teoria de grafo mañana:1.- coloracion de grafopropiedades2.- numero cromatico3.- coloracion de vertices4.- coloracion de regionespropiedades5.- grafos5.1.- grafos coloreables5.2.- grafos notables6.- polinomio cromati

Coloración de Grafos

 

El problema de coloración de grafos,  es considerado uno de los más interesantes en lo que respecta a la teoría de grafos. Este problema consiste en buscar la menor cantidad posible de colores para poder colorear un grafo, de tal forma que los nodos adyacentes nunca tengan el mismo color. Este problema también se puede plantear para aristas o para las caras del plano de un grafo, en donde la forma de desarrollo es la misma.  Un claro ejemplo de esto se puede apreciar en la siguiente figura, en que cada color del plano representa un nodo del grafo.

 

 

El número de colores con que se colorea un grafo es denominado número cromático, que es el menor valor que puede tomar k, donde k es el número de colores con que se puede colorear el grafo.

 

En el problema de Coloración de Grafos, se puede encontrar un teorema denominado el teorema de los cuatro colores. Este teorema establece que dado un grafo cualquiera, este puede ser coloreado a lo más, con 4 colores, de manera que no queden nodos adyacentes con el mismo color. Un claro ejemplo de este teorema, es la figura que se muestra a continuación, en donde cada sector coloreado del plano representa una arista del grafo. Se puede ver que cada en ningún caso un sector está coloreado del mismo color que un sector adyacente y para lo cual se ocupan sólo 4 colores: amarillo, azul, verde y rojo.

Coloración de grafos

En Teoría de grafos, la coloración de grafos es un caso especial de etiquetado de grafos; es una

asignación de etiquetas llamadas colores a elementos del grafo. De manera simple, una coloración

de los vértices de un grafo tal que ningún vértice adyacente comparta el mismo color es llamado

vértice coloración. Similarmente, una arista coloración asigna colores a cada arista talque aristas

adyacentes no compartan el mismo color, y una coloración de caras de un grafo plano a la

asignación de un color a cada cara o región tal que caras que compartan una frontera común

tengan colores diferentes.

El vértice coloración es el punto de inicio de la coloración, y los otros problemas de coloreo pueden

ser transformados a una versión con vértices. Por ejemplo, una arista coloración de un grafo es

justamente una vértice coloración del grafo línea respectivo, y una coloración de caras de un grafo

plano es una vértice coloración del grafo dual.

Propiedades

Cotas del número cromático

Asignando distintos colores a distintos vértices siempre obtendremos una coloración propia,

entonces

El único grafo que es 1-coloreable es el grafo sin aristas, y el grafo completo   de n vértices

requiere   colores.

Si G contiene un clique de orden k, entonces a lo menos son necesarios k colores para

colorear el clique; en otras palabras, el número cromático es a los menos el número de clique:

Los grafos 2-coloreables son exactamente grafos bipartitos, incluidos árboles y bosques.

Por el teorema de los cuatro colores, todo grafo plano es 4-coloreable.

Una coloración a través de un algoritmo voraz muestra que cada grafo puede ser

coloreado con un color más que el grado del vértice máximo.

]Cotas del índice cromático

La arista coloración es una vértice coloración de su grafo lineal, y viceversa. Esto es,

Existe una fuerte relación entre la arista coloración y el grado máximo del grafo.

Como todas las aristas incidentes a algún vértice necesitan colores distintos,

tenemos

El número cromático de una gráfica G es la menor cantidad de colores necesarios

para colorear sus vértices sin que dos vertices vecinos (unidos por una arista)

tengan el mismo color. O más formalmente, es el menor entero m tal que G es m-

coloreable (o bien, tiene una coloración propia con m colores). A este número  se

le denota como χ(G), es decir, χ(G)=m.

Es fácil ver que si coloreamos todos los vértices de colores distintos, entonces se

satisfacerá que la gráfica tiene una coloración propia, es decir,  sin que dos

vértices unidos por una arista tengan el mismo color (ver figura 1.a). Pero

evidentemente, esto generalmente no nos da el número cromático, pues puede

ser posible colorear las gráficas con muchos menos colores, como en el ejemplo

de la siguiente figura:

Poniendo un color distinto en cada

vértice produce una coloración propia,

pero no es mínima.

Esta es una 3-coloración de la mísma

gráfica. De hecho, el número cromático

de esta gráfica es 3.

Vértice coloración

La vértice coloración (o simplemente coloración) es la asignación de los vértices de un grafo con

colores tal que dos vértices que compartan la misma arista tengan colores diferentes. Un grafo con

loops no puede ser coloreado, y solo se consideran grafos sin loops.

La terminología de usar colores para etiquetar vértices proviene del problema de colorear mapas.

Las etiquetas como rojo o azul son solamente utilizadas cuando el número de colores es pequeño,

y normalmente los colores están representados por los enteros {1, 2, 3, …}.

Una coloración que usa a lo más k colores se llama k-coloración (propia). El menor número de

colores necesarios para colorear un grafo G se denota número cromático . Un grafo que puede ser

asignada una k-coloración (propia) es k-coloreable y es k-cromático si su número cromático es

exactamente k. Un subconjunto de vértices asignados con el mismo color se llama una clase de

color. Cada clase forma un conjunto independiente. Esto es, una k-coloración es lo mismo que una

partición del conjunto de vértices en k conjuntos independientes, y los términos k-partito y k-

coloreable tienen el mismo significado.

Coloración de vértices

Los algoritmos conocidos para colorear los vértices de un grafo se clasifican en dos grandes grupo:

secuenciales  e  independientes. Dada  una  ordenación  de  los  vértices  del grafo, los algoritmos  

secuenciales   asignan   el   mínimo   color   posible   al   siguiente   vértice.   Es   decir,   si

queremos colorear el vértice v, teniendo ordenados numéricamente los colores, asignamos a v

el color más pequeño que no aparece entre los asignados a los vecinos de v ya coloreados. La

ordenación inicial es esencial para colorear con pocos colores.

Los algoritmos “independientes” buscan en primer lugar un conjunto independiente de vértices

I1 de cardinal grande, colorea todos los vértices con el color 1, elimina los vértices de I1 y repite

el proceso en el grafo GI1, continuando así hasta colorear todos los vértices.

Se presenta un procedimiento secuencial para colorear los vértices de un grafo siguiendo un

orden impuesto a los vértices, usando la menor cantidad de colores posibles. Este algoritmo es

llamado austero (avaricioso, greedy en inglés).

Coloración de regiones (Relaciones con listas y particiones en bloques)

Una coloración de un grafo G es equivalente a una lista con ciertas restricciones. Supongamos

que V(G)={v1, v2,...,vn}, entonces una coloración usando los k colores C={a1, a2, . . . , ak} es

una lista (nupla) con repetición  (ai1,ai2 , . . . ,ain)  tal que si vs y vt son adyacentes entonces

ais҂ait.

Dada una coloracion χV(G) → C definimos la relación entre los vértices de G de la siguiente

manera:  uRv si χ(u)=χ(v), es decir, dos vértices están relacionados si tienen el mismo color.

Esta es una relación de equivalencia. 

Esta relación induce una partición sobre el conjunto  V(G)  cuyos bloques son las clases de

equivalencia. Cada bloque (clase) está constituido por vértices que tienen el mismo color. Es

importante notar que los vértices que están relacionados no son adyacentes; si dos vértices son

adyacentes se encuentran en bloques (clases) distintos. Recíprocamente, si se particiona el conjun

to de vértices de un grafo  G

de tal manera quevértices adyacentes se encuentran en bloques distintos, entonces esta partición i

nduce una

coloración de los vértices de G. Se colorean los vértices del mismo bloque con un mismo color

y   bloques   distintos   con   colores   distintos.   Estas   observaciones   son   útiles   para   resolver

problemas.

Como ejemplo, se citan los grafos bipartitos. El conjunto de vértices se puede particionar en

dos conjuntos V1(G) y V2(G) de tal manera que vértices adyacentes se encuentran en conjuntos

distintos, así es posible usar dos colores para colorear los vértices de dicho grafo. A los vértices

de V1(G) se les asigna un color y a los vértices de V2(G) se les asigna otro color, y resulta unacolo

ración de G.

Polinomio cromático

El polinomio cromático cuenta el número de maneras en las cuales puede ser coloreado un grafo

usando no más que un número de colores dado. Por ejemplo, usando 3 colores, el grafo en la

imagen de la derecha puede ser coloreado de 12 formas distintas. Con solo 2 colores, no puede

ser coloreado. Con 4 colores, puede ser coloreado de 24+4*12 maneras distintas: usando los

cuatro colores juntos, hay 4!= 24 coloraciones validas (toda asignación de cuatro colores a algún

grafo de cuatro vértices es una coloración propia); y para cada elección de tres de los cuatro

colores, hay 12 3-coloraciones validas. Así que, para el grafo del ejemplo, una tabla de números de

coloraciones validas puede comenzar como esta:

Colores disponibles 1 2 3 4 …

Número de coloraciones 0 01

272 …

El polinomio cromático es una función p(G, t) que cuenta el número de t-coloraciones de G. como

el nombre lo indica para un grafo G la función es un polinomio en t. para el grafo del ejemplo, P(G,

t)= t(t-1)2 (t-2) y P(G,4)=72