TEORIA DE GRAFOS Y SUS APLICACIONES CON EL TANGRAM

DIANA MARITZA ROJAS

FUNDACION UNIVERSITARIA KONRAD LORENZ FACULTAD DE MATEMATICAS BOGOTA DICIEMBRE 13 DE 2003

TEORIA DE GRAFOS Y SUS APLICACIONES CON EL TANGRAM

DIANA MARITZA ROJASTRABAJO DE GRADO PARA OPTAR POR EL TITULO DE MATEMTICO DIRECTOR: JOSE JOAQUIN VALDERRAMA MATEMTICO PROFESOR FACULTAD DE MATEMTICAS

FUNDACION UNIVERSITARIA KONRAD LORENZ FACULTAD DE MATEMATICAS BOGOTA DICIEMBRE 13 DE 2003

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RESUMEN Tomando como base la teora de Grafos y el teorema de Euler, construir algunas de sus aplicaciones con ayuda del Tangram. Material didctico que desarrolla el pensamiento lgico matemtico en la educacin. Taking like base the theory of Grafos and the theorem of Euler, to build some of their applications with the help of the Tangram. Didactic material that develops the mathematical logical thought in the education.

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CONTENIDO 0. INTRODUCCIN ................................................................................4 1. EL DILEMA DE LOS PUENTES DE KNIGSBERG .........................8 1.1 Conclusin de Euler ..................................................................10 2. CONCEPTOS Y DEFINICIONES DE LA TEORA DE GRAFOS. ....11 2.1. Definicin Nodo.........................................................................11 Es cualquier punto terminal de un segmento. ....................................11 2.2 Definicin Incidencia ....................................................................11 2.3 Definicin Segmento: ...................................................................11 2.4 Definicin Grafo: ..........................................................................11 2.5. Definicin Sub-grafo: ..................................................................12 2.6 Definicin Sub-grafo conectado: ..................................................12 2.7. Definicin Tren:..........................................................................13 2.8.Definicin Tren cclico: .................................................................13 2.9. Definicin Tren de Euler:.............................................................13 2.10 Definicin Grafo de Euler: ..........................................................13 2.11. Definicin Trayectoria: ..............................................................14 2.12. Definicin Una trayectoria de Euler:.........................................14 2.13. Definicin Circuito: ....................................................................14 2.14. Definicin Camino Euleriano.....................................................15 2.15. Definicin Circuito Euleriano. ....................................................15 2.16. Definicin La longitud de la trayectoria: ...................................15 2.17 Definicin Regin: .....................................................................15 2.18 Definicin Puntos colineales: ....................................................16 2.19 Definicin Puntos no colineales: ...............................................16 2.20 Definicin Grafo impar: ..............................................................16 2.21 Definicin Grafo par: .................................................................16 2.22 Definicin Grafo Recorrible: .......................................................17 2.23 Definicin Un camino es simple: ................................................18 2.24 Multigrafo: ..................................................................................19 3.TEOREMA DE EULER ......................................................................20 3.1 Demostracin...............................................................................20 3.1.1 Caso1:....................................................................................22 3.1.2 Caso2:.................................................................................23 4.HISTORIA DEL TANGRAM. .............................................................24 5. PIEZAS DEL TANGRAM..................................................................26 6. APLICACIN DE LA TEORA DE GRAFOS, TEOREMA DE EULER AL TANGRAM......................................................................................27 7. CONCLUSIONES .............................................................................32 8. REFERENCIAS ................................................................................33

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0. INTRODUCCIN El Tangram es un proyecto de investigacin personal, que nace por la necesidad de poner en prctica estrategias que contribuyan al desarrollo del pensamiento matemtico. La razn de ser de este trabajo, es que siendo las matemticas un rea fundamental no solo para la vida cotidiana sino para la vida acadmica ( ya que son muchas las reas del conocimiento, que apoyan sus fundamentos tericos en las matemticas y adems las utilizan como medio de expresin ), parece imposible que las personas sigan considerndolas inaccesibles para las mentes comunes. Con sta premisa HACER MATEMTICAS una tarea que es compleja, pero no imposible se vuelve un dolor de cabeza no slo para el aprehendiente sino para el mediador, quien cotidianamente acude a toda suerte de estrategias para lograr en primer lugar generar el GUSTO POR SU REA y en segundo lugar PROPICIAR

APRENDIZAJES SIGNIFICATIVOS.

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Con este trabajo se pretende aportar al desarrollo de habilidades matemticas de forma consciente en los estudiantes. Entre otras habilidades matemticas se encuentran las siguientes: definir y demostrar, que son las que por su propia naturaleza, establecen el vnculo primario en el sistema de conocimientos. Igualmente habilidades como: identificar, interpretar, codificar, graficar, algoritmizar, calcular, comparar, controlar, modelar, resolver, aproximar y optimizar. Estas habilidades generales de la matemtica se reforzarn con la estructuracin del conocimiento y la resolucin de problemas a travs del desarrollo de las habilidades cognitivas, heursticas y metas cognitivas, a partir de la accin y de la orientacin. Es guiar al

estudiante para que tenga, cada vez, ms posibilidades en la resolucin de problemas, pero asegurando que la estructura de su conocimiento se vaya haciendo cada vez ms compleja, ms generalizada y ms slida. Se trabajar con una formacin didctica sistemtica y

problemtica, en torno a la formacin de las habilidades generales meta cognitivas, asegurando la flexibilidad del pensamiento y la solidez del pensamiento.

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Se har un rescate y una acotacin de la memoria, es decir: rescatar la necesidad de la memoria, pero no la suficiencia; para aprender algo hay que memorizar con qu relacionarlo de forma comprensiva, logrando la interiorizacin de su contenido. Se exige entonces la seleccin de una ordenada estrategia pedaggica que permita satisfacer las exigencias para la construccin de los mismos ( conceptos ), he ah el papel de la instruccin heurstica.

Al iniciar cada encuentro el estudiante conocer el objetivo del mismo y por tanto se presentarn problemas que se articulen con situaciones.

Cabe rescatar, como parte de la metodologa, los talleres en el aula de clase y fuera de ella, los trabajos de consulta, la conversacin heurstica, la bsqueda de contraejemplos, las exposiciones,

discusiones sobre paradojas. Se utilizarn los recursos grficos y de visualizacin en general para presentar demostraciones, sin perder las interpretaciones, las ideas

intuitivas, las nuevas relaciones y las conjeturas. Es necesario rescatar que la demostracin de un teorema comprende no slo aspectos mecnicos, sino tambin intuitivos, y es ms valorado por el que

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aprende cuando se han discutido sus bondades y limitaciones y cuando se ha aplicado a la solucin de problemas.

Para la realizacin del trabajo los estudiantes se tendrn que familiarizar y conceptuar los siguientes trminos: Grafo, trayectoria, longitud de una trayectoria, nudo o vrtice, superficie o regin, arista o frontera, circuito, multigrafo,. Despus de la conceptualizacin de los anteriores trminos se har la demostracin del teorema de Euler. Por ultimo se har un paralelo con el Tangram, aplicando todos los trminos vistos anteriormente.

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1. EL DILEMA DE LOS PUENTES DE KNIGSBERG La historia cuenta que durante los siglos 17 y 18, en lo que ahora es Alemania y entonces era Prusia Oriental, sobre las ribieras del ro Pregel y la isla Kneiphof situada en el ro, se alcanza la ciudad de Knigsberg con siete puentes uniendo cuatro sectores que resultaban separados por la geografa. Y la misma historia cuenta que, por aquellos tiempos, las personas se entretenan tratando de resolver un dilema: cmo salir a pasear de uno de los cuatro sectores de la ciudad, visitar los otros tres y volver al sector inicial tras haber cruzado cada uno de los siete puentes una nica vez. La siguiente figura esboza la situacin de manera precisa a la que us Euler (1736) para dilucidar matemticamente el dilema concluyendo que es imposible resolverlo.

Figura 1

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Para justificar la imposibilidad, Euler declar: todo mi mtodo se apoya en el apropiado y conveniente con que design el cruce de los puentes, en que us letras maysculas, A, B, C y D, para nombrar los diversos sectores separados por el ro. Lo primero fue establecer cuatro

recintos como elementos para la conciencia ( lo que explica el entusiasmo por cuatro letras maysculas ). Enseguida, Euler agreg: as, cuando una persona va del sector A al B a travs del puente a o b, anoto este cruce con la letras AB, la primera de las cuales designa el sector donde vino y la segunda el sector adonde llega despus de cruzar el puente. Lo segundo fue ubicar siete pasadas con relaciones (con letras minsculas y en segundo plano).

Figura 2 Euler no propuso una representacin como la recin expuesta. Sin embargo, inspirados por su trabajo, otros matemticos propusieron

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representaciones similares y dieron comienzo a lo que denominaron teora de grafos.

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Conclusin de Euler

De cualquier sector al que se llegue sin pretensin de quedarse, hay que salir tantas veces como se entra; si las entradas y las salidas han de hacerse por puentes distintos, la cantidad de puentes usados para salir ha de ser igual a la de los usados para entrar; en consecuencia, la cantidad de puentes que inciden en el sector, ha de ser par. Ocurre que en cada sector de Knigsberg incida una cantidad impar de puentes y, por tanto, que el dilema era insoluble.

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2. CONCEPTOS Y DEFINICIONES DE LA TEORA DE GRAFOS. 2.1. Definicin Nodo. Es cualquier punto terminal de un segmento.

Figura 3 2.2 Definicin Incidencia Es cualquier situacin en la cual un nodo pertenece a un segmento; cuando ella ocurre se dice que el nodo es incidido por el segmento.

2.3 Definicin Segmento: Es cualquier parte de una lnea a las que pertenecen dos puntos terminales diferentes.

Figura 4

2.4 Definicin Grafo: Es cualquier conjunto de segmentos cuyos nicos puntos comunes son llamados nodos o vrtices, en donde llegan o salen una o varias lneas denominadas aristas o fronteras.

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Figura 5 Formalmente se dice que. El grafo G es un par G = ( V, A ) donde V esun conjunto finito de nodos, nudos o vrtices y A es un conjunto de aristas o fronteras. Cada arista es un par ( v, w ) donde v, w V. Una grfica consta de vrtices y aristas. Los vrtices son

representados por puntos y las aristas son representadas por lneas.

2.5. Definicin Sub-grafo: Es cualquier grafo que es sub-conjunto de otro dado.

2.6 Definicin Sub-grafo conectado: Es cualquier sub.-grafo construido empezando por algn nodo y agregando sucesivamente segmentos diferentes, con la condicin de que cada uno incida por lo menos en un nodo ya dibujado.

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2.7. Definicin Tren: Es cualquier sub.-grafo conectado en que cada segmento agregado incide en el ltimo nodo dibujado y en otro que pasa a ser el ltimo.

Figura 6

2.8.Definicin Tren cclico: Es cualquier tren cuyo ltimo nodo es el primero.

2.9. Definicin Tren de Euler: Es cualquier tren cclico que incluye los segmentos del grafo(conectado) inicial.

2.10 Definicin Grafo de Euler: Es cualquier grafo para el cual puede construirse un tren de Euler.

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2.11. Definicin Trayectoria: Es cualquier tren en el cual cada nodo es incidido a lo sumo por dos segmentos. Una trayectoria o camino en una grfica es una sucesin de vrtices. Dentro de esta trayectoria, ninguna arista es elegida mas de una vez.

Figura 7

2.12. Definicin Una trayectoria de Euler: Es una trayectoria que incluye a cada una de las aristas SOLO una vez.

2.13. Definicin Circuito: Es cualquier tren trayectoria en la cual cada nodo es incidido por dos segmentos.

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Figura 8 2.14. Definicin Camino Euleriano. Dado un grafo G, un camino Euleriano es un camino que pasa por cada arista exactamente una vez (llamado as en homenaje a Euler, quien resolvi el problema de los puentes de Knigsberg).

2.15. Definicin Circuito Euleriano. Un circuito Euleriano es un camino Euleriano que comienza y termina en el mismo vrtice. 2.16. Definicin La longitud de la trayectoria: Es el nmero de aristas que la componen.

2.17 Definicin Regin: Es la superficie comprendida por los tres nudos o vrtices ms cercanos.

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2.18 Definicin Puntos colineales: Dos o ms puntos se dicen colineales si estn en una misma direccin (en lnea recta).

2.19 Definicin Puntos no colineales: Dos o ms puntos se dicen no colineales si no estn en lnea recta. El nmero de aristas que concurren a un vrtice determina el orden o rango del grafo.

2.20 Definicin Grafo impar: Hay nodos de donde llegan un nmero impar de lneas.

Figura 9

2.21 Definicin Grafo par: Es aquel que tiene todos sus nodos pares para ser recorrible. Hay nodos a donde llegan un nmero par de lneas.

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Se parte del punto de salida y llega al mismo.

Figura 10

Figura 11

Figura 12

2.22 Definicin Grafo Recorrible: Es aquel que se puede trazar sin levantar el lpiz y sin repetir el trazo.

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Si todos los nodos son pares, se puede salir de cualquier nodo para hacer la figura recorrible. Cuando todos los nodos son impares la figura es no recorrible. Todo grafo sin vrtices impares puede ser dibujado con un solo trazo que salga de cualquier punto. Todo grafo que no tenga ms de dos vrtices impares puede ser dibujado de un solo trazo, saliendo de uno de los vrtices impares para llegar al otro.

2.23 Definicin Un camino es simple: Si no se repiten vrtices, excepto posiblemente el primero y el ltimo.

Se empieza desde un vrtice impar y se termina en un impar.

Es un grafo impar recorrible

Figura 13

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2.24 Multigrafo: En un grafo se admiten aristas mltiples.

Figura 14

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3.TEOREMA DE EULER Sea G = (V, E) un grafo o multigrafo plano conexo con V= v ( es el nmero de vrtices ) y E= e ( es el nmero de aristas ). Sea r el nmero de regiones en el plano determinadas por una inmersin ( o representacin ) plana de G; una de estas regiones tiene un rea infinita y se conoce como regin infinita. Entonces v e + r = 2.

3.1 Demostracin. La demostracin se hace por induccin sobre e. Si e = 0 o 1. El grafo a) tiene v = 1, e = 0 y r = 1. El grafo b) tiene v = 1, e = 1 y r = 2. El grafo c) tiene v = 2, e = 1 y r = 1. En los tres casos, v e + r =2.

Figura 14

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Demostracin (Continuacin...) Ahora sea k N y supongamos que el resultado es verdadero para cualquier grafo o multigrafo plano conexo con e aristas, donde 0 e k. Si G = ( V, E ) es un grafo o multigrafo plano conexo con v vrtices, r regiones y e = k + 1 aristas, sean a, b V con { a, b } E. Considere el sub.-grafo H de G obtenido al eliminar la arista { a, b } de G ( Si G es un multigrafo y {a, b} es una de un conjunto de aristas entre a y b, entonces la eliminamos slo una vez ). En consecuencia, se puede escribir H = G { a, b } o G =H + { a, b }. Consideremos los dos casos siguientes, que dependen de si H es conexo o disconexo.

Figura 15

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3.1.1 Caso1: Los resultados de las partes a), b), c) y d) de la figura muestran cmo un grafo G puede obtenerse de un grafo conexo H cuando se dibuja el lazo ( nuevo ) {a, a} como en las partes a) y b) o cuando la arista ( nueva ) {a, b} une dos vrtices distintos en H como en las partes c) y d). En todas estas situaciones, H tiene v vrtices, k aristas y r 1 regiones, ya que una de las regiones de H se divide en dos regiones para G. La hiptesis de induccin aplicada al grafo H indica que v k + ( r 1 ) = 2 y de esto se sigue que 2 = v ( k + 1 ) + r = v e + r. As, en este caso el teorema de Euler es cierto para G.

Figura 16

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3.1.2 Caso2: Ahora consideremos el caso en que G {a, b} = H es un grafo disconexo como se muestra en la figura e) y f). En este caso, H tiene v Vrtices, k aristas y r regiones. As mismo, H tiene dos componentes H1 y H2, donde Hi tiene vi vrtices, ei aristas y ri regiones, para i = 1, 2. Adems, v1 + v2 = v, e1 + e2 = k (= e 1) y r1 + r2 = r + 1 ya que H1 y H2 determinan, cada uno, una regin infinita. Cuando se aplica la hiptesis de induccin a H1 y H2 vemos que v1 e1 + r1 = 2 y v2 e2 + r2 = 2. En consecuencia: ( v1 + v2 ) ( e1 + e2 ) + ( r1 +r2 ) = v ( e 1 ) + ( r + 1 ) = 4, y de esto se sigue que v e + r = 2, y as establecemos el teorema de Euler para G.

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4.HISTORIA DEL TANGRAM. El Tangram es un rompecabezas de origen chino que probablemente apareci hace tan slo 200 o 300 aos. Los chinos lo llamaron tabla de sabidura y tabla de sagacidad haciendo referencia a las cualidades que el juego requiere. La misma palabra Tangram es un invento occidental: se supone que fue creada por un norteamericano aficionado a los rompecabezas, quien habra combinado tang, una palabra cantonence que significa chino, con el sufijo ingls gram (-grama) que significa escrito o grafico (como en cardiograma). Los primeros libros sobre el Tangram aparecieron en Europa a principios del siglo XIX y presentaban tanto figuras como soluciones. Se trataba de unos cuantos cientos de imgenes en su mayor parte figurativas como animales, casas y flores..... junto a una escasa representacin de formas abstractas. A lo largo del siglo XIX aparecieron diversos libros de Tangram chinos, que fueron copiados por las editoriales europeas, buena prueba de la popularidad que haba adquirido el juego. A partir de 1889 se publicaron libros de Tangram en Estados Unidos, Inglaterra, Francia, Alemania, Austria e Italia. En la introduccin al libro publicado en Italia se hacia notar que el Tangram se jugaba en todas partes con verdadera pasin. En efecto

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aunque una antigua enciclopedia china lo describa como un juego de mujeres y nios, el Tangram se haba convertido en una diversin universal.

En cuanto al nmero de figuras la mayor parte de las publicaciones occidentales copiaron las figuras chinas originales, que ascendan a algunos cientos. Al principio el Tangram fue publicado en forma de libro, en torno a 1870 se conceda ms atencin al juego mismo y sus siete componentes, de forma que el Tangram era producido y vendido como un objeto: piezas de marfil, tarjetas con las siluetas y envoltorio en forma de caja. Hacia 1990 se haba aadido nuevas figuras y formas geomtricas. Llegando a un total de ms de 900 y en 1973, los diseadores holandeses Joost Elffers y Michael Schuyt produjeron una edicin en rustica con 750 figuras nuevas, alcanzando as un total de ms 1.600. La edicin de 1973 ha venido hasta la fecha ms de un milln de ejemplares en todo el mundo.

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5. PIEZAS DEL TANGRAM El Tangram consta de siete piezas: 2 tringulos grandes 1 tringulo mediano 2 tringulos pequeos 1 cuadrado 1 paralelogramo ( romboide )

Figura 17

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6. APLICACIN DE LA TEORA DE GRAFOS, TEOREMA DE EULER AL TANGRAM.

Todo grafo sin nodos impares puede ser dibujado con un solo trazo que salga de cualquier punto.

Todo grafo que tenga ms de dos vrtices impares puede ser dibujado de un solo trazo, saliendo de uno de los vrtices impares para llegar al otro.

L a formula de Euler nos dice que para todo grafo simple se cumple que v e + r =2, entonces v + r = e +2, el nmero de nodos + el nmero de regiones = es igual al nmero de aristas + 2

Figura 18

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Aplicacin de la formula de Euler: v = nmero de vrtices o nodos. e = nmero de aristas r = nmero de regiones. v+r 5+5 10 = = = e+2 8+2 10

Figura 19 Aplicacin de la formula de Euler: v = nmero de vrtices o nodos. e = nmero de aristas. r = nmero de regiones. v+r = e +2 10 + 2 12

6+6 = 12 =

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Figura 20 Aplicacin de la formula de Euler: v = nmero de vrtices o nodos. e = nmero de aristas. r = nmero de regiones. v+r = e +2 8+2 10

6+4 = 10 =

Figura 21

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Aplicacin de la formula de Euler: v = nmero de vrtices o nodos. e = nmero de aristas. r = nmero de regiones. v+r = e +2 10 + 2 12

7+ 5 = 12 =

Figura 22 Aplicacin de la formula de Euler: v = nmero de vrtices o nodos. e = nmero de aristas. r = nmero de regiones. v+r = e +2 12 + 2 14

8+ 6 = 14 =

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Figura 23

Aplicacin de la formula de Euler: v = nmero de vrtices o nodos. e = nmero de aristas. r = nmero de regiones. v+r 10 + 8 18 = = = e +2 16 + 2 18

Con el Tangram se pueden construir gran variedad de figuras.

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7. CONCLUSIONES El desarrollo de habilidades matemticas, se refuerzan con la estructuracin del conocimiento y la resolucin de problemas, a travs del desarrollo de las habilidades cognitivas, heursticas y metas cognitivas a partir de la accin y la orientacin.

La demostracin de un teorema comprende no solo aspectos mecnicos, sino tambin intuitivos, y es ms valorado por rl que aprende cuando se han discutido sus bondades y limitaciones, y cuando se ha aplicado a la solucin de problemas.

Cuando dibujamos figuras de un solo trazo sin repetir el trazo y sin levantar la mano, quedando construida una figura cerrada. Este tipo de figuras se denominan grafos.

Con el Tangram se pueden construir grafos recorribles y no recorrible y se puede aplicar y verificar el teorema de Euler.

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8. REFERENCIAS [ABELL91] M, Abellanas. anlisis de algoritmos y teora de grafos Mxico: Macrobit & Ra-ma, 1991. Maria Teresa, Gonzlez Monteiga. Modelos matemticos discretos en las ciencias de la naturaleza Madrid: Daz de Santos, 2003. Vilma Maria, Mesa Narvez. Coloracin de grafos: una aproximacin utilizando mtodos numricos Bogot. Universidad de los Andes, 1987. Wilson, R.J. Introduccin a la teora de grafos Madrid: Alianza, 1983. Jaume, Llibre. El Tangram de los ocho elementos.Barcelona: Baral, 1977

[GONZ03]

[MESA87]

[R.J.83]

[LLIB77]

[DIRECCIONES http://www.grups.dcs.st-andrews.ac.uk DE INTERNET] http://www.derive.com http://www.derive-europe.com http://www.upv.es/derive/ http://www.groups.dcs.st-and.ac.uk/2 http://www.history/BiogIndex.html

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