El esfuerzo de fluencia del acero en tensión es de 225 MN/m2 y la relación de Poisson v es de 0.3.  Solución  Con base en la teoría de la torsión:

RJ

T

J

TR

Ahora, el diámetro medio del tubo = 100 mm y espesor = 3 mm.

)(4

32 menteaproximada

tdrdtJ

463

1036.24

003.01.0m

Esfuerzo cortante 24

6

3

1018.21036.2

105.51m

NTT

28.21m

KNT

a) Esfuerzo cortante máximo  La torsión introduce un esfuerzo cortante puro en los elementos

dentro del material del tubo y se ha demostrado en el inciso 13.2 que el esfuerzo cortante puro produce un sistema de esfuerzos directos principales equivalentes, uno de tensión y otro de compresión y los dos con un valor igual al esfuerzo cortante aplicado,

 es decir

1 02 3

De este modo, para el criterio del esfuerzo cortante máximo, considerando el factor de seguridad, se tiene.

31ny 3

6

108.212225.2

10225

T

NmT 3

3

6

103.2108.212

10100

El momento de torsión que puede aplicarse dentro de los límites de seguridad es de 2.3 kN m.

b) Energía máxima de deformación  Con base en la ecuación , el criterio que resulta significativo para la falla es

13322123

22

21

2 2 vy

Considerando el factor de seguridad se tiene

3.020

25.2

10255 22

26

26.2

23108.216.2 T

NmT 3

3

6

1084.2108.216.2

10100

Ahora, el momento de torsión dentro del margen de seguridad es de 2.84 kN m.

c) Energía máxima de deformación por esfuerzo cortanteCon base en la ecuación , el criterio de falla es

2132

322

212

2

1 y

2226

002

1

25.2

10225

:. 23

T36

108.213

10100

NmT 3

3

6

1065.23108.21

10100

Ahora, el momento de torsión que se puede aplicar con seguridad es de 2.65 kN m.

Ejemplo 3 Una estructura está compuesta de miembros circulares

cuyo diámetro es d. En cierta posición a lo largo de un miembro, se encuentra que la carga consiste de una fuerza cortante de 10 kN junto con una carga de tensión axial de 20 kN. Si el esfuerzo de fluencia en tensión para el material de los miembros es de 270 MN/m2 y se debe tener un factor de seguridad de 4, calcule la magnitud de d que se requiere según: a) la teoría del esfuerzo principal máximo, y b) la teoría de la energía máxima de deformación por esfuerzo cortante por unidad de volumen. La relación de Poisson v es de 0.283. Solución

El sistema de esfuerzos en el punto considerado es como se muestra en la figura 15-15, donde el esfuerzo principal normal a la superficie del miembro resulta igual a cero.

Fig.15-15.

Ahora, el esfuerzo directo a lo largo del eje de la barra es de tensión, es decir, positivo, y se obtiene mediante:

222

80

4

20argm

KNddarea

acx

Y el esfuerzo cortante es

222

40

4

10argm

KNddárea

aC

Los esfuerzos principales se obtienen mediante la construcción del circulo de Mohr (donde resulta un denominador común) o a partir de:

2d

y

1 3 22 42

1

2

1xyyxyx

donde es igual a cero, es decir, y

O

1 3

2

2

2

22

404

80

2

180

2

1

ddd

21402

d 2221

7.30414.240m

KNdd

2223

27.5414.040m

KNdd

02 y

En vista de que el esfuerzo de fluencia en tensión es de 270 MN/m2 y el factor de seguridad es de 4, el esfuerzo de trabajo o el esfuerzo efectivo de fluencia es:

25.6740

270m

MNy

a) Teoría del esfuerzo principal máximoSe supone que la falla se presenta cuando

y 16

2

3

105.671007.3

d

2432 1055.4105.67

7.30md

mmd 3.211013.2 2

b ) Energía máxima de deformación por esfuerzo cortante  Con base en la ecuación , el criterio de falla es

2132

322

2122 y

Por lo tanto, considerando el factor de seguridad se tiene

62

2

2

2

2

2

26 107.3027.527.57.30

105.672

ddd

4

6102264

d

26

64

105.67

101132

d

24

6

32 10985.4

105.67

106.33md

mmd 3.22

Ejemplo 4  Mediante las fórmulas para los esfuerzos principales y la del

esfuerzo cortante máximo inducido en un material debido a esfuerzos combinados y las fórmulas fundamentales para la flexión pura, deduzca una fórmula en términos del momento flector M y el momento de torsión T para el momento de torsión equivalente en una varilla sometida a flexión y torsión combinadas para los siguientes casos:

 a) se emplea el criterio del esfuerzo principal máximo; r b) se emplea el criterio de esfuerzo cortante máximo.

 Solución  El momento de torsión equivalente se define como el

momento de torsión que, al actuar en .forma aislada, producirá las mismas condiciones de esfuerzo que los momentos de torsión y de , flexión combinados.

 En la falla, el esfuerzo producido por el momento de torsión equivalente TE se obtiene mediante la teoría de torsión como

RJ

T

J

DT

J

RT EE

2max

El esfuerzo directo debido a flexión es

J

MD

I

MD

I

M yx

2max

y el esfuerzo cortante debido a torsión es J

TD

2

Entonces, los esfuerzos principales se obtienen mediante

223,1 4

2

1

2

1xyyxyx 0ycon y 02

22

3,1 24

2

1

2

1

J

TD

J

MD

J

MD 22

2TMM

J

D

221 2

TMMJ

D 22

3 2TMM

J

D

a)  Para el criterio del esfuerzo principal máximo

J

DTE2

221 2

TMMJ

D 22 TMMTE

b)  Para el criterio de esfuerzo cortante máximo

312

1

2

J

DTE

2222

222

1TMM

J

DTMM

J

D

22 TMTE

BIBLIOGRAFÍA 

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